Solitonen in einer Schallwelle. Solitons. Korevega Gleichung - De Fris

Nach Berechnungen und Suchen nach Analogien stellten diese Wissenschaftler fest, dass die Gleichung, die von Fermi, Teigwaren und Ulam verwendet wurde, mit einer Abnahme der Entfernung zwischen den Gewichten und einem unbegrenzten Wachstum ihrer Zahl an die Korteweg de Fris-Gleichung geht. Das ist im Wesentlichen die von Fermi vorgeschlagene Aufgabe auf eine numerische Lösung der 1895 vorgeschlagenen Korteweg de Fris-Gleichung, um eine einsame Welle Russells zu beschreiben. In etwa derselben Jahre wurde gezeigt, dass auch Ionen-Schallwellen im Plasma beschreibt, der Korteweg de Fris auch verwendet wird. Dann wurde klar, dass diese Gleichung in vielen Gebieten der Physik gefunden wird, und daher ist eine einsame Welle, die durch diese Gleichung beschrieben wird, ein weit verbreiteter Phänomen ist.

Weiterführende Rechenexperimente zur Modellierung der Ausbreitung solcher Wellen, krumpt und der Aufpreis betrachteten ihre Kollision. Lassen Sie uns über die Diskussion dieser wundervollen Tatsachen wohnen. Angenommen, es gibt zwei einsame Wellen, die von der Korteweg-de Fris-Gleichung beschrieben sind, die sich in Amplituden unterscheiden und in eine Richtung in eine Richtung bewegen (Abb. 2). Von der Formel für abgelegene Wellen (8) folgt, dass die Bewegungsgeschwindigkeit solcher Wellen höher ist als ihre Amplitude, und die Spitzenbreite nimmt mit zunehmender Amplitude ab. So bewegen sich hohe abgelegene Wellen schneller. Eine Welle mit einer größeren Amplitude wird die von vorne bewegende Welle mit einer kleineren Amplitude aufholen. Als nächstes bewegen sich zwei Wellen als Ganzes zusammen und interagieren miteinander, und dann werden sie getrennt. Das wundervolle Eigentum dieser Wellen ist das nach seiner Interaktionsform und

Feige. 2. Zwei Solitonen, die von der Korteweg de Fris-Gleichung beschrieben werden,

vor der Interaktion (an der Spitze) und nach (unten)

die Geschwindigkeit dieser Wellen wird wiederhergestellt. Beide Wellen, nachdem die Kollision nur für eine bestimmte Entfernung verlagert, verglichen, wie sie sich ohne Interaktion bewegten.

Der Prozess, in dem nach dem Wechselwirkung der Wellen, der Form und der Geschwindigkeit bleiben, ähnelt der elastischen Kollision zweier Partikel. Daher wurden verfluchte und Zuschläge solche abgelegenen Wellen als Solitons genannt (aus dem englischen Einzelsamen). Dies ist ein besonderer Name von einsamen Wellen, einem Konsonantenelektron, einem Proton und vielen anderen Elementarteilchen, die derzeit allgemein akzeptiert werden.

Einsame Wellen, die nach Russell offen waren, und verhalten sich in der Tat wie Partikel. Eine große Welle geht nicht durch eine kleine Interaktion. Wenn abgelegene Wellen in Kontakt kommen, verlangsamt sich die große Welle herunter und verringert sich, und die Welle, die klein war, ist dagegen beschleunigt und wächst. Und wenn eine kleine Welle bis zu der Größe eines großen und großen Abneigungen auf die Größe von kleinen wächst, werden Solitons getrennt und der größere geht nach vorne. So verhalten sich Solitons wie elastische Tennisbälle.

Wir geben die Definition von Soliton. Soliton Eine nichtlineare einsame Welle wird aufgerufen, die seine Form und ihre Geschwindigkeit mit seiner eigenen Bewegung behält und mit selbst ähnlichen Abgeschiedenheiten ähnlich, dh eine nachhaltige Ausbildung ist. Das einzige Ergebnis der Wechselwirkung von Solitons kann eine Phasenverschiebung sein.

Die mit der Korteweg-de Frisi-Gleichung verbundenen Entdeckungen endeten nicht mit der Entdeckung von Soliton. Der nächste wichtige Schritt, der sich auf diese wunderbare Gleichung bezieht, bestand darin, eine neue Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen in privaten Derivaten zu schaffen. Es ist bekannt, dass das Finden von Lösungen nichtlinearer Gleichungen sehr schwierig ist. Bis in die 60er Jahre unseres Jahrhunderts wurde angenommen, dass solche Gleichungen nur einige bestimmte Lösungen haben könnten, die die speziell festgelegten Anfangsbedingungen erfüllen. Die Korteweg de Fris-Gleichung und in diesem Fall erwies sich jedoch als in außergewöhnlicher Position.

1967 amerikanische Physiker K.s. Gardner, J.m. Grün, M. KRUSKAL und R. Miura zeigten, dass die Lösung der Korteweg de Fris-Gleichung grundsätzlich für alle anfänglichen Bedingungen erhalten hat, was auf einen bestimmten Weg auf Null in dem Wunsch der Koordinaten in Unendungen aufwendig gelten. Sie nutzten die Umwandlung der KORTEWEG - DE FRIS-Gleichung an das System von zwei Gleichungen namens Lax Pair (namens American Mathematics Peter Lax, das einen großen Beitrag zur Entwicklung der Solitortheorie leistete, und entdeckte eine neue Methode zur Lösung eines Anzahl der sehr wichtigen nichtlinearen Gleichungen in privaten Derivaten. Diese Methode wurde als Methode des inversen Streuproblems bezeichnet, da sie die Lösung der Aufgabe der Quantenmechanik erheblich nutzt, um das Potenzial entsprechend den Streuungsdaten wiederherzustellen.

2.2. Gruppe Soliton.

Oben, sagten wir, dass in der Praxis die Wellen in der Regel von Gruppen verteilt werden. Solche Gruppen von Wellen auf dem Wasser, die von der Zeit einheimisch beobachteten. Auf der Frage, warum für Wellen auf dem Wasser so typisch für die "Herden" der Wellen ist, gelang es mir, Benjan und J. Feyer nur 1967 zu beantworten. Theoretische Berechnungen, sie zeigten, dass eine einfache periodische Welle auf tiefem Wasser instabil ist (jetzt wird dieses Phänomen die Entzündung des BENEMYMAN-FAEIERS genannt), und daher sind Wasserwellen aufgrund der Instabilität in Gruppen unterteilt. Die Gleichung, mit der die Verteilung der Gruppen von Wellen auf Wasser beschrieben wird, v.e. Zakharov im Jahr 1968. Zu diesem Zeitpunkt war diese Gleichung bereits in der Physik bekannt und war der Name der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung. 1971 v.e. Zakharov und A. B. Shabby zeigte, dass diese nichtlineare Gleichung eine Lösung auch in Form von Solitonen hat, außerdem die nichtlineare Schrödinger-Gleichung sowie die Korteweg de Fris-Gleichung, von der inversen streuenden Aufgabe integriert werden kann. Die Solitonen der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung unterscheiden sich von dem Korteweg de Fris, der über der Tatsache diskutiert wurde, dass sie der Form des Umschlags der Wellengruppe entsprechen. Äußerlich ähneln sie modulierte Funkwellen. Diese Solitonen werden als Gruppe Solitone genannt und manchmal mit rollenden Solitonen. Dieser Name spiegelt die Haltbarkeit in der Wechselwirkung der Hülle des Wellenpakets (ein Analogon der in Fig. 1 gezeigten gestrichelten Linie) wider, obwohl die Wellen der Hüllkurve mit einem anderen Geschwindigkeit als der Gruppe bewegt werden. In diesem Fall wird die Form der Hüllkurve beschrieben

Feige. 3. Beispiel für Gruppe Soliton (Mitgift)

sucht

a (X, T) \u003d A 0 CH -1 ()

wo eIN - Amplitude, A. l. - halbe Solitongröße. Normalerweise liegt unter der Hülle des Solitons 14 bis 20 Wellen, und die durchschnittliche Welle ist der größte. Eine bekannte Tatsache ist damit verbunden, dass die höchste Welle in der Gruppe auf Wasser zwischen dem siebten und zehnten (neunten Welle) liegt. Wenn in der Wellengruppe eine größere Welle gebildet wurde, wird er auf mehrere Gruppen zerfallen.

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung sowie die Korteweg-de FRIS-Gleichung ist auch weit verbreitet, wenn Sie die Wellen in verschiedenen Feldern der Physik beschreiben. Diese Gleichung wurde 1926 von einem hervorragenden österreichischen Physiker E. Schrödinger zur Analyse der grundlegenden Eigenschaften von Quantensystemen vorgeschlagen und wurde ursprünglich bei der Beschreibung der Wechselwirkung von intraindustriellen Partikeln eingesetzt. Die generalisierte oder nichtlineare Schrödinger-Gleichung beschreibt den Satz von Phänomenen in der Physik von Wellenprozessen. Zum Beispiel wird verwendet, um den Effekt der Selbstfokussierung zu beschreiben, wenn er einem leistungsstarken Laserstrahl auf einem nichtlinearen dielektrischen Medium ausgesetzt ist und die Ausbreitung nichtlinearer Plasmawellen beschreibt.

3. Erklärung der Aufgabe

3.1. BESCHREIBUNG des Modells. Es wird derzeit beobachtet, dass die Interesse an der Untersuchung nichtlinearer Wellenprozesse in verschiedenen Gebieten der Physik (z. B. in Optik, Plasmaphysik, Radiophysik, Hydrodynamik usw.) wesentlich steigend ist. Um die Wellen der kleinen, aber endlichen Amplitude in Dispersionsmedien als Modellgleichung zu studieren, wird die Korteweg-de-Frize-Gleichung (CDF) häufig verwendet:

u. T. + i x + b. und xxx \u003d 0 (3.1)

Die KDF-Gleichung wurde verwendet, um Magnetosonic-Wellen zu beschreiben, die streng über dem Magnetfeld oder bei Winkeln nahe

Die Hauptannahmen, die in der Ausgabe der Gleichung erfolgen: 1) kleine, aber Endamplitude, 2) Die Wellenlänge ist im Vergleich zur Dispersionslänge groß.

Die Auswirkung der Effekt der Nichtlinearität kann die Dispersion in einem Dispersionsmedium mit stationären Wellen der Endamplitude - einsam und periodisch bilden. Einsame Wellen für die KDF-Gleichung, nachdem die Arbeit Solitons genannt wurde. Periodische Wellen tragen den Namen der Quarkwellen. Die entsprechenden Formeln für ihre Beschreibung sind angegeben.

3.2. Die Formulierung einer differentiellen Aufgabe. In der Arbeit ist die numerische Lösung des Cauchy-Problems für die Korteweg-de-Frise-Gleichung mit periodischen Bedingungen im Raum in einem Rechteck Q T. ={( t. , x. ):0< t. < T. X. Î [0, l. ].

u. T. + i x + b. und xxx \u003d 0 (3.2)

u (x, t) | x \u003d 0 \u003d u (x, t) | x \u003d L. (3.3)

mit dem anfänglichen Zustand

u (x, t) | T \u003d 0 \u003d u 0 (x) (3.4)

4. Eigenschaften der Korteweg-de-Frise-Gleichung

4.1. Eine kurze Übersicht der Ergebnisse durch die KDF-Gleichung. Cauchy für die CDF-Gleichung für verschiedene Annahmen relativ u. 0 (x) In vielen Werken betrachtet. Die Aufgabe der Existenz und der Einzigartigkeit der Lösung mit den Frequenzbedingungen als Randbedingungen wurde in Betrieb mit dem Verfahren von endlichen Unterschieden gelöst. Später wurden mit weniger starken Annahmen, Existenz und Einzigartigkeit in dem Artikel im Raum L ¥ (0, T, HS (R 1)), wobei S\u003e 3/2 und im Falle eines periodischen Problems - im Weltraum erfolgt L ¥ (0, T, H ¥ (C)), wobei C ein Längenumfang ist, der der Periode in Russisch in Russisch ist, werden diese Ergebnisse im Buch dargestellt.

Doktor der Technischen Wissenschaften A. Golubev.

Eine Person auch ohne spezielle körperliche oder technische Ausbildung ist zweifellos mit den Worten "Elektron, Proton, Neutron, Photon" vertraut. Aber das Wort "Soliton", der mit ihnen konsonant ist, hören wahrscheinlich zum ersten Mal. Dies ist nicht überraschend: Obwohl das, was durch dieses Wort angezeigt wird, ist es für mehr als eineinhalb Jahrhunderte bekannt, die ordnungsgemäße Aufmerksamkeit der Solitonen wurde nur von dem letzten Drittel des zwanzigsten Jahrhunderts gegeben. Soliton-Phänomene waren universell und in Mathematik, Hydromechanik, Akustik, Radiophysik, Astrophysik, Biologie, Ozeanographie, optische Technik gefunden. Was ist das - Soliton?

Malerei I. K. Aivazovsky "Ninth Val". Wellen auf Wasser verteilen sich wie Gruppensellitoren, in der Mitte, in der im Bereich des siebten bis zum Zehnten die höchste Welle gibt.

Die übliche lineare Welle hat die Form der richtigen Sinus (A).

Wissenschaft und Leben // Illustration

Wissenschaft und Leben // Illustration

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Es bedeutet eine nichtlineare Welle auf der Oberfläche des Wassers in Abwesenheit einer Dispersion.

So sieht die Gruppe Soliton aus.

Stoßwelle vor einem Ball fliegt sechsmal schneller als der Ton. Für Gerücht wird es als laute Baumwolle wahrgenommen.

