Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa. Mengurangi pecahan ke penyebut yang sama. Konsep NOC. Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Penjumlahan dan pengurangan pecahan Cara menghitung pecahan sederhana

Pecahan- bilangan yang terdiri dari bilangan bulat pecahan suatu satuan dan direpresentasikan dalam bentuk: a/b

Pembilang pecahan (a)- angka yang terletak di atas garis pecahan dan menunjukkan jumlah bagian yang membagi satuan tersebut.

Penyebut pecahan (b)- angka yang terletak di bawah garis pecahan dan menunjukkan berapa bagian satuan tersebut habis dibagi.

2. Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

3. Operasi aritmatika pada pecahan biasa

3.1. Penjumlahan pecahan biasa

3.2. Pengurangan pecahan

3.3. Mengalikan pecahan biasa

3.4. Pembagian pecahan

4. Nomor timbal balik

5. Desimal

6. Operasi aritmatika pada desimal

6.1. Menambahkan Desimal

6.2. Pengurangan Desimal

6.3. Mengalikan Desimal

6.4. Pembagian desimal

#1. Sifat utama pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak sama dengan nol, maka diperoleh pecahan yang sama dengan bilangan yang diberikan.

3/7=3*3/7*3=9/21, yaitu 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - seperti inilah sifat utama pecahan.

Dengan kata lain, kita mendapatkan pecahan yang sama dengan pecahan tertentu dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut pecahan asal dengan bilangan asli yang sama.

Jika iklan=bc, maka dua pecahan a/b =c /d dianggap sama.

Misalnya, pecahan 3/5 dan 9/15 akan sama, karena 3*15=5*9, yaitu 45=45

Mengurangi sebagian kecil adalah proses penggantian pecahan yang pecahan barunya sama dengan pecahan aslinya, namun pembilang dan penyebutnya lebih kecil.

Merupakan kebiasaan untuk mereduksi pecahan berdasarkan sifat dasar pecahan.

Misalnya, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (pembilang dan penyebutnya dibagi angka 3, 5, dan 15).

Pecahan yang tidak dapat direduksi adalah sebagian kecil dari bentuk 3/4 ​ ​ , dimana pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan prima. Tujuan utama mereduksi suatu pecahan adalah agar pecahan tersebut tidak dapat direduksi lagi.

2. Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu:

1) faktorkan penyebut setiap pecahan menjadi faktor prima;

2) kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan pecahan yang hilang

faktor dari perluasan penyebut kedua;

3) kalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan faktor-faktor yang hilang dari pemuaian pertama.

Contoh: Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.

Mari kita faktorkan penyebutnya menjadi faktor sederhana: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor 5 yang hilang dari pemuaian kedua.

pembilang dan penyebut pecahan menjadi faktor 3 dan 2 yang hilang dari pemuaian pertama.

= , 90 – penyebut pecahan yang sama.

3. Operasi aritmatika pada pecahan biasa

3.1. Penjumlahan pecahan biasa

a) Jika penyebutnya sama, maka pembilang pecahan pertama dijumlahkan dengan pembilang pecahan kedua, sehingga penyebutnya tetap sama. Seperti yang Anda lihat pada contoh:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Untuk penyebut yang berbeda, pecahan terlebih dahulu direduksi menjadi penyebut yang sama, kemudian pembilangnya dijumlahkan sesuai aturan a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Pengurangan pecahan

a) Jika penyebutnya sama, kurangi pembilang pecahan kedua dengan pembilang pecahan pertama, biarkan penyebutnya tetap sama:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Jika penyebut pecahannya berbeda, maka pecahan tersebut terlebih dahulu dibawa ke penyebut yang sama, kemudian diulangi tindakan seperti pada poin a).

3.3. Mengalikan pecahan biasa

Mengalikan pecahan mengikuti aturan berikut:

a/b*c/d=a*c/b*d,

yaitu mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah.

Misalnya:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Pembagian pecahan

Pecahan dibagi dengan cara berikut:

a/b:c/d=a*d/b*c,

yaitu pecahan a/b dikalikan dengan kebalikan pecahan tertentu, yaitu dikalikan dengan d/c.

Contoh: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Bilangan timbal balik

Jika a*b=1, maka bilangan b adalah nomor timbal balik untuk nomor a.

Contoh : untuk angka 9 kebalikannya adalah 1/9 ​ ​ , sejak 9*1/9 = 1 , untuk angka 5 - angka kebalikannya 1/5 ​ ​ , Karena 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Desimal

Desimal adalah pecahan biasa yang penyebutnya sama 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ N​ ​ .

Misalnya: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Yang salah dengan penyebut ditulis dengan cara yang sama 10^n atau angka campuran.

Misalnya: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Pecahan biasa apa pun yang penyebutnya merupakan pembagi pangkat 10 tertentu direpresentasikan sebagai pecahan desimal.

pengubah, yaitu pembagi pangkat tertentu dari angka 10.

Contoh: 5 adalah pembagi dari 100, jadi merupakan pecahan 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Operasi aritmatika pada desimal

6.1. Menambahkan Desimal

Untuk menjumlahkan dua pecahan desimal, Anda perlu menyusunnya sehingga ada angka yang identik di bawah satu sama lain dan koma di bawah koma, lalu menjumlahkan pecahan tersebut seperti bilangan biasa.

6.2. Pengurangan Desimal

Ini dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan.

6.3. Mengalikan Desimal

Saat mengalikan bilangan desimal, cukup mengalikan bilangan yang diberikan, tidak memperhatikan koma (seperti bilangan asli), dan pada jawaban yang dihasilkan, koma di sebelah kanan memisahkan digit sebanyak yang ada setelah koma di kedua faktor. secara keseluruhan.

Mari kalikan 2,7 dengan 1,3. Kita punya 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Kami memisahkan dua digit di sebelah kanan dengan koma (angka pertama dan kedua memiliki satu digit setelah koma; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Hasilnya kita dapatkan 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Jika hasil yang dihasilkan mengandung angka lebih sedikit dari yang perlu dipisahkan dengan koma, maka angka nol yang hilang dituliskan di depan, misalnya:

Untuk mengalikan dengan 10, 100, 1000, Anda perlu memindahkan koma desimal 1, 2, 3 digit ke kanan (jika perlu, sejumlah nol diberikan ke kanan).

