Menghitung panjang persegi panjang. Luas persegi panjang. Rumus untuk menentukan panjang sisi persegi panjang

Empat persegi panjang Adalah segi empat, yang masing-masing sudutnya siku-siku.

Bukti

Properti dijelaskan oleh aksi atribut 3 jajar genjang (yaitu, \ sudut A = \ sudut C, \ sudut B = \ sudut D)

2. Sisi-sisi yang berhadapan sama besar.

AB = CD, \ enspasi BC = AD

3. Sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

AB \ CD paralel, \ enspace BC \ paralel AD

4. Sisi-sisi yang berdekatan saling tegak lurus.

AB\perp BC,\enspace BC\perp CD,\enspace CD\perp AD,\enspace AD\perp AB

5. Diagonal persegi panjang itu sama besar.

AC = BD

Bukti

Berdasarkan properti 1 persegi panjang adalah jajar genjang, yang berarti AB = CD.

Oleh karena itu, \ segitiga ABD = \ segitiga DCA dalam dua kaki (AB = CD dan AD - joint).

Jika kedua gambar - ABC dan DCA identik, maka sisi miringnya BD dan AC juga identik.

Jadi AC = BD

Hanya persegi panjang dari semua gambar (hanya jajaran genjang!) Memiliki diagonal yang sama.

Kami akan membuktikan ini juga.

ABCD - jajaran genjang \ Panah kanan AB = CD, AC = BD dengan syarat. \ Panah kanan \ segitiga ABD = \ segitiga DCA sudah di tiga sisi.

Ternyata \ sudut A = \ sudut D (seperti sudut jajaran genjang). Dan \ sudut A = \ sudut C, \ sudut B = \ sudut D.

Kami menyimpulkan bahwa \ sudut A = \ sudut B = \ sudut C = \ sudut D... Mereka semua 90 ^ (\ circ). Total - 360 ^ (\ circ).

Terbukti!

6. Kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi yang berdekatan.

Properti ini valid berdasarkan teorema Pythagoras.

AC^2 = AD^2 + CD^2

7. Diagonal membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku yang identik.

\ segitiga ABC = \ segitiga ACD, \ enspace \ segitiga ABD = \ segitiga BCD

8. Titik potong diagonal membaginya menjadi dua.

AO = BO = CO = DO

9. Perpotongan diagonal-diagonalnya adalah pusat persegi panjang dan lingkaran luar.

10. Jumlah semua sudut adalah 360 derajat.

\ sudut ABC + \ sudut BCD + \ sudut CDA + \ sudut DAB = 360 ^ (\ circ)

11. Semua sudut persegi panjang itu lurus.

\ sudut ABC = \ sudut BCD = \ sudut CDA = \ sudut DAB = 90 ^ (\ circ)

12. Diameter lingkaran yang dibatasi pada persegi panjang sama dengan diagonal persegi panjang.

13. Di sekitar persegi panjang, Anda selalu dapat menggambarkan sebuah lingkaran.

Sifat ini benar karena jumlah sudut yang berhadapan pada persegi panjang adalah 180 ^ (\ circ)

\ sudut ABC = \ sudut CDA = 180 ^ (\ circ), \ enspace \ sudut BCD = \ sudut DAB = 180 ^ (\ circ)

14. Sebuah persegi panjang dapat berisi lingkaran bertulisan dan hanya satu jika memiliki panjang sisi yang sama (persegi).

Masalah menemukan diagonal persegi panjang dapat dirumuskan dalam tiga cara berbeda. Mari kita lihat lebih dekat satu per satu. Metode tergantung pada data yang diketahui, jadi bagaimana Anda menemukan diagonal persegi panjang?

Jika dua sisi diketahui

Dalam kasus ketika dua sisi persegi panjang a dan b diketahui, untuk menemukan diagonal, perlu menggunakan teorema Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2, di sini a dan b adalah kaki-kaki segitiga siku-siku, c adalah hipotenusa segitiga siku-siku. Ketika sebuah diagonal digambar dalam sebuah persegi panjang, itu membagi menjadi dua segitiga siku-siku. Kita tahu dua sisi dari segitiga siku-siku ini (a dan b). Artinya, untuk mencari diagonal persegi panjang, diperlukan rumus sebagai berikut: c = (a 2 + b 2), di sini c adalah panjang diagonal persegi panjang.

Di sisi dan sudut yang diketahui, antara sisi dan diagonal

Diketahui sisi persegi panjang a dan sudut yang dibentuknya dengan diagonal persegi panjang . Untuk memulainya, ingat rumus kosinus: cos = a / c, di sini c adalah diagonal persegi panjang. Cara menghitung diagonal persegi panjang dari rumus ini: c = a / cos .

Sepanjang sisi yang diketahui, sudut antara sisi yang berdekatan dari persegi panjang dan diagonal.

Karena diagonal persegi panjang membagi persegi panjang itu sendiri menjadi dua segitiga siku-siku, logis untuk beralih ke definisi sinus. Sinus adalah rasio kaki di seberang sudut ini dengan sisi miring sin = b / c. Dari sini kita memperoleh rumus untuk mencari diagonal persegi panjang, yang juga merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku: c = b / sin .