In allen obigen Bereichen gibt es ein gemeinsames Merkmal: In ihnen oder in einigen ihrer Abschnitte werden Wellenprozesse untersucht, und einfach sprechen - Wellen. Im allgemeinen Sinne ist die Welle die Ausbreitung der Störung der physischen Größe, die den Stoff oder das Feld kennzeichnet. Diese Verteilung erfolgt in der Regel in mittlerer Wasser, Luft, festen Körper. Und nur elektromagnetische Wellen können sich im Vakuum ausbreiten. Alles, zweifellos, sah, wie es aus dem Stein in das Wasser aufgegeben wurde, "empört" die ruhige Oberfläche des Wassers, sphärische Wellen divergieren. Dies ist ein Beispiel für die Verteilung der "Single" -erstörung. Sehr oft ist die Störung ein oszillatorischer Prozess (insbesondere periodisch) in einer Vielzahl von Formen - schwenken - das Pendel, Schwankungen in der Saite des Musikinstruments, der Kompression und der Ausdehnung der Quarzplatte unter der Wirkung von Wechselstrom, Schwankungen in Atome und Moleküle. Wellen - Ausbreitungsschwingungen - kann eine andere Natur haben: Wellen auf Wasser, Klang, elektromagnetisch (einschließlich Licht) Wellen. Der Unterschied in physikalischen Mechanismen, die den Wellenprozess implementieren, beinhaltet verschiedene Methoden für seine mathematische Beschreibung. Einige übliche Eigenschaften sind jedoch auch Wellen unterschiedlicher Herkunft inhärent, um zu beschreiben, welche das universelle mathematische Gerät verwendet wird. Und das bedeutet, dass die Wellenphänomene untersucht werden können, von ihrer physischen Natur abgelenkt werden.

In der Theorie der Wellen erfolgt in der Regel in Anbetracht derartigen Eigenschaften von Wellen als Interferenz, Beugung, Dispersion, Streuung, Reflexion und Brechung. Ein wichtiger Umstand findet jedoch statt: Ein solcher einheitlicher Ansatz ist legitim, vorausgesetzt, dass die Wellenprozesse verschiedener Natur linear sind. Aber die Tatsache, dass es dadurch verstanden wird, werden wir ein wenig später sprechen, und jetzt beachten wir nur, dass nur Wellen kann eine zu große Amplitude linear sein. Wenn die Amplitude der Welle groß ist, wird es nichtlinear, und es ist in direktem Zusammenhang mit dem Thema unseres Artikels - Soliton.

Da wir die ganze Zeit über die Wellen sprechen, ist es nicht schwer zu erraten, dass Solitons auch etwas aus dem Wellenbereich sind. Dies ist wahr: Soliton heißt als sehr ungewöhnliche Ausbildung - die "abgelegene" Welle (Einzelwelle). Der Mechanismus seines Ereignisses ist seit langem ein Mysterium für Forscher. Es schien, dass die Natur dieses Phänomens den bekannten Gesetzen der Bildung und Verteilung von Wellen widerspricht. Die Klarheit erschien relativ kürzlich, und nun werden die Solitonen in Kristallen, magnetischen Materialien, Faserfilmen in der Atmosphäre der Erde und anderen Planeten in Galaxien und sogar in lebenden Organismen untersucht. Es stellte sich heraus, dass sowohl die Tsunami als auch die Nervenimpulse und Versetzungen in Kristallen (Verletzung der Frequenz ihrer Gitter) - all diese Solitonen! Soliton ist wirklich "mehrfach". Dies ist übrigens genau das, was das schöne wissenschaftliche und beliebte Buch von A. Filippova "Menidic Soliton" genannt wird. Wir empfehlen es dem Leser, keine Angst vor einer ziemlich großen Menge mathematischer Formeln.

Um die grundlegenden Ideen zu verstehen, die mit den Soliternen verbunden sind, und gleichzeitig praktisch ohne Mathematik tun, muss er in erster Linie über die bereits bereits erwähnte Nichtlinearität sprechen, die bereits bereits auf den Dispersionsphänomenen genannt wird, die dem Mechanismus der Bildung von Solitons zugrunde liegen. Aber zuerst werden wir erzählen, wie und wann Soliton entdeckt wurde. Er tauchte zuerst einer Person in der "Größe" einer abgelegenen Welle auf dem Wasser auf.

Es ist 1834 passiert. John Scott Russell, schottischer Physiker und ein talentierter Erfinderingenieur, erhielten ein Angebot, die Möglichkeiten der Navigation von Dampfschiffen auf dem Kanal, der Edinburgh und Glasgow verbindet, erkunden. Zu dieser Zeit wurde der Transport auf dem Kanal mit Hilfe von kleinen Kasteln durchgeführt, die Pferde gezogen haben. Um herauszufinden, wie Sie die Lastkähne erneut ausrüsten können, wenn der Reiterstoß auf den Dampf ersetzt wurde, begann Russell, die Lähmungen verschiedener Form mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu überwachen. Und während dieser Experimente rannte er unerwartet in ein völlig ungewöhnliches Phänomen. So beschrieb er ihn in seinem "Wave-Bericht":

"Ich folgte der Bewegung des Lastkahns, der schnell in den schmalen Kanal ein paar Pferde gezogen wurde, als der Lastkahn unerwartet angehalten wurde. Aber die Masse des Wassers, der in Bewegung leitete, sammelte sich in der Nähe der Nase des Schiffes in einem Zustand des Wahnsinnigen Bewegung, dann hinterließ ihn plötzlich zurück, rollte mit einer großen Geschwindigkeit und nahm die Form einer großen einzelnen Erhebung - einen abgerundeten, glatten und gut ausgeprägten Wasserhügel. Er setzte seinen Weg entlang des Kanals überhaupt, ohne seine Form zu ändern Die Geschwindigkeit nicht verringern Eine halbe Füße. Die Höhe verringerte sich allmählich und nach einem oder zwei Kilometern der Verfolgung verlor ich es in der Kanalbiegung. "

Russell nannte sie das Phänomen einer "abgelegenen Rundfunkwelle". Seine Botschaft wurde jedoch von den anerkannten Behörden an den Skepsis erfüllt - George Airy und George Stokes, die glaubten, dass die Wellen beim Umzug über langen Entfernungen ihre Form nicht behalten können. Dafür hatten sie alle Grundlagen: Sie gingen von den allgemein akzeptierten Gleichungen der Hydrodynamik. Die Anerkennung der "abgelegenen" Welle (der später als Soliton genannt wurde) trat während des Lebens Russells durch die Arbeit mehrerer Mathematiker auf, die zeigte, dass es existieren könnte, und außerdem wurden Russells-Experimente wiederholt und bestätigt. Die Streitigkeiten rund um den Soliton haben jedoch noch nicht lange aufhören - die Autorität von Eiri und Stokes war zu groß.

Die endgültige Klarheit im Problem wurde vom niederländischen Wissenschaftler Didric Iohannes Korevan und seinem Studenten Gustav de Fris hinterlegt. Im Jahr 1895 fanden sie dreizehn Jahre nach dem Tod Russell eine genaue Gleichung, deren Wellenlösungen die auftretenden Prozesse vollständig beschreiben. In der ersten Annäherung kann dies wie folgt erklärt werden. Die Wellen von Corteweg-de Frize haben eine nicht sinusförmige Form und werden nur sinusförmig, wenn ihre Amplitude sehr klein ist. Mit einer Zunahme der Wellenlänge erfassen sie die Form voneinander weit voneinander von den Buckeln, und mit einer sehr langen Wellenlänge bleibt ein Buckel, der der "abgelegenen" Welle entspricht.

Die Korteweg-de Frise-Gleichung (die sogenannte CDF-Gleichung) spielte in unseren Tagen eine sehr große Rolle, als Physiker seine Vielseitigkeit und die Möglichkeit eines Antrags auf die Wellen verschiedener Natur verstanden haben. Das bemerkenswerteste, was es nichtlinearer Wellen beschreibt, sollte nun an diesem Konzept näher detaillierter entmutigt werden.

In der Theorie der Wellen hat die Wellengleichung einen grundlegenden Wert. Führen Sie es hier nicht an (dies erfordert einen Bekanntschaft mit der höchsten Mathematik), beachten wir nur, dass die gewünschte Funktion, die die Welle beschreibt, und die zugehörigen Werte in dem ersten Grad enthalten sind. Solche Gleichungen werden linear genannt. Die Wellengleichung, wie jede andere, hat eine Lösung, dh einen mathematischen Ausdruck, mit einem Substitution, dessen er die Identität hinzufügt. Die Lösung der Wellengleichung ist die lineare Harmonische (sinusförmige) Welle. Wir betonen erneut, dass der Begriff "linear" hier nicht im geometrischen Sinne verwendet wird (Sinusoid ist keine gerade Linie), sondern im Sinne der Verwendung des ersten Menge an Mengen in der Wellengleichung.

Lineare Wellen gehorchen dem Prinzip der Überlagerung (Zugabe). Dies bedeutet, dass beim Anlegen einiger linearer Wellen die Form der resultierenden Welle durch einfaches Hinzufügen der Quellwellen bestimmt wird. Dies liegt daran, dass jede Welle im Medium gilt, unabhängig von anderen, es gibt weder den Energieaustausch oder eine andere Wechselwirkung zwischen ihnen, sie passieren freien durch den anderen frei. Mit anderen Worten, das Prinzip der Überlagerung bedeutet die Unabhängigkeit der Wellen, und deshalb können sie gefaltet werden. Unter normalen Bedingungen gilt dies für Klang-, Licht- und Funkwellen sowie für Wellen, die in der Quantentheorie betrachtet werden. Aber für Wellen in der Flüssigkeit ist es nicht immer wahr: Nur eine Welle sehr kleiner Amplitude kann gefaltet werden. Wenn Sie versuchen, die Wellen von Korteweg-de Frize zu falten, werden wir überhaupt keine Welle erhalten, die vorhanden sein können: Die hydrodynamischen Gleichungen sind nichtlinear.

Es ist wichtig zu betonen, dass die Eigenschaft der Linearität akustischer und elektromagnetischer Wellen beobachtet wird, wie bereits unter normalen Bedingungen festgestellt wurde, unter dem vor allem kleine Amplituden der Wellen impliziert sind. Aber was bedeutet "kleine Amplituden"? Die Amplitude der Schallwellen bestimmt das Schallvolumen, Licht - die Intensität von Licht und Funkwellen - die Spannung des elektromagnetischen Feldes. Rundfunk, Fernseher, Telefon, Computer, Beleuchtung und viele andere Geräte arbeiten in den meisten "normalen Bedingungen" zusammen, um sich mit verschiedenen Wellen der kleinen Amplitude zu befassen. Wenn die Amplitude scharf steigt, verlieren die Wellen Linearität und dann entstehen neue Phänomene. In der Akustik sind die Stoßwellen, die sich mit Überschallgeschwindigkeit erstrecken, seit langem bekannt. Beispiele für Stoßwellen - Tüllenwalzen während eines Gewitters, Geräusche von einem Schuss und einer Explosion und sogar flammenden Knoten: Sein Spitze bewegt sich schneller als der Ton. Nichtlineare Lichtwellen werden mit leistungsstarken gepulsten Lasern erhalten. Der Durchgang solcher Wellen durch verschiedene Umgebungen ändert die Eigenschaften der Medien selbst; Komplett neue Phänomene werden beobachtet, wodurch das Thema besteht, um nichtlineare Optik zu studieren. Beispielsweise tritt eine Lichtwelle auf, deren Länge zweimal weniger ist, und die Frequenz, doppelt so viel wie das ankommende Licht (die Erzeugung der zweiten Harmonische). Wenn Sie an einen nichtlinearen Kristall sendet, sagen Sie einen leistungsstarken Laserstrahl mit einer Wellenlänge L 1 \u003d 1,06 μm (Infrarotstrahlung, ein unsichtbares Auge), dann bei der Ausbeute des Kristalls, außer infrarotgrünem Licht mit einer Wellenlänge L 2 \u003d 0,53 μm.

Wenn nichtlineare Klang- und Lichtwellen nur in weiten Bedingungen gebildet werden, ist die Hydrodynamik selbst nichtlinear. Da die Hydrodynamik in den einfachsten Phänomenen nichtlinearität aufweist, entwickelte es sich in voller Isolierung von der "linearen" Physik. Niemand trat einfach auf, etwas ähnliches der "abgelegenen" Welle Russell in anderen Wellenphänomenen zu suchen. Und nur, wenn neue Gebiete der Physik entwickelt wurden - nichtlineare Akustik, Radiophysik und Optik, - erinnerten sich die Forscher Russell Soliton und wunderten sich: Gibt es ein ähnliches Phänomen, das in Wasser beobachten kann? Dazu war es notwendig, den Gesamtmechanismus der Soliton-Formation zu verstehen. Der Zustand der Nichtlinearität war notwendig, aber nicht ausreichend: Es war notwendig, etwas anderes zu haben, in dem die "abgelegene" Welle darin geboren werden konnte. Und als Ergebnis von Studien wurde klar, dass der fehlende Zustand das Vorhandensein einer Dispersion des Mediums war.