Misalnya: 1,47\cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Pembagian desimal

Pembagian pecahan desimal dengan bilangan asli dilakukan dengan cara yang sama seperti membagi bilangan asli dengan bilangan asli. Koma pada hasil bagi ditempatkan setelah pembagian seluruh bagian selesai.

Jika bagian bilangan bulat dari pembaginya lebih kecil dari pembaginya, maka jawabannya adalah bilangan bulat nol, contoh:

Mari kita lihat pembagian desimal dengan desimal. Katakanlah kita perlu membagi 2,576 dengan 1,12. Pertama-tama, mari kita kalikan pembagian dan pembagi pecahan dengan 100, yaitu memindahkan koma desimal ke kanan pada pembilang dan pembagi sebanyak digit yang ada pada pembagi setelah koma (dalam contoh ini, dua). Maka Anda perlu membagi pecahan 257,6 dengan bilangan asli 112, yaitu, masalahnya direduksi menjadi kasus yang sudah dipertimbangkan:

Kebetulan pecahan desimal akhir tidak selalu diperoleh dengan membagi satu angka dengan angka lainnya. Hasilnya adalah pecahan desimal tak terhingga. Dalam kasus seperti itu, kita beralih ke pecahan biasa.

Misalnya, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Salah satu ilmu terpenting yang penerapannya dapat dilihat dalam disiplin ilmu seperti kimia, fisika bahkan biologi, adalah matematika. Mempelajari ilmu ini memungkinkan Anda mengembangkan beberapa kualitas mental dan meningkatkan kemampuan Anda untuk berkonsentrasi. Salah satu topik yang perlu mendapat perhatian khusus dalam mata kuliah Matematika adalah penjumlahan dan pengurangan pecahan. Banyak siswa yang merasa kesulitan dalam belajar. Mungkin artikel kami akan membantu Anda lebih memahami topik ini.

Cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama

Pecahan adalah bilangan yang sama yang dapat digunakan untuk melakukan berbagai operasi. Perbedaannya dari bilangan bulat terletak pada adanya penyebut. Oleh karena itu, saat melakukan operasi pecahan, Anda perlu mempelajari beberapa fitur dan aturannya. Kasus paling sederhana adalah pengurangan pecahan biasa yang penyebutnya direpresentasikan sebagai bilangan yang sama. Melakukan tindakan ini tidak akan sulit jika Anda mengetahui aturan sederhana:

• Untuk mengurangkan satu detik dari satu pecahan, pembilang pecahan yang dikurangi harus dikurangi dari pembilang pecahan yang dikurangi. Kita tuliskan bilangan ini ke dalam pembilang selisihnya, dan biarkan penyebutnya tetap sama: k/m - b/m = (k-b)/m.

Contoh pengurangan pecahan yang penyebutnya sama

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Dari pembilang pecahan “7” kita kurangi pembilang pecahan “3” yang akan dikurangkan, kita peroleh “4”. Kami menulis angka ini di pembilang jawabannya, dan di penyebutnya kami memasukkan angka yang sama dengan penyebut pecahan pertama dan kedua - “19”.

Gambar di bawah menunjukkan beberapa contoh serupa.

Mari kita perhatikan contoh yang lebih kompleks di mana pecahan dengan penyebut yang sama dikurangkan:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Dari pembilang pecahan “29” dikurangi dengan mengurangkan secara bergantian pembilang semua pecahan berikutnya - “3”, “8”, “2”, “7”. Hasilnya, kita mendapatkan hasil “9”, yang kita tulis di pembilang jawabannya, dan di penyebutnya kita tuliskan angka yang ada di penyebut semua pecahan ini - “47”.

Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa mengikuti prinsip yang sama.

• Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya. Angka yang dihasilkan adalah pembilang dari jumlah tersebut, dan penyebutnya akan tetap sama: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mari kita lihat seperti apa contohnya:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ke pembilang suku pertama pecahan - "1" - tambahkan pembilang suku kedua pecahan - "2". Hasilnya - "3" - ditulis ke dalam pembilang penjumlahan, dan penyebutnya dibiarkan sama dengan yang ada pada pecahan - "4".

Pecahan yang penyebutnya berbeda dan pengurangannya

Kita telah membahas operasi pecahan yang penyebutnya sama. Seperti yang Anda lihat, mengetahui aturan sederhana, menyelesaikan contoh seperti itu cukup mudah. Namun bagaimana jika Anda perlu melakukan operasi dengan pecahan yang penyebutnya berbeda? Banyak siswa sekolah menengah yang bingung dengan contoh seperti itu. Namun di sini pun, jika Anda mengetahui prinsip penyelesaiannya, contoh-contohnya tidak lagi menyulitkan Anda. Ada juga aturan di sini, yang tanpanya penyelesaian pecahan seperti itu tidak mungkin dilakukan.

Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut terkecil yang sama.



Kami akan berbicara lebih detail tentang cara melakukan ini.

Properti pecahan

Untuk membawa beberapa pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu menggunakan sifat utama pecahan dalam penyelesaiannya: setelah membagi atau mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama, Anda mendapatkan pecahan yang sama dengan pecahan yang diberikan.

Jadi, misalnya pecahan 2/3 dapat mempunyai penyebut seperti “6”, “9”, “12”, dst, yaitu dapat berbentuk bilangan apa pun yang merupakan kelipatan “3”. Setelah kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan “2”, kita mendapatkan pecahan 4/6. Setelah kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan asal dengan “3”, kita mendapatkan 6/9, dan jika kita melakukan operasi serupa dengan angka “4”, kita mendapatkan 8/12. Satu persamaan dapat ditulis sebagai berikut:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Cara mengubah beberapa pecahan menjadi penyebut yang sama

Mari kita lihat cara mereduksi beberapa pecahan menjadi penyebut yang sama. Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Pertama, Anda perlu menentukan angka mana yang bisa menjadi penyebut semuanya. Agar lebih mudah, mari kita faktorkan penyebut yang ada.

