Masalah dalam teori probabilitas. Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak dua kali.Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak 4 kali.

Pada soal teori peluang yang disajikan pada UN Unified State nomor 4, selain itu juga terdapat soal pelemparan uang logam dan pelemparan dadu. Kami akan melihatnya hari ini.

Masalah lempar koin

Tugas 1. Sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat satu kali.

Dalam soal seperti itu, akan lebih mudah untuk menuliskan semua hasil yang mungkin, menuliskannya menggunakan huruf P (ekor) dan O (kepala). Jadi, hasil OPnya berarti pada lemparan pertama muncul kepala, dan pada lemparan kedua muncul ekor. Dalam soal yang sedang dipertimbangkan, ada 4 kemungkinan hasil: RR, RO, OR, OO. Peristiwa “ekor akan muncul tepat satu kali” disukai oleh 2 hasil: RO dan OP. Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,5.

Tugas 2. Sebuah koin simetris dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang munculnya koin tersebut tepat dua kali.

Ada total 8 kemungkinan hasil: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Peristiwa “kepala akan muncul tepat dua kali” disukai oleh 3 hasil: ROO, ORO, OOR. Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,375.

Tugas 3. Sebelum pertandingan sepak bola dimulai, wasit melempar koin untuk menentukan tim mana yang akan memulai dengan bola. Tim Emerald memainkan tiga pertandingan dengan tim berbeda. Temukan peluang bahwa dalam permainan ini “Emerald” akan memenangkan undian tepat satu kali.

Tugas ini mirip dengan yang sebelumnya. Misalkan setiap kali mendaratkan kepala berarti memenangkan lot dengan “Emerald” (asumsi ini tidak mempengaruhi perhitungan probabilitas). Maka 8 hasil yang mungkin terjadi: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Peristiwa “ekor akan muncul tepat satu kali” disukai oleh 3 hasil: ROO, ORO, OOR. Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,375.

Masalah 4. Sebuah koin simetris dilempar sebanyak tiga kali. Temukan probabilitas bahwa hasil ROO akan terjadi (pertama kali mendaratkan kepala, kali kedua dan ketiga kali mendaratkan kepala).

Seperti pada tugas sebelumnya, ada 8 hasil: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Probabilitas terjadinya hasil ROO sama dengan .

Jawaban: 0,125.

Masalah pengguliran dadu

Tugas 5. Dadu dilempar dua kali. Berapa banyak hasil dasar percobaan yang mendukung kejadian “jumlah poinnya adalah 8”?

Masalah 6. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang terambilnya total 4 poin. Bulatkan hasilnya menjadi seperseratus.

Secara umum, jika dadu dilempar, kemungkinan hasilnya sama. Banyaknya hasil yang sama diperoleh jika sebuah dadu yang sama dilempar beberapa kali berturut-turut.

Kejadian “jumlah totalnya adalah 4” disukai oleh hasil-hasil berikut: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Jumlahnya adalah 3. Peluang yang diperlukan adalah .

Untuk menghitung perkiraan nilai pecahan, akan lebih mudah menggunakan pembagian sudut. Jadi, kira-kira sama dengan 0,083..., dibulatkan ke seperseratus terdekat, kita mendapatkan 0,08.

Jawaban: 0,08

Masalah 7. Tiga buah dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang terambilnya total 5 poin. Bulatkan hasilnya menjadi seperseratus.

Hasilnya akan dianggap berupa tiga angka: poin yang dilemparkan pada dadu pertama, kedua, dan ketiga. Ada kemungkinan hasil yang sama. Hasil berikut menguntungkan untuk kejadian “total 5”: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Jumlahnya adalah 6. Peluang yang diperlukan adalah . Untuk menghitung perkiraan nilai pecahan, akan lebih mudah menggunakan pembagian sudut. Kira-kira kita mendapatkan 0,027..., dibulatkan ke perseratus, kita mendapatkan 0,03. Sumber “Persiapan Ujian Negara Bersatu. Matematika. Teori probabilitas". Diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Dalam teori probabilitas, terdapat sekelompok masalah yang cukup untuk mengetahui definisi klasik probabilitas dan secara visual mewakili situasi yang diusulkan. Masalah tersebut mencakup sebagian besar masalah lempar koin dan masalah melempar dadu. Mari kita mengingat kembali definisi klasik tentang probabilitas.

