Pelajaran dari satu teorema: "Kriteria untuk tegak lurus garis dan bidang." Garis tegak lurus dan bidang, tanda dan syarat tegak lurus garis dan bidang Sifat garis tegak lurus bidang

Dalam pelajaran ini, kita akan mengulangi teori dan membuktikan teorema-kriteria untuk tegak lurus garis dan bidang.
Di awal pelajaran, ingat kembali definisi garis lurus yang tegak lurus dengan bidang. Selanjutnya, kami mempertimbangkan dan membuktikan teorema-kriteria untuk tegak lurus garis dan bidang. Untuk membuktikan teorema ini, ingat kembali properti dari mean tegak lurus.
Selanjutnya, kita akan menyelesaikan beberapa soal pada tegak lurus garis dan bidang.

Topik: Garis tegak lurus dan bidang

Pelajaran: Tanda tegak lurus garis dan bidang

Dalam pelajaran ini kita akan mengulas teori dan membuktikannya teorema uji untuk tegak lurus garis dan bidang.

Definisi... Lurus dan disebut tegak lurus terhadap bidang α jika tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di bidang ini.

Jika sebuah garis lurus tegak lurus dengan dua garis lurus berpotongan yang terletak pada sebuah bidang, maka garis tersebut tegak lurus dengan bidang ini.

Bukti.

Mari kita diberi bidang α. Bidang ini berisi dua garis lurus yang berpotongan p dan q... Lurus dan tegak lurus dengan garis lurus p dan lurus q... Kita perlu membuktikan garis lurus itu dan tegak lurus terhadap bidang α, yaitu garis a tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak pada bidang α.

Peringatan.

Sebagai buktinya, kita perlu mengingat kembali properti dari titik tengah yang tegak lurus dengan ruas tersebut. Pertengahan tegak lurus rke segmen tersebut AB adalah lokus titik yang berjarak sama dari ujung segmen. Artinya, jika itu penting DARI terletak pada median tegak lurus p, lalu AC \u003d BC.

Biarkan intinya TENTANG - titik perpotongan dari garis lurus dan dan bidang α (Gbr. 2). Tanpa kehilangan keumuman, kita akan menganggap bahwa garis lurus p dan q berpotongan di titik TENTANG... Kita perlu membuktikan bahwa garis tersebut tegak lurus dan ke garis yang berubah-ubah mdari pesawat α.

Mari menggambar melalui intinya TENTANG lurus lsejajar dengan garis lurus m.Di garis lurus dan tunda segmen OA dan OV, dan OA = OV, yaitu, poin TENTANG - tengah segmen AB... Mari menggambar garis lurus PL, .

Lurus r tegak lurus dengan garis lurus dan (dari kondisi), (berdasarkan konstruksi). Cara, r AB... Dot R terletak pada garis lurus r... Cara, RA \u003d PB.

Lurus q tegak lurus dengan garis lurus dan (dari kondisi), (berdasarkan konstruksi). Cara, q - tengah tegak lurus dengan segmen AB... Dot Q terletak pada garis lurus q... Cara, QА \u003dQB.

segitiga ARQdan BPQsama di tiga sisi (PA \u003d PB, QА \u003dQB, P.Q -sisi umum). Jadi sudutnya ARQdan BPQadalah sama.

segitiga DANPL dan BPL sama dalam sudut dan dua sisi yang berdekatan (∠ ARL= ∠BPL, PA \u003d PB, PL - sisi umum). Dari persamaan segitiga, kami dapatkan AL \u003dBL.

Pertimbangkan segitiga ABL.Sejak itu sama kaki AL \u003dBL.Dalam segitiga sama kaki, median LOjuga merupakan ketinggian, yaitu garis lurus LOtegak lurus AB.

Kami benar dan tegak lurus dengan garis lurus aku,dan karenanya menjadi garis lurus m,q.E.D.

Poin A, M, O terletak pada garis lurus tegak lurus dengan bidang α, dan titik-titik Oh, B, C dan D terletak di bidang α (Gbr. 3). Manakah dari sudut berikut yang benar :?

Keputusan

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan bidang α, yang berarti garis lurus JSC tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di bidang α, termasuk garis lurus DI... Karenanya,.

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan garis lurus OS, oleh karena itu,

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan garis lurus TENTANGD, oleh karena itu, Pertimbangkan segitiga DAO... Hanya ada satu sudut siku-siku dalam segitiga. Jadi sudutnya BENDUNGAN - tidak langsung.

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan garis lurus TENTANGD, oleh karena itu,

Pertimbangkan sudut. Ini adalah sudut masuk segitiga siku-siku BMO, tidak bisa lurus, karena sudutnya MOU - lurus.

