Bir törəmə kimi sürət. Fizikada törəmə Zamana görə məsafənin törəməsi

Koordinatın zamana görə törəməsi sürətdir. x"(t)=v(t) Törəmənin fiziki mənası

Sürətin zamana görə törəməsi və ya koordinatın zamana görə ikinci törəməsi sürətlənmədir. a(t)=v "(t)=x""(t)

Nöqtə x(t)= t²+t+2 qanununa əsasən koordinat xətti boyunca hərəkət edir, burada x(t) nöqtənin t anındakı koordinatıdır (vaxt saniyə ilə, məsafə metrlə ölçülür). Hansı anda nöqtənin sürəti 5 m/s olacaq? Həlli: Nöqtənin t zamanındakı sürəti koordinatın zamana görə törəməsidir. v(t) = x"(t) = 2t+1 və v = 5 m/s olduğundan 2t +1= 5 t=2 Cavab: 2.

Əyləc zamanı volan t saniyədə φ (t) = 6 t- t² radyan bucağı ilə fırlanır. t=1s zamanda volanın fırlanma bucaq sürətini ω tapın. (φ (t) - radyanla bucaq, ω (t) - rad/s ilə sürət, t - saniyələrlə vaxt). Həlli: ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 – 2t t = 1 s. ω (1) = 6 – 2 × 1 = 4 rad/s Cavab:4.

Cism düz bir xəttlə hərəkət etdikdə onun sürəti v(t) qanuna görə v(t)=15+8 t -3t² (t cismin saniyələrlə hərəkət vaxtıdır) sürəti nə olacaq bədən (m/s²) hərəkətə başlayandan bir saniyə sonra? Həlli: v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 m/s² Cavab: 2.

Fiziki məsələlərdə törəmənin tətbiqi. Keçiricinin en kəsiyindən keçən yük q(t)=2t 2 -5t düsturu ilə hesablanır. t=5c-də cərəyan gücünü tapın. Həlli: i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 A. Cavab:15.

Cism düz xəttlə hərəkət etdikdə M başlanğıc nöqtəsindən s(t) məsafəsi s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 qanununa əsasən dəyişir (t saniyə ilə vaxtdır). 3 saniyədən sonra cismin sürətlənməsi (m/s 2 ilə) nə qədər olacaq? Həll. a(t)=v "(t)=s""(t). Tapaq v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a( t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36m/s 2 Cavab: 36.

Törəmənin fiziki mənası. Riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanı törəmənin fiziki mənasını bilmək və anlamaq tələb edən həlli üçün bir qrup problemi əhatə edir. Xüsusilə, müəyyən bir nöqtənin (cismin) hərəkət qanununun tənliklə ifadə edildiyi və onun sürətinin hərəkət zamanının müəyyən bir anında və ya cismin keçdiyi vaxtda tapılması tələb olunduğu problemlər var. müəyyən bir sürət əldə edəcək.Tapşırıqlar çox sadədir, onları bir hərəkətlə həll etmək olar. Belə ki:

Maddi nöqtənin x (t) koordinat oxu boyunca hərəkət qanunu verilsin, burada x hərəkət edən nöqtənin koordinatıdır, t zamandır.

Zamanın müəyyən anında sürət koordinatın zamana görə törəməsidir. Bu törəmənin mexaniki mənasıdır.

Eynilə, sürətlənmə zamana görə sürətin törəməsidir:

Beləliklə, törəmənin fiziki mənası sürətdir. Bu, hərəkət sürəti, prosesin dəyişmə sürəti (məsələn, bakteriyaların böyüməsi), işin sürəti ola bilər (və s., bir çox tətbiq olunan problemlər var).

Bundan əlavə, siz törəmə cədvəlini (onu vurma cədvəli kimi bilməlisiniz) və diferensiasiya qaydalarını bilməlisiniz. Xüsusilə, göstərilən problemləri həll etmək üçün ilk altı törəmə haqqında bilik lazımdır (cədvələ bax):

Tapşırıqları nəzərdən keçirək:

x (t) = t 2 – 7t – 20

burada x t hərəkətin başlanğıcından saniyələrlə ölçülən vaxtdır. Onun t = 5 s zamanda sürətini (saniyədə metrlə) tapın.

Törəmənin fiziki mənası sürətdir (hərəkət sürəti, prosesin dəyişmə sürəti, işin sürəti və s.)

