Figuren bauen mit Lineal und Zirkel. Das Erstellen eines Segments, das dem Produkt oder Verhältnis der anderen beiden entspricht, mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals ist eine kreative Arbeit. Neues Material lernen

Wenn es ganz selbstverständlich ist, dass sich unter der Annahme einer größeren Vielfalt von Werkzeugen herausstellt, dass es möglich ist, eine größere Menge von Konstruktionsproblemen zu lösen, dann könnte man dies im Gegenteil unter den Einschränkungen, die den Werkzeugen auferlegt werden, voraussehen Klasse lösbarer Probleme wird sich verengen. Umso bemerkenswerter ist die Entdeckung des Italieners Mascheroni (1750-1800): Alle geometrischen Konstruktionen, die mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden können, lassen sich mit nur einem Zirkel ausführen. Festzuhalten ist natürlich, dass es eigentlich unmöglich ist, ohne Lineal eine Gerade durch zwei gegebene Punkte zu ziehen, also wird diese Grundkonstruktion von Mascheronis Theorie nicht abgedeckt. Stattdessen muss man annehmen, dass eine Gerade gegeben ist, wenn zwei ihrer Punkte gegeben sind. Aber allein mit Hilfe eines Zirkels ist es möglich, den Schnittpunkt zweier so gegebener Geraden oder den Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis zu finden.

Das wohl einfachste Beispiel für Mascheronis Konstruktion stellt die Verdopplung eines gegebenen Segments dar. Die Lösung wurde bereits auf S. 185 gegeben. Sehen wir uns nun an, wie man einen Kreisbogen mit Mittelpunkt O halbiert. Hier ist eine Beschreibung dieser Konstruktion. Mit einem Radius zeichnen wir zwei Bögen mit Mittelpunkten. Ab dem Punkt O legen wir zwei solcher Bögen auf diesen Bögen und das. Dann finden wir den Schnittpunkt des Bogens mit dem Mittelpunkt P und dem Radius und den Bogen mit dem Mittelpunkt und dem Radius Schließlich , indem wir die Strecke als Radius nehmen, beschreiben wir den Bogen mit dem Mittelpunkt P oder bis der Schnittpunkt mit dem Bogen der Schnittpunkt und der gesuchte Mittelpunkt des Bogens ist Der Beweis sei dem Leser als Übung überlassen.

Reis. 48. Schnittpunkt eines Kreises und einer Linie, die nicht durch den Mittelpunkt verläuft

Es wäre unmöglich, Mascheronis Hauptbehauptung zu beweisen, indem man für jede Konstruktion, die mit einem Zirkel und einem Lineal gemacht werden kann, zeigt, wie es mit einem einzigen Zirkel gemacht werden kann: schließlich gibt es unendlich viele mögliche Konstruktionen. Aber wir werden dasselbe Ziel erreichen, wenn wir feststellen, dass jede der folgenden Grundkonstruktionen mit einem einzigen Kompass machbar ist:

1. Zeichnen Sie einen Kreis, wenn Mittelpunkt und Radius gegeben sind.

2. Finden Sie die Schnittpunkte zweier Kreise.

3. Finden Sie die Schnittpunkte der Linie und des Kreises.

4. Finden Sie den Schnittpunkt zweier Geraden.

Jede geometrische Konstruktion (im üblichen Sinne, unter der Annahme von Zirkel und Lineal) besteht aus einer endlichen Folge dieser elementaren Konstruktionen. Dass die ersten beiden mit einem einzigen Kompass machbar sind, ist sofort klar. Schwierigere Konstruktionen 3 und 4 werden unter Verwendung der im vorherigen Absatz diskutierten Inversionseigenschaften durchgeführt.

Wenden wir uns Konstruktion 3 zu: Finden Sie die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises C mit einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft.Wir zeichnen Bögen mit Mittelpunkten bzw. Radien gleich und außer dem Punkt O, sie schneiden sich an diesem Punkt P. Dann konstruieren wir einen zum Punkt P reziproken Punkt bezüglich des Kreises C (siehe Konstruktion auf Seite 186). Schließlich zeichnen wir einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius (er wird sich sicherlich mit C schneiden): seine Schnittpunkte mit Kreis C sind die gewünschten. Um dies zu beweisen, genügt es festzustellen, dass jeder der Punkte den gleichen Abstand von hat (wie bei den Punkten folgt ihre analoge Eigenschaft unmittelbar aus der Konstruktion). In der Tat genügt es, auf den Umstand hinzuweisen, dass der dem Punkt inverse Punkt von den Punkten um einen Abstand getrennt ist, der gleich dem Radius des Kreises C ist (siehe Seite 184). Es ist erwähnenswert, dass der Kreis, der durch die Punkte verläuft, die umgekehrte Linie in Bezug auf den Kreis C ist, da sich dieser Kreis und die Linie schneiden

Reis. 49. Schnittpunkt eines Kreises und einer geraden Linie, die durch den Mittelpunkt verläuft

mit C an denselben Stellen. (Bei Umkehrung bleiben die Basiskreispunkte fixiert.)

Nur wenn die Gerade durch den Mittelpunkt C verläuft, ist die angegebene Konstruktion nicht möglich umgekehrt zu einer geraden Linie, die zwei gegebene Punkte verbindet, ergibt sofort eine Konstruktion, die Problem 4 löst. Die Linien seien durch Punkte gegeben (Abb. 50).

