Regel von L'Hopital: Theorie und Lösungsbeispiele. Dividiere durch Unendlich Eine Zahl dividiert durch Unendlich ist Null

Sehr oft fragen sich viele Leute, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen? In diesem Artikel werden wir sehr detailliert darauf eingehen, woher diese Regel stammt und welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können.

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Null kann als eine der interessantesten Zahlen bezeichnet werden. Diese Zahl hat keine Bedeutung, es bedeutet Leere im wahrsten Sinne des Wortes. Wenn Sie jedoch eine Null neben eine beliebige Ziffer setzen, wird der Wert dieser Ziffer um ein Vielfaches größer.

Die Nummer ist an sich sehr mysteriös. Es wurde von den alten Mayas verwendet. Null bedeutete bei den Maya "Anfang", und auch der Countdown der Kalendertage begann bei Null.

Eine sehr interessante Tatsache ist, dass das Zeichen der Null und das Zeichen der Unsicherheit für sie ähnlich waren. Damit wollten die Maya zeigen, dass Null dasselbe Zeichen wie Ungewissheit ist. In Europa tauchte die Bezeichnung Null erst vor relativ kurzer Zeit auf.

Außerdem kennen viele Menschen das mit der Null verbundene Verbot. Das wird jeder sagen kann nicht durch null geteilt werden. Das sagen die Lehrer in der Schule, und die Kinder nehmen sie normalerweise beim Wort. Normalerweise interessiert sich das für Kinder entweder einfach nicht, oder sie wissen, was passiert, wenn sie bei einem wichtigen Verbot sofort fragen: „Warum kannst du nicht durch Null teilen?“. Aber wenn man älter wird, erwacht das Interesse und man will mehr über die Gründe für ein solches Verbot erfahren. Es gibt jedoch vernünftige Beweise.

Aktionen mit Null

Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können. Existiert mehrere Arten von Aktivitäten:

Zusatz;
Multiplikation;
Subtraktion;
Division (Null durch Zahl);
Potenzierung.

Wichtig! Wird bei der Addition zu einer beliebigen Zahl eine Null addiert, so bleibt diese Zahl gleich und ändert ihren Zahlenwert nicht. Dasselbe passiert, wenn Sie Null von einer beliebigen Zahl subtrahieren.

Bei Multiplikation und Division sieht es etwas anders aus. Wenn Multipliziere eine beliebige Zahl mit Null, dann wird auch das Produkt Null.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Schreiben wir das als Ergänzung:

Es gibt insgesamt fünf hinzugefügte Nullen, also stellt sich heraus, dass

Versuchen wir, eins mit null zu multiplizieren. Das Ergebnis ist ebenfalls null.

Null kann auch durch jede andere Zahl ungleich geteilt werden. In diesem Fall stellt sich heraus, dass der Wert ebenfalls Null ist. Die gleiche Regel gilt für negative Zahlen. Wenn Sie Null durch eine negative Zahl teilen, erhalten Sie Null.

Sie können auch eine beliebige Zahl erhöhen auf Nullleistung. In diesem Fall erhalten Sie 1. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Ausdruck „null hoch null“ absolut bedeutungslos ist. Wenn Sie versuchen, Null mit irgendeiner Potenz zu potenzieren, erhalten Sie Null. Beispiel:

Wir verwenden die Multiplikationsregel, wir erhalten 0.

Kann man durch null teilen

Hier kommen wir also zur Hauptfrage. Kann man durch null teilenüberhaupt? Und warum ist es unmöglich, eine Zahl durch Null zu teilen, wenn alle anderen Operationen mit Null vollständig existieren und gelten? Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie sich der höheren Mathematik zuwenden.

Beginnen wir mit der Definition des Begriffs, was ist Null? Schullehrer behaupten, dass Null nichts ist. Leere. Das heißt, wenn Sie sagen, dass Sie 0 Stifte haben, bedeutet dies, dass Sie überhaupt keine Stifte haben.

In der höheren Mathematik ist der Begriff „Null“ weiter gefasst. Es bedeutet überhaupt nicht leer. Hier wird Null als Unsicherheit bezeichnet, denn wenn Sie ein wenig recherchieren, stellt sich heraus, dass wir durch Division von Null durch Null jede andere Zahl als Ergebnis erhalten können, die nicht unbedingt Null sein muss.

Wissen Sie, dass diese einfachen Rechenoperationen, die Sie in der Schule gelernt haben, untereinander nicht so gleich sind? Die grundlegendsten Schritte sind Addition und Multiplikation.

Für Mathematiker existieren die Begriffe „“ und „Subtraktion“ nicht. Angenommen: Wenn drei von fünf abgezogen werden, bleiben zwei übrig. So sieht Subtraktion aus. Mathematiker würden es jedoch so schreiben:

Es stellt sich also heraus, dass die unbekannte Differenz eine bestimmte Zahl ist, die zu 3 addiert werden muss, um 5 zu erhalten. Das heißt, Sie müssen nichts subtrahieren, Sie müssen nur eine passende Zahl finden. Diese Regel gilt für die Addition.

Etwas anders verhält es sich mit Multiplikations- und Divisionsregeln. Es ist bekannt, dass eine Multiplikation mit Null zu einem Nullergebnis führt. Wenn zum Beispiel 3:0=x, dann erhalten Sie 3*x=0, wenn Sie die Schallplatte umdrehen. Und die Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt Null im Produkt. Es stellt sich heraus, dass es keine Zahl gibt, die im Produkt mit Null einen anderen Wert als Null ergeben würde. Das bedeutet, dass die Division durch Null bedeutungslos ist, das heißt, sie passt zu unserer Regel.

Aber was passiert, wenn Sie versuchen, Null durch sich selbst zu teilen? Nehmen wir x als eine unbestimmte Zahl. Es stellt sich die Gleichung 0 * x \u003d 0 heraus. Es kann gelöst werden.

Wenn wir versuchen, anstelle von x die Null zu nehmen, erhalten wir 0:0=0. Es würde logisch erscheinen? Aber wenn wir versuchen, anstelle von x eine andere Zahl zu nehmen, zum Beispiel 1, dann landen wir bei 0:0=1. Die gleiche Situation wird sein, wenn Sie eine andere Nummer nehmen und setze es in die Gleichung ein.

In diesem Fall stellt sich heraus, dass wir jede andere Zahl als Faktor nehmen können. Das Ergebnis wird eine unendliche Anzahl verschiedener Zahlen sein. Manchmal macht die Division durch 0 in der höheren Mathematik trotzdem Sinn, aber dann gibt es meist eine bestimmte Bedingung, aufgrund derer wir trotzdem eine passende Zahl auswählen können. Diese Aktion wird als „Uncertainty Disclosure“ bezeichnet. In der gewöhnlichen Arithmetik verliert die Division durch Null wieder ihre Bedeutung, da wir dann keine Zahl aus der Menge auswählen können.

Wichtig! Null kann nicht durch Null geteilt werden.

Null und unendlich

Unendlichkeit ist in der höheren Mathematik sehr verbreitet. Da es für Schulkinder einfach nicht wichtig ist zu wissen, dass es noch mathematische Operationen mit Unendlich gibt, können Lehrer Kindern nicht richtig erklären, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen.

Die Schüler lernen die grundlegenden mathematischen Geheimnisse erst im ersten Jahr des Instituts. Die höhere Mathematik bietet eine große Anzahl von Problemen, für die es keine Lösung gibt. Die bekanntesten Probleme sind die Probleme mit der Unendlichkeit. Sie können mit gelöst werden mathematische Analyse.

Sie können sich auch auf unendlich bewerben elementare mathematische Operationen: Addition, Multiplikation mit einer Zahl. Subtraktion und Division werden ebenfalls häufig verwendet, aber am Ende laufen sie immer noch auf zwei einfache Operationen hinaus.

Aber was wird wenn du es versuchst:

Multiplizieren Sie unendlich mit Null. Wenn wir versuchen, eine beliebige Zahl mit Null zu multiplizieren, erhalten wir theoretisch Null. Aber die Unendlichkeit ist eine unbestimmte Menge von Zahlen. Da wir aus dieser Menge keine Zahl auswählen können, hat der Ausdruck ∞*0 keine Lösung und ist absolut bedeutungslos.
Null geteilt durch unendlich. Dies ist die gleiche Geschichte wie oben. Wir können nicht eine Zahl auswählen, was bedeutet, dass wir nicht wissen, durch was wir dividieren sollen. Der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Wichtig! Unendlichkeit ist etwas anders als Ungewissheit! Unendlichkeit ist eine Art von Ungewissheit.

Versuchen wir nun, unendlich durch Null zu teilen. Es scheint, dass es Unsicherheit geben sollte. Aber wenn wir versuchen, die Division durch Multiplikation zu ersetzen, erhalten wir eine sehr eindeutige Antwort.

Zum Beispiel: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Es stellt sich so heraus mathematisches Paradoxon.

Warum man nicht durch null dividieren kann

Gedankenexperiment, versuchen Sie, durch Null zu teilen

Ausgabe

Jetzt wissen wir also, dass Null fast allen Operationen unterliegt, die mit ausgeführt werden, mit Ausnahme einer einzigen. Sie können nicht durch Null dividieren, nur weil das Ergebnis Unsicherheit ist. Wir haben auch gelernt, mit Null und Unendlich zu operieren. Das Ergebnis solcher Maßnahmen wird Unsicherheit sein.

Die wichtigsten elementaren Funktionen wurden aussortiert.

Wenn wir zu Funktionen einer komplexeren Form übergehen, werden wir definitiv auf Ausdrücke stoßen, deren Wert nicht definiert ist. Solche Ausdrücke werden aufgerufen Unsicherheiten.

Lassen Sie uns alles auflisten wichtigsten Arten von Unsicherheiten: null geteilt durch null (0 durch 0), unendlich geteilt durch unendlich, null mal unendlich, unendlich minus unendlich, eins hoch unendlich, null hoch null, unendlich hoch null.

ALLE ANDEREN AUSDRÜCKE SIND KEINE UNSICHERHEIT UND NEHMEN EINEN VOLLSTÄNDIG SPEZIFISCHEN ENDLICHEN ODER UNENDLICHEN WERT AN.

Unsicherheiten aufdecken erlaubt:

Vereinfachung des Funktionstyps (Umwandlung eines Ausdrucks mit abgekürzten Multiplikationsformeln, trigonometrischen Formeln, Multiplikation mit konjugierten Ausdrücken mit anschließender Reduktion usw.);
Verwendung bemerkenswerter Grenzen;
Anwendung der Regel von L'Hospital;
die Verwendung des Ersetzens eines Infinitesimalausdrucks durch sein Äquivalent (unter Verwendung einer Tabelle äquivalenter Infinitesimalzahlen).

Wir gruppieren die Unsicherheiten in Unsicherheitstabelle. Für jede Art von Unsicherheit stellen wir die Methode ihrer Offenlegung (die Methode zur Ermittlung der Grenze) in Übereinstimmung.

Diese Tabelle wird zusammen mit der Grenzwerttabelle der elementaren Grundfunktionen Ihr wichtigstes Werkzeug sein, um Grenzwerte zu finden.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele geben, wenn alles sofort nach dem Ersetzen des Werts erhalten wird und keine Unsicherheit entsteht.

Beispiel.

Grenze berechnen

Lösung.

Wir ersetzen den Wert:

Und wir bekamen sofort eine Antwort.

Antworten:

Beispiel.

Grenze berechnen

Lösung.

Wir setzen den Wert x=0 in die Basis unserer Exponentialfunktion ein:

Das heißt, die Grenze kann umgeschrieben werden als

Werfen wir nun einen Blick auf den Index. Dies ist eine Potenzfunktion. Wenden wir uns der Grenzwerttabelle für Potenzfunktionen mit negativem Exponenten zu. Ab da haben wir Und , also können wir schreiben .

Basierend darauf kann unser Limit geschrieben werden als:

Wieder wenden wir uns der Grenzwerttabelle zu, aber für Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als eins, woraus wir haben:

Antworten:

Schauen wir uns Beispiele mit detaillierten Lösungen an Aufdecken von Mehrdeutigkeiten durch Transformieren von Ausdrücken.

Sehr oft muss der Ausdruck unter dem Grenzzeichen leicht transformiert werden, um Mehrdeutigkeiten zu beseitigen.

Beispiel.

Grenze berechnen

Lösung.

Wir ersetzen den Wert:

Kam in die Ungewissheit. Wir sehen uns die Unsicherheitstabelle an, um eine Lösungsmethode auszuwählen. Versuchen wir, den Ausdruck zu vereinfachen.

Antworten:

Beispiel.

Grenze berechnen

Lösung.

Wir ersetzen den Wert:

Kam zu Unsicherheit (0 von 0). Wir sehen uns die Unsicherheitstabelle an, um eine Lösungsmethode auszuwählen, und versuchen, den Ausdruck zu vereinfachen. Wir multiplizieren sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem zum Nenner konjugierten Ausdruck.

Für den Nenner ist der adjungierte Ausdruck

Wir haben den Nenner multipliziert, damit wir die abgekürzte Multiplikationsformel - die Differenz von Quadraten - anwenden und dann den resultierenden Ausdruck reduzieren können.

Nach einer Reihe von Transformationen verschwand die Unsicherheit.

Antworten:

KOMMENTAR: für solche Grenzen ist die Methode der Multiplikation mit konjugierten Ausdrücken typisch, Sie können sie also gerne verwenden.

Beispiel.

Grenze berechnen

Lösung.

Wir ersetzen den Wert:

Kam in die Ungewissheit. Wir sehen uns die Unsicherheitstabelle an, um eine Lösungsmethode auszuwählen, und versuchen, den Ausdruck zu vereinfachen. Da sowohl der Zähler als auch der Nenner bei x = 1 verschwinden, verschwindet die Unsicherheit, wenn diese Ausdrücke reduziert werden können (x-1).

Faktorisieren wir den Zähler:

Faktorisieren wir den Nenner:

Unser Limit hat die Form:

Nach der Verwandlung offenbarte sich die Ungewissheit.

Antworten:

Betrachten Sie die Grenzen von Potenzausdrücken im Unendlichen. Wenn die Exponenten des Exponentialausdrucks positiv sind, dann ist die Grenze im Unendlichen unendlich. Außerdem hat der Hauptwert den größten Wert, der Rest kann verworfen werden.

Beispiel.

Wenn der Ausdruck unter dem Grenzzeichen ein Bruch ist und sowohl der Zähler als auch der Nenner Potenzausdrücke sind (m ist die Potenz des Zählers und n die Potenz des Nenners), dann wenn eine Unsicherheit der Form unendlich vorliegt in diesem Fall bis ins Unendliche Ungewissheit offenbart sich Division und Zähler und Nenner durch

Beispiel.

Grenze berechnen

Wenn eine Zahl durch unendlich geteilt wird, geht der Quotient gegen Null? Weiter drinnen und bekam eine bessere Antwort

Antwort von Olenka[Neuling]
alle 0
Krabbenrinde
Orakel
(56636)
Nein. Genau Null. Da der Divisor gegen unendlich geht, tendiert der Quotient gegen Null. Und wenn wir nicht durch eine Zahl dividieren, die gegen unendlich geht, sondern durch die Unendlichkeit selbst (genauer gesagt wird sie übrigens offiziell überhaupt nicht als Zahl betrachtet, sondern als spezielles Symbol, das die Bezeichnungen von Zahlen ergänzt) - genau null.

Antwort von Jugeus Wladimir[Guru]
Sogar null dividieren, sogar mit einer beliebigen Zahl multiplizieren, es wird immer noch null sein!

Antwort von 1 23 [Guru]
Wenn irgendeine Art Mist gegen Null tendiert, dann ist es schmerzlos, sie mit etwas Endlichem (einer Zahl oder einer begrenzten Funktion) zu multiplizieren, weil all-RNA gegen Null tendiert.
aber wenn Sie es mit etwas multiplizieren, das zur Unendlichkeit neigt, dann gibt es vielleicht Optionen.

Antwort von Krabbenrinde[Guru]
Das Teilen einer beliebigen Zahl durch unendlich ergibt Null. Exakter Nullpunkt, kein „auf Null gehen“. Und dann, mit welcher Zahl auch immer Sie es multiplizieren, null. Und das Ergebnis der Division von Null durch eine andere Zahl als Null ist Null, nur wenn Null durch Null geteilt wird, ist das Ergebnis nicht definiert, da jede Zahl als Quotient geeignet ist.

Die Ableitung der Funktion fällt nicht weit, und im Fall der Regeln von L'Hopital fällt sie genau dorthin, wo die ursprüngliche Funktion fällt. Dieser Umstand hilft, Unsicherheiten der Form 0/0 oder ∞/∞ und einige andere Unsicherheiten aufzudecken, die bei der Berechnung auftreten Grenze Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Funktionen. Die Berechnung wird durch diese Regel (eigentlich zwei Regeln und Hinweise dazu) stark vereinfacht:

Wie die obige Formel zeigt, kann bei der Berechnung der Grenze des Verhältnisses zweier unendlich kleiner oder unendlich großer Funktionen die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen durch die Grenze des Verhältnisses ihrer ersetzt werden Derivate und erhalten so ein bestimmtes Ergebnis.

Kommen wir zu genaueren Formulierungen der Regeln von L'Hopital.

Regel von L'Hopital für den Fall der Grenze zweier unendlich kleiner Werte. Lassen Sie die Funktionen F(x) Und g(x ein. Und genau an der Stelle ein ein Funktion Ableitung g(x) ist ungleich Null ( g"(x ein sind einander gleich und gleich Null:

Regel von L'Hôpital für den Fall der Grenze zweier unendlich großer Mengen. Lassen Sie die Funktionen F(x) Und g(x) haben Ableitungen (d. h. sie sind differenzierbar) in einer Umgebung des Punktes ein. Und genau an der Stelle ein sie können Derivate haben oder nicht. Außerdem in der Nähe des Punktes ein Funktion Ableitung g(x) ist ungleich Null ( g"(x)≠0 ) und die Grenzen dieser Funktionen, wenn x zum Wert der Funktion an dem Punkt tendiert ein sind einander gleich und gleich unendlich:

Dann ist die Grenze des Verhältnisses dieser Funktionen gleich der Grenze des Verhältnisses ihrer Ableitungen:

Mit anderen Worten, für Unsicherheiten der Form 0/0 oder ∞/∞ ist die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen gleich der Grenze des Verhältnisses ihrer Ableitungen, falls letztere existiert (endlich, also gleich a bestimmte Zahl oder unendlich, d. h. gleich unendlich).

Bemerkungen.

1. Die Regeln von L'Hopital gelten auch, wenn die Funktionen F(x) Und g(x) sind bei nicht definiert x = ein.

2. Wenn bei der Berechnung der Grenze des Verhältnisses von Ableitungen von Funktionen F(x) Und g(x) kommen wir wieder auf eine Unschärfe der Form 0/0 oder ∞/∞, dann sollten die Regeln von L'Hopital wiederholt (mindestens zweimal) angewendet werden.

3. Die Regeln von L'Hopital sind auch anwendbar, wenn das Argument der Funktionen (x) gegen eine nicht endliche Zahl strebt ein, und bis unendlich ( x → ∞).

Unsicherheiten anderer Typen können auch auf Unsicherheiten der Typen 0/0 und ∞/∞ reduziert werden.

Angabe von Unsicherheiten der Typen „Null geteilt durch Null“ und „Unendlich geteilt durch Unendlich“

Beispiel 1

x=2 führt zu einer Unbestimmtheit der Form 0/0. Daher die Ableitung jeder Funktion und wir erhalten

Im Zähler wurde die Ableitung des Polynoms berechnet und im Nenner - Ableitung einer komplexen logarithmischen Funktion. Vor dem letzten Gleichheitszeichen das Übliche Grenze, indem x durch eine Zwei ersetzt wird.

Beispiel 2 Berechnen Sie die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen mit der Regel von L'Hospital:

Lösung. Substitution in eine gegebene Wertfunktion x

Beispiel 3 Berechnen Sie die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen mit der Regel von L'Hospital:

Lösung. Substitution in eine gegebene Wertfunktion x=0 führt zu einer Unbestimmtheit der Form 0/0. Daher berechnen wir die Ableitungen der Funktionen in Zähler und Nenner und erhalten:

Beispiel 4 Berechnung

Lösung. Das Einsetzen des Wertes von x gleich plus unendlich in eine gegebene Funktion führt zu einer Unbestimmtheit der Form ∞/∞. Daher wenden wir die Regel von L'Hopital an:

Kommentar. Kommen wir zu Beispielen, bei denen die L'Hopital-Regel zweimal angewendet werden muss, um also auf den Grenzwert des Verhältnisses der zweiten Ableitungen zu kommen, da der Grenzwert des Verhältnisses der ersten Ableitungen eine Unschärfe der Form ist 0/0 oder ∞/∞.

Angabe von Unsicherheiten der Form „Null multipliziert mit unendlich“

Beispiel 12. Berechnung

Lösung. Wir bekommen

Dieses Beispiel verwendet die trigonometrische Identität.

Angabe von Unsicherheiten der Typen „null hoch null“, „unendlich hoch null“ und „eins hoch unendlich“

Unsicherheiten der Form , oder werden üblicherweise auf die Form 0/0 oder ∞/∞ reduziert, indem der Logarithmus einer Funktion der Form verwendet wird

Um den Grenzwert des Ausdrucks zu berechnen, sollte man die logarithmische Identität verwenden, von der ein Sonderfall die Eigenschaft des Logarithmus ist .

Unter Verwendung der logarithmischen Identität und der Stetigkeitseigenschaft der Funktion (um über das Vorzeichen des Grenzwerts hinauszugehen) sollte der Grenzwert wie folgt berechnet werden:

Separat sollte man die Grenze des Ausdrucks im Exponenten finden und aufbauen e bis zum gefundenen Grad.

Beispiel 13

Lösung. Wir bekommen

Beispiel 14 Berechnen Sie mit der Regel von L'Hopital

Lösung. Wir bekommen

Berechnen Sie die Grenze des Ausdrucks im Exponenten

Beispiel 15 Berechnen Sie mit der Regel von L'Hopital