Erinnern Sie sich kurz, was es ist. Die Dispersion ist die Abhängigkeit der Wellenphasenausbreitungsrate (sogenannte Phasengeschwindigkeit) aus der Frequenz oder, was dasselbe ist, die Wellenlängen (siehe "Wissenschaft und Leben" Nr.). Eine nicht-velocosoidale Welle jeglicher Form gemäß dem bekannten Fourier-Satz kann mit einer Kombination einfacher sinusförmiger Komponenten mit unterschiedlichen Frequenzen (Wellenlängen), Amplituden und anfänglichen Phasen dargestellt werden. Diese Komponenten aufgrund der Dispersion sind mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten verteilt, was während seiner Vermehrung zum "Unschärfen" der Wellenform führt. Auch Soliton, was auch, kann als Summe der angegebenen Komponenten dargestellt werden, wie wir bereits wissen, während wir das Formular verschieben. Warum? Erinnern Sie sich daran, dass Soliton eine nichtlineare Welle ist. Und hier ist es der Schlüssel zur Offenlegung seiner "Geheimhaltung". Es stellt sich heraus, dass der Soliton auftritt, wenn der Effekt der Nichtlinearität, die den "Buckel" des Solitons schärfert, schärfer und strebt, es zu streben, durch die Dispersion ausgleichen, die es sanfter macht und strebt, es zu verwischen, um es zu verschwimmen. Das heißt, Soliton entsteht "an der Kreuzung" von Nichtlinearität und Dispersion, die sich gegenseitig auskompensieren.

Lassen Sie uns das im Beispiel erklären. Angenommen, dass auf der Oberfläche des Wassers ein Buckel gebildet wurde, der sich bewegte. Mal sehen, was passiert, wenn Sie die Dispersion nicht berücksichtigen. Die Geschwindigkeit der nichtlinearen Welle hängt von der Amplitude ab (in linearen Wellen gibt es keine solche Abhängigkeit). Die Oberseite des Horbian wird sich schneller bewegen, und in einem nächsten Moment wird seine Frontfront kühler sein. Die Steilheit der Front steigt an, und im Laufe der Zeit werden die Wellen "kippen". Wir sehen ein solches Kippen der Wellen und beobachten die Brandung an der Küste. Lassen Sie uns jetzt sehen, worauf das Vorhandensein von Dispersion führt. Der anfängliche Buckel kann an die Summe der sinusförmigen Komponenten mit verschiedenen Wellenlängen eingereicht werden. Die Langwellenkomponenten laufen mit einer größeren Geschwindigkeit als der Kurzwelle und reduzieren daher die Vorderkantensteiligkeit, wodurch es weitgehend ausgerichtet ist (siehe "Wissenschaft und Leben" Nr. 8, 1992). Mit einer bestimmten Form und Geschwindigkeit des Buckels kann eine vollständige Wiederherstellung der ursprünglichen Form auftreten, und dann wird Soliton gebildet.

Eines der erstaunlichen Eigenschaften von "abgelegenen" Wellen ist, dass sie in vielerlei Hinsicht wie Partikel sind. In einer Kollision gehen zwei Solitonen also nicht durch, als gewöhnliche lineare Wellen, und als ob sie wie Tennisbälle voneinander abstoßet werden.

Auf Wasser können es Solitons und einen anderen Typ, der von der Gruppe genannt wird, da ihre Form den Wellengruppen sehr ähnlich ist, die in der Realität anstelle einer endlosen sinusförmigen Welle beobachtet werden und sich mit der Gruppengeschwindigkeit bewegen. Gruppe Soliton ähnelt sehr viel amplitudenmodulierte elektromagnetische Wellen; Seine Umschlag ist unzufrieden, es wird durch eine komplexere Funktion beschrieben - hyperbolische Sitzungen. Die Geschwindigkeit eines solchen Solitons hängt nicht von der Amplitude ab, und dies unterscheidet sich von CDF-Solitonen. Unter dem Umschlag ist normalerweise nicht mehr als 14-20 Wellen. Der Durchschnitt ist die höchste - die Welle in der Gruppe stellt sich also in dem Intervall vom siebten bis zum Zehnten heraus; Daher der berühmte Ausdruck "neunter Welle".

Die Artikel des Artikels erlauben nicht, viele andere Arten von Solitonen zu berücksichtigen, wie Solitonen in festen kristallinen Körper - die sogenannten Versetzungen (sie ähneln den "Löchern" im Kristallgitter und sind auch in der Lage, sich zu bewegen), dem magnen Solitonen in Bezug auf sie in Ferromagneten (zum Beispiel im Eisen), solitonähnlichen Nervenimpulsen in lebenden Organismen und vielen anderen. Wir beschränken uns auf die Berücksichtigung der optischen Solitons, die kürzlich die Aufmerksamkeit von Physikern aufmerksam gemacht, die Möglichkeit ihrer Verwendung in sehr vielversprechenden optischen Kommunikationslinien.

Optische Soliton - typische Gruppe Soliton. Seine Ausbildung kann durch das Beispiel einer der nichtlinearen optischen Effekte verstanden werden - die sogenannte selbstinduzierte Transparenz. Dieser Effekt liegt in der Tatsache, dass das Medium, das das Licht einer geringen Intensität aufnimmt, das heißt undurchsichtig ist, plötzlich transparent wird, wenn er einen leistungsstarken Lichtimpuls passiert. Um zu verstehen, warum dies geschieht, erinnern Sie sich, was die Absorption von Licht in der Substanz verursacht hat.

Das mit dem Atom interagierende leuchtende Quantum verleiht ihm Energie und führt zu einem höheren Energispegel, dh in einem angeregten Zustand. Das Photon verschwindet - das Medium absorbiert Licht. Nachdem alle mittleren Atome angeregt sind, stoppt die Absorption von Lichtenergie - das Medium wird transparent. Diese Bedingung kann jedoch nicht lange dauern: Photonen, die im Folgenden fliegen, sind erzwungene Atome, um in seinen ursprünglichen Zustand zurückzukehren, das emittierende Quantum derselben Frequenz. Genau das passiert, wenn ein kurzer Lichtimpuls der hohen Leistung der entsprechenden Frequenz durch ein solches Medium geschickt wird. Die vordere Vorderseite des Impulses bewegt Atome auf die obere Ebene, teilweise absorbiert und wird schwächer. Der maximale Impuls ist bereits weniger absorbiert, und die hintere Vorderseite des Impulses stimuliert den umgekehrten Übergang von der aufgeregten Ebene zum Hauptanschluss. Das Atom strahlt ein Photon aus, seine Energie wird in den Impuls zurückgeführt, der das Medium durchläuft. Gleichzeitig erweist sich die Form des Impulses als die entsprechende Gruppe Soliton.

Zuletzt erschien eine Veröffentlichung der führenden Firma "Bell Laboratories, USA, New Jersey" in einem der amerikanischen wissenschaftlichen Zeitschriften (Glockenlaboratorien, den USA, den USA, der Glockenlaboratorien, den USA mit optischen Solitonen. Bei normalem Getriebe über den optischen Faserkommunikationsleitungen muss das Signal alle 80-100 Kilometer unterzogen werden (der Verstärker selbst kann als Lichtleiter dienen, wenn sie durch das Licht einer bestimmten Wellenlänge gepumpt wird). Alle 500-600 Kilometer müssen Sie einen Repeater installieren, der ein optisches Signal in elektrisch umwandelt, während alle Parameter und dann erneut zur optischen Übertragung gespeichert wird. Ohne diese Maßnahmen ist das Signal in einem Abstand von mehr als 500 Kilometern über die Erkennung hinaus verzerrt. Die Kosten dieser Ausrüstung sind sehr hoch: Die Übertragung von einem Terabit (10 12 Bit) von Informationen von San Francisco nach New York kostet 200 Millionen US-Dollar für jede Relaisstation.

Die Verwendung von optischen Solitonen, die ihre Form während der Verteilung behalten, ermöglicht es Ihnen, ein Signal in einer Entfernung von bis zu 5-2.000 Kilometern voll optisch zu übertragen. Auf dem Weg zur Erstellung einer "Soliton-Linie" gibt es jedoch erhebliche Schwierigkeiten, die es geschafft hat, nur zum letzten Mal zu überwinden.

Die Möglichkeit des Vorhandenseins von Solitonen in der optischen Faser, die 1972 den Physiker-Theoretiker Akira Khasiegawa, dem Angestellten der Firma Bell, prognostiziert. Zu diesem Zeitpunkt gab es jedoch noch keine leichten Anleitungen mit geringen Verlusten in diesen Bereichen der Wellenlängen, in denen Solitonen beobachtet werden können.

Optische Solitons können nur in einem Lichtleiter mit einer kleinen, aber der endgültigen Variation der Dispersion verteilt werden. Die optische Faser, die den erforderlichen Dispersionswert in der gesamten spektralen Breite des Multichannel-Senders behält, ist jedoch einfach nicht vorhanden. Und dies macht "gewöhnliche" Solitons ungeeignet für den Einsatz in Netzwerken mit langen Übertragungsleitungen.

Eine geeignete Soliton-Technologie wurde seit einigen Jahren unter der Führung von Linnna Mlinnahuer, einem führenden Spezialisten der Abteilung der optischen Technologie, der gesamten Firma "Bell", erstellt. Diese Technologie basierte auf der Entwicklung von optischen Fasern mit einer kontrollierten Dispersion, die die Erzeugung von Solituren ermöglichte, deren Form der Impulse auf unbestimmte Zeit gehalten werden kann.

Die Steuermethode ist wie folgt. Die Größe der Dispersion entlang der Länge der Faserfaser variiert periodisch zwischen den negativen und positiven Werten. Im ersten Abschnitt des Lichtleiters dehnt sich der Impuls in eine Richtung aus und verschiebt sich in einer Richtung. In dem zweiten Abschnitt aufweist sich eine Dispersion des gegenüberliegenden Vorzeichens, eine Impulskompression und eine Verschiebung in der entgegengesetzten Richtung, wodurch seine Form restauriert wird. Mit einer weiteren Bewegung wächst der Impuls erneut, wechselt dann in die folgende Zone, um die Wirkung der vorherigen Zone auszugleichen, usw. Der zyklische Prozess der Expansion und der Komprimierung auftritt. Der Impuls erleben eine Pulsation in der Breite mit einer Periode, die dem Abstand zwischen den optischen Verstärkern einer herkömmlichen Faser - von 80 bis 100 Kilometern entspricht. Infolgedessen kann das Signal gemäß der Anweisung von Müllwerter das Signal mit Informationsbetrag von mehr als 1 Terabit anhalten, ohne dass mindestens 5 - 6.000 Kilometer mit einer Übertragungsrate von 10 Gigabits pro Sekunde pro Kanal ohne Verzerrung weitergeleitet wird. Eine solche Technologie der bedingten Überwachungskommunikation auf optischen Linien liegt bereits in der Nähe der Implementierungsstufe.

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Erstelldatum: 31.05.2003

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1. Einleitung

Wellen in der Natur.

Aus dem Schulverlauf der Physik ist es allgemein bekannt, dass, wenn an jedem Punkt eines elastischen Mediums (fest, flüssig oder gasförmig) Oszillationen initiiert werden, dann an andere Stellen übertragen werden. Diese Übertragung von Erregungen ist darauf zurückzuführen, dass die engen Abschnitte des Mediums einander zugeordnet sind. Gleichzeitig werden die an einem Ort angeregten Schwingungen mit einer bestimmten Geschwindigkeit im Raum verteilt. Die Welle ist üblich, um den Prozess des Übertragens der Anregung des Mediums (insbesondere des oszillatorischen Prozesses) von einem Punkt zum anderen aufzurufen.

Die Art des Wellenausbreitungsmechanismus kann unterschiedlich sein. Im einfachsten Fall kann die Verbindung zwischen den Abschnitten im Medium auf die Kräfte der Elastizität zurückzuführen sein, die aufgrund von Verformungen in der Umgebung entstehen. Gleichzeitig können in einem festen elastischen Medium beide Längswellen ausgebreitet werden, in denen die Verschiebungen der Mediumpartikel in Richtung der Wellenausbreitung und in Querwellen erfolgen, in denen die Verschiebungen der Partikel senkrecht zum Ausbreitung der Welle. In Flüssigkeit oder Gas, im Gegensatz zu festen Körper, gibt es keine Scherfestigkeitskräfte, sodass nur Längswellen verteilt werden können. Ein bekanntes Beispiel von Längswellen in der Natur - Schallwellen, die aufgrund von Luftelastizität auftreten.

Bei den Wellen anderer Natur besetzen elektromagnetische Wellen einen besonderen Ort, von dem die Übertragung von Erregungen auf die Schwingungen elektrischer und magnetischer Felder zurückzuführen ist. Das Medium, in dem elektromagnetische Wellen in der Regel gilt, wirkt sich in der Regel einen erheblichen Effekt auf den Verteilungsverfahren von Wellen, aber elektromagnetische Wellen, im Gegensatz zu elastisch, können auch in Leere verteilt werden. Die Beziehung zwischen verschiedenen Abschnitten im Raum während der Ausbreitung solcher Wellen ist darauf zurückzuführen, dass die Änderung des elektrischen Feldes das Erscheinungsbild eines Magnetfelds verursacht und umgekehrt.

Mit den Phänomenen der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen stoßen wir oft in unserem täglichen Leben an. Diese Phänomene umfassen Funkwellen, deren Verwendung in technischen Anwendungen allgemein bekannt ist. In dieser Hinsicht können Sie das Werk von Radio und Fernsehen erwähnen, das auf den Empfang von Funkwellen basiert. Die elektromagnetischen Phänomene nur in einem anderen Frequenzbereich enthalten auch Licht, mit dem wir die Gegenstände um uns sehen.