Penyebut pecahan 1/2 dan pecahan 2/3 tidak dapat difaktorkan. Penyebut 7/9 mempunyai dua faktor 7/9 = 7/(3 x 3), penyebut pecahan 5/6 = 5/(2 x 3). Sekarang kita perlu menentukan faktor mana yang terkecil untuk keempat pecahan tersebut. Karena pada pecahan pertama terdapat angka “2” pada penyebutnya, maka harus ada pada semua penyebutnya, pada pecahan 7/9 terdapat dua kembar tiga, yang berarti keduanya juga harus ada pada penyebutnya. Dengan memperhatikan hal di atas, kita tentukan bahwa penyebutnya terdiri dari tiga faktor: 3, 2, 3 dan sama dengan 3 x 2 x 3 = 18.



Mari kita perhatikan pecahan pertama - 1/2. Ada angka “2” di penyebutnya, tapi tidak ada satu angka “3”, tapi harus ada dua. Untuk melakukannya, kita mengalikan penyebutnya dengan dua kali tiga, tetapi berdasarkan sifat pecahan, kita harus mengalikan pembilangnya dengan dua kali tiga kali lipat:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Kami melakukan operasi yang sama dengan pecahan yang tersisa.

• 2/3 - satu tiga dan satu dua hilang dalam penyebut:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 atau 7/(3 x 3) - penyebutnya tidak ada dua:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 atau 5/(2 x 3) - penyebutnya tidak ada tiga:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Secara keseluruhan terlihat seperti ini:



Cara mengurangkan dan menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda

Seperti disebutkan di atas, untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut yang sama, kemudian menggunakan aturan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama, yang telah dibahas.

Mari kita lihat ini sebagai contoh: 18/4 - 15/3.

Mencari kelipatan bilangan 18 dan 15:

• Bilangan 18 terdiri dari 3 x 2 x 3.
• Angka 15 terdiri dari 5 x 3.
• Kelipatan persekutuannya adalah faktor-faktor berikut: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Setelah penyebutnya ditemukan, perlu dihitung faktor yang berbeda untuk setiap pecahan, yaitu bilangan yang tidak hanya perlu dikalikan penyebutnya, tetapi juga pembilangnya. Untuk melakukannya, bagilah bilangan yang kita temukan (kelipatan persekutuan) dengan penyebut pecahan yang perlu ditentukan faktor tambahannya.

• 90 dibagi 15. Angka “6” yang dihasilkan akan menjadi pengali 15/3.
• 90 dibagi 18. Angka “5” yang dihasilkan akan menjadi pengali 18/4.

Tahap selanjutnya dari solusi kita adalah mereduksi setiap pecahan menjadi penyebut “90”.

Kami telah membicarakan bagaimana hal ini dilakukan. Mari kita lihat bagaimana ini ditulis dalam sebuah contoh:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jika pecahan mempunyai angka yang kecil, maka Anda dapat menentukan penyebutnya, seperti pada contoh gambar di bawah ini.



Hal yang sama berlaku untuk penyebut yang berbeda.

Pengurangan dan memiliki bagian bilangan bulat

Kita telah membahas secara detail tentang pengurangan pecahan dan penjumlahannya. Tapi bagaimana cara mengurangi jika pecahan memiliki bagian bilangan bulat? Sekali lagi, mari gunakan beberapa aturan:

• Ubahlah semua pecahan yang mempunyai bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Dengan kata sederhana, hapus seluruh bagian. Caranya, kalikan jumlah bagian bilangan bulat dengan penyebut pecahan, dan tambahkan hasil perkalian ke pembilangnya. Angka yang keluar setelah tindakan tersebut adalah pembilang pecahan biasa. Penyebutnya tetap tidak berubah.
• Jika pecahan mempunyai penyebut yang berbeda, maka pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut yang sama.
• Lakukan penjumlahan atau pengurangan dengan penyebut yang sama.
• Saat menerima pecahan biasa, pilih seluruh bagiannya.



Ada cara lain untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan bagian bilangan bulat. Untuk melakukan ini, tindakan dilakukan secara terpisah dengan seluruh bagian, dan tindakan dengan pecahan dilakukan secara terpisah, dan hasilnya dicatat bersama.



Contoh yang diberikan terdiri dari pecahan yang penyebutnya sama. Jika penyebutnya berbeda, maka penyebutnya harus disamakan, lalu lakukan tindakan seperti yang ditunjukkan pada contoh.

Pengurangan pecahan dari bilangan bulat

Jenis operasi pecahan lainnya adalah kasus di mana suatu pecahan harus dikurangkan.Sekilas, contoh seperti itu tampaknya sulit untuk diselesaikan. Namun, semuanya cukup sederhana di sini. Untuk menyelesaikannya, Anda perlu mengubah bilangan bulat menjadi pecahan, dan dengan penyebut yang sama dengan pecahan yang dikurangkan. Selanjutnya, kita melakukan pengurangan yang mirip dengan pengurangan dengan penyebut yang sama. Dalam contohnya terlihat seperti ini:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Pengurangan pecahan (kelas 6) yang disajikan dalam artikel ini adalah dasar untuk menyelesaikan contoh yang lebih kompleks yang dibahas di kelas berikutnya. Pengetahuan tentang topik ini selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan fungsi, turunan, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat penting untuk memahami dan memahami operasi pecahan yang telah dibahas di atas.

Hampir setiap siswa kelas lima sedikit terkejut setelah pertama kali mengenal pecahan biasa. Anda tidak hanya perlu memahami esensi pecahan, tetapi Anda juga harus melakukan operasi aritmatika dengannya. Setelah itu, siswa cilik akan menginterogasi gurunya secara sistematis untuk mengetahui kapan pecahan tersebut akan berakhir.

Untuk menghindari situasi seperti itu, cukup menjelaskan topik sulit ini kepada anak-anak sesederhana mungkin, dan sebaiknya dengan cara yang menyenangkan.

Inti dari pecahan

Sebelum mempelajari apa itu pecahan, seorang anak harus mengenal konsepnya terlebih dahulu membagikan . Metode asosiatif paling cocok di sini.

Bayangkan sebuah kue utuh yang dibagi menjadi beberapa bagian yang sama, katakanlah empat. Maka setiap potongan kue itu bisa disebut bagian. Jika kamu mengambil salah satu dari empat potong kue itu, maka akan menjadi seperempatnya.

Bagiannya berbeda-beda, karena keseluruhan dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang sama sekali berbeda. Semakin banyak saham secara umum, semakin kecil ukurannya, begitu pula sebaliknya.