Sürətin dəyişmə qanununu tapaq: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

t = 5-də bizdə:

Cavab: 3

Özünüz üçün qərar verin:

Maddi nöqtə x (t) = 6t 2 – 48t + 17 qanununa əsasən düzxətli hərəkət edir, burada x- istinad nöqtəsindən metrlə məsafə, t- hərəkətin başlanğıcından saniyələrlə ölçülən vaxt. Onun t = 9 s vaxtında sürətini (saniyədə metrlə) tapın.

Maddi nöqtə x (t) = 0,5t qanununa uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir 3 – 3t 2+2t, harada xt- hərəkətin başlanğıcından saniyələrlə ölçülən vaxt. Onun t = 6 s zamanda sürətini (saniyədə metrlə) tapın.

Maddi nöqtə qanuna uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Harada x- istinad nöqtəsindən metrlə məsafə,t- hərəkətin başlanğıcından saniyələrlə ölçülən vaxt. Onun t = 3 s zamanda sürətini (saniyədə metrlə) tapın.

Maddi nöqtə qanuna uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

burada x istinad nöqtəsindən metrlə məsafədir, t hərəkətin əvvəlindən ölçülən saniyələrlə vaxtdır. Zamanın hansı anında (saniyələrlə) onun sürəti 6 m/s-ə bərabər idi?

Sürətin dəyişmə qanununu tapaq:

Zamanın hansı nöqtəsində olduğunu tapmaq üçüntsürət 3 m/s idi, tənliyi həll etmək lazımdır:

Cavab: 3

Özünüz üçün qərar verin:

Maddi nöqtə x (t) = t 2 – 13t + 23 qanununa əsasən düzxətli hərəkət edir, burada x- istinad nöqtəsindən metrlə məsafə, t- hərəkətin başlanğıcından saniyələrlə ölçülən vaxt. Zamanın hansı anında (saniyələrlə) onun sürəti 3 m/s-ə bərabər idi?

Maddi nöqtə qanuna uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Harada x- istinad nöqtəsindən metrlə məsafə, t- hərəkətin başlanğıcından saniyələrlə ölçülən vaxt. Zamanın hansı anında (saniyələrlə) onun sürəti 2 m/s-ə bərabər idi?

Qeyd etmək istərdim ki, Vahid Dövlət İmtahanında yalnız bu tip tapşırıqlara diqqət yetirməməlisiniz. Onlar tamamilə gözlənilmədən təqdim olunanların əksi olan problemləri təqdim edə bilərlər. Sürətin dəyişmə qanunu verildikdə və sual hərəkət qanununun tapılması ilə bağlı olacaq.

İpucu: bu halda sürət funksiyasının inteqralını tapmaq lazımdır (bu da bir addımlı məsələdir). Müəyyən bir zaman nöqtəsində qət edilən məsafəni tapmaq lazımdırsa, nəticədə yaranan tənliyə vaxtı əvəz etməli və məsafəni hesablamalısınız. Bununla belə, biz də bu cür problemləri təhlil edəcəyik, qaçırmayın!Sənə uğurlar arzu edirəm!

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Cəbr səxavətlidir. O, tez-tez ondan tələb olunandan daha çoxunu verir.

J. d'Alembert

Fənlərarası əlaqələr məktəbdə elmin əsaslarını dərindən və hərtərəfli mənimsəməyin didaktik şərti və vasitəsidir.
Bundan əlavə, onlar tələbələrin elmi biliklərinin təkmilləşdirilməsinə, məntiqi təfəkkürün və yaradıcılıq qabiliyyətlərinin inkişafına kömək edir. Fənlərarası əlaqələrin həyata keçirilməsi materialın öyrənilməsində təkrarçılığı aradan qaldırır, vaxta qənaət edir və şagirdlərin ümumi təhsil bacarıqlarının inkişafı üçün əlverişli şərait yaradır.
Fizika kursunda fənlərarası əlaqələrin qurulması politexniki və praktiki təlimin səmərəliliyini artırır.
Riyaziyyatın tədrisində motivasiya tərəfi çox vacibdir. Riyazi problem şagirdlərin gözü qarşısında yaranarsa və bəzi fiziki hadisələr və ya texniki məsələlər nəzərə alındıqdan sonra tərtib edilərsə, şagirdlər tərəfindən daha yaxşı qavranılır.
Müəllim fizikanın riyaziyyatın inkişafına necə təsir etdiyini, riyaziyyatın praktikaya necə kömək etdiyini göstərməsə, riyaziyyatın tərəqqisində təcrübənin rolundan, fizikanın öyrənilməsi və texnologiyanın inkişafı üçün riyaziyyatın əhəmiyyətindən nə qədər danışsa da. problemlərinin həllində, o zaman materialist dünyagörüşünün inkişafına ciddi ziyan dəyəcək. Ancaq riyaziyyatın problemlərinin həllində necə kömək etdiyini göstərmək üçün bizə metodoloji məqsədlər üçün icad olunmayan, lakin praktiki insan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində əmələ gələn problemlər lazımdır.

