Användning av l. Amplitud-faskarakteristik (Nyquist hodograf) Användning av L.A.Ch. och fasfrekvensegenskaper för att analysera systemstabilitet
Detta är platsen för de punkter som slutet av vektorn för frekvensöverföringsfunktionen beskriver när frekvensen ändras från -∞ till +∞. Segmentets storlek från origo till varje punkt på hodografen visar hur många gånger vid en given frekvens utsignalen är större än insignalen, och fasförskjutningen mellan signalerna bestäms av vinkeln mot nämnda segment.
Alla andra frekvensberoende genereras från AFC:n:
- U(w) - jämn (för slutna automatiska styrsystem P(w));
- V(w) - udda;
- A(w) - jämn (frekvenssvar);
- j(w) - udda (fassvar);
- LACHH & LFCH - används oftast.
Logaritmiska frekvensegenskaper.
Logaritmiska frekvenskarakteristika (LFC) inkluderar en logaritmisk amplitudkarakteristik (LAFC) och en logaritmisk faskarakteristik (LPFC) konstruerade separat på ett plan. Konstruktionen av LFC & LFCH utförs med hjälp av följande uttryck:
L(w) = 20 lg | W(j w)| = 20 lg A(w), [dB];
j(w) = arg( W(j w)), [rad].
Magnitud L(w) uttrycks i decibel . Belär en logaritmisk enhet som motsvarar en tiofaldig ökning av effekten. En Bel motsvarar en ökning av effekten med 10 gånger, 2 Bels - med 100 gånger, 3 Bels - med 1000 gånger, etc. En decibel är lika med en tiondel av en Bel.
Exempel på AFC, AFC, PFC, LFC och LPFC för typiska dynamiska länkar ges i Tabell 2.
Tabell 2. Frekvensegenskaper för typiska dynamiska länkar.
Principer för automatisk reglering
Baserat på kontrollprincipen kan självgående vapen delas in i tre grupper:
- Med reglering baserad på yttre påverkan - Poncelet-principen (används i självgående vapen med öppen krets).
- Med reglering genom avvikelse - Polzunov-Watt-principen (används i slutna självgående vapen).
- Med kombinerad reglering. I detta fall innehåller ACS slutna och öppna styrslingor.
Styrprincip baserad på yttre störning
Strukturen kräver störningssensorer. Systemet beskrivs av överföringsfunktionen i öppen slinga: x(t) = g(t) - f(t).
Fördelar:
- Det är möjligt att uppnå fullständig invarians till vissa störningar.
- Problemet med systemstabilitet uppstår inte, eftersom inget OS.
Brister:
- Ett stort antal störningar kräver ett motsvarande antal kompensationskanaler.
- Ändringar i parametrarna för det kontrollerade objektet leder till fel i kontrollen.
- Kan endast tillämpas på föremål vars egenskaper är klart kända.
Avvikelsekontrollprincip
Systemet beskrivs av överföringsfunktionen med öppen slinga och stängningsekvationen: x(t) = g(t) - y(t) W oc( t). Systemets algoritm är baserad på önskan att minska felet x(t) till noll.
Fördelar:
- OOS leder till en minskning av fel, oavsett de faktorer som orsakade det (ändringar i parametrarna för det kontrollerade objektet eller yttre förhållanden).
Brister:
- I OS-system finns det ett stabilitetsproblem.
- Det är i grunden omöjligt att uppnå absolut invarians till störningar i system. Önskan att uppnå partiell invarians (inte med det första operativsystemet) leder till komplikationer av systemet och försämring av stabiliteten.
Kombinerad kontroll
Kombinerad styrning består av en kombination av två styrprinciper baserade på avvikelse och yttre störning. De där. Styrsignalen till objektet genereras av två kanaler. Den första kanalen är känslig för den styrda variabelns avvikelse från målet. Den andra genererar en kontrollåtgärd direkt från en master- eller störsignal.
x(t) = g(t) - f(t) - y(t)Woc(t)
Fördelar:
- Närvaron av OOS gör systemet mindre känsligt för ändringar i parametrarna för det kontrollerade objektet.
