Konjugasi dua lingkaran adalah internal dan eksternal. Menggambar. Konjugasi Garis Paralel
Catatan dalam warna ungu notebook, latar belakang kuning - penjelasan
Kami membaca, kami memahami bahwa font hitam
Kami melakukan apa yang tidak dilakukan di notebook, jika tidak ada, maka pada A4 - format yang akan ditempelkan ke notebook
Tema. Rekan.
Nilai teman dalam gambar teknik
Karya grafis No. 5. Menggambar bagian teknis menggunakan pasangan. Format A4 (210 × 297).
Transisi yang mulus dari satu garis ke garis lainnya disebut konjugasi. Titik umum untuk garis fillet disebut titik fillet, atau titik transisi. Untuk membangun pasangan, Anda perlu menemukan pusat kawin dan titik kawin. Mari kita lihat berbagai jenis pasangan.
Sudut kanan sobat. Biarkan perlu untuk mengawinkan sudut siku-siku dengan jari-jari fillet sama dengan segmen AB (R = AB). Temukan titik kawin. Untuk melakukan ini, letakkan kaki kompas di bagian atas sudut dan dengan bukaan kompas sama dengan segmen AB, buat takik di sisi sudut. Titik a dan b yang dihasilkan merupakan titik konjugasi. Temukan pusat kawin - titik yang berjarak sama dari sisi sudut. Dengan solusi kompas yang sama dengan jari-jari konjugasi, dari titik a dan b, gambar dua busur di dalam sudut sampai mereka berpotongan satu sama lain. Titik O yang dihasilkan adalah pusat kawin. Dari pusat konjugasi, kami menggambarkan busur dengan radius tertentu dari titik a ke titik b. Pertama kita menguraikan busur, dan kemudian garis lurus.
Konjugasi sudut lancip dan tumpul.
Untuk menyusun konjugasi sudut lancip, ambil bukaan kompas yang sama dengan jari-jari tertentu R = AB. Kami menempatkan kaki kompas secara bergantian di dua titik sembarang di setiap sisi sudut lancip. Gambar empat busur di dalam sudut; jacque ditampilkan di pgas. 71, a. Kami menggambar dua garis singgung kepada mereka sampai mereka berpotongan di titik O - pusat konjugasi (Gbr. 71, b) - Dari pusat konjugasi kami menjatuhkan garis tegak lurus ke sisi sudut. Titik a dan b yang dihasilkan akan menjadi titik konjugasi (Gbr. 71, b). Menempatkan kaki kompas di tengah konjugasi (O), dengan bukaan kompas sama dengan jari-jari konjugasi yang diberikan (R = AB), menggambar busur konjugasi.
Konjugasi dua garis sejajar.
Diberikan dua garis sejajar dan sebuah titik d yang terletak di salah satunya (Gbr. 72). Pertimbangkan urutan konstruksi konjugasi dua garis lurus. Di titik d, naikkan tegak lurus terhadap perpotongannya dengan garis lurus lainnya. Titik d dan e adalah titik fillet. Membagi segmen de menjadi dua, kami menemukan pusat konjugasi. Dari sana, dengan jari-jari konjugasi, kami menggambar busur yang menghubungkan garis lurus.
Konjugasi busur dua lingkaran dengan busur jari-jari tertentu.
Ada beberapa jenis konjugasi busur dua lingkaran dengan busur jari-jari tertentu: eksternal, internal dan campuran.
Bangunan pasangan internal.
sebuah). jari-jari lingkaran kawin R1 dan R2;
B). jarak l1 dan l2 antara pusat busur ini;
v). radius R dari busur kawin.
Diperlukan:
b) tentukan titik konjugasi s1 dan s2;
c) melakukan busur konjugasi.
Menurut jarak yang diberikan antara pusat l1 dan l2, pusat O dan O1 ditandai dalam gambar, di mana busur kawin dari jari-jari R1 dan R2 dijelaskan. Busur lingkaran bantu ditarik dari pusat O1 dengan jari-jari sama dengan perbedaan antara jari-jari busur konjugasi R dan konjugat R2, dan dari pusat O - jari-jari sama dengan perbedaan antara jari-jari busur konjugasi R dan konjugasi R1. Busur bantu akan berpotongan di titik O2, yang akan menjadi pusat busur konjugasi yang diinginkan.
Untuk mencari titik konjugasi, titik O2 dihubungkan dengan titik O dan O1 dengan garis lurus. Titik potong perpanjangan garis lurus 2О dan 2О1 dengan busur terkonjugasi adalah titik konjugasi yang diperlukan (titik s dan s1).
Dengan jari-jari R dari pusat O2, gambarkan busur kawin antara titik kawin s dan s1.
Bangunan pasangan eksternal.
b) jarak l1 dan l2 antara pusat busur ini;
c) jari-jari R busur konjugasi.
Diperlukan:
a) untuk menentukan posisi pusat O2 dari busur kawin;
c) tentukan titik konjugasi s dan s1;
c) melakukan busur konjugasi.
Perkawinan eksternal ditunjukkan pada Gambar. 18, b. Menurut jarak yang diberikan antara pusat l1 dan l2, titik O dan O1 ditemukan dalam gambar, dari mana mereka menggambarkan busur kawin jari-jari R1 dan R2. Dari pusat O gambarlah busur bantu lingkaran dengan jari-jari sama dengan jumlah jari-jari busur konjugasi R1 dan konjugat R, dan dari pusat O1 dengan jari-jari sama dengan jumlah jari-jari busur konjugasi R2 dan konjugat R. Busur bantu akan berpotongan di titik O2, yang akan menjadi pusat busur konjugat yang diinginkan.
Untuk mencari titik konjugasi, pusat-pusat busur dihubungkan oleh garis lurus O2 dan O2O2. Kedua garis lurus ini memotong busur terkonjugasi di titik konjugasi s dan s1. Busur konjugasi ditarik dari pusat O2 dengan jari-jari R, membatasinya ke titik konjugasi s1 dan s.
Konstruksi pasangan campuran.
a) jari-jari R1 dan R2 dari busur konjugasi lingkaran;
b) jarak l1 dan l2 antara pusat busur ini;
c) jari-jari R busur konjugasi.
Diperlukan:
a) untuk menentukan posisi pusat O2 dari busur kawin;
b) tentukan titik konjugasi s dan s1;
c) melakukan busur konjugasi.
Menurut jarak yang diberikan antara pusat l1 dan l2, pusat O dan O1 ditandai dalam gambar, di mana busur kawin dari jari-jari R1 dan R2 dijelaskan. Dari pusat O, busur lingkaran bantu digambar dengan jari-jari yang sama dengan jumlah jari-jari busur konjugasi R1 dan konjugat R, dan dari pusat O1 dengan jari-jari yang sama dengan selisih jari-jari R dan R2. Busur bantu akan berpotongan di titik O2, yang akan menjadi pusat busur kawin yang diinginkan.
Dengan menghubungkan titik O dan O2 dengan garis lurus, diperoleh titik konjugasi s1; menghubungkan titik O1 dan O2, tentukan titik konjugasi s. Dari pusat O2 tarik busur konjugasi dari s ke s1.
Saat menggambar kontur suatu bagian, Anda perlu mencari tahu di mana ada transisi yang mulus, dan membayangkan di mana Anda perlu melakukan jenis perkawinan tertentu.
Untuk memperoleh keterampilan membangun konjugasi, latihan dilakukan untuk menggambar kontur bagian-bagian yang kompleks. Sebelum latihan, Anda perlu meninjau tugas, menguraikan urutan membangun pasangan, dan hanya setelah itu melanjutkan ke pelaksanaan konstruksi.
