Penentuan stabilitas senjata self-propelled. Stabilitas senjata self-propelled, konsep umum stabilitas. Suatu sistem kendali otomatis disebut stabil jika, setelah berhentinya gangguan-gangguan yang menyebabkan penyimpangan dari posisi setimbang, sistem tersebut kembali ke posisi tersebut.

Konsep keberlanjutan

Konsep stabilitas sistem kendali dikaitkan dengan kemampuan untuk kembali ke keadaan setimbang setelah hilangnya kekuatan eksternal yang membawanya keluar dari keadaan tersebut.

Stabilitas adalah sifat suatu sistem untuk kembali ke keadaan semula atau mendekati kondisi tunak setelah keluar dari sistem sebagai akibat dari dampak apa pun.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa stabilitas berkaitan dengan sifat proses sementara dan keadaan sistem setelah berakhirnya proses transisi, yaitu. adalah karakteristik dinamis utama dari sistem. Oleh karena itu, analisis kestabilan sistem kendali otomatis menjadi permasalahan utama dalam teori kendali otomatis.

Bergantung pada sifat proses transisi, ada tiga kasus utama perilaku sistem setelah penerapan pengaruh yang mengganggu:

1) sistem tidak dapat memulihkan keadaan keseimbangannya, nilai variabel yang dikontrol semakin menyimpang dari nilai yang ditentukan (Gambar 6.1, a); proses seperti itu disebut divergen, dan sistemnya disebut tidak stabil;

2) sistem kembali ke keadaan setimbang, nilai variabel yang dikendalikan berbeda dari nilai yang ditentukan sebesar kesalahan statis sistem; proses transisi seperti itu akan bersifat konvergen, dan sistem akan stabil (Gambar 6.1, b);

3) sistem dicirikan oleh gerak periodik tetap; proses seperti itu disebut osilasi tak teredam, dan sistem akan berada di batas stabilitas asimtotik (Gambar 6.1, c).

Gambar 6.1 Perilaku sistem setelah penerapan gangguan

Mari kita pertimbangkan apa yang menentukan stabilitas sistem dan bagaimana hal itu ditentukan. Biarkan dinamika sistem linier dijelaskan dengan persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan:

Penyelesaian persamaan linear tak homogen dalam kasus umum terdiri dari dua komponen:

, (6.2)

kamu mulut (t)- solusi khusus persamaan tak homogen (6.1) dengan ruas kanan, menggambarkan mode paksa sistem, yang ditetapkan pada akhir proses transisi; Kita telah membahas mode tersebut di paragraf sebelumnya;

kamu p (t)- solusi umum persamaan homogen yang menggambarkan proses transien dalam sistem yang disebabkan oleh gangguan tertentu.

Jelas bahwa sistem akan stabil jika proses bersifat sementara kamu p (t), yang disebabkan oleh gangguan apa pun, akan teredam, mis. lembur kamu p (t) akan cenderung nol (Gambar 6.1, b).

Larutan kamu p (t) persamaan diferensial homogen memiliki bentuk:

, (6.3)

C i - konstanta integrasi yang ditentukan oleh kondisi awal dan gangguan;

aku - akar persamaan karakteristik:

Jadi, proses transisi kamu p (t) mewakili jumlah komponen, yang jumlahnya ditentukan oleh jumlah akar aku aku persamaan karakteristik (6.4).

Secara umum, akar-akar persamaan karakteristik bersifat kompleks, membentuk pasangan akar konjugasi:

Di mana sebuah saya bisa positif atau negatif, dan akarnya nyata jika bj =0 dan imajiner jika aku =0.

Setiap pasangan akar tersebut menentukan komponen proses transisi, sama dengan:

dan didefinisikan melalui dan .

Sangat mudah untuk melihat bahwa komponen ini berbentuk sinusoidal: dengan osilasi teredam, jika sebuah saya<0 ; dengan osilasi divergen, jika saya >0; dengan osilasi sinusoidal yang tidak teredam di aku =0.

Jadi, syarat pelemahan komponen proses transisi ini adalah negatifnya bagian nyata dari akar persamaan karakteristik sistem.

Jika b=0, maka prosesnya hanya ditentukan oleh bagian nyata dari root A dan bersifat aperiodik. Secara umum proses transien dalam sistem terdiri dari komponen osilasi dan aperiodik. Jika paling tidak salah satu akar mempunyai bagian real positif, maka akan dihasilkan komponen proses transisi yang divergen dan sistem akan menjadi tidak stabil. Oleh karena itu, kondisi umum untuk pelemahan semua komponen, dan oleh karena itu seluruh proses transisi secara keseluruhan, adalah negativitas dari bagian nyata dari semua akar persamaan karakteristik sistem, yaitu. semua kutub (penyebut nol) dari fungsi alih sistem.

Hal di atas dapat diilustrasikan dengan jelas dengan menggambarkan akar-akar persamaan karakteristik pada bidang kompleks (Gambar 6.2). Dalam hal ini kondisi stabilitas yang terdapat di atas dapat dirumuskan sebagai berikut: kondisi stabilitas suatu sistem adalah letak semua akar persamaan karakteristik sistem, yaitu. kutub fungsi transfer sistem, pada setengah bidang kompleks kiri, atau singkatnya, semua akar harus “kidal”. Adanya akar pada sumbu imajiner berarti sistem berada pada batas kestabilan.

Gambar 6.2 Gambar akar-akar persamaan karakteristik pada bidang kompleks

Jadi, sekilas masalah mempelajari stabilitas tidak menimbulkan kesulitan, karena cukup menentukan letak akar-akar persamaan karakteristik pada bidang kompleks. Namun, menentukan akar persamaan karakteristik orde lebih tinggi dari sepertiga dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, yang menimbulkan masalah dalam mempelajari stabilitas sistem di mana proses dinamis dijelaskan oleh persamaan diferensial orde tinggi.

Solusi parsial terhadap masalah ini telah ditemukan secara tidak langsung. Sejumlah tanda telah dikembangkan yang dengannya seseorang dapat menilai tanda-tanda bagian nyata dari akar-akar persamaan karakteristik sistem dan dengan demikian stabilitas sistem, tanpa menyelesaikan persamaan karakteristik itu sendiri. Dalam hal ini biasanya ada dua rumusan masalah mempelajari kestabilan suatu sistem:

1) semua parameter sistem ditentukan dan perlu ditentukan apakah sistem stabil pada nilai parameter ini;

2) perlu untuk menentukan nilai beberapa parameter (selebihnya diberikan) di mana sistem stabil.

Rumusan matematis dari kondisi yang harus dipenuhi oleh koefisien persamaan karakteristik atau fungsi apa pun dari koefisien tersebut agar sistem menjadi stabil disebut kriteria stabilitas.

Stabilitas sistem kontrol otomatis Keberlanjutan sistem kontrol otomatis, kemampuan sistem kontrol otomatis(ACS) agar berfungsi normal dan tahan terhadap berbagai gangguan (dampak) yang tidak dapat dihindari. Keadaan ACS disebut stabil jika deviasinya tetap kecil untuk setiap perubahan yang cukup kecil pada sinyal masukan. U. Berbagai jenis senjata self-propelled ditentukan dengan metode yang berbeda. Teori persamaan diferensial yang tepat dan teliti untuk sistem yang dijelaskan oleh persamaan diferensial biasa diciptakan oleh A.M. Lyapunov pada tahun 1892.

═ Semua keadaan sistem kendali otomatis linier adalah stabil atau tidak stabil, sehingga kita dapat membicarakan sistem kendali sistem secara keseluruhan. Untuk SLE linier stasioner yang dijelaskan oleh persamaan diferensial biasa, semua akar persamaan karakteristik yang bersesuaian harus memiliki bagian nyata negatif (maka ACS stabil secara asimtotik). Ada berbagai kriteria (kondisi) yang memungkinkan seseorang untuk menilai tanda-tanda akar persamaan karakteristik tanpa menyelesaikan persamaan ini secara langsung dengan koefisiennya. Saat mempelajari U. ACS yang dijelaskan oleh persamaan diferensial orde rendah (sampai ke-4), digunakan kriteria Routh dan Hurwitz (E. Routh, mekanik Inggris; A. Hurwitz, ahli matematika Jerman). Namun, hampir tidak mungkin untuk menggunakan kriteria ini dalam banyak kasus (misalnya, dalam kasus sistem kendali otomatis yang dijelaskan oleh persamaan tingkat tinggi) karena kebutuhan untuk melakukan perhitungan yang rumit; Selain itu, penentuan persamaan karakteristik sistem kendali otomatis yang kompleks dikaitkan dengan perhitungan matematis yang memakan waktu. Sementara itu, karakteristik frekuensi SLU apa pun, betapapun rumitnya, dapat dengan mudah ditemukan menggunakan operasi grafis dan aljabar sederhana. Oleh karena itu, ketika meneliti dan merancang sistem kendali otomatis stasioner linier, kriteria frekuensi Nyquist dan Mikhailov biasanya digunakan (H. Nyquist, fisikawan Amerika; A.V. Mikhailov, ilmuwan Soviet di bidang kendali otomatis). Kriteria Nyquist sangat sederhana dan nyaman dalam penerapan praktis. Himpunan nilai parameter ACS di mana sistem stabil disebut area U. Kedekatan ACS dengan batas wilayah ACS diperkirakan dengan cadangan fase dan amplitudo ACS, yang ditentukan oleh karakteristik fase amplitudo dari ACS terbuka. Teori modern sistem kendali otomatis linier memberikan metode untuk mempelajari sistem kendali dengan parameter yang disatukan dan terdistribusi, kontinu dan diskrit (pulsa), stasioner dan nonstasioner.

═ Masalah pengendalian sistem kendali otomatis nonlinier memiliki sejumlah ciri signifikan dibandingkan dengan sistem kendali linier. Bergantung pada sifat nonlinier dalam sistem, beberapa keadaan mungkin stabil, sementara keadaan lainnya mungkin tidak stabil. Dalam teori kendali sistem nonlinier, kita berbicara tentang kendali suatu keadaan tertentu, dan bukan sistem itu sendiri. Pengendalian keadaan apa pun dari sistem kendali otomatis nonlinier dapat dipertahankan jika gangguan pengoperasiannya cukup kecil, dan dilanggar pada gangguan yang besar. Oleh karena itu diperkenalkanlah konsep pengendalian dalam skala kecil, besar, dan keseluruhan. Konsep kendali absolut, yaitu kendali sistem kendali di bawah gangguan awal terbatas yang sewenang-wenang dan setiap nonlinier sistem (dari kelas nonlinier tertentu), adalah penting. Mempelajari pengendalian sistem kendali otomatis nonlinier ternyata cukup sulit meskipun menggunakan komputer. Untuk mencari kondisi persamaan yang memadai, metode fungsi Lyapunov sering digunakan. Kriteria frekuensi yang memadai untuk U absolut telah diusulkan oleh Rum. matematikawan V. M. Popov dan lain-lain.Seiring dengan metode eksak untuk mempelajari alam semesta, digunakan metode perkiraan, berdasarkan penggunaan deskripsi fungsi, misalnya metode harmonik atau statistik linearisasi

═ Stabilitas sistem kendali otomatis di bawah pengaruh gangguan dan interferensi acak dipelajari dengan teori kendali sistem stokastik.

═ Teknologi komputer modern memungkinkan penyelesaian banyak masalah sistem kendali sistem kendali otomatis linier dan nonlinier dari berbagai kelas, baik dengan menggunakan yang diketahui algoritma, dan berdasarkan algoritma spesifik baru yang dirancang untuk kemampuan komputer dan sistem komputasi modern.

═ Lit.: Lyapunov A.M., Masalah umum stabilitas gerak, Koleksi. soch., jilid 2, M.√ L., 1956; Voronov A. A., Dasar-dasar teori kendali otomatis, jilid 2, M.√ L., 1966; Naumov B.N., Teori sistem otomatis nonlinier. Metode frekuensi, M., 1972; Dasar-dasar kendali otomatis, ed. V.S.Pugacheva, edisi ke-3, M., 1974.

═ V.S. Pugachev, I.N. Sinitsyn.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu “Stabilitas sistem kontrol otomatis” di kamus lain:

Daftar Isi 1 Sejarah 2 Konsep Dasar 3 Fungsional ... Wikipedia

TEORI KONTROL OTOMATIS- arah keilmuan yang mempelajari prinsip pembangunan sistem kendali otomatis (ACS). T.a. kamu. merupakan salah satu bagian dari teori umum manajemen. Tujuan dari T.a. kamu. membangun senjata self-propelled yang efisien dan akurat. Yang paling sederhana dan paling umum... ... Kamus Ensiklopedis Psikologi dan Pedagogi

Seperangkat perangkat yang secara otomatis memastikan pelaksanaan, dengan akurasi yang diperlukan, program kontrol yang dipilih untuk mesin turbin gas pesawat terbang dalam mode operasi tunak dan sementara. S.a. kamu. Mesin turbin gas melakukan hal berikut... Ensiklopedia teknologi

Ensiklopedia "Penerbangan"

sistem kontrol otomatis mesin turbin gas- sistem kendali otomatis mesin turbin gas seperangkat perangkat yang secara otomatis memastikan pelaksanaan, dengan akurasi yang diperlukan, program kendali yang dipilih untuk mesin turbin gas pesawat terbang pada kondisi stabil dan sementara... ... Ensiklopedia "Penerbangan"

I Stabilitas penyelesaian persamaan diferensial, konsep teori kualitatif persamaan diferensial, yang dikembangkan terutama sehubungan dengan masalah stabilitas gerak (Lihat Stabilitas gerak) dalam mekanika; juga penting...