Reis. 50. Schnittpunkt zweier Linien

Wir zeichnen einen beliebigen Kreis C und konstruieren mit der obigen Methode Kreise, die invers zu den Linien und sind. Diese Kreise schneiden sich am Punkt O und an einem weiteren Punkt. Punkt X, die Umkehrung des Punktes, ist der gewünschte Schnittpunkt: wie bauen wurde oben schon erklärt. Dass X der gesuchte Punkt ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass es einen einzigen Punkt gibt, der zu einem Punkt invers ist, der gleichzeitig zu beiden Geraden gehört, also einen Punkt X, dessen Inverse gleichzeitig auf und auf liegen muss

Diese beiden Konstruktionen vervollständigen den Beweis der Äquivalenz zwischen Mascheronis Konstruktionen, in denen nur Zirkel erlaubt sind, und gewöhnlichen geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Dabei ging es uns nicht um die Eleganz der Lösung der hier betrachteten Einzelprobleme, da es unser Ziel war, den inneren Sinn von Mascheronis Konstruktionen zu verdeutlichen. Als Beispiel wollen wir aber auch die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks angeben; Genauer gesagt geht es darum, fünf Punkte auf einem Kreis zu finden, die als Eckpunkte eines regelmäßig einbeschriebenen Fünfecks dienen können.

Sei A ein beliebiger Punkt auf dem Kreis K. Da die Seite eines regelmäßig einbeschriebenen Sechsecks gleich dem Radius des Kreises ist, wird es nicht schwierig sein, auf K solche Punkte zu setzen, die

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Lehrbuch: Geometrie, 7-9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / (L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev und andere) - 16. Aufl. – M.: Aufklärung, 2011.

Lernziele:

1. eine Vorstellung von einer neuen Klasse von Konstruktionsproblemen geben;
2. Betrachten Sie die einfachsten Aufgaben für den Bau;
3. Schülern beibringen, solche Probleme zu lösen.

Aufgaben:

Pädagogischer Aspekt:

• geben Sie eine Vorstellung von einer neuen Klasse von Problemen - der Konstruktion geometrischer Probleme mit einem Kompass und einem Lineal ohne Skaleneinteilung;
• praktische Fähigkeiten der Arbeit zu bilden;
• Kenntnisse über die Geschichte der Geometrie erweitern.

Entwicklungsaspekt:

• Entwicklung von Selbstkontrollfähigkeiten;
• Bildung von IKT-Kompetenz;
• die Bildung des logischen Denkens.

Pädagogischer Aspekt:

• Bildung einer verantwortungsvollen Einstellung zur Bildungsarbeit, Wille und Ausdauer, um beim Studium des Themas endgültige Ergebnisse zu erzielen;
• Förderung des Interesses an der Geschichte der Mathematik als Wissenschaft.

Unterrichtstyp: kombiniert.

Organisationsformen von Bildungsaktivitäten: individuell, kollektiv.

Unterrichtsschritte:

• Vorbereitung auf aktive Lernaktivitäten;
• Anwendung von Wissen;
• Nachbesprechung und Reflexion;
• Informationen zu Hausaufgaben.

Ausrüstung:

• Lehrbuch, Heft, Bleistift, Füller, Lineal, Zirkel, Handouts (KIM);
• Computer mit technischen Mindestvoraussetzungen: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Multimedia-Projektor, Leinwand.

Unterrichtsmaterialien:

• Testaufgaben (KIM) Anhang 1;
• Präsentation;
• Einschätzung des Assimilationsgrades des Materials Anhang 3.

Unterrichtsplan:

WÄHREND DER KLASSEN

1. Organisatorischer Moment:

Das Thema der heutigen Lektion ist „Beispiele für Konstruktionsaufgaben“ (Folie 1).

Der Zweck der Lektion besteht darin, die einfachsten Konstruktionsprobleme zu betrachten, die nur mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals ohne Unterteilungen gelöst werden können. lernen, wie man sie löst (Folie 2).

2. Wiederholung. Kontrolle der Hausaufgaben:

Wir haben uns mit dem Thema „Circle“ beschäftigt und testen heute dein Wissen mit Hilfe eines Tests. Erledigen Sie die Testaufgabe (jeder erhält einen KIM mit einer Testaufgabe). Wählen Sie für jede Frage die richtige Antwort aus. Schätzen Sie Ihr Wissen selbst ein, indem Sie die Anzahl der richtigen Antworten zählen. Bei 6 richtigen Antworten ist die Punktzahl „5“, bei 5 richtigen Antworten ist die Punktzahl „4“, bei 4 richtigen Antworten ist die Punktzahl „3“, eine geringere Anzahl richtiger Antworten ist die Punktzahl Punktzahl „2“.

(Richtige Antworten auf Folie 3 der Präsentation).

3. Vorbereitung der Schüler auf die Wahrnehmung von neuem Material:

Einführungsvortrag des Lehrers:

Wir haben uns bereits mit geometrischen Konstruktionen beschäftigt: Wir haben gerade Linien gezeichnet, Segmente gleich Daten gesetzt, Winkel, Dreiecke und andere Formen mit verschiedenen Werkzeugen gezeichnet. Beim Konstruieren eines Segments einer bestimmten Länge wurde ein Lineal mit Millimetereinteilung verwendet, und beim Konstruieren eines Winkels mit einem bestimmten Gradmaß wurde ein Winkelmesser verwendet.

