Funktsiya ildizi bilan ta'rif maydoni. Dala ta'rifini qanday topish mumkin

Har bir funktsiyada ikkita o'zgaruvchi - mustaqil o'zgaruvchi va qaram o'zgaruvchi, ularning qiymatlari mustaqil o'zgaruvchining qiymatlariga bog'liq. Masalan, funktsiyada y. = f.(x.) = 2x. + y. Mustaqil o'zgaruvchi "X" va qaram - "y" (boshqacha qilib aytganda, "Y" funktsiyasidan iborat. "X" mustaqil o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari dala ta'rifi maydoni deb nomlanadi va qaram o'zgaruvchining "Y" deb nomlanadi.

Qadamlar

1-qism

Sizga berilgan funktsiyalarning turini aniqlang. Funktsiya qiymatlari sohasi "X" ning barcha qiymatlari (gorizontal o'qi bo'ylab yotqizilgan), bu "Y" qiymatlariga mos keladi. Funktsiya kvadrat yoki tarkibni o'z ichiga olgan bo'lishi mumkin. Funktsiyani aniqlash funktsiyasini topish uchun avval funktsiyaning turini aniqlashingiz kerak.

1. Funktsiya ta'rifi maydoni uchun tegishli yozuvni tanlang. Ta'rif maydoni kvadrat va / yoki qavslarda yozilgan. Kvadrat qavs Ushbu qiymat funktsiyani aniqlash funktsiyasiga kirgan taqdirda ishlatiladi; Agar qiymat ta'riflar maydoniga kiritilmagan bo'lsa, dumaloq qavs ishlatiladi. Agar funktsiyada bir nechta salbiy bo'lmagan joylarga ega bo'lsa, ular orasida "U" belgisi o'rnatiladi.

   • Masalan, [10.2] ta'rif maydoni -2 va 2 qiymatni o'z ichiga oladi, ammo 10 ning qiymatini o'z ichiga olmaydi.

2. Grafikani quring kvadratik funktsiya. Bunday funktsiya jadvali - bu parabola, ularning filiallari yo'naltirilgan yoki yuqoriga yoki pastga. Parabola osh qadoqni aniqlash maydoni oshadi yoki kamayadi, kvadrat funktsiyasini aniqlashning maydoni barcha haqiqiy raqamlardir. Boshqacha qilib aytganda, bunday funktsiyani aniqlash maydoni (R barcha haqiqiy raqamlarni bildiradi).

   • Funktsiya tushunchasini yaxshiroq aniqlashtirish uchun, "X" ni tanlang, uni funktsiyaga almashtiring va "Y" qiymatini toping. "X" va "Y" qiymatlari koordinatalar (x, y) funktsiyaning grafikasida joylashgan bir nuqtadir.
   • Ushbu fikrni koordinata tekisligiga qo'llang va tavsiflangan jarayonni "x" ning boshqa qiymati bilan bajaring.
   • Koordinata tekisligini qo'llash bir necha ball, olasiz umumiy ko'rinish Funktsiyaning grafik shaklida.

3. Agar funktsiya tarkibida kasr bo'lsa, uning denominatorini nolga tenglashtiring. Nolga bo'lishning iloji yo'qligini unutmang. Shuning uchun, denominatorni nolga tenglashtirish, siz dala ta'rifi hududiga kiritilmagan "x" qiymatlarini topasiz.

   • Masalan, dala ta'rifi sohasini toping F (x) \u003d (x + 1) / (X - 1).
   • Bu erda denominator: (X - 1).
   • Denominatorni nolga tenglashtiring va "x" ni toping: X - 1 \u003d 0; x \u003d 1.
   • Funktsiya ta'rifini yozing. Ta'rif maydoni 1, ya'ni u barcha haqiqiy raqamlarni o'z ichiga olmaydi, bu esa funktsiyani aniqlash funktsiyasi: (1, 1) U (1, ∞).
   • Yozish (-Bu, 1) U (1, ∞) o'qiladi: cheksiz raqamlar to'plamidan tashqari barcha haqiqiy raqamlar to'plami ∞ barcha haqiqiy raqamlarni anglatadi. Bizning misolda, 1 va 1 dan katta bo'lgan barcha haqiqiy raqamlar aniqlanish maydoniga kiritilgan.