Sehr wichtige und interessante Art von Wellen sind Wellen auf der Oberfläche des Wassers. Dies ist eine der häufigsten Arten von Wellen, die jeweils in der Kindheit beobachtet und in der Regel als Teil des Schulkurs der Physik demonstriert wird. Laut Richard Feynman ist jedoch ein unaufwendigeres Beispiel für die Demonstration von Wellen schwer zu denken, da diese Wellen nicht wie ein Geräusch noch in das Licht sind. Alle Schwierigkeiten, die in den Wellen sein können, sind gesammelt. "

Wenn wir einen ausreichend tiefen Pool, mit Wasser gefüllt sind, und auf seiner Oberfläche, um eine Empörung zu schaffen, beginnen die Wellen, sich auf der Oberfläche des Wassers zu verteilen. Das Auftreten von ihnen wird dadurch erläutert, dass die Teilchen der Flüssigkeit, die sich in der Nähe der Depression befinden, wenn sie eine Störung erzeugt, die Depression ausfüllen, unter der Wirkung der Schwerkraft sind. Die Entwicklung dieses Phänomens im Laufe der Zeit wird zur Ausbreitung der Welle auf dem Wasser führen. Fluidpartikel in einer solchen Welle bewegen sich nicht auf dem Herunterfahren, aber ungefähr um die Kreise, sodass Wasserwellen nicht längs oder quer sind. Sie, als ob eine Mischung von Menschen und anderen. Mit der Tiefe der Radien der Kreise, auf der die Teilchen der Flüssigkeits bewegen, bis sie gleich Null werden.

Wenn Sie die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung auf dem Wasser analysieren, stellt sich heraus, dass er von seiner Länge abhängt. Die Geschwindigkeit von langen Wellen ist proportional zum Wurzelquadrat von der Beschleunigung des freien Falls, multipliziert mit der Wellenlänge. Der Grund für das Auftreten solcher Wellen ist die Kraft der Schwerkraft.

Für kurze Wellen ist die Regenerationskraft auf die Leistung der Oberflächenspannung zurückzuführen, und daher ist die Geschwindigkeit solcher Wellen proportional zum Wurzelquadrat des Privat, in dem sich ein Oberflächenspannungskoeffizient und im Nenner befindet - das Produkt der Wellenlänge auf der Wasserdichte. Für die Wellenwellenwellenlänge hängt die Geschwindigkeit ihrer Verteilung von den oben aufgeführten Parametern ab. Es ist klar, was klar ist, dass die Wellen auf dem Wasser und tatsächlich ein ziemlich kompliziertes Phänomen.

1.2. Öffnen einer abgelegenen Welle

Wellen auf dem Wasser haben die Aufmerksamkeit von Forschern längst angezogen. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass sie ein bekanntes Phänomen in der Natur sind und außerdem die Bewegung von Gefäßen auf Wasser begleiten.

Scottish Scientist John Scott Russell 1834 beobachtete eine neugierige Welle auf dem Wasser. Er war beschäftigt, sich entlang des Kanals des Lastkanals zu bewegen, den ein paar Pferde zog. Plötzlich hörte sich plötzlich ein, aber die Masse des Wassers, der nach dem Lastkahn führte, hörte nicht auf und sammelte sich an der Nase des Gefäßes und brach dann von ihm weg. Ferner rollte diese Wassermasse durch den Kanal mit hoher Geschwindigkeit in Form einer abgelegenen Erhebung, ohne seine Form zu ändern und ohne die Geschwindigkeit zu reduzieren.

In seinem ganzen Leben wurde Russell wiederholt zur Beobachtung dieser Welle zurückgekehrt, da er glaubte, dass die abgelegene Welle von ihnen geöffnet wurde, spielt in vielen Phänomenen in der Natur eine wichtige Rolle. Er installierte einige Eigenschaften dieser Welle. Zuerst bemerkte ich, dass es sich mit einer konstanten Geschwindigkeit und ohne Änderung des Formulars bewegt. Zweitens fand die Abhängigkeit von Geschwindigkeit VON Diese Welle aus der Tiefe des Kanals h. und Wellenhöhe. und:

wo g. - beschleunigung des freien Falls und eIN. < h. . Drittens stellte Russell heraus, dass es möglich war, eine große Welle für mehrere Wellen zu verklagen. Viertens bemerkte er, dass in Experimenten nur Höhenwellen beobachtet werden. Sobald er auch bemerkt hat, dass die einsamen Wellen, die sich offen hatten, durcheinander ohne Änderungen, wie kleine Wellen, die auf der Wasseroberfläche ausgebildet sind. In der letzten sehr wichtigen Eigenschaft zog er jedoch nicht erhebliche Aufmerksamkeit auf.

Die Arbeit von Russell, veröffentlicht 1844 als "Wellenbericht", verursachte eine vorsichtige Reaktion in der Umwelt der Wissenschaftler. Auf dem Kontinent wurde sie überhaupt nicht bemerkt, und in den meisten England stieg sie darauf aufmerksam. Eiri und J.g. Lager. Eyry kritisierte die Ergebnisse von Experimenten, die Russell beobachteten. Er stellte fest, dass aus der Theorie der langen Wellen in feinem Wasser, die Schlussfolgerungen des Russells nicht erhalten werden, und argumentieren, dass lange Wellen die unveränderte Form nicht behalten können. Und befragte letztlich die Richtigkeit der Beobachtung von Russell. Einer der Gründer der modernen Hydrodynamik, George Gabriel Stokecha, stimmte auch mit den Ergebnissen der von Russell erhaltenen Beobachtungen nicht zu, und reagierte kritisch auf die Tatsache der Existenz einer abgelegenen Welle.

Nach einer solchen negativen Haltung gegenüber der Öffnung einer abgelegenen Welle lange Zeit erinnerte sich einfach nicht. Eine gewisse Klarheit bei der Beobachtung von Russell wurde von J. Boussienesk (1872) und J.U. Riney (1876), die unabhängig voneinander eine analytische Formel für die Erhebung einer freien Oberfläche auf Wasser in Form eines Quadrats von hyperbolischer Sektenz fand und die Ausbreitung der Vermehrung einer einsamen Welle auf dem Wasser berechnete.

Später wurden Russells Experimente mit anderen Forschern wiederholt und erhalten Bestätigung.

1.3. Lineare und nichtlineare Wellen

Als mathematische Modelle werden bei der Beschreibung der Ausbreitung von Wellen in verschiedenen Medien häufig Gleichungen in privaten Derivaten verwendet. Dies sind solche Gleichungen, die als unbekannte Derivate auf den Merkmalen des unter Berücksichtigung des Phänomens enthalten. Da das Merkmal (zum Beispiel die Luftdichte, wenn der Ton ausgeschaltet) von der Entfernung zur Quelle und der Zeit abhängt, verwendet die Gleichung nicht eins, und zwei (und manchmal mehr) Derivate in der Gleichung. Eine einfache Wellengleichung hat das Formular

u. tt. = c. 2 u. xx (1.1)

Charakteristische Welle undin dieser Gleichung hängt von der räumlichen Koordinate ab h.und Zeit t. , und Indizes in Variablen undbezeichnen die zweite Ableitung von undrechtzeitig ( u. tt. ) und das zweite Derivat von unddurch Variable. x. (u. xx ). Gleichung (1) beschreibt eine flache eindimensionale Welle, deren Analogin als Welle in der Zeichenfolge dienen kann. In dieser Gleichung als undsie können Luftdichte nehmen, wenn es beispielsweise um die Schallwelle in der Luft kommt. Wenn Sie elektromagnetische Wellen in Betracht ziehen, dann unter undsie sollten die Spannung des elektrischen oder magnetischen Feldes verstehen.

Die Lösung der Wellengleichung (1), die zuerst von ZH. D "Alamber 1748 wurde, hat das Formular

u (x, t) \u003d f (x-ct) + g (x + ct) (1.2)

Hier sind Funktionen f. und g.finde es von den anfänglichen Bedingungen für und.Gleichung (1.1) enthält eine zweite Ableitung von unddurch t. , daher sollte es nach zwei Anfangsbedingungen gefragt werden: Wert undzum t. \u003d 0 und Derivat und,zum t. = 0.

Die Wellengleichung (1.1) hat eine sehr wichtige Eigenschaft, deren Wesen im Folgenden eingeschlossen ist. Es stellte sich heraus, dass, wenn Sie zwei beliebige Lösungen für diese Gleichung einnehmen, ist ihre Menge wieder eine Lösung für dieselbe Gleichung. Diese Eigenschaft spiegelt das Prinzip der Überlösungslösungen der Gleichung (1.1) wider und entspricht der Linearität des Phänomens, das er beschreibt. Für nichtlineare Modelle wird diese Eigenschaft nicht durchgeführt, was zu erheblichen Unterschieden im Prozessablauf in den jeweiligen Modellen führt. Insbesondere aus einem Ausdruck für eine einsame Wellengeschwindigkeit, die von Russell beobachtet wurde, folgt, dass sein Wert von der Amplitude abhängt, und für die durch Gleichung (1.1) beschriebene Welle gibt es keine solche Abhängigkeit.

Direkter Substitution zur Gleichung (1.1) Sie können diese Sucht sicherstellen

u (x, t) \u003d a cos (kx-  t) (1.3)

worin und,k. und  - konstant, wann  =± k. Es ist eine Lösung Gleichung (1). In dieser Entscheidung und -amplitude, k. - Wellenzahl und  - Frequenz. Die reduzierte Lösung ist eine monochromatische Welle, die in einer Phasenrate im Medium trägt

c. p. = (1.4)

In der Praxis ist die monochromatische Welle schwer zu erstellen, und befasst sich in der Regel mit einem Zulb (Package) von Wellen, in dem jede Welle mit seiner Geschwindigkeit gilt, und die Ausbreitungsrate der Verpackung ist durch Gruppengeschwindigkeit gekennzeichnet

C. g. = , (1.5)

durch das Frequenzderivat bestimmt  durch Wellenzahl. k. .

Um zu bestimmen, welches (lineare oder nichtlineare) Modell einen Forscher hat, ist es nicht immer einfach, aber wenn das mathematische Modell formuliert ist, ist die Lösung für diese Frage vereinfacht und die Umsetzung des Prinzips von Überlösungslösungen kann überprüft werden.

Rückkehr in die Wellen auf dem Wasser, beachten wir, dass sie mit bekannten hydrodynamischen Gleichungen analysiert werden können, die bekannt sind, dass sie nichtlinear sind. Daher sind die Wellen auf dem Wasser im allgemeinen Fall nichtlinear. Nur im maximalen Fall kleiner Amplituden können diese Wellen als linear angesehen werden.

Beachten Sie, dass die Ausbreitung des Tons nicht durch die lineare Gleichung beschrieben wird. Ein weiterer Russell, wenn er seine Beobachtungen an einer abgelegenen Welle rechtfertigt, stellte fest, dass der Ton von der Waffenschuß schneller in der Luft spreizt als der Befehl, diesen Schuss zu produzieren. Dies wird dadurch erläutert, dass die Ausbreitung eines leistungsstarken Klangs nicht mehr eine Wellengleichung, sondern durch Gleichungen der Gasdynamik beschrieben wird.

1. Korevega Gleichung - De Fris

Die endgültige Klarheit in dem Problem, das nach Russells Experimenten auf einer abgelegenen Welle entstanden ist, kam nach dem Werk der dänischen Wissenschaftler d.d. KORTEWEGA und G. DE Fens, die versuchten, das Wesen der Beobachtung von Russell zu verstehen. Die Verallgemeinerung der Rayleigh-Methode brachten 1895 diese Wissenschaftler 1895 die Gleichung, um lange Wellen auf dem Wasser zu beschreiben. Corevag und De Fris mit den hydrodynamischen Gleichungen, die als Abweichung betrachtet werden ihr,t. ) auf der Gleichgewichtsposition der Wasseroberfläche in Abwesenheit von Wirbeln und unter der Konstanz der Wasserdichte. Die anfänglichen Annäherungen, die sie machten, waren natürlich. Sie empfehlen auch, dass, wenn die Welle ausbreitet, zwei Bedingungen für dimensionslose Parameter durchgeführt.

= <<1,  = (2.1)

Hier und -wellenamplitude h. - die Tiefe des Pools, in der die Wellen betrachtet werden l. - Wellenlänge (Abb. 1).

Die Essenz der Annäherung war, dass die Amplitude der Betrachtung unter Berücksichtigung viel geringer war als

Feige. 1. Eine abgelegene Welle, die sich durch den Kanal und seine Parameter ausbreitet

die Tiefe des Pools, aber gleichzeitig war die Wellenlänge viel mehr als die Tiefe des Pools. So betrachteten KOReg und De Gebühren lange Wellen.

Die Gleichung, die von ihnen erhalten wurde, hat

u. t. + 6UU. x. + U. xXX = 0. (2.2)

Hier u. (x, t) -abweichung von der Gleichgewichtsposition der Wasseroberfläche (Wellenform) - hängt von der Koordinate ab x. und Zeit t.. Indizes bei den Merkmalen u. bedeuten geeignete Derivate t. und in x. . Diese Gleichung, wie und (1), ist eine Teilderivatgleichung. Studierte charakteristisch für ihn (in diesem Fall u. ) hängt von der räumlichen Koordinate ab x. und Zeit t. .

Lösen Sie die Gleichung dieses Typs - es bedeutet, eine Abhängigkeit zu finden u. von x.und t,nach der Substitution, deren wir in der Gleichung zur Identität kommen werden.

Gleichung (2.2) hat eine Wellenlösung, die vom Ende des letzten Jahrhunderts bekannt ist. Es wird durch eine spezielle elliptische Funktion ausgedrückt, die von Karl Jacobi studiert wurde, der nun seinen Namen trägt.

Unter bestimmten Bedingungen geht die elliptischen Funktionen des Jacobi in hyperbolische Sitzungen und die Lösung hat das Formular

u (x, t) \u003d 2k 2 cH -2 (K (x-4k 2 t) +.  0 } , (2.3)

wo  0 - Willkürliche Konstante.

Die Lösung (8) der Gleichung (7) ist der Begrenzungsfall einer unendlich großen Wellenperiode. Es ist dieser Grenzfall, der eine abgelegene Welle ist, die der Beobachtung von Russell 1834 entspricht.