In deiner Hausaufgabe hattest du folgende Aufgabe:

Zeichne ein Dreieck ABC mit AB = 3,6 cm, AC = 2,7 cm, A = 48°. Was für st Welche Tools haben Sie verwendet, um dieses Problem zu lösen?

Also haben wir ein Lineal mit Millimetereinteilung und einen Winkelmesser verwendet. Aber es gibt solche Aufgaben, bei denen manchmal vorgegeben ist, mit welchen Werkzeugen die vorgeschlagene geometrische Figur aufgebaut werden soll (Folie 4-5).

Aufgabe 1. Legen Sie mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals ohne Unterteilungen auf einem bestimmten Strahl von Anfang an ein Segment gleich dem angegebenen beiseite. Bildschirmzeichnung.

(Schüler bieten Lösungen an).

Und jetzt überprüfen wir Ihre Lösung (siehe Folie 6)

So können viele Konstruktionen in der Geometrie nur mit einem Zirkel und einem Lineal ohne Teilungen durchgeführt werden (Folie 7).

Wenn wir im Folgenden von Konstruktionsproblemen sprechen, werden wir an solche Konstruktionen denken.

Aufgabenstellungen zum Bauen mit Zirkel und Lineal sind das traditionelle Material, das im Rahmen der Planimetrie untersucht wird. Üblicherweise werden diese Aufgaben nach einem Schema gelöst, das aus vier Teilen besteht (siehe S. 95–96 des Lehrbuchs). Zeichnen (zeichnen) Sie zunächst die gewünschte Figur und stellen Sie Verknüpfungen zwischen den Daten des Problems und den gewünschten Elementen her. Dieser Teil der Lösung heißt Analyse. Es ermöglicht Ihnen, einen Plan zur Lösung des Problems zu erstellen.

Dann, nach dem geplanten Plan, Konstruktion Kompass und Lineal.

Danach braucht man beweisen dass die konstruierte Figur die Bedingungen des Problems erfüllt.

Und schließlich ist es notwendig Forschung, hat das Problem für beliebige Daten eine Lösung, und wenn ja, wie viele Lösungen.

Bei eher einfachen Aufgabenstellungen können einzelne Teile wie Analyse oder Recherche weggelassen werden (Folie 8).

In der 7. Klasse lösen wir die einfachsten Aufgaben zum Bauen mit Zirkel und Lineal, in anderen Klassen lösen wir komplexere Aufgaben.

4. Neues lernen:

Unsere Aufgabe ist es also, Bauaufgaben mit nur zwei Werkzeugen zu erledigen: einem Zirkel und einem Lineal ohne Skaleneinteilung.

Was kann man mit ihnen machen? Es ist klar, dass Mit dem Lineal können Sie eine beliebige gerade Linie zeichnen sowie eine gerade Linie konstruieren, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Mit einem Kompass können Sie einen Kreis mit beliebigem Radius sowie einen Kreis mit einem Mittelpunkt an einem bestimmten Punkt und einem Radius gleich einem bestimmten Segment zeichnen(Folie 9).

Indem wir diese einfachen Operationen ausführen, können wir viele interessante Bauaufgaben lösen (Folie 10):

1. Setze auf einem gegebenen Strahl von Anfang an ein Segment gleich dem gegebenen beiseite.
2. Setze neben dem gegebenen Strahl einen Winkel gleich dem gegebenen.
3. Konstruiere die Winkelhalbierende des gegebenen nicht abgeflachten Winkels.
4. Konstruiere eine Gerade, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und senkrecht zu der Geraden verläuft, auf der der gegebene Punkt liegt.
5. Konstruieren Sie den Mittelpunkt dieses Segments.

Problem Nummer 1 haben wir bereits gelöst.

Nun betrachten wir mit Hilfe eines Computers die Lösung von Aufgabe Nr. 2. Führen Sie die entsprechenden Konstruktionen in Ihrem Heft durch (Folien 11-12).

Betrachten wir nun die Aufgaben Nr. 3 - 5 (Folie 13-18).

(entsprechende Konstruktionen und Aufgabenbeschreibungen werden im Heft durchgeführt)

Nach Abschluss der Arbeit macht der Lehrer die Schüler darauf aufmerksam, dass solche Aufgaben in der Antike berücksichtigt wurden(Folie 19).

Wenden wir uns nun der Geschichte der Geometrie zu. Antike griechische Mathematiker erlangten mit Hilfe von Zirkeln und Linealen eine außerordentlich große Fertigkeit in geometrischen Konstruktionen. Sie bewiesen, dass ein Winkel auch in vier gleiche Winkel geteilt werden kann. Dazu müssen Sie es in zwei Hälften teilen und dann die Winkelhalbierende jeder Hälfte bilden. Kann man mit Zirkel und Lineal einen Winkel in drei gleiche Teile teilen? Diese Aufgabe, genannt Winkeldreiteilungsprobleme, zieht seit vielen Jahrhunderten die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf sich. Sie erlag ihren Bemühungen jedoch nicht. Erst im letzten Jahrhundert wurde bewiesen, dass eine solche Konstruktion für einen beliebigen Winkel unmöglich ist.