Tarixi məlumat

Diferensial hesab 17-ci əsrin sonunda Nyuton və Leybniz tərəfindən iki problem əsasında yaradılmışdır:

ixtiyari xəttə tangensin tapılması haqqında;
ixtiyari hərəkət qanunu altında sürəti tapmaq haqqında.

Hətta əvvəllər törəmə anlayışına italyan riyaziyyatçısı Nikolo Tartalyanın (təxminən 1500 - 1557) əsərlərində rast gəlinirdi - tangens burada silahın meyl bucağı məsələsinin öyrənilməsi zamanı ortaya çıxdı, bu zaman ən böyük diapazonda mərmi atılması təmin edilir.

17-ci əsrdə Q.Qalileonun hərəkət haqqında təliminə əsaslanaraq törəmənin kinematik konsepsiyası fəal şəkildə inkişaf etdirildi.

Məşhur alim Qalileo Qaliley riyaziyyatda törəmələrin roluna dair bütöv bir traktat həsr edir. Dekartın, fransız riyaziyyatçısı Robervalın və ingilis alimi L. Qriqorinin əsərlərində müxtəlif təqdimatlara rast gəlinməyə başladı. L'Hopital, Bernoulli, Lagrange, Euler və Gauss diferensial hesablamanın öyrənilməsinə böyük töhfələr verdilər.

Törəmələrin fizikada bəzi tətbiqləri

törəmə- diferensial hesabın əsas anlayışı, xarakteristikası funksiyanın dəyişmə sürəti.

Qərarlı funksiyanın artımının onun arqumentinin artımına nisbətinin həddi, əgər belə bir limit varsa, arqumentin artımı sıfıra meyllidir.

Beləliklə,

Beləliklə, funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün f(x) nöqtədə x 0 tərifinə görə sizə lazımdır:

Bu sxemin istifadə olunduğu bir neçə fiziki problemi nəzərdən keçirək.

Ani sürət problemi. Törəmənin mexaniki mənası

Hərəkət sürətinin necə təyin edildiyini xatırlayaq. Maddi nöqtə koordinat xətti boyunca hərəkət edir. Bu nöqtənin x koordinatı məlum funksiyadır x(t) vaxt t. dan müddət ərzində t 0əvvəl t 0+ nöqtənin yerdəyişməsi x(t 0 + ) – x(t 0) – və onun orta sürəti: .
Adətən hərəkətin təbiəti belədir ki, kiçik dəyərlərdə orta sürət praktiki olaraq dəyişməz qalır, yəni. hərəkəti yüksək dəqiqliklə vahid hesab etmək olar. Başqa sözlə, orta sürətin dəyəri ani sürət adlanan müəyyən bir dəyərə meyl edir. v(t 0) zamanın bir anındakı maddi nöqtə t 0.

Belə ki,

Ancaq tərifə görə
Buna görə də, zaman anında ani sürətin olduğuna inanılır t 0

Eyni şəkildə düşünərək, sürətin zamana görə törəməsinin sürətlənmə olduğunu tapırıq, yəni.

Bədənin istilik tutumu problemi

1 q ağırlığında olan bədənin temperaturu 0 dərəcədən yüksəlmək üçün t dərəcə, bədənin müəyyən miqdarda istilik təmin etməsi lazımdır Q. O deməkdir ki, Q temperatur funksiyası var t, cismin qızdırıldığı: Q = Q(t). Bədən istiliyinin qalxmasına icazə verin t 0əvvəl t. Bu isitmə üçün sərf olunan istilik miqdarı bərabərdir Nisbət temperatur dəyişdikdə bədəni 1 dərəcə qızdırmaq üçün orta hesabla tələb olunan istilik miqdarıdır. dərəcə. Bu nisbət verilmiş cismin orta istilik tutumu adlanır və işarələnir Çərşənbədən.
Çünki orta istilik tutumu hər hansı T temperaturu üçün istilik tutumu haqqında fikir vermir, sonra müəyyən bir temperaturda istilik tutumu anlayışı təqdim olunur. t 0(Bu nöqtədə t 0).
Temperaturda istilik tutumu t 0(müəyyən bir nöqtədə) hədd adlanır

Çubuğun xətti sıxlığına dair məsələ

Gəlin qeyri-bərabər bir çubuğu nəzərdən keçirək.