Menjawab: .

Dalam segitiga ABC diberikan :, SEBAGAI \u003d 6 cm, Matahari \u003d 8 cm, CM adalah median (Gbr. 4). Di atas DARI langsung SCtegak lurus dengan bidang segitiga ABC, dan SC \u003d 12 cm Temukan KM.

Keputusan:

Temukan panjangnya AB oleh teorema Pythagoras: (cm).

Berdasarkan properti segitiga siku-siku, di tengah sisi miring M jarak yang sama dari simpul segitiga. Yaitu CM \u003d AM \u003d BM, (cm).

Pertimbangkan segitiga KSM... Lurus KS tegak lurus dengan pesawat ABC, yang berarti KS tegak lurus CM... Jadi segitiga itu KSM - persegi panjang. Temukan sisi miringnya KM dari teorema Pythagoras: (lihat).

1. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (dasar dan tingkat profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, direvisi dan ditambah - M .: Mnemozina, 2008. - 288 hal .: sakit.

Tugas 1, 2, 5, 6 hal.57

2. Berikan definisi tegak lurus garis dan bidang.

3. Pilih pasangan sisi dan sisi dalam kubus yang tegak lurus.

4. Poin UNTUK terletak di luar bidang segitiga sama kaki ABC dan jarak yang sama dari poin DI dan DARI. M - tengah pangkalan Matahari... Buktikan itu garis lurus Matahari tegak lurus dengan pesawat AKM.

Dalam pelajaran ini, kita akan mengulangi teori dan membuktikan teorema-kriteria untuk tegak lurus garis dan bidang.
Di awal pelajaran, ingat kembali definisi garis lurus yang tegak lurus dengan bidang. Selanjutnya, kami mempertimbangkan dan membuktikan teorema-kriteria untuk tegak lurus garis dan bidang. Untuk membuktikan teorema ini, ingat kembali properti dari mean tegak lurus.
Selanjutnya, kita akan menyelesaikan beberapa soal pada tegak lurus garis dan bidang.

Topik: Garis tegak lurus dan bidang

Pelajaran: Tanda tegak lurus garis dan bidang

Dalam pelajaran ini kita akan mengulas teori dan membuktikannya teorema uji untuk tegak lurus garis dan bidang.

Definisi... Lurus dan disebut tegak lurus terhadap bidang α jika tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di bidang ini.

Jika sebuah garis lurus tegak lurus dengan dua garis lurus berpotongan yang terletak pada sebuah bidang, maka garis tersebut tegak lurus dengan bidang ini.

Bukti.

Mari kita diberi bidang α. Bidang ini berisi dua garis lurus yang berpotongan p dan q... Lurus dan tegak lurus dengan garis lurus p dan lurus q... Kita perlu membuktikan garis lurus itu dan tegak lurus terhadap bidang α, yaitu garis a tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak pada bidang α.

Peringatan.

Sebagai buktinya, kita perlu mengingat kembali properti dari titik tengah yang tegak lurus dengan ruas tersebut. Pertengahan tegak lurus rke segmen tersebut AB adalah lokus titik yang berjarak sama dari ujung segmen. Artinya, jika itu penting DARI terletak pada median tegak lurus p, lalu AC \u003d BC.

Biarkan intinya TENTANG - titik perpotongan dari garis lurus dan dan bidang α (Gbr. 2). Tanpa kehilangan keumuman, kita akan menganggap bahwa garis lurus p dan q berpotongan di titik TENTANG... Kita perlu membuktikan bahwa garis tersebut tegak lurus dan ke garis yang berubah-ubah mdari pesawat α.

Mari menggambar melalui intinya TENTANG lurus lsejajar dengan garis lurus m.Di garis lurus dan tunda segmen OA dan OV, dan OA = OV, yaitu, poin TENTANG - tengah segmen AB... Mari menggambar garis lurus PL, .

Lurus r tegak lurus dengan garis lurus dan (dari kondisi), (berdasarkan konstruksi). Cara, r AB... Dot R terletak pada garis lurus r... Cara, RA \u003d PB.

Lurus q tegak lurus dengan garis lurus dan (dari kondisi), (berdasarkan konstruksi). Cara, q - tengah tegak lurus dengan segmen AB... Dot Q terletak pada garis lurus q... Cara, QА \u003dQB.

segitiga ARQdan BPQsama di tiga sisi (PA \u003d PB, QА \u003dQB, P.Q -sisi umum). Jadi sudutnya ARQdan BPQadalah sama.

segitiga DANPL dan BPL sama dalam sudut dan dua sisi yang berdekatan (∠ ARL= ∠BPL, PA \u003d PB, PL - sisi umum). Dari persamaan segitiga, kami dapatkan AL \u003dBL.