Stabilitas adalah kemampuan suatu sistem untuk mempertahankan keadaannya saat ini di hadapan pengaruh eksternal. Dalam makroekonomi, keberlanjutan mengacu pada keseimbangan jangka panjang antara eksploitasi sumber daya dan pembangunan masyarakat manusia. Dalam meteorologi... ... Wikipedia

Lihat Stabilitas sistem kontrol otomatis... Ensiklopedia Besar Soviet

Struktur manajemen adalah seperangkat cara yang sistematis (didefinisikan secara ketat) untuk mengumpulkan informasi tentang objek yang dikendalikan dan cara mempengaruhi perilakunya untuk mencapai tujuan tertentu. Objek dari suatu sistem kendali dapat berupa... ... Wikipedia

Pesawat terbang, kemampuan pesawat terbang (termasuk pesawat terbang dengan sistem untuk meningkatkan stabilitas dan pengendalian) untuk memulihkan, tanpa campur tangan pilot, mode gerak memanjang semula setelah penghentian aksi ... Ensiklopedia teknologi

Buku

• Teori kendali otomatis beserta contoh dan permasalahan beserta solusinya di MATLAB. Buku Teks, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich. Manual ini berisi metode untuk menyelesaikan semua jenis contoh dan masalah yang sedang dipertimbangkan, serta masalah untuk solusi mandiri dalam disiplin "Teori Kontrol Otomatis". Bahan…
• Teori kendali otomatis beserta contoh dan permasalahan beserta solusinya di MATLAB. tutorial. Grif dari Institusi Pendidikan Universitas Rusia, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich. Manual ini berisi metode untuk memecahkan semua jenis contoh dan masalah yang sedang dipertimbangkan, serta masalah untuk solusi independen dalam disiplin “Teori Kontrol Otomatis”. Bahan…

Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini

Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Diposting pada http:// www. terbaik. ru/

STABILITAS SISISTEM KONTROL OTOMATIS

1. Konsep dasar teori stabilitas

1.1 Studi stabilitas menggunakan persamaan aproksimasi pertama

1.2 Kriteria stabilitas aljabar

1.3 Kriteria stabilitas frekuensi

2. Identifikasi bidang stabilitas

Bibliografi

1. Dasar-dasarKonsep baru teori stabilitas

Selama pengoperasiannya, sistem mengalami berbagai macam pengaruh yang mengganggu, yang menyebabkan penyimpangannya dari posisi setimbang atau gerakan tertentu.

Suatu sistem kendali otomatis disebut stabil jika, setelah berhentinya gangguan-gangguan yang menyebabkannya menyimpang dari p HAIposisi setimbang, ia kembali ke posisi setimbang ini atauAdari gerakan ini.

Karena itu, hanya sistem stabil yang bisa diterapkanBNuh.

Biarkan ACS dijelaskan oleh sistem persamaan diferensial stasioner nonlinier dalam bentuk

Di mana ya - variabel keadaan sistem;

ya - fungsi yang diketahui didefinisikan dalam beberapa domain tetap G spasi variabel ya apapun T >0.

Dalam ruang ini, persamaan (3.1) menentukan komponennya ya vektor kecepatan suatu titik tertentu M , disebut titik representasi. Dari sudut pandang fisika, persamaan (3.1) harus dianggap sebagai bentuk matematis yang mencatat hukum fisika yang menjadi subjek sistem kendali otomatis. Wilayah G definisi fungsi ya adalah bagian dari ruang negara di mana berlakunya hukum-hukum fisika ini.

Biarkan jumlahnya kamu 10,...., kamu 0 menunjukkan nilai awal variabel keadaan. Setiap sistem nilai awal berhubungan dengan solusi unik

persamaan yang didefinisikan untuk sembarang Mari kita asumsikan bahwa di antara semua gerak yang kita minati adalah gerak yang dijelaskan oleh fungsi waktu tertentu

Dalam kasus khusus ketika sistem stasioner dan fungsinya ya jelas tidak bergantung pada waktu, maka pergerakannya (3.3) adalah mantap. Jawabannya adalah apa yang disebut sebagai solusi nyata

berfungsi sebagai akar persamaan

Berikut ini kita akan membahas tentang kestabilan gerak suatu sistem yang memiliki solusi (3.3), dengan menganggap gerak tetapnya sebagai kasus khusus. Mari kita pertimbangkan penyimpangan dari gerakan tertentu

Mengganti ekspresi untuk ya diperoleh dari sistem persamaan asli, kita peroleh

,

Di mana

Persamaan tersebut ditulis relatif terhadap penyimpangan yang muncul sebagai akibat dari gangguan apa pun dan, dalam terminologi Lyapunov, disebut persamaaneniami gerakan gelisah.

Rumus tersebut menentukan transformasi perpindahan titik asal koordinat ke suatu titik dengan koordinat dan oleh karena itu, jika solusi sistem (3.1) konvergen ke nilai-nilai tersebut, maka solusi sistem tersebut konvergen ke nol. Persamaan

disebut persamaan gerak tak terganggu.

Pada T = T 0 variabel X k mengambil nilai awalnya xk 0 yang disebut gangguan. Setiap sistem gangguan tersebut mempunyai solusi yang unik

Solusi-solusi ini mewakili gangguan gerak sistem.

Mari kita pelajari perilaku perbedaan di T > T 0 . Untuk ini, pertimbangkan persamaannya

yang mendefinisikan dalam N -dimensi ruang kuadrat dari jarak titik yang mewakili M dari asal. Gerakan terganggu di t>t0 dapat melanjutkan sebagai berikut:

titik yang mewakili M bergerak semakin jauh dari titik asal koordinat, dan nilainya R meningkat tanpa batas (kurva 1 pada Gambar 3.1);

yang mewakili titik M tetap berada di dalam lingkungan titik asal tertentu, sehingga besarannya R selalu mempunyai nilai terbatas yang tidak melebihi bilangan positif kecil yang telah ditentukan , itu. R < (kurva 2 pada Gambar 3.1);

Titik M yang mewakili kembali ke titik asal koordinat seiring waktu, yaitu. (kurva 3 pada Gambar 3.1).

Beras. 3.1. Jenis pergerakan titik yang mewakili

keadaan keseimbangan xk =0 dapat dianggap stabil jika sistem, setelah menerima gangguan awal, kemudian tetap berada dalam sistem halDanlingkungan terdekat keadaan setimbang atau kembali ke keadaan tersebut. Perlu diberikan interpretasi khusus terhadap konsep “lingkungan terdekat” dan pendiri teori stabilitas A.M. Lyapunov memberikan definisi stabilitas sebagai berikut.

Gerak yang tidak terganggu dikatakan stabil terhadap besaranxk , jika untuk sembarang diberikan chi positifDenganle, sekecil apa pun, akan ada bilangan positif lainnya ( ) , di mana untuk gangguanxk 0 , kondisi memuaskanDanubi

gerakan yang terganggu akan memenuhi ketidaksetaraan

apapunT > T 0. Ketimpangan membatasi kisaran penyimpangan awal yang diperbolehkan.

Jika untuk sewenang-wenang kecil >0 tidak mungkin ditemukan ( ) , jika pertidaksamaan (3.11) terpenuhi, maka sistem tersebut tidak stabil.

Jika sistem stabil dan geraknya sedemikian rupa, lalu ini siDengantopiknya stabil secara asimtotik.

Berikut ini pada Gambar. 3.1, kurva 1 menunjukkan sistem tidak stabil, kurva 2 menunjukkan sistem stabil, dan kurva 3 menunjukkan sistem stabil asimtotik.

SAYA. Lyapunov mengembangkan berbagai metode untuk menilai stabilitas senjata self-propelled. Metode langsung, atau disebut metode Lyapunov kedua, dapat diterapkan untuk mempelajari semua kelas sistem dan didasarkan pada penggunaan fungsi Lyapunov khusus. Kami telah mengatakan bahwa sejumlah besar sistem memungkinkan linearisasi menggunakan metode deviasi kecil, dan Lyapunov adalah orang pertama yang membuktikan diterimanya penilaian tentang stabilitas dalam skala kecil, yaitu. untuk simpangan kecil, sistem nonlinier asli menurut persamaan aproksimasi pertama yang diperoleh dari hasil linierisasi.

1 . 1 Penelitian tentang keberlanjutanpersamaan aproksimasi pertama

Setiap persamaan diferensial linier mempunyai penyelesaian dalam bentuk

,

Di mana Saya - akar persamaan karakteristik, X T( T ) - solusi tertentu yang menentukan gerak yang diperlukan sistem. Penyimpangan dari gerakan yang diberikan akan dituliskan dalam bentuk

Oleh karena itu, jika semua akar persamaan karakteristik negatif (memiliki bagian real negatif), maka sistem linier tersebut stabil asimtotik. Jika di antara akar-akar persamaan karakteristik paling sedikit ada satu yang mempunyai bagian real positif, maka sistem linier tersebut juga tidak stabil. Apakah mungkin untuk memperkirakan stabilitas sistem nonlinier awal dengan penyimpangan kecil dari akar persamaan karakteristik sistem linier? SAYA. Lyapunov membuktikan teorema berikut tentang stabilitas dalam skala kecil.

Dalil 1. Jika bagian sebenarnya k semua akar k J k persamaan karakteristik aproksimasi pertama adalah negatif, maka gerak tak terganggu sistem nonlinier asal stabil asimtotik tanpa memperhatikan syarat pemuaian deret Taylor yang tidak diperhitungkan di atas orde kecil pertama.

Dalil 2. Jika di antara akar-akar persamaan karakteristik aproksimasi pertama terdapat paling sedikit satu yang mempunyai bagian real positif, maka gerak tak terganggu sistem nonlinier asal adalah tidak stabil, berapa pun syarat pemuaian deret Taylor di atas orde kecil pertama. yang tidak diperhitungkan.

Kasus kritis ketika tidak mungkin menilai stabilitas menggunakan persamaan aproksimasi pertama muncul jika di antara semua akar terdapat sekelompok akar yang bagian realnya sama dengan nol, dan sisanya memiliki bagian nyata negatif.

Mari kita lihat gambarnya.

Akar persamaan karakteristik yang mempunyai bagian real negatif terletak pada setengah bidang kiri dan disebut akar stabil (kutub) sistem. Akar-akar dengan bagian nyata positif terletak pada setengah bidang kanan dan merupakan kutub-kutub tidak stabil sistem. Dari sudut pandang ini, sumbu imajiner adalah batas stabilitas dan diarsir di sebelah kiri.

Yang menarik adalah kasus yang sering ditemui ketika polinomial karakteristik suatu sistem mempunyai satu akar nol, dan akar-akar sisanya terletak pada setengah bidang kiri. Hal ini sesuai dengan persamaan sistem yang suku bebasnya sama dengan nol sebuah .

Mengeluarkan operator dari tanda kurung S , kita mendapatkan

Karena operator Laplace pada kondisi awal nol merupakan simbol diferensiasi, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan terakhir ditulis relatif terhadap kecepatan variabel yang dikontrol. Persamaan karakteristik

dengan syarat, ia hanya memiliki akar yang stabil dan, oleh karena itu, sistem tersebut stabil relatif terhadap kecepatan variabel yang dikontrol. Berkenaan dengan besaran yang diatur itu sendiri, sistemnya bersifat netral dan nilainya setelah berakhirnya proses pengaturan bersifat arbitrer dan bergantung pada kondisi awal. Sistem seperti ini disebut stabil secara netral.

Menilai stabilitas langsung dari akar persamaan karakteristik adalah mungkin, tetapi tidak banyak berguna dalam praktik teknik dan ilmiah, karena pengetahuan tentang nilai numerik akar tidak membawa informasi tentang cara menstabilkan sistem jika tidak stabil atau memiliki margin stabilitas yang kecil. Oleh karena itu, untuk keperluan analisis stabilitas, kriteria khusus telah dikembangkan yang memungkinkan untuk mempelajari masalah stabilitas tanpa menentukan akar persamaan karakteristik.

1.2 Aljabarkriteria keberlanjutan rasional

Kondisi yang diperlukan untuk stabilitas.

Persamaan karakteristik sistem setelah menentukan akar-akarnya dapat direpresentasikan sebagai

Jika sistem stabil dan semua akarnya mempunyai bagian real negatif, maka setelah membuka tanda kurung pada ekspresi terakhir kita memperoleh persamaan karakteristik sistem

,

di mana semua koefisien A Saya , Saya =1,2,... N , akan lebih besar dari nol.