4. Agar funktsiya kvadrat ildiz bo'lsa, unda oziqlantirish ifodasi noldan katta yoki teng bo'lishi kerak. Salbiy raqamlarning kvadrat ildizi olinmaydi. Shuning uchun, oziqlantiruvchi ifoda salbiy "X" ning har qanday qiymati, funktsiyani aniqlash funktsiyasidan chiqarib tashlanishi kerak.

   • Masalan, funktsiyani aniqlash funktsiyasini f (x) \u003d √ (x + 3) toping.
   • Guardian ifodasi: (X + 3).
   • Oziqlantirishning ifodasi noldan katta yoki teng bo'lishi kerak: (x + 3) ≥ 0.
   • "X": X ≥ -3 ni toping.
   • Ushbu funktsiyaning ta'rifi maydoni ko'proq yoki -3 ga teng bo'lgan barcha haqiqiy raqamlarning juda ko'pchiligini o'z ichiga oladi. Shunday qilib, ta'rif maydoni: [-3, ∞).

2 qism

1. Kvadratik funktsiyangiz borligiga ishonch hosil qiling. Kvadratik funktsiya shakli: Axt 2 + bx + c: 2x 2 + 3x + 2x + 2x + 4. Bunday funktsiyaning grafikasi - yo'naltirilgan yoki pastga yoki pastga qaratilgan parabola. Kvadrat funktsiyaning qiymatlari maydonini topish uchun turli xil usullar mavjud.

   • Ildiz yoki kasrni o'z ichiga olgan funktsiyalarning turini topishning eng oson usuli grafik kalkulyator yordamida bunday funktsiyani qurishdir.

2. Funktsiya grafikasining koordinatasini toping. Kvadratik funktsiyada Pearobiy Verex-ning "X" koordinatasini toping. Esingizda bo'lsa, kvadratik funktsiya shakli mavjud: Axt 2 + BX + C. "X" koordinatasini hisoblash uchun quyidagi tenglamadan foydalaning: x \u003d -b / 2a. Ushbu tenglama asosiy kvadrat funktsiyasining hosilasidir va tanangni tavsiflaydi, uning burchak koeffitsienti nolga teng (Axabola x).

   • Masalan, 3x 2 + 6x -2 funktsiyasining qiymatlari oralig'ini toping.
   • Verteks parabolalarining "x" koordinatsiyasini hisoblang: X \u003d -b / 2a \u003d -6 / (2 * 3) \u003d -1

3. "U" funktsiyasining uchlari koordinatasini toping. Buning uchun "X" muvofiqlashtirish funktsiyasini almashtiring. "Y" kerakli koordinatsiyasi funktsiya qiymatlari funktsiyasining cheklangan qiymati.

   • "Y" koordinatasini hisoblang: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 \u003d -5
   • Ushbu funktsiyaning parabola vertexining koordinatalari: (-1, -5).

4. Funktsiyaga almashtiriladigan parabola yo'nalishini aniqlang, kamida bitta "x". Boshqa "x" qiymatini tanlang va mos keladigan "y" qiymatini hisoblash uchun funktsiyaga almashtiring. Agar "Y" topilgan "U" parabola vetreksi koordinatalari bo'lsa, unda Parabola yuqoriga yo'naltirilgan. Agar topilgan "y" Pearobiy Verex-ning "Y" koordinatasidan kam bo'lsa, unda parabol yo'naltirilgan.

   • X \u003d -2: y \u003d 3x 2 + 6x funktsiyasiga kiritilgan - 2 \u003d y \u003d 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 \u003d 12 -12 -2 \u003d -2.
   • Parabolada yotgan punktning koordinatalari: (-2, -2).
   • Topilgan koordinatalar parabola filiallari yuqoriga yo'naltirilganligini bildiradi. Shunday qilib, funktsiya qiymatlari qiymatlari "y" ning barcha qiymatlarini o'z ichiga oladi, bu -5 ga katta yoki teng.
   • Ushbu funktsiya qiymatlari oralig'i: [-5, ∞)

5. Funktsiya qiymatlarining funktsiyasi sohani aniqlash zonasiga o'xshash qayd etiladi. Kvadrat kracket funktsiya qiymatlari funktsiyasiga kirgan taqdirda ishlatiladi; Agar qiymat qiymatlar oralig'iga kiritilmagan bo'lsa, dumaloq qavs ishlatiladi. Agar funktsiya bir nechta o'lchovli bo'lmagan ko'rsatkichlarga ega bo'lsa, ular orasida "U" belgisi o'rnatiladi.