- Att lägga till referenskänsliga eller störningskänsliga kanal(er) påverkar inte återkopplingsslingans stabilitet.
Brister:
- Kanaler som är känsliga för en uppgift eller för en störning innehåller vanligtvis särskiljande länkar. Deras praktiska genomförande är svårt.
- Alla föremål tillåter inte forcering.
ATS stabilitetsanalys
Begreppet stabilitet hos ett regleringssystem är förknippat med dess förmåga att återgå till ett jämviktstillstånd efter försvinnandet av yttre krafter som förde det ut ur detta tillstånd. Stabilitet är ett av huvudkraven för automatiska system.
Begreppet stabilitet kan utvidgas till fallet med ATS-rörelse:
- ostörd rörelse
- indignerad rörelse.
Rörelsen av ett styrsystem beskrivs med hjälp av en differentialekvation, som generellt beskriver 2 driftslägen för systemet:
Steady State-läge
Körläge
I det här fallet kan den allmänna lösningen i alla system skrivas som:
Tvingade komponenten bestäms av ingångens inverkan på styrsystemets ingång. Systemet når detta tillstånd i slutet av transienta processer.
Övergångsvis komponenten bestäms genom att lösa en homogen differentialekvation av formen:
Koefficienter a 0 ,a 1 ,...a n inkluderar systemparametrar => att ändra någon koefficient i differentialekvationen leder till en förändring av ett antal systemparametrar.
Lösning av en homogen differentialekvation
var är integrationskonstanterna och är rötterna till den karakteristiska ekvationen av följande form:
Den karakteristiska ekvationen representerar nämnaren för överföringsfunktionen lika med noll.
Rötterna till den karakteristiska ekvationen kan vara reell, komplex konjugat och komplex, vilket bestäms av systemets parametrar.
För att bedöma stabiliteten hos system, ett antal hållbarhetskriterier
Alla hållbarhetskriterier är indelade i 3 grupper:
Rot
- 
algebraisk
Nyquists stabilitetskriteriet formulerades och motiverades 1932 av den amerikanske fysikern H. Nyquist. Nyquist-stabilitetskriteriet används mest inom ingenjörspraktik av följande skäl:
- systemets stabilitet i ett stängt tillstånd studeras av frekvensöverföringsfunktionen för dess öppna del W p (jw), och denna funktion består oftast av enkla faktorer. Koefficienterna är de verkliga parametrarna för systemet, vilket gör att du kan välja dem från stabilitetsförhållandena;
- för att studera stabilitet kan du använda experimentellt erhållna frekvensegenskaper för de mest komplexa elementen i systemet (kontrollobjekt, verkställande organ), vilket ökar noggrannheten hos de erhållna resultaten;
- systemets stabilitet kan studeras med hjälp av logaritmiska frekvenskarakteristika, vars konstruktion inte är svår;
- Systemets stabilitetsmarginaler bestäms helt enkelt;
- bekväm att använda för att bedöma stabiliteten hos en ATS med en fördröjning.
Nyquists stabilitetskriterium gör det möjligt att utvärdera stabiliteten för en ACS baserat på AFC för dess öppna-loop-del. I detta fall urskiljs tre fall av tillämpning av Nyquistkriteriet.
1. Den öppna delen av ACS är stabil.För stabiliteten hos ett slutet system är det nödvändigt och tillräckligt att AFC-svaret för den öppna delen av systemet (Nyquist hodograf) vid byte frekvenser w från 0 till +¥ täckte inte punkten med koordinater [-1, j 0]. I fig. 4.6 visar de viktigaste möjliga situationerna:
1. - det slutna systemet är absolut stabilt;
2. - ATS är villkorligt stabil, d.v.s. stabil endast i ett visst område av förändringar i transmissionskoefficienten k;
3. - ATS är på gränsen till stabilitet;
4. - ATS är instabilt.
Ris. 4.6. Nyquist hodografer när den öppna delen av ACS är stabil
2. Den öppna delen av ACS är på stabilitetsgränsen.I det här fallet har den karakteristiska ekvationen noll eller rent imaginära rötter, och de återstående rötterna har negativa reella delar.
