L'Hôpital qaydası: nəzəriyyə və həll nümunələri. Sonsuzluğa bölünmə Sonsuzluğa bölünən ədəd sıfırdır

Çox vaxt bir çox insan sual verir ki, niyə sıfıra bölmədən istifadə etmək olmaz? Bu yazıda biz bu qaydanın haradan gəldiyini, eləcə də sıfırla hansı hərəkətləri yerinə yetirə biləcəyimizi ətraflı izah edəcəyik.

ilə təmasda

Sıfırı ən maraqlı nömrələrdən biri adlandırmaq olar. Bu rəqəmin heç bir mənası yoxdur, sözün əsl mənasında boşluq deməkdir. Ancaq hər hansı bir rəqəmin yanına sıfır qoysanız, bu rəqəmin dəyəri bir neçə dəfə artacaq.

Rəqəm özlüyündə çox sirlidir. Qədim Mayya xalqı tərəfindən istifadə edilmişdir. Mayyalarda sıfır "başlanğıc" mənasını verirdi və təqvim günlərinin geri sayımı da sıfırdan başlayırdı.

Çox maraqlı fakt ondan ibarətdir ki, sıfır işarəsi və qeyri-müəyyənlik işarəsi onların arasında oxşar idi. Bununla Maya göstərmək istəyirdi ki, sıfır qeyri-müəyyənliklə eyni işarədir. Avropada sıfır təyinatı nisbətən yaxınlarda ortaya çıxdı.

Həmçinin, bir çox insan sıfırla əlaqəli qadağanı bilir. Kim bunu deyəcək sıfıra bölmək olmaz... Məktəbdə müəllimlər belə deyirlər və uşaqlar adətən onların sözünü qəbul edirlər. Adətən uşaqlar ya sadəcə olaraq bunu bilməkdə maraqlı deyillər, ya da vacib bir qadağa eşitdikdən sonra dərhal “Niyə sıfıra bölə bilmirsən?” sualını versə, nə olacağını bilirlər. Amma yaşlandıqca maraq oyanır və mən belə qadağanın səbəbləri haqqında daha çox bilmək istəyirəm. Bununla belə, ağlabatan sübutlar var.

Sıfır hərəkətlər

Birincisi, sıfırla hansı hərəkətlərin edilə biləcəyini müəyyən etməlisiniz. Mövcuddur bir neçə növ hərəkət:

• Əlavə;
• çarpma;
• Çıxarma;
• Bölmə (rəqəm üzrə sıfır);
• Eksponentasiya.

Vacibdir!Əgər toplama zamanı hər hansı bir ədədə sıfır əlavə etsəniz, bu rəqəm eyni qalacaq və onun ədədi dəyərini dəyişməyəcək. Hər hansı bir ədəddən sıfır çıxıldıqda eyni şey baş verəcəkdir.

Vurma və bölmə ilə hər şey bir az fərqlidir. Əgər istənilən ədədi sıfıra vurun, onda məhsul da sıfır olacaq.

Məsələni nəzərdən keçirək:

Bunu əlavə olaraq yazaq:

Cəmi beş sıfır əlavə olunur, belə çıxır ki

Gəlin bir sıfıra vurmağa çalışaq... Nəticə də sıfır olacaq.

Sıfırı ona bərabər olmayan hər hansı digər ədədə də bölmək olar. Bu halda, dəyəri də sıfır olacaq çıxacaq. Eyni qayda mənfi ədədlərə də aiddir. Sıfır mənfi ədədə bölünürsə, sıfır alırsınız.

Siz həmçinin istənilən nömrəni yarada bilərsiniz sıfır dərəcə... Bu halda, 1 çıxacaq. "Sıfırdan sıfıra" ifadəsinin tamamilə mənasız olduğunu xatırlamaq lazımdır. Sıfırı istənilən gücə yüksəltməyə çalışsanız, sıfır alırsınız. Misal:

Çarpma qaydasından istifadə edərək 0 alırıq.