   • Masalan, [10.2] ning qiymati (10.2]) -2 va 2 qiymatni o'z ichiga oladi, ammo 10 taga kirmaydi.
   • Dumaloq qavslar har doim cheksizlik belgisi bilan ishlatiladi.

Ko'pincha, vazifa bajarilganda, muammo yuzaga keladi, dala ta'rifi sohasini qanday topish mumkin? Busiz, bu grafika qurilmasdan va funktsiya qiymatlarini yanada o'rganish bilan bog'liq emas.

Funktsiya ta'rifi

Funktsiyani aniqlash funktsiyasi x funktsiyasining o'zgaruvchan qiymatlari to'plami, unda F (x) funktsiyasi mantiqiy bo'ladi. Va aniqroq, X o'zgaruvchisining qiymaticha, F (x) aslida mavjud bo'lishi mumkin. Masalan, funktsiya umuman mavjud bo'lmasa, ishni ko'rib chiqish taklif etiladi. Birinchi holatda biz aytganda, biz ko'rib chiqamiz. Fraktsiya yuzaga kelganda, fraksiyachi nolga teng bo'lmasligi kerak, shuning uchun ular nol qiymatga ega emasligi va oltin arifmetik qoidalardan biri - siz bo'lolmaysiz nol nol.

Nol bilan aniq, keling, yolg'on bilan shug'ullanaylik. Dala ta'rifi maydonini, bir xil miqdordagi misollar nimani topish va X ning qiymatini aniqlab, biz nolga fraktsiyani aniqlashimiz va ushbu tenglamani hal qilishimiz kerak, bu X o'zgaruvchisining qiymatini olamiz eritma hududidan chiqarib tashlangan. Ikkinchi misol, bizning funktsiyamiz hatto darajali ildizni o'z ichiga oladi. Bu erda biz to'liq harakatlar erkinligimiz bor, chunki bunday funktsiyani hal qilishda biz har qanday subdikoreks raqami bilan ijobiy javob olamiz, bu esa funktsiyani belgilash funktsiyasidan o'chiriladi. Biz faqat ijobiy yo'naltirilgan raqamga mos keladigan paytda g'alati darajadagi ildiz haqida nima deya olmaydi.

Solutionlarga misollar

Logarifm tomonidan belgilangan funktsiyaning ma'lumot ta'rifini topishingiz kerak bo'lgan yana bir misol. Bu juda oddiy, bu erda logarifmni aniqlash mintaqasi ijobiy raqamlardir. Va o'zgaruvchining qiymatlarini topish uchun ushbu logarifm uchun tengsizlikni hal qilish kerak. Portlik ifodasi salbiy bo'ladi. Hisobga olish kerak trigonometrik funktsiyalar, ya'ni Arkxinus va Arckosinus intervalda aniqlangan [-1: 1]. Buning uchun siz ushbu funktsiyalar bilan ko'rsatilgan iboraning oldindan belgilangan farqiga tushib, boshqa hamma narsa o'zgaruvchining qiymatlaridan chetlatilishi uchun izlashingiz kerak.

Bir misol, funktsiyaning aniqligini qanday topish mumkin, agar funktsiya tarkibida bo'lsa, masalan, qiyin qism. Masalan, denominator Arksinning ildiziga o'xshaydi. Bunday holda, arxinus mavjud bo'lgan o'zgaruvchining qiymatlarini ajratib turish kerak va allaqachon nolga teng bo'lgan Arxinus qiymatini olib tashlang (kelganda bu misol Disker, keyingi bosqich barcha salbiy qiymatlarni chiqarib tashlash, chunki ular oziqlantirishning funktsiyasining holatiga mos kelmasligi uchun, ular uchun mos emas. Qolgan barcha qadriyatlar kerakli.

Aytaylik, bizning funktsiyamiz y \u003d a / b formasiga ega, uning ta'rifi maydoni noldan tashqari barcha qiymatlardir. Raqamning qiymati butunlay bo'lishi mumkin. Masalan, ma'lumot y \u003d 3 / 2x-1 ma'lumotlarini aniqlash sohasini toping, unda x ning fenrantsiyatori bizga achinarli bo'lmaydi. Buning uchun denominatorni nolga tenglashtirish va echimni toping, shundan so'ng javob 0,5 (x: 2x - 1; x \u003d 0,5) dan keyin mintaqadan Funktsiya ta'riflari 0,5 ga ko'chirilishi kerak. Funktsiyani aniqlash sohasini topish uchun echim ushbu ibora ijobiy yoki nolga teng bo'lishi kerakligini hisobga olishi kerak.