Es gibt andere Konstruktionsprobleme, die bekanntermaßen mit Zirkel und Lineal unlösbar sind. Ich schlage vor, dass Sie selbstständig Material finden, das Informationen enthält, um sich mit diesen Aufgaben vertraut zu machen.

5. Zusammenfassung der Lektion:

Wir haben viel Neues gelernt, gelernt, welche Probleme nur mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals gelöst werden können. Jeder von euch hat ein Blatt mit Fragen. Bewerten Sie Ihre Arbeit in der heutigen Lektion, indem Sie eine der vorgeschlagenen Antworten auswählen.

1. Bewerten Sie die Schwierigkeit der Lektion. Du warst im Unterricht:
   • leicht;
   • in der Regel;
   • schwer
2. Beurteilen Sie den Grad Ihrer Assimilation des Materials:
   • vollständig gelernt, kann anwenden;
   • vollständig gelernt, finden es aber schwierig anzuwenden;
   • teilweise gelernt;
   • habe es nicht verstanden.

Sammeln Sie Merkblätter, um den Grad der Assimilation des Materials der heutigen Stunde zu beurteilen, um die Arbeit in der nächsten Stunde richtig zu organisieren. Die Noten für die Unterrichtsstunde werden gemeldet, einschließlich der Noten für den Test zum Thema "Kreis".

6. Hausaufgaben:

• Beantworten Sie die Fragen 17–21 auf Seite 50;
• Lösen Sie die Aufgaben Nr. 153, 154 (Folie 20).

Anweisung

Platzieren Sie die Kompassnadel an der markierten Stelle. Zeichnen Sie mit einem Stift einen Kreis mit einem gemessenen Radius.

Platzieren Sie einen Punkt an einer beliebigen Stelle entlang des Umfangs des gezeichneten Bogens. Dies ist der zweite Eckpunkt B des zu erstellenden Dreiecks.

Legen Sie das Bein auf die gleiche Weise auf den zweiten Scheitelpunkt. Zeichne einen weiteren Kreis so, dass er sich mit dem ersten schneidet.

Der dritte Eckpunkt C des erstellten Dreiecks befindet sich am Schnittpunkt der beiden gezeichneten Bögen. Markieren Sie es auf dem Bild.

Nachdem Sie alle drei Eckpunkte erhalten haben, verbinden Sie sie mit geraden Linien auf einer beliebigen ebenen Fläche (besser als mit einem Lineal). Das Dreieck ABC wird aufgebaut.

Wenn ein Kreis alle drei Seiten eines bestimmten Dreiecks berührt und sein Mittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt, wird er als in das Dreieck eingeschrieben bezeichnet.

Du wirst brauchen

• Lineal, Kreis

Anweisung

Von den Eckpunkten des Dreiecks (der dem teilbaren Winkel gegenüberliegenden Seite) werden Kreisbögen mit beliebigem Radius mit einem Kompass gezeichnet, bis sie sich schneiden;

Der Schnittpunkt der Bögen entlang des Lineals ist mit der Spitze des teilbaren Winkels verbunden;

Dasselbe geschieht mit jedem anderen Winkel;

Der Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist das Verhältnis der Fläche des Dreiecks und seines Halbumfangs: r=S/p, wobei S die Fläche des Dreiecks ist, und p=(a+ b+c)/2 ist der Halbumfang des Dreiecks.

Der Radius eines einem Dreieck einbeschriebenen Kreises ist von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.

Quellen:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Betrachten Sie das Problem, ein Dreieck zu konstruieren, vorausgesetzt, dass drei seiner Seiten oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind.

Du wirst brauchen

• - Kompasse
• - Herrscher
• - Winkelmesser

Anweisung

Nehmen wir an, es gibt drei Seiten: a, b und c. Mit solchen Partys ist es nicht schwierig. Wählen wir zuerst die längste dieser Seiten, lassen Sie es Seite c sein, und zeichnen Sie sie. Dann stellen wir die Öffnung des Zirkels auf den Wert der anderen Seite, Seite a, ein und zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis mit Radius a, der auf einem der Enden der Seite c zentriert ist. Stellen Sie nun die Öffnung des Zirkels auf den Wert der Seite b ein und zeichnen Sie einen Kreis, der am anderen Ende der Seite c zentriert ist. Der Radius dieses Kreises ist b. Wir verbinden den Schnittpunkt der Kreise mit den Mittelpunkten und erhalten ein Dreieck mit den gewünschten Seiten.

Verwenden Sie einen Winkelmesser, um ein Dreieck mit einer bestimmten Seite und zwei benachbarten Winkeln zu zeichnen. Zeichne eine Seite der angegebenen Länge. Legen Sie an den Rändern die Ecken mit einem Winkelmesser beiseite. Holen Sie sich am Schnittpunkt der Seiten der Ecken den dritten Eckpunkt des Dreiecks.

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beachten Sie

Für die Seiten eines Dreiecks gilt: Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten muss größer sein als die dritte. Wenn das nicht stimmt, dann ist es unmöglich, ein solches Dreieck zu konstruieren.

Die Kreise in Schritt 1 schneiden sich an zwei Punkten. Sie können eine beliebige auswählen, die Dreiecke sind gleich.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist eines, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Basierend auf dieser Definition ist die Konstruktion eines solchen Dreiecks keine schwierige Aufgabe.

