Köklü funksiya əhatə dairəsi. Bir funksiyanın əhatə dairəsini necə tapmaq olar

Hər bir funksiyanın iki dəyişən var - dəyərləri müstəqil dəyişənin dəyərlərindən asılı olan müstəqil dəyişən və asılı dəyişən. Məsələn, funksiyada y = f(x) = 2x + y müstəqil dəyişən "x" və asılı dəyişən "y" (başqa sözlə, "y" "x" funksiyasıdır). Müstəqil "x" dəyişkəninin etibarlı dəyərlərinə funksiyanın sahəsi, asılı olan "y" dəyişəninin etibarlı dəyərlərinə funksiyanın sahəsi deyilir.

Addımlar

Hissə 1

Sizə verilən funksiyanın növünü təyin edin. Funksiyanın dəyərlər diapazonu, "y" -in qəbul edilə bilən dəyərlərinə uyğun olan "x" (üfüqi ox boyunca təsvir edilmiş) bütün qəbul edilə bilən dəyərlərdir. Funksiya kvadratik ola bilər və ya fraksiyaları və kökləri ehtiva edə bilər. Bir funksiyanın sahəsini tapmaq üçün əvvəlcə funksiyanın növünü təyin etməlisiniz.

1. Funksiyanın əhatə dairəsi üçün uyğun girişi seçin. Kapsam kvadrat və / və ya mötərizədə yazılmışdır. Kvadrat mötərizə dəyər funksiya tərifi daxilində olduqda tətbiq olunur; dəyər əhatə dairəsində deyilsə, mötərizədən istifadə olunur. Funksiyanın bitişik olmayan bir neçə müəyyən etki sahəsi varsa, aralarında "U" işarəsi qoyulur.

   • Məsələn, [-2,10) U (10,2] domeni -2 və 2 dəyərlərini əhatə edir, lakin 10 dəyərini daxil etmir.

2. Qrafik qurun kvadrat funksiya. Belə bir funksiyanın qrafiki, qolları yuxarıya və ya aşağıya yönəlmiş bir paraboldur. Parabola bütün X oxunda artdıqda və ya azaldığından, kvadrat funksiyanın sahəsi bütün həqiqi ədədlərdir. Başqa sözlə, belə bir funksiyanın sahəsi R çoxluğudur (R bütün həqiqi rəqəmləri ifadə edir).

   • Bir funksiya anlayışını daha yaxşı başa düşmək üçün hər hansı bir "x" dəyərini seçin, onu funksiyanın yerinə qoyun və "y" dəyərini tapın. "X" və "y" cütlüyü funksiyanın qrafikində yerləşən koordinatları (x, y) olan bir nöqtəni təmsil edir.
   • Bu nöqtəni koordinat müstəvisinə çəkin və təsvir olunan prosesi fərqli "x" dəyəri ilə izləyin.
   • Koordinat müstəvisində bir neçə nöqtə çəkərək, funksiya qrafiki şəklində ümumi bir fikir əldə edəcəksiniz.

3. Əgər funksiyada bir hissə varsa, onun məxrəcini sıfıra qoyun. Unutmayın ki, sıfıra bölə bilməzsiniz. Buna görə məxrəci sıfıra bərabərləşdirdikdə, "x" üçün funksiya daxilində olmayan dəyərlər tapacaqsınız.

   • Məsələn, f (x) \u003d (x + 1) / (x - 1) funksiyasının sahəsini tapın.
   • Burada məxrəc (x - 1) -dir.
   • Məxrəcə sıfıra bərabərləşdirin və "x" tapın: x - 1 \u003d 0; x \u003d 1.
   • Funksiyanın əhatə dairəsini yazın. Domen 1-i daxil etmir, yəni 1-dən başqa bütün həqiqi nömrələri əhatə edir. Beləliklə, funksiyanın sahəsi: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • (-∞, 1) U (1, ∞) işarəsi belə oxunur: 1-dən başqa bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu. Sonsuzluq işarəsi ∞ bütün həqiqi rəqəmləri bildirir. Bizim nümunəmizdə, 1-dən böyük və 1-dən az olan bütün həqiqi rəqəmlər əhatə dairəsinə daxil edilmişdir.

4. Əgər funksiyada kvadrat kök varsa, radikal ifadə sıfırdan böyük və ya ona bərabər olmalıdır. Mənfi rəqəmlərin kvadrat kökünün çıxarılmadığını unutmayın. Buna görə radikal ifadənin mənfi hala gəldiyi hər hansı bir "x" dəyəri funksiyanın əhatə dairəsindən xaric edilməlidir.