Die Lösung (8) der Korteweg-de-Fris-Gleichung ist eine Laufwelle. Dies bedeutet, dass es von der Koordinate abhängt x. und Zeit t. durch die Variable  = x. - c. 0 t. . Diese Variable kennzeichnet die Position des Koordinatenpunkts, der sich an der Wellengeschwindigkeit C0 bewegt, dh die Position des Beobachters, der ständig auf dem Kamm der Welle ist. Somit hat die Korteweg-de Fris-Gleichung im Gegensatz zur Lösung von D "Alamber (1.2) der Wellenlösung (1.1) eine Welle, die sich nur in eine Richtung ausbreitet. Es berücksichtigt jedoch die Manifestation komplexerer Wirkungen Aufgrund zusätzlicher Bedingungen. uu. x. und u. xXX .

In der Tat ist diese Gleichung auch in der Nähe, da mit seiner Ausgabe kleine Parameter (2.1) verwendet werden  und . Wenn Sie den Einfluss dieser Parameter vernachlässigen, werden wir sie auf Null stellen, erhalten wir einen der Teile der Entscheidung d "Alamber.

Wenn die Gleichung von der Gleichung für lange Wellen auf dem Wasser abgeleitet wird, kann der Effekt der Parameter E und 6 genauer berücksichtigt werden, aber dann wird die Gleichung erhalten, die viel mehr als die Ausdrücke enthält als die Gleichung (2.2) und mit Derivaten höherer Ordnung. Daraus folgt, dass die Lösung der Korteweg de Fris-Gleichung zur Beschreibung der Wellen nur in einem bestimmten Abstand vom Ort der Bildung der Welle und in einem bestimmten Zeitraum gültig ist. In sehr großen Entfernungen werden nichtlineare Wellen nicht mehr von der Korteweg de Fris beschrieben, und um den Prozess zu beschreiben, ist ein genaueres Modell erforderlich. Die Korteweg-de Fris-Gleichung in diesem Sinne sollte als bestimmte Annäherungen (mathematisches Modell) betrachtet werden, das einem gewissen Genauigkeit des echten Wirkstoffprozesses der Ausbreitung von Wellen auf Wasser entspricht.

Mit einem speziellen Ansatz kann man sicherstellen, dass das Prinzip der Überlösungen von Lösungen für die Korteweg de Fris-Gleichung nicht durchgeführt wird, und daher ist diese Gleichung nichtlinear und beschreibt nichtlineare Wellen.

2.1. Solitons Korteweg - de Fris

Derzeit erscheint es seltsam, dass die Eröffnung von Russell und seiner anschließenden Bestätigung in der Arbeit von Korteweg und De Fries keine spürbare Resonanz in der Wissenschaft erhielt. Diese Werke wurden fast 70 Jahre vergessen. Einer der Autoren der Gleichung, d.d. Corevan, lebte ein langes Leben und war ein berühmter Wissenschaftler. In diesem Jahr 1945 feierte die wissenschaftliche Gemeinschaft sein 100-jähriges Bestehen, dann war die Arbeit der besten Publikationen, die Arbeit, die ihm mit De Fridien, nicht einmal bedeuten. Die Compiler der Liste betrachten diese Arbeit der Cherevega von nicht wertem Aufmerksamkeit. Erst nach einem weiteren Vierteljahrhundert war es diese Arbeit, die anfing, als die wichtigste wissenschaftliche Errungenschaft von Korteweg zu betrachten.

Wenn Sie jedoch darüber nachdenken, wird eine solche Unaufmerksamkeit zu einer abgelegenen Welle Russell klar. Tatsache ist, dass diese Entdeckung aufgrund seiner Spezifität lange Zeit ziemlich privat angesehen wurde. Tatsächlich schien die physische Welt zu diesem Zeitpunkt linear und das Prinzip der Überlagerung galt als einer der grundlegenden Prinzipien der meisten physischen Theorien. Daher gab keiner der Forscher der Entdeckung einer exotischen Welle auf dem Wasser der schweren Bedeutung.

Die Rückkehr zur Entdeckung einer abgelegenen Welle auf dem Wasser trat in einem gewissen Grad versehentlich auf, und zunächst schien es, dass es keine Beziehung zu ihm gab. Der Täter dieser Veranstaltung war der größte Physiker unseres Jahrhunderts Enrico Fermi. 1952 bat Fermi zwei junge Physiker S. Ulama und D. Pasta, eine der nichtlinearen Aufgaben auf dem Computer zu lösen. Sie sollten Schwankungen in 64 Gewichten berechnen, die miteinander verbunden sind, die miteinander verbunden sind, die mit einer Abweichung von der Gleichgewichtsposition auf  l. erwarb eine Rückkehrkraft gleich k.  l. + A.( l. ) 2. Hier k. und eIN. - Permanentkoeffizienten. In diesem Fall wurde das nichtlineare Zusatzstoff als klein angenommen, als er mit der Hauptkraft klein ist k.  l. . Durch die Erstellung der anfänglichen Oszillation wollten die Forscher sehen, wie diese elementare Mode auf alle anderen Mods verteilt wird. Nach den Berechnungen dieser Aufgabe erhalten sie nicht das erwartete Ergebnis, fanden jedoch, dass die Energiepumpe in zwei oder drei Mods in der Anfangsphase der Berechnung wirklich auftritt, aber dann wird eine Rückkehr in den Anfangszustand beobachtet. Dieses Paradoxon, das mit der Rückkehr der anfänglichen Oszillation verbunden ist, war an mehrere Mathematiker und Physiker bekannt. Insbesondere erfahren amerikanische Physiker M. Kruskal und N. Zabasca über diese Aufgabe, der beschlossen hat, Rechenversuche mit dem von Fermi vorgeschlagenen Modell fortzusetzen.

Nach Berechnungen und Suchen nach Analogien stellten diese Wissenschaftler fest, dass die Gleichung, die von Fermi, Teigwaren und Ulam verwendet wurde, mit einer Abnahme der Entfernung zwischen den Gewichten und einem unbegrenzten Wachstum ihrer Zahl an die Korteweg de Fris-Gleichung geht. Das ist im Wesentlichen die von Fermi vorgeschlagene Aufgabe auf eine numerische Lösung der 1895 vorgeschlagenen Korteweg de Fris-Gleichung, um eine einsame Welle Russells zu beschreiben. In etwa derselben Jahre wurde gezeigt, dass auch Ionen-Schallwellen im Plasma beschreibt, der Korteweg de Fris auch verwendet wird. Dann wurde klar, dass diese Gleichung in vielen Gebieten der Physik gefunden wird, und daher ist eine einsame Welle, die durch diese Gleichung beschrieben wird, ein weit verbreiteter Phänomen ist.

Weiterführende Rechenexperimente zur Modellierung der Ausbreitung solcher Wellen, krumpt und der Aufpreis betrachteten ihre Kollision. Lassen Sie uns über die Diskussion dieser wundervollen Tatsachen wohnen. Angenommen, es gibt zwei einsame Wellen, die von der Korteweg-de Fris-Gleichung beschrieben sind, die sich in Amplituden unterscheiden und in eine Richtung in eine Richtung bewegen (Abb. 2). Von der Formel für abgelegene Wellen (8) folgt, dass die Bewegungsgeschwindigkeit solcher Wellen höher ist als ihre Amplitude, und die Spitzenbreite nimmt mit zunehmender Amplitude ab. So bewegen sich hohe abgelegene Wellen schneller. Eine Welle mit einer größeren Amplitude wird die von vorne bewegende Welle mit einer kleineren Amplitude aufholen. Als nächstes bewegen sich zwei Wellen als Ganzes zusammen und interagieren miteinander, und dann werden sie getrennt. Das wundervolle Eigentum dieser Wellen ist das nach seiner Interaktionsform und

Feige. 2. Zwei Solitonen, die von der Korteweg de Fris-Gleichung beschrieben werden,

vor der Interaktion (an der Spitze) und nach (unten)

die Geschwindigkeit dieser Wellen wird wiederhergestellt. Beide Wellen, nachdem die Kollision nur für eine bestimmte Entfernung verlagert, verglichen, wie sie sich ohne Interaktion bewegten.

Der Prozess, in dem nach dem Wechselwirkung der Wellen, der Form und der Geschwindigkeit bleiben, ähnelt der elastischen Kollision zweier Partikel. Daher wurden KRUSKAL und Zabascus solche abgelegenen Wellen als Solitonen genannt (aus dem Englischen. Einzelgesellig - abgelegen). Dies ist ein besonderer Name von einsamen Wellen, einem Konsonantenelektron, einem Proton und vielen anderen Elementarteilchen, die derzeit allgemein akzeptiert werden.

Einsame Wellen, die nach Russell offen waren, und verhalten sich in der Tat wie Partikel. Eine große Welle geht nicht durch eine kleine Interaktion. Wenn abgelegene Wellen in Kontakt kommen, verlangsamt sich die große Welle herunter und verringert sich, und die Welle, die klein war, ist dagegen beschleunigt und wächst. Und wenn eine kleine Welle bis zu der Größe eines großen und großen Abneigungen auf die Größe von kleinen wächst, werden Solitons getrennt und der größere geht nach vorne. So verhalten sich Solitons wie elastische Tennisbälle.

Wir geben die Definition von Soliton. Solitoneine nichtlineare einsame Welle wird aufgerufen, die seine Form und ihre Geschwindigkeit mit seiner eigenen Bewegung behält und mit selbst ähnlichen Abgeschiedenheiten ähnlich, dh eine nachhaltige Ausbildung ist. Das einzige Ergebnis der Wechselwirkung von Solitons kann eine Phasenverschiebung sein.

Die mit der Korteweg-de Frisi-Gleichung verbundenen Entdeckungen endeten nicht mit der Entdeckung von Soliton. Der nächste wichtige Schritt, der sich auf diese wunderbare Gleichung bezieht, bestand darin, eine neue Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen in privaten Derivaten zu schaffen. Es ist bekannt, dass das Finden von Lösungen nichtlinearer Gleichungen sehr schwierig ist. Bis in die 60er Jahre unseres Jahrhunderts wurde angenommen, dass solche Gleichungen nur einige bestimmte Lösungen haben könnten, die die speziell festgelegten Anfangsbedingungen erfüllen. Die Korteweg de Fris-Gleichung und in diesem Fall erwies sich jedoch als in außergewöhnlicher Position.

1967 amerikanische Physiker K.s. Gardner, J.m. Grün, M. KRUSKAL und R. Miura zeigten, dass die Lösung der Korteweg de Fris-Gleichung grundsätzlich für alle anfänglichen Bedingungen erhalten hat, was auf einen bestimmten Weg auf Null in dem Wunsch der Koordinaten in Unendungen aufwendig gelten. Sie nutzten die Umwandlung der KORTEWEG - DE FRIS-Gleichung an das System von zwei Gleichungen namens Lax Pair (namens American Mathematics Peter Lax, das einen großen Beitrag zur Entwicklung der Solitortheorie leistete, und entdeckte eine neue Methode zur Lösung eines Anzahl der sehr wichtigen nichtlinearen Gleichungen in privaten Derivaten. Diese Methode wurde als Methode des inversen Streuproblems bezeichnet, da sie die Lösung der Aufgabe der Quantenmechanik erheblich nutzt, um das Potenzial entsprechend den Streuungsdaten wiederherzustellen.

2.2. Gruppe Soliton.

Oben, sagten wir, dass in der Praxis die Wellen in der Regel von Gruppen verteilt werden. Solche Gruppen von Wellen auf dem Wasser, die von der Zeit einheimisch beobachteten. Auf der Frage, warum für Wellen auf dem Wasser so typisch für die "Herden" der Wellen ist, gelang es mir, Benjan und J. Feyer nur 1967 zu beantworten. Theoretische Berechnungen, sie zeigten, dass eine einfache periodische Welle auf tiefem Wasser instabil ist (jetzt wird dieses Phänomen die Entzündung des BENEMYMAN-FAEIERS genannt), und daher sind Wasserwellen aufgrund der Instabilität in Gruppen unterteilt. Die Gleichung, mit der die Verteilung der Gruppen von Wellen auf Wasser beschrieben wird, v.e. Zakharov im Jahr 1968. Zu diesem Zeitpunkt war diese Gleichung bereits in der Physik bekannt und war der Name der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung. 1971 v.e. Zakharov und A. B. Shabby zeigte, dass diese nichtlineare Gleichung eine Lösung auch in Form von Solitonen hat, außerdem die nichtlineare Schrödinger-Gleichung sowie die Korteweg de Fris-Gleichung, von der inversen streuenden Aufgabe integriert werden kann. Die Solitonen der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung unterscheiden sich von dem Korteweg de Fris, der über der Tatsache diskutiert wurde, dass sie der Form des Umschlags der Wellengruppe entsprechen. Äußerlich ähneln sie modulierte Funkwellen. Diese Solitonen werden als Gruppe Solitone genannt und manchmal mit rollenden Solitonen. Dieser Name spiegelt die Haltbarkeit in der Wechselwirkung der Hülle des Wellenpakets (ein Analogon der in Fig. 1 gezeigten gestrichelten Linie) wider, obwohl die Wellen der Hüllkurve mit einem anderen Geschwindigkeit als der Gruppe bewegt werden. In diesem Fall wird die Form der Hüllkurve beschrieben

Feige. 3. Beispiel für Gruppe Soliton (Mitgift)

sucht

a (x, t) \u003d a 0 cH -1 (
)

wo undund - amplitude, A. l. - halbe Solitongröße. Normalerweise liegt unter der Hülle des Solitons 14 bis 20 Wellen, und die durchschnittliche Welle ist der größte. Eine bekannte Tatsache ist damit verbunden, dass die höchste Welle in der Gruppe auf Wasser zwischen dem siebten und zehnten (neunten Welle) liegt. Wenn in der Wellengruppe eine größere Welle gebildet wurde, wird er auf mehrere Gruppen zerfallen.

Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung sowie die Korteweg-de FRIS-Gleichung ist auch weit verbreitet, wenn Sie die Wellen in verschiedenen Feldern der Physik beschreiben. Diese Gleichung wurde 1926 von einem hervorragenden österreichischen Physiker E. Schrödinger zur Analyse der grundlegenden Eigenschaften von Quantensystemen vorgeschlagen und wurde ursprünglich bei der Beschreibung der Wechselwirkung von intraindustriellen Partikeln eingesetzt. Die generalisierte oder nichtlineare Schrödinger-Gleichung beschreibt den Satz von Phänomenen in der Physik von Wellenprozessen. Zum Beispiel wird verwendet, um den Effekt der Selbstfokussierung zu beschreiben, wenn er einem leistungsstarken Laserstrahl auf einem nichtlinearen dielektrischen Medium ausgesetzt ist und die Ausbreitung nichtlinearer Plasmawellen beschreibt.

3. Erklärung der Aufgabe

3.1. BESCHREIBUNG des Modells. Es wird derzeit beobachtet, dass die Interesse an der Untersuchung nichtlinearer Wellenprozesse in verschiedenen Gebieten der Physik (z. B. in Optik, Plasmaphysik, Radiophysik, Hydrodynamik usw.) wesentlich steigend ist. Um die Wellen der kleinen, aber endlichen Amplitude in Dispersionsmedien als Modellgleichung zu studieren, wird die Korteweg-de-Frize-Gleichung (CDF) häufig verwendet:

u.t. + IIh. +  undxXX = 0 (3.1)

Die KDF-Gleichung wurde verwendet, um Magnetosonic-Wellen zu beschreiben, die streng über dem Magnetfeld oder bei Winkeln nahe .

Die Hauptannahmen, die in der Ausgabe der Gleichung erfolgen: 1) kleine, aber Endamplitude, 2) Die Wellenlänge ist im Vergleich zur Dispersionslänge groß.

Die Auswirkung der Effekt der Nichtlinearität kann die Dispersion in einem Dispersionsmedium mit stationären Wellen der Endamplitude - einsam und periodisch bilden. Einsame Wellen für die KDF-Gleichung, nachdem die Arbeit Solitons genannt wurde. Periodische Wellen tragen den Namen der Quarkwellen. Die entsprechenden Formeln für ihre Beschreibung sind angegeben.

3.2. Die Formulierung einer differentiellen Aufgabe. In der Arbeit ist die numerische Lösung des Cauchy-Problems für die Korteweg-de-Frise-Gleichung mit periodischen Bedingungen im Raum in einem Rechteck Q T. ={(t. , x. ):0< t. < T. X. [0, l. ].

u.t. + IIh. +  undxXX = 0 (3.2)

u (x, t) | x \u003d 0. \u003d U (x, t) | x \u003d L. (3.3)

mit dem anfänglichen Zustand

u (x, t) | T \u003d 0 \u003d u 0 (x) (3.4)

4. Eigenschaften der Korteweg-de-Frise-Gleichung

4.1. Eine kurze Übersicht der Ergebnisse durch die KDF-Gleichung. Cauchy für die CDF-Gleichung für verschiedene Annahmen relativ u. 0 (x)in vielen Werken betrachtet. Die Aufgabe der Existenz und der Einzigartigkeit der Lösung mit den Frequenzbedingungen als Randbedingungen wurde in Betrieb mit dem Verfahren von endlichen Unterschieden gelöst. Später wurden mit weniger starken Annahmen, Existenz und Einzigartigkeit im Artikel im Raum L  (0, T, HS (R 1)), wobei S\u003e 3/2 und im Falle eines periodischen Problems - in der Raum L  (0, t, h  (c)), wobei C ein Längenkreis ist, der dem Zeitraum in Russisch in Russisch ist, werden diese Ergebnisse im Buch dargestellt.

Der Fall ist, wenn jede Glätte der anfänglichen Funktion nicht angenommen wird u. 0  L. 2 (R. 1 ) , in der Arbeit überprüft. Das Konzept einer allgemeinen Problemlösung (3.2), (3.4) wird eingeführt, wobei die Existenz einer generalisierten Lösung eingerichtet ist und(t. x)  L.  (0, T. , L. 2 (R. 1 )) Im Falle einer beliebigen anfänglichen Funktion u 0  L. 2 (R. 1 ) ; dabei und(t. x) L. 2 (0, t; h -1 (- r. , r. )) für jeden r\u003e 0.und wenn für einige  > 0 (x.  u. 0 2 (x. ))  L. 1 (0,+  ) T.

(4.1)

Mit dem Berufung des linearen Teils der Gleichung mit einer grundlegenden Lösung G. (T, x) relevanter linearer Bediener
Die Klasse der Richtigkeit des Problems (3.2), (1.4) wird eingeführt, und die Einzigartigkeitsstrukturen und die kontinuierliche Abhängigkeit der Lösungen dieser Aufgabe aus den anfänglichen Daten werden festgelegt. Die Regelmäßigkeit der allgemeinen Lösungen wird ebenfalls untersucht. Eines der Hauptergebnisse ist eine ausreichende Bedingung für das Vorhandensein von kontinuierlichem Auf dem Helder t. > 0 Derivat
in Bezug auf das Vorhandensein von Momenten für die anfängliche Funktion für jeden k. und l. .

Das Cauchy-Problem für die KDF-Gleichung wurde auch durch die Methode der in der Arbeit vorgeschlagenen inversen Streuaufgabe untersucht. Mit dieser Methode wurden die Ergebnisse auf dem Vorhandensein und der Glättheit von Lösungen mit ziemlich schnell abnehmenden Anfangsfunktionen erhalten, insbesondere das Ergebnis der Solvabilität des Problems (3.2), (3.4) im Raum C.  (O, t; s (r 1 )) .

Die umfassendste Überprüfung der modernen Ergebnisse der KDF-Gleichung finden Sie in.

4.2. Erhaltungsgesetze für die KDF-Gleichung.Wie bekannt, für die KDF-Gleichung gibt es eine unendliche Anzahl von Gesetzen, die beibehalten werden. Das Papier bietet einen strengen Nachweis dieser Tatsache.In Arbeiten wurden verschiedene Erhaltungsgesetze verwendetdie integralen Satzungen des Vorhandenseins der Lösung von Problem (3.2), (3.4) von den relevanten Räumen.

Wir werden den Rückzug der ersten drei Erhaltungsgesetze für denonstrierencauchy Cauchy. R. 1 und periodische Aufgabe.

Um das erste Erhaltungsgesetz zu erhalten, reicht dies ausmahlen Sie Gleichungen (3.2) auf einer räumlichen Variablen. Halbchim:

daher das erste Erhaltungsgesetz:

Hier in der qualität.eIN. und b. Führen Sie +  und -  für das Cauchy-Problem aus und die Grenzen der Hauptperiode für die periodische Aufgabe. deshalbdie zweite und dritte Begriffe beziehen sich auf 0.

(4.2)

Um das zweite Erhaltungsgesetz zu bringen, um das Gleichgewicht zu multiplizieren(3.2) auf 2 u. (T, x) und in die räumliche RE integrieren. Dann mit der Integrationsformel in Teilen des Bodenschim:

aber aufgrund der "Rand" -Ver-Bedingungen jedoch alle Begriffe außer dem ersten wiederreduzieren

Somit hat das zweite integrierte Konservierungsgesetz das Formular:

(4.3)

Um das dritte Erhaltungsgesetz mitzunehmen, müssen Sie unsere Gleichung (3.2) auf multiplizieren (und 2 + 2  und xx ), also bekommen wir:

Nach dem Auftragen mehrmals Integration in Teile werden die dritte und vierte Integrale reduziert. Zweiter und dritter Sinnmein verschwindet aufgrund von Randbedingungen. Somit aus dem erstenintegral Wir bekommen:

was ist gleichwertig?

Und dies ist das dritte Erhaltungsgesetz für Gleichung (3.2).Unter der physischen Bedeutung der ersten beiden integrierten Gesetze mitdie Lagerung in einigen Modellen kann die Gesetzesgesetze verstehender Puls und die Energie, für die dritte und anschließende Erhaltunggesetze, ist der körperliche Sinne bereits schwieriger, es zu charakterisieren, sondern aus der Sicht der Mathematik, sondern auch zusätzliche Informationen über die Entscheidung, die dann verwendet wird, um die Theorems zu veräußern der Existenz und der Einzigartigkeit der Entscheidung, das Studium seiner Eigenschaften und der Rücknahme von Priori-Schätzungen.

5. Unterschiedsschemata zur Lösung der KDF-Gleichung

3.1. Bezeichnungen und Einstellen einer Differenzaufgabe.Im Gebiet ={( x. , t. ):0  x.  l. ,0  t.  T. } in der üblichen Weise eingeführteinheitliche Gitter wo

Wir stellen linearer Raum ein h. Gitterfunktionen, die auf dem Raster definiert sind
mit Werten in Gitterknoteny. iCH. = y. h. ( x. iCH. ). Vordergrund es wird angenommen, dass die Frequenzbedingungen erfüllt sind.y. 0 = y. N. . Außerdem das glaubt offizielly. iCH. + N. = y. iCH. zum iCH.  1 .

Wir führen ein Skalarprodukt im Weltraum ein  h.

(5.1)

Wir liefern den linearen Raum P / G Norm:

Da im Weltraum h. besteht aus periodischen Funktionen, danndieses skalare Produkt entspricht einem Skalarprodukt.nei:

Wir werden Unterschiedsschemata für Gleichung (3.2) an einem Gitter mit periodischen Randbedingungen aufbauen. Wir brauchen Bezeichnungen von Unterschiedsnäherungen. Wir stellen sie vor.

Wir verwenden Standardbezeichnungen zum Lösen der Gleichung am nächsten (n.-M) Temporäre Schicht, das ist

Wir führen Notation für Differenzanzeigen von Derivaten ein.Zum ersten Mal derivative:

Ähnlich dem ersten Derivat im Weltraum:

Nun führen wir Notation für die zweiten Derivate ein:

Das dritte räumliche Derivat wird wie folgt angenähert:

Wir brauchen auch Annäherungen von 2 wir bezeichnenbrief Q Und wir stellen wie folgt vor:

(5.2)

Um die Gleichung auf dem Boden der gesamten Schichten aufzunehmen, werden wir verwendenausgewogene Annäherung, d. H.

mit Ausnahme der Annäherungw. 2 Auf der semi-ganzen Schicht. Hiereine der möglichen Annäherungenw. 2 auf der Halbölschicht:

Kommentar 2. Es lohnt sich, dafür zu bemerken 1 gleichheit wird durchgeführt:

Definition 1. Nach dem Unterschiedsschema für die KDF-Gleichungwir werden den Konservativen anrufen, wenn ein Gitter vorliegtanaloges des ersten integrierten Naturschutzgesetzes, fair

Definition 2. Nach dem Differenzschema für die KDF-Gleichung wird aufgerufenL.2 -Conservatory, wenn das Gitter dafür auftrittanaloges des zweiten Integral-Konservierungsgesetzes, gültiggehen Sie für eine differentielle Aufgabe.

5.2. Explizite Unterschiedsschemata (Überprüfung).Beim Bau einer Zeitwedlow-Systeme konzentrieren sich auf den einfachen Unterschiedschema von der Arbeit für die linearisierte CDF-Gleichung, diepoe bewahrt die Eigenschaften der KDF-Gleichung selbst im Sinne der ersten beidenerhaltungsgesetze.

(5.3)

Wir erforschen das Schema (5.4) über die Eigenschaften des Konservatismus. Siedas gesamte Konservierungsgesetz ist offensichtlich. Ziemlich einfachmultiplizieren Sie diese Gleichung, ist skalar zu 1. Dann die zweite und dritte Herausforderungdie Schemata (5.4) geben 0, und vom ersten wird der erste bleiben:

(5.4)

Dies ist ein Gitteranalogon des ersten Erhaltungsgesetzes.

Um das zweite Gesetz der Erhaltung zu bringen, um die Skalare zu multiplizieren(5.3) auf 2  y. Wir kommen zur Energieidentität

(5.5)

Das Vorhandensein von negativem Ungleichgewicht spricht nicht nur nicht vollständigdas einschlägige Erhaltungsgesetz, aber auch die Frage der Stabilität des Systems in der schwächsten Norm in Frage gestelltL. 2 (). ) - In diesem Zeitpunkt wird gezeigt, dass die Schemata der Familie (3.18) sindabsolut instabil normal.L. 2 ().

Derzeit die beliebtesten Schemata für die GleichungCDF wird aufgrund ihrer Einfachheit, der Genauigkeit und als dreischichtige Regelung betrachtetannehmlichkeiten

(5.6)

Dasselbe Schema kann als explizite Formel dargestellt werden.

Das einfachste dreischichtige Schema ist das folgende Schema:

Dieses Schema wurde verwendet, um die ersten numerischen Lösungen des CDF zu erhalten. Dieses Schema nähert sich der differenziellen Aufgabe mit der Reihenfolge von O ( 2 +. h. 2 ). Nach dem Schema ist eschina, wenn Sie den Zustand ausführen (bei Small B):

Wir geben ein paar weitere Systeme. Dreilagiges explizites Schema mit Bestellungwem NäherungÖ. (  2 + h. 4 ) :

Das dritte Ableitung im Raum wird an sieben angenähertpunkt-Vorlage, und der erste ist fünf Punkte gebaut. Gemäßdieses Schema ist stabil, wenn der Zustand erfüllt ist (bei kleinem)h. ):

Es ist leicht zu sehen, dass für dieses Schema mit einer höheren Reihenfolge der Annäherung die Stabilitätsbedingung starrer ist.