Du wirst brauchen

• Lineal, liniertes Blatt Papier, Bleistift

Anweisung

Verbinden Sie mit einem Lineal die auf dem Blatt markierten Punkte in Reihe nacheinander, wie in Abbildung 2 gezeigt.

beachten Sie

In einem regelmäßigen (gleichseitigen) Dreieck haben alle Winkel 60 Grad.

Hilfreicher Tipp

Ein gleichseitiges Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. Wenn das Dreieck gleichschenklig ist, bedeutet dies, dass 2 seiner 3 Seiten gleich sind und die dritte Seite als Basis betrachtet wird. Jedes regelmäßige Dreieck ist gleichschenklig, während die Umkehrung nicht gilt.

Jedes gleichseitige Dreieck hat nicht nur dieselben Seiten, sondern auch Winkel, von denen jeder gleich 60 Grad ist. Das Zeichnen eines solchen Dreiecks, das mit einem Winkelmesser erstellt wurde, ist jedoch nicht sehr genau. Um diese Figur zu erstellen, ist es daher besser, einen Kompass zu verwenden.

Du wirst brauchen

• Bleistift, Lineal, Zirkel

Anweisung

Nehmen Sie dann einen Kompass, setzen Sie ihn an die Enden (den zukünftigen Eckpunkt des Dreiecks) und zeichnen Sie einen Kreis mit einem Radius, der der Länge dieses Segments entspricht. Sie können nicht den ganzen Kreis zeichnen, sondern nur ein Viertel davon von der gegenüberliegenden Kante des Segments.

Bewegen Sie nun den Kompass zum anderen Ende des Segments und zeichnen Sie erneut einen Kreis mit demselben Radius. Hier reicht es aus, einen Kreis zu konstruieren, der sich vom anderen Ende des Segments bis zum Schnittpunkt mit dem bereits konstruierten Bogen erstreckt. Der resultierende Punkt ist der dritte Eckpunkt Ihres Dreiecks.

Um die Konstruktion abzuschließen, nehmen Sie wieder ein Lineal mit einem Bleistift und verbinden Sie den Schnittpunkt der beiden Kreise mit beiden Enden des Segments. Sie erhalten ein Dreieck, dessen drei Seiten absolut gleich sind – dies lässt sich leicht mit einem Lineal überprüfen.

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Ein Dreieck ist ein Vieleck mit drei Seiten. Ein gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck ist ein Dreieck, in dem alle Seiten und Winkel gleich sind. Überlege, wie du ein regelmäßiges Dreieck zeichnen kannst.

Du wirst brauchen

• Lineal, Kreis.

Anweisung

Zeichnen Sie mit einem Kompass einen weiteren Kreis, dessen Mittelpunkt bei Punkt B liegt und dessen Radius dem Liniensegment BA entspricht.

Die Kreise schneiden sich an zwei Punkten. Wählen Sie eine davon aus. Nennen Sie es C. Dies wird die dritte Ecke des Dreiecks sein.

Verbinde die Scheitelpunkte miteinander. Das resultierende Dreieck wird korrekt sein. Überprüfen Sie dies, indem Sie die Seiten mit einem Lineal messen.

Betrachten Sie eine Methode zum Konstruieren eines regelmäßigen Dreiecks mit zwei Linealen. Zeichnen Sie das Segment OK, es wird eine der Seiten des Dreiecks sein, und die Punkte O und K werden seine Eckpunkte sein.

Ohne das Lineal nach dem Erstellen des OK-Segments zu verschieben, befestigen Sie ein weiteres Lineal senkrecht dazu. Zeichnen Sie eine Linie m, die das Segment OK in der Mitte schneidet.

Messen Sie mit einem Lineal das Segment OE, das dem Segment OK entspricht, so dass eines seiner Enden mit dem Punkt O zusammenfällt und das andere auf der Linie m liegt. Punkt E ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.

Beenden Sie die Konstruktion des Dreiecks, indem Sie die Punkte E und K verbinden. Überprüfen Sie die Konstruktion mit einem Lineal.

beachten Sie

Mit einem Winkelmesser können Sie sich vergewissern, dass das Dreieck korrekt ist, indem Sie die Winkel messen.

Hilfreicher Tipp

Ein gleichseitiges Dreieck kann auch mit einem einzigen Lineal auf einem Blatt in einem Käfig gezeichnet werden. Verwenden Sie anstelle eines anderen Lineals senkrechte Linien.

Quellen:

• Klassifizierung von Dreiecken. Gleichseitige Dreiecke
• Was ist ein dreieck
• Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein einbeschriebenes Dreieck ist ein Dreieck, dessen Ecken alle auf dem Kreis liegen. Sie können es bauen, wenn Sie mindestens eine Seite und einen Winkel kennen. Der Kreis wird umschrieben genannt, und er wird der einzige für dieses Dreieck sein.

Du wirst brauchen

• - Kreis;
• - Seite und Winkel eines Dreiecks;
• - Blatt Papier;
• - Kompass;
• - Herrscher;
• - Winkelmesser;
• - Taschenrechner.