Yuqoridagi shart asosida y \u003d √ soat-9 misollarining dala ta'rifi maydonini topish kerak, biz o'z fikrimizni 3x ≥ 9 tengsizlik shaklida o'zgartiramiz; x ≥ 3; 0, eritmadan keyin X qiymatga kelsak, biz 3 dan katta yoki teng bo'lgan qiymatga kelib, biz ushbu qadriyatlarning barchasini oziqlantiruvchi iboraning funktsiyasini aniqlaganda, funktsiya funktsiyasidan foydalanmaymiz Teng ko'rsatkichi, bu holatda x ning qiymati oziq-ovqat ifodasi formasına emas, balki x ning qiymati ham bo'lishi mumkin, va x denominatorda emas. Masalan: y \u003d ♣ ḍ√2x-5, siz shunchaki X o'zgaruvchisi mutlaqo haqiqiy raqam bo'lishi mumkinligini ko'rsatishingiz mumkin. Maydonni aniqlash maydonini qanday topish mumkin emas, hech qanday holatda logarifm ostida bu raqam ijobiy bo'lishi kerakligini unutmaslik kerak.

Misol: Y \u003d Log2 funktsiyasining ma'lumotlarini aniqlash kerak. Yuqoridagi holatni hisobga olib, ushbu funktsiyaning qiymatini aniqlash shunchalik, 4x - 1\u003e 0; Bundan 4x\u003e 1; X\u003e 0.25. Va ushbu funktsiyani aniqlash sohasi 0.25 dan kattaroq barcha qiymatlarga teng bo'ladi.

Ba'zi saytlar onlayn funktsiyani aniqlash va echimlarni topish vaqtini tejashni taklif qiladi. Juda qulay xizmat, ayniqsa talabalar va talabalar uchun.

Kvadrat ildiz bilan funktsiya faqat "X" bo'lgan qiymatlar bilan belgilanadi chaqirilgan ifoda - bu to'kilmaydi:. Agar ildiz denominatorda joylashgan bo'lsa, holat aniqroq:. Shunga o'xshash hisob-kitoblar ijobiy darajadagi har qanday ildiz uchun amal qiladi: To'g'ri, ildiz allaqachon 4-darajali tadqiqot funktsiyalari Eslay olmayapman.

5-misol.

Qaror: O'tgan ibora to'sig'li bo'lishi kerak:

Qarorni davom ettirishdan oldin, maktabdan ma'lum bo'lgan tengsizlik qoidalariga eslatma beraman.

Men alohida e'tibor beraman! Hozirda tengsizliklar ko'rib chiqilmoqda bitta o'zgaruvchi bilan - Ya'ni biz uchun faqat biz uchun bor bitta eksa o'lchovi. Iltimos, aralashtirmang ikki o'zgaruvchining tengsizliklaributun koordinata tekisligi geometrik ravishda bog'liq. Biroq, yoqimli tasodiflar mavjud! Shunday qilib, quyidagi o'zgarishlar tengsizlik uchun tengdir:

1) Kompunentlar qismdan alomatni o'zgartirish bilan qismdan ajratish mumkin.

2) tengsizlikning ikkala qismi ijobiy raqamga ko'paytirilishi mumkin.

3) Agar tengsizlikning ikkala qismi ham ko'paytirilsa salbiy raqam, keyin siz o'zgartirishingiz kerak tengsizlikning o'zi. Masalan, agar u "ko'proq" bo'lsa, u "kamroq" bo'ladi; Agar u "kamroq yoki teng bo'lsa," u "tengroq bo'ladi".

Tengsizlikda biz "tronika" ni belgi belgisining o'ng tomoniga o'tkazamiz (1-qoida):

-1 dan tengsizlikning ikkala qismini (3-qoida) ko'paytiring:

Ikkala tengsizlikning ikkala qismini (2-qoida) ko'paytirish:

Javob: domen:

Javob shuningdek ekvivalent iborasi bilan yozilishi mumkin: "Funktsiya qachon".
Geometrik ravishda, ta'rif maydoni abksiyssa o'qida lyukka mos keladigan interval bilan tasvirlangan. Ushbu holatda:

Yana bir bor men ta'rif sohasining geometrik ma'nosini eslataman - funktsiya grafikasi Faqat soyali syujetda va etishmayotgan.

