Trigonometrik funksiyaları asanlaşdırmaq üçün düsturlar. Triqonometrik ifadələrin eyni dəyişiklikləri

Voronkov Olga İvanovna

MBOU "Orta məktəbi

№ 18 №

g. Engels Saratov rayonu.

Riyaziyyat müəllimi.

"Triqonometrik ifadələr və onların çevrilmələri"

Giriş ............................................... ...........................................

Fəsil 1 Triqonometrik ifadələrin transformasiyalarının istifadəsi üçün tapşırıqların təsnifatı ............................ ...........................................

1.1. Hesablama üçün vəzifələr Triqonometrik ifadələrin dəyərləri ......... 5

1.2. Triqonometrik ifadələri sadələşdirmək üçün tapşırıqlar .... 7

1.3. Ədədi trigonometrik ifadələri çevirmək üçün tapşırıqlar ... ..7

1.4 Qarışıq tipli vəzifələri ................................................... .......................................

Fəsil 2. "Triqonometrik ifadələrin transformasiyası" mövzusunun son təkrarlanmasının metodik cəhətləri ................................ .. 11

2.1 10-cu sinifdə tematik təkrarlama ............................... .. ... 11

1 ..................................................... ................................................

Test 2 ............................................... ..........................................................

Test 3 .......................................... ....................................................

2.2 11-ci sinifdə ümumi təkrarlama ............................... ....................................

1 ..................................................... ...............................................

Test 2 ............................................... ............................................................... ........17

Test 3 .......................................... ...........................................................

Nəticə .......................................... ............................................................... Əntər

İstifadə olunan ədəbiyyatın siyahısı .................................................. ...... .20

Giriş

Bugünkü şəraitdə ən vacib sual budur: "Şagirdlərin biliklərində bəzi boşluqları aradan qaldırmağa və imtahandan mümkün səhvlərdən xəbərdar olmağa necə kömək edə bilərik?" Bu məsələni həll etmək üçün tələbələrin proqram materialının rəsmi assimilyasiyasından, dərin və şüurlu anlayışı, şifahi hesablama və dəyişikliklərin inkişafının inkişafı, habelə həll edilməsi bacarıqlarının inkişafı axtarmaq lazımdır ağıldakı ən sadə vəzifələr. Şagirdləri yalnız aktiv bir mövqe varlığında, riyaziyyatı öyrənərkən, praktik bacarıqlar, bacarıqların alınmasına və istifadəsi ilə təmin olunmasında, real uğurlara arxalana bilər. İstifadəyə hazırlaşmaq üçün hər hansı bir fürsətdən istifadə etmək, o cümlədən 10-11 siniflərdə seçmə maddələr, dərslərdə və əlavə siniflərdə həll etmək üçün ən rasional yolu seçərək tələbələrlə mürəkkəb vəzifələri mütəmadi olaraq təhlil etmək lazımdır.Müsbət nəticə B.riyaziyyat müəllimləri yaratdıqda, tipik tapşırıqların həlli sahəsinə nail olmaq olar Şagirdlərin yaxşı əsas təhsili, qarşımızda açılan problemlərin həlli, fəal sınaqdan keçirməyin, müasir pedaqoji texnologiyalar, metodları, metodlarını, yeni sosial şəraitdə şagirdlərin öz-özünə təyin edilməsi üçün əlverişli şərait yaradan metodları, üsulları tətbiq etməyin yeni yollarını axtarmağın yeni yollarını axtarın.

Triqonometriya, riyaziyyat məktəbinin tərkib hissəsidir. Yaxşı bilik və davamlı trigonometriya bacarıqları, riyaziyyat, fizika, fizika, bir sıra texniki olan riyaziyyat, fizika universitetində uğurlu öyrənmə üçün zəruri bir şərtdirfənlər.

İşin aktuallığı. Məktəb məzunlarının əhəmiyyətli bir hissəsi ildən-ilə son illərin nəticələri sübut edilmiş riyaziyyatın bu vacib hissəsi (2011-248.41.41%, 2012-51.05% faizi), analizidən bəri Tək bir dövlət imtahanının komissiyası, bu cür hissələrin vəzifələrini yerinə yetirərkən və ya bu cür vəzifələrin yerinə yetirilmədiyi zaman tələbələrin bir çox səhvlərə imkan verdiyini göstərdi. Birində Triqometriyalar üzrə dövlət ekspertizası sualları demək olar ki, üç növ vəzifədə tapılır. Bu, Q5 tapşırığındakı ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli və Q7 tapşırığındakı trigonometrik ifadələr və trigonometrik funksiyaların trigonometrik funksiyalarının, habelə fiziki hadisələri təsvir edən və ehtiva edən formulların olduğu trigonometrik funksiyaların öyrənilməsidir Triqonometrik funksiyalar. Və bu, vəzifələrin yalnız bir hissəsidir! Ancaq C1 və C2 və C4-də "Çox sevimli" həndəsi vəzifələri seçilməsi ilə hələ də sevimli trigonometrik tənliklər var.

İşin məqsədi. Məsələn, trigonometrik ifadə haqqında B7-nin materialını təhlil edin və testlərdə meydana gətirmək üçün tapşırıqları nəzərdən keçirin.

İş iki fəsildən, tətbiqi və həbsdən ibarətdir. Girişdə işin aktuallığı vurğulanır. Birinci fəsil, Ege'nin test vəzifələrində trigonometrik ifadələrin transformasiyalarının transformasiyalarının transformasiyalarının istifadəsi üçün tapşırıqların təsnifatı təqdim edir (2012).

İkinci fəsildə bu mövzuda 10, 11 sinif və testlərdə "Triqonometrik ifadələrin transformasiyası" mövzusunun təkrarlanmasının təşkili müzakirə edilmişdir.

İstinadların siyahısı 17 mənbə daxildir.

Fəsil 1. Triqonometrik ifadələrin transformasiyalarından istifadə üçün tapşırıqların təsnifatı.

Orta (tam) təhsil standartına uyğun olaraq (tam) təhsil və tələblərin kodifikasında tələbələrin təlim səviyyəsinə dair tələblər, trigonometriya haqqında biliklər üçün vəzifələr daxil edilmişdir.

Triqonometriyanın təməllərinin öyrənilməsi nə vaxt ən təsirli olacaq:

Əvvəllər öyrənilən materialın təkrarlanması üçün tələbələrin müsbət motivasiyası olacaq;

təhsil prosesi şəxsi yönümlü bir yanaşma həyata keçiriləcəkdir;

tələbələrin biliklərinin genişləndirilməsinə, dərinləşdirilməsinə, sistemləşdirilməsinə kömək edən tapşırıqlar sistemi tətbiq ediləcəkdir;

İnkişaf etmiş pedaqoji texnologiyalardan istifadə ediləcəkdir.

İmtahana hazırlaşmaq üçün ədəbiyyat və internet qaynaqlarını təhlil etdikdən sonra B7 (Kim Ege 2012 Triqonometriyası) tapşırıqlarının mümkün təsnifatlarından birini təklif etdik: tapşırıq tapşırıqları Triqonometrik ifadələrin dəyərləri; Tapşırıqlarədədi trigonometrik ifadələrin çevrilməsi; əlifba trigonometrik ifadələri çevirmək üçün tapşırıqlar; Qarışıq tip tapşırıqlar.

1.1. Hesablama üçün vəzifələr Triqonometrik ifadələrin dəyərləri.

Triqonometriyanın ən çox görülən ən çox yayılmış növlərindən biri, trigonometrik funksiyaların dəyərlərini onlardan birinin dəyəri ilə hesablamaqdır:

a) əsas trigonometrik şəxsiyyətin istifadəsi və onun nəticəsi.

Misal 1. . Tap
və
.

Qərar.
,
,

Çünki T.
.

Cavab.

Misal 2. . Tapmaq
, əgər a
və.

Qərar.
,
,
.

Çünki T.
.

Cavab. .

b) ikili künc formulunun istifadəsi.

Misal 3. . Tapmaq
, əgər a
.

Qərar. . .

Cavab.
.

Misal 4. . İfadənin dəyərini tapın
.

Qərar. .

Cavab.
.

, əgər a
və
. Cavab. -0.2

2. Tapmaq , əgər a
və
. Cavab. 0.4.

, əgər a. Cavab. -12,88.

Tapmaq

, əgər a
. Cavab. -0.84

. Cavab. 6.

1.2. Triqonometrik ifadələri sadələşdirmək üçün tapşırıqlar. Təmizləmə düsturları tələbələr tərəfindən yaxşı öyrənilməlidir, çünki onlar həndəsə, fizika və digər qonşu fənlər dərslərində daha da istifadə edəcəklər.

Misal 5. . İfadələri sadələşdirin
.

Qərar. .

Cavab.
.

Self həllər üçün vəzifələr:

Sözünü sadələşdirmək
.

Tapmaq
, əgər a
və

İfadənin dəyərini tapın
, əgər a
.

1.3. Ədədi trigonometrik ifadələrin dəyişdirilməsi üçün vəzifələr.

Numericomic ifadələrin transformasiyası üçün tapşırıqların bacarıq və bacarıqlarını işləyərkən, trigonometrik funksiyaların dəyərləri cədvəlinə, paritetin xüsusiyyətləri və trigonometrik funksiyaların tezliyinə dair məlumatlara diqqət yetirməlisiniz.

a) Bəzi bucaqlar üçün trigonometrik funksiyaların dəqiq dəyərlərinin istifadəsi.

Misal 6. . Hesablamaq
.

Qərar.
.

Cavab.
.

b) Paritet xüsusiyyətlərindən istifadə triqonometrik funksiyalar.

Misal 7. . Hesablamaq
.

Qərar. .

Cavab.

ilə) Tezliyin xüsusiyyətlərindən istifadətriqonometrik funksiyalar.

Misal 8. . İfadənin dəyərini tapın
.

Qərar. .

Cavab.
.

Self həllər üçün vəzifələr:

İfadənin dəyərini tapın
.

2. İfadənin dəyərini tapın
.

3. İfadənin dəyərini tapın
. Cavab. 6.

.

1.4 Qarışıq tip tapşırıqlar.

Sertifikatlaşdırma test forması çox əhəmiyyətli xüsusiyyətlərə malikdir, buna görə eyni anda bir neçə trigonometrik düsturun istifadəsi ilə əlaqəli vəzifələrə diqqət yetirmək vacibdir.

Misal 9. Tapmaq
, əgər a
.

Qərar.
.

Cavab.
.

Misal 10. . Tapmaq
, əgər a
və
.

Qərar. .

Çünki T.
.

Cavab.
.

Misal 11. Tapmaq
, əgər a.

Qərar. , ,
,
,
,
,
.

Cavab.

Misal 12. Hesablamaq
.

Qərar. .

Cavab.
.

Misal 13. İfadənin dəyərini tapın
, əgər a
.

Qərar. .

Cavab.
.

Self həllər üçün vəzifələr:

Tapmaq
, əgər a
.

Tapmaq
, əgər a
.

3. tapın
, əgər a.

4. İfadənin dəyərini tapın
, əgər a
.

5. İfadənin dəyərini tapın
, əgər a
.

Fəsil 2. "Triqometrik ifadələrin dəyişdirilməsi" mövzusunun son təkrarlanmasının metodoloji cəhətləri.

Akademik performansın daha da yaxşılaşdırılmasına töhfə verən ən vacib məsələlərdən biri, tələbələrdən dərin və davamlı biliklərin əldə edilməsi, əvvəllər keçən materialın təkrarlanması məsələsidir. Təcrübə göstərir ki, 10-cu sinifdə tematik təkrarlama təşkil etmək tövsiyə olunur; 11-ci sinifdə - son təkrarlama.

2.1. 10-cu sinifdə tematik təkrarlama.

Riyazi material üzərində işləmə müddətində hər bir tamamlanmış mövzu və ya kursun bütün hissəsinin təkrarlanması xüsusilə vacibdir.

Tematik təkrarlama halında, tələbələrin keçidinin son mərhələsindəki bilikləri sistemləşdirilib və ya bəzi fasilələrdən sonra.

Tematik təkrarlama üçün, bir mövzuun materialını cəmləşdirən və ümumiləşdirən xüsusi dərslər ayrılır.

Dərsdəki təkrarlama bu söhbətdə şagirdlərin geniş iştirakı ilə söhbətlə həyata keçirilir. Bundan sonra tələbələr müəyyən bir mövzunu təkrarlamaq üçün bir tapşırıq alırlar və test işlərinin test işlərinin aparılacağı barədə xəbərdarlıq edirlər.

Mövzuyla bağlı testin bütün əsas suallarını daxil etməlidir. İşi yerinə yetirdikdən sonra xarakterik səhvlər ilə təhlil edilir və onları aradan qaldırmaq üçün bir təkrarlama təşkil olunur.

Tematik təkrarlama dərsləri üçün inkişaf etmiş təklif olunur testlər şəklində test işləri"Triqonometrik ifadələrin transformasiyası" mövzusunda.

Test nömrəsi 1.

2 nömrəli test.

Test nömrəsi 3.

Cavablar cədvəli

Test

2.2. 11-ci sinifdə son təkrarlama.

Son təkrarlama riyaziyyatın gedişatının əsas məsələlərinin öyrənilməsi final mərhələsində aparılır və bu hissədəki təhsil materialının və ya bütövlükdə təhsil materialının öyrənilməsi ilə məntiqi əlaqədə həyata keçirilir.

Təhsil materialının son təkrarlanması məqsədi daşıyır:

1. Məntiqi quruluşunu aydınlaşdırmaq və mövzunun və mövzu əlaqələri arasında sistemin qurulması üçün bütün təlim kursunun materialının aktivləşdirilməsi.

2. Deymədən və mümkünsə, şagirdlərin təkrarlama prosesində kursun əsas problemləri barədə biliklərinin genişləndirilməsi.

Riyaziyyatdakı imtahandan keçən bütün məzunlar üçün məcburi şərtlərdə, istifadənin tədricən tətbiqi müəllimləri bazada təhsil materialı tələbələrinin sənətkarlığını təmin etmək ehtiyacı nəzərə alaraq müəllimləri hazırlamaq və keçirmək üçün yeni bir yola çevirir Səviyyə, eyni zamanda, universitetə \u200b\u200bqəbul üçün yüksək məqamlar əldə etməkdə maraqlı olan tələbələrin olması, artan və yüksək səviyyədə materialları mənimsəmək üçün dinamik təbliğat.

Son təkrarlanmanın nəticəsində aşağıdakı vəzifələri nəzərdən keçirə bilərsiniz:

Qərar. \u003d.
= =
=
=
=
=0,5.

Bir ifadənin götürə biləcəyi ən böyük tam ədəd göstərin
.

Qərar. Kimi
seqmentə aid hər hansı bir məna verə bilər [-1; 1] Sonra
seqmentin istənilən dəyəri [-0.4; 0.4], buna görə. İfadənin tam dəyəri bir - 4 nömrəlidir.

Sözünü sadələşdirmək
.

Həll yolu: Kubların amilləri üçün parçalanma formulundan istifadə edirik:. Varlandırmaq

Bizdə var:
.

Cavab: 1.

Misal 4. Hesablamaq
.

Qərar. .

Cavab: 0.28.

Son təkrarlanma dərsləri üçün "Triqonometrik ifadələrin dəyişdirilməsi" mövzusunda inkişaf etmiş testləri təklif edirik.

Aşırdan, 1-dən çox olan ən böyük tam ədəd göstərin, 1

Rəy.

Bu mövzuda müvafiq metodik ədəbiyyat üzərində işlədikdən sonra, riyaziyyat məktəbində trigonometrik dəyişikliklər ilə əlaqəli vəzifələrin həlli üçün bacarıq və bacarıqların çox vacibdir.

Görülən işlər zamanı B7 tapşırıqların təsnifatı aparıldı. Triqonometrik düsturlar Kyak 2012-də ən çox istifadə olunan hesab olunur. Həllləri olan vəzifələrin nümunələri verilir. İstifadəyə hazırlıqda biliklərin təkrarlanması və sistemləşdirilməsinin təşkili və sistemləşdirilməsinin təşkili üçün diferensial testlər hazırlanmışdır.

Nəzərə alaraq görülən işləri davam etdirmək məsləhətdir Q5 tapşırığındakı ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli, Q14 vəzifəsində trigonometrik funksiyaların öyrənilməsi, fiziki hadisələri təsvir edən və trigonometrik funksiyalar olan düsturlar olan B12 vəzifələri.

Sonda, görmək istərdim ki, istifadənin ekspertizasiyasının effektivliyi, bütün öyrənmə səviyyələrində təlim prosesinin bütün kateqoriyalarında, tələbələrin bütün kateqoriyalarında nə qədər səmərəli şəkildə necə təsirli olduğunu müəyyənləşdirir. Müstəqillik, məsuliyyət və sonrakı həyatda öyrənməyə davam etməyə hazır olan bir şəkildə meydana gələ bilsək, yalnız dövlətin və cəmiyyətin sifarişini yerinə yetirməyəcəyik, eyni zamanda özlərinə hörmətini yaxşılaşdıracağıq.

Təhsil materialının təkrarlanması yaradıcı bir iş müəllimi tələb edir. Təkrarlama növləri arasında aydın bir əlaqə təmin etməlidir, dərin bir düşüncə sistemini həyata keçirin. Təkrarlama təşkilatının sənətini göndərin müəllimin vəzifəsidir. Onun həllindən tələbələrin biliklərinin gücü çoxdur.

Ədəbiyyat.

Qazanclı J.Ya., ibtidai riyaziyyat kataloqu. -M. Elm, 1970.

Cəbr və analizin başlanğıclarında artan çətinliklərin hədəfləri: Tutorial 10-11 Orta məktəb dərsləri / BM Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwartzbord. - m .: Maarifləndirmə, 1990.

İfadələrin transformasiyası üçün əsas trigonometrik düsturların istifadəsi (10-cu sinif) // pedaqoji fikirlər festivalı. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofiyev A.A. Yaxşılıq və fərqlənmə imtahanlarına hazırlaşırıq. - m.: "Birinci sentyabr" pedaqoji universiteti, 2012. - 103 səh.

Kuznetsova E.N. Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi. Trigonometrik tənliklərin həlli müxtəlif üsullarla (istifadəyə hazırlıq). 11-ci sinif. 2012-2013.

Kulan E. D. 3000 rəqabətçi riyaziyyat vəzifələri. 4-cü şəxsiyyət., ACT. və əlavə et. - m.: Rolf, 2000.

Mordkoviç A.G. Orta məktəbdə triqonometriyanın öyrənilməsinin metodoloji problemləri // Məktəbdə riyaziyyat. 2002. №6.

Pichurin L.F. Triqonometriya haqqında və nəinki bu barədə deyil: -M. Təhsil, 1985

Reshetnikov N.N. Məktəbdə trigonometriya: -m. : Pedaqoji Universiteti "Birinci sentyabr", 2006, lüks 1.

Şabunin M.i., Prokofiyev A.A. Riyaziyyat. Cəbr. Riyazi analizin başlanğıcı. Profil səviyyəsi: 10-cu sinif üçün təlimat - m.: Binin. Bilik Laboratoriyası, 2007.

İmtahana hazırlıq üçün təhsil portalı.

Riyaziyyatdakı imtahana hazırlıq "Oh, bu trigonometriya! http://festival.1september.ru/articles/621971/

"Riyaziyyat? Asan !!!" layihəsihttp://www.resolventa.ru/

Bölmələr: Riyaziyyat

Sinif: 11

Dərs 1.

Mövzu: 11-ci sinif (istifadəyə hazırlıq)

Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi.

Ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli. (2 saat)

Məqsədlər:

• Triqonometriya formullarının istifadəsi və ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli ilə əlaqəli tələbələrin bilik və bacarıqlarını sistemləşdirin, ümumiləşdirin, genişləndirin.

Dərs üçün avadanlıq:

Dərs quruluşu:

1. Orgmoment
2. Noutbuklarda sınaqdan keçirin. Nəticələrin müzakirəsi.
3. Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi
4. Ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli
5. Müstəqil iş.
6. Dərsin nəticəsi. Evin vəzifəsinin izahı.

1. Orgmant. (2 dəqiqə.)

Müəllim tamaşaçıları alqışlayır, dərsin mövzusunu elan edir, vəzifənin əvvəllər trigonometriya düsturlarını təkrarlamaq və şagirdləri sınamaq üçün tənzimləmək üçün verildi.

2. Test. (15min + 3min. Müzakirə)

Məqsəd triqonometrik düsturların və onları tətbiq etmək bacarığını yoxlamaqdır. Hər bir tələbənin test versiyasının olan bir laptop masası var.

Seçimlər istədiyiniz qədər ola bilər, onlardan birini nümunə verəcəyəm:

İ seçim.

İfadələri sadələşdirin:

a) əsas trigonometrik şəxsiyyətlər

1. Günah 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) düsturlar əlavə

3. SIN5X - SIN3X;

c) işin məbləğində çevrilməsi

6. 2Sin8Y COS3Y;

d) ikiqat bucaq formulu

7. 2Sin5x COS5X;

e) yarı künclər

e) Üçlü künclərin düsturları

g) universal əvəzetmə

h) aşağı dərəcəsi

16. COS 2 (3x / 7);

Hər bir düsturun qarşısındakı bir laptopda tələbələr cavablarını görürlər.

Dərhal kompüteri yoxlayır. Nəticələr böyük bir ekranda universal ferrisə göstərilir.

Ayrıca, işin sonundan sonra noutbuklarda düzgün cavablar göstərilir. Hər bir şagird səhvin edildiyi yerləri və nə düsturları təkrarlaması görür.

3. Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi. (25 dəq.)

Məqsəd təkrarlamaq, işləmək və trigonometriyanın əsas formullarının istifadəsini birləşdirməkdir. İmtahandan B7 vəzifələrini həll etmək.

Bu mərhələdə sinif güclü qruplara bölmək məsləhət görülür (yoxlanaraq müstəqil olaraq yoxlanılır) və müəllimlə işləyən zəif tələbələr.

Güclü tələbələr üçün vəzifə (çap əsasında hazırlanmışdır). EGE 2011-ə görə, əsas vurğu gətirilməsi və ikiqat bucağın düsturu üzərində aparılır.

İfadələri sadələşdirin (güclü tələbələr üçün):

Paralel olaraq, müəllim zəif tələbələrlə işləyir, müzakirə və ekrandakı tapşırıq şagirdlərinin diktəsi altında qərar verir.

Hesablayın:

5) Günah (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Sadələşdirin:

Güclü bir qrupun nəticələrinin müzakirəsi növbəsi var idi.

Cavablar ekranda görünən, eləcə də videokamera köməyi ilə 5 fərqli şagird göstərilir (hər biri bir vəzifələr göstərilir) göstərilir.

Zəif bir qrup bir vəziyyət və həll üsulunu görür. Müzakirə və təhlil var. Texniki vasitələrdən istifadə edərək tez olur.

4. Ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli. (30 dəqiqə.)

Məqsəd, ən sadə trigonometrik tənliklərin həllini təkrarlamaq, sistemləşdirmək və ümumiləşdirmək, köklərini yazmaqdır. Problemi həll etmək B3.

Hər hansı bir trigonometrik tənlik, onu necə həll etdiyimizdən asılı olmayaraq, ən sadə yola səbəb olur.

Bir tapşırıq yerinə yetirərkən, tələbələr xüsusi hallar və ümumi forma və son tənliklərin seleksiyasının köklərinin rekorduna və son tənliyin seçilməsinə ödənilməlidir.

Tənlikləri həll edin:

Ən kiçik müsbət kök yazmağa cavab olaraq.

5. Müstəqil iş (10 dəq.)

Məqsəd qazanılan bacarıqları, problemləri, səhvləri və onların aradan qaldırılması yollarını yoxlamaqdır.

Bir tələbə seçmək üçün bir vuleavas işi üçün təklif olunur.

"3" də seçim

1) ifadəin dəyərini tapın

2) İfadə 1 - Sin 2 3α - Cos 2 3α

3) tənliyi həll edin

"4" seçimində seçim

1) ifadəin dəyərini tapın

2) tənliyi həll etmək Ən kiçik müsbət kök yazmağa cavab olaraq.

"5" seçimində seçim

1) əgər tgα tap

2) tənliyin kökünü tapın Cavab olaraq ən kiçik müsbət kökü yazın.

6. Nəticə dərsi (5 dəq.)

Müəllim, ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli olan trigonometrik düsturların, dərsdə təkrarlanaraq təmin olunduğunu ümumiləşdirir.

Növbəti dərsdə seçmə çeki ilə bir ev tapşırığı (əvvəlcədən çap əsasında hazırlanır) təyin olunur.

Tənlikləri həll edin:

9)

10) Ən kiçik müsbət kökü göstərin.

Dərs 2.

Mövzu: 11-ci sinif (istifadəyə hazırlıq)

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları. Köklərin seçimi. (2 saat)

Məqsədlər:

• Müxtəlif növlərin trigonometrik tənliklərini həll etmək üçün bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək.
• Şagirdlərin riyazi düşüncə tərzinin inkişafını, müşahidə etmək, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək, təsnif etmək imkanı vermək.
• Şagirdləri zehni fəaliyyət prosesində, özünü idarəetmə prosesində aradan qaldırmaq, öz fəaliyyətinin özünü təhlil etmək üçün hərəkət etməsi.

Dərs üçün avadanlıq: Crum, hər bir tələbə üçün noutbuklar.

Dərs quruluşu:

1. Orgmoment
2. Müzakirə d / s və samot. Son dərsin işi
3. Triqonometrik tənliklərin həllərinin təkrarlanması.
4. Triqonometrik tənliklərin həlli
5. Trigonometrik tənliklərdə köklərin seçimi.
6. Müstəqil iş.
7. Dərsin nəticəsi. Ev tapşırığı.

1. Orgmoment (2 dəq.)

Müəllim tamaşaçıları alqışlayır, dərs və iş planının mövzusunu elan edir.

2. a) Ev tapşırığı təhlil etmək (5 dəq.)

Məqsəd icrasını yoxlamaqdır. Bir video kameradan istifadə edərək bir iş ekranda göstərilir, qalanları seçilmiş şəkildə müəllimi yoxlamaq üçün gedir.

b) Müstəqil işin təhlili (3 dəq.)

Məqsəd səhv etmək, onları aradan qaldırmaq üçün yolları təyin etməkdir.

Ekran cavabları və qərarlarında tələbələr işlərini əvvəlcədən buraxdılar. Təhlil tezdir.

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün metodların təkrarlanması (5 dəq.)

Məqsəd triqonometrik tənliklərin həlli metodlarını xatırlatmaqdır.

Şagirdlərdən, trigonometrik tənliklərin həlli üsullarını bildiklərini soruşun. Sözdə əsas (tez-tez istifadə olunan) metodların olduğunu vurğulayın:

• dəyişən dəyişən
• faktorlaşdırma,
• homojen tənliklər

və tətbiq olunan metodlar var:

• məbləğin işinə çevrilməsinin və miqdarda işlərin düsturlarına görə,
• düzəltmə formullarına görə,
• universal Triqonometrik əvəzetmə
• köməkçi bucağın tətbiqi
• bəzi trigonometrik funksiyaya çarpmaq.

Bir tənliyin müxtəlif yollarla həll oluna biləcəyini xatırlatmaq lazımdır.

4. Triqonometrik tənliklərin həlli (30 dəq.)

Məqsəd bu mövzuda bilik və bacarıqları oynamaq və möhkəmləndirmək, imtahandan C1 qərarına hazırlaşmaqdır.

Tələbələrlə birlikdə hər bir üsul üçün tənliyin pozulmasına uyğun hesab edirəm.

Tələbə qərarı diktə edir, tabletdə müəllim qeydləri, bütün proses ekranda göstərilir. Bu, əvvəllər keçən materialın tez və effektiv şəkildə bərpa olunmasına imkan verəcəkdir.

Tənlikləri həll edin:

1) dəyişən 6COS 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0 əvəz etmək

2) 3COS çarxının (X / 3) + 4COS 2 (X / 3) \u003d 0-nun parçalanması

3) Uniform tənliklər Sin 2 x + 3COS 2 X - 2Sin2x \u003d 0

4) COS5X + COS7X \u003d COS (π + 6x) işinə dəyişdirilməsi məbləği

5) bir məhsulu 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0 miqdarında çevirmək

6) SIN2X dərəcəsi - Günah 2 2x + SIN 2 3x \u003d 0.5

7) Universal Triqonometrik əvəzetmə Sinx + 5COSX + 5 \u003d 0.

Bu tənliyi həll etmək, bu üsulun istifadəsi tərif sahəsinin daralmasına səbəb olur, çünki Sinus və kosine TG (X / 2) ilə əvəz olunduğu üçün tərif sahəsinin daralmasına səbəb olur. Buna görə, cavabı yazmadan əvvəl nömrələrin setdən hazırlandığını yoxlamaq lazımdır π + 2πn, bu tənliyin n z atları.

8) Köməkçi bucağının tətbiqi √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) Bəzi trigonometrik funksiyaya çarparaq cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Triqonometrik tənliklərin kökləri (20 dəq.)

Universitetlərə girərkən sərt rəqabət qarşısında, imtahanın birinci hissəsinin həlli kifayət deyil, əksər şagirdlərin əksəriyyəti ikinci hissənin vəzifələrinə diqqət yetirir (C1, C2, C3).

Buna görə də işğalın bu mərhələsinin məqsədi əvvəllər öyrənilən materialın geri çağırılmasıdır, C1 problemini 2011-ci ilin vəzifəsindən həll etməyə hazırlaşır.

Cavab axıdıldıqda kök seçimi seçilməli olduğu trigonometrik tənliklər var. Bu, bəzi məhdudiyyətlərə bağlıdır, məsələn: fraksiyanın denominatoru sıfır deyil, hətta dərəcənin kökünün kökündə olan ifadə, logaritmin əlaməti altındakı ifadə və s.

Bu cür tənliklər artan mürəkkəblik tənlikləri hesab olunur və istifadənin versiyasında ikinci hissədə, yəni C1.

Tənliyi həll etmək:

Bundan sonra fraksiya sıfırdır Tək bir dairədən istifadə edərək, kök seçimi edəcəyik (bax Şəkil 1)

Şəkil 1.

x \u003d π + 2πn, n z əldə edirik

Cavab: π + 2πn, n z

Ekranda köklərin seçimi rəng şəklində dairədə göstərilir.

Çarpanların ən azı biri sıfır, qövsdən biri isə sıfırdır. Sonra

Tək bir dairənin köməyi ilə kökləri saxla (bax Şəkil 2)

Bölmələr: Riyaziyyat

Sinif: 11

Dərs 1.

Mövzu: 11-ci sinif (istifadəyə hazırlıq)

Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi.

Ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli. (2 saat)

Məqsədlər:

• Triqonometriya formullarının istifadəsi və ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli ilə əlaqəli tələbələrin bilik və bacarıqlarını sistemləşdirin, ümumiləşdirin, genişləndirin.

Dərs üçün avadanlıq:

Dərs quruluşu:

1. Orgmoment
2. Noutbuklarda sınaqdan keçirin. Nəticələrin müzakirəsi.
3. Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi
4. Ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli
5. Müstəqil iş.
6. Dərsin nəticəsi. Evin vəzifəsinin izahı.

1. Orgmant. (2 dəqiqə.)

Müəllim tamaşaçıları alqışlayır, dərsin mövzusunu elan edir, vəzifənin əvvəllər trigonometriya düsturlarını təkrarlamaq və şagirdləri sınamaq üçün tənzimləmək üçün verildi.

2. Test. (15min + 3min. Müzakirə)

Məqsəd triqonometrik düsturların və onları tətbiq etmək bacarığını yoxlamaqdır. Hər bir tələbənin test versiyasının olan bir laptop masası var.

Seçimlər istədiyiniz qədər ola bilər, onlardan birini nümunə verəcəyəm:

İ seçim.

İfadələri sadələşdirin:

a) əsas trigonometrik şəxsiyyətlər

1. Günah 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) düsturlar əlavə

3. SIN5X - SIN3X;

c) işin məbləğində çevrilməsi

6. 2Sin8Y COS3Y;

d) ikiqat bucaq formulu

7. 2Sin5x COS5X;

e) yarı künclər

e) Üçlü künclərin düsturları

g) universal əvəzetmə

h) aşağı dərəcəsi

16. COS 2 (3x / 7);

Hər bir düsturun qarşısındakı bir laptopda tələbələr cavablarını görürlər.

Dərhal kompüteri yoxlayır. Nəticələr böyük bir ekranda universal ferrisə göstərilir.

Ayrıca, işin sonundan sonra noutbuklarda düzgün cavablar göstərilir. Hər bir şagird səhvin edildiyi yerləri və nə düsturları təkrarlaması görür.

3. Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi. (25 dəq.)

Məqsəd təkrarlamaq, işləmək və trigonometriyanın əsas formullarının istifadəsini birləşdirməkdir. İmtahandan B7 vəzifələrini həll etmək.

Bu mərhələdə sinif güclü qruplara bölmək məsləhət görülür (yoxlanaraq müstəqil olaraq yoxlanılır) və müəllimlə işləyən zəif tələbələr.

Güclü tələbələr üçün vəzifə (çap əsasında hazırlanmışdır). EGE 2011-ə görə, əsas vurğu gətirilməsi və ikiqat bucağın düsturu üzərində aparılır.

İfadələri sadələşdirin (güclü tələbələr üçün):

Paralel olaraq, müəllim zəif tələbələrlə işləyir, müzakirə və ekrandakı tapşırıq şagirdlərinin diktəsi altında qərar verir.

Hesablayın:

5) Günah (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Sadələşdirin:

Güclü bir qrupun nəticələrinin müzakirəsi növbəsi var idi.

Cavablar ekranda görünən, eləcə də videokamera köməyi ilə 5 fərqli şagird göstərilir (hər biri bir vəzifələr göstərilir) göstərilir.

Zəif bir qrup bir vəziyyət və həll üsulunu görür. Müzakirə və təhlil var. Texniki vasitələrdən istifadə edərək tez olur.

4. Ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli. (30 dəqiqə.)

Məqsəd, ən sadə trigonometrik tənliklərin həllini təkrarlamaq, sistemləşdirmək və ümumiləşdirmək, köklərini yazmaqdır. Problemi həll etmək B3.

Hər hansı bir trigonometrik tənlik, onu necə həll etdiyimizdən asılı olmayaraq, ən sadə yola səbəb olur.

Bir tapşırıq yerinə yetirərkən, tələbələr xüsusi hallar və ümumi forma və son tənliklərin seleksiyasının köklərinin rekorduna və son tənliyin seçilməsinə ödənilməlidir.

Tənlikləri həll edin:

Ən kiçik müsbət kök yazmağa cavab olaraq.

5. Müstəqil iş (10 dəq.)

Məqsəd qazanılan bacarıqları, problemləri, səhvləri və onların aradan qaldırılması yollarını yoxlamaqdır.

Bir tələbə seçmək üçün bir vuleavas işi üçün təklif olunur.

"3" də seçim

1) ifadəin dəyərini tapın

2) İfadə 1 - Sin 2 3α - Cos 2 3α

3) tənliyi həll edin

"4" seçimində seçim

1) ifadəin dəyərini tapın

2) tənliyi həll etmək Ən kiçik müsbət kök yazmağa cavab olaraq.

"5" seçimində seçim

1) əgər tgα tap

2) tənliyin kökünü tapın Cavab olaraq ən kiçik müsbət kökü yazın.

6. Nəticə dərsi (5 dəq.)

Müəllim, ən sadə trigonometrik tənliklərin həlli olan trigonometrik düsturların, dərsdə təkrarlanaraq təmin olunduğunu ümumiləşdirir.

Növbəti dərsdə seçmə çeki ilə bir ev tapşırığı (əvvəlcədən çap əsasında hazırlanır) təyin olunur.

Tənlikləri həll edin:

9)

10) Ən kiçik müsbət kökü göstərin.

Dərs 2.

Mövzu: 11-ci sinif (istifadəyə hazırlıq)

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları. Köklərin seçimi. (2 saat)

Məqsədlər:

• Müxtəlif növlərin trigonometrik tənliklərini həll etmək üçün bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək.
• Şagirdlərin riyazi düşüncə tərzinin inkişafını, müşahidə etmək, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək, təsnif etmək imkanı vermək.
• Şagirdləri zehni fəaliyyət prosesində, özünü idarəetmə prosesində aradan qaldırmaq, öz fəaliyyətinin özünü təhlil etmək üçün hərəkət etməsi.

Dərs üçün avadanlıq: Crum, hər bir tələbə üçün noutbuklar.

Dərs quruluşu:

1. Orgmoment
2. Müzakirə d / s və samot. Son dərsin işi
3. Triqonometrik tənliklərin həllərinin təkrarlanması.
4. Triqonometrik tənliklərin həlli
5. Trigonometrik tənliklərdə köklərin seçimi.
6. Müstəqil iş.
7. Dərsin nəticəsi. Ev tapşırığı.

1. Orgmoment (2 dəq.)

Müəllim tamaşaçıları alqışlayır, dərs və iş planının mövzusunu elan edir.

2. a) Ev tapşırığı təhlil etmək (5 dəq.)

Məqsəd icrasını yoxlamaqdır. Bir video kameradan istifadə edərək bir iş ekranda göstərilir, qalanları seçilmiş şəkildə müəllimi yoxlamaq üçün gedir.

b) Müstəqil işin təhlili (3 dəq.)

Məqsəd səhv etmək, onları aradan qaldırmaq üçün yolları təyin etməkdir.

Ekran cavabları və qərarlarında tələbələr işlərini əvvəlcədən buraxdılar. Təhlil tezdir.

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün metodların təkrarlanması (5 dəq.)

Məqsəd triqonometrik tənliklərin həlli metodlarını xatırlatmaqdır.

Şagirdlərdən, trigonometrik tənliklərin həlli üsullarını bildiklərini soruşun. Sözdə əsas (tez-tez istifadə olunan) metodların olduğunu vurğulayın:

• dəyişən dəyişən
• faktorlaşdırma,
• homojen tənliklər

və tətbiq olunan metodlar var:

• məbləğin işinə çevrilməsinin və miqdarda işlərin düsturlarına görə,
• düzəltmə formullarına görə,
• universal Triqonometrik əvəzetmə
• köməkçi bucağın tətbiqi
• bəzi trigonometrik funksiyaya çarpmaq.

Bir tənliyin müxtəlif yollarla həll oluna biləcəyini xatırlatmaq lazımdır.

4. Triqonometrik tənliklərin həlli (30 dəq.)

Məqsəd bu mövzuda bilik və bacarıqları oynamaq və möhkəmləndirmək, imtahandan C1 qərarına hazırlaşmaqdır.

Tələbələrlə birlikdə hər bir üsul üçün tənliyin pozulmasına uyğun hesab edirəm.

Tələbə qərarı diktə edir, tabletdə müəllim qeydləri, bütün proses ekranda göstərilir. Bu, əvvəllər keçən materialın tez və effektiv şəkildə bərpa olunmasına imkan verəcəkdir.

Tənlikləri həll edin:

1) dəyişən 6COS 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0 əvəz etmək

2) 3COS çarxının (X / 3) + 4COS 2 (X / 3) \u003d 0-nun parçalanması

3) Uniform tənliklər Sin 2 x + 3COS 2 X - 2Sin2x \u003d 0

4) COS5X + COS7X \u003d COS (π + 6x) işinə dəyişdirilməsi məbləği

5) bir məhsulu 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0 miqdarında çevirmək

6) SIN2X dərəcəsi - Günah 2 2x + SIN 2 3x \u003d 0.5

7) Universal Triqonometrik əvəzetmə Sinx + 5COSX + 5 \u003d 0.

Bu tənliyi həll etmək, bu üsulun istifadəsi tərif sahəsinin daralmasına səbəb olur, çünki Sinus və kosine TG (X / 2) ilə əvəz olunduğu üçün tərif sahəsinin daralmasına səbəb olur. Buna görə, cavabı yazmadan əvvəl nömrələrin setdən hazırlandığını yoxlamaq lazımdır π + 2πn, bu tənliyin n z atları.

8) Köməkçi bucağının tətbiqi √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) Bəzi trigonometrik funksiyaya çarparaq cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Triqonometrik tənliklərin kökləri (20 dəq.)

Universitetlərə girərkən sərt rəqabət qarşısında, imtahanın birinci hissəsinin həlli kifayət deyil, əksər şagirdlərin əksəriyyəti ikinci hissənin vəzifələrinə diqqət yetirir (C1, C2, C3).

Buna görə də işğalın bu mərhələsinin məqsədi əvvəllər öyrənilən materialın geri çağırılmasıdır, C1 problemini 2011-ci ilin vəzifəsindən həll etməyə hazırlaşır.

Cavab axıdıldıqda kök seçimi seçilməli olduğu trigonometrik tənliklər var. Bu, bəzi məhdudiyyətlərə bağlıdır, məsələn: fraksiyanın denominatoru sıfır deyil, hətta dərəcənin kökünün kökündə olan ifadə, logaritmin əlaməti altındakı ifadə və s.

Bu cür tənliklər artan mürəkkəblik tənlikləri hesab olunur və istifadənin versiyasında ikinci hissədə, yəni C1.

Tənliyi həll etmək:

Bundan sonra fraksiya sıfırdır Tək bir dairədən istifadə edərək, kök seçimi edəcəyik (bax Şəkil 1)

Şəkil 1.

x \u003d π + 2πn, n z əldə edirik

Cavab: π + 2πn, n z

Ekranda köklərin seçimi rəng şəklində dairədə göstərilir.

Çarpanların ən azı biri sıfır, qövsdən biri isə sıfırdır. Sonra

Tək bir dairənin köməyi ilə kökləri saxla (bax Şəkil 2)

Şəkil 2.

5)

Sistemə gedin:

Sistemin ilk tənliyində, Giriş 2 (Sinx) \u003d Y əvəz edəcəyik, sonra tənliyi əldə edəcəyik , yenidən sistemə

tək bir dairənin köməyi ilə kökləri saxla (bax Şəkil 5),

Şəkil 5.

6. Müstəqil iş (15 dəq.)

Məqsəd materialın öyrənilməsini düzəltmək və yoxlamaq, səhvləri müəyyənləşdirmək, düzəlişlərini təsvir etməkdir.

İşi əvvəlcədən hazırlanan üç versiyada təklif olunur, tələbələri seçmək üçün əvvəlcədən hazırlanmışdır.

Hər hansı bir şəkildə tənlikləri həll edə bilərsiniz.

"3" də seçim

Tənlikləri həll edin:

1) 2Sin 2 x + sinxi - 1 \u003d 0

2) SIN2X \u003d √3cosx

"4" seçimində seçim

Tənlikləri həll edin:

1) COS2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) Giriş 8 (cosx) \u003d 0

"5" seçimində seçim

Tənlikləri həll edin:

1) 2Sinx - 3cosx \u003d 2

2)

7. Nəticə dərsi, ev tapşırığı (5 dəq.)

Müəllim dərsi yekunlaşdırır, bir daha diqqəti triqonometrik tənliyin bir neçə yolla həll olunacağına diqqət çəkir. Tez bir nəticəyə nail olmağın ən yaxşı yolu, müəyyən bir tələbəyə ən yaxşı şəkildə təyin olunan biridir.

İmtahana hazırlaşarkən, tənliklərin həlli üçün düsturları və metodları sistematik şəkildə təkrarlamaq lazımdır.

Ev tapşırığı (əvvəlcədən əvvəlcədən hazırlanmışdır) bəzi tənliklərin həll yollarını paylayır və şərh edir.

Tənlikləri həll edin:

1) COSX + COS5X \u003d COS3X + COS7x

2) 5Sin (X / 6) - COS (X / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) Günah 2 x + Sin 2 2x - Sin 2 3x - Günah 2 4x \u003d 0

5) COS3X COS6X \u003d COS4X COS7x

6) 4Sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) Cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) COS15x

9) (2sin 2 x - sinx) Giriş 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) Giriş 7 (-tgx) \u003d 0

11)

İçində eyni dəyişikliklər triqonometrik ifadələr Aşağıdakı cəbr texnikalarından istifadə edilə bilər: eyni şərtləri əlavə etmək və çıxarmaq; mötərizədə ümumi bir amil etmək; Eyni dəyərdə vurma və bölmə; Qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi; tam bir kvadratın ayrılması; Meydanın parçalanması çarpanlar üzrə üç qərardır; Çevrilmələri asanlaşdırmaq üçün yeni dəyişənlərin tətbiqi.

Fraksiyalar olan trigonometrik ifadələrin transformasiyalarında, nisbətin xüsusiyyətlərindən, fraksiyaların azaldılması və ya ortaq bir məxrəcə fraksiyaların gətirilməsi mümkündür. Bundan əlavə, fraksiya hissəsinin bir hissəsinin seçimini, hissəni eyni dəyərə və ya mümkün qədər çox miqdarda vuraraq, eləcə də rəqəmsalın və ya məxrəcin vahidliyini nəzərə alaraq istifadə edə bilərsiniz. Lazım gələrsə, bir məbləğ şəklində bir hissəni və ya bir neçə daha sadə fraksiya fərqi ilə təmsil edə bilərsiniz.

Bundan əlavə, triqonometrik ifadələrin dəyişdirilməsi üçün bütün zəruri metodları tətbiq etmək, çevrilmiş ifadələrin əngəl dəyərlərini daim nəzərə almaq lazımdır.

Bir neçə nümunəni nəzərdən keçirin.

Misal 1.

Hesablayın A \u003d (Günah (2x - π) · COS (3π - X) + Sin (2x - 9π / 2) · Cos (X + / 2)) 2 + (X - π / 2) · Cos ( 2x - 7π / 2) +
+ günah (3π / 2 - X) · Sin (2x -5π / 2))) 2

Qərar.

Gətirmə formulundan:

günah (2x - π) \u003d -Sin 2x; Cos (3π - x) \u003d -COS X;

günah (2x - 9π / 2) \u003d -COS 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; Cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

günah (3π / 2 - X) \u003d -COS X; Günah (2x - 5π / 2) \u003d -COS 2x.

Arqumentlərin və əsas trigonometrik şəxsiyyətin əlavə edilməsi üçün düstur haradadır

A \u003d (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d Sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Cavab: 1.

Misal 2.

M \u003d cos α α + cos (α + + β) · cos γ + cos β - Günah (α + β) · Günah γ + cos γ.

Qərar.

Müvafiq qruplaşmadan sonra işlərə trigonometrik funksiyaların cəmini konvertasiya etmək üçün dəlillərin və düsturların düsturlarından

M \u003d (cos (α + + β) · cos γ - Günah (α + + β) · Sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2COS ((β + γ γ) / 2) · COS ((β - γ) / 2) + (COS α + COS (α + β + γ)) \u003d

2COS ((β + γ γ) / 2) · cos ((β - β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + (β + γ) / 2) · COS ((β + γ) / 2) / 2) /

2COS ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + (β + γ) / 2)) \u003d

2COS ((β + γ γ) / 2) · 2cos ((β - β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / · ((β - γ) / 2) - (β + +) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4COS ((β + γ) / 2) · COS ((α + β) / 2) · COS ((α + γ) / 2).

Cavab: m \u003d 4cos ((α + β) / 2) · COS ((α + γ) / 2) · COS ((β + γ) / 2).

Misal 3..

O ifadəni göstərin A \u003d COS 2 (X + π / 6) - COS (X + π / 6) eyni məna. Bu dəyəri tapın.

Qərar.

Bu problemi həll etmək üçün iki yol veririk. Tam bir kvadrat seçərək və müvafiq əsas trigonometrik düsturlardan istifadə edərək ilk üsulu tətbiq edirik

A \u003d (cos (x + / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) · COS (X - π / 6) \u003d

4Sin 2 X · Sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 · COS 2x + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Problemi ikinci şəkildə həll etməklə, r-dən r-dən bir funksiya kimi hesab edirik və törəməsini hesablayırıq. Çevrilmədən sonra alırıq

A '\u003d -2COS (X + / 6) · Sin (X + π / 6) + (Günah (X + / 6) · Coş (X - π / 6) + COS (X + / 6) · Günah (X + / 6)) - 2COS (X - π / 6) · Sin (X - π / 6) \u003d

Sin 2 (X + / 6) + Günah ((X + / 6) + (X - π / 6)) - Günah 2 (X - π / 6) \u003d

Günah 2x - (Günah (2x + π / 3) + Sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2Sin 2x · COS π / 3 \u003d SIN 2X - SIN 2X ≡ 0.

Buradan, aralığı fərqləndirən funksiyanın davamlılığına meyar səbəbindən bu nəticəyə gəldik

A (x) ≡ (0) \u003d COS 2 π / 6 - COS 2 π / 6 + COS 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Cavab: A \u003d 3/4 X € R.

Triqonometrik şəxsiyyətlərin dəlillərinin əsas üsulları bunlardır:

amma) şəxsiyyətin sol hissəsinin müvafiq çevrilmələrə doğru yola enməsi;
b) şəxsiyyətin sağ tərəfini sola azaltmaq;
ilə) Şəxsiyyətin sağ və sol hissələrinin eyni formaya qədər azalması;
d) Sübut edən şəxsiyyətin sol və sağ hissələri arasındakı fərqin sıfırına baxın.

Misal 4.

Bu cos 3x \u003d -4cos x · cos (x π / 3) · cos (x + 2π / 3) yoxlayın.

Qərar.

Bu şəxsiyyətin sağ tərəfini müvafiq triqonometrik düsturlara görə çevirmək, bizdə var

4COS X · COS (X + / 3) · COS (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos ((x + / 3) + (x + 2π / 3)) + COS ((x + / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2COS X · COS 2x - COS X \u003d (COS 3x + COS X) - COS X \u003d COS 3x.

Şəxsiyyətin sağ tərəfi sola endirilir.

Misal 5.

2 α α + Sin 2 β + Sin 2 γ β β γ γ γ γ · COS β · COS γ \u003d 2, α, β, β, əgər bəzi üçbucağın daxili açılarıdır.

Qərar.

Bu α, β, γ - bəzi üçbucağın daxili bucaqları, biz bunu əldə edirik

α + β + γ \u003d π və buna görə də, γ \u003d π - α - β.

günah 2 α + Sin 2 β + Sin 2 γ - 2COS α · COS β · cos γ \u003d

Günah 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (π - α - β) - 2COS α · COS β · Cos (π - α - β) \u003d

Günah 2 α + Sin 2 β + + Sin 2 (α + β) + (cos (α + +) + cos (α - β) · (cos (α α + β) \u003d

Günah 2 α + Sin 2 β + + + (Sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + COS (α - β) · (COS (α + + +) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

İlkin bərabərlik sübut olunur.

Misal 6.

Bucaqlardan biri üçün bucaqlardan biri üçün bu, üçbucağın üçbucağı 60 ° -dədir, 3α + sin 3β + günah üçün kifayətdir və kifayətdir. 3α \u003d 0.

Qərar.

Bu vəzifənin vəziyyəti həm ehtiyac, həm də kifayət qədər sübutu nəzərdə tutur.

Əvvəlcə sübut edin zərurət.

Bunu göstərə bilərsiniz

günah 3α + Günah 3β + Günah 3γ \u003d -4COS (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2).

Buradan, bu cos (3/2 · · 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, bucaqlardan biri α, β və ya γ 60 °, sonra

cOS (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2) \u003d 0 və buna görə də günah 3α + günah 3β + günah 3γ \u003d 0.

İndi sübut edirik adekvatlıq göstərilən şərt.

3α + günah 3β + günah 3γ \u003d 0, sonra cos (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2) \u003d 0 və buna görə

ya cos (3α / 2) \u003d 0, ya da cos (3β / 2) \u003d 0, ya da cos (3γ / 2) \u003d 0.

Beləliklə,

ya 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, yurd, yurd. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ya 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, i.E. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ya 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

bunlar. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, burada k ε z.

Α, β, γ üçbucağın küncləri, bizdə var

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Buna görə, α \u003d π / 3 + 2πk / 3 və ya β \u003d π / 3 + 2πk / 3 və ya

γ \u003d π / 3 + 2 + 2πk / 3-ü Kεz yalnız K \u003d 0 uyğundur.

Ya yerdən, ya da α \u003d π / 3 \u003d 60 °, ya da β \u003d π / 3 \u003d 60 °, ya da γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Bəyanat sübut olunur.

Suallarınız var? Triqonometrik ifadələri necə asanlaşdıracağını bilmirsiniz?
Bir tərbiyəçi kömək etmək üçün - Qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs pulsuzdur!

sayt, orijinal mənbəyə maddi arayışın tam və ya qismən kopyalanması tələb olunur.

"Triqonometrik ifadələrin" trigonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi "əsas trigonometrik şəxsiyyətlərdən istifadə edərək trigonometrik problemlərin həllində tələbələrin bacarıqlarının formalaşdırılması üçün nəzərdə tutulmuşdur. Video təlimatı zamanı trigonometrik şəxsiyyət növləri, onların istifadəsi ilə bağlı problemlərin həlli nümunələri nəzərdən keçirilir. Vizual bir təlimat tətbiq etmək, dərs məqsədlərinə çatmaq üçün müəllim daha asandır. Materialın parlaq bir təqdimatı vacib məqamları yadda saxlamağa kömək edir. Cizgi effektlərinin və səslərin istifadəsi müəllimi material izləmə mərhələsində tamamilə əvəz etməyə imkan verir. Beləliklə, bu vizual müavinəti riyaziyyat dərslərində tətbiq etmək, müəllim öyrənmə effektivliyini artıra bilər.

Videonun əvvəlində onun mövzusu elan olunur. Sonra əvvəllər öyrənilən trigonometrik şəxsiyyətlər xatırlanır. Ekran, bərabərlik Sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, burada t ≠ / 2 + πk üçün, t ≠ π t / sin t, t ≠ πk üçün burada Kεz, TG t · CTG T · CTG T \u003d 1, t ≠ πk / 2-də, burada Kεz, əsas trigonometrik şəxsiyyətlər adlanır. Qeyd olunur ki, bu şəxsiyyətlər tez-tez bərabərliyi sübut etmək və ya ifadəni sadələşdirmək üçün lazım olduqda vəzifələrin həllində istifadə olunur.

Nümunələr tapşırıqların həllində şəxsiyyətlərin tətbiq olunmasının nümunələri hesab olunur. Birincisi, ifadələri sadələşdirmək üçün tapşırıqların həll edilməsini nəzərdən keçirmək təklif olunur. Misal 1, ifadəni asanlaşdırmaq lazımdır cos 2 t- cos 4 t + sin 4 T. Bir nümunəni həll etmək üçün ümumi çarpan cos 2 T mötərizədə təqdim olunur. Mötərizədə belə bir çevrilmə nəticəsində, 1-cos 2 T ifadəsi, trigonometriyanın əsas şəxsiyyətindən olan günah 2 T. İfadəni çevirdikdən sonra, başqa bir ümumi çarxın mötərizəsi üçün qazıntı ehtimalı göz qabağındadır, bundan sonra ifadə sininin tipini 2 t (sin 2 t + cos 2 t) əldə edir. Eyni əsas şəxsiyyətdən, mötərizədə, 1-ə bərabər olan mötərizədə ifadəin dəyərini əldə edirik, cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 T. alırıq

Misal 2, ifadə dəyəri / (1- sint) + dəyəri / (1+ sint) sadələşdirilməlidir. Hər iki fraksiya nonulyatorlarında xərc ifadəsi olduğundan, bu, mötərizədə ümumi bir amil olaraq əldə edilə bilər. Sonra mötərizədə olan fraksiyalar ortaq bir məxrəcə vurma (1+ sint) verilir. Bu cür terminləri sayğacda gətirdikdən sonra 2 qalıq və məxrəcdə 1- günah 2 T. Ekranın sağ tərəfi əsas trigonometrik şəxsiyyətə bənzəyir 2 t + cos 2 t \u003d 1. Onu istifadə edərək, cos 2 t denomoterini tapırıq. Fraksiyaları kəsdikdən sonra sadələşdirilmiş xərc / (1- sint) ifadəsi + dəyəri / (1+ sint) \u003d 2 / dəyəri əldə edirik.

Aşağıdakı ünvanlar triqonometriyanın əsas şəxsiyyətlərinə dair biliklərin tətbiq olunduğu şəxsiyyətlərin sübutu nümunələri tətbiq olunur. Məsələn 3, şəxsiyyəti sübut etmək lazımdır (TG 2 T-Sin 2 T) · Ctg 2 T \u003d Sin 2 T. Ekranın sağ tərəfində, üç şəxsiyyət nümayiş olunur, sübut üçün lazım olacaq - TG t · CTG T \u003d 1, CTG T \u003d cos t / sin t və tg t \u003d Sin t / cos t məhdudiyyətləri ilə göstərilir. Şəxsiyyəti sübut etmək üçün, mötərizədə ilk olaraq ortaya çıxır, bundan sonra məhsul meydana gəldikdə, əsas tiqometrik şəxsiyyətin əsas tg t · ctg t \u003d 1 ifadəsini əks etdirir. Sonra KoTangent'in tərifindən şəxsiyyətə görə CTG 2 T çevrilir. Çevrilmə nəticəsində 1-cos 2 t ifadəsi alınır. Əsas şəxsiyyətdən istifadə edərək ifadəin dəyərini tapırıq. Beləliklə, sübut olunur ki, (TG 2 T-Sin 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T.

Misal 4-də TG T + CTG T \u003d 6 olduqda, TG 2 T + CTG 2 T ifadəsinin dəyərini tapmaq lazımdır. İfadə hesablamaq üçün, bərabərliyin ilk hüququ və sol hissəsi (TG T + CTG T) 2 \u003d 6 2. Qısaldılmış vurma düsturu ekranın sağ tərəfində xatırlanır. İfadənin sol hissəsindəki mötərizələrin açıqlamasından sonra, TG t · ctg t · ctg t · ctg t · ctg t · ctg t · ctg t · ctg 2 t · ctg t \u003d 1-in hansını çevirmək üçün əmələ gəlir , görünüşü ekranın sağ tərəfində xatırlatdı. Çevrilmədən sonra bərabərlik TG 2 T + CTG 2 T \u003d 34 əldə edilir. Bərabərliyin sol hissəsi problemin vəziyyəti ilə üst-üstə düşür, buna görə cavab 34-dür. Tapşırıq həll olunur.

"Trigonometrik ifadələri sadələşdirin" video tutorial riyaziyyatın ənənəvi məktəb dərsində istifadə edilməsi tövsiyə olunur. Ayrıca, maddi distant təhsil alan müəllim üçün faydalı olacaqdır. Triqonometrik vəzifələrin həllində bacarıq yaratmaq üçün.

Mətn kodlaşdırılması:

"Triqonometrik ifadələri sadələşdirin."

Bərabərlik

1) Günah 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sinus meydanı te plus usinant kvadrat pe birinə bərabərdir)

2) TGT \u003d, t ≠ + πk, Kεz (THENTHENE PE, sinus te'nin te pe ilə bərabər olmayan pe ilə te kosinə nisbətinə bərabərdir

3) CTGT \u003d, t ≠ πk, kεz (te catangent kosine te bir pi ilə bir pe ilə sinusa nisbətinə bərabərdir, ka ka setə aiddir).

4) TGT ∙ CTGT \u003d 1-də t ≠, KOTZ (TEGENS TE-nin Kotangent PE-də bir pi-yə bərabər olmayan bir pi-də bərabərdir, iki-ə bölünmüş bir pi, Kat dəsti var)

Əsas trigonometrik şəxsiyyətlər adlanır.

Tez-tez onlar trigonometrik ifadələrin sadələşdirilməsində və sübutunda istifadə olunur.

Triqonometrik ifadələri sadələşdirərkən bu düsturlardan istifadə nümunələrini nəzərdən keçirin.

Misal 1. Həyat ifadəsi: COS 2 T - COS 4 T + SIN 4 T. (İfadə və kosine kvadrat te mənfi kosine dördüncü dərəcə pa plus dördüncü dərəcə te).

Qərar. Cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d sin 2 t · 1 \u003d sin 2 t

(Cosine Square Te'nin ümumi çarxını mötərizədə gətirəcəyəm, mötərizədə olan mötərizədə, sine te'nin ilk şəxsiyyət meydanına bərabər olan Cosine te-nin bölməsi arasındakı fərqi və kvadrat arasındakı fərqi alacağıq. Cosine Square Te və Sinus Square-nin əsərlərinin dördüncü dərəcəli sinusu. Mötərizədə olan mötərizədə, mötərizədə, əsas trigonometrik şəxsiyyətə bərabər olan kosin və sinusun meydanlarının cəmini alacağıq . Nəticədə, sinus te meydanını alırıq).

Misal 2. İfadə: +.

(İfadə, ikinci vahidi, ikinci vahidi, ikinci hissə, ikinci hissə və sinus te'nin ikinci kosinasının rəqəmsalında olan ilk kosine, iki fraksiya olan iki fraksiya

(Mötərizədə Cosine te-ni ümumiləşdirəcəyəm və mötərizədə bir, bu da bir artı sinus te üçün bir mənfi sinus te bir işdir.

Numeratorda: Birləşirik: Birlik Plus Sinus Te üstəgəl bir vahid sinus te, bənzər bir vahidi, bənzərlik gətirdikdən sonra iki nəfərdir.

Məxdətində, qısaldılmış vurma (meydanların fərqi) düsturunu tətbiq edə və əsas trigonometrik şəxsiyyət tərəfindən olan sinus te-nin bölməsi ilə fərqi əldə edə bilərsiniz

eyni dərəcədə, kosine te meydanı. Te kosini kəsdikdən sonra son cavabı alırıq: iki kosine te tərəfindən bölünür).

Bu düsturlardan trigonometrik ifadələrin sübutunda istifadə nümunələrinə baxın.

Misal 3. Şəxsiyyəti sübut etmək (TG 2 T - Sin 2 T \u003d T \u003d Sin 2 T (Tegens Te və Sinus te-nin kvadratdakı fərqin məhsulu kvadrata bərabərdir) te sinusunun).

Dəlil.

Bərabərliyin sol hissəsini dəyişdiririk:

(TG 2 T - Sin 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d TG 2 T ∙ CTG 2 T ∙ CTG 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - Günah 2 T ∙ Ctg 2 T \u003d 1 - Sin 2 T ∙ \u003d 1 - Cos - Cos 2 t \u003d sin 2 t

(Mötərizəni açacağıq, əvvəllər əldə edilmiş münasibətlərdən, Tegens te'nin kvadratlarının kərgəjəsindəki məhsulların bir-birinə bərabərdir. Xatırladaq ki, Cotangent PE te-nin kosininin nisbətinə bərabərdir Te'nin sinusu, kotangenin meydanı, kosine meydanının nisbəti, sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus

Sinusu azaltdıqdan sonra, te-nin kvadratı, te-nin sinus meydanına bərabər olan te kvadratının kosusunda fərqi alır). Q.E.D.

Misal 4. TG 2 T + CTG 2 T, TGT + CTGT \u003d 6 olarsa, İfadə TG 2 T + CTG 2 T elan edin.

(Tangent və KoTangens te, tangent və kotangent məbləği altı olduqda, tangent te və kotangens te kvadratlarının məcmusu).

Qərar. (TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2

tG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Kvadratdakı ilkin bərabərliyin hər iki hissəsini yaradın:

(TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2 (Tegens te və cotgensa te-nin cəminin kvadratı bir meydanda altına bərabərdir). Qısaldılmış vurma formulunu xatırlayın: iki dəyərin cəminin kvadratı ilk dəfə ikinci və ikinci kvadratdakı iki cüt məhsulun meydanına bərabərdir. (A + b) 2 \u003d A 2AB + 2ab + b 2 TG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ TGT ∙ CTG 2 T \u003d 36 (Tangent Square Te Plus Cotangent Pe Plus Cotangent Pa Square-də Tangens Te-nin cüt məhsulu var otuz altıya bərabər).

Cotangent PE-də Tangens Te'nin işindən, sonra TG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36 (Tangent Te və Kotangens te və iki kvadratların cəmi otuz altıya bərabərdir),