Kurva Tema.
Informasi Umum. Aturan untuk menggunakan pola. Konstruksi kurva lengkung: elips, parabola, hiperbola, cycloid, sinusoid, involute, spiral Archimedes. Kerja praktis. Latihan menggambar kurva lengkung
Garis lengkung korobovy.
Beberapa bagian mesin, perkakas untuk pengerjaan logam memiliki kontur yang dibatasi oleh garis lengkung tertutup, yang terdiri dari busur lingkaran yang saling berkonjugasi dengan diameter berbeda.
Kurva korobovy adalah kurva yang dibentuk oleh konjugasi busur lingkaran. Kurva ini termasuk oval, bulat telur, ikal.
Membangun oval.
Oval adalah kurva seperti kotak tertutup dengan dua sumbu simetri.
Urutan pembuatan oval untuk ukuran tertentu dari sumbu utama oval AB dilakukan sebagai berikut (Gbr., A). Sumbu AB dibagi menjadi tiga bagian yang sama (AO1, O1O2, O2B). Dengan jari-jari yang sama dengan O1O2, dibuat lingkaran dari titik-titik pembagian O1 dan O2, berpotongan di titik m dan n.
Menghubungkan titik n dan m dengan titik O1 dan O2, Anda mendapatkan garis lurus nО1, nО2, mО1, mО2, yang berlanjut hingga berpotongan dengan lingkaran. Titik yang dihasilkan 1,2,3, dan 4 adalah titik konjugasi busur. Dari titik m dan n, seperti dari pusat, dengan jari-jari R1 sama dengan n2 dan m3, busur atas 12 dan busur bawah 34 ditarik.
Gambarlah sumbu AB dan CD. Dari titik perpotongannya dengan jari-jari OS (setengah dari sumbu minor oval), sebuah busur ditarik hingga berpotongan dengan sumbu mayor oval AB di titik N. Titik A dihubungkan dengan garis lurus dengan titik C dan segmen NB diletakkan di atasnya dari titik C, diperoleh titik N. Di tengah segmen AN1 mengembalikan tegak lurus dan melanjutkannya sampai persimpangan dengan sumbu mayor dan minor oval di titik O1 dan n. Jarak OO1 diplot sepanjang sumbu mayor oval di sebelah kanan titik O, dan jarak dari titik O diplot ke atas sepanjang sumbu minor oval, diperoleh titik n1 dan O2. Titik n dan n1 adalah pusat busur atas 12 dan busur bawah 34 dari oval, dan titik O1 dan O2 adalah pusat busur 13 dan 24. Oval yang diinginkan diperoleh.
Bangun ikal.
Curl adalah kurva spiral datar yang digambar dengan kompas dengan mengkonjugasikan busur lingkaran.
Konstruksi ikal dilakukan saat menggambar detail seperti pegas dan pemandu spiral.
Konstruksi berbentuk bulat telur.
Ovoid adalah kurva melengkung tertutup dengan hanya satu sumbu simetri. Jari-jari R dan R1 busur lingkaran yang pusatnya terletak pada sumbu simetri bulat telur tidak sama satu sama lain.
Konstruksi ovoid sepanjang sumbu AB tertentu dilakukan dalam urutan berikut.
Gambarlah sebuah lingkaran dengan diameter sama dengan sumbu AB dari ovoid. Garis lurus ditarik dari titik A dan B melalui titik O1 (titik perpotongan lingkaran berjari-jari R dengan sumbu simetri). Busur An dan Bm ditarik dari titik A dan B, seperti dari pusat dengan jari-jari R2 sama dengan sumbu AB, dan busur kecil berbentuk bulat telur nm ditarik dari pusat O1 dengan jari-jari R1.
Ikal dibangun dari dua, tiga atau lebih pusat dan tergantung pada bentuk dan ukuran "mata", yang dapat berupa lingkaran, segitiga biasa, segi enam, dll. Urutan untuk membangun curl adalah sebagai berikut.
Kontur "mata" digambar dalam garis tipis, misalnya, lingkaran dengan diameter O1O2. Dari titik O1 dan O2, seperti dari pusat, dua setengah lingkaran terkonjugasi satu sama lain. Setengah lingkaran atas O21 dari pusat O1, setengah lingkaran bawah 12 dari pusat O2. Ternyata ikal yang diinginkan.
kurva.
Saat membuat gambar, Anda sering kali harus menggunakan kurva menggambar yang terdiri dari sejumlah bagian kawin yang tidak dapat digambar dengan kompas. Kurva seperti itu biasanya dibangun sesuai dengan serangkaian titik miliknya, yang kemudian dihubungkan dengan garis halus, pertama dengan tangan dengan pensil, dan kemudian digariskan dengan bantuan pola.
Kurva lengkung yang ditinjau terletak pada bidang yang sama dan oleh karena itu disebut datar.
Kurva banyak digunakan dalam teknik mesin untuk menguraikan berbagai detail teknis, misalnya: kurung, pengaku, cam, roda gigi, alat berbentuk, dll.
Kurva termasuk elips, parabola, hiperbola, cycloid, epicycloid, involute, sinusoid, spiral Archimedes, dll.
Di bawah ini adalah metode untuk membangun kurva yang paling sering ditemui dalam teknologi.
Membuat elips.
Elips adalah kurva bidang tertutup, jumlah jarak setiap titik ke dua titik tertentu (fokus) yang terletak pada sumbu utama adalah nilai konstan yang sama dengan panjang sumbu utama.
Teknik yang banyak digunakan untuk membuat elips di sepanjang sumbu mayor (AB) dan minor (CD).
Gambarlah dua garis tengah yang tegak lurus. Kemudian, dari pusat O, segmen-segmen yang sama dengan panjang semisumbu minor diletakkan ke atas dan ke bawah sepanjang sumbu vertikal, dan segmen-segmen yang sama dengan panjang semisumbu mayor ke kiri dan ke kanan sepanjang sumbu horizontal.
Dari pusat O dengan jari-jari OA dan OS, ditarik dua lingkaran konsentris dan sejumlah diameter sinar. Dari titik-titik perpotongan sinar-sinar dengan lingkaran, ditarik garis-garis yang sejajar dengan sumbu-sumbu elips, sampai berpotongan di titik-titik yang termasuk ke dalam elips. Titik-titik yang dihasilkan dihubungkan dengan tangan dan dilacak di sepanjang pola.
Konstruksi parabola.
Parabola adalah kurva bidang, yang setiap titiknya berjarak sama dari direktriks DD1 dari garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu simetri parabola, dan dari fokus titik-F yang terletak pada sumbu simetri parabola.
Jarak KF antara direktriks dan fokus disebut parameter p parabola. Titik O, yang terletak pada sumbu simetri, disebut titik parabola dan membagi parameter p menjadi dua.
Untuk membuat parabola untuk nilai parameter p yang diberikan, gambar sumbu simetri parabola (secara vertikal pada gambar) dan letakkan segmen KF = p. Direktriks DD1 ditarik melalui titik K tegak lurus terhadap sumbu simetri. Segmen KF dibagi dua dan titik O parabola diperoleh. Dari atas O ke bawah pada sumbu simetri, sejumlah titik arbitrer I-IV ditandai dengan jarak yang meningkat secara bertahap di antara mereka. Melalui titik-titik ini, garis lurus bantu ditarik, tegak lurus terhadap sumbu simetri. Pada garis bantu dari fokus F dibuat serif dengan radius sama dengan jarak dari garis ke directrix. Misalnya, dari titik F pada garis lurus bantu yang melalui titik V, dibuat perpotongan dengan busur R1 = KV; titik yang dihasilkan 5 milik parabola.