   • Məsələn, f (x) \u003d √ (x + 3) funksiyasının sahəsini tapın.
   • Radikal ifadə: (x + 3).
   • Radikal ifadə sıfırdan çox və ya bərabər olmalıdır: (x + 3) ≥ 0.
   • "X" tapın: x ≥ -3.
   • Bu funksiyanın əhatə dairəsinə -3-dən çox və ya bərabər olan bütün həqiqi ədədlər toplusu daxildir. Beləliklə, tərif sahəsi [-3, ∞) -dir.

Hissə 2

1. Sizə kvadrat funksiya verildiyindən əmin olun. Kvadratik funksiyanın forması belədir: ax 2 + bx + c: f (x) \u003d 2x 2 + 3x + 4. Belə bir funksiyanın qrafiki budaqları yuxarıya və ya aşağıya yönəldilmiş bir paraboldur. Kvadratik funksiyanın dəyərlər aralığını tapmaq üçün müxtəlif metodlar mövcuddur.

   • Kök və ya fraksiya funksiyasını tapmaq üçün ən asan yol bu funksiyanı qrafiki kalkulyatordan istifadə etməklə qrafiq etməkdir.

2. Funksiya qrafikinin təpəsinin x koordinatını tapın. Kvadratik funksiya üçün parabolanın təpəsinin x koordinatını tapın. Kvadratik funksiyanın belə olduğunu unutmayın: ax 2 + bx + c. X koordinatını hesablamaq üçün aşağıdakı tənlikdən istifadə edin: x \u003d -b / 2a. Bu tənlik əsas kvadratik funksiyanın bir törəməsidir və yamacı sıfıra bərabər olan (parabolanın təpəsinə toxunma X oxuna paralel) bir toxunuşu təsvir edir.

   • Məsələn, 3x 2 + 6x -2 funksiyasının aralığını tapın.
   • Parabola təpəsinin x koordinatını hesablayın: x \u003d -b / 2a \u003d -6 / (2 * 3) \u003d -1

3. Funksiya qrafikinin zirvəsinin y koordinatını tapın. Bunu etmək üçün tapılan koordinat "x" funksiyasını yerinə qoyun. Axtarılan koordinat "y", funksiyanın dəyərlər aralığının limit dəyəridir.

   • Y koordinatını hesablayın: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 \u003d -5
   • Bu funksiyanın parabolasının təpəsinin koordinatları (-1, -5) -dir.

4. Parabolanın istiqamətini funksiyaya ən azı bir x dəyəri qoyaraq təyin edin. Başqa x dəyərini seçin və uyğun y dəyərini hesablamaq üçün funksiyaya qoşun. Tapılan "y" dəyəri parabolanın təpəsinin koordinatından "y" -dən çoxdursa, parabola yuxarıya yönəldilir. Tapılan "y" dəyəri parabolanın təpəsinin koordinatından "y" -dən azdırsa, parabola aşağıya yönəldilmişdir.

   • Funksiyada x \u003d -2 əvəz edin: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d y \u003d 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 \u003d 12 -12 -2 \u003d -2.
   • Parabolada uzanan nöqtənin koordinatları: (-2, -2).
   • Tapılan koordinatlar parabolanın budaqlarının yuxarıya doğru yönəldiyini göstərir. Beləliklə, funksiya aralığına -5-dən çox və ya bərabər olan bütün y dəyərləri daxildir.
   • Bu funksiyanın dəyərlər diapazonu: [-5, ∞)

5. Bir funksiyanın dəyərlər diapazonu bir funksiyanın tərif aralığı ilə eyni şəkildə yazılır. Kvadrat mötərizə dəyər funksiya aralığında olduqda istifadə olunur; dəyər aralıqda deyilsə, mötərizədən istifadə olunur. Funksiyanın bitişik olmayan bir neçə dəyər aralığı varsa, aralarında "U" işarəsi qoyulur.

   • Məsələn, [-2,10) U (10,2] aralığına -2 və 2 dəyərləri daxildir, lakin 10 dəyərini daxil etmir.
   • Parantezlər həmişə sonsuzluq symbol işarəsi ilə istifadə olunur.