Beləliklə, sıfıra bölmək olar

Beləliklə, burada əsas suala gəlirik. Sıfıra bölmək olarümumiyyətlə? Və sıfır olan bütün digər hərəkətlərin tamamilə mövcud olduğunu və tətbiq olunduğunu nəzərə alsaq, nömrəni sıfıra bölmək niyə mümkün deyil? Bu suala cavab vermək üçün ali riyaziyyata müraciət etmək lazımdır.

Konseptin tərifindən başlayaq, sıfır nədir? Məktəb müəllimləri deyir ki, sıfır heç nə deyil. Boşluq. Yəni 0 qələmin olduğunu deyəndə, demək ki, heç qələmin yoxdur.

Ali riyaziyyatda “sıfır” anlayışı daha genişdir. Bu heç də boşluq demək deyil. Burada sıfır qeyri-müəyyənlik adlanır, çünki bir az araşdırma aparsanız, belə çıxır ki, sıfırı sıfıra böldükdə nəticədə istənilən başqa ədədi əldə edə bilərik ki, bu da mütləq sıfır olmaya bilər.

Məktəbdə öyrəndiyiniz sadə hesab əməliyyatlarının bir-birinə o qədər də bərabər olmadığını bilirdinizmi? Ən əsas hərəkətlərdir toplama və vurma.

Riyaziyyatçılar üçün "" və "çıxma" kimi bir şey yoxdur. Deyək: beşdən üçü çıxarsanız, iki olacaq. Çıxarma belə görünür. Ancaq riyaziyyatçılar bunu belə yazacaqlar:

Beləliklə, məlum olur ki, naməlum fərq 5-i əldə etmək üçün 3-ə əlavə edilməli olan müəyyən bir ədəddir.Yəni heç nəyi çıxarmaq lazım deyil, sadəcə uyğun bir ədəd tapmaq lazımdır. Bu qayda əlavəyə aiddir.

ilə işlər bir az fərqlidir vurma və bölmə qaydalarını. Məlumdur ki, sıfıra vurma sıfır nəticə verir. Məsələn, 3: 0 = x olarsa, qeydi çevirsəniz, 3 * x = 0 alırsınız. Və 0-a vurulan ədəd məhsulda sıfır verəcəkdir. Məlum oldu ki, sıfır olan məhsulda sıfırdan başqa hər hansı bir dəyər verəcək rəqəm mövcud deyil. Bu o deməkdir ki, sıfıra bölmək mənasızdır, yəni bizim qaydamıza uyğundur.

Bəs sıfırı özbaşına bölməyə çalışsanız nə olacaq? Bəzi qeyri-müəyyən ədədi x kimi götürək. Tənlik 0 * x = 0-dır. Bunu həll etmək olar.

Əgər x əvəzinə sıfır almağa çalışsaq, onda 0: 0 = 0 alırıq. Məntiqli görünür? Ancaq x yerinə hər hansı başqa bir ədəd götürməyə çalışsaq, məsələn, 1, onda 0: 0 = 1 ilə nəticələnirik. Əgər hər hansı başqa nömrə götürsəniz və eyni vəziyyət olacaq tənlikdə onu əvəz edin.

Bu halda belə çıxır ki, amil kimi istənilən başqa rəqəmi götürə bilərik. Nəticə müxtəlif ədədlərin sonsuz çeşidi olacaq. Bəzən, buna baxmayaraq, ali riyaziyyatda 0-a bölmənin mənası var, lakin sonra adətən müəyyən bir şərt yaranır, bunun sayəsində hələ də bir uyğun nömrə seçə bilərik. Bu hərəkət "qeyri-müəyyənliyin açıqlanması" adlanır. Adi hesabda sıfıra bölmək yenidən mənasını itirəcək, çünki çoxluqdan heç bir ədəd seçə bilməyəcəyik.

Vacibdir! Sıfırı sıfıra bölmək olmaz.