För stabiliteten i ett slutet system, om den öppna slinga-delen av systemet är på stabilitetsgränsen, är det nödvändigt och tillräckligt att AFC-svaret för den öppna slingdelen av systemet vid byte w från 0 till +¥, kompletterat i diskontinuitetsområdet med en båge med oändligt stor radie, täckte inte punkten med koordinater [-1, j 0]. I närvaro av ν nollrötter av AFC-svaret för den öppna slingadelen av systemet vid w=0 med en båge med oändligt stor radie rör sig från den positiva reella halvaxeln med en vinkel på grader medurs, som visas i fig. 4.7.
Ris. 4.7. Nyquist hodografer i närvaro av nollrötter
Om det finns ett par rent imaginära rötter w i =, sedan AFC-svaret vid frekvens w i en båge med oändligt stor radie rör sig i en vinkel på 180° medurs, vilket reflekteras i fig. 4.8.
Ris. 4.8. Nyquist hodograf i närvaro av ett par rent imaginära rötter
3. Den öppna delen av systemet är instabil, dvs. den karakteristiska ekvationen har l rötter med positiv reell del. I detta fall är det nödvändigt och tillräckligt för stabiliteten hos ett slutet system när frekvensen ändras w från 0 till +¥ AFC för den öppna delen av ACS täckte punkten
[-1, j 0) l/2 gånger i positiv riktning (moturs).
Med en komplex form av Nyquist-hodografen är det bekvämare att använda en annan formulering av Nyquist-kriteriet, föreslagen av Ya.Z. Tsypkin använder övergångsregler. Övergång av fassvarssvaret för den öppna slingadelen av systemet med ökande w segmentet av den reella axeln från -1 till -¥ från topp till botten anses positivt (fig. 4.9), och från botten till toppen negativt. Om AFC-svaret börjar i detta segment kl w=0 eller slutar kl w=¥ , då anses det att AFC gör en halv övergång.
Ris. 4.9. Övergångar av Nyquist-hodografen genom segmentet P( w) från -¥ till -1
Det slutna systemet är stabilt, om skillnaden mellan antalet positiva och negativa övergångar för Nyquist-hodografen genom ett segment av den reella axeln från -1 till -¥ är lika med l/2, där l är antalet rötter i den karakteristiska ekvationen med en positiv riktig del.
Uppgiftens skick.
Med hjälp av Mikhailov och Nyquists stabilitetskriterier, bestäm stabiliteten för ett enkelslinga kontrollsystem som har en överföringsfunktion av formen i öppet tillstånd
Ange värdena för K, a, b och c i formeln enligt alternativet.
W(s) = 
,
(1)
Konstruera Mikhailov och Nyquist hodografer. Bestäm gränsfrekvensen för systemet.
Bestäm det kritiska värdet för systemförstärkningen.
Lösning.
Problem med analys och syntes av styrsystem löses med hjälp av en så kraftfull matematisk apparat som operationskalkylen (Laplace-transform). Problem med analys och syntes av styrsystem löses med hjälp av en så kraftfull matematisk apparat som operationskalkylen (Laplace-transform). Den allmänna lösningen av operatorekvationen är summan av termer som bestäms av värdena för rötterna till det karakteristiska polynomet (polynomet):
D(s) = d s n d n ) .
Konstruktion av Mikhailovs hodograf.
A) Vi skriver ut det karakteristiska polynomet för det slutna systemet som beskrivs av ekvation (1)
D(s) = 50 + (25s+1)(0,1s+1)(0,01s+1) = 50+(625+50s+1)(0,001+0,11s+1) =0,625+68,85 +630,501+50,11s +51.
Rötterna till ett polynom D(s) kan vara: null; verklig (negativ, positiv); imaginärt (alltid parat, konjugerat) och komplext konjugat.
B) Förvandla till formen s→ ωj
D()=0,625+68,85+630,501+50,11+51=0,625ω-68,85jω- 630,501ω+50,11jω+51
ω – signalfrekvens, j = (1) 1/2 – imaginär enhet. J 4 =(-1) 4/2 =1, J 3 =(-1) 3/2 =-(1) 1/2 = - j, J 2 =(-1) 2/2 =-1, J =(-1) 1/2 = j,
C) Låt oss välja de verkliga och imaginära delarna.