Belə bir çubuq üçün uzunluğundan asılı olaraq kütlənin dəyişmə sürəti ilə bağlı sual yaranır.

Orta xətti sıxlıq çubuqun kütləsi onun uzunluğundan asılıdır X.

Beləliklə, müəyyən bir nöqtədə qeyri-bərabər çubuğun xətti sıxlığı aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Oxşar problemləri nəzərdən keçirərək, bir çox fiziki proseslər üçün oxşar nəticələr əldə etmək olar. Onlardan bəziləri cədvəldə göstərilmişdir.

Funksiya	Düstur	Nəticə
m(t) – sərf olunan yanacağın kütləsinin vaxtından asılılığı.		törəmə zamanla kütlələr var sürət Yanacaq sərfi.
T(t) – qızdırılan cismin temperaturunun zamandan asılılığı.		törəmə zamanla temperatur var sürət bədənin istiləşməsi.
m(t) – radioaktiv maddənin parçalanması zamanı kütlənin zamandan asılılığı.		törəmə zamanla radioaktiv maddənin kütləsi var sürət radioaktiv parçalanma.
q(t) – keçiricidən keçən elektrik miqdarının vaxtından asılılığı		törəmə zamanla elektrik enerjisinin miqdarı var cari güc.
A(t) – işin vaxtından asılılığı		törəmə vaxtında işləmək var güc.

Praktik tapşırıqlar:

Topdan atılan mərmi x(t) = – 4t 2 + 13t (m) qanununa əsasən hərəkət edir. 3 saniyənin sonunda mərminin sürətini tapın.

t = 0 s vaxtından başlayaraq keçiricidən keçən elektrik cərəyanının miqdarı q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Kul) düsturu ilə verilir. Beşinci saniyənin sonunda cərəyan gücünü tapın.

1 kq suyu 0 o-dan t o C-yə qədər qızdırmaq üçün tələb olunan istilik miqdarı Q (J) Q(t) = t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3 düsturu ilə müəyyən edilir. t = 100 o olduqda suyun istilik tutumunu hesablayın.

Bədən x(t) = 3 + 2t + t 2 (m) qanununa əsasən düzxətli hərəkət edir. 1 s və 3 s vaxtlarda onun sürətini və sürətini təyin edin.

x(t) = t 2 – 4t 4 (m) qanunu ilə hərəkət edən, kütləsi m olan nöqtəyə təsir edən F qüvvəsinin t = 3 s-də böyüklüyünü tapın.

Kütləsi m = 0,5 kq olan cisim x(t) = 2t 2 + t – 3 (m) qanununa əsasən düzxətli hərəkət edir. Hərəkətə başlayandan 7 s sonra bədənin kinetik enerjisini tapın.

Nəticə

Daha bir çox texniki problemləri qeyd etmək olar ki, onların həlli üçün müvafiq funksiyanın dəyişmə sürətini də tapmaq lazımdır.
Məsələn, fırlanan cismin bucaq sürətini, qızdırılan zaman cisimlərin xətti genişlənmə əmsalını, müəyyən vaxtda kimyəvi reaksiyanın sürətini tapmaq.
Bir funksiyanın dəyişmə sürətinin hesablanmasına və ya başqa sözlə, funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddinin hesablanmasına səbəb olan problemlərin çoxluğuna görə, sonuncu meyl etdikdə. sıfıra, ixtiyari funksiya üçün belə bir həddi təcrid etmək və onun əsas xassələrini öyrənmək lazım olduğu ortaya çıxdı. Bu limit adlandırıldı funksiyanın törəməsi.

Beləliklə, bir sıra nümunələrdən istifadə edərək, riyazi məsələlərdən istifadə etməklə müxtəlif fiziki proseslərin necə təsvir edildiyini, həll yollarının təhlilinin proseslərin gedişi haqqında nəticə və proqnozlar çıxarmağa necə imkan verdiyini göstərdik.
Əlbəttə ki, bu cür nümunələrin sayı çox böyükdür və onların kifayət qədər böyük bir hissəsi maraqlanan tələbələr üçün olduqca əlçatandır.