Pertimbangkan segitiga ABL.Sejak itu sama kaki AL \u003dBL.Dalam segitiga sama kaki, median LOjuga merupakan ketinggian, yaitu garis lurus LOtegak lurus AB.

Kami benar dan tegak lurus dengan garis lurus aku,dan karenanya menjadi garis lurus m,q.E.D.

Poin A, M, O terletak pada garis lurus tegak lurus dengan bidang α, dan titik-titik Oh, B, C dan D terletak di bidang α (Gbr. 3). Manakah dari sudut berikut yang benar :?

Keputusan

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan bidang α, yang berarti garis lurus JSC tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di bidang α, termasuk garis lurus DI... Karenanya,.

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan garis lurus OS, oleh karena itu,

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan garis lurus TENTANGD, oleh karena itu, Pertimbangkan segitiga DAO... Hanya ada satu sudut siku-siku dalam segitiga. Jadi sudutnya BENDUNGAN - tidak langsung.

Pertimbangkan sudut. Lurus JSC tegak lurus dengan garis lurus TENTANGD, oleh karena itu,

Pertimbangkan sudut. Ini adalah sudut segitiga siku-siku BMO, tidak bisa lurus, karena sudutnya MOU - lurus.

Menjawab: .

Dalam segitiga ABC diberikan :, SEBAGAI \u003d 6 cm, Matahari \u003d 8 cm, CM adalah median (Gbr. 4). Di atas DARI langsung SCtegak lurus dengan bidang segitiga ABC, dan SC \u003d 12 cm Temukan KM.

Keputusan:

Temukan panjangnya AB oleh teorema Pythagoras: (cm).

Berdasarkan properti segitiga siku-siku, di tengah sisi miring M jarak yang sama dari simpul segitiga. Yaitu CM \u003d AM \u003d BM, (cm).

Pertimbangkan segitiga KSM... Lurus KS tegak lurus dengan pesawat ABC, yang berarti KS tegak lurus CM... Jadi segitiga itu KSM - persegi panjang. Temukan sisi miringnya KM dari teorema Pythagoras: (lihat).

1. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat dasar dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, direvisi dan ditambah - M .: Mnemozina, 2008. - 288 hal .: sakit.

Tugas 1, 2, 5, 6 hal.57

2. Berikan definisi tegak lurus garis dan bidang.

3. Pilih pasangan sisi dan sisi dalam kubus yang tegak lurus.

4. Poin UNTUK terletak di luar bidang segitiga sama kaki ABC dan jarak yang sama dari poin DI dan DARI. M - tengah pangkalan Matahari... Buktikan itu garis lurus Matahari tegak lurus dengan pesawat AKM.

Pelajarilah pelajaran

Garis tegak lurus dan bidang.

Tujuan pelajaran: Tunjukkan multiplisitas pendekatan untuk bukti teorema; meningkatkan keterampilan penelitian dan kemampuan siswa.

Persiapan pelajaran: Konsultan mahasiswa di rumah menyiapkan tujuh bukti tanda tegak lurus garis dan bidang menggunakan literatur tambahan.

Kemajuan pelajaran: I

Pidato pengantar guru:

Pelajaran hari ini adalah pelajaran dalam penelitian. Bersama-sama, dalam proses memecahkan masalah dan menjawab pertanyaan bermasalah, sampai pada perumusan teorema tegak lurus garis dan bidang dan berkenalan dengan tujuh versi bukti teorema ini untuk memilih yang paling optimal dari mereka , benar-benar memotivasi opini mereka.

1. Persiapan perumusan dalil:

Pengulangan definisi tegak lurus dengan bidang, analisis aplikasi praktis konsep ini dengan memecahkan masalah.

Tujuan 1.

Diberikan: Bidang, titik A dan B di bidang ini; AM adalah garis lurus yang tegak lurus dengan bidang ini. Tentukan jenis segitiga AMV.

Tugas berdasarkan opsi.

Anda diberi ABCD segiempat datar. AM - tegak lurus dengan bidang ABCD. Segitiga mana ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM berbentuk persegi panjang.

ABCD adalah persegi. Garis VK tegak lurus dengan bidang bujur sangkar. Segitiga mana ABD, BCD, ABK, BDK, BCK berbentuk persegi panjang.

Konsultan mengumpulkan kertas dan memeriksa solusinya, dan guru menuntun siswa pada kesimpulan:

(1) Apakah benar garis tegak lurus bidang tersebut adalah

tegak lurus dengan setiap garis lurus yang ada di bidang ini?