D= U()+jV(), där U() är den reella delen och V() är den imaginära delen.
U(ω) =0,625ω-630,501ω+51
V(ω) =ω(50,11-68,85ω)
D) Låt oss bygga Mikhailovs hodograf.
Låt oss bygga Mikhailovs hodograf nära och bort från noll, för detta bygger vi D(jw) när w ändras från 0 till +∞. Låt oss hitta skärningspunkterna U(w) och V(w) med axlar. Låt oss lösa problemet med Microsoft Excel.
Vi ställer in värdena för w i intervallet från 0 till 0,0001 till 0,1 och beräknar dem i tabellen. Excel-värden U(ω) och V(ω), D(ω); hitta skärningspunkterna U(w) och V(w) med axlar,
Vi ställer in värdena för w i intervallet från 0,1 till 20 och beräknar dem i tabellen. Excel-värden U(w) och V(w), D; hitta skärningspunkterna U(w) och V(w) med axlar.
Tabell 2.1 – Definition av de reella och imaginära delarna och själva polynomet D()med Microsoft Excel
Ris. A, B, ..... Beroenden U(ω) och V(ω), D(ω) från ω
Enligt fig. A, B, .....hitta skärningspunkterna U(w) och V(w) med axlar:
vid ω = 0 U(ω)= …. Och V(ω)= ……
Figur 1. Mikhailovs hodograf vid ω = 0:000.1:0.1.
Fig.2. Mikhailovs hodograf vid ω = 0,1:20
D) Slutsatser om systemets stabilitet baserat på hodografen.
Stabiliteten (som ett koncept) för varje dynamiskt system bestäms av dess beteende efter att den yttre påverkan har tagits bort, dvs. dess fria rörlighet under påverkan av initiala förhållanden. Ett system är stabilt om det återgår till sitt ursprungliga jämviktstillstånd efter att signalen (störningen) som förde det ut ur detta tillstånd upphör att verka på systemet. Ett instabilt system återgår inte till sitt ursprungliga tillstånd, utan rör sig kontinuerligt bort från det över tiden. För att bedöma systemets stabilitet är det nödvändigt att studera den fria komponenten av lösningen till dynamikekvationen, det vill säga lösningen till ekvationen:.
D(s) = d s n d n )= 0.
Kontrollera systemets stabilitet med hjälp av Mikhailov-kriteriet :
Mikhailov kriterium: För en stabil ASR är det nödvändigt och tillräckligt att Mikhailov-hodografen (se fig. 1 och fig. 2), med början vid w = 0 på den positiva reella halvaxeln, går runt successivt i positiv riktning (moturs) som w ökar från 0 till ∞ n kvadranter, där n är graden av det karakteristiska polynomet.
Det framgår tydligt av lösningen (se fig. 1 och fig. 2) att hodografen uppfyller följande kriterievillkor: Den börjar på den positiva reella halvaxeln vid w = 0. Hodografen uppfyller inte följande kriterievillkor: den går inte runt alla fyra kvadranter i positiv riktning (grad av polynom n=4) vid ω.
Vi drar slutsatsen att detta öppna system inte är stabilt .
Konstruktion av Nyquist hodograf.
A) Låt oss ersätta formel (1) s→ ωj
W(s) = 
=
,
B) Öppna parenteserna och markera de verkliga och imaginära delarna i nämnaren
C) Multiplicera med konjugatet och välj de verkliga och imaginära delarna
,
där U() är den reella delen och V() är den imaginära delen.
D) Låt oss konstruera en Nyquist-hodograf: - beroende av W() på .
Fig.3. Nyquist hodograf.
E) Låt oss kontrollera stabiliteten hos systemet med hjälp av Nyquist-kriteriet:
Nyquist kriterium: För att ett system som är stabilt i öppet tillstånd ska vara stabilt i stängt tillstånd är det nödvändigt att Nyquist-hodografen, när frekvensen ändras från noll till oändligt, inte täcker punkten med koordinater (-1; j0) .
Det framgår av lösningen (se fig. 3) att hodografen uppfyller alla villkoren för kriteriet:
Hodografen ändrar riktning medurs
Hodografen täcker inte punkten (-1; j0)
Vi drar slutsatsen att detta öppna system är stabilt .