Anweisung

Verwenden Sie von Punkt A aus einen Winkelmesser, um den angegebenen Winkel beiseite zu legen. Setzen Sie die Seite der Ecke bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis fort und setzen Sie einen Punkt C. Verbinden Sie die Punkte B und C. Sie haben ein Dreieck ABC. Es kann von beliebiger Art sein. Der Kreismittelpunkt liegt bei einem spitzen Dreieck außerhalb, bei einem stumpfen Dreieck außerhalb und bei einem rechtwinkligen Dreieck auf der Hypotenuse. Wenn Sie keinen Winkel, sondern beispielsweise drei Seiten eines Dreiecks erhalten, berechnen Sie einen der Winkel aus dem Radius und der bekannten Seite.

Viel häufiger hat man es mit inverser Konstruktion zu tun, wenn ein Dreieck gegeben ist und darum herum ein Kreis beschrieben werden muss. Berechne seinen Radius. Dies kann nach mehreren Formeln erfolgen, je nachdem, was Ihnen gegeben wird. Den Radius findet man zum Beispiel aus Seite und Sinus des Gegenwinkels. In diesem Fall ist es gleich der Länge der Seite geteilt durch den doppelten Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Das heißt, R = a/2sinCAB. Sie kann auch durch das Produkt der Seiten ausgedrückt werden, in diesem Fall R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Bestimmen Sie den Mittelpunkt des Kreises. Teile alle Seiten in zwei Hälften und zeichne Senkrechte zur Mitte. Der Punkt ihres Schnittpunkts ist der Mittelpunkt des Kreises. Zeichnen Sie es so, dass es alle Scheitelpunkte der Ecken schneidet.

Die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Beine genannt werden, müssen per Definition senkrecht aufeinander stehen. Diese Eigenschaft der Figur erleichtert ihre Konstruktion erheblich. Es ist jedoch nicht immer möglich, die Rechtwinkligkeit genau zu bestimmen. In solchen Fällen können Sie die Längen aller Seiten berechnen - sie ermöglichen es Ihnen, ein Dreieck auf die einzig mögliche und daher korrekte Weise zu bauen.

Du wirst brauchen

• Papier, Bleistift, Lineal, Winkelmesser, Kompass, Winkel.

Das Video-Tutorial "Bauen mit Zirkel und Lineal" enthält Lehrmaterial, das die Grundlage für die Lösung von Konstruktionsproblemen bildet. Geometrische Konstruktionen sind ein wichtiger Bestandteil bei der Lösung vieler praktischer Aufgaben. Kaum eine geometrische Aufgabe kommt ohne die Fähigkeit aus, die Gegebenheiten in der Figur korrekt wiederzugeben. Das Hauptziel dieser Videolektion besteht darin, das Wissen der Schüler über die Verwendung von Zeichenwerkzeugen zum Konstruieren geometrischer Formen zu vertiefen, die Fähigkeiten dieser Werkzeuge zu demonstrieren und zu lehren, wie einfache Konstruktionsprobleme gelöst werden.

Das Lernen mit Hilfe einer Videolektion hat viele Vorteile, u.a. Übersichtlichkeit, Übersichtlichkeit der produzierten Konstruktionen, da der Stoff mit elektronischen Mitteln nah an der eigentlichen Konstruktion an der Tafel demonstriert wird. Konstruktionen sind von jedem Platz im Klassenzimmer gut sichtbar, wichtige Punkte werden farblich hervorgehoben. Und die Sprachbegleitung ersetzt die Präsentation eines Standardblocks von Unterrichtsmaterial durch den Lehrer.

Das Video-Tutorial beginnt mit der Ansage des Themennamens. Die Schüler werden daran erinnert, dass sie bereits einige Fähigkeiten im Bau geometrischer Formen haben. Als die Schüler in früheren Lektionen die Grundlagen der Geometrie studierten und die Konzepte einer geraden Linie, eines Punkts, eines Winkels, eines Segments und eines Dreiecks beherrschten, zeichneten sie Segmente, die den Daten entsprachen, und vollendeten die Konstruktion der einfachsten geometrischen Formen. Solche Konstruktionen erfordern keine komplexen Fähigkeiten, aber die korrekte Ausführung von Aufgaben ist wichtig für die weitere Arbeit mit geometrischen Objekten und die Lösung komplexerer geometrischer Probleme.

Die Schüler erhalten eine Liste der wichtigsten Werkzeuge, die zum Ausführen von Konstruktionen beim Lösen geometrischer Probleme verwendet werden. Die Bilder zeigen ein Maßstabslineal, einen Kompass, ein Dreieck mit rechtem Winkel, einen Winkelmesser.

Um das Verständnis der Schüler darüber zu erweitern, wie verschiedene Arten von Konstruktionen ausgeführt werden, wird ihnen empfohlen, auf Konstruktionen zu achten, die ohne Maßstabslineal ausgeführt werden, und für sie können nur Zirkel und ein Lineal ohne Teilung verwendet werden. Es wird darauf hingewiesen, dass eine solche Gruppe von Konstruktionsaufgaben, bei denen nur ein Lineal und ein Zirkel verwendet werden, in der Geometrie gesondert herausgegriffen wird.