Agar sistem menjadi stabil, semua koefisien persamaan karakteristiknya harus lebih besar dari n, namun tidak cukup. padala.

Konsep ketidakcukupan berarti jika ada koefisien persamaan karakteristik suatu sistem kurang dari nol atau sama dengan nol, maka sistem tersebut tidak stabil, tetapi positifnya semua koefisien tidak berarti sistem tersebut stabil. Diperlukan lebih banyak penelitian.

Kriteria stabilitas Hurwitz.

Untuk menilai stabilitas menurut kriteria ini, perlu dibangun determinan Hurwitz dari koefisien persamaan karakteristik menurut aturan berikut:

sepanjang diagonal utama semua koefisien persamaan karakteristik dari a1 sebelum A N dalam urutan indeks;

kolom determinan diisi dengan koefisien dari diagonal utama ke bawah dengan menurunkan indeks, dan ke atas dengan menaikkan indeks;

tempat koefisien yang indeksnya lebih besar N atau kurang dari nol diisi dengan angka nol.

Misalnya, mari kita buat determinan Hurwitz untuk sistem orde ke-5. Persamaan karakteristik sistem memiliki bentuk

di mana semua koefisien lebih besar dari nol. Kita mendapatkan

.

Agar semua akar persamaan karakteristik mempunyai bagian nyata negatif dan sistem menjadi stabil, maka diperlukan Dancukuplah semua koefisien dan semua diagonalnya ditentukaneapakah determinan Hurwitz lebih besar dari nol.

Untuk kestabilan sistem orde 5, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

A k >0, k =0,1,2,...5;

2 =a1a2 - a0a3>0;

3=a3 2 - a12a4>0;

4 =a4 3 -a2a5 2 + a0a5(a1a4 - a0a5)>0;

5 =a5 4>0.

Sejak kapan kondisi stabilitas yang diperlukan terpenuhi, selalu A N >0, maka kestabilan sistem dapat dinilai dengan determinan sampai N -1 inklusif . Terbukti jika N -1=0, maka sistem berada pada batas kestabilan osilasi, yaitu. memiliki sepasang akar imajiner murni. Dari kondisi tersebut N -1=0 dimungkinkan untuk menentukan nilai kritis parameter sistem yang mencapai batas stabilitas.

Contoh. Selidiki kestabilan sistem stabilisasi sudut pitch pesawat dan tentukan nilai kritis rasio pitch autopilot. Sistem ditentukan oleh diagram blok.

Diagram menunjukkan:

k- rasio roda gigi (koefisien transmisi) autopilot dalam sudut pitch;

fungsi perpindahan gigi kemudi;

fungsi transfer pesawat dalam hal kecepatan sudut pitch z ;

k z - Rasio gigi autopilot untuk kecepatan sudut pitch.

Untuk fungsi transfer sistem loop terbuka, kita dapat menuliskannya

Di mana

Fungsi alih sistem loop tertutup akan berbentuk

Di mana

Mari kita buat determinan Hurwitz

Mari kita evaluasi stabilitas sistem berdasarkan nilai parameter berikut:

.

Dengan nilai koefisien persamaan karakteristik ini kita peroleh

Akibatnya, semua koefisien persamaan karakteristik sistem loop tertutup adalah positif dan

Kondisi stabilitas terpenuhi dan sistem stabil pada parameter yang dipilih.

Mari kita tentukan nilai kritis rasio roda gigi untuk sudut pitch, yang mana kita menyamakan determinan diagonal ketiga dengan nol dan melakukan transformasi.

Hanya dalam ekspresi terakhir D 3 Dan D 4 adalah fungsi dari koefisien k dan mensubstitusikannya ke dalamnya, kita mendapatkan persamaan kuadrat untuk koefisien ini

Setelah menyelesaikan persamaan ini, kita memperoleh nilai kritis dari rasio nada

Sistem stabil jika k <16.56.

Kriteria stabilitas Routh.

Kriteria Routh memerlukan komputasi yang sedikit lebih sedikit dibandingkan kriteria Hurwitz dan lebih sesuai untuk pemrograman komputer. Untuk menilai stabilitas sistem menggunakan kriteria ini, perlu dibuat tabel Routh.

meja Routh

Elemen setiap baris untuk Saya >2 dihitung dengan rumus

Agar akar-akar persamaan karakteristik terletak pada le setengah bidang dan sistem stabil, semua elemen kolom pertama tabel Routh harus benar-benar positif DanTelny.

1.3 Kriteria stabilitas frekuensi

Prinsip argumen.

Kriteria stabilitas frekuensi digunakan dalam bentuk grafis-analitis dan sangat jelas saat melakukan perhitungan. Semua metode frekuensi didasarkan pada prinsip argumen.

Perhatikan persamaan karakteristik sistem

Jika Saya , Saya =1,2,... N - akar persamaan ini, kalau begitu

Setiap akar pada bidang kompleks berhubungan dengan suatu titik tertentu, dan secara geometris pada bidang ini setiap akar dapat direpresentasikan sebagai vektor dengan modulus. Saya , diambil dari titik asal (Gbr. 3.4). Mari kita buat penggantinya S = J dan kita mendapatkan

Sesuai dengan aturan pengurangan vektor, kita memperoleh akhir dari setiap vektor dasar ( J - Saya ) berada pada sumbu imajiner.

Argumen vektor D ( J ) sama dengan jumlah argumen vektor elementer

Arah rotasi vektor ( J - Saya ) berlawanan arah jarum jam dengan perubahan frekuensi dari - hingga + dianggap positif, dan searah jarum jam dianggap negatif. Mari kita asumsikan bahwa persamaan karakteristik memiliki M akar di setengah bidang kanan dan N - M akar di setengah bidang kiri. Ketika frekuensi berubah dari - ke + setiap vektor ( J - Saya ), yang titik pangkalnya terletak pada setengah bidang kiri akan berputar membentuk suatu sudut + , dan setiap vektor yang titik asal terletak pada setengah bidang kanan - dengan suatu sudut - . Mengubah argumen vektor D ( J ) akan ada

Ungkapan ini mendefinisikan prinsip argumen.

Mengubah argumen vektorD ( J ) ketika frekuensi berubah dari -ke +sama dengan selisih antara bilangan tersebut( N - M ) akar persamaan D ( S )=0 , berbaring di setengah bidang kiri, dan nomornyaM akar persamaan ini terletak di bagian kananpadabidang dikalikan dengan .

Kriteria stabilitas Mikhailov.

Dari (3.14) dapat disimpulkan bahwa jika semua akar persamaan karakteristik terletak pada setengah bidang kiri, yaitu. M =0 , Itu

Ini menyiratkan rumusan pertama dari kriteria Mikhailov.

Sistem kontrol otomatis stabil jika, seiring dengan peningkatan frekuensi dari -ke +mengubah argumen vektorD ( J ) akan samaN , Di manaN - urutan persamaan karakteristik.

Vektor D ( J ) dapat direpresentasikan dalam bentuk

Komponen nyata dari ekspresi ini adalah fungsi genap, dan komponen imajinernya adalah fungsi frekuensi ganjil, yaitu. kamu (- )= kamu ( ); V (- )= - V ( ) Dan D (- J )= kamu ( ) - jV ( ).

Oleh karena itu, kurva Mikhailov adalah simetris terhadap sumbu nyata dan ketika membangunnya, seseorang dapat membatasi diri pada rentang frekuensi dari 0 ke + . Mengubah argumen vektor D ( J ) dalam hal ini akan berkurang setengahnya dan rumusan kriteria Mikhailov adalah sebagai berikut.

Sistem kontrol otomatis stabil jika frekuensi meningkat dari 0 ke +vektorD ( J ) akan berubah menjadi suatu sudutN /2 atau, sama saja, jika kurva Mikhailov dengan perubahan frekuensi yang sama, dimulai dari posisiDansemi-sumbu nyata nyata, berputar secara berurutan dalam n positifApapanN kuadran dan berakhir diN -ohm kuadran (Gbr. 3.5).

Jika setidaknya satu kuadran hilang (Gbr. 3.6), maka sistem tidak stabilthChiva.

Mengamati perilaku kurva Mikhailov untuk sistem kendali otomatis yang stabil, kita dapat memperhatikan hal itu ketika melewatinya N akar kuadran persamaan kamu ( )=0 Dan V ( )=0 bergantian satu sama lain, mis. antara dua akar persamaan V ( )=0 ada satu akar persamaan kamu ( )=0.

Sistem kontrol otomatis stabil jika akar persamaanV ( )=0 Dan kamu ( )=0 nyata dan diselingi satu sama lain.

Sistem mungkin berada pada batas stabilitas dan ini berhubungan dengan dua kasus:

persamaan karakteristik sistem mempunyai satu akar nol, yaitu kapan A N = 0 ; melengkung Mikhailova dalam hal ini meninggalkan asal koordinat;

2) persamaan karakteristik mempunyai sepasang akar imajiner murni J k Dan D ( J k )= kamu ( k )+ jV ( k )=0, yang hanya bisa terjadi jika pada saat yang bersamaan kamu ( k )=0 Dan V ( k )=0; ini berarti kurva Mikhailov melewati titik asal.

Beras. 3.5. Kurva Mikhailov untuk Gambar. 3.6. Kurva Mikhailov untuk senjata self-propelled yang stabil dan senjata self-propelled yang tidak stabil

Dengan menggunakan kriteria Mikhailov, dimungkinkan untuk menentukan nilai kritis dari parameter sistem yang berada pada batas stabilitas, khususnya faktor penguatan kritis. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan

Contoh. Dengan menggunakan kriteria Mikhailov, evaluasi stabilitas sistem stabilisasi sudut pitch pesawat dan tentukan nilai kritis rasio roda gigi k .

Persamaan karakteristik sistem tertutup diperoleh di atas dan berbentuk

Mari kita buat penggantinya S = J dan pilih bagian nyata dan imajiner

Kurva Mikhailov yang dibangun dengan parameter sistem yang ditentukan sebelumnya memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 3.7.

Kurva tersebut dimulai pada sumbu semi positif nyata, melewati 4 kuadran secara berurutan dan berakhir pada kuadran ke-4. Oleh karena itu, untuk parameter tersebut, sistem yang diteliti stabil.

Beras. 3.7. Kurva Mikhailov untuk sistem stabilisasi sudut nada

Untuk menentukan nilai kritis rasio roda gigi untuk sudut pitch, kita akan menyusun sistem persamaan

Dari persamaan kedua sistem kita menentukan frekuensi dan mensubstitusikan ekspresi tersebut ke dalam persamaan pertama, setelah transformasi kita memperoleh persamaan kuadrat mengenai nilai rasio roda gigi yang diinginkan

Persamaan yang dihasilkan benar-benar identik dengan persamaan yang diperoleh ketika menyelesaikan masalah menggunakan kriteria Hurwitz dan hasilnya sama

Konstruksi kurva Mikhailov untuk sistem tingkat tinggi dapat dikaitkan dengan perhitungan yang rumit dan konstruksi grafis. Dalam kasus ini, akan lebih mudah untuk memperkirakan stabilitas dari akar persamaan kamu ( )=0 Dan V ( )=0. Mari kita tentukan akar-akar persamaan ini dan letakkan pada sumbu bilangan akar-akar persamaan tersebut kamu()=0

Kriteria stabilitas Nyquist.

Kriteria stabilitas Nyquist memungkinkan kita menilai stabilitas tertutuppadasistem itu sesuai dengan jenis respons fasa sistem loop terbuka.

Misalkan fungsi alih sistem loop terbuka dan sistem loop tertutup berbentuk:

Di mana D ( S )- polinomial karakteristik dari sistem tertutup. Pindah ke representasi frekuensi, kita dapatkan

Vektor N ( J ) disebut vektor Nyquist. Jelasnya pembilang dan penyebut vektor ini mempunyai orde yang sama N . Saat menggunakan kriteria Nyquist, dua kasus harus dibedakan.

1). Sistem loop terbuka stabil dan persamaan karakteristiknya stabil A ( S )=0 memiliki semua akar di setengah bidang kiri. Kemudian, ketika frekuensi berubah dari 0 menjadi

Mengubah argumen vektor D ( J ) secara umum sama

Di mana M - jumlah akar persamaan D ( S )=0, berbaring di setengah bidang kanan. frekuensi stabilitas menutup kekekalan

Mengubah argumen vektor Nyquist akan menjadi

Jika sistem tertutup stabil, maka M =0 Dan

sejak kapan , W ( J ) 0, Itu N ( J ) 1. Perhatikan Gambar 3.8a, yang menunjukkan kurva Nyquist, yang digambarkan oleh vektor Nyquist ketika frekuensi berubah dari 0 hingga. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa vektor Nyquist akan menggambarkan sudut sama dengan nol hanya jika hodografnya tidak menutupi titik asal. Mari kita pindahkan titik asal koordinat ke titik yang memiliki koordinat (1, J 0) (Gbr. 3.9b). Anda dapat memastikan bahwa perubahan argumen vektor Nyquist akan sama dengan nol jika AFC W ( J ) sistem loop terbuka tidak mencakup titik kritis dengan koordinat(-1, J 0).