Dalam pembuatan peralatan mesin dan cabang lain dari teknik mesin, bagian sering digunakan, garis kontur yang dibuat dalam parabola, misalnya, dudukan dan selongsong mesin bor radial.
Merencanakan gelombang sinus.
Gelombang sinus adalah kurva datar yang mewakili perubahan sinus sebagai fungsi dari perubahan sudut.
Nilai L disebut panjang gelombang sinusoidal, L = PR.
Untuk membangun sinusoidal, sumbu horizontal digambar dan panjang tertentu AB diletakkan di atasnya (Gbr. 24) Segmen AB dibagi menjadi beberapa bagian yang sama, misalnya dengan 12. Di sebelah kiri, buat lingkaran, jari-jari yang sama dengan besarnya amplitudo, dan membaginya juga menjadi 12 bagian yang sama ; titik-titik pemisah diberi nomor dan garis-garis horizontal ditarik melaluinya. Dari titik-titik pembagi segmen AB, tegak lurus dikembalikan ke sumbu sinusoidal dan titik-titik sinusoidal ditemukan pada perpotongannya dengan garis horizontal.
Titik-titik yang dihasilkan dari sinusoidal a1, a2, a3, ... dihubungkan sepanjang potongan kurva.
Saat membuat gambar bagian atau alat, yang permukaannya digariskan sepanjang sinusoidal, nilai panjang gelombang AB biasanya dipilih terlepas dari ukuran amplitudo r. Misalnya, saat menggambar sekrup, panjang gelombang L lebih kecil dari ukuran 2Pr. Sinusoid seperti itu disebut terkompresi. Jika panjang gelombang lebih besar dari ukuran 2Pr, maka sinusoidal disebut memanjang.
Konstruksi hiperbola.
Hiperbola adalah kurva datar, terdiri dari dua cabang terbuka yang terletak simetris (Gbr. 25). Selisih antara jarak dari setiap titik hiperbola ke dua titik tertentu (fokus F dan F1) adalah nilai konstan dan sama dengan jarak antara simpul hiperbola A dan B.
Pertimbangkan teknik membangun hiperbola untuk simpul A dan B yang diberikan dan panjang fokus FF1
Dengan membagi panjang fokus FF1 menjadi dua, diperoleh titik O, dari mana setengah jarak yang diberikan antara simpul A dan B diletakkan di kedua sisi. Turun dari fokus F, sejumlah titik arbitrer 1,2,3, 4 diuraikan ... dengan jarak yang meningkat secara bertahap di antara mereka. ... Dari fokus F, gambarkan busur lingkaran bantu dengan jari-jari R sama, misalnya, dengan jarak dari titik puncak hiperbola B ke titik 3. Dari fokus F1 gambar busur kedua lingkaran bantu dengan jari-jari r sama dengan jarak dari titik A ke titik 3. Pada perpotongan busur ini, temukan titik C dan C1 yang termasuk dalam hiperbola. Titik-titik hiperbola yang tersisa ditemukan dengan cara yang sama.
Bab 3. BEBERAPA KONSTRUKSI GEOMETRIK
14. Informasi umum
Saat melakukan pekerjaan grafis, Anda harus menyelesaikan banyak masalah konstruksi. Tugas yang paling umum dalam hal ini adalah membagi segmen garis, sudut dan lingkaran menjadi bagian yang sama, membangun berbagai konjugasi garis lurus dengan busur lingkaran dan busur lingkaran di antara mereka sendiri. Perkawinan adalah transisi mulus dari busur lingkaran ke garis lurus atau ke busur lingkaran lain.
Tugas paling umum untuk konstruksi konjugasi berikut: dua garis lurus dengan busur lingkaran (sudut pembulatan); dua busur lingkaran dalam satu garis lurus; dua busur lingkaran dengan busur ketiga; busur dan busur kedua lurus.
Pembuatan fillet dikaitkan dengan definisi grafis dari pusat dan titik fillet. Saat membuat konjugasi, tempat titik geometris banyak digunakan (garis lurus bersinggungan dengan lingkaran; lingkaran bersinggungan satu sama lain). Hal ini karena didasarkan pada ketentuan dan teorema geometri.
10. Pertanyaan untuk pemeriksaan diri
PERTANYAAN UNTUK TEST SENDIRI
15. Kurva datar apa yang disebut involute?
15. Pembagian segmen garis
15. Pembagian segmen garis
Untuk membagi segmen tertentu AB menjadi dua bagian yang sama, titik awal dan akhir diambil sebagai pusat dari mana busur ditarik dengan jari-jari melebihi setengah dari segmen AB. Busur ditarik ke persimpangan bersama, di mana poin diperoleh DENGAN dan D. Garis yang menghubungkan titik-titik tersebut akan membagi ruas garis pada titik tersebut KE menjadi dua bagian yang sama (gbr. 30, sebuah).
Untuk membagi segmen AB untuk sejumlah bagian yang sama P, pada setiap sudut lancip ke AB garis lurus tambahan ditarik, di mana dari titik lurus yang diberikan bersama mereka terletak P bagian yang sama dengan panjang sewenang-wenang (Gbr. 30, B). Dari titik terakhir (dalam gambar - yang keenam) tarik garis lurus ke titik V dan melalui titik 5, 4, 3, 2, 1, garis lurus ditarik sejajar dengan segmen 6B. Ini adalah garis lurus dan akan dipotong pada segmen AB sejumlah segmen yang sama (dalam hal ini, 6).
Beras. 30 Pembagian segmen tertentu AB menjadi dua bagian yang sama
Gambar:
16. Pembagian lingkaran
16. Pembagian lingkaran
Untuk membagi lingkaran menjadi empat bagian yang sama, gambar dua diameter yang saling tegak lurus: di persimpangannya dengan lingkaran, kami memperoleh titik yang membagi lingkaran menjadi empat bagian yang sama (Gbr. 31, a).
Untuk membagi lingkaran menjadi delapan bagian yang sama, busur yang sama dengan bagian keempat lingkaran dibelah dua. Untuk melakukan ini, dari dua titik yang membatasi seperempat busur, seperti dari pusat jari-jari lingkaran, mereka membuat takik di luarnya. Titik-titik yang dihasilkan terhubung ke pusat lingkaran dan di persimpangannya dengan garis lingkaran, titik diperoleh membagi seperempat bagian menjadi dua, yaitu, delapan bagian lingkaran yang sama diperoleh (Gbr. 31, B).
Lingkaran dibagi menjadi dua belas bagian yang sama besar sebagai berikut. Bagilah lingkaran menjadi empat bagian dengan diameter yang saling tegak lurus. Mengambil titik potong diameter dengan lingkaran A, B, C, D di belakang pusat, dengan ukuran jari-jari, empat busur ditarik sampai berpotongan dengan lingkaran. Mendapatkan poin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan poin A, B, C, D bagilah lingkaran menjadi dua belas bagian yang sama (Gbr. 31, c).
Menggunakan jari-jari, mudah untuk membagi lingkaran menjadi 3, 5, 6, 7 bagian yang sama.
Beras. 31 Menggunakan jari-jari, mudah untuk membagi lingkaran menjadi beberapa bagian yang sama.