2. Kapan garis tegak lurus dengan bidang?

3. Berapa banyak garis yang terletak di pesawat? Bisakah kamu menghitungnya?

Magang - Konsultanpada model jari-jari menunjukkan berbagai pilihan: dalam sebuah bidang ada dua garis lurus dalam satu bidang, satu garis lurus tegak lurus dengan salah satunya.Keluaran: garis lurus tidak tegak lurus dengan bidang. Versi model berikutnya: sebuah garis lurus tegak lurus dengan dua garis lurus yang terletak di sebuah bidang, dan ternyata tegak lurus dengan bidang tersebut. Selanjutnya, untuk memperbaiki, Anda dapat mengambil model tiga garis lurus, dll.

Setelah menyelesaikan pekerjaan dengan model, siswa ditanyai pertanyaan bermasalah lainnya: berapa banyak garis lurus yang cukup di dalam bidang untuk mengatakan bahwa garis lurus itu tegak lurus dengan bidang?

Setelah menyelidiki situasi tegak lurus garis lurus dan bidang, kami sampai pada teorema padat, yang akan memungkinkan untuk mengetahui dalam gambar, model dan dalam praktek, tegak lurus terhadap garis lurus dan bidang. Mari kita coba merumuskan teorema.

Orang-orang menawarkan versi mereka sendiri dari perumusan teorema. Guru memilih yang paling rasional dan menawarkan untuk mendengarkan berbagai versi perumusan dan bukti teorema yang bersangkutan, yang ditemukan siswa di rumah dalam literatur yang direkomendasikan.

2. Bukti teorema:

Dalil: Jika sebuah garis lurus yang berpotongan dengan sebuah bidang tegak lurus terhadap dua garis lurus yang digambar pada bidang ini melalui titik perpotongan garis lurus ini dan bidang tersebut, maka garis tersebut tegak lurus dengan garis lurus ketiga yang digambar pada bidang ini melalui titik perpotongan yang sama.

Bukti: Kami menunda di jalur AA1 panjang sewenang-wenang, tetapi segmen yang sama OA dan OA1 dan menggambar pada bidang beberapa garis lurus yang akan memotong tiga garis lurus keluar dari titik O di titik C, D, dan B. Titik-titik ini terhubung ke titik A dan A1 ; kami mendapatkan beberapa segitiga. ∆ACB \u003d ∆A1 CB, karena mereka memiliki BC yang sama, AC \u003d A1 C - sebagai miring ke garis lurus AA1 , sama jauhnya dari basis O dari OS tegak lurus. Untuk alasan yang sama AB \u003d A1 B. Dari persamaan segitiga berikut ini ABC \u003d ∟A1 SM.

∆ABD \u003d ∆A 1 BD dengan tanda pertama persamaan segitiga: BD - persekutuan, AB \u003d A1 B terbukti, ∟ABC \u003d ∟A1 BC. Dari persamaan segitiga-segitiga ini AD \u003d A.1 D.

∆AOD \u003d ∆A1OD menurut kriteria ketiga persamaan segitiga. Ini mengikuti dari persamaan segitiga ini bahwa AOD \u003d A1OD; dan karena sudut-sudut ini berdekatan, AA1 tegak lurus dengan OD.

Dalil: Garis lurus tegak lurus terhadap dua garis lurus berpotongan milik bidang tegak lurus dengan bidang tersebut.

Kasus pertama, ketika semua garis lurus a, b, c melewati titik O - titik perpotongan garis lurus dengan bidang α. Kami menandai vektor OP pada garis p, pada garis c vektor OC dan membuktikan bahwa produk dari vektor OP dan OC sama dengan 0.

Mari kita memperluas vektor OC dalam hal vektor OA dan OB, yang masing-masing terletak pada garis a dan b; kemudian (kita berbicara tentang vektor) OC \u003d OA + OB. Cara:

OP ∙ OC \u003d OP (OA + OB) \u003d OP ∙ OA + OP ∙ OB

Tapi OP ┴ OA, OP ┴ OB; oleh karena itu OP ∙ OA \u003d 0, OP ∙ OB \u003d 0. Karenanya OP ∙ OC \u003d 0; berarti OP ┴ OC dan p ┴ c. Tetapi c adalah garis lurus manapun dari bidang tersebut; maka p ┴ α

Kasus kedua bila garis lurus a, b, c tidak melewati titik O. Gambarlah melalui titik O garis lurus a1 || a; b1 || b; c1 || c. Dengan hipotesis, p ┴ a, p ┴ b, jadi p ┴ a1, p ┴ b1, dan, seperti yang dibuktikan di atas, p ┴ c1, dan oleh karena itu p ┴ c. Garis dengan - garis lurus manapun pada bidang α; oleh karena itu garis p tegak lurus terhadap semua garis yang terletak pada bidang α, dan oleh karena itu p ┴ α.