Sıfır və sonsuzluq

Yüksək riyaziyyatda sonsuzluq çox yaygındır. Məktəblilərin hələ də sonsuzluqla riyazi əməliyyatların olduğunu bilməsi sadəcə vacib olmadığı üçün müəllimlər uşaqlara niyə sıfıra bölməyin mümkün olmadığını izah edə bilmirlər.

Tələbələr ilkin riyazi sirləri yalnız institutun birinci kursunda öyrənməyə başlayırlar. Ali riyaziyyat həlli olmayan çoxlu problemlər toplusunu təqdim edir. Ən məşhur problemlər sonsuzluğu olan problemlərdir. ilə həll edilə bilər riyazi analiz.

Sonsuzluğa da müraciət edə bilərsiniz elementar riyazi əməliyyatlar:əlavə, ədədə vurma. Adətən, çıxma və bölmə də istifadə olunur, lakin sonda onlar yenə də iki sadə əməliyyata qədər qaynayırlar.

Amma nə olacaq cəhd etsəniz:

• Sonsuzluq dəfə sıfır. Nəzəri olaraq hər hansı bir ədədi sıfıra vurmağa çalışsaq, sıfır alacağıq. Lakin sonsuzluq qeyri-müəyyən ədədlər toplusudur. Bu çoxluqdan bir ədəd seçə bilmədiyimiz üçün ∞ * 0 ifadəsinin həlli yoxdur və tamamilə mənasızdır.
• Sıfır sonsuzluğa bölünür. Eyni hekayə yuxarıda olduğu kimi burada da baş verir. Biz bir ədəd seçə bilmirik, yəni nəyə bölmək lazım olduğunu bilmirik. İfadə mənasızdır.

Vacibdir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənlikdən bir az fərqlidir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənliyin bir növüdür.

İndi sonsuzluğu sıfıra bölməyə çalışaq. Görünür, qeyri-müəyyənlik olmalıdır. Amma bölməni vurma ilə əvəz etməyə çalışsaq, çox dəqiq cavab alırıq.

Məsələn: ∞ / 0 = ∞ * 1/0 = ∞ * ∞ = ∞.

Belə çıxır riyazi paradoks.

Cavab verin, niyə sıfıra bölmək olmaz

Düşüncə təcrübəsi, sıfıra bölməyə çalışmaq

Nəticə

Beləliklə, indi biz bilirik ki, sıfır bir təkdən başqa, demək olar ki, bütün əməliyyatlara tabedir. Sıfıra bölmək olmaz, çünki nəticə qeyri-müəyyənlikdir. Sıfır və sonsuzluqla hərəkətləri necə yerinə yetirməyi də öyrəndik. Qeyri-müəyyənlik bu cür hərəkətlərin nəticəsi olacaq.

Əsas elementar funksiyalar sıralanır.

Daha mürəkkəb bir növ funksiyalara keçərkən, əlbəttə ki, mənası müəyyən edilməmiş ifadələrin görünüşü ilə qarşılaşacağıq. Belə ifadələr deyilir qeyri-müəyyənliklər.

Hamısını sadalayırıq qeyri-müəyyənliklərin əsas növləri: sıfır sıfıra bölünür (0-a 0), sonsuzluq sonsuza bölünür, sıfır sonsuza vurulur, sonsuzluq mənfi sonsuzluq, bir sonsuzluq gücünə, sıfır sıfırın gücünə, sonsuzluq sıfırın gücünə.

BÜTÜN DİGƏR Qeyri-müəyyənlik bəyanatları TAM XÜSUSİ YEKUN VƏ YA SONSUZ DƏYƏRLƏR DEYİL VƏ ALINIR.

Qeyri-müəyyənlikləri üzə çıxarın imkan verir:

• funksiya növünün sadələşdirilməsi (qısaldılmış vurma düsturlarından, triqonometrik düsturlardan istifadə etməklə ifadənin çevrilməsi, ardınca abreviatura ilə birləşdirici ifadələrlə vurma və s.);
• gözəl məhdudiyyətlərdən istifadə etmək;
• L'Hôpital qaydasının tətbiqi;
• sonsuz kiçik ifadənin ekvivalenti ilə əvəz edilməsindən istifadə etməklə (ekvivalent sonsuz kiçiklər cədvəlindən istifadə etməklə).