“Musiqi ruhu yüksəldə və ya sakitləşdirə bilər,
Rəssamlıq gözə xoş gəlir,
Şeir hissləri oyatmaqdır,
Fəlsəfə ağlın ehtiyaclarını ödəməkdir,
Mühəndislik insanların həyatının maddi tərəfini yaxşılaşdırmaqdır,
Riyaziyyat isə bütün bu məqsədlərə nail ola bilər”.

Amerikalı riyaziyyatçı belə deyirdi Maurice Cline.

Biblioqrafiya :

Abramov A.N., Vilenkin N.Ya. və başqaları.Riyaziyyatdan seçilmiş suallar. 10-cu sinif. – M: Maarifçilik, 1980.
Vilenkin N.Ya., Şibasov A.P. Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. – M: Maarifçilik, 1996.
Dobroxotova M.A., Safonov A.N.. Funksiya, onun həddi və törəməsi. – M: Maarifçilik, 1969.
Kolmoqorov A.N., Abramov A.M. və başqaları.Cəbr və riyazi analizin başlanğıcları. – M: Təhsil, 2010.
Kolosov A.A. Riyaziyyatdan sinifdənkənar oxumaq üçün kitab. – M: Üçpdqız, 1963.
Fikhtengolts G.M. Riyazi analizin əsasları, 1-ci hissə – M: Nauka, 1955.
Yakovlev G.N. Texniki məktəblər üçün riyaziyyat. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 1-ci hissə - M: Nauka, 1987.

Törəmə və onun hesablanması üsullarını bilmədən riyaziyyatda fiziki məsələlərin və ya nümunələrin həlli tamamilə mümkün deyil. Törəmə riyazi analizdə ən vacib anlayışlardan biridir. Bugünkü məqaləmizi bu əsas mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?

Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla müəyyən edilir (a, b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqumentin dəyişdirilməsi - onun dəyərlərindəki fərq x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması bir funksiyanın iki nöqtədəki dəyərləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Əks halda belə yazıla bilər:

Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Və budur:

nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.

Törəmənin fiziki mənası: yolun zamana görə törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.

Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin xüsusi bir yol olduğunu bilir x=f(t) və vaxt t . Müəyyən bir müddət ərzində orta sürət:

Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:

Birinci qayda: sabiti təyin edin

Sabit törəmə işarədən çıxarıla bilər. Üstəlik, bu edilməlidir. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - Əgər ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, onu sadələşdirməyə əmin olun .

Misal. Törəməni hesablayaq:

İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi

İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.

Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, əksinə praktiki bir nümunəyə baxacağıq.

Funksiyanın törəməsini tapın:

Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi

İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:

Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:

Həll:

Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanmasından danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın aralıq arqumentə görə törəməsinin və müstəqil dəyişənə görə aralıq arqumentin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Yuxarıdakı misalda ifadə ilə rastlaşırıq:

Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə görə xarici funksiyanın törəməsini hesablayırıq, sonra isə müstəqil dəyişənə nisbətən ara arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.

Dördüncü qayda: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:

Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.

Bu və digər mövzularla bağlı hər hansı sualınız varsa, tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər heç vaxt törəmə hesablamalar etməmisinizsə belə, ən çətin testi həll etməyə və tapşırıqları başa düşməyə kömək edəcəyik.

İndiyədək biz törəmə anlayışını funksiyanın qrafikinin həndəsi təsviri ilə əlaqələndirmişik. Lakin törəmə anlayışının rolunu yalnız problemlə məhdudlaşdırmaq böyük səhv olardı

verilmiş əyriyə tangensin yamacının təyin edilməsi. Elmi nöqteyi-nəzərdən daha mühüm vəzifə, zamanla dəyişən istənilən kəmiyyətin dəyişmə sürətini hesablamaqdır. Nyuton diferensial hesablamaya məhz bu tərəfdən yanaşdı. Xüsusilə, Nyuton sürət hadisəsini dəyişənlər kimi (Nyutonun sözləri ilə desək, “fluents”) zamanı və hərəkət edən hissəciyin mövqeyini nəzərə alaraq təhlil etməyə çalışdı. Bir hissəcik x oxu boyunca hərəkət etdikdə, onun hərəkəti tamamilə müəyyən edilir, çünki x hissəciyinin istənilən t anında mövqeyini göstərən bir funksiya verilir. X oxu boyunca sabit sürətlə “vahid hərəkət” xətti funksiya ilə müəyyən edilir, burada a hissəciyin başlanğıc andakı mövqeyidir.