Gambar:
17. Sudut pembulatan
17. Pembulatan sudut
Konjugasi dua garis lurus yang berpotongan dengan busur dengan jari-jari tertentu disebut pembulatan sudut. Ini dilakukan sebagai berikut (Gbr. 32). Sejajar dengan sisi sudut data
garis lurus, garis bantu ditarik pada jarak yang sama dengan jari-jari. Titik perpotongan garis konstruksi adalah pusat busur fillet.
Dari pusat yang diterima HAI tegak lurus diturunkan ke sisi sudut tertentu dan di persimpangan mereka mereka mendapatkan titik konjugasi A dan B Di antara titik-titik ini gambarlah busur kawin dengan jari-jari R dari pusat HAI.
Beras. 32 Konjugasi dua garis lurus yang berpotongan dengan busur dengan radius tertentu disebut sudut pembulatan.
Gambar:
18. Konjugasi busur lingkaran dengan garis lurus
18. Konjugasi busur lingkaran dengan garis lurus
Saat membangun konjugasi busur lingkaran dengan garis lurus, dua masalah dapat dipertimbangkan: garis lurus terkonjugasi memiliki tangensi eksternal atau internal. Dalam tugas pertama (gbr. 33, sebuah) dari pusat busur
radius lebih kecil R1 menggambar garis singgung ke lingkaran bantu yang ditarik oleh jari-jari R- RI. Titik sentuhnya Ke digunakan untuk membangun titik kawin SEBUAH pada busur radius R.
Untuk mendapatkan pasangan kedua 1 pada busur radius R 1 menggambar garis bantu 1 1 paralel Tentang sebuah. Titik A dan 1 segmen garis singgung luar akan dibatasi.
Masalah membangun garis singgung internal (Gbr. 33, B) diselesaikan jika lingkaran bantu dibangun dengan jari-jari sama dengan R + R 1,
Beras. 33 Fillet busur lingkaran dengan garis lurus
Gambar:
19. Konjugasi dua busur lingkaran dengan busur ketiga
19. Konjugasi dua busur lingkaran dengan busur ketiga
Ketika membangun konjugasi dua busur lingkaran dengan busur ketiga dari jari-jari tertentu, tiga kasus dapat dipertimbangkan: ketika busur konjugasi jari-jari R menyentuh jari-jari busur yang diberikan R 1 dan R 2 dari luar (Gbr. 34, a); ketika dia menciptakan tangensi dalam (gbr. 34, B); ketika sentuhan dalam dan luar digabungkan (Gbr. 34, c).
Membangun pusat HAI radius busur kawin R ketika disentuh secara eksternal, itu dilakukan dengan urutan sebagai berikut: dari pusat sekitar 1 radius sama dengan R + R 1, melakukan busur bantu, dan dari pusat O 2 melakukan busur bantu dengan jari-jari R + R 2. Di persimpangan busur, pusat diperoleh HAI radius busur kawin R, dan di persimpangan dengan jari-jari R + R 1 dan R + R 2 s busur lingkaran mendapatkan titik konjugasi SEBUAH dan A 1.
Membangun pusat HAI ketika menyentuh secara internal berbeda dengan yang dari pusat sekitar 1 R- R 1 a dari pusat Tentang 2 radius R- R 2. Saat menggabungkan sentuhan internal dan eksternal dari pusat sekitar 1 menggambar lingkaran bantu dengan jari-jari sama dengan R- R1, dan dari pusat Tentang 2- radius sama dengan R + R 2.
20. Konjugasi busur lingkaran dan garis lurus dengan busur kedua
20. Konjugasi busur lingkaran dan garis lurus dengan busur kedua
Dua kasus dapat dipertimbangkan di sini: konjugasi eksternal (Gbr. 35, a) dan internal (Gbr. 35, B). Dalam kedua kasus, ketika membangun busur jari-jari kawin R pusat kawin HAI terletak di perpotongan titik-titik geometris, yang berjarak sama dari garis lurus dan busur jari-jari R dengan jumlah R1
Saat membuat pasangan eksternal sejajar dengan garis lurus yang diberikan pada jarak R 1 garis bantu ditarik ke arah lingkaran, dan dari pusat HAI radius sama dengan R + R 1,- lingkaran bantu, dan sebuah titik diperoleh di persimpangannya sekitar 1- pusat lingkaran kawin. Dari pusat ini dengan radius R menggambar busur kawin antara titik SEBUAH dan 1, yang konstruksinya dapat dilihat dari gambar.
Konstruksi konjugasi internal berbeda dengan konstruksi dari pusat HAI melakukan busur bantu dengan jari-jari sama dengan R- R1
Gbr. 34 Konjugasi eksternal busur lingkaran dan garis lurus dengan busur kedua
Gambar:
Gbr. 35 Konjugasi internal busur lingkaran dan garis lurus dengan busur kedua
Gambar:
21. Oval
21. oval
Kurva cembung halus yang digariskan oleh busur lingkaran dengan jari-jari berbeda disebut oval. Oval terdiri dari dua lingkaran pendukung dengan fillet internal di antaranya.
Ada oval tiga pusat dan multi-pusat. Saat menggambar banyak bagian, misalnya cam, flensa, penutup, dan lainnya, konturnya digariskan dengan oval. Mari kita pertimbangkan contoh membangun oval di sepanjang sumbu yang diberikan. Biarkan untuk oval empat pusat yang digariskan oleh dua busur jari-jari pendukung R dan dua busur konjugasi berjari-jari r , set sumbu utama AB dan sumbu minor CD. Ukuran jari-jari R u r harus ditentukan oleh konstruksi (Gbr. 36). Hubungkan ujung sumbu mayor dan minor dengan ruas A DENGAN, di mana kita menunda perbedaan CE semiax mayor dan minor dari oval. Gambarlah garis tegak lurus ke tengah segmen AF, yang akan melintasi sumbu mayor dan minor oval pada titik-titik sekitar 1 dan Tentang 2. Titik-titik ini akan menjadi pusat busur kawin oval, dan titik kawin akan terletak pada tegak lurus itu sendiri.
Beras. 36 Kurva cembung halus yang dibatasi oleh busur lingkaran dengan jari-jari berbeda disebut oval
22. Kurva
22. Kurva lateral
Lengkung disebut kurva bidang yang digambar dengan bantuan templat dari titik-titik yang dibangun sebelumnya. Kurva meliputi: elips, parabola, hiperbola, sikloid, sinusoid berevolusi, dll.
Elips adalah kurva bidang tertutup dari orde kedua. Hal ini ditandai dengan fakta bahwa jumlah jarak dari salah satu dari itu
Beras. 37
titik ke dua titik fokus adalah nilai konstan yang sama dengan sumbu elips yang lebih besar. Ada beberapa cara untuk membuat elips. Misalnya, Anda dapat membuat elips dari ukurannya yang besar AB dan kecil CD sumbu (Gbr. 37, a). Pada sumbu elips, seperti pada diameter, dua lingkaran dibangun, yang dapat dibagi dengan jari-jari menjadi beberapa bagian. Melalui titik-titik pembagian lingkaran besar, garis-garis lurus ditarik sejajar dengan sumbu minor elips, dan melalui titik-titik pembagian lingkaran kecil - garis lurus sejajar dengan sumbu utama elips. Titik potong garis tersebut adalah titik elips.
Anda dapat memberikan contoh konstruksi elips untuk dua diameter konjugat (Gbr. 37, b ) MN dan KL. Dua diameter disebut konjugat jika masing-masing dari mereka membagi dua tali busur sejajar dengan diameter lain. Jajar genjang dibangun di atas diameter konjugat. Salah satu diameter M N dibagi menjadi bagian yang sama; sisi jajar genjang, sejajar dengan diameter lain, dibagi menjadi bagian yang sama, penomoran mereka, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dari ujung diameter konjugat kedua KL sinar dilewatkan melalui titik-titik pemisah. Di persimpangan sinar dengan nama yang sama, titik-titik elips diperoleh.
