Чому дорівнює косинус а. Що таке синус та косинус у тригонометрії? Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі

Вчителі вважають, що кожен школяр має вміти проводити розрахунки, знати тригонометричні формули, але не кожен викладач пояснює, що таке синус і косинус. Який їхній зміст, де вони використовуються? Чому ми говоримо про трикутники, а в підручнику намальовано коло? Спробуємо пов'язати всі факти докупи.

Шкільний предмет

Вивчення тригонометрії починається зазвичай у 7-8 класі середньої школи. У цей час учням пояснюють, що таке синус та косинус, пропонують вирішувати геометричні завдання із застосуванням цих функцій. Пізніше з'являються складніші формули і вирази, які потрібно алгебраїчним способом перетворювати (формули подвійного і половинного кута, статечні функції), проводиться робота з тригонометричним колом.

Однак вчителі далеко не завжди можуть дохідливо пояснити зміст понять, що використовуються, і застосовність формул. Тому учень часто не бачить сенсу в даному предметі, а завчена інформація швидко забувається. Однак варто один раз пояснити старшокласнику, наприклад, зв'язок між функцією та коливальним рухом, і логічний зв'язок запам'ятається на багато років, а жарти на тему марності предмета відійдуть у минуле.

Використання

Заглянемо заради цікавості у різні розділи фізики. Бажаєте визначити дальність польоту снаряда? Чи вираховуєте силу тертя між об'єктом та якоюсь поверхнею? Розгойдуєте маятник, стежите за променями, що проходять крізь скло, вираховуєте індукцію? Практично у будь-якій формулі фігурують тригонометричні поняття. То що таке синус та косинус?

Визначення

Синус кута є відношенням протилежного катета до гіпотенузи, косинус - прилеглого катета все до тієї ж гіпотенузи. Тут немає нічого складного. Можливо, учнів зазвичай бентежать значення, які вони бачать у тригонометричній таблиці, адже там фігурує квадратне коріння. Так, отримувати з них десяткові дроби не дуже зручно, але хто сказав, що всі числа в математиці мають бути рівними?

Насправді в задачках по тригонометрії можна знайти кумедну підказку: більшість відповідей тут рівні і в гіршому випадку містять корінь із двох або з трьох. Висновок простий: якщо у вас у відповіді вийшов «багатоповерховий» дріб, перевірте ще раз рішення на предмет помилок у розрахунках або в міркуваннях. І ви їх, мабуть, знайдете.

Що потрібно запам'ятати

Як і будь-якій науці, в тригонометрії є такі дані, які необхідно вивчити.

По-перше, слід запам'ятати числові значення для синусів, косінусів прямокутного трикутника 0 та 90, а також 30, 45 та 60 градусів. Ці показники зустрічаються у дев'яти із десяти шкільних завдань. Підглядаючи ці значення у підручнику, ви втратите багато часу, а на контрольній чи іспиті подивитися взагалі буде ніде.

Слід пам'ятати, що значення обох функцій неспроможна перевищувати одиницю. Якщо де-небудь у розрахунках ви отримаєте значення, що виходить за межі діапазону 0-1, зупиніться та вирішіть задачу заново.

Сума квадратів синуса та косинуса дорівнює одиниці. Якщо ви вже знайшли одне із значень, скористайтеся цією формулою для знаходження того, що залишилося.

Теореми

У базовій тригонометрії є дві основні теореми: синусів і косінусів.

Перша говорить, що відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута однаково. Друга - що квадрат будь-якої сторони можна отримати, якщо скласти квадрати двох сторін, що залишилися, і відняти подвоєний їх твір, помножений на косинус кута, що лежить між ними.

Таким чином, якщо в теорему косінусів підставити значення кута в 90 градусів, ми отримаємо теорему Піфагора. Тепер, якщо потрібно вирахувати площу фігури, яка не є прямокутним трикутником, можна більше не переживати - дві розглянуті теореми суттєво спростять розв'язання задачі.

Цілі і завдання

Вивчення тригонометрії значно спроститься, коли ви усвідомлюєте один простий факт: всі дії, що ви виконуєте, спрямовані на досягнення всього однієї мети. Будь-які параметри трикутника можуть бути знайдені, якщо ви знаєте про нього мінімум інформації - це може бути величина одного кута і довжини двох сторін або, наприклад, три сторони.