Gəlin qeyri-müəyyənlikləri qruplaşdıraq qeyri-müəyyənlik cədvəli... Hər bir qeyri-müəyyənlik növü onun açıqlanması üsulu ilə (həddini tapmaq üsulu) əlaqələndirilir.

Bu cədvəl əsas elementar funksiya limitləri cədvəli ilə birlikdə istənilən limitləri tapmaqda əsas alətləriniz olacaq.

Dəyərin dəyişdirilməsindən sonra hər şey dərhal alındıqda və qeyri-müəyyənliklər yaranmadıqda bir neçə misal verək.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Və dərhal cavab aldı.

Cavab:

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Eksponensial funksiyamızın əsasında x = 0 dəyərini əvəz edin:

Yəni limit kimi yenidən yazıla bilər

İndi göstəriciyə baxaq. Bu güc funksiyasıdır. Mənfi eksponentli güc funksiyaları üçün limitlər cədvəlinə müraciət edək. Oradan bizdə və , buna görə də yaza bilərik .

Buna əsasən, limitimiz belə yazılacaq:

Yenidən limitlər cədvəlinə müraciət edirik, lakin bazası birdən böyük olan eksponensial funksiyalar üçün, buradan əldə edirik:

Cavab:

Ətraflı həlləri olan nümunələrə nəzər salaq ifadələrin çevrilməsi ilə qeyri-müəyyənliklərin açılması.

Çox vaxt qeyri-müəyyənliklərdən xilas olmaq üçün hədd işarəsi altındakı ifadəni bir az dəyişdirmək lazımdır.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Qeyri-müəyyənliyə gəldi. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənliklər cədvəlinə baxırıq. İfadəsini sadələşdirməyə çalışır.

Cavab:

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Qeyri-müəyyənliyə (0-dan 0) gəldik. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənliklər cədvəlinə baxırıq və ifadəni sadələşdirməyə çalışırıq. Gəlin həm payı, həm də məxrəci məxrəcə birləşdirilən ifadəyə vuraq.

Məxrəc üçün qoşma ifadədir

Qısaldılmış vurma formulunu tətbiq etmək üçün məxrəci çoxaltdıq - kvadratlar fərqi və sonra nəticədə ifadəni azaldın.

Bir sıra transformasiyalardan sonra qeyri-müəyyənlik aradan qalxdı.

Cavab:

ŞƏRH: bu cür hədlər üçün birləşmiş ifadələrlə çarpma üsulu tipikdir, ona görə də istifadə etməkdən çəkinməyin.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edin:

Qeyri-müəyyənliyə gəldi. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənliklər cədvəlinə baxırıq və ifadəni sadələşdirməyə çalışırıq. Həm pay, həm də məxrəc x = 1-də itdiyindən, bu ifadələr varsa, (x-1) azaltmaq mümkün olacaq və qeyri-müəyyənlik aradan qalxacaq.

Gəlin sayacı çarpayılara ayıraq:

Məxrəci faktorlara ayıraq:

Limitimiz aşağıdakı formada olacaq:

Transformasiyadan sonra qeyri-müəyyənlik üzə çıxdı.

Cavab:

Güc ifadələrindən sonsuzluqdakı hədləri nəzərdən keçirin. Əgər eksponensial ifadənin göstəriciləri müsbətdirsə, sonsuzluqdakı həddi sonsuzdur. Üstəlik, əsas əhəmiyyət ən böyük dərəcədir, qalanları atmaq olar.

Misal.

Misal.

Əgər həddi işarənin altındakı ifadə kəsrdirsə və həm paylayıcı, həm də məxrəc eksponensial ifadələrdirsə (m - ayırıcının dərəcəsi, n - məxrəcin dərəcəsidir), onda formanın sonsuzluğunun qeyri-müəyyənliyi olduqda. bu halda sonsuzluğa qeyri-müəyyənlik üzə çıxır bölmə və say və məxrəc ilə

Misal.

Limiti hesablayın

Əgər ədəd sonsuzluğa bölünürsə, onda hissə sıfıra meyl edəcək? İçəridə davam etdi və daha yaxşı cavab aldı

Olenka [yeni başlayan] tərəfindən cavab
hamısı 0
Krab qabığı
Oracle
(56636)
Yox. Tam sıfır. Bölən sonsuzluğa meylli olduğu kimi, hissə də sıfıra meyl edəcəkdir. Əgər sonsuzluğa meylli bir ədədə deyil, sonsuzluğun özünə görə bölsək (yeri gəlmişkən, bu, daha doğrusu, rəsmi olaraq ümumiyyətlə nömrə hesab edilmir, ancaq nömrələrin təyinatını tamamlayan xüsusi simvol hesab olunur) - tam olaraq sıfır .

-dan cavab Avqey Vladimir[quru]
Sıfır, hətta onu bölsəniz də, hətta istənilən ədədə vursanız belə, yenə də sıfır olacaq!

-dan cavab 1 23 [quru]
əgər bəzi boşluqlar sıfıra meyl edirsə, onu sonlu bir şeyə (ədəd və ya məhdud funksiya) vurmaq faydasızdır, hər şeyin-rna ananın sıfıra meyl etdiyi patamu.
ancaq sonsuzluğa can atan nə cür şeylə çoxalsanız, variantlar ola bilər.

-dan cavab Krab qabığı[quru]
Sonsuzluğa bölündükdə istənilən ədəd sıfır olacaq. Dəqiq sıfır, "sıfıra getmək" yoxdur. Və sonra onu hansı rəqəmə vursan, sıfıra bərabərdir. Və sıfırın sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəmə bölünməsinin nəticəsi sıfır olacaq, yalnız sıfırı sıfıra bölmək zamanı nəticə müəyyən edilmir, hər hansı bir ədədin bölünmə kimi necə uyğun olacağı müəyyən edilmir.

Funksiyanın törəməsi çox uzağa düşmür və L'Hôpital qaydalarına gəldikdə, o, ilkin funksiya ilə tam olaraq eyni istiqamətə düşür. Bu vəziyyət 0/0 və ya ∞ / ∞ formasının qeyri-müəyyənliklərini və hesablama zamanı yaranan bəzi digər qeyri-müəyyənlikləri açıqlamağa kömək edir. limit iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyaların nisbəti. Hesablama bu qaydanın köməyi ilə çox sadələşdirilmişdir (əslində iki qayda və onlara qeydlər):

Yuxarıdakı düsturdan göründüyü kimi, iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyanın nisbət həddi hesablanarkən, iki funksiyanın nisbət həddi onların nisbət həddi ilə əvəz edilə bilər. törəmələri və bununla da müəyyən nəticə əldə edin.

L'Hôpital qaydalarının daha dəqiq formalaşdırılmasına keçək.

İki sonsuz kiçik kəmiyyətin həddi halı üçün L'Hôpital qaydası... Qoy funksiyalar f(x) və g(x a... Və elə məqamda a a funksiyanın törəməsi g(x) sıfıra bərabər deyil ( g"(x a bir-birinə bərabərdir və sıfıra bərabərdir:

.

İki sonsuz böyük miqdarın həddi halı üçün L'Hôpital qaydası... Qoy funksiyalar f(x) və g(x) nöqtənin bəzi qonşuluğunda törəmələri (yəni diferensiallaşan) var a... Və elə məqamda a onların törəmələri ola bilər və ya olmaya da bilər. Üstəlik, məntəqənin yaxınlığında a funksiyanın törəməsi g(x) sıfıra bərabər deyil ( g"(x) ≠ 0) və bu funksiyaların hədləri x nöqtəsində funksiyanın qiymətinə meyllidir. a bir-birinə bərabərdir və sonsuzluğa bərabərdir:

.

Onda bu funksiyaların nisbətinin həddi onların törəmələrinin nisbətinin həddinə bərabərdir:

Başqa sözlə, 0/0 və ya ∞ / ∞ formasının qeyri-müəyyənlikləri üçün iki funksiyanın nisbətinin həddi, əgər sonuncu mövcuddursa, onların törəmələrinin nisbətinin həddinə bərabərdir (sonlu, yəni müəyyən sayda və ya sonsuz, yəni sonsuzluğa bərabərdir).

Qeydlər.

1. L'Hôpital qaydaları funksiyaları yerinə yetirdikdə də tətbiq edilir f(x) və g(x) üçün müəyyən edilmir x = a.

2. Əgər funksiyaların törəmələrinin nisbətinin həddi hesablanarkən f(x) və g(x) yenə 0/0 və ya ∞ / ∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə çatırıq, onda L'Hôpital qaydaları dəfələrlə (ən azı iki dəfə) tətbiq edilməlidir.

3. L'Hôpital qaydaları, (x) funksiyalarının arqumenti sonlu ədədə meyl etmədikdə də tətbiq edilir. a, və sonsuzluğa ( x → ∞).

Digər növ qeyri-müəyyənliklər də 0/0 və ∞ / ∞ tipli qeyri-müəyyənliklərə endirilə bilər.

“Sıfırın sıfıra bölünməsi” və “sonsuzluğun sonsuza bölünməsi” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 1.

x= 2 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyi ilə nəticələnir. Buna görə də hər bir funksiyanın törəməsi və əldə edirik

Çoxhədlinin törəməsi sayda, məxrəcdə isə - mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi... Son bərabərlik işarəsindən əvvəl, adi limit, x əvəzinə iki əvəz edir.

Misal 2. L'Hôpital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Həll. Verilmiş funksiyada dəyərin dəyişdirilməsi x

Misal 3. L'Hôpital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Həll. Verilmiş funksiyada dəyərin dəyişdirilməsi x= 0 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyi ilə nəticələnir. Buna görə də, funksiyaların pay və məxrəcdə törəmələrini hesablayırıq və alırıq:

Misal 4. Hesablayın

Həll. Verilmiş funksiyaya sonsuzluğa bərabər olan x dəyərinin əvəz edilməsi ∞ / ∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Beləliklə, L'Hôpital qaydasını tətbiq edirik:

Şərh. Birinci törəmələrin nisbətinin həddi 0 formasının qeyri-müəyyənliyi olduğundan, L'Hôpital qaydasının iki dəfə tətbiq edilməli olduğu, yəni ikinci törəmələrin nisbətlərinin həddinə çatması lazım olan nümunələrə müraciət edək. /0 və ya ∞ / ∞.

"Sıfırla sonsuzluq" formasının qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 12. Hesablayın

.

Həll. alırıq

Bu nümunə triqonometrik eynilikdən istifadə edir.

“Sıfırın gücünə sıfır”, “Sıfırın gücünə sonsuzluq” və “sonsuzluğun gücünə bir” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması.

Formanın qeyri-müəyyənlikləri və ya adətən formanın funksiyasının loqarifmindən istifadə edərək 0/0 və ya ∞ / ∞ formasına endirilir.

İfadə limitini hesablamaq üçün xüsusi halı loqarifmin xassəsi olan loqarifmik eynilikdən istifadə etmək lazımdır. .

Loqarifmik eynilikdən və funksiyanın davamlılıq xassəsindən istifadə edərək (həddi işarədən kənara çıxmaq üçün) həddi aşağıdakı kimi hesablamaq lazımdır:

Ayrı-ayrılıqda eksponentdə ifadə limitini tapmalı və qurmalısınız e tapılan dərəcəyə qədər.

Misal 13.

Həll. alırıq

.

.

Misal 14. L'Hôpital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Həll. alırıq

Göstəricidə ifadənin limitini hesablayırıq

.

.

Misal 15. L'Hôpital qaydasından istifadə edərək hesablayın