Dalil: Jika sebuah garis lurus tegak lurus dengan dua garis lurus berpotongan yang terletak pada sebuah bidang, maka garis tersebut tegak lurus dengan bidang ini.

Buktinya bisa diambil dari buku teks oleh A.V. Pogorelov "Geometri 7-11"

A 1

α A X B

A 2

Opsi IV E.E. Legendre

Dalil: Sebuah garis lurus tegak lurus dengan dua garis lurus yang terletak pada sebuah bidang tegak lurus dengan bidang itu sendiri. HAI

Diberikan: SO  OA, SO  OB, OA C ., OB C 

Buktikan: SANGAT  

Bukti:

1. Median segitiga dapat diekspresikan melalui sisi-sisinya

4AM 2 \u003d 2 (AB 2 + AC 2) -BC 2

2 Gambarlah garis lurus melalui titik C sehingga segmen AB, yang berada di antara sisi-sisi sudut AOB, akan terbagi menjadi dua pada titik ini, yaitu, AC \u003d BC. SC - median segitiga АSВ: 4SC2 \u003d 2 (SA 2 + SB 2) -AB 2 ... OS adalah median dari segitiga AOB: 4OB2 \u003d 2 (AO 2 + OV 2) -AV 2 ... Dengan mengurangkan suku-suku persamaan ini dengan suku, kita mendapatkan: 4 (SC2 -OS 2) \u003d 2 ((SA 2 -AO 2) + (SВ 2 -ОВ 2 )). Ekspresi dalam tanda kurung di sisi kanan persamaan dapat diganti dengan c. Pythagoras. Untuk segitiga AOS: SO2 \u003d SA 2 -OA 2 ... Untuk segitiga BOS: SO2 \u003d SВ 2 -ОВ 2.

Oleh karena itu: 4 (SC 2 -OC 2) \u003d 2 (SO 2 + SO 2), 4 (SC 2 -OC 2) \u003d 4SO 2, SC 2 -OC 2 \u003d SO 2, dimana SC 2 \u003d SO 2 + OC 2 ... Menurut teorema Pythagoras kebalikan, SO OS. OS - garis lurus sewenang-wenang milik pesawat berarti SO .

Dalil: Jika sebuah garis lurus tegak lurus dengan masing-masing dari dua garis lurus berpotongan yang terletak pada bidang tersebut, maka garis lurus ini tegak lurus terhadap bidang tersebut..

Mari kita buktikan bahwa garis l tegak lurus dengan garis ketiga manapun pada bidang

1. Konstruksi: Pindahkan garis lurus m, n, g secara paralel ke titik O; ОА \u003d ОС \u003d ОD \u003d ОВ, maka ABCD adalah persegi panjang, kita menghubungkan A, B, C, D dengan beberapa titik M.
2. Segitiga AMD sama dengan BMC di tiga sisi, maka sudut1 sama dengan sudut2. Segitiga MDL sama dengan segitiga MKV di dua sisi dan sudut di antara keduanya. MD \u003d MV, LD \u003d BK - simetris terpusat; maka MK \u003d LM.
3. Segitiga MLK sama kaki, OM adalah median, oleh karena itu tingginya. Punya OM g, maka l  g, maka l 

Dalil: Jika sebuah garis lurus tegak lurus dengan dua garis lurus yang berpotongan pada sebuah bidang, maka garis tersebut tegak lurus dengan bidang itu sendiri..

R 1

Pembuktiannya berdasarkan kesimetrian di sekitar sumbu bidang.

1. Konstruksi: l  l 1, m. O  l 1, m  n \u003d O, OP \u003d OP '.
2. Titik P dan P 'simetris terhadap sumbu m, sedangkan P dan P' simetris terhadap sumbu n. Kemudian ((m  n)  ) Adalah bidang kesimetrian titik P dan P ', oleh karena itu,l 

3. Diskusi versi yang berbeda dari bukti teorema. Siswa memberikan pandangan mereka tentang bukti mana yang menurut mereka optimal dan mengapa. Guru memungkinkan Anda untuk memilih opsi apa pun untuk diri Anda sendiri dan menghubungkan teorema dengan contoh-contoh dari kehidupan: Dalam teknologi, arah tegak lurus ke bidang sering ditemukan. Kolom dipasang sedemikian rupa sehingga porosnya tegak lurus dengan bidang pondasi; paku didorong ke papan sehingga tegak lurus dengan bidang papan; dalam silinder mesin uap, batangnya tegak lurus dengan bidang piston, dll. Arah vertikal sangat penting, yaitu arah gravitasi, tegak lurus dengan bidang horizontal.