Agar bagian tersebut dapat ditentukan, mereka memunculkan konsep matematika seperti pecahan biasa. Pecahan tersebut akan memungkinkan kita untuk menuliskan bagian sebanyak yang diperlukan.

Komponen pecahan adalah pembilang dan penyebutnya yang dipisahkan dengan garis pecahan atau garis miring. Banyak anak yang tidak memahami maknanya, sehingga inti pecahan tidak jelas bagi mereka. Garis pecahan menunjukkan pembagian, tidak ada yang rumit disini.

Penyebut biasanya ditulis di bawah, di bawah garis pecahan, atau di sebelah kanan garis depan. Ini menunjukkan jumlah bagian dari keseluruhan. Pembilangnya yang tertulis di atas garis pecahan atau di sebelah kiri garis depan menentukan berapa banyak bagian yang diambil, misalnya pecahan 4/7. Dalam hal ini, 7 adalah penyebutnya, yang menunjukkan bahwa hanya ada 7 bagian, dan pembilang 4 menunjukkan bahwa empat dari tujuh bagian telah diambil.

Bagian pokok dan penulisannya dalam pecahan:

Selain pecahan biasa, ada juga pecahan desimal.

Operasi pecahan kelas 5

Di kelas lima mereka belajar melakukan semua operasi aritmatika dengan pecahan.

Semua operasi dengan pecahan dilakukan sesuai aturan, dan Anda tidak boleh berharap bahwa tanpa mempelajari aturan, semuanya akan berjalan dengan sendirinya. Oleh karena itu, Anda tidak boleh mengabaikan bagian lisan dari pekerjaan rumah matematika Anda.

Kita telah memahami bahwa notasi desimal dan pecahan biasa berbeda, oleh karena itu operasi aritmatika akan dilakukan secara berbeda. Tindakan dengan pecahan biasa bergantung pada angka yang ada di penyebutnya, dan dalam desimal - setelah koma desimal di sebelah kanan.

Untuk pecahan yang penyebutnya sama, algoritma penjumlahan dan pengurangannya sangat sederhana. Kami melakukan tindakan hanya dengan pembilang.

Untuk pecahan dengan penyebut berbeda, Anda perlu mencarinya Penyebut Persekutuan Terkecil (LCD). Ini adalah bilangan yang habis dibagi semua penyebutnya tanpa sisa, dan akan menjadi bilangan terkecil jika ada beberapa bilangan tersebut.

Untuk menjumlahkan atau mengurangi pecahan desimal, Anda perlu menuliskannya dalam kolom, dengan koma di bawah koma, dan menyamakan jumlah tempat desimal jika diperlukan.

Untuk mengalikan pecahan biasa, cukup cari hasil kali pembilang dan penyebutnya. Aturan yang sangat sederhana.

Pembagian dilakukan sesuai dengan algoritma berikut:

1. Tuliskan dividen tanpa perubahan
2. Ubah pembagian menjadi perkalian
3. Membalikkan pembagi (menulis pecahan yang berbanding terbalik dengan pembaginya)
4. Lakukan perkalian

Penjumlahan pecahan, penjelasan

Mari kita lihat lebih dekat cara menjumlahkan pecahan dan desimal.

Seperti yang Anda lihat pada gambar di atas, pecahan sepertiga dan dua pertiga mempunyai penyebut yang sama yaitu tiga. Artinya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilang satu dan dua, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Hasilnya adalah jumlah tiga pertiga. Jawaban ini, bila pembilang dan penyebut pecahan sama, dapat ditulis 1, karena 3:3 = 1.

Anda perlu mencari jumlah pecahan dua pertiga dan dua per sembilan. Dalam hal ini, penyebutnya berbeda, 3 dan 9. Untuk melakukan penjumlahan, Anda perlu mencari penyebut yang sama. Ada cara yang sangat sederhana. Kita pilih penyebut terbesarnya, yaitu 9. Kita periksa apakah habis dibagi 3. Karena 9:3 = 3 tanpa sisa, maka 9 cocok sebagai penyebut yang sama.

Langkah selanjutnya adalah mencari faktor tambahan untuk setiap pembilangnya. Untuk melakukan ini, kita membagi penyebut umum 9 dengan penyebut setiap pecahan secara bergantian, angka yang dihasilkan akan menjadi tambahan. jamak Untuk pecahan pertama: 9:3 = 3, tambahkan 3 pada pembilang pecahan pertama. Untuk pecahan kedua: 9:9 = 1, tidak perlu dijumlahkan, karena jika dikalikan dengan pecahan tersebut, hasilnya sama nomor.

Sekarang kita mengalikan pembilangnya dengan faktor tambahannya dan menjumlahkan hasilnya. Jumlah yang dihasilkan adalah pecahan delapan per sembilan.

Menjumlahkan desimal mengikuti aturan yang sama seperti menjumlahkan bilangan asli. Dalam suatu kolom, angkanya ditulis di bawah angka tersebut. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam pecahan desimal Anda perlu memberi koma yang benar pada hasilnya. Untuk melakukan ini, pecahan ditulis dengan koma di bawah koma, dan secara total Anda hanya perlu memindahkan koma ke bawah.

Mari kita cari jumlah pecahan 38, 251 dan 1, 56. Agar lebih mudah melakukan tindakan, kita menyamakan jumlah tempat desimal di sebelah kanan dengan menambahkan 0.

Tambahkan pecahan tanpa memperhatikan koma. Dan dalam jumlah yang dihasilkan, kita cukup menurunkan koma. Jawaban: 39, 811.

Pengurangan pecahan, penjelasan

Untuk mencari selisih pecahan dua pertiga dan sepertiga, Anda perlu menghitung selisih pembilangnya 2-1 = 1, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Jawabannya memberikan selisih sepertiga.

Mari kita cari selisih pecahan lima perenam dan tujuh persepuluh. Menemukan penyebut yang sama. Kita pakai cara seleksi, dari 6 dan 10 yang terbesar adalah 10. Kita cek: 10:6 tidak habis dibagi tanpa sisa. Kita tambah 10 lagi, ternyata 20:6 yang juga tidak habis dibagi tanpa sisa. Sekali lagi kita tambah 10, kita mendapatkan 30:6 = 5. Penyebutnya adalah 30. NOZ juga dapat dicari menggunakan tabel perkalian.