Beras. 3.9. Menuju definisi kriteria Nyquist

Kriteria Nyquist untuk kasus yang sedang dipertimbangkan dirumuskan sebagai berikut.

Suatu sistem kendali otomatis yang stabil pada keadaan terbuka akan stabil pada keadaan tertutup jika AFC W ( J ) sistem loop terbuka ketika mengubah frekuensi dari 0 ketidak menutupi titik kritis dengan koordinat (-1,J0).

Singularitas muncul jika sistem loop terbuka stabil-netral, yaitu

di mana polinomialnya A 1( S ) memiliki semua akar di setengah bidang kiri. Pada =0 Respon AFC pada sistem loop terbuka W ( J )= dan tidak mungkin melacak perilaku kurva AFC di sekitar titik ini. Ketika frekuensi berubah dari - ke +, pergerakan akar diamati sepanjang sumbu imajiner dari bawah ke atas dan kapan =0 ada kesenjangan yang tak ada habisnya. Dengan gerakan ini, kita akan mengitari akar nol (Gbr. 3.10) sepanjang setengah lingkaran dengan radius yang sangat kecil sehingga akar ini tetap berada di sebelah kiri, mis. Mari kita merujuknya secara artifisial ke setengah bidang kiri.

Beras. 3.10. Hodograf Nyquist untuk senjata self-propelled yang stabil netral

Ketika bergerak sepanjang setengah lingkaran ini ke arah positif, variabel bebas berubah menurut hukum

dimana fasenya ( ) bervariasi dari - / 2 ke + / 2. Mengganti ekspresi ini ke dalam fungsi transfer alih-alih pengali S di penyebut, kita dapatkan

Di mana R pada 0 , dan fase ( ) bervariasi dari + / 2 sebelum - / 2. Akibatnya, di sekitar akar nol terdapat hodograf W ( J ) mewakili bagian dari lingkaran dengan radius yang sangat besar, pergerakan sepanjang yang terjadi ketika frekuensi meningkat ke arah negatif.

Untuk menilai stabilitas sistem loop tertutup, jika sistem loop terbuka stabil secara netral, maka perlu dilakukanW ( J ) loop terbukaDengan lengkapi topik dengan busur dengan radius yang sangat besar, mulai dari frekuensi yang lebih rendah, ke arah negatif, dan untuk kurva tertutup yang dihasilkan, gunakan kriteria Nyquist untuk sistem yang stabil pada saat yang sama Kedalam keadaan mint.

2). Sistem loop terbuka tidak stabil. Pada kasus ini

Di mana R- jumlah akar persamaan karakteristik sistem loop terbuka yang terletak pada setengah bidang kanan. Jika sistem tertutup stabil, mis. M =0 , Itu

itu. Respon AFC pada sistem loop terbuka mencakup titik kritis (-1,j0) dengan arah positif secara tepat P / 2 sekali.

Suatu sistem yang tidak stabil dalam keadaan terbuka akan stabil dalam keadaan tertutup jika AFCW ( J Dengan ) sistem loop terbuka di danHmengubah frekuensi dari 0 hinggamencakup titik kritis (-1,J0) dalam posisiDanarah lurusr/2 kali dimanaR- jumlah kutub kanan rangkaian terbukaDenganTopik.

Menentukan jumlah cakupan titik kritis bukanlah tugas yang mudah, terutama dalam kasus sistem tingkat tinggi. Oleh karena itu, rumusan kriteria Nyquist yang berbeda untuk kasus yang sedang dipertimbangkan telah diterapkan dalam penerapan praktis.

Transisi hodograf W ( J ) melalui segmen semi-sumbu nyata (- ,-1), itu. di sebelah kiri titik kritis, ketika frekuensi meningkat dari atas ke bawah, dianggap positif, dan dari bawah ke atas dianggap negatif.

Suatu sistem yang tidak stabil dalam keadaan terbuka akan stabil dalam keadaan tertutup jika selisih antara bilangan positif dan o Ttransisi negatif, karakteristik respon fasa dari sistem loop terbuka adalah sama denganr/2.

dimana adalah jumlah transisi positif, jumlah transisi negatif.

Misalnya, fungsi transfer kendaraan peluncuran Avangard memiliki dua kutub tidak stabil dan AFC-nya ditunjukkan pada Gambar. 3.11.

Beras. 3.11. AFFC dari roket Avangard

Tentunya, untuk roket ini, sebagai objek kendali,

a dan Sistem tertutup akan stabil.

Cadangan stabilitas.

Stabilitas ACS loop tertutup bergantung pada lokasi hodograf AFC sistem loop terbuka relatif terhadap titik kritis. Semakin dekat kurva ini ke titik kritis, semakin dekat ACS tertutup dengan batas stabilitas. Untuk sistem yang stabil, jarak respon frekuensi fasa sistem loop terbuka dari titik kritis biasanya dinilai dengan margin stabilitas dalam fasa dan besarnya.

Mari kita asumsikan bahwa respon AFC dari beberapa sistem loop terbuka memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 3.12.

Beras. 3.12. Respon AFC pada sistem loop terbuka

Sudut , dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik potong AFC dengan lingkaran berjari-jari satuan, yang sesuai dengan frekuensi potong sistem, dan sumbu semi nyata negatif disebut margin stabilitas threspons fase sistem.

(3.24)

Margin stabilitasdan nilai absolutnya disebut

(3.25)

Di mana A( )- Nilai AFC pada frekuensi = , di mana ia memotong sumbu sebenarnya.

Semua sistem harus memenuhi persyaratan berikut:

Karena AFC diplot secara grafis pada skala tertentu, untuk menghitung margin stabilitas modulo, Anda cukup mengukur panjang segmen yang sesuai dengan kesatuan dan OB, dan membagi hasil pengukuran pertama dengan pengukuran kedua. Jika penguatan sistem ditingkatkan, maka titik B akan bergeser ke kiri dan pada OB = -1 penguatan akan mencapai nilai kritis. Oleh karena itu, margin stabilitas dalam modulus juga dapat ditentukan dengan menggunakan rumus

Contoh. Dengan menggunakan kriteria Nyquist, evaluasi stabilitas sistem stabilisasi sudut pitch loop tertutup dan tentukan margin stabilitasnya.

Fungsi alih sistem loop terbuka telah diperoleh sebelumnya dan mempunyai bentuk

Nilai numerik dari koefisien ditentukan atau dihitung sebelumnya. Mari kita buat penggantinya S = J :

Setelah transformasi kita dapatkan

Dengan mengubah frekuensi dari 0 menjadi kita akan membuat kurva AFC - gbr. 3.13. Setelah menggambar busur lingkaran dengan radius satuan, kami menentukan margin stabilitas fasa =1100 . Untuk contoh yang sedang dipertimbangkan, kami memperolehnya H =3.3.

Beras. 3.13. AFFC sistem stabilisasi sudut nada

Margin stabilitas yang dihasilkan memenuhi persyaratan di atas.

Penilaian stabilitas oleh LCH

Karakteristik AFC pada sistem loop terbuka dibagi menjadi dua jenis:

AFC jenis pertama, semua titik yang perpotongannya dengan sumbu nyata terletak di sebelah kanan titik kritis (kurva 1, Gambar 3.14);

AFC jenis kedua, titik-titik yang perpotongannya dengan sumbu nyata terletak di kanan dan kiri titik kritis (kurva 2, Gambar 3.14).

Dalam sistem jenis pertama, peningkatan penguatan menyebabkan pergeseran cabang kurva ke kiri dan pendekatannya ke titik kritis. Dalam hal ini, margin stabilitas menurun dan kapan k = k kr sistem mencapai batas stabilitas. Mengurangi penguatan akan menstabilkan sistem. Dalam sistem tipe ke-2, transisi sistem ke batas stabilitas dapat terjadi baik dengan peningkatan maupun penurunan penguatan. Dari kriteria Nyquist dapat disimpulkan bahwa suatu sistem loop tertutup yang mempunyai respon AFC jenis ke-1 dalam keadaan terbuka adalah stabil jika semua titik respon AFC, sampai pada titik potongnya dengan lingkaran berjari-jari satuan ( = Dengan) , sesuai dengan nilai fase ( ) , lebih besar dari - , yaitu. ketimpangan harus dipenuhi Dengan< . Definisi ini mudah ditafsirkan dalam bahasa LCH.

Agar suatu sistem yang stabil dalam keadaan terbuka dan mempunyai AFC jenis pertama dapat stabil dalam keadaan tertutup, maka perlu dan cukup bahwa pada semua frekuensi yang LAC-nya n HAIpositif, nilai karakteristik fase lebih besar dari -, yaitu.Dengan< .

Dari LFC, margin stabilitas juga dapat ditentukan dengan mudah, dan margin stabilitas untuk amplifikasi pada skala logaritmik harus memenuhi kondisi tersebut. N >6dB , yang sesuai dengan nilai-nilainya H >2.

Agar ACS yang tidak stabil dalam keadaan terbuka dan mempunyai respon frekuensi fasa jenis ke-2 menjadi stabil dalam keadaan tertutup, maka perlu dilakukan Badalah layak dan cukup bahwa perbedaan antara jumlah positif dan oTtransisi negatif dari karakteristik fase melalui garis -adalah samar/2, Di manaR - jumlah akar persamaan karakteristik sistem loop terbuka yang terletak pada setengah bidang kanan, pada semua frekuensi kapan L ( )>0.

Harus ditekankan bahwa metode yang ditunjukkan untuk menilai stabilitas dengan LFC dan menentukan margin stabilitas adalah valid untuk posisi sumbu ordinat relatif terhadap karakteristik fase, ketika titik tersebut digabungkan dengan titik asal koordinat. ( )=-1800.

Keuntungan kritis juga dapat ditentukan dari LFC. Untuk melakukan ini, LAX perlu digeser sepanjang garis konjugasi yang sejajar dengan dirinya sendiri sehingga memenuhi kondisi tersebut Dengan = dan menghitung keuntungan untuk LAC yang baru diperoleh.

Penentuan penguatan kritis untuk sistem statis dan astatik diilustrasikan pada Gambar. 3.17a dan 3.17b.

Contoh. Bangun LFC dari sistem stabilisasi sudut nada dan evaluasi stabilitasnya. Tentukan margin stabilitas dan hitung nilai kritis rasio nada.

Fungsi transfer sistem loop terbuka dapat direduksi menjadi bentuk

Akar persamaan karakteristik sistem loop terbuka mempunyai nilai sebagai berikut:

Oleh karena itu, Setelah transformasi kita dapatkan

Mari kita tentukan frekuensi konjugasi dan membagi grid koordinat.

Mari kita buat LAC sistem, dengan memperhitungkan bahwa penguatan sistem loop terbuka sama dengan Karena tingkat atenuasi relatif kecil, maka perlu untuk menyempurnakan LAC yang dihasilkan di sekitar frekuensi konjugasi 03. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan grafik khusus atau dengan perhitungan menggunakan respons frekuensi amplitudo yang diketahui. Respon frekuensi sistem ini ditentukan oleh ekspresi

Mengganti beberapa nilai frekuensi di sekitar frekuensi kopling 03, kita akan memperoleh nilai respon frekuensi, menghitung nilai LFC dan membuat kurva klarifikasi. Respons frekuensi fasa dibangun sebagai jumlah karakteristik fasa dari tautan tipikal yang termasuk dalam fungsi transfer

Di mana

Dari grafik LFC berikut ini Dengan< dan, oleh karena itu, sistem tertutup itu stabil. Margin stabilitas fase =1080 . Untuk sistem yang menyertakan tautan osilasi dengan koefisien redaman relatif kecil, margin stabilitas modulus ditentukan pada titik resonansi dan dalam hal ini sama dengan 10 dB, yang sesuai dengan nilai h = 3,16. Nilai margin stabilitas yang diperoleh sedikit berbeda dengan nilai yang dihitung berdasarkan kriteria Hurwitz dan Mikhailov. Dalam kasus yang diteliti, perolehan kritis ditentukan dengan sentuhan L(R) sumbu frekuensi. Mari kita gerakkan LAX sejajar dengan dirinya sendiri sehingga berada pada titik = R menyentuh sumbu frekuensi dan kita akan memanjangkan asimtot pertama hingga berpotongan dengan sumbu frekuensi. Pada saat ini k= =7.244, yang sesuai dengan nilai ( k)cr=16,74.

2. Identifikasi bidang stabilitas

Di antara parameter fisik yang menjadi ciri ACS, selalu ada beberapa yang mudah diubah dan digunakan untuk pengaturan sistem tertentu. Saat merancang suatu sistem, sangat penting untuk mengetahui rentang nilai parameter variabel yang dapat diterima dalam hal menjaga stabilitas ACS. Rentang ini dapat dinilai dengan membangun wilayah stabilitas dalam ruang parameter variabel, yaitu. sorot rentang nilai parameter di mana sistem tetap stabil.