Soal: ABCD adalah belah ketupat, garis OK tegak lurus dengan diagonal belah ketupat.

Buktikan: OK tegak lurus dengan bidang belah ketupat.

Ringkasan pelajaran.

Tugas untuk rumah: h17, no. 120, no. 129

Bangunan garis lurus tegak lurus terhadap bidang tertentu dari titik yang diambil di luar bidang ini.
Biarlah sebuah - bidang, A - titik dari mana garis tegak lurus harus diturunkan. Gambarkan beberapa garis lurus di pesawat dan... Melalui titik A dan lurus danmenggambar pesawat b (garis dan titik menentukan bidang, dan hanya satu). Di pesawat b dari titik A kita turun ke garis lurus dan tegak lurus AB. Dari titik B di pesawat sebuah kami mengembalikan tegak lurus dan menunjukkan garis di mana tegak lurus ini berada di belakang dari... Melalui segmen AB dan garis lurus darimenggambar pesawat g (dua garis lurus yang berpotongan mendefinisikan sebuah bidang, dan hanya satu). Di pesawat g dari titik A kita turun ke garis lurus dari AC tegak lurus. Mari kita buktikan bahwa segmen AC tegak lurus dengan bidang b... Bukti. Lurus dan tegak lurus dengan garis lurus dari dan AB (menurut konstruksi), yang artinya tegak lurus dengan bidang itu sendiri g, di mana kedua garis lurus yang berpotongan ini berada (sesuai dengan tanda tegak lurus garis lurus dan bidang). Dan karena tegak lurus dengan bidang ini, maka tegak lurus dan setiap garis lurus di bidang ini, maka garis lurus dan tegak lurus dengan speaker. Garis lurus AS tegak lurus dengan dua garis lurus yang terletak pada bidang α: dari (berdasarkan konstruksi) dan dan (sesuai yang sudah dibuktikan), maka tegak lurus bidang α (sesuai kriteria tegak lurus garis dan bidang)

Teorema 1 ... Jika dua garis lurus yang berpotongan saling sejajar dengan dua garis lurus tegak lurus, maka garis tersebut juga tegak lurus.
Bukti. Biarlah dan dan b - garis lurus tegak lurus, dan 1 dan b 1 - memotong garis lurus sejajar dengannya. Mari kita buktikan bahwa garis itu dan 1 dan b 1 tegak lurus.
Jika lurus dan, b, dan 1 dan b 1 terletak di bidang yang sama, kemudian mereka memiliki properti yang ditunjukkan dalam teorema, seperti yang diketahui dari planimetri.
Sekarang mari kita asumsikan bahwa garis kita tidak terletak pada bidang yang sama. Lalu lurus dan dan b terletak di beberapa bidang α, dan garis lurus dan 1 dan b 1 - di beberapa bidang β. Atas dasar kesejajaran bidang, bidang α dan β adalah paralel. Misalkan С adalah titik perpotongan garis dan dan b, dan С 1 - perpotongan garis lurus dan 1 dan b satu . Mari kita menggambar bidang garis sejajar dan dan dan dan dan dan 1 di titik A dan A 1. Di bidang garis paralel b dan b 1 garis lurus sejajar lurus CC 1. Dia akan melewati batas b dan b 1 di titik B dan B 1.
Segi empat CAA 1 C 1 dan SVB 1 C 1 adalah jajaran genjang, karena sisi berlawanannya sejajar. Quadrangle ABB 1 A 1 juga merupakan jajaran genjang. Sisi-sisinya AA 1 dan BB 1 sejajar, karena masing-masing sejajar dengan garis lurus CC 1. Jadi, segiempat terletak pada bidang yang melewati garis paralel AA 1 dan BB 1. Dan itu memotong bidang paralel α dan β sepanjang garis paralel AB dan A 1 B 1.
Karena sisi berlawanan dari jajaran genjang sama, maka AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1. Menurut tanda persamaan ketiga, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah sama. Jadi, sudut A 1 C 1 B 1, sama dengan sudut ACB, garis lurus, mis. lurus dan 1 dan b 1 tegak lurus. Ch.t.d.