Ko'pgina hollarda, ta'rif sohasini sof tahliliy aniqlash mos keladi, ammo funktsiya juda qiynalganda o'q chizish va eslatma bo'lishi kerak.

6-misol.

Dala ta'rifini toping

Bu mustaqil echim uchun namuna.

Kvadrat ildiz ostida kvadrat burish yoki uch karra, vaziyat biroz murakkablashadi va endi biz echimlarni batafsil tahlil qilamiz:

7 misol.

Dala ta'rifini toping

Qaror: Oziqlantirishning ifodasi qat'iy ijobiy, ya'ni biz tengsizlikni hal qilishimiz kerak. Birinchi bosqichda biz maydonni ko'paytiruvchilarga uch marta ajratishga harakat qilmoqdamiz:

Kamsituvchi ijobiy, ildizlarni qidirmoqda:

Shunday qilib, parabola Abskisisa o'qi ikki nuqtada kesib o'tadi, bu Parabolaning bir qismi o'qdan (tengsizlik) va Parabolaning bir qismi eksadan pastda joylashganligi va biz kerak bo'lgan tengsizlikdan yuqori.

Chunki koeffitsient, Parabola filiallari qidirilmoqda. Yuqoridan yuqoridan, bu tengsizlik davrida amalga oshiriladi (parabola filiallari cheksizlikka chiqadi) va Pearobiy Vereks, tengsizlikka to'g'ri keladi:

! Eslatma: agar tushuntirish bilan to'liq tushunmasangiz, iltimos, ikkinchi o'qni va butun parabolani chizing! Maqolaga qaytish tavsiya etiladi. Boshlang'ich funktsiyalarning jadvallari va xususiyatlari va usullar Issiq matematika maktabi kursi formulalari.

Shuni esda tutingki, ochkolar degan fikrda (yechimga kiritilmagan), chunki biz tengsiz.

Javob: domen:

Umuman olganda, ko'plab tengsizliklar (shu jumladan ko'rib chiqilgan) universal hal qilinadi interval usuliyana ma'lum maktab dasturi. Ammo ikki va uchaster kvadratida, mening fikrimcha, parabolaning o'qga nisbatan joylashgan joyini tahlil qilish ancha qulay va tezroq. Va asosiy usul - biz maqolada batafsil tahlil qiladigan interval usuli Nol funktsiya. Belgilash oralig'i.

8 misol.

Dala ta'rifini toping

Bu mustaqil echim uchun namuna. Namunada argumentning mantig'i - ikkinchi yo'lni, tengsizlikning ikkinchi usuli, talaba xromni bitta oyoqni bilmasdan batafsil bayon qilingan ..., ... ... Hm ... ... Oyoqning hisob-kitobi, ehtimol, hayajonlangan, aksincha - bir barmoq. Bosh barmoq.

Kvadrat ildiz bilan funktsiya butun sonli chiziqda aniqlanishi mumkinmi? Ishonch hosil qiling. Barcha odamlarni tanish :. Yoki eksponensial bilan o'xshash miqdor:. Darhaqiqat, har qanday ma'noga "x" va "ka" degan ma'noni anglatadi: shu sababli u ham bostiriladi. Masalan, funktsiya butun sonli raqamlarda aniqlanadi. Biroq, funktsiya bitta nuqtaga ega, chunki ular aniq ta'rifga kiritilmagan, chunki ular denominatorni nolga olib chiqishadi. Funktsiya uchun xuddi shu sabab uchun Ballar chiqarib tashlanadi.

Saytning ba'zi mehmonlari, ko'rib chiqilayotgan misollar - bu boshlang'ich va ibtidor bo'lib tuyuladi, ammo men keyingi vazifalar bo'yicha haqiqiy narsalarni "o'tkirlashga" harakat qilaman: to'liq tadqiqotlar Vazifalar, toping ikki o'zgaruvchining funktsiyasini aniqlash joylariva ba'zilari boshqalar. Matematikada hamma narsa bir-biriga yopishadi. Garchi qiyinchiliklarni sevuvchilar ham mahrum bo'lishsa-da, bu erda ko'proq ishonchli vazifalar bajariladi va darsda
interval usuli haqida.