Daerah stabilitas dalam teori kendali otomatis biasa disebut area D, dan representasi area parameter berupa area stabilitas dan ketidakstabilan disebut partisi D.

Konstruksi wilayah stabilitas menggunakan kriteria aljabar

Mari kita asumsikan bahwa koefisien persamaan karakteristik

bergantung pada dua parameter yang dapat diubah Dan . Untuk membangun daerah stabilitas, pertama-tama, sesuai dengan kondisi stabilitas yang diperlukan, perlu untuk memilih daerah parameter variabel jika ditemukan koefisien persamaan karakteristiknya positif. Hal ini dapat dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan

Untuk membangun batas kepositifan koefisien A Saya Penting untuk memilih dari solusi persamaan (3.26) solusi yang menjamin positif semua koefisien. Dari seluruh batasan kepositifan, hanya dua yang secara bersamaan dapat menjadi batasan stabilitas. Ini adalah batas-batas yang persamaannya

Terbukti jika D 0 Dan dn mendekati nol, maka persamaan karakteristiknya mempunyai dua akar real

Dengan penurunan lebih lanjut, koefisiennya D 0 Dan dn akan melewati nol, menjadi negatif, dan akar-akar (3.28) menjadi positif. Karena akar real menentukan komponen aperiodik dari penyelesaian persamaan diferensial, batas (3.27) disebut batas stabilitas aperiodik. Pada batas stabilitasnya sendiri, akar-akarnya (3,28) masing-masing sama dengan dan 0. Sisi-sisi kurva, di ( , )=0, berdekatan dengan wilayah positif dari koefisien yang sesuai ditetaskan ke arah positif. Bisa saja terjadi salah satu koefisien D 0 atau dn tidak tergantung pada parameter yang diubah. Ini berarti tidak adanya batas stabilitas aperiodik yang sesuai.

Batas stabilitas osilasi adalah kurva pada bidang parameter variabel, yang melaluinya sepasang akar konjugasi kompleks mengubah tanda bagian realnya menjadi kebalikannya. Telah dibuktikan bahwa batas kestabilan osilasi ditentukan oleh persamaan

(3.29)

Dalam persamaan ini, n-1 adalah determinan Hurwitz ke-(n-1). Batas stabilitas osilasi diarsir ke arah sisi positif n-1.

Contoh. Bangun daerah stabilitas pada bidang parameter k Dan k z sistem stabilisasi sudut nada.

Persamaan karakteristik sistem loop tertutup mempunyai bentuk

Kami mengeksplorasi kesenjangan D 2>0, D 3>0, D 4>0 . Dari pertidaksamaan pertama maka koefisiennya menjadi positif D 2 syarat tersebut perlu dipenuhi

Ketidaksamaan D 4>0 menentukan bahwa agar koefisien ini menjadi positif maka diperlukan hal tersebut k >0 . Untuk memenuhi ketimpangan D 3>0 itu diperlukan

Untuk setiap nilai rasio roda gigi sudut yang lebih besar dari nol, sisi kanan ekspresi terakhir modulo akan lebih besar dari satu. Jadi, batas kepositifan koefisiennya adalah

Koefisiennya tergantung pada parameter yang diubah dn = D 4 dan koefisiennya tidak bergantung D 0. Oleh karena itu persamaannya k =0 pada saat yang sama juga merupakan batas stabilitas aperiodik.

Setelah menyusun determinan Hurwitz, untuk n-1 minornya kita peroleh

Mari kita substitusikan nilai koefisien ke dalam ekspresi ini D 2, D 3, D 4, sebagai fungsi parameter k Dan k , setelah transformasi kita memperoleh persamaan kuadrat yang menentukan rasio roda gigi dalam kecepatan sudut sebagai fungsi dari rasio roda gigi dalam sudut pitch

Dengan menggunakan ungkapan ini, batas stabilitas osilasi dibangun. Grafik pembagian wilayah parameter yang diteliti menjadi wilayah stabilitas dan ketidakstabilan ditunjukkan pada Gambar. 3.19.

Batas ketidakstabilan osilasi diarsir menuju kepositifan determinan Hurwitz ke-n-1, dan garis lurus k z =0 menuju positif koefisien ini. Untuk memeriksa hasil yang diperoleh, pilih beberapa nilai parameter di dalam area yang diarsir, misalnya k =5, k z =0.6, Mari kita hitung nilai koefisien persamaan karakteristik dan evaluasi stabilitas sistem loop tertutup menggunakan kriteria Hurwitz. Kami menemukan bahwa untuk nilai rasio roda gigi yang dipilih, sistemnya stabil. Artinya seluruh area yang menjadi sasaran pukulan adalah area stabilitas.

D - partisi pada bidang satu parameter

Mari kita tertarik pada pengaruh salah satu parameter terhadap stabilitas ACS dan parameter ini memasuki persamaan karakteristik secara linier, sehingga persamaan ini dapat direpresentasikan dalam bentuk

Setelah melakukan penggantinya S = J , kita mendapatkan

Dengan mengatur nilai frekuensi dari - hingga +, Anda dapat membuat kurva ( ) , memetakan sumbu imajiner bidang akar ke bidang tersebut . Batas partisi D ini simetris terhadap sumbu sebenarnya. Oleh karena itu, perhitungan dapat dilakukan dalam rentang frekuensi dari 0 hingga +, dan kemudian melengkapi kurva yang dihasilkan dengan bayangan cerminnya pada rentang frekuensi dari - hingga nol. Ketika bergerak sepanjang sumbu imajiner dari - ke + pada bidang akar, daerah stabilitas tetap berada di sebelah kiri.

Oleh karena itu, ketika bergerak sepanjang kurva partisi D ke arah peningkatan frekuensi, ia ditetaskan di sebelah kiri. Area di mana guratan menghadap adalah area stabilitas yang diasumsikan. Untuk keputusan akhir, Anda perlu mengambil beberapa nilai sebenarnya dari parameter tersebut di daerah yang diteliti dan menggunakan beberapa kriteria stabilitas. Jika sistem stabil untuk nilai parameter yang dipilih, maka wilayah yang dipertimbangkan adalah wilayah stabilitas.

Contoh. Bangunlah daerah stabilitas sistem stabilisasi sudut pitch pada bidang rasio roda gigi k .

Persamaan karakteristik sistem yang diteliti dapat ditulis sebagai

Dalam ekspresi yang dihasilkan kita akan membuat penggantinya S = J dan kita mendapatkan

Dalam ekspresi ini

Karena kondisi yang diperlukan untuk stabilitas sistem yang dipertimbangkan adalah k >0, maka sumbu imajiner juga merupakan batas stabilitas dan diarahkan ke arah positif k . Nilai koefisien ini, sama dengan 5, berada di dalam daerah yang diarsir dan kita mengetahui bahwa pada nilai ini sistem stabil. Artinya, seluruh segmen sumbu nyata yang terletak di dalam area yang diarsir memberikan nilai rasio roda gigi sudut di mana sistem stabil. Dapat ditunjukkan bahwa ujung ruas ini berada pada titik yang sama dengan nilai kritis koefisien k =16.56.

D - partisi pada bidang dua parameter

Biarkan koefisien persamaan karakteristik bergantung secara linier pada dua parameter Dan sehingga dapat ditulis dalam bentuk

Setelah penggantian S = J kita mendapatkan

Karena seluruh persamaan karakteristik yang ditransformasikan dapat sama dengan nol hanya jika bagian real dan imajinernya sama dengan nol pada saat yang sama, kita memperoleh sistem persamaan untuk parameter variabel

Setelah menyelesaikan sistem (3.33) sehubungan dengan Dan , kita mendapatkan

Dengan menetapkan nilai frekuensi dari - ke +, kita mendefinisikan sekumpulan titik pada bidang - , membentuk kurva partisi D. Fungsi ( ) Dan ( ) genap, dan oleh karena itu, ketika frekuensi berubah dalam batas di atas, kurva partisi D dijalankan dua kali. Saat membuat kurva partisi D pada bidang dua parameter, Anda harus dipandu oleh aturan berikut:

1) jika dalam sistem (3.33) persamaan pertama diperoleh dari bagian nyata, dan persamaan kedua - dari bagian imajiner fungsi P ( J ), Q ( J ) Dan S ( J ) dan jika parameternya dalam menulis itu didahulukan, dan - kedua, maka sistem koordinatnya harus kidal, mis. sumbu adalah sumbu x dengan nilai positif dihitung ke kanan, dan sumbu - sumbu y dengan nilai positif dihitung ke atas;

2) bergerak sepanjang kurva partisi D seiring perubahan frekuensi ke atas, ditetaskan di sebelah kiri jika ( )>0, dan di sebelah kanan jika ( )<0 ; Akibatnya, kurva tersebut diarsir dua kali pada satu sisi, karena pada ujung kurva di =0 Dan = tanda determinan utama ( ) perubahan.

Mungkin ada kasus ketika = * 0, serentak ( *)= = ( *)= ( *)=0. Kemudian sistem (3.33) menjadi bergantung linier dan persamaannya berbeda satu sama lain hanya dengan faktor konstan. Dalam hal ini, sistem ini direduksi menjadi satu persamaan yang didefinisikan pada bidang - garis lurus, yang disebut garis lurus khusus. Jika sebuah garis tunggal memotong kurva partisi D di suatu titik = * dan pada titik ini determinannya ( ) berubah tanda, maka garis lurus ini juga merupakan batas kestabilan dan pada titik yang ditunjukkan arah bayangan kurva dan garis lurus khusus tersebut berubah. Jika di = * tanda determinan utama tidak berubah, maka garis khusus tidak diberi bayangan. Jika suku bebas dari persamaan karakteristik dn = dn ( , ) , maka ini sesuai dengan adanya jalur khusus untuk =0 dan persamaannya adalah

Dokumen serupa

Menilai kestabilan sistem kendali otomatis menggunakan kriteria kestabilan Nyquist, Mikhailov, Hurwitz (Rouse-Hurwitz). Menyusun matriks determinan utama untuk menentukan kestabilan sistem. Daftar program dan analisis hasil.

pekerjaan laboratorium, ditambahkan 06/06/2016


Indikator frekuensi kualitas sistem kontrol otomatis dalam mode sementara. Analisis lengkap stabilitas dan kualitas kontrol untuk sistem loop terbuka dan loop tertutup menggunakan kriteria Hurwitz dan Nyquist, Matlab, produk perangkat lunak MatCad.

tugas kursus, ditambahkan 18/06/2011


Stabilitas sebagai sifat suatu sistem untuk kembali ke keadaan semula setelah dikeluarkan dari keadaan setimbang. Sifat penyelesaian nilai-nilai akar persamaan yang berbeda. Kriteria stabilitas Routh-Hurwitz, Nyquist, Mikhailov, definisi wilayahnya.

abstrak, ditambahkan 15/08/2009


Pertimbangan dasar-dasar fungsi alih sistem loop tertutup. Analisis kestabilan sistem kendali otomatis. Deskripsi mencari persamaan karakteristik suatu sistem dalam keadaan tertutup. Kriteria stabilitas aljabar Hurwitz dan Mikhailov.

tes, ditambahkan 28/04/2014


Sistem kendali otomatis (ACS), jenis dan unit dasarnya. Kriteria aljabar dan grafis untuk stabilitas sistem. Karakteristik frekuensi tautan dinamis dan ACS. Penilaian kualitas regulasi, koreksi sistem otomatis.

tugas kursus, ditambahkan 16/02/2013


Fungsi alih sistem loop terbuka. Analisis kestabilan sistem kendali otomatis. Respon frekuensi fase amplitudo sistem. Kriteria stabilitas Hurwitz. Analisis proses sementara ketika menerapkan efek langkah.

tugas kursus, ditambahkan 18/10/2012


Kriteria aljabar dan frekuensi untuk stabilitas. Urutan kompleks karakteristik. Hodograf fungsi transfer frekuensi sistem loop terbuka. Penentuan stabilitas menggunakan LFC dari sistem loop terbuka. Sistem yang benar-benar stabil dan bersyarat.

abstrak, ditambahkan 21/01/2009


Analisis sistem kendali otomatis asli, penentuan fungsi alih dan koefisien. Analisis kestabilan sistem asli menggunakan kriteria Routh dan Nyquist. Sintesis perangkat korektif dan analisis sistem kontrol yang disintesis.

tugas kursus, ditambahkan 19/04/2011


Mencari fungsi transfer sistem loop terbuka dan loop tertutup, sistem loop tertutup berdasarkan kesalahan dan gangguan. Keakuratan pengolahan input berpengaruh. Stabilitas menurut kriteria Hurwitz. Memilih regulator dan memperjelas parameternya. Nilai indikator dinamis.

tes, ditambahkan 03/04/2014


Melakukan analisis stabilitas sistem loop tertutup. Penentuan fungsi alih sistem loop terbuka dan respon frekuensi fase amplitudo dari sistem kendali otomatis. Penerapan kriteria Hurwitz, Mikhailov dan Nyquist untuk analisis.