Bestämning av systemvinstens kritiska värde.
A) I punkt 2 har de verkliga och imaginära delarna redan särskiljts
B) För att hitta det kritiska värdet av systemförstärkningen är det nödvändigt att likställa den imaginära delen till noll och den reella delen till -1
C) Låt oss hitta från den andra (2) ekvationen
Täljaren måste vara 0.
Då accepterar vi det
C) Ersätt i den första (1) ekvationen och hitta
Systemvinstens kritiska värde.
Litteratur:
1. Metoder för klassisk och modern teori om automatisk styrning. Volym 1.
Analys och statistisk dynamik för automatiska styrsystem. M: Ed. MSTU uppkallad efter Bauman. 2000
2. Voronov A.A. Teori om automatisk styrning. T. 1-3, M., Nauka, 1992
Ett viktigt teorem från funktionsteorin för en komplex variabel säger: låt funktionen vara unik inuti en enkelt sammankopplad kontur C och dessutom vara unik och analytisk på denna kontur. Om inte är lika med noll på C och om det inuti konturen C bara kan finnas ett ändligt antal singulära punkter (poler), då
där är antalet nollor, och är antalet poler inuti C, som var och en tas med i beräkningen enligt dess mångfald.
Denna sats följer direkt av Cauchys restsats, som säger att
Låt oss ersätta med och notera att singulariteterna bevaras vid både nollorna och polerna. Då kommer resterna som finns vid dessa singularpunkter att vara lika med multipliciteten av singularpunkterna med ett positivt tecken vid nollorna och ett negativt tecken vid de Den ovan formulerade satsen är nu uppenbar.
Relation (11.2-1) kan också skrivas i formuläret
Eftersom konturen C i allmänhet kommer att ha både reella och imaginära delar, kommer dess logaritm att skrivas i formen
Förutsatt att C inte försvinner någonstans på gränsen, ger integration i (II.2-3) direkt
där betecknar den godtyckliga början och slutet av den stängda konturen C. Följaktligen,
Genom att kombinera resultaten (II.2-1) och (II.2-7) finner vi att produkten av den totala vinkeländringen (fullständigt varv runt origo) när konturen C löper runt är lika med skillnaden mellan nollor och poler inuti konturen C.
Om är det totala antalet varv runt origo som C springer runt, då kan vi skriva
Dessutom går konturen C runt i den riktning som motsvarar en ökning av den positiva vinkeln, och varvet kallas positivt om det också sker i den riktning som motsvarar en ökning av den positiva vinkeln.
Ris. II.2-1. En sluten kontur som omsluter den ändliga delen av det högra halvplanet.
Nu kan dessa resultat appliceras direkt på problemet med att bestämma stabilitet. Vi vill veta om nämnaren för överföringsfunktionen har nollor i det högra halvplanet.
Följaktligen väljs kontur C för att helt omsluta det högra halvplanet. Denna krets visas i fig. där den stora halvcirkeln som omsluter det högra halvplanet ges av relationerna
samtidigt som man tenderar till oändligheten i gränsen.
Antag att det är skrivet som
var är en hel funktion av och som inte har några gemensamma faktorer. Låt oss ytterligare konstruera ett diagram i det komplexa planet, och ändra värdena längs konturen C. Detta diagram kommer att ge oss en sluten kontur. I det allmänna fallet kommer det att vara en hel funktion av polynomform, som uppenbarligen inte har några poler i den ändliga delen av planet. Om det är transcendentalt måste antalet P av poler i den ändliga delen av det högra halvplanet bestämmas. Genom att känna till P och bestämma från diagrammet när C löper igenom, kan vi nu bestämma, enligt ekvation (II.2-8), antalet nollor i det högra halvplanet
Ris. II.2-2. Enkelt enkretskontrollsystem.
För att systemet ska vara stabilt måste det vara lika med noll. Följaktligen omfattar tillämpningen av detta kriterium två steg: det första är bestämningen av polerna i det högra halvplanet och det andra är konstruktionen av ett diagram när C går igenom. Det första steget utförs vanligtvis mycket enkelt. Den andra kan ge betydande svårigheter, särskilt om den är av tredje eller högre ordning och om den innehåller transcendentala termer.