Menemukan faktor tambahan. 30:6 = 5 - untuk pecahan pertama. 30:10 = 3 - untuk yang kedua. Kami mengalikan pembilang dan kelipatan tambahannya. Kami mendapatkan minuend 25/30 dan pengurangan 21/30. Selanjutnya, kita kurangi pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Hasilnya selisih 30/4. Pecahannya dapat direduksi. Bagilah dengan 2. Jawabannya adalah 15/2.

Pembagian desimal kelas 5

Topik ini membahas dua opsi:

Mengalikan desimal kelas 5

Ingat bagaimana Anda mengalikan bilangan asli, dengan cara yang persis sama seperti Anda mencari hasil kali pecahan desimal. Pertama, mari kita cari tahu cara mengalikan pecahan desimal dengan bilangan asli. Untuk ini:

Saat mengalikan pecahan desimal dengan desimal, kita bertindak dengan cara yang persis sama.

Pecahan Campuran Kelas 5

Siswa kelas lima suka menyebut pecahan seperti itu bukan campuran, tapi<<смешные>>Mungkin lebih mudah untuk mengingatnya dengan cara ini. Pecahan campuran disebut demikian karena dibuat dengan menggabungkan bilangan asli dan pecahan biasa.

Pecahan campuran terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan.

Saat membaca pecahan seperti itu, pertama-tama mereka menyebutkan bagian bilangan bulat, lalu bagian pecahan: satu bilangan bulat dua pertiga, dua bilangan bulat seperlima, tiga bilangan bulat dua perlima, empat koma tiga perempat.

Bagaimana cara mendapatkannya, pecahan campuran ini? Ini cukup sederhana. Ketika kita menerima pecahan biasa dalam suatu jawaban (pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya), kita harus selalu mengubahnya menjadi pecahan campuran. Cukup dengan membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Tindakan ini disebut memilih seluruh bagian:

Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa juga mudah:

Contoh pecahan desimal kelas 5 beserta penjelasannya

Contoh beberapa tindakan menimbulkan banyak pertanyaan pada anak. Mari kita lihat beberapa contohnya.

(0,4 · 8,25 - 2,025) : 0,5 =

Langkah pertama adalah mencari hasil kali bilangan 8,25 dan 0,4. Kami melakukan perkalian sesuai aturan. Pada jawabannya, hitung tiga angka dari kanan ke kiri dan beri tanda koma.

Tindakan kedua ada di dalam tanda kurung, inilah perbedaannya. Dari 3.300 kita kurangi 2.025. Kami mencatat tindakan dalam kolom dengan koma di bawah koma.

Tindakan ketiga adalah pembagian. Selisih yang dihasilkan pada langkah kedua dibagi 0,5. Koma dipindahkan satu tempat. Hasil 2.55.

Jawaban: 2.55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

Langkah pertama adalah jumlah dalam tanda kurung, tambahkan dalam satu kolom, ingat komanya ada di bawah koma. Kami mendapatkan jawabannya 1,00.

Tindakan kedua adalah perbedaan dari braket kedua. Karena minuend memiliki angka desimal yang lebih sedikit dibandingkan dengan tanda pengurang, kita menambahkan angka yang hilang. Hasil pengurangannya adalah 0,125.

Langkah ketiga adalah membagi jumlah dengan selisihnya. Koma dipindahkan tiga tempat. Hasilnya adalah pembagian 1000 dengan 125.

Jawaban: 8.

Contoh pecahan biasa dengan penyebut berbeda kelas 5 beserta penjelasannya

Yang pertama Dalam contoh ini, kita mencari jumlah pecahan 5/8 dan 3/7. Penyebutnya adalah 56. Cari faktor tambahannya, bagi 56:8 = 7 dan 56:7 = 8. Tambahkan masing-masing ke pecahan pertama dan kedua. Kita mengalikan pembilang dan faktornya, kita mendapatkan jumlah pecahan 35/56 dan 24/56. Hasilnya adalah 59/56. Pecahan tidak wajar, kita ubah menjadi bilangan campuran. Contoh lainnya diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh pecahan kelas 5 untuk pelatihan

Untuk memudahkan, ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa dan lakukan operasinya.

Cara mengajari anak menyelesaikan pecahan dengan mudah menggunakan Lego

Dengan bantuan konstruktor seperti itu, Anda tidak hanya dapat mengembangkan imajinasi anak, tetapi juga dengan jelas menjelaskan dengan cara yang menyenangkan apa itu bagian dan pecahan.

Gambar di bawah menunjukkan bahwa satu bagian dengan delapan lingkaran adalah satu kesatuan. Artinya jika Anda mengambil puzzle dengan empat lingkaran, Anda mendapat setengahnya, atau 1/2. Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan cara menyelesaikan contoh dengan Lego, jika Anda menghitung lingkaran pada bagian-bagiannya.

Anda dapat membangun menara dari sejumlah bagian tertentu dan memberi label pada masing-masing bagian, seperti pada gambar di bawah. Sebagai contoh, mari kita ambil menara yang terdiri dari tujuh bagian. Setiap bagian dari set konstruksi hijau akan berukuran 1/7. Jika Anda menambahkan dua lagi ke satu bagian tersebut, Anda mendapatkan 3/7. Penjelasan visual dari contoh 1/7+2/7 = 3/7.

Untuk mendapat nilai A dalam matematika, jangan lupa mempelajari peraturan dan mempraktikkannya.

Pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Pecahan tidak terlalu mengganggu di sekolah menengah. Untuk saat ini. Sampai Anda menemukan pangkat dengan eksponen rasional dan logaritma. Dan disana... Anda menekan dan menekan kalkulator, dan itu menunjukkan tampilan penuh beberapa angka. Anda harus berpikir dengan kepala seperti di kelas tiga.

Mari kita akhirnya mencari tahu pecahan! Nah, seberapa banyak Anda bisa bingung di dalamnya!? Selain itu, semuanya sederhana dan logis. Jadi, apa saja jenis-jenis pecahan?

Jenis pecahan. Transformasi.

Ada tiga jenis pecahan.