HALAMAN \* MERGEFORMAT 14

Kuliah nomor 4

Stabilitas senjata self-propelled

Sifat suatu sistem untuk kembali ke keadaan semula setelah gangguan dihilangkan disebut stabilitas.

Definisi.

Kurva 1 dan 2 mencirikan sistem yang stabil, kurva 3 dan 4 mencirikan sistem yang tidak stabil.ε

Sistem 5 dan 6 berada di batas stabilitas 5 - sistem netral, 6 - batas stabilitas osilasi.

Biarkan persamaan diferensial ACS dalam bentuk operator berbentuk

Maka penyelesaian persamaan diferensial (gerakan sistem) terdiri dari dua bagian Gerakan paksa yang jenisnya sama dengan aksi masukan.

Dengan tidak adanya banyak akar di mana C Saya -integrasi konstan ditentukan dari kondisi awal,

 1 ,  2 …,  n akar persamaan karakteristik

Letak akar cirinya

persamaan sistem pada bidang kompleks

Akar persamaan karakteristik tidak bergantung pada jenis gangguan atau pun

kondisi awal, a hanya ditentukan oleh koefisien a 0 , sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah n , yaitu parameter dan struktur sistem.

1-root nyata, lebih besar dari nol;

2-root nyata, kurang dari nol;

3-root adalah nol;

4-dua akar nol;

5-dua akar konjugat kompleks yang bagian realnya adalah

Positif;

6-dua akar konjugat kompleks, yang bagian riilnya negatif;

7-dua akar konjugat imajiner.

Metode Analisis Stabilitas:

1. Langsung (berdasarkan penyelesaian persamaan diferensial);
2. Tidak langsung (kriteria stabilitas).

Teorema A.M. Lyapunova.

Teorema 1.

Teorema 2.

Catatan:

1. Jika di antara akar-akar persamaan karakteristik terdapat dua atau lebih akar nol, maka sistem tersebut tidak stabil.
2. Jika salah satu akar bernilai nol dan akar lainnya berada pada setengah bidang kiri, maka sistem tersebut netral.
3. Jika 2 akar merupakan konjugat imajiner, dan sisanya berada pada setengah bidang kiri, maka sistem berada pada batas kestabilan osilasi.

Kriteria stabilitas ACS.

Kriteria stabilitas adalah aturan yang memungkinkan seseorang menentukan stabilitas suatu sistem tanpa menghitung akar persamaan karakteristik.

Pada tahun 1877 Routh diinstal:

1. Kriteria stabilitas Hurwitz

Kriteria ini dikembangkan pada tahun 1895.

Biarkan persamaan karakteristik sistem tertutup didefinisikan: kita mereduksi persamaan tersebut ke bentuk sehingga sebuah 0 >0.

Mari kita buat determinan utama Hurwitz menurut aturan berikut:

Sepanjang diagonal utama dituliskan koefisien-koefisien persamaan, mulai dari detik sampai terakhir, kolom-kolom di atas diagonal diisi dengan koefisien-koefisien yang indeksnya meningkat, dan kolom-kolom di bawah diagonalnya diisi dengan koefisien-koefisien yang indeksnya menurun. Dengan tidak adanya koefisien apa pun dalam persamaan dan sebagai ganti koefisien dengan indeks kurang dari 0 atau lebih n tulis nol.

Mari kita soroti minor diagonal atau determinan paling sederhana dalam determinan utama Hurwitz:

Perumusan kriteria.

Untuk sistem yang lebih tinggi dari orde kedua, selain kepositifan semua koefisien persamaan karakteristik, pertidaksamaan berikut harus dipenuhi:

1. Untuk sistem orde ketiga:
2. Untuk sistem orde keempat:
3. Untuk sistem orde kelima:

1. Untuk sistem orde keenam:

Contoh. Persamaan karakteristik diberikan untuk mempelajari stabilitas sistem menurut Hurwitz.

Untuk sistem yang stabil diperlukan dan

2. Kriteria kasar

Kriteria Routh digunakan untuk mempelajari stabilitas sistem tingkat tinggi.

Rumusan kriteria:

meja Routh.

Algoritma pengisian tabel: baris pertama dan kedua berisi koefisien persamaan dengan indeks genap dan ganjil; elemen baris yang tersisa dihitung berdasarkan aturan berikut:

Keuntungan dari kriteria ini: stabilitas sistem dengan tatanan apa pun dapat dipelajari.

2. Kriteria stabilitas Nyquist

Prinsip argumen

Metode frequentist didasarkan pada prinsip argumen.

Mari kita menganalisis sifat-sifat polinomial yang bentuknya:

Dimana i - akar persamaan

Pada bidang kompleks, setiap akar berhubungan dengan titik yang terdefinisi dengan baik. Secara geometris, setiap akari dapat direpresentasikan sebagai vektor yang ditarik dari titik asal ke titik saya : | i | - panjang vektor, argi - sudut antara vektor dan arah positif sumbu x. Mari kita petakan D(p) ke dalam ruang Fourier, lalu di mana j -  saya - vektor dasar.

Ujung-ujung vektor elementer berada pada sumbu imajiner.

Besaran vektor, dan argumen (fase)

Arah putaran vektor berlawanan arah jarum jam dianggap POSITIF. Lalu saat berganti dari ke setiap vektor dasar ( j  -  saya ) akan berbelok membentuk sudut + jika  saya terletak di setengah bidang kiri.

Misalkan D ( )=0 mempunyai m akar di setengah bidang kanan dan n - m akar di sebelah kiri, lalu meningkat dari untuk mengubah argumen vektor D(j ) (sudut rotasi D(j ), sama dengan jumlah perubahan argumen vektor elementer) adalah

Prinsip argumen:

Kriteria Nyquist didasarkan pada karakteristik frekuensi rangkaian terbuka ACS, karena jenis karakteristik frekuensi rangkaian terbuka dapat digunakan untuk menilai stabilitas sistem tertutup.

Kriteria Nyquist banyak digunakan dalam praktik teknik karena alasan berikut:

1. Stabilitas suatu sistem dalam keadaan tertutup dipelajari oleh fungsi transfer frekuensi rangkaian terbukanya, dan fungsi ini paling sering terdiri dari faktor sederhana. Koefisien adalah parameter nyata dari sistem, yang memungkinkan Anda memilihnya dari kondisi stabilitas.
2. Untuk mempelajari stabilitas, Anda dapat menggunakan karakteristik frekuensi yang diperoleh secara eksperimental dari elemen paling kompleks dari sistem (objek kontrol, badan eksekutif), yang meningkatkan keakuratan hasil yang diperoleh.
3. Stabilitas dapat dipelajari dengan menggunakan LFC, yang konstruksinya sederhana.
4. Lebih mudah untuk menentukan margin stabilitas.

1. Sistem stabil dalam keadaan terbuka

Mari kita perkenalkan fungsi tambahan dan ganti p  j  , lalu

Menurut prinsip argumen, mengubah argumen D(j ) dan D з (j  ) pada 0<  <  sama dengan Maka itulah hodografnya W 1 (j  ) tidak boleh menjangkau asal.

Untuk mempermudah analisa dan perhitungan, mari kita geser titik asal vektor jari-jari dari titik asal ke titik (-1, J 0), dan sebagai pengganti fungsi bantu W 1 (j  ) kami menggunakan AFC dari sistem loop terbuka W (j  ).

Rumusan kriteria No.1

Contoh.

Perhatikan bahwa perbedaan jumlah transisi positif dan negatif AFC ke kiri titik (-1, j 0) sama dengan nol.

2. Suatu sistem yang mempunyai kutub-kutub pada sumbu imajinernya dalam keadaan terbuka

Untuk menganalisis kestabilan sistem AFC, sistem tersebut dilengkapi dengan lingkaran dengan radius yang sangat besar di 0 berlawanan arah jarum jam dengan setengah sumbu nyata positif pada kutub nol, dan dalam kasus akar imajiner murni - setengah lingkaran searah jarum jam pada titik diskontinuitas AFC.

Rumusan kriteria No.2

1. Sistem sirkuit terbuka intermiten

Kasus yang lebih umum - penyebut fungsi transfer sistem loop terbuka berisi akar-akar yang terletak pada setengah bidang kanan. Munculnya ketidakstabilan pada sistem loop terbuka disebabkan oleh dua alasan:

1. Konsekuensi dari adanya tautan yang tidak stabil;
2. Konsekuensi dari hilangnya stabilitas tautan yang diliputi oleh umpan balik positif atau negatif.

X Meskipun secara teoritis seluruh sistem dalam keadaan tertutup dapat menjadi stabil dengan adanya ketidakstabilan pada rangkaian umpan balik lokal, dalam praktiknya kasus seperti itu tidak diinginkan dan harus dihindari dengan mencoba hanya menggunakan umpan balik lokal yang stabil. Hal ini dijelaskan oleh adanya sifat-sifat yang tidak diinginkan, khususnya munculnya stabilitas bersyarat, yang, mengingat nonlinier yang biasanya terdapat dalam sistem, dalam beberapa mode dapat menyebabkan hilangnya stabilitas dan munculnya osilasi mandiri. Oleh karena itu, sebagai suatu peraturan, ketika menghitung sistem, umpan balik lokal dipilih yang stabil ketika umpan balik utama terbuka.

Biarkan polinomial karakteristik D(hal ) sistem loop terbuka memiliki M akar dengan bagian real positif.

Kemudian

Fungsi bantuan penggantian p  j  menurut prinsip argumen untuk sistem tertutup yang stabil harus memiliki perubahan argumen berikut di

Rumusan kriteria No.3

Formulasi oleh Ya.Z. Tsypkina

Kriteria Nyquist untuk LFC

Catatan: karakteristik fase LFC sistem astatik dilengkapi dengan bagian monotonik + /2 pada  0.

Benar-benar berkelanjutanMereka menyebut sistem yang tetap stabil untuk setiap penurunan penguatan rangkaian terbuka, jika tidak, sistem tersebut stabil secara kondisional.

Sistem yang dapat dibuat stabil dengan mengubah parameternya disebutstabil secara struktural, jika tidak, secara struktural tidak stabil.

Margin stabilitas

Untuk pengoperasian normal, setiap ACS harus dikeluarkan dari batas stabilitas dan memiliki margin stabilitas yang cukup. Perlunya hal ini disebabkan oleh hal-hal sebagai berikut:

1. Persamaan elemen ACS, sebagai suatu peraturan, diidealkan, faktor sekunder tidak diperhitungkan saat menyusunnya;
2. Saat linierisasi persamaan, kesalahan perkiraan semakin meningkat;
3. Parameter elemen ditentukan dengan beberapa kesalahan;
4. Parameter elemen dari jenis yang sama memiliki variasi teknologi;
5. Selama operasi, parameter elemen berubah karena penuaan.

Dalam praktek perhitungan teknik, penentuan margin stabilitas yang paling banyak digunakan adalah berdasarkan kriteria NYQVIST, berdasarkan jarak AFC suatu sistem loop terbuka dari titik kritis dengan koordinat (-1, J 0), yang dinilai dengan dua indikator: margin stabilitas fase dan margin stabilitas dalam modulus (dalam amplitudo) H.

Agar ATS memiliki margin stabilitas minimal dan H , AFC dari rangkaian terbukanya, jika kriteria stabilitas terpenuhi, tidak boleh memasuki bagian cincin yang diarsir pada Gambar. 1, dimana H ditentukan oleh relasinya

Jika stabilitas ditentukan oleh LFC dari sistem yang stabil bersyarat, maka untuk memastikan margin stabilitas minimal dan h diperlukan agar:

a) untuk h  L  - h karakteristik frekuensi fase memenuhi ketidaksetaraanθ > -180  +  atau θ< -180  -  , yaitu. tidak memasuki area yang diarsir 1 pada Gambar. 2;

b) pada -180  +   θ  -180  -  karakteristik frekuensi amplitudo memenuhi ketidaksetaraan L< - h или L >H , yaitu. tidak memasuki area yang diarsir 2" dan 2" pada Gambar 2.

Untuk sistem yang benar-benar stabil, margin stabilitas dan h ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3:

1. Margin fase

1. Margin modulo h =- L (ω -π), di mana ω -π frekuensi di mana θ=-180˚ .

Nilai margin stabilitas yang diperlukan bergantung pada kelas ATS dan persyaratan kualitas regulasi. Kira-kira seharusnya begitu =30  60  dan jam =6  20dB.

Margin stabilitas minimum yang diijinkan dalam amplitudo harus tidak kurang dari 6 dB (yaitu, koefisien transfer sistem loop terbuka adalah setengah dari nilai kritis), dan dalam fase tidak kurang dari 25 30  .