För ett återkopplingsstyrsystem, visat i allmän form i fig. Komplexiteten i diagrammet kan reduceras avsevärt genom att använda en öppen överföringsfunktion. Överföringsfunktionen hos ett system med sluten krets är relaterad till överföringsfunktionen hos ett system med öppen krets genom relationen
där kan ha både poler och nollor. I ett stabilitetsproblem är det önskvärt att veta om den har poler i det högra halvplanet. Detta motsvarar att vara i det högra halvplanet av funktionens nollplan, eller att vara i det högra halvplanet, förskjuten med -1, funktionens nollor. För att klargöra effekten som uppstår på grund av förändringen i öppen slinga förstärkning, och samtidigt minimera arbetet med att konstruera Nyquistdiagrammet, skriver vi om nämnaruttrycken (II.2-12) i formen där K är förstärkningen för det öppna systemet. Nu är polerna identiska med nollorna med avseende på
För att tillämpa Nyquist-kriteriet ritar vi först en kontur C, som täcker
hela högra halvplanet. Efter detta beräknar vi det totala antalet varv för samma rörelse runt punkten Ändring av förstärkningen K ändrar endast punktens position och påverkar inte placeringen [-Antalet poler P för funktionen i PPP bestäms direkt från själva funktionen, om den har formen av en produkt av enkla faktorer, eller genom svårare att beräkna om den har en polynom eller transcendental form. Systemets stabilitet bestäms sedan genom direkt tillämpning av ekvation (II.2-8), som fastställer
Följaktligen är systemet stabilt endast om det är lika med noll, där nu antalet nollor i nämnaren (II.2-12) i
Ris. II.2-3. Två möjliga modifieringar av kretsar med bypass av poler på den imaginära axeln.
Vid tillämpning av kriteriet i denna form bör man vara uppmärksam på valet av kontur C, som täcker det högra halvplanet. Relation (11.2-1) och därför (11.2-13) kräver frånvaron av singulariteter för den visade funktionen på konturen C. Det finns ofta fall då den har en pol i origo eller till och med flera par av komplexa konjugerade poler på imaginär axel. För att ta itu med dessa speciella fall modifieras kongur C genom att korsa var och en av singulariteterna i mycket små halvcirklar, som visas i fig. II.2-3. Om funktionerna är poler, kan den modifierade konturen C passera antingen till höger eller till vänster om dem, som visas i fig. II.2-3,a respektive II.2-3,b. Om singulariteten inte är en pol, måste konturen alltid passera till höger om den, eftersom relation (II.2-1) endast tillåter sådana singulariteter som poler inuti konturen C. De poler på den imaginära axeln som förbigås från vänster ligger inuti konturen C och måste därför beaktas i P. I det här fallet väljs vanligtvis konturen C i omedelbar närhet av singularpunkten i formen
där vinkeln varierar från till i gränsen tenderar till noll.
Hodografen när den passerar genom kontur C består huvudsakligen av fyra delar. Hodograf kl
exklusive närheten av singulariteter på den imaginära axeln, är helt enkelt frekvenssvaret för det öppna systemet. Därför kan hodografen vid erhållas genom att plotta den vid relativt den verkliga axeln. När man går genom en oändlig halvcirkel är värdet för alla fysiskt genomförbara system noll eller som mest ett ändligt konstant värde. Slutligen bestäms hodografen när den går genom små halvcirklar i närheten av polerna på den imaginära axeln genom att direkt ersätta uttryck (II.2-14) i denna funktion. Därmed är avbildningen av konturen C på funktionsplanet avslutad.
Vid tillämpning av kriteriet i denna form blir karaktären av de restriktioner som det ålagts uppenbar. För det första kan den bara ha ett ändligt antal poltypsingulariteter i det högra halvplanet. För det andra kan den bara ha ett ändligt antal singulariteter (poler eller grenpunkter) på den imaginära axeln. Klassen av funktioner kan utökas till att omfatta funktioner som har förgreningspunkter, så länge förgreningspunkterna ligger i det vänstra halvplanet och om funktionens huvudvärde används. För det tredje är signifikanta egenskaper hos formen i täljaren tillåtna, eftersom det absoluta värdet av denna funktion, när den ändras inom det högra halvplanet, ligger mellan och 0.