Для визначення синуса, косинуса, тангенса будь-якого кута цих даних достатньо, з їх допомогою можна легко вирахувати площу фігури. Практично завжди як відповідь потрібно навести одне зі згаданих значень, а знайти їх можна за одним і тим самим формулами.

Нестиковки щодо тригонометрії

Одним із незрозумілих питань, яких школярі вважають за краще уникати, є виявлення зв'язку між різними поняттями у тригонометрії. Здавалося б, вивчення синусів і косінусів кутів використовуються трикутники, але позначення чомусь часто зустрічаються малюнку з окружностью. Крім того, існує і зовсім незрозумілий хвилеподібний графік під назвою синусоїда, який не має жодної зовнішньої подібності ні з колом, ні з трикутниками.

Більше того, кути вимірюються то в градусах, то в радіанах, а число Пі, яке записується просто як 3,14 (без одиниць виміру), чомусь фігурує у формулах, відповідаючи 180 градусам. Як усе це пов'язано?

Одиниці виміру

Чому число Пі дорівнює саме 3,14? Чи пам'ятаєте ви, що це за значення? Це кількість радіусів, що уміщаються в дузі на половині кола. Якщо діаметр кола - 2 сантиметри, довжина кола становитиме 3,14*2, або 6,28.

Другий момент: можливо, ви помічали схожість слів «радіан» та «радіус». Справа в тому, що один радіан чисельно дорівнює величині кута, відкладеного з центру кола на дугу завдовжки один радіус.

Тепер сумісний отримані знання і зрозуміємо, чому зверху на осі координат у тригонометрії пишеться «Пі навпіл», а ліворуч – «Пі». Це кутова величина, виміряна в радіанах, адже півколо – це 180 градусів, або 3,14 радіана. А там, де є градуси, є синуси та косинуси. Трикутник легко провести від потрібної точки, відклавши відрізки до центру і на вісь координат.

Зазирнемо у майбутнє

Тригонометрія, що вивчається в школі, має справу з прямолінійною системою координат, де, хоч як це дивно не звучало, пряма - це пряма.

Але є і більш складні способи роботи з простором: сума кутів трикутника тут буде більше 180 градусів, а пряма в нашому уявленні буде виглядати як справжнісінька дуга.

Перейдемо від слів до діла! Візьміть яблуко. Зробіть ножем три надрізи, щоб при погляді зверху виходив трикутник. Вийміть шматок яблука і подивіться на «ребра», де закінчується шкірка. Вони зовсім не прямі. Фрукт у ваших руках умовно можна назвати круглим, а тепер уявіть, якими складними мають бути формули, за допомогою яких можна знайти площу вирізаного шматка. Адже деякі фахівці вирішують такі завдання щодня.

Тригонометричні функції у житті

Чи звертали ви увагу, що найкоротший маршрут літака з точки А до точки Б на поверхні нашої планети має яскраво виражену форму дуги? Причина проста: Земля має форму кулі, отже, з допомогою трикутників багато чого не обчислиш - тут доводиться використовувати складніші формули.

Не обійтися без синуса/косинусу гострого кута у будь-яких питаннях, пов'язаних із космосом. Цікаво, що тут сходиться безліч факторів: тригонометричні функції потрібні при розрахунках руху планет по колам, еліпсам і різним траєкторіям складніших форм; процесу запуску ракет, супутників, шатлів, відстикування дослідницьких апаратів; спостереженні за далекими зірками та вивченні галактик, до яких людина в найближчому майбутньому дістатися не зможе.

Загалом поле для діяльності людини, яка володіє тригонометрією, дуже широко і, мабуть, згодом лише розширюватиметься.

Висновок

Сьогодні ми дізналися або, принаймні, повторили, що таке синус та косинус. Це поняття, яких не треба боятися – варто захотіти, і ви зрозумієте їхній зміст. Пам'ятайте, що тригонометрія – це не мета, а лише інструмент, який можна використовувати для задоволення реальних людських потреб: будувати будинки, забезпечувати безпеку руху, навіть освоювати простори всесвіту.