Peluang kejadian A (kemungkinan obyektif suatu peristiwa terjadi dalam bentuk numerik) sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel: P(A)=m/n, Di mana:

• m adalah banyaknya hasil tes dasar yang mendukung terjadinya kejadian A;
• n adalah jumlah total semua kemungkinan hasil tes dasar.

Lebih mudah untuk menentukan jumlah kemungkinan hasil tes dasar dan jumlah hasil yang diinginkan dalam soal yang sedang dipertimbangkan dengan menghitung semua opsi yang mungkin (kombinasi) dan penghitungan langsung.

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=4. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala muncul 1 kali) sesuai dengan pilihan No. 2 dan No. 3 dari percobaan, ada dua pilihan seperti itu m = 2.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=2/4=0,5

Masalah 2 . Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa Anda tidak akan mendapat kepala sama sekali.

Larutan . Karena koin dilempar dua kali, maka, seperti pada soal 1, banyaknya kemungkinan hasil elementer adalah n=4. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala tidak akan muncul sekali pun) sesuai dengan opsi No. 4 percobaan (lihat tabel pada soal 1). Hanya ada satu pilihan seperti itu, yang berarti m=1.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=1/4=0,25

Masalah 3 . Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat 2 kali.

Larutan . Kami menyajikan opsi yang memungkinkan untuk tiga pelemparan koin (semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor) dalam bentuk tabel:

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=8. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala muncul 2 kali) sesuai dengan pilihan No. 5, 6 dan 7 dari percobaan. Ada tiga pilihan seperti itu, artinya m=3.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=3/8=0,375

Masalah 4 . Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak empat kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat 3 kali.

Larutan . Kami menyajikan opsi yang memungkinkan untuk empat pelemparan koin (semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor) dalam bentuk tabel:

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=16. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala akan muncul 3 kali) sesuai dengan pilihan percobaan No. 12, 13, 14 dan 15, yang berarti m = 4.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=4/16=0,25

Menentukan Probabilitas dalam Soal Dadu

Masalah 5 . Tentukan peluang pada pelemparan sebuah dadu (dadu yang adil) anda akan mendapat lebih dari 3 poin.

Larutan . Saat melempar dadu (dadu biasa), salah satu dari enam permukaannya bisa rontok, mis. salah satu peristiwa dasar terjadi - hilangnya 1 hingga 6 titik (poin). Artinya banyaknya kemungkinan hasil dasar adalah n=6.
Kejadian A = (lebih dari 3 poin) berarti 4, 5 atau 6 poin (poin) dilempar. Artinya banyaknya hasil yang diinginkan adalah m=3.
Peluang kejadian P(A)=m/n=3/6=0,5

Masalah 6 . Tentukan peluang terambilnya sebuah dadu dengan jumlah poin tidak lebih dari 4. Bulatkan hasilnya ke seperseribu terdekat.

Larutan . Saat melempar dadu, salah satu dari enam mukanya bisa rontok, mis. salah satu peristiwa dasar terjadi - hilangnya 1 hingga 6 titik (poin). Artinya banyaknya kemungkinan hasil dasar adalah n=6.
Kejadian A = (tidak lebih dari 4 poin yang dilempar) berarti 4, 3, 2 atau 1 poin (poin) dilempar. Artinya banyaknya hasil yang diinginkan adalah m=4.
Peluang kejadian Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667

Masalah 7 . Dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang terambilnya angka kurang dari 4 pada kedua kali.

Larutan . Karena dadu (dadu) dilempar dua kali, maka kita beralasan sebagai berikut: jika dadu pertama menunjukkan satu poin, maka dadu kedua mendapat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kita mendapatkan pasangan (1;1 ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) dan seterusnya dengan masing-masing wajah. Mari kita sajikan semua kasus dalam bentuk tabel 6 baris dan 6 kolom:

Kita menghitung hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kedua kali angkanya kurang dari 4) (keduanya disorot dalam huruf tebal) dan kita mendapatkan m=9.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=9/36=0,25

Masalah 8 . Dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang terambilnya angka terbesar adalah 5. Bulatkan jawabanmu ke ribuan terdekat.

Larutan . Kami menyajikan semua kemungkinan hasil pelemparan dua dadu dalam tabel:

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=6*6=36.
Kita menghitung hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (angka terbesar dari dua angka yang diambil adalah 5) (ditandai dengan huruf tebal) dan kita mendapatkan m=8.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222

Masalah 9 . Dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya angka kurang dari 4 paling sedikit satu kali.