Properti tegak lurus dengan garis dan bidang.
Teorema 2 ... Jika sebuah bidang tegak lurus dengan salah satu dari dua garis lurus sejajar, maka bidang tersebut tegak lurus dengan yang lainnya.
Bukti. Biarlah dan 1 dan dan 2 - dua garis lurus sejajar dan α - bidang, tegak lurus dengan garis lurus dan satu . Mari kita buktikan bahwa bidang ini tegak lurus dengan garis dan 2 .
Gambarlah melalui titik A 2 perpotongan dari garis lurus dan 2 dengan bidang α garis lurus yang berubah-ubah dari 2 di bidang α. Mari kita gambar pada bidang α melalui titik A 1 dari perpotongan garis lurus dan 1 dengan bidang α, garis lurus dari 1 sejajar dengan garis lurus dari 2. Sejak lurus dan 1 tegak lurus dengan bidang α, lalu garis lurus dan 1 dan dari 1 tegak lurus. Dan dengan Teorema 1, garis-garis berpotongan sejajar dan 2 dan dari 2 juga tegak lurus. Jadi, lurus dan 2 tegak lurus terhadap garis lurus manapun dari 2 di bidang α. Artinya lurus dan 2 tegak lurus dengan bidang α. Teorema tersebut terbukti.

Teorema 3 ... Dua garis lurus tegak lurus dengan bidang yang sama sejajar satu sama lain.
Kami memiliki bidang α dan dua garis lurus tegak lurus terhadapnya dan dan b... Mari kita buktikan dan || b.
Melalui titik-titik perpotongan garis lurus bidang, gambarlah garis lurus dari... Dengan tanda yang kita dapatkan dan ^ c dan b ^ c... Melalui jalan lurus dan dan b menggambar sebuah bidang (dua garis sejajar mendefinisikan sebuah bidang dan, terlebih lagi, hanya satu). Di bidang ini, kami memiliki dua garis sejajar dan dan b dan garis potong dari... Jika penjumlahan dari sudut satu sisi dalam adalah 180 °, maka garis lurus tersebut sejajar. Kami memiliki kasus seperti itu - dua sudut siku-siku. karena itu dan || b.

Mari kita gabungkan konsep tegak lurus garis lurus dan bidang dengan garis besar pelajaran. Kami akan memberikan definisi umum, merumuskan dan menyajikan bukti teorema, dan menyelesaikan beberapa masalah untuk mengkonsolidasikan materi.

Hal ini diketahui dari jalur geometri: dua garis lurus dianggap tegak lurus jika berpotongan pada sudut 90 °.

Berhubungan dengan

Teman sekelas

Bagian teoritis

Beranjak ke kajian tentang ciri-ciri tokoh spasial, kami akan menerapkan konsep baru.

Definisi:

garis lurus akan dipanggil bidang tegak lurusketika tegak lurus dengan garis di permukaan yang melewati titik persimpangan secara sewenang-wenang.

Dengan kata lain, jika ruas "AB" tegak lurus dengan bidang α, maka sudut perpotongan dengan ruas mana pun yang ditarik sepanjang permukaan ini melalui titik "C" lintasan "AB" melalui bidang α akan menjadi 90 °.

Dari penjelasan di atas, teorema tentang kriteria tegak lurus garis dan bidang adalah sebagai berikut:

jika sebuah garis lurus yang ditarik melalui sebuah bidang tegak lurus terhadap dua garis lurus yang digambar pada sebuah bidang melalui titik perpotongan, maka garis tersebut tegak lurus terhadap keseluruhan bidang tersebut.

Dengan kata lain, jika pada Gambar 1 sudut ACD dan ACE adalah 90 °, maka sudut ACF juga akan menjadi 90 °. Lihat Gambar 3.

Bukti

Menurut kondisi teorema, garis "a" digambar tegak lurus dengan garis d dan e. Dengan kata lain, sudut ACD dan ACE adalah 90 °. Kami akan menyajikan pembuktian berdasarkan sifat-sifat persamaan segitiga. Lihat Gambar 3.

Melalui titik C garis sebuah melalui bidang α buat garis f ke segala arah. Kami akan memberikan bukti bahwa itu akan tegak lurus dengan segmen AB atau sudut ACF akan menjadi 90 °.

Di garis lurus sebuah sisihkan segmen dengan panjang AC dan AB yang sama. Di permukaan α kami menggambar garis x dalam arah yang sewenang-wenang dan tidak melewati persimpangan di titik "C". Garis "x" harus melewati garis e, d dan f.

Mari hubungkan titik F, D dan E dengan titik A dan B.

Pertimbangkan dua segitiga ACE dan BCE. Menurut kondisi konstruksi:

1. Ada dua sisi yang identik AC dan BC.
2. Mereka memiliki sisi CE yang sama.
3. Dua sudut ACE dan BCE yang sama - masing-masing 90 °.

Oleh karena itu, menurut kondisi persamaan segitiga, jika kita memiliki dua sisi yang sama dan sudut yang sama di antara keduanya, maka segitiga tersebut adalah sama. Ini mengikuti dari persamaan segitiga bahwa sisi AE dan BE sama.

Dengan demikian, persamaan segitiga ACD dan BCD dibuktikan, dengan kata lain persamaan sisi AD dan BD.

Sekarang perhatikan dua segitiga AED dan BED. Ini mengikuti dari persamaan segitiga yang telah terbukti sebelumnya bahwa angka-angka ini memiliki sisi yang sama AE dengan BE dan AD dengan BD. Satu sisi DE sering terjadi. Dari kondisi persamaan segitiga yang ditentukan pada tiga sisi, maka sudut ADE dan BDE adalah sama.

Jumlah sudut ADE dan ADF adalah 180 °. Jumlah sudut BDE dan BDF juga akan menjadi 180 °. Karena sudut ADE dan BDE sama, maka sudut ADF dan BDF sama.

Perhatikan dua segitiga ADF dan BDF. Mereka memiliki dua sisi yang sama AD dan BD (dibuktikan sebelumnya), DF memiliki sisi yang sama dan sudut yang sama di antara mereka ADF dan BDF. Akibatnya, segitiga-segitiga ini memiliki panjang sisi yang sama. Artinya, sisi BF memiliki panjang yang sama dengan sisi AF.

Jika kita menganggap segitiga AFB, maka itu akan menjadi sama kaki (AF sama dengan BF), dan garis FC adalah median, karena menurut kondisi konstruksi, sisi AC sama dengan sisi BC. Oleh karena itu, sudut ACF adalah 90 °. Yang seharusnya terbukti.

Konsekuensi penting dari teorema di atas adalah pernyataan:

jika dua paralel memotong bidang dan salah satunya membentuk sudut 90 °, maka yang kedua melewati bidang pada sudut 90 °.

Berdasarkan kondisi soal, a dan b sejajar. Lihat Gambar 4. Garis a tegak lurus permukaan α. Oleh karena itu, garis b juga akan tegak lurus dengan permukaan α.

Untuk membuktikan, melalui dua titik perpotongan garis lurus sejajar dengan bidang, kita menggambar di permukaan garis lurus c... Menurut teorema tentang garis lurus tegak lurus bidang, sudut DAB adalah 90 °. Berdasarkan sifat garis lurus sejajar sudut ABF juga akan menjadi 90 °. Oleh karena itu, menurut definisi, garis lurus b akan tegak lurus dengan permukaan α.

Menggunakan teorema untuk memecahkan masalah

Untuk memperbaiki material, dengan menggunakan kondisi dasar tegak lurus garis lurus dan bidang, kita akan menyelesaikan beberapa masalah.

Soal nomor 1

Kondisi. Dari titik A, buat garis tegak lurus ke bidang α. Lihat Gambar 5.

Gambar garis b sembarang pada permukaan α. Bangun permukaan β melalui garis b dan titik A. Gambarkan segmen AB dari titik A ke garis b. Dari titik B di permukaan α buatlah garis tegak lurus c.

Dari titik A ke garis dari hilangkan AC tegak lurus. Mari kita buktikan bahwa garis ini akan tegak lurus dengan bidang.

Buktinya, melalui titik C pada permukaan α, tarik garis d sejajar dengan b, dan melalui garis tersebut c dan titik A kita akan membangun sebuah pesawat. Garis AC tegak lurus terhadap garis c menurut kondisi konstruksi dan tegak lurus terhadap garis d, akibat adanya dua garis sejajar dari teorema tegak lurus, karena dengan syarat garis b tegak lurus dengan permukaan γ.

Oleh karena itu, dengan definisi tegak lurus garis dan bidang, segmen AC yang dibangun tegak lurus dengan permukaan α.

Soal nomor 2

Kondisi. Segmen AB tegak lurus dengan bidang α. Triangle BDF terletak di permukaan α dan memiliki parameter berikut:

• sudut DBF akan menjadi 90 °
• sisi BD \u003d 12 cm;
• sisi BF \u003d 16 cm;
• BC adalah mediannya.

Lihat Gambar 6.

Hitung panjang ruas AC jika AB \u003d 24 cm.

Keputusan. Menurut teorema Pythagoras, sisi miring atau sisi kanan DF sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki. Panjang BD kuadrat adalah 144 dan, karenanya, BC kuadrat adalah 256. Totalnya, 400; mengambil akar kuadrat, kita mendapatkan 20.

Median BC dalam segitiga siku-siku membagi hipotenusa menjadi dua bagian yang sama dan panjangnya sama dengan segmen ini, yaitu, BC \u003d DC \u003d CF \u003d 10.

Sekali lagi, teorema Pythagoras digunakan, dan kita mendapatkan: sisi miring C \u003d 26, yang merupakan akar kuadrat dari 675, jumlah kuadrat kaki 576 (AB \u003d 24 kuadrat) dan 100 (BC \u003d 10 kuadrat).

Jawab: Panjang ruas AC adalah 26 cm.