Parabola disebut kurva terbuka orde kedua, semua titik yang sama jauhnya dari satu titik - fokus dan dari garis lurus tertentu - direktriks.
Pertimbangkan contoh membangun parabola di sepanjang titiknya HAI dan titik apapun V(gbr. 38, sebuah). DENGAN untuk tujuan ini membangun persegi panjang OABC dan membagi sisi-sisinya menjadi bagian yang sama, sinar diambil dari titik-titik pembagian. Di perpotongan sinar dengan nama yang sama, titik-titik parabola diperoleh.
Anda dapat memberikan contoh membuat parabola dalam bentuk kurva yang bersinggungan dengan garis lurus dengan titik-titik yang diberikan padanya. SEBUAH dan V(gbr. 38, B). Sisi-sisi sudut yang dibentuk oleh garis-garis ini dibagi menjadi bagian yang sama dan
titik-titik pembagian diukur. Titik-titik dengan nama yang sama dihubungkan oleh garis lurus. Parabola digambar sebagai amplop dari garis-garis ini.
Hiperbola adalah bidang kurva tak-tertutup orde kedua, terdiri dari dua cabang, yang ujung-ujungnya bergerak hingga tak terhingga, cenderung ke asimtotnya. Hiperbola berbeda karena setiap titik memiliki sifat khusus: perbedaan antara jaraknya dari dua titik fokus yang diberikan adalah nilai konstan yang sama dengan jarak antara simpul kurva. Jika asimtot hiperbola saling tegak lurus, disebut sama kaki. Hiperbola sama kaki banyak digunakan untuk membuat berbagai diagram ketika satu titik diberikan oleh koordinatnya. M(gbr. 38, v). Dalam hal ini, garis ditarik melalui titik yang diberikan AB dan KL sejajar dengan sumbu koordinat. Dari titik potong yang diperoleh, ditarik garis sejajar dengan sumbu koordinat. Di persimpangan mereka, titik hiperbola diperoleh.
Pusat kawin- titik yang berjarak sama dari garis kawin. Dan titik yang sama untuk garis-garis ini disebut titik konjugasi .
Pasangan diciptakan menggunakan kompas.
Jenis pasangan berikut dimungkinkan:
1) konjugasi garis lurus yang berpotongan menggunakan busur dengan radius tertentu R (pembulatan sudut);
2) konjugasi busur lingkaran dan garis lurus menggunakan busur dengan radius tertentu R;
3) konjugasi busur lingkaran jari-jari R 1 dan R 2 dengan garis lurus;
4) konjugasi busur dua lingkaran berjari-jari R 1 dan R 2 oleh busur berjari-jari R tertentu (konjugasi eksternal, internal dan campuran).
Dengan konjugasi eksternal, pusat busur kawin berjari-jari R 1 dan R 2 terletak di luar busur kawin berjari-jari R. Dengan perkawinan internal, pusat-pusat busur kawin terletak di dalam busur kawin berjari-jari R. Dalam konjugasi campuran, pusat salah satu busur kawin terletak di dalam busur kawin berjari-jari R, dan pusat busur kawin lainnya - di luarnya.
Meja 1 menunjukkan konstruksi dan memberikan penjelasan singkat tentang konstruksi konjugasi sederhana.
RekanTabel 1
| Contoh pasangan sederhana | Merencanakan Teman | Penjelasan singkat tentang konstruksi |
| 1. Konjugasi garis berpotongan menggunakan busur dengan radius tertentu R. | Gambarlah garis lurus sejajar dengan sisi sudut pada jarak R. Dari titik HAI persimpangan timbal balik dari garis-garis lurus ini, menjatuhkan tegak lurus ke sisi sudut, kita mendapatkan titik konjugasi 1 dan 2 . Radius R menggambar busur. | |
| 2. Konjugasi busur lingkaran dan garis lurus menggunakan busur dengan jari-jari tertentu R. |  | Pada jarak R tarik garis lurus sejajar dengan garis lurus yang diberikan, dan dari pusat O 1 dengan jari-jari R + R 1- busur lingkaran. Dot HAI- pusat busur kawin. Titik 2 kita mendapatkan garis tegak lurus yang ditarik dari titik O ke garis lurus yang diberikan, dan titik 1 - pada garis lurus OO 1. |
| 3. Konjugasi busur dua lingkaran berjari-jari R 1 dan R 2 garis lurus. |  | Dari titik O 1 buat lingkaran dengan jari-jari R 1 - R 2. Bagilah segmen O 1 O 2 menjadi dua dan gambar busur dengan jari-jari 0,5 dari titik O 3 O 1 O 2. Hubungkan titik O 1 dan O 2 dengan titik SEBUAH. Dari titik O 2 turunkan tegak lurus terhadap garis lurus AO2, Poin 1.2 - titik konjugasi. |
Lanjutan dari tabel 1
| 4. Konjugasi busur dua lingkaran berjari-jari R 1 dan R 2 busur radius tertentu R(pasangan eksternal). |  | Dari pusat O 1 dan O2 menggambar jari-jari busur R + R 1 dan R + R 2. O 1 dan 2 dengan titik 1 dan 2 adalah titik konjugasi. |
| 5. Konjugasi busur dua lingkaran berjari-jari R 1 dan R 2 busur radius tertentu R(pasangan internal). |  | Dari pusat O 1 dan O2 menggambar jari-jari busur R-R 1 dan R-R 2. Kami mengerti maksudnya HAI- pusat busur kawin. Hubungkan titik-titik O 1 dan O 2 dengan titik O ke perpotongan dengan lingkaran yang diberikan. Poin 1 dan 2- titik konjugasi. |
| 6. Konjugasi busur dua lingkaran berjari-jari R 1 dan R 2 busur radius tertentu R(konjugasi campuran). |  | Dari pusat O 1 dan O 2 tarik busur jari-jari R- R 1 dan R + R 2. Kami mendapatkan titik O - pusat busur konjugasi. Hubungkan titik-titik O 1 dan O 2 dengan titik O ke perpotongan dengan lingkaran yang diberikan. Poin 1 dan 2- titik konjugasi. |
kurva kurva
Ini adalah garis lengkung, yang kelengkungannya terus berubah pada setiap elemennya. Kurva tidak dapat digambar dengan kompas; kurva digambar dari serangkaian titik. Saat menggambar kurva, rangkaian titik yang dihasilkan dihubungkan sepanjang suatu pola, oleh karena itu disebut garis lengkung. Keakuratan membangun kurva melengkung meningkat dengan peningkatan jumlah titik tengah pada bagian kurva.
Kurva melengkung termasuk apa yang disebut bagian datar kerucut - elips, parabola, hiperbola, yang diperoleh sebagai hasil pemotongan kerucut melingkar oleh bidang. Kurva seperti itu dipertimbangkan ketika mempelajari kursus "Geometri Deskriptif". Kurva juga termasuk: rumit, gelombang sinus, spiral Archimedes, kurva sikloidal.
Elips- tempat kedudukan titik, jumlah jaraknya ke dua titik tetap (fokus) adalah nilai konstan.