Um festzustellen, welche geometrischen Probleme mit Lineal und Zirkel gelöst werden können, wird vorgeschlagen, die Fähigkeiten dieser Zeichenwerkzeuge zu betrachten. Das Lineal hilft, eine beliebige Linie zu zeichnen, eine Linie zu bauen, die durch bestimmte Punkte verläuft. Der Kompass ist dazu bestimmt, Kreise zu zeichnen. Nur mit Hilfe eines Zirkels wird ein beliebiger Kreis konstruiert. Mit Hilfe eines Kompasses wird auch ein Segment gleich diesem eingezeichnet. Die aufgezeigten Möglichkeiten der Zeichenwerkzeuge ermöglichen es, eine Reihe von Konstruktionsaufgaben zu lösen. Unter solchen Bauaufgaben:

1. Konstruktion eines Winkels, der gleich einem gegebenen ist;
2. Zeichnen einer Linie senkrecht zu der gegebenen, die durch den angegebenen Punkt verläuft;
3. Teilen eines Segments in zwei gleiche Teile;
4. eine Reihe weiterer Bauaufgaben.

Als nächstes wird vorgeschlagen, die Bauaufgabe mit Lineal und Kompass zu lösen. Der Bildschirm zeigt den Zustand des Problems, das darin besteht, ein Segment auf einen bestimmten Strahl zu legen, das gleich einem bestimmten Segment vom Anfang des Strahls ist. Die Lösung dieses Problems beginnt mit der Konstruktion eines beliebigen Segments AB und eines Strahls OS. Als Lösung für dieses Problem wird vorgeschlagen, einen Kreis mit Radius AB und Mittelpunkt im Punkt O zu konstruieren. Nach der Konstruktion schneidet sich der konstruierte Kreis mit dem Strahl OS an einem Punkt D. In diesem Fall wird der Teil des Strahls dargestellt durch das Segment OD ist das Segment gleich dem Segment AB. Problem gelöst.

Die Videolektion „Bauen mit Kompass und Lineal“ kann verwendet werden, wenn der Lehrer die Grundlagen der Lösung praktischer Probleme für das Bauen erklärt. Diese Methode kann auch durch unabhängiges Studium dieses Materials gemeistert werden. Diese Videolektion kann dem Lehrer auch bei der Fernübermittlung von Material zu diesem Thema helfen.

Bauen mit Zirkel und Lineal

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal- Abschnitt der euklidischen Geometrie, seit der Antike bekannt. Bei Bauaufgaben gelten Zirkel und Lineal als ideale Werkzeuge, insbesondere:

• Das Lineal hat keine Unterteilungen und eine Seite von unendlicher Länge, aber nur eine.
• Der Kompass kann eine beliebig große oder beliebig kleine Öffnung haben (d. h. er kann einen Kreis mit beliebigem Radius zeichnen).

Beispiel

Teilen einer Linie in zwei Hälften

Bisektionsproblem. Verwenden Sie einen Kompass und ein Lineal, um dieses Segment zu teilen AB in zwei gleiche Teile. Eine der Lösungen ist in der Abbildung dargestellt:

• Kompasse zeichnen Kreise, die an Punkten zentriert sind EIN Und B Radius AB.
• Schnittpunkte finden P Und Q zwei konstruierte Kreise (Bögen).
• Zeichnen Sie auf einem Lineal ein Segment oder eine Linie, die durch die Punkte verläuft P Und Q.
• Den Mittelpunkt des Segments finden AB- Schnittpunkt AB Und PQ.

Formale Definition

Konstruktionsaufgaben betrachten die Menge aller Punkte der Ebene, die Menge aller Linien der Ebene und die Menge aller Kreise der Ebene, über denen die folgenden Operationen zulässig sind:

1. Wählen Sie einen Punkt aus der Menge aller Punkte aus:
   1. beliebiger Punkt
   2. beliebiger Punkt auf einer gegebenen Linie
   3. beliebiger Punkt auf einem gegebenen Kreis
   4. Schnittpunkt zweier gegebener Geraden
   5. Schnittpunkte / Tangenten einer gegebenen Linie und eines gegebenen Kreises
   6. Schnittpunkte/Berührungspunkte zweier gegebener Kreise
2. "Mit der Hilfe Lineale» wähle eine Zeile aus der Menge aller Zeilen:
   1. willkürliche Linie
   2. eine beliebige Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft
   3. eine Gerade, die durch zwei gegebene Punkte verläuft
3. "Mit der Hilfe Kompass» Wähle einen Kreis aus der Menge aller Kreise:
   1. beliebiger Kreis
   2. ein beliebiger Kreis, der an einem bestimmten Punkt zentriert ist
   3. ein beliebiger Kreis mit einem Radius, der gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist
   4. ein Kreis, dessen Mittelpunkt ein gegebener Punkt ist und dessen Radius gleich dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist

In den Bedingungen des Problems wird eine bestimmte Menge von Punkten angegeben. Es ist erforderlich, unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Operationen eine andere Menge von Punkten aus den oben erlaubten Operationen zu konstruieren, die in einer gegebenen Beziehung zu der ursprünglichen Menge steht.