1. Pecahan biasa , Misalnya:

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, nah, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Nomor teratas dipanggil pembilang, lebih rendah - penyebut. Jika Anda terus-menerus bingung dengan nama-nama ini (itu terjadi...), ucapkan pada diri Anda kalimat: " Zzzzz Ingat! Zzzzz penyebut - lihat zzzzz uh!" Lihat, semuanya akan diingat zzzz.)

Tanda hubung, baik horizontal maupun miring, artinya divisi angka teratas (pembilang) ke bawah (penyebut). Itu saja! Alih-alih tanda hubung, sangat mungkin untuk memberi tanda pembagian - dua titik.

Jika pembagian lengkap memungkinkan, hal ini harus dilakukan. Jadi, daripada pecahan “32/8”, jauh lebih menyenangkan menulis angka “4”. Itu. 32 hanya dibagi 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya bahkan tidak berbicara tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan operasi sebaliknya. Ubah bilangan bulat menjadi pecahan. Tapi lebih dari itu nanti.

2. Desimal , Misalnya:

Dalam formulir inilah Anda perlu menuliskan jawaban tugas “B”.

3. Nomor campuran , Misalnya:

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Tapi Anda pasti harus bisa melakukan ini! Jika tidak, Anda akan menemukan nomor seperti itu dalam suatu masalah dan membeku... Entah dari mana. Tapi kami akan mengingat prosedur ini! Sedikit lebih rendah.

Paling serbaguna pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika pecahan berisi segala macam logaritma, sinus, dan huruf lainnya, ini tidak mengubah apa pun. Dalam artian semuanya tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat utama pecahan.

Jadi ayo pergi! Pertama-tama, saya akan mengejutkan Anda. Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah sebutannya sifat utama pecahan. Ingat: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, maka pecahan tersebut tidak berubah. Itu:

Jelas bahwa Anda dapat terus menulis sampai wajah Anda membiru. Jangan biarkan sinus dan logaritma membingungkan Anda, kami akan membahasnya lebih lanjut. Hal utama adalah memahami apa itu berbagai ekspresi pecahan yang sama . 2/3.

Apakah kita membutuhkannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihatnya sendiri. Untuk memulainya, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk mereduksi pecahan. Tampaknya ini hal yang mendasar. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama dan selesai! Tidak mungkin membuat kesalahan! Tapi... manusia adalah makhluk kreatif. Anda bisa membuat kesalahan di mana saja! Apalagi jika yang harus direduksi bukan pecahan seperti 5/10, melainkan ekspresi pecahan yang hurufnya bermacam-macam.

Cara mengecilkan pecahan dengan benar dan cepat tanpa perlu kerja ekstra dapat dibaca pada bagian khusus 555.

Siswa normal tidak akan repot-repot membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semua yang sama di atas dan di bawah! Di sinilah letak kesalahan umum, jika Anda mau, sebuah kesalahan besar mengintai.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi:

Tidak ada yang perlu dipikirkan disini, coret huruf “a” di atas dan “2” di bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya benar. Tapi sebenarnya kalian terpecah semua pembilang dan semua penyebutnya adalah "a". Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka terburu-buru Anda bisa mencoret “a” pada ekspresi tersebut

dan mendapatkannya lagi

Itu sama sekali tidak benar. Karena di sini semua pembilang pada "a" sudah ada tidak dibagikan! Fraksi ini tidak dapat dikurangi. Ngomong-ngomong, pengurangan seperti itu, um... tantangan serius bagi guru. Ini tidak dimaafkan! Apakah kamu ingat? Saat mengurangi, Anda perlu membagi semua pembilang dan semua penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Bagaimana saya bisa terus bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Lipat gandakan, katakanlah, tambahkan, persegi!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, dan dengan hati-hati memotongnya menjadi lima, dan lima lagi, dan bahkan... saat sedang dipersingkat, singkatnya. Ayo dapatkan 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Properti utama pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk Ujian Negara Bersatu, bukan?

Cara mengubah pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya.

Dengan pecahan desimal semuanya sederhana. Seperti yang didengar, demikianlah yang tertulis! Katakanlah 0,25. Ini nol koma dua puluh lima perseratus. Jadi kami menulis: 25/100. Kita kurangi (bagi pembilang dan penyebutnya dengan 25), kita mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semua. Itu terjadi, dan tidak ada yang berkurang. Seperti 0,3. Ini tiga persepuluh, yaitu. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulatnya bukan nol? Tidak apa-apa. Kami menuliskan seluruh pecahan tanpa koma di pembilangnya, dan di penyebutnya - apa yang didengar. Misalnya: 3.17. Ini adalah tiga koma tujuh belas ratus. Kita tuliskan 317 pada pembilangnya dan 100 pada penyebutnya, sehingga diperoleh 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Inilah jawabannya. SD Watson! Dari semua hal di atas, kesimpulan yang berguna: pecahan desimal apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa .

Namun sebagian orang tidak dapat melakukan konversi terbalik dari biasa ke desimal tanpa kalkulator. Dan itu perlu! Bagaimana cara menuliskan jawaban pada Ujian Negara Terpadu!? Bacalah dengan cermat dan kuasai proses ini.

Apa ciri-ciri pecahan desimal? Penyebutnya adalah Selalu biayanya 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000 dan seterusnya. Jika pecahan biasamu memiliki penyebut seperti ini, tidak masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1,2. Bagaimana jika jawaban tugas di bagian “B” ternyata 1/2? Apa yang akan kita tulis sebagai tanggapannya? Desimal diperlukan...

Mari kita ingat sifat utama pecahan ! Matematika memungkinkan Anda mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Ngomong-ngomong, apa saja! Kecuali nol, tentu saja. Jadi mari gunakan properti ini untuk keuntungan kita! Berapa penyebutnya yang bisa dikalikan, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil tentu saja...)? Tentu saja jam 5. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya (ini kita perlu) dengan 5. Tapi pembilangnya juga harus dikalikan 5. Ini sudah matematika tuntutan! Kita peroleh 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Itu saja.