Stabilitas sistem dengan link tunda murni

Jika AFC sistem loop terbuka melewati titik (-1, J 0), maka sistem berada pada ambang stabilitas.

Suatu sistem dengan penundaan murni dapat dibuat stabil jika hubungan bebas inersia dengan koefisien transfer kurang dari 1 disertakan dalam rangkaian. Jenis perangkat koreksi lainnya juga dimungkinkan.

Sistem yang stabil secara struktural dan sistem yang tidak stabil secara struktural

Salah satu cara untuk mengubah kualitas sistem (dalam hal stabilitas) adalah dengan mengubah koefisien transfer sistem loop terbuka.

Ketika k L ( ) akan naik atau turun. Jika k meningkat, L ( ) naik dan  rata-rata akan meningkat, namun sistem akan tetap tidak stabil. Jika k menurun, maka sistem dapat dibuat stabil. Ini adalah salah satu cara untuk memperbaiki sistem.

Sistem yang dapat dibuat stabil dengan mengubah parameter sistem disebut BERKELANJUTAN STRUKTUR.

Untuk sistem ini terdapat rasio transfer loop terbuka yang kritis. K kritis. ini adalah koefisien transfer ketika sistem berada di ambang stabilitas.

Ada sistem yang TIDAK STABIL SECARA STRUKTUR - ini adalah sistem yang tidak dapat dibuat stabil dengan mengubah parameter sistem, tetapi untuk stabilitas perlu mengubah struktur sistem.

Contoh.

Mari kita pertimbangkan tiga kasus:

1. Membiarkan

Kemudian

Mari kita periksa pengoperasian sistem untuk stabilitas.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Untuk menentukan k rs.cr. mari kita samakan dengan nol 2 .

Kemudian

Kapan kapan

Sistem yang dipertimbangkan STABIL SECARA STRUKTUR, karena dapat distabilkan dengan mengubah parameter tautan.

1. Biarkan semuanya sama seperti pada kasus pertama.

Sekarang tidak ada kesalahan statis pada saluran kontrol.

Kondisi stabilitas Hurwitz:

Misalkan  2 =0, maka jika sistem tidak stabil.

Sistem dengan astatisme orde 1 ini STABIL SECARA STRUKTUR.

1. Membiarkan

Sistem selalu tidak stabil. Sistem ini SECARA STRUKTUR TIDAK STABIL.

Stabilitas senjata self-propelled

Nol dan kutub fungsi transfer

Akar-akar polinomial pada pembilang fungsi transfer disebut angka nol, dan akar-akar polinomial penyebutnya adalah tiang fungsi alih. Polandia pada saat bersamaan akar persamaan karakteristik, atau nomor karakteristik.

Jika akar-akar pembilang dan penyebut suatu fungsi transfer terletak pada setengah bidang kiri (sedangkan akar-akar pembilang dan penyebutnya terletak pada setengah bidang atas), maka hubungan tersebut disebut fase minimum.

Korespondensi dengan setengah bidang kiri akar R setengah bidang atas akar (Gbr. 2.2.1) dijelaskan oleh fakta bahwa, atau , yaitu. suatu vektor diperoleh dari suatu vektor dengan cara memutarnya membentuk sudut searah jarum jam. Akibatnya, semua vektor dari setengah bidang kiri sampai ke vektor-vektor di setengah bidang atas.

Fase non-minimal dan tautan tidak stabil

Tautan dari tipe posisi dan pembeda yang dibahas di atas termasuk dalam tautan stabil, atau tautan self-leveling.

Di bawah meratakan diri mengacu pada kemampuan suatu tautan untuk secara spontan mencapai nilai kondisi mapan baru dengan perubahan terbatas pada nilai masukan atau pengaruh yang mengganggu. Biasanya, istilah penyelarasan diri digunakan untuk tautan yang tunduk pada regulasi.

Terdapat tautan yang perubahan terbatas pada nilai masukannya tidak menyebabkan tautan tersebut mencapai kondisi tunak baru, dan nilai keluarannya cenderung meningkat tanpa batas seiring waktu. Ini, misalnya, termasuk tautan bertipe integrasi.

Ada beberapa kaitan di mana proses ini bahkan lebih terasa. Hal ini dijelaskan dengan adanya akar real positif atau akar kompleks dengan bagian real positif dalam persamaan karakteristik (penyebut fungsi transfer sama dengan nol), sehingga link tersebut akan diklasifikasikan sebagai tautan yang tidak stabil.

Misalnya pada kasus persamaan diferensial , kami memiliki fungsi transfer dan persamaan karakteristik dengan akar real positif. Tautan ini mempunyai karakteristik frekuensi amplitudo yang sama dengan tautan inersia dengan fungsi transfer. Namun karakteristik frekuensi fase dari tautan ini sama. Untuk tautan inersia yang kami miliki . Untuk tautan dengan fungsi transfer yang kami miliki

itu. nilai absolut yang lebih besar.

Dalam hal ini, tautan tidak stabil termasuk dalam grup bukan tautan fase minimum.

Tautan fase non-minimum juga mencakup tautan stabil yang mempunyai akar real positif atau akar kompleks dengan bagian real positif pada pembilang fungsi transfer (sesuai dengan ruas kanan persamaan diferensial).

Misalnya link dengan fungsi transfer termasuk dalam kelompok tautan fase non-minimal. Modul fungsi transfer frekuensi bertepatan dengan modul fungsi transfer frekuensi dari link yang mempunyai fungsi transfer . Tetapi pergeseran fasa dari tautan pertama lebih besar nilai absolutnya:

Tautan fase minimum memiliki pergeseran fasa yang lebih kecil dibandingkan dengan tautan terkait yang memiliki karakteristik frekuensi amplitudo yang sama.

Mereka mengatakan bahwa sistem stabil atau memiliki self-leveling jika, setelah gangguan eksternal dihilangkan, ia kembali ke keadaan semula.

Karena gerak suatu sistem dalam keadaan bebas digambarkan dengan persamaan diferensial homogen, maka definisi matematis sistem stabil dapat dirumuskan sebagai berikut:

Suatu sistem disebut stabil asimtotik jika kondisinya terpenuhi (2.9.1)

Dari analisis solusi umum (1.2.10), kondisi stabilitas perlu dan cukup sebagai berikut:

Untuk kestabilan sistem, semua akar persamaan karakteristik harus memiliki bagian nyata yang sangat negatif, yaitu. Reputasi Saya , SAYA = 1…N. (2.9.2)

Untuk lebih jelasnya, akar persamaan karakteristik biasanya digambarkan pada bidang kompleks pada Gambar 2.9.1a. Ketika melakukan apa yang perlu dan cukup

Gambar 8.12. Bidang akar

ciri

persamaan A(P) = 0

OU - wilayah stabilitas

Kondisi ketiga (2.9.2) adalah semua akar terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, yaitu. di bidang keberlanjutan.

Oleh karena itu, kondisi (2.9.2) dapat dirumuskan sebagai berikut.

Untuk kestabilan, semua akar persamaan karakteristik harus ditempatkan pada setengah bidang kiri.

Definisi umum yang ketat tentang stabilitas, metode untuk mempelajari stabilitas sistem nonlinier dan kemungkinan memperluas kesimpulan tentang stabilitas sistem linier ke sistem nonlinier asli diberikan oleh ilmuwan Rusia A.M. Lyapunov.

Dalam praktiknya, stabilitas sering kali ditentukan secara tidak langsung, menggunakan apa yang disebut kriteria stabilitas tanpa secara langsung menemukan akar persamaan karakteristik. Ini termasuk kriteria aljabar: kondisi Stodola, kriteria Hurwitz dan Mikhailov, serta kriteria frekuensi Nyquist. Dalam hal ini, kriteria Nyquist memungkinkan seseorang untuk menentukan stabilitas sistem loop tertutup dengan AFC atau karakteristik logaritmik dari sistem loop terbuka.

Kondisi stodola

Kondisi tersebut diperoleh oleh ahli matematika Slovakia Stodola pada akhir abad ke-19. Hal ini menarik dari sudut pandang metodologis untuk memahami kondisi stabilitas sistem.

Mari kita tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk

D(p) = sEBUAH 0 P N + sebuah 1 P N- 1 +…sebuah N = 0. (2.9.3)

Menurut Stodol, untuk stabilitas hal itu perlu, tetapi tidak cukup A 0 > 0 semua koefisien lainnya benar-benar positif, yaitu

A 1 > 0 ,..., A N > 0.

Kebutuhan dapat dibentuk seperti ini:

Jika sistem stabil, maka semua akar persamaan karakteristik memiliki , yaitu. adalah kaum kiri.

Bukti perlunya adalah dasar. Menurut teorema Bezout, polinomial karakteristik dapat direpresentasikan sebagai

Misalkan , yaitu bilangan real, dan – akar konjugasi kompleks. Kemudian

Hal ini menunjukkan bahwa dalam kasus polinomial dengan koefisien real, akar-akar kompleksnya adalah konjugasi berpasangan. Terlebih lagi, jika , maka kita mempunyai hasil kali polinomial dengan koefisien positif, yang menghasilkan polinomial hanya dengan koefisien positif.

Kegagalan Kondisi Stodola adalah kondisi tersebut tidak menjamin segalanya. Hal ini dapat dilihat pada contoh spesifik dengan mempertimbangkan polinomial derajat.

Perhatikan bahwa dalam kasus ini, kondisi Stodola perlu dan cukup. Ini mengikuti dari. Jika , maka dan begitu .

Sebab, dari analisis rumus akar-akar persamaan kuadrat juga mengikuti syarat kecukupan.

Dua konsekuensi penting muncul dari kondisi Stodola.

1. Jika syarat terpenuhi dan sistem tidak stabil, maka proses transisi bersifat osilasi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan dengan koefisien positif tidak dapat mempunyai akar-akar real positif. Menurut definisinya, akar adalah bilangan yang menghilangkan polinomial karakteristiknya. Tidak ada bilangan positif yang dapat menghilangkan polinomial dengan koefisien positif, yaitu menjadi akarnya.

2. Kepositifan koefisien polinomial karakteristik (masing-masing, pemenuhan kondisi Stodola) dipastikan dalam kasus umpan balik negatif, yaitu. dalam kasus jumlah inversi sinyal ganjil sepanjang loop tertutup. Dalam hal ini, polinomial karakteristik. Jika tidak, dan setelah membawa koefisien serupa, beberapa koefisien bisa menjadi negatif.

Perhatikan bahwa umpan balik negatif tidak mengecualikan kemungkinan tidak terpenuhinya kondisi Stodola. Misalnya, jika , a , maka dalam kasus umpan balik negatif tunggal . Dalam polinomial ini, koefisien pada sama dengan nol. Tidak ada koefisien negatif, namun kondisi tersebut tidak terpenuhi, karena memerlukan pemenuhan pertidaksamaan secara ketat.

Hal ini ditegaskan oleh contoh berikut.

Contoh 2.9.1. Terapkan kondisi Stodola ke rangkaian pada Gambar. 2.9.2.

Fungsi transfer sistem umpan balik negatif unit loop terbuka adalah sama dengan dan persamaan karakteristik sistem loop tertutup adalah jumlah dari pembilang dan penyebutnya, yaitu.

D(hal) = hal 2 +k 1 k 2 = 0.

Karena tidak ada anggota dengan R pada derajat pertama ( A 1 = 0), maka kondisi Stodola tidak terpenuhi dan sistem tidak stabil. Sistem ini secara struktural tidak stabil, karena tidak ada nilai parameternya k 1 dan k 2 tidak bisa berkelanjutan.

Untuk membuat sistem stabil, Anda perlu memperkenalkan koneksi tambahan atau tautan korektif, mis. mengubah struktur sistem. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh. Pada Gambar. 2.9.3. tautan rantai langsung diwakili oleh tautan yang dihubungkan secara seri dengan fungsi transfer dan . Sejalan dengan perkenalan pertama, ada koneksi tambahan.

P
Fungsi transfer sistem loop terbuka melalui sambungan negatif satuan dan persamaan karakteristik sistem loop tertutup masing-masing sama dengan

,

Sekarang kondisi Stodola terpenuhi untuk semua orang . Karena dalam kasus persamaan derajat kedua hal ini tidak hanya perlu, tetapi juga cukup, sistem stabil terhadap faktor penguatan positif apa pun.

Pada Gambar 2.9.4, tautan gaya sekuensial dimasukkan ke dalam rangkaian. Fungsi alih sistem sambungan negatif tunggal rangkaian terbuka dalam hal ini adalah sama dengan dan persamaan karakteristik sistem tertutup adalah sama dengan

Mirip dengan yang sebelumnya, sistem ini stabil untuk semua hal positif.

Kriteria stabilitas Rouss-Hurwitz

Matematikawan Rouss (Inggris) dan Hurwitz (Swiss) mengembangkan kriteria ini pada waktu yang hampir bersamaan. Perbedaannya terletak pada algoritma perhitungannya. Kita akan mengenal kriteria dalam rumusan Hurwitz.