Larutan . Kami menyajikan semua kemungkinan hasil pelemparan dua dadu dalam tabel:

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=6*6=36.
Yang dimaksud dengan “setidaknya sekali muncul angka kurang dari 4” adalah “munculnya angka kurang dari 4 satu atau dua kali”, maka banyaknya hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (setidaknya sekali muncul angka kurang dari 4 ) (ditandai dengan huruf tebal) m=27.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=27/36=0,75

Kondisi

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa hal yang sama akan keluar pada kali kedua seperti yang pertama kali.

Larutan

1. Kami akan menyelesaikan masalah ini menggunakan rumus:

Dimana P(A) adalah peluang kejadian A, m adalah banyaknya hasil yang diinginkan untuk kejadian tersebut, n adalah jumlah total kemungkinan hasil.

1. Mari kita terapkan teori ini pada masalah kita:

A – suatu peristiwa ketika hal yang sama muncul untuk kedua kalinya seperti yang pertama kali;

P(A) – peluang munculnya hal yang sama pada kali kedua dan pertama kali.

1. Mari kita definisikan m dan n:

m adalah banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian tersebut, yaitu banyaknya hasil ketika hal yang sama terjadi kedua kalinya seperti yang pertama. Pada suatu percobaan, sebuah uang logam dilempar sebanyak dua kali yang mempunyai 2 sisi yaitu ekor (P) dan kepala (O). Kita memerlukan hal yang sama untuk muncul kedua kalinya seperti yang pertama kali, dan ini dimungkinkan jika muncul kombinasi berikut: OO atau PP, yaitu ternyata

m = 2, karena ada 2 pilihan yang memungkinkan, ketika hal yang sama muncul pada kali kedua seperti pada kali pertama;

n adalah jumlah semua kemungkinan hasil, yaitu untuk menentukan n kita perlu mencari banyaknya semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi ketika sebuah koin dilempar dua kali. Saat melempar koin untuk pertama kalinya, bisa muncul ekor atau kepala, artinya ada dua pilihan yang mungkin. Saat melempar koin untuk kedua kalinya, opsi yang persis sama mungkin terjadi. Ternyata itu

Formulasi masalah: Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya kepala (ekor) satu kali saja (akan muncul tepat/minimal 1, 2 kali).

Soal tersebut merupakan bagian dari Ujian Negara Terpadu matematika tingkat dasar untuk kelas 11 di bawah nomor 10 (Definisi klasik tentang probabilitas).

Mari kita lihat bagaimana masalah tersebut diselesaikan dengan menggunakan contoh.

Contoh tugas 1:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa kepala tidak akan muncul sekali pun.

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu, kami hanya tertarik pada kombinasi yang tidak mengandung satu elang pun. Hanya ada satu kombinasi seperti itu (PP).

P = 1/4 = 0,25

Jawaban: 0,25

Contoh tugas 2:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas mendapatkan gambar tepat dua kali.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi jika sebuah koin dilempar dua kali. Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu, kami hanya tertarik pada kombinasi yang kepala muncul tepat 2 kali. Hanya ada satu kombinasi seperti itu (OO).

P = 1/4 = 0,25

Jawaban: 0,25

Contoh tugas 3:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan peluang munculnya gambar tepat satu kali.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi jika sebuah koin dilempar dua kali. Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu, kami hanya tertarik pada kombinasi yang muncul tepat 1 kali. Hanya ada dua kombinasi seperti itu (OR dan RO).

Jawaban: 0,5

Contoh tugas 4:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa kepala akan muncul setidaknya satu kali.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi jika sebuah koin dilempar dua kali. Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu. Kami hanya tertarik pada kombinasi yang kepalanya muncul setidaknya sekali. Hanya ada tiga kombinasi seperti itu (OO, OP dan RO).

P = 3/4 = 0,75

Pada suatu percobaan acak, sebuah uang logam simetris dilempar...

Sebagai kata pengantar.
Semua orang tahu bahwa koin memiliki dua sisi - kepala dan ekor.
Para ahli numismatis percaya bahwa koin memiliki tiga sisi - bagian depan, belakang, dan tepi.
Baik di antara itu maupun yang lainnya, hanya sedikit orang yang mengetahui apa itu koin simetris. Namun mereka yang sedang mempersiapkan diri untuk mengikuti Ujian Negara Bersatu mengetahui hal ini (baik, atau harus mengetahuinya :).