Дійсно, сама по собі наука може здаватися нудною, але як тільки ви знайдете в ній спосіб досягнення власної мети, самореалізації, процес навчання стане цікавим, а ваша особиста мотивація зросте.

Як домашнє завдання спробуйте знайти способи застосувати тригонометричні функції у сфері діяльності, яка цікава особисто вам. Пофантазуйте, увімкніть уяву, і тоді напевно виявиться, що нові знання стануть вам у нагоді в майбутньому. Та й, крім того, математика корисна для загального розвитку мислення.

Косинус – це відома тригонометрична функція, яка до того ж є ще й однією з основних функцій тригонометрії. Косинус кута в трикутнику прямокутного типу - це відношення прилеглого катета трикутника до гіпотенузи трикутника. Найчастіше визначення косинуса пов'язують із трикутником саме прямокутного типу. Але буває і так, що той кут, для якого необхідно обчислити в трикутнику прямокутного типу косинус, у цьому трикутнику прямокутного типу не розташований. Що тоді робити? Як знайти косинус кута трикутника?

Якщо потрібно обчислити косинус кута саме в трикутнику прямокутного типу, то все дуже просто. Потрібно лише згадати визначення косинуса, у якому криється вирішення цього завдання. Просто потрібно знайти те саме ставлення між прилеглим катетом, а також гіпотенузою трикутника. Справді, тут неважко висловити косинус кута. Формула виглядає так: - cosα = a/c, тут "а" - це довжина катета, а сторона "с", відповідно, довжина гіпотенузи. Наприклад, косинус гострого кута прямокутного трикутника можна знайти за цією формулою.

Якщо Вас цікавить, до чого дорівнює косинус кута в довільному трикутнику, то на допомогу приходить теорема косінусів, якою і варто скористатися в подібних випадках. Теорема косінусів говорить про те, що квадрат сторони трикутника апріорі дорівнює сумі квадратів інших сторін того ж трикутника, але вже без подвоєного добутку цих сторін на косинус того кута, який розташований між ними.

1. Якщо у трикутнику необхідно знайти косинус гострого кута, то потрібно скористатися такою формулою: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Якщо ж у трикутнику необхідно знайти косинус тупого кута, потрібно скористатися такою формулою: cosα = (з 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Позначення у формулі – а та b – це довжини сторін, які є прилеглими до шуканого кута, с – це довжина сторони, яка є протилежною шуканому куту.

Також косинус кута можна обчислювати за допомогою теореми синусів. Вона свідчить, що це сторони трикутника пропорційні синусам кутів, які протилежні. За допомогою теореми синусів можна обчислювати решту елементів трикутника, маючи відомості лише про дві сторони і вугілля, що є протилежним одній стороні, або ж по двох кутах і одній стороні. Розглянь на прикладі. Умови задачі: а = 1; b = 2; с=3. Кут, який протилежний стороні "А", позначаємо - α, тоді, згідно з формулами, маємо: соsα=(b²+c²-а²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)/(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Відповідь: 1.

Якщо ж косинус кута потрібно обчислити над трикутнику, а якийсь інший довільної геометричній фігурі, то тут усе стає трохи складніше. Величину кута спочатку потрібно визначити в радіанах або градусах, а вже потім обчислювати косинус за цією величиною. Косинус за числовим значенням визначається за допомогою таблиць Брадіса, інженерних калькуляторів або спеціальних математичних програм.

Спеціальні математичні програми можуть мати такі функції, як автоматичний підрахунок косінусів кутів у тій чи іншій фігурі. Принадність таких додатків полягає в тому, що вони дають правильну відповідь, а користувач не витрачає свого часу на вирішення часом досить складних завдань. З іншого боку, при постійному використанні виключно додатків для розв'язання задач, губляться всі навички по роботі з розв'язанням математичних задач на знаходження косінусів кутів у трикутниках та інших довільних фігурах.

Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, тоді як у шкільному курсі вивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

Тригонометрія – це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій та залежністю між сторонами та кутами трикутників.

У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу до Греції. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.

У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами та сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:

Як видно, tg та ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо такі формули для тангенсу та котангенсу:

Тригонометричне коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

Окружність, у разі, є всі можливі значення кута α — від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція набуває негативного або позитивного значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить І і ІІ чверті кола, тобто знаходиться у проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.

Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів та дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повне коло або 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.

Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди та косінусоїди:

Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.

Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
5. Tg x = 0 при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче за текстом.

Основні властивості котангенсоіди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Виправити

Ставлення протилежного катета до гіпотенузи називають синусом гострого кутапрямокутний трикутник.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Косинус гострого кута прямокутного трикутника

Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називають косинус гострого кутапрямокутний трикутник.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Тангенс гострого кута прямокутного трикутника

Ставлення протилежного катета до прилеглого катета називають тангенсом гострого кутапрямокутний трикутник.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Котангенс гострого кута прямокутного трикутника

Відношення прилеглого катета до протилежного катета називають котангенсом гострого кутапрямокутний трикутник.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Синус довільного кута

Ордината точки на одиничному колі , якому відповідає кут \alpha називають синусом довільного кутаповороту \ alpha .

\sin \alpha=y

Косинус довільного кута

Абсцис точки на одиничному колі, якому відповідає кут \alpha називають косинус довільного кутаповороту \ alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс довільного кута

Ставлення синуса довільного кута повороту \alpha до його косинусу називають тангенсом довільного кутаповороту \ alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Котангенс довільного кута

Відношення косинуса довільного кута повороту \alpha до його синусу називають котангенсом довільного кутаповороту \ alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Приклад знаходження довільного кута

Якщо \alpha - деякий кут AOM , де M - точка одиничного кола, то

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Наприклад, якщо \angle AOM = -\frac(\pi)(4), то: ордината точки M дорівнює -\frac(\sqrt(2))(2), абсцису дорівнює \frac(\sqrt(2))(2)і тому

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Таблиця значень синусів косінусів тангенсів котангенсів

Значення основних кутів, що часто зустрічаються, наведені в таблиці:

Спочатку синус і косинус виникли через необхідність розраховувати величини прямокутних трикутниках. Було помічено, що й значення градусної міри кутів у прямокутному трикутнику не змінювати, то співвідношення сторін, хоч би ці сторони змінювалися у довжині, залишається завжди однаковим.

Саме так і було введено поняття синуса та косинуса. Синус гострого кута у прямокутному трикутнику – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус – прилеглого до гіпотенузи.

Теореми косінусів та синусів

Але косинуси та синуси можуть застосовуватися не тільки у прямокутних трикутниках. Щоб знайти значення тупого чи гострого кута, сторони будь-якого трикутника, достатньо застосувати теорему косінусів та синусів.

Теорема косінусів досить проста: «Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін за вирахуванням подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними».

Існує два трактування теореми синусів: мала та розширена. Відповідно до малої: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам». Цю теорему часто розширюють за рахунок властивості описаного у трикутника кола: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам, а їх відношення дорівнює діаметру описаного кола».

Похідні

Похідна – математичний інструмент, що показує, як швидко змінюється функція щодо зміни її аргументу. Похідні використовуються , геометрії, і ряд технічних дисциплін.

При вирішенні завдань потрібно знати табличні значення похідних тригонометричних функцій: синуса та косинуса. Похідною синуса є косинус, а косинуса – синус, але зі знаком «мінус».

Застосування в математиці

Особливо часто синуси та косинуси використовуються при вирішенні прямокутних трикутників та завдань, пов'язаних з ними.

Зручність синусів і косінусів знайшло своє відображення і в техніці. Кути та сторони було просто оцінювати за теоремами косинусів та синусів, розбиваючи складні фігури та об'єкти на «прості» трикутники. Інженери і , що часто мають справу з розрахунками співвідношення сторін і градусних заходів, витрачали чимало часу та зусиль для обчислення косінусів та синусів не табличних кутів.

Тоді «на допомогу» прийшли таблиці Брадіса, що містять тисячі значень синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів різних кутів. За радянських часів деякі викладачі змушували своїх підопічних сторінки таблиць Брадіса напам'ять.

Радіан - кутова величина дуги, по довжині рівної радіусу або 57,295779513 градусів.

Градус (в геометрії) - 1/360 частина кола або 1/90 частина прямого кута.

π = 3.141592653589793238462… (приблизне значення числа Пі).