Metode yang paling banyak digunakan untuk membangun elips sepanjang sumbu AB dan CD yang diberikan. Saat membangun, dua lingkaran konsentris digambar, yang diameternya sama dengan sumbu elips yang diberikan. Untuk membangun 12 titik elips, lingkaran dibagi menjadi 12 bagian yang sama dan titik-titik yang dihasilkan dihubungkan ke pusat.
dalam gambar. 15 menunjukkan konstruksi enam titik dari bagian atas elips; bagian bawah ditarik dengan cara yang sama.
Rumit- adalah lintasan titik lingkaran yang dibentuk oleh pembukaan dan pelurusannya (pembukaan lingkaran).
Konstruksi involute untuk diameter lingkaran tertentu ditunjukkan pada Gambar. 16. Lingkaran dibagi menjadi delapan bagian yang sama. Dari titik 1, 2, 3 tarik garis singgung ke lingkaran, diarahkan ke satu arah. Pada garis singgung terakhir, langkah involute disisihkan, sama dengan keliling
(2 pR), dan segmen yang dihasilkan juga dibagi menjadi 8 bagian yang sama. Menempatkan satu bagian pada garis singgung pertama, dua bagian pada garis kedua, tiga bagian pada garis ketiga, dst., kita mendapatkan titik-titik involute.
Kurva sikloid- garis lengkung bidang, dijelaskan oleh titik milik lingkaran, menggelinding tanpa meluncur sepanjang garis lurus atau lingkaran. Jika lingkaran menggelinding sepanjang garis lurus, maka titik tersebut menggambarkan kurva yang disebut cycloid.
Konstruksi cycloid untuk diameter lingkaran tertentu d ditunjukkan pada Gambar. 17.
Beras. 17
Lingkaran dan segmen 2pR dibagi menjadi 12 bagian yang sama. Sebuah garis lurus sejajar dengan segmen ditarik melalui pusat lingkaran. Garis tegak lurus ditarik dari titik-titik pemisah segmen ke garis lurus. Pada titik-titik perpotongannya dengan garis lurus, kita mendapatkan O 1, O 2, O 3, dst. - pusat lingkaran yang digulung.
Dari pusat-pusat ini kami menggambarkan busur dengan jari-jari R. Melalui titik-titik pembagian lingkaran kami menggambar garis lurus sejajar dengan garis lurus yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran. Di persimpangan garis lurus yang melewati titik 1 dengan busur yang dijelaskan dari pusat O1, ada salah satu titik cycloid; melalui titik 2 dengan yang lain dari pusat O2 - titik lain, dll.
Jika lingkaran menggelinding di sepanjang lingkaran lain, berada di dalamnya (sepanjang bagian cekung), maka titik tersebut menggambarkan kurva yang disebut hiposikloid. Jika sebuah lingkaran menggelinding di sepanjang lingkaran lain, berada di luarnya (sepanjang bagian cembung), maka titik tersebut menggambarkan kurva yang disebut episikloid.
Konstruksi hiposikloid dan episikloid serupa, tetapi alih-alih segmen 2pR, busur lingkaran pemandu diambil.
Konstruksi episikloid sepanjang radius tertentu dari lingkaran bergerak dan diam ditunjukkan pada Gambar. 18. Sudut , yang dihitung dengan rumus
= 180 ° (2r / R), dan lingkaran dengan jari-jari R dibagi menjadi delapan bagian yang sama. Sebuah busur lingkaran dengan jari-jari R + r ditarik dan dari titik O 1, O 2, O 3 .. - lingkaran dengan jari-jari r.
Konstruksi hiposikloid sepanjang jari-jari tertentu dari lingkaran bergerak dan tetap ditunjukkan pada Gambar. 19. Sudut yang dihitung dan lingkaran berjari-jari R dibagi menjadi delapan bagian yang sama. Sebuah busur lingkaran dengan jari-jari R - r ditarik dan dari titik O 1, O 2, O 3 ... - lingkaran dengan jari-jari r.
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik tetap - fokus F dan garis tetap - directrix, tegak lurus terhadap sumbu simetri parabola. Konstruksi parabola sepanjang segmen tertentu OO = AB dan akord CD ditunjukkan pada Gambar 20.
Garis lurus OE dan OS dibagi menjadi jumlah bagian yang sama. Konstruksi lebih lanjut jelas dari gambar.
Hiperbola- tempat kedudukan titik, perbedaan antara jarak dari dua titik tetap (fokus) adalah nilai konstan. Mewakili dua cabang terbuka yang terletak simetris.
Titik konstan hiperbola F 1 dan F 2 adalah fokus, dan jarak antara keduanya disebut titik fokus. Segmen garis yang menghubungkan titik-titik kurva dengan fokus disebut vektor jari-jari. Hiperbola memiliki dua sumbu yang saling tegak lurus - nyata dan imajiner. Garis yang melalui pusat perpotongan sumbu disebut asimtot.
Konstruksi hiperbola untuk panjang fokus tertentu F 1 F 2 dan sudut antara asimtot ditunjukkan pada Gambar. 21. Digambar sebuah sumbu yang panjang fokusnya diplot, yang dibagi dua oleh titik O. Melalui titik O, sebuah lingkaran dengan jari-jari 0,5F 1 F 2 digambar hingga perpotongan di titik C, D, E, K. Menghubungkan titik C dengan D dan E c K, diperoleh titik A dan B adalah simpul hiperbola. Dari titik F 1 ke kiri, tandai titik 1, 2, 3 ... jarak antara yang harus meningkat dengan jarak dari fokus. Busur ditarik dari titik fokus F 1 dan F 2 dengan jari-jari R = B4 dan r = A4 sampai berpotongan. Titik potong 4 merupakan titik hiperbola. Sisa poin dibangun dengan cara yang sama.
sinusoida- kurva datar yang menyatakan hukum perubahan sinus sudut tergantung pada perubahan nilai sudut.
Konstruksi sinusoidal untuk diameter lingkaran d ditunjukkan:
dalam gambar. 22.
Untuk membuatnya, bagi lingkaran ini menjadi 12 bagian yang sama; segmen yang sama dengan panjang lingkaran tertentu (2pR) dibagi menjadi jumlah bagian yang sama. Menggambar garis lurus horizontal dan vertikal melalui titik-titik pemisah, temukan titik-titik sinusoid di perpotongannya.
Spiral Archimedes - uh kemudian kurva datar, digambarkan oleh sebuah titik, yang berputar secara seragam di sekitar pusat tertentu dan pada saat yang sama bergerak menjauh darinya secara merata.
Konstruksi spiral Archimedes untuk diameter lingkaran tertentu D ditunjukkan pada Gambar. 23.
Keliling dan jari-jari lingkaran dibagi menjadi 12 bagian sama besar. Konstruksi lebih lanjut dapat dilihat dari gambar.
Saat membuat konjugasi dan kurva lengkung, seseorang harus menggunakan konstruksi geometris yang paling sederhana - seperti membagi lingkaran atau garis lurus menjadi beberapa bagian yang sama, membagi sudut dan segmen menjadi dua, membangun tegak lurus, garis bagi, dll. Semua konstruksi ini dipelajari dalam disiplin "Menggambar" kursus sekolah, oleh karena itu tidak dibahas secara rinci dalam manual ini.
1.5 Instruksi metodis untuk implementasi
Bentuk banyak bagian memiliki transisi yang mulus dari satu permukaan ke permukaan lainnya (Gbr. 59). Untuk membangun kontur permukaan seperti itu dalam gambar, pasangan digunakan - transisi yang mulus dari satu garis ke garis lainnya.
Untuk menggambar garis fillet, Anda perlu mengetahui pusat, titik, dan radius fillet.