Bir hissəciyin müstəvidə hərəkəti iki funksiya ilə təsvir olunur

koordinatlarını zamandan asılı olaraq təyin edən. Xüsusilə, iki xətti funksiya vahid hərəkətə uyğundur

burada sabit sürətin iki "komponenti" və a və c hissəciyin ilkin vəziyyətinin koordinatlarıdır (hissəciyin trayektoriyası düz xəttdir, tənliyi

yuxarıdakı iki əlaqənin aradan qaldırılması ilə əldə edilir.

Əgər zərrəcik şaquli x, y müstəvisində təkcə cazibə qüvvəsinin təsiri ilə hərəkət edirsə, onda onun hərəkəti (bu elementar fizikada sübut olunub) iki tənliklə müəyyən edilir.

zərrəciyin ilkin andakı vəziyyətindən asılı olaraq sabitlərdir, vaxt saniyələrlə, məsafə isə metrlə ölçülürsə, cazibə qüvvəsi ilə sürətlənmə təxminən 9,81-dir. Bu iki tənliyi aradan qaldırmaqla əldə edilən trayektoriya paraboladır

trayektoriya şaquli oxun seqmenti deyilsə.

Əgər hissəcik verilmiş əyri boyunca hərəkət etməyə məcburdursa (qatarın relslər üzərində necə hərəkət etdiyinə bənzəyir), onda onun hərəkəti funksiya ilə müəyyən edilə bilər (əyri boyunca hesablanmış qövsün uzunluğuna bərabər zaman funksiyası). zaman anında hissəciyin P nöqtəsindəki mövqeyinə müəyyən başlanğıc nöqtəsi.Məsələn, əgər vahid dairədən danışırıqsa, onda funksiya c sürəti ilə bu dairədə vahid fırlanma hərəkətini təyin edir.

Məşq edin. Tənliklərlə verilmiş müstəvi hərəkətlərin trayektoriyalarını çəkin: yuxarıda təsvir edilən parabolik hərəkətdə hissəciyin ilkin mövqeyini qəbul edin (başlanğıcda və düşünün Trayektoriyanın ən yüksək nöqtəsinin koordinatlarını tapın. Zaman və x dəyərinə uyğun gələn dəyəri tapın. traektoriyanın oxla ikincil kəsişməsi

Nyutonun qarşısına qoyduğu ilk məqsəd qeyri-bərabər hərəkət edən hissəciyin sürətini tapmaq idi. Sadəlik üçün zərrəciyin funksiya ilə müəyyən edilmiş müəyyən düz xətt boyunca hərəkətini nəzərdən keçirək.Hərəkət vahid idisə, yəni sabit sürətlə yerinə yetirilsəydi, onda bu sürəti iki vaxt anını götürməklə tapmaq olardı və hissəciklərin uyğun mövqeləri və nisbətinin qurulması

Məsələn, saatlarla ölçülürsə və ; kilometrlərlə, onda fərq 1 saatda qət edilən kilometrlərin sayı, sürət (saatda kilometr) olacaq. Sürətin sabit kəmiyyət olduğunu söyləyərkən, yalnız fərq nisbətini nəzərdə tuturlar

heç bir qiymətə görə dəyişmir.Lakin hərəkət qeyri-bərabərdirsə (məsələn, cismin sərbəst düşməsi zamanı baş verir, aşağı düşdükcə sürəti artır), onda (3) əlaqəsi hal-hazırda sürət və ümumi olaraq adlandırılan orta sürəti təmsil edir --dən vaxta qədər olan vaxt aralığında sürəti əldə etmək üçün orta sürətin həddini hesablamaq lazımdır.

meyl edərkən sürət Beləliklə, Nyutonla birlikdə sürəti aşağıdakı kimi təyin edirik:

Başqa sözlə, sürət “keçidilmiş yolun” (düz xətt üzrə hissəciyin koordinatları) zamana görə törəməsidir və ya yolun zamana nisbətdə “ani dəyişmə sürəti”nin əksinədir. (3) düsturu ilə müəyyən edilən orta dəyişmə sürəti.

Sürətin dəyişmə sürətinin özünə sürətlənmə deyilir. Sürətlənmə sadəcə törəmənin törəməsidir; adətən simvolu ilə işarələnir və funksiyanın ikinci törəməsi adlanır

Qalileo qeyd etdi ki, zamanla cismin sərbəst düşməsi zamanı keçdiyi şaquli məsafə x düsturla ifadə edilir.