Das Papier schlägt das folgende explizite Unterschiedsschema mitverfahren zur Annäherung o ( 2 +. h. 2 ) :

(5.8)

Da kann die Differenzgleichung (5.8) in dem divergierenden aufgenommen werdenfilm

dann skalarisch mit der Gleichung (5.9) von 1 multipliziert, erhalten wir

folglich wird das Verhältnis durchgeführt:

was als Gitteranalogon des ersten Gesetzes betrachtet werden kann. Somit ist das Schema (5.8) konservativ. IMes ist bewiesen, dass das Schema (5.8) istL. 2 -Conservative und seine Entscheidungerfüllt das Gitteranalogon des Integral-Erhaltungsgesetzes

5.3. Implizite Unterschiedsschemata (Überprüfung).In diesem Absatz wirbetrachten Sie implizite Unterschiedsschemata für die Korteweg-de-Frize-Gleichung.

Die Variante der zweischichtigen Schaltung - implizit absolut stabiler Schemama mit der Reihenfolge der Annäherung oh ( 2, h. 4 ) :

Die Lösung des Unterschiedsschemas (3.29) wird mit sieben d berechnetjagonaler zyklischer Rang. Frage nach Konservatismusdieses Schema wurde nicht untersucht.

Das Papier schlägt ein implizites dreischichtiges Schema mit Gewichten vor:

(5.10)

Unterschiedsschema (5.10) mit periodischen Lösungen, konservativ,L.2 -Wintergarten =1/2 und  =1/4 Für Sie lösungen haben ein Gitteranaloga von Integralerhaltungsgesetze.

6. Numerische Lösung

Die numerische Lösung für (3.2), (3.3), (3.4) wurde mit einem expliziten Schema durchgeführt

Die anfängliche Begrenzungsaufgabe im Segment wurde gelöst. Als anfängliche Bedingungen wurde die Funktion ergriffen

u 0 (X) \u003d SIN (X).

Eine explizite erhielt eine Lösung.

Das Berechnungsprogramm wurde in Turbo Pascal 7.0 geschrieben. Der Text der Hauptteile des Programms ist beigefügt.

Die Berechnungen wurden auf einem Rechengerät mit AMD -K 6-2 300 MHz-Prozessor mit 32 -Technologie!

7. Schlussfolgerung

Dieses Papier ist dem Studium der Korteweg-de-Frise-Gleichung gewidmet. Eine umfangreiche literarische Überprüfung des Forschungsthemas wurde durchgeführt. Es wurden verschiedene Unterschiedeschemata für die KDF-Gleichung untersucht. Praktisches Konto mit einem expliziten Fünf-Punkt-Unterschiedsschema

Da die Analyse literarischer Quellen zeigte, sind offensichtliche Systeme zur Lösung der KDF-Typen am besten anwendbar. In diesem Beitrag wurde auch die Lösung mit einem expliziten Schema erhalten.

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Solitons sind von unterschiedlicher Art:

Mathematisches Modell

CoreEwega-Gleichung - de Frise

Eine der einfachsten und bekanntesten Modelle, die das Vorhandensein von Solitonen in der Lösung ermöglicht, ist die Korteweg-de-Frise-Gleichung:

u_t - 6 u u_x + u_ (xxx) \u003d 0

Eine der möglichen Lösungen dieser Gleichung ist ein solitäres Soliton:

$u\; (x,\; t)\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (2\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2)\; (\backslash \backslash \; mathrm\; (ch)\; ^\; 2\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; varkappa\; (x-4\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2\; t-\backslash \backslash \; varphi))$

wo $2\; \backslash \backslash \; Varkappa\; ^\; 2$ - Soliton Amplitude, $\backslash \backslash \; Varphi.$ - Phase. Die effektive Breite der Basis des Solitons ist gleich $\backslash \backslash \; Varkappa\; ^\; (-\; 1)$. Solche Soliton bewegt sich mit Geschwindigkeiten $v\; \backslash u003d\; 4\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2$. Es ist zu sehen, dass Solitonen mit einer großen Amplitude, die sich als schmaler erweisen und sich schneller bewegen können.

In einem allgemeineren Fall kann gezeigt werden, dass es eine Klasse von Multi-Core-Lösungen gibt, wie asymptotisch $t\; \backslash \backslash \; bis\; \backslash \backslash \; pm\; \backslash \backslash \; fanty$ Die Lösung zerfällt in mehrere entfernte einzelne Solitchen, die sich mit paar verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen. Die gesamte n-soliton-Lösung kann als geschrieben werden

$u\; (x,\; t)\; \backslash u003d\; -2\; \backslash \backslash \; frac\; (d\; ^\; 2)\; (dx\; ^\; 2)\; \backslash \backslash \; ln\; \backslash \backslash \; det\; a\; (x,\; t)$

wo die Matrix ist $A\; (x,\; t)$ Gibt einen Ausdruck

$A\_\; (NM)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; DELTA\_\; (NM)\; +\; \backslash \backslash \; FRAC\; (\backslash \backslash \; BETA\_N)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; mathrm\; (e)\; ^\; (8\; \backslash \backslash \; varkappa\_n\; ^\; 3\; t\; -\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; x)$

Hier $\backslash \backslash \; beta\_n,\; n\; \backslash u003d\; 1,\; \backslash \backslash \; dots,\; n$ und $\backslash \backslash \; varkappa\_n\backslash u003e\; 0,\; n\; \backslash u003d\; 1,\; \backslash \backslash \; Punkte,\; n$ - beliebige echte Konstante.

Das wunderbare Anwesen von multipolitischen Lösungen ist reflektierend: In der Untersuchung der entsprechenden eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

$-\; \backslash \backslash \; partial\; ^\; 2\_x\; \backslash \backslash \; psi\; (x)\; +\; u\; (x)\; \backslash \backslash \; psi\; (x)\; \backslash u003d\; e\; \backslash \backslash \; psi\; (x)$

mit Potential $u\; (x)$abnehmend bei der Unendlichkeit schneller als $|\; x\; |\; ^\; (-\; 1-\; \backslash \backslash \; VAREPSILON)$Der Reflexionskoeffizient ist 0, wenn und nur, wenn das Potenzial eine vielseitige Lösung der KDF-Gleichung ist zu einem bestimmten Zeitpunkt $t.$.

Die Interpretation von Solitonen, da einige elastische interagierende Quasistartikel auf der folgenden Eigenschaft von Lösungen der KDF-Gleichung basieren. Lasst den $t\; \backslash \backslash \; to\; -\; \backslash \backslash \; Infty$ Die Lösung hat eine asymptotische Art $N.$ Solitons, dann wann $t\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; fanty$ Es hat auch $N.$ Solitonen mit den gleichen Geschwindigkeiten, aber andere Phasen, und viele Stunden Interaktionseffekte sind völlig abwesend. Dies bedeutet, dass die volle Phasenverschiebung $k.$- SOLITHONA RAVENNA.

$\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\_k\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; sum\; \_\; (\backslash \backslash \; stackel\; (n\; \backslash u003d\; 1)\; (n\; \backslash \backslash \; ne\; k))\; ^\; (n)\; \backslash \backslash \; delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (nk)$

Lassen $n.$Soliton bewegt sich schneller als $m.$, dann

$\backslash \backslash \; DELTA\; \backslash \backslash \; VARPHI\; ^\; (+)\; \_\; (n)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; DELTA\; \backslash \backslash \; VARPHI\_\; (kN)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n)\; \backslash \backslash \; l\; \backslash \backslash \; l\; \backslash \backslash \; l\; \text{'}links\; |\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n-\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; Right\; |$ $\backslash \backslash \; DELTA\; \backslash \backslash \; VARPHI\; ^\; (-)\; \_\; (k)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; DELTA\; \backslash \backslash \; VARPHI\_\; (NK)\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; l\; \backslash \backslash \; Links\; |\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n-\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; Right\; |$

das heißt, eine schnellere Soliton-Phase in einer doppelten Kollision steigt um $\backslash \backslash \; DELTA\; \backslash \backslash \; VARPHI\; ^\; (+)\; \_\; (n)$und die Phase ist langsamer - nimmt ab $\backslash \backslash \; DELTA\; \backslash \backslash \; VARPHI\; ^\; (-)\; \_\; (k)$Darüber hinaus ist die Gesamtverschiebung der Soliton-Phase nach der Wechselwirkung gleich der Menge an Phasenverschiebungen von einer Paare-Wechselwirkung mit einem anderen Soliton.

Nichtlineare Schredginger-Gleichung.

wenn der Parameter gültig ist $\backslash \backslash \; Nu\backslash u003e\; 0$ Einsame Wellen sind erlaubt:

$\backslash \backslash \; links\; (x,\; t\; \backslash \backslash \; rechts)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; linke\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (2\; \backslash \backslash \; alpha)\; (\backslash \backslash \; nu))\; \backslash \backslash \; richtig)\; \backslash \backslash \; mathrm\; (CH)\; ^\; (-\; 1)\; \backslash \backslash \; links\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; alpha)\; )\; (X\; -\; UT)\; \backslash \backslash \; RECHTS)\; E\; ^\; (i\; (r\; x-st)),$

wo $r,\; s,\; \backslash \backslash \; alpha,\; u$ - Einige dauerhafte Verhältnisse:

$U\; \backslash u003d\; 2r.$ $s\; \backslash u003d\; r\; ^\; 2-\; \backslash \backslash \; alpha$

siehe auch

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Anmerkungen

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Soliton Auszug

Soliton- Dies ist eine abgelegene Welle in Umgebungen verschiedener physischer Natur, die seine unveränderliche Form und Geschwindigkeit bei der Verteilung bewahrt. Das Englisch. Einsame - abgeschiedene (einsame Welle ist eine abgelegene Welle), "-On" - ein typisches Ende der so dieser Art (zum Beispiel eines Elektrons, Photons usw.), dh der Analyse eines Partikels.

Das Konzept von Soliton wurde 1965 von den Amerikanern mit einer normalen Kommission und Martin Kruskal eingeführt, aber die Eröffnung der Ehre der Entdeckung von Soliton wird dem britischen Ingenieur John Scott Russell (1808-1882) zurückgeführt. Im Jahr 1834 erhielten sie zuerst eine Beschreibung der Beobachtung von Soliton ("große abgelegene Welle"). Zu dieser Zeit studierte Russell die Bandbreite der Canal Union Plisis Edinburgh (Schottland). So sprach der eröffnete Autor selbst über ihn: "Ich folgte der Bewegung des Lastkahns, den ich schnell in den schmalen Kanal ein paar Pferde ziehe, als der Lastkahn unerwartet angehalten wurde; Aber die Masse des Wassers, der zum Umzug leitete, stoppte nicht; Stattdessen sammelte sie sich in der Nähe der Nase des Schiffes in einem Zustand der verrückten Bewegung, dann ließ ihn unerwartet zurück und ritt mit einer riesigen Geschwindigkeit und nahm die Form einer großen einzelnen Erhebung an, d. H. Abgerundeter, glatter und gut ausgeprägter Wasserhügel, der seinen Weg entlang des Kanals fortsetzte, ohne seine Form zu ändern und die Geschwindigkeit zu reduzieren. Ich folgte ihm Reiten, und als ich ihn einholte, rollte er immer noch mit Geschwindigkeiten von etwa acht oder neun Meilen pro Stunde nach vorne, um sein erstes Eheprofil etwa dreißig Meter hochzulage und von den Füßen zu eineinhalb Füßen von Füßen zu hielt. Seine Körpergröße verringerte sich allmählich, und nach einem oder zwei Kilometern verlor ich ihn in der Biegung des Kanals. Im August 1834 wurde ich zunächst herausgefordert, auf ein außergewöhnliches und schönes Phänomen zu stoßen, das ich die Rundfunkwelle genannt habe ... ".

Anschließend fand Russell experimentell eine Reihe von Experimenten, fand die Abhängigkeit der Geschwindigkeit einer einzelnen Welle aus seiner Höhe (maximale Höhe über dem Niveau der freien Oberfläche des Wassers im Kanal).

Vielleicht ist Russell die Rolle der Solitonen in der modernen Wissenschaft voran. In den letzten Jahren seines Lebens absolvierte er das Buch Übersetzungswellen in den aquatischen, luft- und wesentlichen OzeanenIm Jahr 1882 posthum veröffentlicht. Dieses Buch enthält einen Nachdruck Bericht über die Wellen - Die erste Beschreibung einer abgelegenen Welle und eine Reihe von Vermutungen über die Struktur der Materie. Insbesondere glaubte Russell, dass der Sound abgelegene Wellen hatte (tatsächlich war es nicht so), sonst wäre die Ausbreitung des Klangs verzerrt worden. Basierend auf dieser Hypothese und der Verwendung der Abhängigkeit der Geschwindigkeit einer abgelegenen Welle, die von ihnen gefunden wurde, fand Russell die Dicke der Atmosphäre (5 Meilen). Darüber hinaus wird die Annahme der Annahme, dass das Licht auch abgelegene Wellen (was auch nicht so ist) ist, fand Russell die Länge des Universums (5 · 10 17 Meilen).

Offenbar hat Russell in seinen Berechnungen der Größe des Universums einen Fehler gemacht. Die für die Atmosphäre erhaltenen Ergebnisse wären jedoch korrekt, ob es eine einheitliche Dichte ist. Russevsky gleich Bericht über die Wellen Es gilt jetzt als ein Beispiel für Klarheitspräsentation wissenschaftlicher Ergebnisse, Klarheit, auf die sich weit vom heutigen Wissenschaftler entfernt.