Menurut Hurwitz, untuk stabilitas diperlukan dan cukup kapan A 0 > 0 determinan Hurwitz  =  N dan semua anak di bawah umur utamanya  1 ,  2 ,...,  N -1 sangat positif, yaitu.

(2.9.4)

Struktur determinan Hurwitz mudah diingat, mengingat koefisiennya terletak di sepanjang diagonal utama A 1 ,… ,A N, garis-garis tersebut memuat koefisien-koefisien yang dipisahkan satu; jika habis, maka ruang-ruang kosong diisi dengan angka nol.

Contoh 2.9.2. Untuk mempelajari stabilitas Hurwitz suatu sistem dengan satuan umpan balik negatif, dalam rantai lurus yang mencakup tiga tautan inersia dan, oleh karena itu, fungsi transfer sistem loop terbuka memiliki bentuk (2.9.5)

Mari kita tulis persamaan karakteristik sistem tertutup sebagai jumlah pembilang dan penyebut (2.9.5):

Karena itu,

Penentu Hurwitz dan anak di bawah umurnya mempunyai bentuk

mempertimbangkan A 0 > 0, kepositifan ketat dari determinan Hurwitz dan minor (2.9.6) menyiratkan kondisi Stodola dan, sebagai tambahan, kondisi A 1 A 2 - A 0 A 3 > 0, yang setelah mensubstitusi nilai koefisien memberikan

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Dari sini terlihat bahwa semakin meningkat k sistem dapat berubah dari stabil menjadi tidak stabil, karena ketimpangan (2.9.7) tidak lagi terpenuhi.

Fungsi alih sistem karena kesalahan adalah sama dengan

Menurut teorema tentang nilai akhir aslinya, kesalahan kondisi tunak dalam pemrosesan sinyal langkah tunggal akan sama dengan 1/(1+ k). Akibatnya, muncul kontradiksi antara stabilitas dan akurasi. Untuk mengurangi kesalahan, Anda perlu meningkatkannya k, tetapi hal ini menyebabkan hilangnya stabilitas.

Prinsip argumen dan kriteria stabilitas Mikhailov

Kriteria Mikhailov didasarkan pada apa yang disebut prinsip argumen.

Mari kita perhatikan polinomial karakteristik sistem loop tertutup, yang menurut teorema Bezout, dapat direpresentasikan dalam bentuk

D(p) = sEBUAH 0 P N + sebuah 1 P N- 1 +…+ sebuah N = sebuah 0 (hal - hal 1 )…(hal - hal N ).

Mari kita melakukan substitusi hal = j

D(j ) = sebuah 0 (J ) N + sebuah 1 (J ) N- 1 +…+ sebuah N = sebuah 0 (J - P 1 )…(J - P N ) = X( )+jY( ).

Untuk nilai tertentu  mempunyai titik pada bidang kompleks yang diberikan oleh persamaan parametrik

E
jika berubah  dalam rentang - hingga , maka kurva Mikhailov, yaitu hodograf, akan digambar. Mari kita pelajari rotasi vektor D(j ) ketika itu berubah  dari - hingga , yaitu, kita menemukan pertambahan argumen vektor (argumennya sama dengan jumlah perkalian vektor): .

Pada  = -  beda vektor yang titik awalnya ada di titik R i, dan ujung sumbu imajiner diarahkan vertikal ke bawah. Saat Anda tumbuh  ujung vektor meluncur sepanjang sumbu imajiner, dan kapan  =  vektor diarahkan vertikal ke atas. Jika akarnya tertinggal (Gbr. 2.9.19a), maka  argumen = + , dan jika akarnya benar, maka  argumen = - .

Jika persamaan karakteristik mempunyai M akar kanan (masing-masing n - m kiri), lalu .

Inilah prinsip argumennya. Saat memilih bagian sebenarnya X( ) dan imajiner kamu( ) kami dikaitkan dengan X( ) semua istilah yang mengandung J sampai tingkat yang genap, dan sampai kamu( ) - sampai tingkat yang ganjil. Oleh karena itu, kurva Mikhailov simetris terhadap sumbu nyata ( X( ) - bahkan, kamu( ) – fungsi ganjil). Akibatnya, jika Anda berubah  dari 0 hingga +, maka kenaikan argumen akan menjadi setengahnya. Dalam hal ini, akhirnya prinsip argumen dirumuskan sebagai berikut . (2.9.29)

Jika sistem stabil, mis. M= 0, maka diperoleh kriteria stabilitas Mikhailov.

Menurut Mikhailov, untuk stabilitas itu perlu dan cukup

, (2.9.30)

artinya, kurva Mikhailov harus melewatinya secara berturut-turut N

Jelasnya, untuk menerapkan kriteria Mikhailov, konstruksi kurva yang tepat dan rinci tidak diperlukan. Penting untuk menentukan bagaimana hal itu terjadi di sekitar titik asal koordinat dan apakah urutan lintasannya dilanggar N seperempat berlawanan arah jarum jam.

Contoh 2.9.6. Terapkan kriteria Mikhailov untuk memeriksa stabilitas sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.9.20.

Polinomial karakteristik sistem loop tertutup di k 1 k 2 > 0 berhubungan dengan sistem yang stabil, sehingga kondisi Stodola terpenuhi, dan untuk N = 1 sudah cukup. Anda bisa langsung mencari akarnya R 1 = - k 1 k 2 dan pastikan bahwa kondisi stabilitas yang diperlukan dan cukup terpenuhi. Oleh karena itu, penerapan kriteria Mikhailov bersifat ilustratif. Percaya P= J , kita mendapatkan

D(J ) = X( )+ jY( ),

Di mana X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Menggunakan persamaan parametrik (2.9.31), hodograf Mikhailov dibuat pada Gambar. 2.9.21, yang darinya jelas bahwa ketika berubah  vektor 0 sampai  D(J ) berputar berlawanan arah jarum jam sebesar +  /2, yaitu sistemnya stabil.

Kriteria stabilitas Nyquist

KE Seperti telah disebutkan, kriteria Nyquist menempati posisi khusus di antara kriteria stabilitas. Ini adalah kriteria frekuensi yang memungkinkan Anda menentukan stabilitas sistem loop tertutup berdasarkan karakteristik frekuensi sistem loop terbuka. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa sistem terbuka pada rangkaian umpan balik negatif tunggal (Gbr. 2.9.22).

Salah satu kelebihan kriteria Nyquist adalah karakteristik frekuensi sistem loop terbuka dapat diperoleh secara eksperimental.

Penurunan kriteria didasarkan pada penggunaan prinsip argumentasi. Fungsi transfer sistem loop terbuka (melalui rangkaian umpan balik negatif tunggal pada Gambar 2.9.22) adalah sama dengan

Mari kita pertimbangkan. (2.9.32)

Dalam kasus sistem nyata dengan bandwidth terbatas, derajat penyebut fungsi transfer loop terbuka P lebih besar dari pangkat pembilangnya, yaitu N> . Oleh karena itu, derajat polinomial karakteristik sistem loop terbuka dan sistem loop tertutup adalah sama dan setara N. Transisi dari AFC sistem loop terbuka ke AFC menurut (2.9.32) berarti peningkatan bagian nyata sebesar 1, yaitu. memindahkan titik asal koordinat ke titik (-1, 0), seperti terlihat pada Gambar 2.9.23.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa sistem loop tertutup stabil, dan persamaan karakteristik sistem loop terbuka adalah SEBUAH(p) = 0 punya M akar yang benar. Kemudian sesuai dengan prinsip argumen (2.9.29), diperoleh kondisi perlu dan cukup untuk kestabilan sistem loop tertutup menurut Nyquist

Itu. untuk stabilitas vektor sistem loop tertutup W 1 (J ) harus dilakukan M/2 putaran penuh berlawanan arah jarum jam, yang setara dengan memutar vektor W pa z (J ) relatif terhadap titik kritis (-1.0).

Dalam praktiknya, sebagai suatu peraturan, sistem loop terbuka stabil, yaitu. M= 0. Dalam hal ini, pertambahan argumen adalah nol, yaitu. AFC dari sistem loop terbuka tidak boleh mencakup titik kritis (-1.0).

Kriteria Nyquist untuk LAC dan LFC

Dalam prakteknya, karakteristik logaritma dari sistem loop terbuka lebih sering digunakan. Oleh karena itu, disarankan untuk merumuskan kriteria Nyquist untuk menentukan stabilitas sistem loop tertutup berdasarkan kriteria tersebut. Jumlah putaran AFC relatif terhadap titik kritis (-1.0) dan tercakup atau tidak

bergantung pada jumlah perpotongan positif dan negatif interval (-,-1) sumbu nyata dan, karenanya, perpotongan garis -180° dengan karakteristik fasa di wilayah tersebut L( )  0 . Gambar 2.9.24 menunjukkan AFC dan menunjukkan tanda-tanda perpotongan segmen (-,-1) sumbu nyata.

Aturan yang adil

dimana adalah banyaknya perpotongan positif dan negatif.

Berdasarkan AFC pada Gambar 2.9.24c, LAC dan LFC dibangun, ditunjukkan pada Gambar 2.9.25, dan perpotongan positif dan negatif ditandai pada LFC. Pada segmen (-,-1) modulusnya lebih besar dari satu, yang bersesuaian dengan L( ) > 0. Oleh karena itu, Kriteria Nyquist:

D Untuk stabilitas sistem loop tertutup LFC dari sistem loop terbuka di wilayah dimana L( ) > 0, harus memiliki lebih banyak perpotongan positif pada garis -180° dibandingkan perpotongan negatif.

Jika sistem loop terbuka stabil, maka banyaknya perpotongan positif dan negatif garis -180° dengan karakteristik fasa pada daerah tersebut L( ) > 0 untuk kestabilan sistem lingkar tertutup harus sama atau tidak boleh ada perpotongan.

Kriteria Nyquist untuk sistem astatik

Sangat penting untuk mempertimbangkan kasus sistem tatanan astatik R dengan fungsi transfer sistem loop terbuka sama dengan

.

Pada kasus ini pada 0, yaitu karakteristik fase amplitudo (APC) dari sistem loop terbuka menuju tak terhingga. Sebelumnya, kami membuat AFH saat berganti  dari - hingga  dan merupakan kurva kontinu, ditutup pada  =  0. Sekarang juga tutup pada  = 0, tetapi pada tak terhingga dan tidak jelas pada sisi sumbu nyata yang mana (pada tak terhingga di kiri atau di kanan?).

Gambar 2.9.19c menggambarkan bahwa dalam hal ini terdapat ketidakpastian dalam menghitung pertambahan argumen vektor selisih. Sekarang selalu terletak di sepanjang sumbu imajiner (bertepatan dengan J ). Hanya ketika melintasi nol arahnya berubah (dalam hal ini, vektor diputar berlawanan arah jarum jam  atau searah jarum jam sebesar -?), Untuk lebih jelasnya, kita asumsikan secara kondisional bahwa akar berada di kiri dan pembulatan titik asal terjadi sepanjang busur dengan radius sangat kecil berlawanan arah jarum jam (rotasi sebesar +  ). Oleh karena itu di sekitarnya  = 0 akan direpresentasikan dalam formulir

,

Di mana  = +  ketika itu berubah  dari – 0 hingga + 0. Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa dengan pengungkapan ketidakpastian seperti itu, AFC berubah dengan perubahan  dari – 0 hingga + 0 per sudut - searah jarum jam. AFC yang dibangun harus demikian  = 0 dilengkapi dengan busur berjari-jari tak terhingga yang membentuk sudut , yaitu berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu semi real positif.

Margin stabilitas berdasarkan modulus dan fase

Untuk menjamin stabilitas ketika parameter sistem berubah, margin stabilitas diperkenalkan dalam modulus dan fase, ditentukan sebagai berikut.

Modulo margin stabilitas menunjukkan berapa kali atau berapa desibel diperbolehkan menambah atau mengurangi penguatan agar sistem tetap stabil (berada pada batas kestabilan). Ini didefinisikan sebagai min( L 3 , L 4) pada Gambar 2.9.25. Memang kalau LFC tidak diubah, nanti LFC naik L 4 frekuensi pemutusan  cp akan langsung ke intinya  4 dan sistem akan berada pada batas stabilitas. Jika Anda menurunkan LAX ke L 3, maka frekuensi cutoff akan bergeser ke kiri menuju titik  3 dan sistem juga akan berada pada batas stabilitas. Jika kita menurunkan LAX lebih rendah lagi, maka di wilayah tersebut L( ) > 0 hanya akan tetap menjadi perpotongan negatif garis LFC -180°, yaitu. menurut kriteria Nyquist, sistem akan menjadi tidak stabil.

Margin stabilitas fase menunjukkan seberapa besar diperbolehkannya peningkatan pergeseran fasa dengan penguatan konstan agar sistem tetap stabil (berada pada batas kestabilan). Ini didefinisikan sebagai pelengkap  ( lih) hingga -180°.

Saat latihan L  12-20dB,   20-30°.