Namun, ada berbagai macam penyebut. Misalnya, Anda akan menemukan pecahan 3/16. Coba dan cari tahu cara mengalikan 16 dengan menghasilkan 100, atau 1000... Tidakkah berhasil? Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membaginya dengan sudut, di selembar kertas, seperti yang mereka ajarkan di sekolah dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada juga penyebut yang sangat buruk. Misalnya, tidak ada cara untuk mengubah pecahan 1/3 menjadi desimal yang baik. Baik di kalkulator maupun di selembar kertas, kita mendapatkan 0,3333333... Artinya 1/3 adalah pecahan desimal eksak tidak menerjemahkan. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Ada banyak sekali, tidak bisa diterjemahkan. Hal ini membawa kita pada kesimpulan lain yang berguna. Tidak semua pecahan dapat diubah menjadi desimal !

Omong-omong, ini adalah informasi berguna untuk pengujian mandiri. Di bagian "B" Anda harus menuliskan pecahan desimal dalam jawaban Anda. Dan Anda mendapatkan, misalnya, 4/3. Pecahan ini tidak diubah menjadi desimal. Ini berarti Anda membuat kesalahan di suatu tempat! Kembali dan periksa solusinya.

Jadi, kami menemukan pecahan biasa dan desimal. Yang tersisa hanyalah menangani angka campuran. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas enam dan bertanya padanya. Tapi siswa kelas enam tidak selalu siap... Anda harus melakukannya sendiri. Tidak sulit. Anda perlu mengalikan penyebut bagian pecahan dengan seluruh bagian dan menjumlahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, namun kenyataannya semuanya sederhana. Mari kita lihat sebuah contoh.

Misalkan Anda ngeri melihat nomor dalam soal:

Dengan tenang, tanpa panik, kami berpikir. Bagian keseluruhannya adalah 1. Satuan. Bagian pecahannya adalah 3/7. Jadi, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Kami menghitung pembilangnya. Kita mengalikan 7 dengan 1 (bagian bilangan bulat) dan menambahkan 3 (pembilang bagian pecahan). Kita mendapat 10. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Itu saja. Ini terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Apakah sudah jelas? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Ubah menjadi pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi sebaliknya - mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika demikian... Dan jika Anda tidak duduk di bangku SMA, Anda dapat melihat ke dalam Bagian khusus 555. Ngomong-ngomong, kamu juga akan belajar tentang pecahan biasa di sana.

Yah, itu saja. Anda ingat jenis-jenis pecahan dan memahaminya Bagaimana mentransfernya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: Untuk apa lakukan? Di mana dan kapan menerapkan pengetahuan mendalam ini?

Saya menjawab. Setiap contoh itu sendiri menyarankan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, dan bilangan campuran genap dicampur menjadi satu, kita ubah semuanya menjadi pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, kalau tertulis seperti 0,8 + 0,3, maka kita hitung seperti itu, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita perlu kerja ekstra? Kami memilih solusi yang nyaman kita !

Jika tugasnya semua pecahan desimal, tapi um... semacam yang jahat, lanjutkan ke yang biasa dan cobalah! Lihat, semuanya akan berhasil. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak mudah jika Anda belum terbiasa menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya harus mengalikan angka dalam satu kolom, Anda juga harus memikirkan di mana harus menyisipkan koma! Ini pasti tidak akan berhasil di kepala Anda! Bagaimana jika kita beralih ke pecahan biasa?

0,125 = 125/1000. Kami menguranginya sebanyak 5 (ini sebagai permulaan). Kami mendapatkan 25/200. Sekali lagi dengan 5. Kita mendapatkan 5/40. Oh, masih menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapatkan 1/8. Kita dapat dengan mudah mengkuadratkannya (dalam pikiran kita!) dan mendapatkan 1/64. Semua!

Mari kita rangkum pelajaran ini.

1. Ada tiga jenis pecahan. Bilangan biasa, desimal, dan campuran.

2. Bilangan desimal dan campuran Selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa. Pemindahan terbalik tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan suatu tugas tergantung pada tugas itu sendiri. Jika ada berbagai jenis pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Sekarang kamu bisa berlatih. Pertama, ubah pecahan desimal berikut menjadi pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda harus mendapatkan jawaban seperti ini (berantakan!):

Mari kita selesaikan di sini. Dalam pelajaran ini kita menyegarkan ingatan kita tentang poin-poin penting tentang pecahan. Namun kebetulan tidak ada yang istimewa untuk disegarkan...) Jika seseorang benar-benar lupa, atau belum menguasainya... Maka Anda dapat pergi ke Bagian khusus 555. Semua dasar-dasarnya dibahas secara rinci di sana. Banyak yang tiba-tiba mengerti segalanya sedang dimulai. Dan mereka memecahkan pecahan dengan cepat).

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Artikel ini memulai studi tentang operasi dengan pecahan aljabar: kita akan membahas secara rinci operasi seperti penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar. Mari kita menganalisis skema penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar baik yang penyebutnya sama maupun berbeda. Mari pelajari cara menjumlahkan pecahan aljabar dengan polinomial dan cara mengurangkannya. Dengan menggunakan contoh spesifik, kami akan menjelaskan setiap langkah dalam mencari solusi masalah.

Operasi penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut yang sama

Skema penjumlahan pecahan biasa juga berlaku untuk pecahan aljabar. Kita tahu bahwa saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan biasa yang penyebutnya sama, pembilangnya harus dijumlahkan atau dikurangi, tetapi penyebutnya tetap sama.

Contoh: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 dan 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Oleh karena itu, aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya sama ditulis dengan cara yang sama:

Definisi 1

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan atau mengurangkan masing-masing pembilang pecahan aslinya, dan menuliskan penyebutnya tanpa perubahan.

Aturan ini memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar adalah pecahan aljabar baru (dalam kasus tertentu: polinomial, monomial, atau bilangan).

Mari kita tunjukkan contoh penerapan aturan yang dirumuskan.

Contoh 1

Pecahan aljabar yang diberikan adalah: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 dan 3 - x · y x 2 · y - 2 . Kita perlu menambahkannya.

Larutan

Pecahan asal mempunyai penyebut yang sama. Menurut aturan, kita akan melakukan penjumlahan pembilang dari pecahan yang diberikan, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.

Menjumlahkan polinomial yang merupakan pembilang pecahan asal, kita memperoleh: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Maka jumlah yang dibutuhkan akan ditulis sebagai: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Dalam praktiknya, seperti dalam banyak kasus, penyelesaian diberikan melalui rantai persamaan, yang dengan jelas menunjukkan semua tahapan penyelesaian:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Menjawab: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Hasil penjumlahan atau pengurangan dapat berupa pecahan yang dapat direduksi, dalam hal ini sebaiknya dikurangi secara optimal.