Çox vaxt tapşırıqları yerinə yetirərkən problem yaranır, bir funksiyanın əhatə dairəsini necə tapmaq olar? Bu, qrafik qurarkən və funksiyanın dəyərlərini araşdırarkən əvəzolunmazdır.

Bir funksiyanın əhatə dairəsini başa düşmək

Funksiyanın sahəsi X (X) funksiyasının mənalı olduğu X funksiyasının dəyişəninin dəyərlər məcmusudur. Daha doğrusu, f (X) -nın reallıqda mövcud ola biləcəyi X dəyişən funksiyasının dəyərini demək olardı. Məsələn, funksiyanın ümumiyyətlə mövcud ola bilməyəcəyi vəziyyətə baxılması təklif olunur. Birinci ifadəyə baxacağımız ilk vəziyyət. Bir hissə olduqda, məxrəc sıfıra bərabər olmamalıdır, sadə səbəbdən bu cür kəsrli ifadələrin sadəcə mövcud olmaması, çünki nəticədə sıfır dəyərinə gətirib çıxarır və hesabın qızıl qaydalarından biri sıfıra bölünə bilməz.

Sıfır ayrıldıqda, kəsirin özü ilə məşğul olaq. Funksiyanın sahəsini, eyni kəsrə malik olan nümunələri tapmaq və X dəyişəninin dəyərini təyin etmək üçün hissəni sıfıra bərabərləşdirməliyik və bu tənliyi həll edərək həll dəyişənliyindən çıxarılacaq X dəyişəninin dəyərini alırıq. İkinci nümunə, funksiyamızda bərabər bir kök olmasıdır. Burada tam fəaliyyət sərbəstliyimiz var, çünki belə bir funksiyanı həll edərkən, radikal sayın hər hansı bir variantı üçün, funksiya tərifinin əhatə dairəsindən daha da çıxarılacaq müsbət cavab alırıq. Tək bir müsbət kök ədədi ilə kifayətləndiyimizdə tək dərəcənin kökü haqqında nə deyə bilmərik.

Həll nümunələri

Başqa bir nümunə, loqaritma tərəfindən verilən funksiyanın məlumatlarının sahəsini tapmaq lazım olduqda. Burada olduqca sadədir, loqarifmin sahəsi bütün müsbət rəqəmlərdir. Və dəyişənin dəyərlərini tapmaq üçün verilmiş loqarifma üçün bərabərsizliyi həll etməlisiniz. Sublagoritmik ifadənin mənfi olacağı yer. [-1: 1] intervalında təyin olunan ters trigonometrik funksiyaları, yəni arksin və arkosinləri nəzərə almaq lazımdır. Bunu etmək üçün, bu funksiyalar tərəfindən göstərilən ifadənin dəyərinin əvvəlcədən bilinən bir aralığa düşdüyünə əmin olmalısınız və hər şeyi dəyişənin dəyərlərindən etibarlı şəkildə kənarlaşdırırıq.

Funksiyada, məsələn, mürəkkəb bir hissə varsa, funksiyanın sahəsini tapmaq üçün bir nümunə. Məsələn, məxrəc arksin kökünə bənzəyəcəkdir. Bu vəziyyətdə, yalnız arksinin mövcud ola biləcəyi dəyişənin dəyərlərini seçmək lazımdır və onlardan arksinin sıfıra bərabər olan dəyərini çıxarırıq (bu nümunədəki məxrəc olduğu üçün), növbəti addım sadə səbəbdən bütün mənfi dəyərləri xaric etməkdir. kök dəyər funksiyasının şərtini təmin etmirlər. Qalan bütün dəyərlər istədiyiniz dəyərlərdir.

Tutaq ki, funksiyamız y \u003d a / b şəklindədir, əhatə dairəsi sıfırdan başqa bütün dəyərlərdir. A rəqəminin dəyəri tamamilə hər şey ola bilər. Məsələn, y \u003d 3 / 2x-1 funksiyasının məlumat sahəsini tapmaq üçün, verilmiş hissənin məxrəcinin sıfıra bərabər olmayacağı X dəyərlərini tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün məxrəci sıfıra bərabərləşdiririk və həllini tapırıq, bundan sonra y on c 0.5-ə bərabər cavab alır (x: 2x - 1 \u003d 0; 2x \u003d 1; x \u003d ½; x \u003d 0.5) Bundan sonra sahədən funksiya tərifi 0.5 dəyərini istisna etməlidir. Bir funksiyanın sahəsini tapmaq üçün həll yolu nəzərə alınmalıdır ki, verilən ifadə ya müsbət, ya da sıfıra bərabər olmalıdır.

Y \u003d √3x-9 funksiyası nümunələrinin tərif sahəsini tapmaq lazımdır, yuxarıdakı şərtə əsaslanaraq ifadəmizi 3x ≥ 9 bərabərsizlik formasına çeviririk; x ≥ 3; 0, qərar verildikdən sonra x-nin 3-dən çox və ya bərabər olduğuna gəldikdə və bütün bu dəyərləri funksiyanın sahəsindən xaric etdikdə, radikal ifadənin funksiyasının tərif bir göstərici ilə təyini sahəsini təyin edərkən, bu vəziyyətdə X-in dəyəri ola biləcəyi nəzərə alınmalıdır. radikal ifadə kəsr deyil və X məxrəcdə deyilsə. misal: y \u003d ³√2x-5, sadəcə X dəyişəninin hər hansı bir real ədədi ola biləcəyini göstərə bilərsiniz. Bir funksiyanın domenini necə tapmaq olar, heç bir halda loqaritma altında verilən rəqəmin müsbət olması lazım olduğunu unutmamalısınız.

Nümunə: y \u003d log2 (4x - 1) funksiyası məlumatlarının sahəsini tapmaq lazımdır. Yuxarıdakı şərt nəzərə alınaraq, bu funksiyanın dəyərini tapmaq aşağıdakı kimi hesablanmalıdır, 4x - 1\u003e 0; bu 4x\u003e 1 nəzərdə tutur; x\u003e 0,25. Və bizə verilən funksiyanın əhatə dairəsi 0,25-dən yuxarı olan bütün dəyərlərə bərabər olacaqdır.

Bəzi saytlar funksiya tərifinin əhatə dairəsini onlayn tapmağı və həllər axtararkən vaxt qazanmağı təklif edir. Xüsusilə tələbələr və tələbələr üçün çox rahat bir xidmətdir.

Kvadrat kök funksiyası yalnız "x" olduqda bu dəyərlər üçün müəyyən edilir radikal ifadə mənfi deyil:. Kök məxrəcdə yerləşirsə, şərt açıq şəkildə sərtdir :. Bənzər hesablamalar müsbət bir dərəcənin istənilən kökü üçün etibarlıdır: Bununla birlikdə, kök artıq 4-cü dərəcədir tədqiqat funksiyaları Yadımda deyil.

Nümunə 5

Qərar: radikal ifadə mənfi olmamalıdır:

Çözümlə davam etməzdən əvvəl bərabərsizliklərlə işləmək üçün məktəbdən bilinən əsas qaydaları xatırlatım.

Xüsusi diqqət yetirin! İndi bərabərsizliklərə baxılır bir dəyişən ilə - yəni bizim üçün yalnız var ox boyunca bir ölçü... Xahiş edirəm qarışdırmayın iki dəyişənin bərabərsizlikləribütün koordinat müstəvisinin həndəsi cəhətdən əlaqəli olduğu yer. Ancaq xoş təsadüflər də var! Beləliklə, bərabərsizlik üçün aşağıdakı dəyişikliklər bərabərdir:

1) İşarələr dəyişdirilərək şərtlər hissədən hissəyə köçürülə bilər.

2) bərabərsizliyin hər iki tərəfi müsbət ədədə vurula bilər.

3) bərabərsizliyin hər iki tərəfi də vurulursa mənfi nömrə, sonra dəyişdirməlisiniz bərabərsizliyin özü... Məsələn, "daha çox" olsaydı, "az" olacaq; "az və ya bərabər" idisə, "daha böyük və ya bərabər" olacaqdır.

Eşitsizlikdə, "üçü" işarəsini dəyişdirərək sağ tərəfə ötürürük (qayda # 1):

Eşitsizliyin hər iki tərəfini -1-ə vurun (qayda # 3):

Bərabərsizliyin hər iki tərəfini də (qayda # 2) vuraq:

Cavab verin: domen:

Cavab ekvivalent cümləsi ilə də yazıla bilər: "funksiya atda təyin olunur".
Həndəsi olaraq, tərif bölgəsi, absissa oxundakı uyğun aralıqların çıxarılması ilə təsvir olunur. Bu halda:

Tərif sahəsinin - funksiyanın qrafikinin həndəsi mənasını bir daha xatırladıram yalnız kölgəli ərazidə mövcuddur və yoxdur.

Əksər hallarda, tərif sahəsinin tamamilə analitik tapılması uyğun gəlir, lakin funksiya çox qarışıq olduqda bir ox çəkib qeydlər etməlisiniz.

Nümunə 6

Bir funksiyanın sahəsini tapın

Bu özünüz et həll yolu üçün bir nümunədir.

Kvadrat kökün altında bir kvadrat binomiya və ya trinomial olduqda, vəziyyət bir az daha mürəkkəbləşir və indi həll üsulunu ətraflı təhlil edəcəyik:

Nümunə 7

Bir funksiyanın sahəsini tapın

Qərar: radikal ifadə qəti şəkildə müsbət olmalıdır, yəni bərabərsizliyi həll etməliyik. İlk addımda kvadrat trinomialı nəzərə almağa çalışırıq:

Diskriminant müsbətdir, kökləri axtarırıq:

Beləliklə parabola absissa oxunu iki nöqtədən keçir, bu da parabolanın bir hissəsinin oxun altında yerləşdiyini (bərabərsizlik) və parabolanın bir hissəsinin oxun üstündə olduğunu (bizə lazım olan bərabərsizliyi) göstərir.

Katsayısı olduğundan, parabola budaqları yuxarıya baxır. Yuxarıda deyilənlərdən belə çıxır ki, bərabərsizlik aralıqlarla yerinə yetirilir (parabolanın budaqları sonsuzluğa qalxır) və parabolanın təpəsi bərabərsizliyə uyğun olan absis oxunun altındakı arada yerləşir:

! Qeyd: izahatları tam başa düşmürsənsə, ikinci oxu və bütün parabolanı çək! Məqaləyə qayıtmaq məsləhətdir Elementar funksiyaların qrafikləri və xüsusiyyətləri və təlimat İsti Düsturlar Məktəbi Riyaziyyat Kursu.

Xahiş edirik unutmayın ki, bərabərsizliyimiz sərt olduğundan nöqtələrin özləri deşilir (həll daxil deyil).

Cavab verin: domen:

Ümumiyyətlə, bir çox bərabərsizlik (nəzərdən keçirilmiş də daxil olmaqla) universal tərəfindən həll olunur interval metodu, yenidən bilinir məktəb tədris proqramı... Ancaq kvadratın iki və üç dövrlü vəziyyətlərində, mənim fikrimcə, parabolanın oxa nisbətən mövqeyini təhlil etmək daha rahat və daha sürətli olur. Və əsas metod - fasilələr metodu, məqalədə ətraflı təhlil edəcəyik Fəaliyyət sıfırları. Sabitlik aralıqları.

Nümunə 8

Bir funksiyanın sahəsini tapın

Bu özünüz et həll yolu üçün bir nümunədir. Nümunə, tələbənin bir ayağında ..., ... hmm ... ayağının hesabına axsayacağını bilmədən, düşünmənin məntiqi + həll yolunun ikinci yolu və bərabərsizliyin başqa bir mühüm çevrilməsini ətraflı izah etdi, bəlkə də həyəcanlandı, daha çox - bir barmağında. Başparmak.

Bütün ədədi sətirdə bir kvadrat kök funksiyası təyin edilə bilərmi? Əlbəttə. Bütün tanış simalar:. Və ya bir sərgi ilə oxşar bir məbləğ:. Həqiqətən, "x" və "ka" hər hansı bir dəyəri üçün: buna görə də doğrudur və .. Məsələn, funksiya bütün ədədi sətirdə təyin olunur. Bununla birlikdə, funksiyanın məxrəc sıfıra çevrildiyi üçün hələ tərif sahəsinə daxil edilməyən tək bir nöqtə var. Funksiya üçün eyni səbəbdən nöqtələr istisna olunur.

Bəzi sayt ziyarətçilərinə bəhs olunan nümunələr ibtidai və ibtidai kimi görünəcək, lakin bu təsadüfi deyil - birincisi, noobs üçün materialı "kəskinləşdirməyə" çalışıram, ikincisi, gələcək vəzifələr üçün real şeyləri seçirəm: tam funksiyalı iş, tapmaq iki dəyişəndən ibarət bir funksiyanın sahələrivə digərləri. Riyaziyyatda hər şey bir-birinə yapışır. Çətinlik sevənlər də kənarda qalmasa da, həm burada, həm də dərsdə daha möhkəm tapşırıqlarla qarşılaşacaqsınız
fasilələr metodu haqqında.