Die Lösung des Konstruktionsproblems besteht aus drei wesentlichen Teilen:

1. Beschreibung der Methode zur Konstruktion einer gegebenen Menge.
2. Ein Beweis dafür, dass die auf die beschriebene Weise konstruierte Menge tatsächlich in einer bestimmten Beziehung zur ursprünglichen Menge steht. Normalerweise wird der Beweis der Konstruktion als regulärer Beweis eines Satzes durchgeführt, der sich auf Axiome und andere bewiesene Theoreme stützt.
3. Analyse des beschriebenen Konstruktionsverfahrens auf seine Anwendbarkeit auf verschiedene Varianten von Anfangsbedingungen, sowie auf die Eindeutigkeit oder Nicht-Eindeutigkeit der durch das beschriebene Verfahren erhaltenen Lösung.

Bekannte Probleme

• Das Problem des Apollonius, einen Kreis zu konstruieren, der drei gegebene Kreise tangiert. Wenn keiner der angegebenen Kreise in dem anderen liegt, dann hat dieses Problem 8 wesentlich verschiedene Lösungen.
• Brahmaguptas Problem, ein einbeschriebenes Viereck auf seinen vier Seiten zu konstruieren.

Konstruktion regelmäßiger Polygone

Die alten Geometer wussten, wie man richtig konstruiert n-gons für , , und .

Mögliche und unmögliche Konstruktionen

Alle Konstruktionen sind nichts anderes als Lösungen einer Gleichung, und die Koeffizienten dieser Gleichung beziehen sich auf die Längen der gegebenen Segmente. Daher ist es zweckmäßig, über die Konstruktion einer Zahl zu sprechen - eine grafische Lösung für eine Gleichung eines bestimmten Typs. Im Rahmen der oben genannten Anforderungen sind folgende Konstruktionen möglich:

• Konstruktion von Lösungen zu linearen Gleichungen.
• Konstruktion von Lösungen quadratischer Gleichungen.

Mit anderen Worten, es ist möglich, nur Zahlen zu konstruieren, die arithmetischen Ausdrücken entsprechen, indem die Quadratwurzel der ursprünglichen Zahlen (Segmentlängen) verwendet wird. Zum Beispiel,

Variationen und Verallgemeinerungen

• Konstruktionen mit einem einzigen Kompass. Nach dem Satz von Mohr-Mascheroni kann man mit Hilfe eines Zirkels jede Figur bauen, die man mit Zirkel und Lineal bauen kann. In diesem Fall gilt eine Linie als konstruiert, wenn zwei Punkte darauf gegeben sind.
• Konstruktionen mit einem Lineal. Es ist leicht einzusehen, dass mit Hilfe eines Lineals nur projektiv invariante Konstruktionen durchgeführt werden können. Insbesondere ist es unmöglich, das Segment auch nur in zwei gleiche Teile zu teilen oder den Mittelpunkt des gezeichneten Kreises zu finden. Aber wenn es in der Ebene einen vorgezeichneten Kreis mit einem markierten Mittelpunkt gibt, können Sie mit einem Lineal die gleichen Konstruktionen wie mit einem Zirkel und einem Lineal zeichnen (das Theorem von Poncelet-Steiner ( Englisch)), 1833. Wenn sich auf dem Lineal zwei Serifen befinden, entsprechen Konstruktionen mit Hilfe davon Konstruktionen mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals (Napoleon hat einen wichtigen Schritt getan, um dies zu beweisen).
• Konstruktionen mit begrenzten Werkzeugen. Bei Problemen dieser Art gelten Werkzeuge (im Gegensatz zur klassischen Problemstellung) nicht als ideal, sondern als begrenzt: Eine Gerade durch zwei Punkte kann mit einem Lineal nur gezogen werden, wenn der Abstand zwischen diesen Punkten einen bestimmten nicht überschreitet Wert; Der Radius von Kreisen, die mit einem Kompass gezeichnet werden, kann von oben, unten oder sowohl oben als auch unten begrenzt werden.
• Gebäude mit flachem Origami. siehe Khujit-Regeln

siehe auch

• Mit dynamischen Geometrieprogrammen können Sie mit Zirkel und Lineal auf einem Computer zeichnen.

Anmerkungen

Literatur

• A. Adler Theorie der geometrischen Konstruktionen / Aus dem Deutschen von G. M. Fikhtengolts. - Dritte Edition. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
• I. I. Alexandrow Sammlung geometrischer Probleme für die Konstruktion. - Achtzehnte Auflage. - M .: Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Zweite Ausgabe. - M .: Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• A. M. Woronez Die Geometrie eines Kompasses. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 S. - (Popular Mathematics Library, herausgegeben von L.A. Lyusternik).
• V. A. Geiler Unlösbare Konstruktionsprobleme // Kühlmittel. - 1999. - Nr. 12. - S. 115-118.
• V. A. Kirichenko Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und Galois-Theorie // Sommerschule "Moderne Mathematik". - Dubna, 2005.
• Yu I. Manin Buch IV. Geometrie // Enzyklopädie der Elementarmathematik. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Y. Petersen Methoden und Theorien zur Lösung geometrischer Konstruktionsprobleme. - M.: Druckerei von E. Lissner und Yu. Roman, 1892. - 114 p.
• V. V. Prasolov Drei klassische Bauprobleme. Einen Würfel verdoppeln, einen Winkel dreiteilen, einen Kreis quadrieren. - M.: Nauka, 1992. - 80 S. - (Beliebte Vorlesungen über Mathematik).
• J.Steiner Geometrische Konstruktionen, die mit einer geraden Linie und einem festen Kreis ausgeführt werden. - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
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