Sekarang Anda cerdas dalam hal ini. Anda dapat menyenangkan guru geometri Anda besok!

Definisi.

Persegi panjang berbeda satu sama lain hanya dalam rasio sisi panjang dengan sisi pendek, tetapi keempat sudutnya lurus, yaitu 90 derajat.

Panjang sisi persegi panjang disebut panjang persegi panjang, dan yang pendek - lebar persegi panjang.

Sisi-sisi persegi panjang juga tingginya.

Sifat dasar persegi panjang

Persegi panjang dapat berupa jajar genjang, bujur sangkar, atau belah ketupat.

1. Sisi-sisi yang berhadapan dari sebuah persegi panjang memiliki panjang yang sama, yaitu sama panjang:

AB = CD, BC = AD

2. Sisi-sisi yang berhadapan pada persegi panjang adalah sejajar:

3. Sisi-sisi yang berdekatan dari persegi panjang selalu tegak lurus:

AB BC, BC CD, CD AD, AD AB

4. Keempat sudut persegi panjang lurus:

ABC = BCD = CDA = DAB = 90 °

5. Jumlah sudut persegi panjang adalah 360 derajat:

ABC + BCD + CDA + DAB = 360 °

6. Diagonal-diagonal persegi panjang tersebut sama panjang:

7. Jumlah kuadrat diagonal persegi panjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Setiap diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi dua bentuk yang identik, yaitu segitiga siku-siku.

9. Diagonal persegi panjang berpotongan dan dibelah dua di titik persimpangan:

10. Titik potong diagonal-diagonalnya disebut pusat persegi panjang dan juga merupakan pusat lingkaran yang dibatasi

11. Diagonal persegi panjang adalah diameter lingkaran yang dibatasi

12. Di sekitar persegi panjang, Anda selalu dapat menggambarkan lingkaran, karena jumlah sudut yang berlawanan adalah 180 derajat:

ABC = CDA = 180 ° BCD = DAB = 180 °

13. Lingkaran tidak dapat dimasukkan ke dalam persegi panjang yang panjangnya tidak sama dengan lebarnya, karena jumlah sisi yang berlawanan tidak sama satu sama lain (lingkaran hanya dapat ditulis dalam kasus khusus persegi panjang - bujur sangkar).

Sisi persegi panjang

Definisi.

Rumus untuk menentukan panjang sisi persegi panjang

1. Rumus sisi persegi panjang (panjang dan lebar persegi panjang) melalui diagonal dan sisi lainnya:

a = d 2 - b 2

b = d 2 - a 2

2. Rumus sisi persegi panjang (panjang dan lebar persegi panjang) melalui luas dan sisi lainnya:

Diagonal persegi panjang

Definisi.

Rumus untuk menentukan panjang diagonal persegi panjang

1. Rumus diagonal persegi panjang melalui kedua sisi persegi panjang (melalui teorema Pythagoras):

d = a2 + b2

2. Rumus diagonal persegi panjang dalam hal luas dan setiap sisi:

4. Rumus diagonal persegi panjang dalam hal jari-jari lingkaran yang dibatasi:

d = 2R

5. Rumus diagonal persegi panjang melalui diameter lingkaran yang dibatasi:

d = D tentang

6. Rumus diagonal persegi panjang dalam hal sinus sudut yang berdekatan dengan diagonal, dan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut ini:

8. Rumus diagonal persegi panjang dalam hal sinus sudut lancip antara diagonal dan luas persegi panjang

d = 2S: dosa

Keliling persegi panjang

Definisi.

Rumus untuk menentukan panjang keliling persegi panjang

1. Rumus keliling persegi panjang melalui dua sisi persegi panjang:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. Rumus keliling persegi panjang dalam hal luas dan sisinya:

3. Rumus keliling persegi panjang melalui diagonal dan sembarang sisinya:

P = 2 (a + d 2 - a 2) = 2 (b + d 2 - b 2)

4. Rumus keliling persegi panjang dalam hal jari-jari lingkaran yang dibatasi dan setiap sisinya:

P = 2 (a + 4R 2 - sebuah 2) = 2 (b + 4R 2 - b 2)

5. Rumus keliling persegi panjang dalam hal diameter lingkaran yang dibatasi dan setiap sisinya:

P = 2 (a + D o 2 - sebuah 2) = 2 (b + D o 2 - b 2)

luas persegi panjang

Definisi.

Rumus untuk menentukan luas persegi panjang

1. Rumus luas persegi panjang di dua sisi:

S = a b

2. Rumus luas persegi panjang dalam hal keliling dan sisi apa pun:

5. Rumus luas persegi panjang dalam hal jari-jari lingkaran yang dibatasi dan sisi apa pun:

S = a 4R 2 - sebuah 2= b 4R 2 - b 2

6. Rumus luas persegi panjang dalam hal diameter lingkaran yang dibatasi dan sisi apa pun:

S = a D o 2 - sebuah 2= b D o 2 - b 2

Lingkaran dibatasi di sekitar persegi panjang

Definisi.

Rumus untuk menentukan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi panjang

1. Rumus jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi panjang melalui dua sisi: