Построение фигур с помощью линейки и циркуля. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка равного произведению или отношению двух других - творческая работа. Изучение нового материала

Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка Решение было уже дано на стр. 185. Далее, на стр. 186 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности с центром О. Вот описание этого построения. Радиусом проводим две дуги с центрами От точки О откладываем на этих дугах две такие дуги и что Затем находим точку пересечения дуги с центром Р и радиусом и дуги с центром и радиусом Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок опишем дугу с центром Р или до пересечения с дугой точка пересечения и является искомой средней точкой дуги Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Рис. 48. Пересечение окружности и прямой, не проходящей через центр

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы центр и радиус.

2. Найти точки пересечения двух окружностей.

3. Найти точки пересечения прямой и окружности.

4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данной окружности С с прямой, проходящей через данные точки Проведем дуги с центрами и радиусами, соответственно равными и кроме точки О, они пересекутся в точке Р. Затем построим точку обратную точке Р относительно окружности С (см. построение, описанное на стр. 186). Наконец, проведем окружность с центром и радиусом (она непременно пересечется с С): его точки пересечения с окружностью С и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек находится на одинаковых расстояниях от (что касается точек то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, Достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке отстоит от точек на расстояние, равное радиусу окружности С (см. стр. 184). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки является обратной прямой в инверсии относительно круга С, так как эта окружность и прямая пересекаются

Рис. 49. Пересечение окружности и прямой, проходящей через центр

с С в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.)

Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая проходит через центр С. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 188, как получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром В, пересекающуюся с С в точках Метод проведения окружности, обратной прямой, соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками (рис. 50).

Рис. 50. Пересечение двух прямых

Проведем произвольную окружность С и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым и Эти окружности пересекаются в точке О и еще в одной точке Точка X, обратная точке и есть искомая точка пересечения: как ее построить - уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что есть единственная точка, обратная точке, одновременно принадлежащей обеим прямым и следовательно, точка X, обратная должна лежать одновременно и на и на

Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквивалентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем построение правильного пятиугольника; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, которые могут служить вершинами правильного вписанного пятиугольника.

Пусть А - произвольная точка на окружности К. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить на К такие точки что

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебник: Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.) – 16 изд. – М.: Просвещение, 2011.

Цели урока:

1. дать представление о новом классе задач на построение;
2. рассмотреть наиболее простые задачи на построение;
3. научить учащихся решать такие задачи.

Задачи:

Образовательный аспект:

• дать представление о новом классе задач – построение геометрических с помощью циркуля и линейки без масштабных делений;
• формировать практические умения работы;
• расширить знания об истории геометрии.

Развивающий аспект:

• развитие навыков самоконтроля;
• формирование ИКТ – компетентности;
• формирование логического мышления.

Воспитательный аспект:

• воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;
• воспитание интереса к истории математики, как науки.

Тип урока: комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная.

Этапы урока:

• подготовка к активной учебной деятельности;
• применение знаний;
• подведение итогов и рефлексия;
• информация о домашнем задании.

Оборудование:

• Учебное пособие, тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, циркуль, раздаточный материал (КИМ);
• Компьютер, с минимальными техническими требованиями: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Муьтимедийный проектор, экран.

Ресурсы урока:

• тестовые задания (КИМ) приложение 1 ;
• презентация;
• оценка степени усвоения материала приложение 3 .

План урока:

ХОД УРОКА

1. Организационный момент:

Тема сегодняшнего урока - «Примеры задач на построение» (слайд 1).

Цель урока – рассмотреть наиболее простые задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки без делений; научиться решать их (слайд 2).

2. Повторение. Проверка домашнего задания:

Мы с вами изучили тему « Окружность» и сегодня проверим с помощью теста ваши знания. Выполнить задание теста (каждому раздаются КИМы с тестовым заданием). Для каждого вопроса выберите правильный вариант ответа. Самостоятельно оцените свои знания, подсчитав количество верных ответов. Если верных ответов 6 - оценка «5», если верных ответов 5 – оценка «4», если верных ответов 4 – оценка «3», меньшее количество верных ответов – оценка « 2».

(Верные ответы на слайде 3 презентации).

3. Подготовка учащихся к восприятию нового материала:

Вводная беседа учителя:

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры с помощью различных инструментов. При построении отрезка заданной длины использовалась линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры – транспортир.

В домашней работе у вас была такая задача:

Начертите треугольник АВС такой, что АВ = 3,6 см, АС = 2,7 см, А = 48°. Какие инст рументы вы использовали для решения этой задачи?

Итак, мы использовали линейку с миллиметровыми делениями и транспортир. Но есть такие задачи, в которых бывает оговорено, с помощью каких инструментов нужно построить предлагаемую геометрическую фигуру (слайд 4-5).

Задача 1. С помощью циркуля и линейки без делений на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Чертёж на экране.

(Учащиеся предлагают варианты решений).

А теперь проверим ваше решение (см. слайд 6)

Таким образом, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений (слайд 7).

В дальнейшем, говоря о задачах на построение, мы будем иметь в виду именно такие построения.

Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырех частей (посмотреть с. 95–96 учебника). Сначала рисуют (чертят) искомую фигуру и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами. Эта часть решения называется анализом . Она дает возможность составить план решения задачи.

Затем по намеченному плану выполняется построение циркулем и линейкой.

После этого нужно доказать , что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

И наконец, необходимо исследовать , при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, можно опустить (слайд 8).

В VII классе мы решим простейшие задачи на построение циркулем и линейкой, в других классах будем решать более сложные задачи.

4. Изучение нового материала:

И так, наша задача – выполнить задачи на построение только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку (слайд 9).

Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение (слайд 10):

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
2. Отложить от данного луча угол, равный данному.
3. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
4. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка.
5. Построить середину данного отрезка.

Мы уже решили задачу № 1.

Теперь с помощью компьютера рассмотрим решение задачи № 2. Выполняйте соответствующие построения в тетради (слайды 11-12).

А теперь рассмотрим задачи № 3 – 5 (слайд 13-18).

(выполняются соответствующие построения и описания задач в тетради)

После выполнения работы, учитель обращает внимание учащихся на то, что такие задачи рассматривались в древности (слайд 19).

А теперь обратимся к истории геометрии. Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Они доказали, что угол можно разделить и на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем построить биссектрису каждой половинки. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить угол на три равные части? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Однако она не поддавались их усилиям. Лишь в прошлом веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Есть и другие задачи на построение, про которые известно, что они неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Я предлагаю вам самостоятельно найти материал, содержащий информацию для ознакомления с этими задачами.

5. Подведение итогов урока:

Мы изучили много нового, узнали какие задачи можно решить только с помощью циркуля и линейки. У вас у каждого лежит лист с вопросами. Оцените свою работу на сегодняшнем уроке, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

1. Оцените степень сложности урока. Вам было на уроке:
   • легко;
   • обычно;
   • трудно
2. Оцените степень вашего усвоения материала:
   • усвоил полностью, могу применить;
   • усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
   • усвоил частично;
   • не усвоил.

Собрать листочки для оценки степени усвоения материала сегодняшнего урока, чтобы на следующем уроке правильно организовать работу. Сообщаются оценки за урок, включая оценки за тест по теме « Окружность».

6. Домашнее задание:

• ответить на вопросы 17–21 на стр. 50;
• решить задачи №№ 153, 154 (слайд 20).

Инструкция

Поставьте иглу циркуля в отмеченную точку. Нарисуйте ножкой с грифелем дугу окружности отмеренного радиуса.

В любом месте по окружности нарисованной дуги поставьте точку. Это будет вторая вершина B создаваемого треугольника.

Аналогичным способом поставьте ножку на вторую вершину. Проведите еще одну окружность так, чтобы она пресекалась с первой.

В точке пересечения обоих проведенных дуг и находится третья вершина C создаваемого треугольника. Отметьте ее на рисунке.

Получив все три вершины, соедините их прямыми линиями с помощью любой ровной поверхности (лучше линейки). Треугольник ABC построен.

Если окружность касается всех трех сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.

Вам понадобится

• линейка, циркуль

Инструкция

Из вершин треугольника (стороны противоположной делимому углу) циркулем проводят дуги окружности произвольного радиуса до пересечения их между собой;

Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;

Тоже самое проделывают с любым другим углом;

Радиусом вписанной в треугольник окружности будет отношение площади треугольника и его полупериметра: r=S/p , где S - площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника.

Радиус вписанной в треугольник окружности равноудален от всех сторон треугольника.

Источники:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Рассмотрим задачу построения треугольника при условии, что известны три его стороны или одна сторона и два угла.

Вам понадобится

• - циркуль
• - линейка
• - транспортир

Инструкция

Допустим, даны три стороны : a, b и с. Пользуясь , несложно с такими сторонами. Для начала выберем самую длинную из этих сторон, пусть это будет сторона с, и начертим ее. Затем установим раствор циркуля на величину другой стороны, стороны a, и начертим циркулем окружность радиуса a с центром на одном из концов стороны c. Теперь установим раствор циркуля на величину стороны b и начертим окружность с центром на другом конце стороны c. Радиус этой окружности равен b. Соединим точку пересечения окружностей с центрами и получим треугольник с искомыми сторонами.

Чтобы начертить треугольник с заданной стороной и двумя прилегающими углами, возьмите транспортир. Начертите сторону указанной длины. На краях ее отложите транспортиром углы. На пересечении сторон углов получите третью вершину треугольника.

Видео по теме

Обратите внимание

Для сторон треугольника справедливо следующее утверждение: сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей. Если это не выполняется, то построить такой треугольник невозможно.

Окружности в шаге 1 пересекаются в двух точках. Можно выбрать любую, треугольники будут равными.

Правильный треугольник - тот, у которого все стороны обладают одинаковой длиной. Исходя из этого определения, построение подобной разновидности треугольника является нетрудной задачей.

Вам понадобится

• Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

С помощью линейки соединить отмеченные на листке точки последовательно, друг за другом так, как это показано на рисунке 2.

Обратите внимание

В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет

Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это означает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Любой правильный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное утверждение не верно.

У любого равностороннего треугольника одинаковы не только стороны, но и углы, каждый из которых равен 60 градусам. Однако чертеж такого треугольника, построенный при помощи транспортира, не будет обладать высокой точностью. Поэтому для построения данной фигуры лучше воспользоваться циркулем.

Вам понадобится

• Карандаш, линейка, циркуль

Инструкция

Затем возьмите циркуль, установите его в из концов (будущей вершине треугольника) и проведите окружность с радиусом, равным длине этого отрезка. Можно не проводить окружность целиком, а начертить лишь ее четверть, от противоположного края отрезка.

Теперь переставьте циркуль в другой конец отрезка и снова начертите окружность того же радиуса. Здесь будет достаточно построить окружности, проходящую от дальнего конца отрезка до пересечения с уже построенной дугой. Полученная точка будет третьей вершиной вашего треугольника.

Чтобы закончить построение, снова возьмите линейку с карандашом и соедините точку пересечения двух окружностей с обоими концами отрезка. Вы получите треугольник, все три стороны которого абсолютно равны, – это можно будет легко проверить с помощью линейки.

Видео по теме

Треугольник – это многоугольник, у которого три стороны. Равносторонним или правильным треугольником называют треугольник, у которого все стороны и углы равны. Рассмотрим, как можно нарисовать правильный треугольник.

Вам понадобится

• Линейка, циркуль.

Инструкция

С помощью циркуля нарисуйте еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберите любую из них. Назовите ее С. Это будет третьей вершиной треугольника.

Соедините вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным. Убедитесь в этом, померив его стороны линейкой.

Рассмотрим способ построения правильного треугольника с помощью двух линеек. Начертите отрезок ОК, он будет одной из сторон треугольника, а точки О и К его вершинами.

Не сдвигая линейки после построения отрезка ОК, приложите перпендикулярно к ней еще одну линейку. Проведите прямую m пересекающую отрезок ОК в середине.

С помощью линейки отмерьте отрезок ОЕ, равный отрезку ОК так, чтобы один его конец совпадал с точкой О, а другой находился на прямой m. Точка Е буде третьей вершиной треугольника.

Закончите построение треугольника, соединив точки Е и К. Проверьте правильность построения с помощью линейки.

Обратите внимание

Убедиться в том, что треугольник правильный можете с помощью транспортира, измерив углы.

Полезный совет

Равносторонний треугольник так же можно начертить на листе в клетку с помощью одной линейки. Вместо другой линейки используйте перпендикулярные линии.

Источники:

• Классификация треугольников. Равносторонние треугольники
• Что такое треугольник
• построение правильного треугольника

Вписанным называется такой треугольник, все вершины которого находятся на окружности. Построить его можно, если знать хотя бы одну сторону и угол. Окружность называется описанной, и она будет единственной для данного треугольника.

Вам понадобится

• - окружность;
• - сторона и угол треугольника;
• - лист бумаги;
• - циркуль;
• - линейка;
• - транспортир;
• - калькулятор.

Инструкция

От точки А с помощью транспортира отложите заданный угол. Продолжите сторону угла до пересечения с окружностью и поставьте точку С. Соедините точки В и С. У вас получился треугольник АВС. Он может быть любого типа. Центр окружности у остроугольного треугольника него, у тупоугольного - вне, а у прямоугольного - на гипотенузе. Если вам задан не угол, а, например, три стороны треугольника, вычислите один из углов по радиусу и известной стороне.

Значительно чаще приходится иметь дело с обратным построением, когда задан треугольник и надо вокруг него описать окружность. Вычислите его радиус. Сделать это можно по нескольким формулам, в зависимости от того, что вам дано. Радиус можно найти, например, по стороне и синусу противолежащего угла. В этом случае он равен длине стороны, разделенной на удвоенный синус противолежащего угла. То есть R=a/2sinCAB. Можно его выразить и через произведение сторон, в этом случае R=abc/‭√(‬a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Определите центр окружности. Разделите все стороны пополам и проведите серединам перпендикуляры. Точка их пересечения и будет центром окружности. Начертите ее так, чтобы она пересекла все вершины углов.

Две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые принято называть катетами, по определению должны быть перпендикулярны между собой. Это свойство фигуры значительно облегчает ее построение. Однако возможность точно определить перпендикулярность есть не всегда. В таких случаях можно рассчитать длины всех сторон - они позволят построить треугольник единственно возможным, а поэтому правильным, способом.

Вам понадобится

• Бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, угольник.

Видеоурок «Построение циркулем и линейкой» содержит учебный материал, являющийся основой для решения задач на построение. Геометрические построения являются важной частью решения многих практических заданий. Без умения корректно отразить условия на рисунке не обходится практически ни одна геометрическая задача. Основная задача данного видеоурока - углубить знания ученика о применении чертежных инструментов для построения геометрических фигур, продемонстрировать возможности данных инструментов, научить решать простейшие задачи на построение.

Обучение при помощи видеоурока имеет много преимуществ, среди которых наглядность, понятность производимых построений, так как материал демонстрируется при помощи электронных средств приближенно к реальному построению на доске. Построения хорошо видны с любого места в классе, важные моменты выделяются цветом. А сопровождение голосом заменяет подачу учителем стандартного блока учебного материала.

Видеоурок начинается с объявления названия темы. Ученикам напоминается, что они уже имеют определенные навыки в построении геометрических фигур. На предыдущих уроках, когда ученики изучали основы геометрии и осваивали понятия прямой, точки, угла, отрезка, треугольника, чертили отрезки, равные данным, они выполняли построения простейших геометрических фигур. Подобные построения не требуют сложных навыков, но корректное выполнение заданий важно для дальнейшей работы с геометрическими объектами и решения более сложных геометрических задач.

Ученикам перечисляется перечень основных инструментов, которые используются для выполнения построений при решении геометрических задач. На изображениях продемонстрированы масштабная линейка, циркуль, треугольник с прямым углом, транспортир.

Расширяя понятие учеников о том, как выполняются различные виды построений, им рекомендуется обратить внимание на построения, которые осуществляются без масштабной линейки, а для них могут использоваться только циркуль и линейка без делений. Отмечается, что такая группа задач на построение, в которой используются только линейка и циркуль, в геометрии выделяется отдельно.

Для того чтобы определить, какие геометрические задачи могут быть решены, используя линейку и циркуль, предлагается рассмотреть возможности данных чертежных инструментов. Линейка помогает начертить произвольную прямую, построить прямую, которая проходит через определенные точки. Циркуль предназначен для проведения окружностей. Только при помощи циркуля проводится построение произвольной окружности. При помощи циркуля проводится также отрезок, равный данному. Указанные возможности чертежных инструментов дают возможность выполнить ряд задач на построение. Среди подобных задач на построение:

1. построение угла, который равен данному;
2. проведение прямой, перпендикулярную данной, проходящей через указанную точку;
3. деление отрезка на две равные части;
4. ряд других задач на построение.

Далее предлагается решить задание на построение, используя линейку и циркуль. На экране демонстрируется условие задачи, которая состоит в том, чтобы на некотором луче отложить отрезок, равный некоторому отрезку, от начала луча. Решение данной задачи начинается с построения произвольного отрезка АВ и луча ОС. В качестве решения данной задачи предлагается построить окружность радиусом АВ и центром в точке О. После построения образуется пересечение построенной окружности с лучом ОС в некоторой точке D. При этом часть луча, представленная отрезком OD, и является отрезком, равным отрезку АВ. Задача решена.

Видеоурок «Построение циркулем и линейкой» может быть использован при объяснении учителем основ решения практических задач на построение. Также данный метод можно освоить, самостоятельно изучая данный материал. Может помочь учителю данный видеоурок и при дистанционной подаче материала по данной теме.

Построение с помощью циркуля и линейки

Построения с помощью циркуля и линейки - раздел евклидовой геометрии , известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

• Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
• Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

Пример

Разбиение отрезка пополам

Задача на бисекцию . С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB .
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
• По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q .
• Находим искомую середину отрезка AB - точку пересечения AB и PQ .

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:
   1. произвольную точку
   2. произвольную точку на заданной прямой
   3. произвольную точку на заданной окружности
   4. точку пересечения двух заданных прямых
   5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
   6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей
2. «С помощью линейки » выделить прямую из множества всех прямых:
   1. произвольную прямую
   2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
   3. прямую, проходящую через две заданных точки
3. «С помощью циркуля » выделить окружность из множества всех окружностей:
   1. произвольную окружность
   2. произвольную окружность с центром в заданной точке
   3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
   4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

• Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
• Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по четырем его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Античным геометрам были известны способы построения правильных n -угольников для , , и .

Возможные и невозможные построения

Все построения являются не чем иным, как решениями какого-либо уравнения , причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений .
• Построение решений квадратных уравнений .

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

Вариации и обобщения

• Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора - Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
• Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части, либо найти центр нарисованной окружности. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе - Штейнера (англ. )), 1833. Если на линейке есть две засечки, то построения с помощью неё эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).
• Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. В задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
• Построения с помощью плоского оригами. см. правила Худзита

См. также

• Программы динамической геометрии позволяют выполнять построения с помощью циркуля и линейки на компьютере.

Примечания

Литература

• А. Адлер Теория геометрических построений / Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. - Издание третье. - Л. : Учпедгиз, 1940. - 232 с.
• И. И. Александров Сборник геометрических задач на построение . - Издание восемнадцатое. - М .: Учпедгиз, 1950. - 176 с.
• Б. И. Аргунов, М. Б. Балк . - Издание второе. - М .: Учпедгиз, 1957. - 268 с.
• А. М. Воронец Геометрия циркуля . - М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 40 с. - (Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л. А. Люстерника).
• В. А. Гейлер Неразрешимые задачи на построение // СОЖ . - 1999. - № 12. - С. 115-118.
• В. А. Кириченко Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика» . - Дубна, 2005.
• Ю. И. Манин Книга IV. Геометрия // Энциклопедия элементарной математики . - М .: Физматгиз, 1963. - 568 с.
• Ю. Петерсен Методы и теории решения геометрических задач на построение . - М .: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. - 114 с.
• В. В. Прасолов Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга . - М .: Наука, 1992. - 80 с. - (Популярные лекции по математике).
• Я. Штейнер Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга . - М .: Учпедгиз, 1939. - 80 с.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. - М .: Просвещение , 1991. - С. 80. - 383 с. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Построение с помощью циркуля и линейки" в других словарях:

Раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение возможны следующие операции: Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий. С помощью… … Википедия

Построения с помощью циркуля и линейки раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение возможны следующие операции: Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку… … Википедия

Сущ., с., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? построения, чему? построению, (вижу) что? построение, чем? построением, о чём? о построении; мн. что? построения, (нет) чего? построений, чему? построениям, (вижу) что? построения, чем?… … Толковый словарь Дмитриева

Круг и квадрат одинаковой площади Квадратура круга задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данно … Википедия

Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

В наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Квадратура. Квадратура (лат. quadratura, придание квадратной формы) математический термин, первоначально обозначавший нахождение площади заданной фигуры или поверхности. В дальнейшем… … Википедия

Правила Худзиты набор из семи правил формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки. Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки… … Википедия