Contoh 2

Pecahan 2 · y x 2 - 4 · y 2 harus dikurangkan dari pecahan aljabar x x 2 - 4 · y 2 .

Larutan

Penyebut pecahan asal adalah sama. Mari kita lakukan operasi dengan pembilang, yaitu: kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, lalu tulis hasilnya, biarkan penyebutnya tidak berubah:

x x 2 - 4 kamu 2 - 2 kamu x 2 - 4 kamu 2 = x - 2 kamu x 2 - 4 kamu 2

Kita melihat bahwa pecahan yang dihasilkan dapat direduksi. Mari kita kurangi dengan mengubah penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Menjawab: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Dengan menggunakan prinsip yang sama, tiga atau lebih pecahan aljabar dengan penyebut yang sama dijumlahkan atau dikurangkan. Misalnya:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Operasi penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut berbeda

Mari kita lihat kembali skema operasi pecahan biasa: untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda, Anda perlu membawanya ke penyebut yang sama, lalu menjumlahkan pecahan yang dihasilkan dengan penyebut yang sama.

Misalnya, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 atau 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Selain itu, dengan analogi, kami merumuskan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda:

Definisi 2

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda, Anda harus:

• membawa pecahan asli ke penyebut yang sama;
• melakukan penjumlahan atau pengurangan hasil pecahan yang penyebutnya sama.

Jelas, kuncinya di sini adalah keterampilan mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama. Mari kita lihat lebih dekat.

Mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama

Untuk membawa pecahan aljabar ke penyebut yang sama, perlu dilakukan transformasi identik dari pecahan-pecahan tersebut, sehingga penyebut pecahan aslinya menjadi sama. Di sini optimal untuk menggunakan algoritma berikut untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama:

• pertama kita menentukan penyebut pecahan aljabar;
• kemudian kita mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan dengan membagi penyebutnya dengan penyebut pecahan aslinya;
• Tindakan terakhir adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan aljabar tertentu dengan faktor tambahan yang sesuai.

Pecahan aljabar diberikan: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a dan a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Penting untuk membawa mereka ke kesamaan.

Larutan

Kami bertindak sesuai dengan algoritma di atas. Mari kita tentukan penyebut pecahan asal. Untuk tujuan ini, kita memfaktorkan penyebut pecahan berikut: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) dan 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Dari sini kita dapat menulis penyebut yang sama: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Sekarang kita harus mencari faktor tambahan. Mari kita bagi, menurut algoritma, penyebut persekutuan yang ditemukan menjadi penyebut pecahan asli:

• untuk pecahan pertama: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• untuk pecahan kedua: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• untuk pecahan ketiga: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Langkah selanjutnya adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tertentu dengan faktor tambahan yang ditemukan:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Menjawab: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Jadi, kami telah mereduksi pecahan asli menjadi penyebut yang sama. Jika perlu, Anda kemudian dapat mengubah hasil yang dihasilkan menjadi bentuk pecahan aljabar dengan mengalikan polinomial dan monomial pada pembilang dan penyebutnya.

Mari kita perjelas juga poin ini: yang terbaik adalah membiarkan penyebut yang ditemukan dalam bentuk produk jika pecahan akhir perlu dikurangi.

Kita telah mengkaji secara detail skema pengurangan pecahan aljabar awal menjadi penyebut yang sama, sekarang kita dapat mulai menganalisis contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang berbeda.

Contoh 4

Pecahan aljabar yang diberikan adalah: 1 - 2 x x 2 + x dan 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Penting untuk melakukan tindakan penambahan mereka.

Larutan

Pecahan asal memiliki penyebut yang berbeda, jadi langkah pertama yang harus dilakukan adalah membawanya ke penyebut yang sama. Kita faktorkan penyebutnya: x 2 + x = x · (x + 1) , dan x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , Karena akar trinomial persegi x 2 + 3 x + 2 angka-angka tersebut adalah: - 1 dan - 2. Kami menentukan penyebut yang sama: x (x + 1) (x + 2), maka faktor tambahannya adalah: x+2 Dan - X untuk pecahan pertama dan kedua.

Jadi: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) dan 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Sekarang mari kita jumlahkan pecahan yang telah kita bawa ke penyebut yang sama:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi dengan faktor persekutuan x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Dan terakhir, kita tuliskan hasil yang diperoleh dalam bentuk pecahan aljabar, ganti hasil kali penyebutnya dengan polinomial:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Mari kita tuliskan secara singkat proses penyelesaiannya dalam bentuk rantai persamaan:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Menjawab: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Perhatikan detail ini: sebelum menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar, jika memungkinkan, disarankan untuk mengubahnya terlebih dahulu untuk menyederhanakannya.

Contoh 5

Anda perlu mengurangkan pecahan: 2 1 1 3 · x - 2 21 dan 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Larutan

Mari kita ubah pecahan aljabar asli untuk menyederhanakan penyelesaian selanjutnya. Mari kita keluarkan koefisien numerik dari variabel-variabel dalam penyebutnya:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 dan 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Transformasi ini jelas memberi kita keuntungan: kita melihat dengan jelas adanya faktor yang sama.

Mari kita hilangkan koefisien numerik pada penyebutnya. Untuk melakukan ini, kita menggunakan sifat utama pecahan aljabar: kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 3 4, dan pecahan kedua dengan - 1 2, maka kita mendapatkan:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 dan 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Mari kita lakukan tindakan yang memungkinkan kita menghilangkan koefisien pecahan: kalikan pecahan yang dihasilkan dengan 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 dan - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Terakhir, mari lakukan tindakan yang diperlukan dalam rumusan masalah – pengurangan:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Menjawab: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dan polinomial

Tindakan ini juga mencakup penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar: polinomial asli perlu direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1.

Contoh 6

Perlu menambahkan polinomial x 2 − 3 dengan pecahan aljabar 3 x x + 2.

Larutan

Mari kita tulis polinomial sebagai pecahan aljabar dengan penyebut 1: x 2 - 3 1

Sekarang kita dapat melakukan penjumlahan sesuai aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Menjawab: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter