Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze viermal geworfen.

Bei den Problemen zur Wahrscheinlichkeitstheorie, die im Einheitlichen Staatsexamen Nr. 4 vorgestellt werden, gibt es außerdem Probleme beim Werfen einer Münze und beim Würfeln. Wir werden sie uns heute ansehen.

Probleme beim Münzwurf

Aufgabe 1. Eine symmetrische Münze wird zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau einmal auftauchen.

Bei solchen Problemen ist es praktisch, alle möglichen Ergebnisse aufzuschreiben und sie mit den Buchstaben P (Zahl) und O (Köpfe) zu schreiben. Das Ergebnis des OP bedeutet also, dass es beim ersten Wurf Kopf und beim zweiten Wurf Zahl war. Bei dem betrachteten Problem gibt es 4 mögliche Ergebnisse: RR, RO, OR, OO. Das Ereignis „Zahlen erscheinen genau einmal“ wird durch zwei Ergebnisse begünstigt: RO und OP. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,5.

Aufgabe 2. Eine symmetrische Münze wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau zweimal auf „Kopf“ landet.

Insgesamt gibt es 8 mögliche Ergebnisse: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Das Ereignis „Kopf erscheint genau zweimal“ wird durch 3 Ergebnisse begünstigt: ROO, ORO, OOR. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,375.

Aufgabe 3. Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um zu bestimmen, welche Mannschaft mit dem Ball beginnt. Das Emerald-Team bestreitet drei Spiele mit verschiedenen Teams. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Emerald“ in diesen Spielen genau einmal gewinnt.

Diese Aufgabe ähnelt der vorherigen. Lassen Sie jedes Mal, wenn Sie „Kopf“ landen, bedeuten, dass Sie das Los mit dem „Smaragd“ gewinnen (diese Annahme hat keinen Einfluss auf die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten). Dann sind 8 Ergebnisse möglich: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Das Ereignis „Zahl wird genau einmal erscheinen“ wird durch 3 Ergebnisse begünstigt: ROO, ORO, OOR. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,375.

Problem 4. Eine symmetrische Münze wird dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das ROO-Ergebnis eintritt (beim ersten Mal „Kopf“, beim zweiten und dritten Mal „Kopf“).

Wie bei den vorherigen Aufgaben gibt es 8 Ergebnisse: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Die Wahrscheinlichkeit, dass das ROO-Ergebnis eintritt, ist gleich.

Antwort: 0,125.

Probleme beim Würfeln

Aufgabe 5. Es wird zweimal gewürfelt. Wie viele elementare Ergebnisse des Experiments begünstigen das Ereignis „Die Summe der Punkte beträgt 8“?

Problem 6. Es werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 4 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Im Allgemeinen gibt es beim Würfeln gleichermaßen mögliche Ergebnisse. Die gleiche Anzahl an Ergebnissen erhält man, wenn man mit demselben Würfel mehrmals hintereinander würfelt.

Das Ereignis „Die Gesamtzahl beträgt 4“ wird durch die folgenden Ergebnisse begünstigt: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Ihre Anzahl ist 3. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt .

Um den ungefähren Wert eines Bruchs zu berechnen, ist es praktisch, die Winkeldivision zu verwenden. Also ungefähr gleich 0,083..., auf das nächste Hundertstel gerundet ergibt sich 0,08.

Antwort: 0,08

Problem 7. Es werden drei Würfel gleichzeitig geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 5 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Als Ergebnis gelten drei Zahlen: die gewürfelten Punkte des ersten, zweiten und dritten Würfels. Es gibt alle gleichermaßen mögliche Ergebnisse. Die folgenden Ergebnisse sind für das „Gesamt 5“-Ereignis günstig: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Ihre Zahl ist 6. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt . Um den ungefähren Wert eines Bruchs zu berechnen, ist es praktisch, die Winkeldivision zu verwenden. Ungefähr erhalten wir 0,027..., auf Hundertstel gerundet erhalten wir 0,03. Quelle „Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Mathematik. Wahrscheinlichkeitstheorie". Herausgegeben von F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabuchowa

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es eine Gruppe von Problemen, bei denen es ausreicht, die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit zu kennen und die vorgeschlagene Situation visuell darzustellen. Zu diesen Problemen zählen die meisten Münzwurf- und Würfelwurfprobleme. Erinnern wir uns an die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A (die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses in numerischer Hinsicht) ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Elementarergebnisse: P(A)=m/n, Wo:

• m ist die Anzahl der elementaren Testergebnisse, die das Eintreten von Ereignis A begünstigen;
• n ist die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse des Elementartests.

Es ist zweckmäßig, die Anzahl möglicher elementarer Testergebnisse und die Anzahl günstiger Ergebnisse bei den betrachteten Problemen durch Aufzählung aller möglichen Optionen (Kombinationen) und direktes Zählen zu bestimmen.

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=4 beträgt. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Köpfe erscheinen 1 Mal) entsprechen Option Nr. 2 und Nr. 3 des Experiments, es gibt zwei solcher Optionen m = 2.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=2/4=0,5

Problem 2 . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie überhaupt keine Köpfe bekommen.

Lösung . Da die Münze zweimal geworfen wird, beträgt die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse wie bei Aufgabe 1 n=4. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Köpfe erscheinen kein einziges Mal) entsprechen Option Nr. 4 des Experiments (siehe Tabelle in Aufgabe 1). Es gibt nur eine solche Option, das heißt m=1.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=1/4=0,25

Problem 3 . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau zweimal auftauchen.

Lösung . Wir stellen die möglichen Optionen für drei Münzwürfe (alle möglichen Kopf-Zahl-Kombinationen) in tabellarischer Form vor:

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=8 beträgt. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Köpfe erscheinen 2 Mal) entsprechen den Optionen Nr. 5, 6 und 7 des Experiments. Es gibt drei solcher Optionen, was m=3 bedeutet.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=3/8=0,375

Problem 4 . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze viermal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal „Kopf“ zu bekommen.

Lösung . Wir stellen die möglichen Optionen für vier Münzwürfe (alle möglichen Kopf-Zahl-Kombinationen) in tabellarischer Form vor:

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=16 beträgt. Günstige Ergebnisse des Ereignisses A = (Kopf erscheint dreimal) entsprechen den Optionen Nr. 12, 13, 14 und 15 des Experiments, was m = 4 bedeutet.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=4/16=0,25

Bestimmung der Wahrscheinlichkeit bei Würfelproblemen

Problem 5 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln (einem fairen Würfel) mehr als 3 Punkte erhalten.

Lösung . Beim Würfeln (einem normalen Würfel) kann jede seiner sechs Seiten herausfallen, d. h. eines der elementaren Ereignisse eintritt – der Verlust von 1 bis 6 Punkten (Punkten). Dies bedeutet, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6 beträgt.
Ereignis A = (mehr als 3 Punkte gewürfelt) bedeutet, dass 4, 5 oder 6 Punkte (Punkte) gewürfelt wurden. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse m=3 beträgt.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=3/6=0,5

Problem 6 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln nicht mehr als 4 Punkte erzielen. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Tausendstel.

Lösung . Beim Würfeln kann jede seiner sechs Seiten herausfallen, d. h. eines der elementaren Ereignisse eintritt – der Verlust von 1 bis 6 Punkten (Punkten). Dies bedeutet, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6 beträgt.
Ereignis A = (nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt) bedeutet, dass 4, 3, 2 oder 1 Punkt (Punkt) gewürfelt wurde. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse m=4 beträgt.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Problem 7 . Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl beide Male kleiner als 4 ist.

Lösung . Da die Würfel (Würfel) zweimal geworfen werden, denken wir wie folgt: Wenn der erste Würfel einen Punkt zeigt, dann kann der zweite Würfel 1, 2, 3, 4, 5, 6 bekommen. Wir erhalten die Paare (1;1 ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) und so weiter mit jeder Seite. Stellen wir alle Fälle in Form einer Tabelle mit 6 Zeilen und 6 Spalten dar:

Wir berechnen die günstigen Ergebnisse des Ereignisses A = (beide Male war die Zahl kleiner als 4) (sie sind fett hervorgehoben) und erhalten m=9.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=9/36=0,25

Aufgabe 8 . Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die größere der beiden gezogenen Zahlen 5 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf den nächsten Tausender.

Lösung . In der Tabelle stellen wir alle möglichen Ergebnisse von zwei Würfelwürfen vor:

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6*6=36 beträgt.
Wir berechnen die günstigen Ergebnisse des Ereignisses A = (die größte der beiden gezogenen Zahlen ist 5) (sie sind fett hervorgehoben) und erhalten m=8.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Aufgabe 9 . Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 mindestens einmal gewürfelt wird.

Lösung . In der Tabelle stellen wir alle möglichen Ergebnisse von zwei Würfelwürfen vor:

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Anzahl der möglichen Elementarergebnisse n=6*6=36 beträgt.
Der Ausdruck „mindestens einmal ist eine Zahl kleiner als 4 aufgetaucht“ bedeutet „eine Zahl kleiner als 4 ist ein- oder zweimal aufgetaucht“, dann ist die Anzahl der günstigen Ausgänge des Ereignisses A = (mindestens einmal ist eine Zahl kleiner als 4 aufgetaucht ) (sie sind fett hervorgehoben) m=27.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(A)=m/n=27/36=0,75

Zustand

Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Mal das Gleiche herauskommt wie beim ersten Mal.

Lösung

1. Wir werden dieses Problem mit der Formel lösen:

Dabei ist P(A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, m die Anzahl der günstigen Ergebnisse für dieses Ereignis und n die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Wenden wir diese Theorie auf unser Problem an:

A – ein Ereignis, bei dem zum zweiten Mal dasselbe passiert wie beim ersten Mal;

P(A) – die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Mal dasselbe passiert wie beim ersten Mal.

1. Definieren wir m und n:

m ist die Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, d. h. die Anzahl der Ergebnisse, wenn dasselbe zum zweiten Mal wie beim ersten Mal passiert. Im Experiment wird eine Münze zweimal geworfen, die zwei Seiten hat: Zahl (P) und Kopf (O). Beim zweiten Mal muss das Gleiche auftauchen wie beim ersten Mal, und das ist möglich, wenn folgende Kombinationen auftauchen: OO oder PP, das heißt, es stellt sich heraus

m = 2, da es 2 mögliche Optionen gibt, wenn beim zweiten Mal dasselbe auftaucht wie beim ersten Mal;

n ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. Das heißt, um n zu bestimmen, müssen wir die Anzahl aller möglichen Kombinationen ermitteln, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Wenn Sie zum ersten Mal eine Münze werfen, kann es entweder „Zahl“ oder „Kopf“ geben, d. h. es sind zwei Möglichkeiten möglich. Beim zweiten Werfen einer Münze sind genau die gleichen Optionen möglich. Es stellt sich heraus, dass

Problem Formulierung: Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ (Zahl) nicht ein einziges Mal erscheint (genau/mindestens 1, 2 Mal).

Die Aufgabe ist Teil des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik auf Grundniveau für die 11. Klasse unter der Nummer 10 (Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit).

Schauen wir uns anhand von Beispielen an, wie solche Probleme gelöst werden.

Beispielaufgabe 1:

Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es kein einziges Mal „Kopf“ gibt.

OO ODER RO RR

Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur die, in denen kein einziger Adler enthalten ist. Es gibt nur eine solche Kombination (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Antwort: 0,25

Beispielaufgabe 2:

Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal „Kopf“ zu bekommen.

Betrachten wir alle möglichen Kombinationen, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Der Einfachheit halber bezeichnen wir Köpfe mit dem Buchstaben O und Schwänze mit dem Buchstaben P:

OO ODER RO RR

Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur die, bei denen Köpfe genau 2 Mal vorkommen. Es gibt nur eine solche Kombination (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Antwort: 0,25

Beispielaufgabe 3:

Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Kopf“ genau einmal auftaucht.

Betrachten wir alle möglichen Kombinationen, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Der Einfachheit halber bezeichnen wir Köpfe mit dem Buchstaben O und Schwänze mit dem Buchstaben P:

OO ODER RO RR

Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur die, bei denen genau 1 Mal „Kopf“ auftauchte. Es gibt nur zwei solcher Kombinationen (OR und RO).

Antwort: 0,5

Beispielaufgabe 4:

Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen.

Betrachten wir alle möglichen Kombinationen, die auftreten können, wenn eine Münze zweimal geworfen wird. Der Einfachheit halber bezeichnen wir Köpfe mit dem Buchstaben O und Schwänze mit dem Buchstaben P:

OO ODER RO RR

Insgesamt gibt es 4 solcher Kombinationen. Uns interessieren nur die, bei denen mindestens einmal ein Kopf vorkommt. Es gibt nur drei solcher Kombinationen (OO, OP und RO).

P = 3 / 4 = 0,75

In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze geworfen...

Als Vorwort.
Jeder weiß, dass eine Münze zwei Seiten hat – Kopf und Zahl.
Numismatiker glauben, dass eine Münze drei Seiten hat – Vorderseite, Rückseite und Rand.
Sowohl unter diesen als auch unter anderen wissen nur wenige Menschen, was eine symmetrische Münze ist. Aber diejenigen, die sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten, wissen davon (oder sollten es wissen:).

Im Allgemeinen geht es in diesem Artikel um eine ungewöhnliche Münze, die nichts mit Numismatik zu tun hat, aber gleichzeitig die beliebteste Münze bei Schulkindern ist.

Also.
Symmetrische Münze- Hierbei handelt es sich um eine imaginäre mathematisch ideale Münze ohne Größe, Gewicht, Durchmesser usw. Dadurch hat eine solche Münze auch keinen Rand, das heißt, sie hat eigentlich nur zwei Seiten. Die Haupteigenschaft einer symmetrischen Münze besteht darin, dass unter solchen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl erscheinen, absolut gleich ist. Und sie erfanden eine symmetrische Münze, um Gedankenexperimente durchzuführen.
Das beliebteste symmetrische Münzproblem ist: „In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen (dreimal, viermal usw.). Das Problem besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Seite eine bestimmte Anzahl von Malen landet.“

Lösung des Problems mit einer symmetrischen Münze

Es ist klar, dass die Münze bei einem Wurf entweder auf „Kopf“ oder „Zahl“ landen wird. Wie oft, hängt davon ab, wie viele Würfe durchgeführt werden müssen. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu bekommen, wird berechnet, indem die Anzahl der Ergebnisse, die die Bedingung erfüllen, durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse dividiert wird.

Ein Wurf

Hier ist alles einfach. Es wird entweder Kopf oder Zahl sein. Diese. Wir haben zwei mögliche Ergebnisse, von denen eines uns zufriedenstellt – 1/2=50 %

Zwei-Wurf

In zwei Würfen können Sie Folgendes erhalten:
zwei Adler
zwei Köpfe
Kopf, dann Zahl
Zahl, dann Kopf
Diese. Es gibt nur vier mögliche Optionen. Probleme mit mehr als einer Rolle lassen sich am einfachsten lösen, indem man eine Tabelle mit möglichen Optionen erstellt. Der Einfachheit halber bezeichnen wir den Kopf als „0“ und den Schwanz als „1“. Dann sieht die Tabelle der möglichen Ergebnisse wie folgt aus:
00
01
10
11
Wenn Sie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchten, dass „Kopf“ einmal vorkommt, müssen Sie lediglich die Anzahl der passenden Optionen in der Tabelle zählen – d. h. jene Zeilen, in denen der Adler einmal auftaucht. Es gibt zwei solcher Zeilen. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen einer symmetrischen Münze ein Kopf zu bekommen, 2/4 = 50 % beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in zwei Würfen zweimal „Kopf“ erscheint, beträgt 1/4=25 %

Drei Roska

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Optionen erstellen:
000
001
010
011
100
101
110
111
Diejenigen, die mit der Binärrechnung vertraut sind, verstehen, wozu wir gekommen sind. :) Ja, das sind Binärziffern von „0“ bis „7“. Dies macht es einfacher, sich nicht mit den Optionen zu verwirren.
Lösen wir das Problem aus dem vorherigen Absatz: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass einmal Köpfe auftauchen. Es gibt drei Zeilen, in denen einmal „0“ vorkommt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei drei Würfen einer symmetrischen Münze ein Kopf zu bekommen, 3/8 = 37,5 % beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in drei Würfen zweimal „Kopf“ erscheint, beträgt 3/8 = 37,5 %, d. h. absolut das Gleiche.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in drei Würfen dreimal Kopf erscheint, beträgt 1/8 = 12,5 %.

Vier Würfe

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Optionen erstellen:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe einmal auftauchen. Es gibt nur drei Zeilen, in denen die „0“ einmal vorkommt, genau wie bei drei Würfen. Aber es gibt bereits sechzehn Möglichkeiten. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei vier Würfen einer symmetrischen Münze eine Kopfzahl zu bekommen, 3/16 = 18,75 % beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in drei Würfen zweimal „Kopf“ erscheint, beträgt 6/8 = 75 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in drei Würfen dreimal „Kopf“ erscheint, beträgt 4/8 = 50 %.

Mit zunehmender Anzahl von Würfen ändert sich also das Prinzip der Problemlösung überhaupt nicht, sondern nur, dass in einem entsprechenden Verlauf die Anzahl der Optionen zunimmt.