Secara umum, artikel ini akan membahas tentang koin yang tidak biasa, yang tidak ada hubungannya dengan numismatik, tetapi pada saat yang sama, merupakan koin paling populer di kalangan anak sekolah.

Jadi.
Koin simetris- ini adalah koin ideal matematis imajiner tanpa ukuran, berat, diameter, dll. Akibatnya, koin tersebut juga tidak memiliki tepi, yaitu hanya memiliki dua sisi. Sifat utama koin simetris adalah bahwa dalam kondisi seperti itu kemungkinan munculnya kepala atau ekor sama persis. Dan mereka menemukan koin simetris untuk melakukan eksperimen pemikiran.
Soal koin simetris yang paling populer adalah: "Dalam percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali (tiga kali, empat kali, dst.). Masalahnya adalah menentukan probabilitas salah satu sisi akan mendarat beberapa kali.

Memecahkan masalah dengan koin simetris

Jelas bahwa sebagai hasil pelemparan, koin akan mendarat di bagian kepala atau ekor. Berapa kali tergantung pada berapa banyak lemparan yang dilakukan. Probabilitas mendapatkan kepala atau ekor dihitung dengan membagi jumlah hasil yang memenuhi kondisi dengan jumlah total hasil yang mungkin.

Satu lemparan

Semuanya sederhana di sini. Entah itu kepala atau ekor. Itu. kita mempunyai dua kemungkinan hasil, salah satunya memuaskan kita - 1/2=50%

Dua lemparan

Dalam dua lemparan Anda bisa mendapatkan:
dua elang
dua kepala
kepala lalu ekor
ekor, lalu kepala
Itu. Hanya ada empat pilihan yang mungkin. Masalah dengan lebih dari satu gulungan paling mudah diselesaikan dengan menyusun tabel opsi yang memungkinkan. Untuk mempermudah, mari kita nyatakan kepala sebagai "0" dan ekor sebagai "1". Maka tabel kemungkinan hasil akan terlihat seperti ini:
00
01
10
11
Jika, misalnya, Anda perlu mencari kemungkinan munculnya kepala satu kali, Anda hanya perlu menghitung jumlah opsi yang sesuai dalam tabel - mis. garis-garis di mana elang muncul satu kali. Ada dua garis seperti itu. Artinya peluang munculnya satu gambar dalam dua kali pelemparan sebuah uang logam simetris adalah 2/4 = 50%
Peluang munculnya kepala dua kali dalam dua pelemparan adalah 1/4=25%

Tiga mawar

Mari buat tabel opsi:
000
001
010
011
100
101
110
111
Mereka yang akrab dengan kalkulus biner memahami apa yang telah kita capai. :) Ya, ini adalah angka biner dari "0" hingga "7". Hal ini memudahkan Anda untuk tidak bingung dengan pilihannya.
Mari selesaikan soal dari paragraf sebelumnya - hitung probabilitas munculnya kepala satu kali. Ada tiga baris di mana "0" muncul satu kali. Artinya peluang munculnya satu gambar dalam tiga kali pelemparan sebuah uang logam simetris adalah 3/8 = 37,5%
Peluang munculnya kepala dua kali dalam tiga pelemparan adalah 3/8 = 37,5%, yaitu. benar-benar sama.
Peluang munculnya kepala tiga kali dalam tiga pelemparan adalah 1/8 = 12,5%.

Empat lemparan

Mari buat tabel opsi:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Peluang munculnya kepala satu kali. Hanya ada tiga baris di mana "0" muncul satu kali, seperti halnya tiga lemparan. Tapi sudah ada enam belas pilihan. Artinya peluang munculnya satu gambar dalam empat kali pelemparan sebuah uang logam simetris adalah 16/3 = 18,75%
Peluang munculnya kepala dua kali dalam tiga pelemparan adalah 6/8 = 75%.
Peluang munculnya kepala tiga kali dalam tiga pelemparan adalah 4/8 = 50%.

Jadi, dengan bertambahnya jumlah lemparan, prinsip penyelesaian masalah tidak berubah sama sekali - hanya saja, dalam perkembangan yang sesuai, jumlah opsi bertambah.