Bagian tengah fillet adalah titik yang berjarak sama dari garis fillet (lurus atau melengkung). Pada titik-titik konjugasi, transisi (singgung) garis terjadi. Jari-jari fillet adalah jari-jari busur fillet yang digunakan untuk fillet.
Beras. 59. Contoh penyambungan halus permukaan tempat roti dan garis pada tonjolan dinding sampingnya
Beras. 60. Konjugasi sudut pada contoh membuat proyeksi dinding samping tempat roti
Pusat fillet harus berada di persimpangan garis yang dibangun tambahan (garis lurus atau busur), berjarak sama dari garis yang ditentukan (garis lurus atau busur) baik dengan nilai jari-jari fillet, atau dengan jarak yang dihitung khusus untuk jenis ini dari fillet.
Titik kawin harus berada di perpotongan garis lurus tertentu dengan garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat kawin ke garis lurus tertentu, atau di perpotongan lingkaran tertentu dengan garis lurus yang menghubungkan pusat kawin dengan pusat lingkaran tertentu. .
Sudut konjugasi. Mari kita perhatikan urutan konjugasi sudut (Gbr. 60) menggunakan contoh membuat proyeksi dinding samping tempat roti:
1) membangun trapesium, secara konvensional mengambilnya untuk gambar bentuk kosong untuk dinding tempat roti;
2) temukan pusat-pusat konjugasi sebagai titik potong garis bantu yang berjarak sama dari sisi trapesium pada jarak yang sama dengan jari-jari konjugasi, dan sejajar dengannya;
3) temukan titik konjugasi - titik persimpangan tegak lurus yang diturunkan ke sisi trapesium dari pusat konjugasi;
4) dari pusat konjugasi, tarik busur dengan jari-jari konjugasi dari satu titik konjugasi ke titik konjugasi lainnya; saat menelusuri gambar yang dihasilkan, pertama-tama buat garis besar busur pasangan, dan kemudian garis kawin.
Konjugasi garis lurus dan lingkaran dengan busur jari-jari tertentu. Mari kita pertimbangkan ini pada contoh membangun proyeksi frontal dari bagian "Dukungan" (Gbr. 61). Kami akan berasumsi bahwa sebagian besar konstruksi proyeksi telah dilakukan; perlu untuk menampilkan transisi yang mulus dari bagian silinder dari permukaan ke yang datar. Untuk melakukan ini, Anda perlu memasangkan lingkaran (busur lingkaran) dengan garis lurus dengan radius tertentu:
1) temukan pusat kawin sebagai titik persimpangan empat garis bantu: dua garis lurus sejajar dengan tepi atas alas "Dukungan" dan jauh darinya pada jarak yang sama dengan jari-jari konjugasi, dan dua busur tambahan berjarak dari busur tertentu (permukaan silinder) dari "Dukungan" dengan jarak yang sama dengan jari-jari fillet;
2) temukan titik-titik konjugasi sebagai titik persimpangan: a) diberikan garis lurus (tepi "Dukungan") dengan garis tegak lurus diturunkan dari pusat konjugasi; b) busur tertentu, yang menggambarkan permukaan silinder penyangga dalam gambar, dengan garis lurus yang menghubungkan pusat perkawinan dengan pusat busur perkawinan;
3) dari pusat konjugasi, tarik busur dengan jari-jari konjugasi dari satu titik konjugasi ke titik konjugasi lainnya. Garis besar gambar.
Konjugasi busur lingkaran dengan busur radius tertentu. Mari kita pertimbangkan ini dengan menggunakan contoh pembuatan proyeksi frontal pemotong kue (Gbr. 62), yang memiliki transisi mulus dari satu permukaan ke permukaan lainnya:
1) menggambar garis tengah vertikal dan horizontal. Temukan pusatnya dan gambar tiga busur dengan jari-jari R;
2) temukan pusat konjugasi dari dua lingkaran atas sebagai titik perpotongan busur bantu dengan jari-jari sama dengan jumlah jari-jari lingkaran (R) dan konjugasi (R 1), yaitu R + R 1;
3) temukan titik konjugasi sebagai titik potong lingkaran yang diberikan dengan garis lurus yang menghubungkan pusat konjugasi dengan pusat lingkaran. Pasangan ini disebut pasangan eksternal;
Beras. 61. Konjugasi busur dan garis lurus pada contoh membangun proyeksi frontal dari bagian "Dukungan"
Beras. 62. Konjugasi tiga busur lingkaran dengan busur jari-jari yang diberikan misalnya
membangun proyeksi frontal dari pemotong kue
4) membangun konjugasi dua lingkaran dengan busur jari-jari konjugasi yang diberikan R 2. Pertama, kami menemukan pusat konjugasi dengan memotong busur lingkaran bantu, yang jari-jarinya sama dengan perbedaan antara jari-jari konjugasi R 2 dan jari-jari lingkaran R, yaitu, R 2 - R. Konjugasi titik diperoleh pada perpotongan lingkaran dengan kelanjutan garis yang menghubungkan pusat konjugasi dengan pusat lingkaran. Gambarlah busur dengan jari-jari R 2 dari pusat konjugasi. Pasangan ini disebut pasangan internal;
5) kami melakukan konstruksi serupa di sisi lain dari sumbu simetri.
& nbsp & nbsp & nbsp Untuk konstruksi gambar dan produksi karya desain grafis yang kompeten dan percaya diri, perancang harus mengetahui hukum dasar konstruksi geometris. Contoh di bawah ini mudah dikuasai dalam praktiknya, menggunakan kompas dan penggaris untuk konstruksi, atau (di komputer) editor grafik vektor apa pun.
Membagi sudut menjadi dua
Dari titik sudut A dari sudut tertentu, bagaimana dari pusat menggambar busur dengan radius sembarang R, yang akan memotong sisi sudut di titik C, B (Langkah 1).
Gambarlah busur dari titik B, seperti dari pusat dengan jari-jari yang sama R (Langkah 2).
Dari titik C, seperti dari pusat dengan jari-jari R yang sama, tarik busur ke perpotongan di titik D (Langkah 3).
Garis lurus yang menghubungkan titik A dan D adalah garis bagi yang diperlukan (Langkah 4).
Pembagian sudut siku-siku menjadi 3 bagian sama besar
Dari titik sudut siku-siku A, seperti dari pusat, gambarlah busur BC dengan radius sembarang R (Langkah 1).
Dari titik B, seperti dari pusat, tarik busur dengan jari-jari R yang sama, sampai berpotongan dengan busur BC di titik D (Langkah 2). 
Dari titik C, seperti dari pusat, tarik busur dengan jari-jari R yang sama, sampai berpotongan dengan busur BC di titik E (Langkah 3).
Gambar garis AD dan AE dari titik A (Langkah 4), yang membagi sudut siku-siku BAC menjadi tiga sudut yang sama besar BAE, EAD dan DAC.
Membagi busur lingkaran menjadi dua
Dari ujung busur AB, Anda harus menggambar busur dengan jari-jari R lebih besar dari atau sama dengan 1/2 dari panjang tali busur AB, yang berpotongan di titik M dan N (Langkah 1).
Sebuah garis lurus yang ditarik melalui titik M dan N membagi busur dan tali busurnya AB menjadi dua dan melalui pusatnya O (Langkah 2). 
Pembagian lingkaran. Membangun persegi.
Metode konstruksi pertama (Gbr. 1). Gambar diameter vertikal dan horizontal dalam lingkaran (Langkah 1).
Titik perpotongan diameter ini dengan lingkaran adalah simpul bujur sangkar (Langkah 2). 
Cara konstruksi kedua (Gbr. 2). Seperti pada metode pertama, kami menggambar diameter vertikal dan horizontal dalam lingkaran. Dari titik perpotongan diameter dengan lingkaran, kami membuat busur dengan jari-jari R sama dengan jari-jari lingkaran (Langkah 1).
Titik potong busur EG dan FH masing-masing dihubungkan oleh garis (Langkah 2). Titik potong garis-garis ini dengan lingkaran adalah titik sudut persegi.
Pembagian lingkaran. Membangun segi enam biasa.
Diameter vertikal harus digambar dalam lingkaran berjari-jari R (Langkah 1).
Dari titik bawah perpotongan diameter dengan lingkaran, seperti dari pusat, gambar busur dengan jari-jari R (Langkah 2). 
Demikian pula, busur jari-jari R harus ditarik dari titik atas perpotongan diameter dengan lingkaran (Langkah 3).
Kami menghubungkan semua titik persimpangan pada lingkaran dan, sebagai hasilnya, kami mendapatkan segi enam biasa (Langkah 4).
Pembagian lingkaran. Membangun segitiga sama sisi.
Diameter vertikal harus digambar dalam lingkaran berjari-jari R (Langkah 1).
Dari titik potong bawah diameter dengan lingkaran, seperti dari pusat, gambar busur dengan jari-jari R yang sama sampai berpotongan dengan lingkaran di titik C dan B (Langkah 2). 
Titik A, B, dan C pada lingkaran merupakan titik sudut segitiga sama sisi (Langkah 3).
Pembagian lingkaran. Membangun segi lima biasa.
Gambarlah dua diameter tegak lurus dalam lingkaran dengan jari-jari R (Langkah 1).
Dari titik A dan B, seperti dari pusat, gambar dua busur berjari-jari R, hingga berpotongan dengan lingkaran (Langkah 2). 
Panjang segmen CE = CF = L adalah sisi panjang segi lima beraturan. Dengan empat busur jari-jari L, tandai lingkaran (Langkah 3).
Titik C dan titik potong busur dengan lingkaran adalah titik sudut segi lima beraturan (Langkah 4).
Pembagian lingkaran. Membangun segi enam biasa.
Sisi segi enam biasa kira-kira sama dengan 1/2 dari sisi segitiga biasa. Oleh karena itu, Anda harus terlebih dahulu membangun alas segitiga biasa (Langkah 1).
Alas segitiga beraturan AB dibagi dua di titik C dengan diameter vertikal lingkaran (Langkah 2). Panjang ruas z = AC adalah panjang sisi segi enam beraturan. 
Jari-jari busur sama dengan z harus dibuat pada lingkaran takik, seperti yang ditunjukkan pada gambar (Langkah 3). Lebih baik memulai konstruksi dari titik teratas D.
Dari titik D, semua titik perpotongan busur dengan lingkaran harus dihubungkan secara seri. Hasilnya, kami mendapatkan segi enam biasa (Langkah 4).
Rekan. Titik kawin.
Perkawinan adalah hubungan antara dua garis, yang memastikan transisi yang mulus dari satu garis ke garis lainnya. Titik blending disebut titik blending. 
Pada titik konjugasi N suatu garis lurus dan lingkaran, garis lurus tersebut menyinggung lingkaran. Dua lingkaran di titik konjugasi memiliki garis singgung yang sama. Titik konjugasi dan pusat lingkaran singgung terletak pada garis lurus yang sama - titik O1, N1, O atau titik O, O2, N2.
Konjugasi dua garis lurus sejajar dengan busur setengah lingkaran.
Mari kita menggambar garis 3, tegak lurus dengan garis paralel 1 dan 2 (Langkah 1).
Bagilah segmen AB menjadi dua (Langkah 2). 
Gambarlah busur setengah lingkaran dengan jari-jari R = AO = OB, yang menghubungkan garis paralel ini dengan mulus (Langkah 3).
Membulatkan sudut siku-siku dengan busur jari-jari R
Diberikan sudut siku-siku dan jari-jari busur R (Langkah 1).
Dari titik sudut, seperti dari pusat, gambar busur dengan radius R yang diberikan, yang memotong sisi sudut di titik B dan C (Langkah 2). 
Dari titik B dan C, seperti dari pusat, tarik busur berjari-jari R sampai berpotongan di titik D (Langkah 3).
Busur berjari-jari DB = R yang ditarik antara titik C dan B membulatkan sudut siku-siku ini (Langkah 4).
Membulatkan sudut tajam dengan busur jari-jari R
Anda diberikan sudut lancip antara garis lurus 1 dan 2 dan radius busur R (Langkah 1).
Mari kita menggambar garis 3 dan 4, masing-masing, sejajar dengan sisi sudut 1 dan 2, pada jarak R dari mereka (Langkah 2). 
Jatuhkan tegak lurus dari titik O ke sisi sudut (Langkah 3).
Basis garis tegak lurus B dan C adalah titik kawin. Mari kita menggambar busur BC dengan jari-jari OB = R, yang mengitari sudut ini (Langkah 4).
Konjugasi dua lingkaran dengan busur dengan radius tertentu R (kasus pertama)
Gambar dua busur 1 dan 2 dengan jari-jari R1 + R dan R2 + R, konsentris pada lingkaran ini (Langkah 1).
Perpotongan busur 1 dan 2 menentukan pusat konjugasi O. Gambarlah garis lurus OO1 dan OO2, yang memotong lingkaran-lingkaran ini di titik konjugasi A1 dan A2 (Langkah 2). 
Dari pusat O dengan jari-jari OA1, gambar busur A1A2 (Langkah 3), yang menghubungkan lingkaran-lingkaran ini dengan mulus.
Konjugasi dua lingkaran dengan busur dengan radius tertentu R (kasus ke-2)
Mari kita menggambar dua busur 1 dan 2 dengan jari-jari R1-R dan R2 + R, konsentris pada lingkaran yang diberikan. Perpotongan busur 1 dan 2 menentukan pusat konjugasi O. Gambarlah garis lurus OO1 dan OO2, yang memotong lingkaran-lingkaran ini di titik konjugasi A1 dan A2 (Langkah 1). 
Dari pusat O dengan jari-jari OA1, gambar busur A1A2, yang menghubungkan lingkaran-lingkaran ini dengan mulus (Langkah 2).
Konjugasi garis lurus dan lingkaran berjari-jari R oleh busur berjari-jari r tertentu (kasus pertama)
Mari kita menggambar garis 3 sejajar dengan garis 1 pada jarak r darinya dan dari pusat O ke busur 2 dengan jari-jari R + r (Langkah 1). 
Gambarlah busur AB dari pusat O1 berjari-jari r, yang dengan mulus menghubungkan garis 1 dan lingkaran berjari-jari R (Langkah 3).
Konjugasi garis lurus dan lingkaran berjari-jari R oleh busur berjari-jari r tertentu (kasus ke-2 r > R)
Mari kita tarik garis 3 sejajar dengan garis 1 pada jarak r darinya dan dari pusat O ke busur 2 dengan jari-jari r - R (Langkah 1).
Titik O1 perpotongan busur 2 dan garis 3 adalah pusat busur berjari-jari r. Tentukan titik konjugasi A dan B dengan menjatuhkan garis tegak lurus dari O1 ke garis 1 dan menghubungkan pusat O dan O1 (Langkah 2). 
Gambarlah busur AB dari pusat O1 berjari-jari r, yang dengan mulus menghubungkan garis 1 dan lingkaran berjari-jari R (Langkah 3).