Die Reaktion auf den Wissenschaftsbericht der maßgeblichsten zum Zeitpunkt der englischen Mechanik von George Baidel Ayri (1801-1892) (Professor für Astronomie in Cambridge von 1828 bis 1835, Astronoma des Königsgerichts von 1835 bis 1881) und George Gabriel Stokes (1819-1903) (Professor der Mathematik Cambridge von 1849 bis 1903) war negativ. Viele Jahre später wurde Soliton mit völlig anderen Umständen verzichtet. Interessanterweise war es nicht leicht, die Beobachtung von Russell wiederzugeben. Teilnehmer der Konferenz "Soliton-82", die sich in Edinburgh an die Konferenz versammelten, widmeten sich dem Jahrhundert des Todesstages von Russell und versuchten, eine abgelegene Welle an der Stelle, an der sie Russell zuschauerte, nichts sehen konnte, nichts sehen konnte mit all ihren Erfahrungen und umfangreichen Wissen über Soliton.

Im Jahr 1871-1872 wurden die Ergebnisse des französischen Wissenschaftlers Joseph Viensenyna Boussineske (1842-1929) (1842-1929) veröffentlicht (1842-1929), widmeten theoretische Untersuchungen abgelegener Wellen in den Kanälen (wie eine einsame Welle von Russell). Boussineske erhielt eine Gleichung:

Solche Wellen beschreiben ( u.- Verschieben der freien Wasseroberfläche in den Kanal, d. - Kanaltiefe, c. 0 - Die Geschwindigkeit der Welle, t. - Zeit, x. - räumliche Variable, der Index entspricht der Differenzierung der entsprechenden Variablen) und ermittelt ihre Form (hyperbolische Sitzungen, cm. Feige. 1) und Geschwindigkeit.

Die studierten Wellen von Boussienek nannten die Schwellung und betrachteten die Schwellung der positiven und negativen Höhe. Boussienesc hat die Stabilität der positiven Schwellung dadurch begründet, dass ihre kleinen Störungen auftraten, die schnell verblassen. Im Falle einer negativen Schwellung ist die Bildung einer stabilen Wellenform nicht möglich, wie für eine lange und positive sehr kurze Schwellung. Etwas später veröffentlichte 1876 die Ergebnisse seiner Forschung durch den Engländer Lord Ralea.

Das nächste wichtige Bühnenbild in der Entwicklung der Erfüllung der Solitors war die Arbeit (1895) der niederländischen Deerika Johann Kortewega (1848-1941) und sein Student von Gustav de Vriz (die genauen Daten des Lebens nicht bekannt). Anscheinend weder Cortega noch Dewrite die Werke von Boussinesken lesen. Sie verdrängten die Gleichung für Wellen in ziemlich breiten Kanälen des konstanten Querschnitts, was nun der Name der KORTEWEG-DE-VRIZA-Gleichung (KDV) ist. Lösung einer solchen Gleichung und beschreibt die Wellenwelle gleichzeitig. Die wichtigsten Errungenschaften dieser Studie sollten eine einfachere Gleichung in Betracht ziehen, die die in einer Richtung laufende Welle beschreibt, solche Lösungen sind visueller. Aufgrund der Tatsache, dass die Lösung die elliptische Funktion von Jacobi beinhaltet cn.Diese Entscheidungen wurden als "CNIDAL" -Wellen bezeichnet.

In normaler Form die KDV-Gleichung für die gewünschte Funktion und Es hat das Formular:

Die Fähigkeit des Solitons, in der Ausbreitung seiner Form unverändert zu bleiben, wird dadurch erläutert, dass sein Verhalten durch zwei, die sich gegenseitig gegenüber den Verfahren entgegengesetzt handelt. Erstens ist dies der sogenannte, nichtlineare Zusammenbruch (die Vorderseite der Welle einer ausreichend großen Amplitude sucht in den zunehmenden Amplitudenbereiche, da die hinteren Teilchen mit einer größeren Amplitude schneller vor dem Laufen bewegt werden ). Zweitens manifestiert sich ein solches Verfahren als Dispersion (Abhängigkeit der Wellengeschwindigkeit aus seiner Frequenz, bestimmt durch die physikalischen und geometrischen Eigenschaften des Mediums; während der Dispersion, während der Dispersion, unterschiedliche Teile der Wellenwelle bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und der Wellenunterbrechung). Somit wird der nichtlineare Zusammenbruch der Welle durch seine Dispersion aufgrund der Dispersion kompensiert, was die Erhaltung der Form einer solchen Welle während seiner Vermehrung gewährleistet.

Die Abwesenheit von Sekundärwellen in der Ausbreitung von Soliton zeigt an, dass die Energie der Welle nicht im Raum abgeführt wird, sondern in einem begrenzten Raum (lokalisiert) konzentriert ist. Die Lokalisierung der Energie ist die unverwechselbare Qualität des Partikels.

Ein weiteres erstaunliches Merkmal von Solitern (doch von Russell markiert) ist ihre Fähigkeit, ihre Geschwindigkeit und Form bei der Durchführung voneinander zu halten. Die einzige Erinnerung an die Wechselwirkung bestand darin, die konstante Verschiebung der beobachteten Solitonen aus den Bestimmungen, die sie besetzen würden, wenn sie nicht erfüllt würden, besetzt würden. Es wird angenommen, dass die Solitonen nicht durcheinander gehen, sondern sich wie diejenigen widerspiegeln, die elastische Bälle kollidieren. Dies zeigt auch die Analogie von Solitern mit Partikeln.

Seit langer Zeit wurde angenommen, dass abgelegene Wellen nur mit den Wellen auf dem Wasser verbunden sind, und sie wurden von Spezialisten - Hydrodynamik untersucht. Im Jahr 1946 veröffentlichten M.a. Lavrentyev (UdSSR) und 1954 K.O.Fridrichs und D.G. Hyers US den theoretischen Anzeichen für das Vorhandensein abgelegener Wellen.

Die moderne Entwicklung der Soliton-Theorie begann mit 1955, als das Werk der Wissenschaftler von Los Alamos (USA) - Enrico Fermi, John Paste und Walma-Wand, der sich der Untersuchung nichtlinearer diskreter geladener Saiten widmete (ein solches Modell wurde verwendet, um die thermische Studie zu studieren Leitfähigkeit der Feststoffe). Lange Wellen, die durch solche Saiten laufen, erwiesen sich als Solitons. Interessanterweise ist die Studienmethode in dieser Arbeit zu einem numerischen Experiment geworden (Berechnungen an einem der zu diesem Zeitpunkt erstellten Computer).

Eröffnen Sie theoretisch zunächst für die Boussinesca- und KDV-Gleichungen, die die Wellen auf feinem Wasser beschreiben, werden derzeit die Solitonen als Lösungen einer Reihe von Gleichungen in anderen Bereichen der Mechanik und der Physik gefunden. Am häufigsten angetroffen (unten in allen Gleichungen u. - Gewünschte Funktionen, Koeffizienten, wenn u. - einige Konstanten)

nichtlineare Schrödinger-Gleichung (nush)

Die Gleichung wurde erhalten, wenn der optische Selbstfokussierung und Aufteilen von optischen Strahlen untersucht wurde. Diese Gleichung wurde in der Untersuchung von Wellen auf tiefem Wasser verwendet. Es gab eine Verallgemeinerung von Nosh für Wellenprozesse im Plasma. Interessant die Verwendung von Nummern in der Theorie der elementaren Teilchen.

Sin Gordon-Gleichung (SG)

beschreiben beispielsweise die Ausbreitung von resonanten ultrusbroten optischen Impulsen, Versetzungen in Kristallen, Prozessen in flüssigem Helium, Ladungsdichtewellen in Leitern.

Solitone-Lösungen haben sogenannte verwandte KDV-Gleichungen. Diese Gleichungen umfassen

modifizierte Gleichung KDV.

benjamin, Bona und Magoni-Gleichung (BBM)

erschienen zuerst, als sie die Borsa beschreibt (Wellen auf der Oberfläche des Wassers, die aus der Öffnung des Gates des Gateways entstehen, mit "Verriegeln" der Fluss des Flusses);

benjamin-Gleichung - es

wird für Wellen in einer dünnen Schicht inhomogenes (stratifiziertes) Fluid erhalten, die sich in einer anderen homogenen Flüssigkeit befindet. Zur Benjamin-Gleichung - er führt zur Untersuchung der transzonischen Grenzschicht.

Die Gleichungen mit Soliton-Lösungen beinhalten auch die geborene Gleichung - Infelda

anwendungen in der Feldtheorie haben. Es gibt andere Soliton-Lösungen.

Die durch die KDV-Gleichung beschriebene Soliton ist eindeutig durch zwei Parameter gekennzeichnet: Geschwindigkeit und Position des Maximums in einem festen Zeitpunkt.

Soliton wird durch die Hirota-Gleichung beschrieben

definitiv durch vier Parameter gekennzeichnet.

Ab 1960 beeinflusste eine Reihe körperlicher Probleme die Entwicklung der Solitor-Theorie. Die Theorie der selbstinduzierten Transparenz wurde vorgeschlagen, und experimentelle Ergebnisse werden dargestellt, es wird bestätigt.

Im Jahr 1967 wurde das Verfahren zum Erhalten einer genauen Lösung der KDV-Gleichung in den Spulen- und Co-Autoren gefunden - das Verfahren der sogenannten umgekehrten Streuungsaufgabe. Die Essenz des Verfahrens des umgekehrten Streuproblems besteht darin, die gelöste Gleichung (z. B. die KDV-Gleichung) durch das System anderer linearer Gleichungen, deren Lösung leicht angeordnet ist, zu ersetzen.

Die gleiche Methode 1971 von Sowjetwissenschaftlern V.e. Zakharov und A. B. B.Shabat wurde von Nosh entschieden.

Anwendungen der SOLITON-Theorie werden derzeit in der Untersuchung von Signalübertragungsleitungen mit nichtlinearen Elementen (Dioden, Widerstandspulen), Grenzschicht, Atmosphären von Planeten (großer rotem Jupiter), Wellen von Tsunami, Plasmawellenprozessen, in der Feldtheorie eingesetzt , Feste Physik, Thermophysik extremer Substanzen, wenn er neue Materialien studieren (zum Beispiel Josephson-Kontakte, bestehend aus dielektrischen zwei Schichten von supraleitenden Metall), wenn sie Modelle von Kristallgitter, in Optik, Biologie und vielen anderen erstellen. Es wird vorgeschlagen, dass die Nerven die Nerven - Solitons laufen.

Derzeit beschriebene Sorten von Solitern und einige Kombinationen dieser, zum Beispiel:

antisoliton - Soliton negativer Amplitude;

ein Briller (Dublett) - ein Paar von Soliton - Antisoliton (Abb. 2);

multisoliton - mehrere Solitons, die sich insgesamt bewegen;

flyuxon - ein Quantum Magnetfluß, Analog von Soliton in verteilten Josephson-Kontakten;

kink (Monopol), von englischer Knick - Wendung.

Formal kann Knick als eine Lösung der KDV-Gleichungen, NOS, SG eingeführt werden, die durch hyperbolische Tangente beschrieben wird (Abb. 3). Ändern des Zeichens einer Lösung des Typs "Kink" auf das Gegenteil, gibt "Anti-Car".

Die Knicke wurden 1962 von der britischen Perrest und der Pfeile mit einem numerischen (auf einem Computer) der SG-Gleichung gefunden. Somit wurden die Kinbinen früher entdeckt, als der Name von Soliton erschien. Es stellte sich heraus, dass die Kollision des Films nicht zu ihrer gegenseitigen Zerstörung führte, noch zum nächsten Auftreten anderer Wellen: Die Kanäle zeigten somit die Eigenschaften von Solitons, jedoch wurde der Name des Knicks von den Wellen davon konsolidiert nett.

Solitonen können auch zweidimensional und dreidimensional sein. Die Untersuchung der nicht inländischen Solitons wurde durch die Schwierigkeiten des Beweises ihrer Nachhaltigkeit kompliziert, aber kürzlich erhielten experimentelle Beobachtungen nicht inländischer Solitons (zum Beispiel Hufeisenselliten auf dem Film durch fließende viskose Flüssigkeit, untersuchten von VI Speatiashvili und o . Yu. Svuelodumb). Zweidimensionale Soliton-Lösungen haben die KadoMtsev-Gleichung - Pereviashvili, zum Beispiel, um akustische (Ton-) Wellen zu beschreiben:

Unter den bekannten Lösungen dieser Gleichung - nicht auftrennende Wirbel oder Solitons - Wirbel (Wirbel ist die Leitung des Mediums, in dem seine Partikel eine Winkeldrehzahl relativ zu einer Achse aufweisen). Solitonen dieser Art, die theoretisch und modelliert im Labor gefunden, können sich spontan in den Atmosphären der Planeten ergeben. Nach den Eigenschaften und Bedingungen der Existenz eines Soliton-Wirbelwinds ähnelt den wunderbaren Merkmalen der Atmosphäre des Jupiter - der große rote Fleck.

Solitons sind wesentlich nichtlineare Formationen und sind ebenso grundlegend als lineare (schwache) Wellen (z. B. Ton). Die Schaffung einer linearen Theorie, weitgehend von den Klassikern von Bernhard Riemann (1826-1866), Augusten Cauchy (1789-1857), Jean Joseph Fourier (1768-1830) ermöglichte es, wichtige Aufgaben zu lösen, die vor der Zeit davon standen Zeit. Mit Hilfe von Solitons ist es möglich, neue grundlegende Probleme beim Betrachten modernen wissenschaftlichen Problemen zu ermitteln.

Andrei Bogdanov.