Det är tillrådligt att visa tillämpningen av Nyquist-kriteriet med ett exempel. Låt det kontrollerade systemet med återkoppling definieras av relationerna
Överföringsfunktionen för de givna elementen motsvarar en tvåfas induktionsmotor som arbetar med en frekvens från en halvvågsmagnetisk förstärkare. Förekomsten av negativ dämpning är förknippad med lågt rotormotstånd. Den första frågan uppstår: är det möjligt att stabilisera givna element endast på grund av förstärkningsfaktorn? Låt oss därför sätta
Överföringsfunktionen för det öppna systemet tar formen
Vi ser för det första att den bara har en pol i det högra halvplanet och denna pol är placerad vid punkten Ett ungefärligt diagram när man löper genom konturen C som visas i fig. II.2-4, a, visas i fig. II.2-4, b och visar att vid den valda förstärkningen finns ett positivt varv runt punkten.
Ris. II.2-4. Exempel på Nyquist-diagram.
Med hjälp av Nyquist-kriteriet uttryckt med ekvation (II.2-13) kommer vi därför fram till resultatet
Att öka K skapar möjligheten till ett större antal positiva varv på grund av den spiralformade delen av diagrammet på grund av multiplikatorn, vi kan därför dra slutsatsen att systemet är instabilt för alla positiva värden av K.
För negativa värden på K kan vi antingen rotera vårt diagram i förhållande till origo och betrakta varv runt punkten, eller använda ett befintligt diagram och betrakta varv runt punkten. Den senare metoden är enklare; det visar direkt att det åtminstone inte finns någon positiv utveckling runt omkring. Detta ger minst en nolla i det högra halvplanet för negativa värden på K. Vi drar därför slutsatsen att systemet är instabilt för alla värden på K, både positiva och negativa, och därför krävs viss korrigering för att göra system stabilt.
Nyquist-kriteriet kan också användas när frekvenssvaret för ett system med öppen slinga är konstruerat från experimentella data. Öppningssystemets överföringsfunktion måste i detta fall vara stabil och kan därför inte ha poler i det högra halvplanet, dvs. För att korrekt konstruera en Nyquist-hodograf måste man vara noga med att noggrant fastställa systemets beteende vid mycket låga frekvenser.
När Nyquist-kriteriet tillämpas på system med flera slingor börjar konstruktionen med den innersta slingan och fortsätter till de yttre slingorna, varvid man noggrant räknar antalet poler i PPP från varje enskild slinga. Arbetet som lagts ner på denna metod kan ofta minskas genom att eliminera några av kretsarna genom att konvertera flödesschemat. Valet av sekvensen för att konstruera en hodograf för multi-loopsystem beror på strukturdiagrammet, såväl som på placeringen av specificerade och korrigerande element i konturerna.
Konstruktion av Nyquist-hodografer med användning av överföringsfunktionen för ett system med öppen slinga specificerat som ett polynom
Nyquists frekvenskriterium när man studerar stabiliteten hos automatiska system är baserat på amplitud-fas-frekvenssvaret hos ett system med öppen slinga och kan formuleras enligt följande:
om den karakteristiska ekvationen för ett öppet slingasystem av n:e ordningen har k rötter med en positiv reell del (k = 0, 1, ..... n) och n-k rötter med en negativ reell del, då för stabiliteten av ett slutet slingasystem är det nödvändigt och tillräckligt att amplitudfashodografens frekvenssvar för ett öppet slingasystem (Nyquist hodograph) täcker punkten (-1, j0) av det komplexa planet med en vinkel k p, eller, vilket är samma, täckte punkten (-1, j0) i positiv riktning, dvs. moturs, k gånger.
För det speciella fallet när den karakteristiska ekvationen för ett öppet slingasystem inte har rötter med en positiv reell del (k = 0), dvs. , när det är stabilt i öppet tillstånd, formuleras Nyquist-kriteriet enligt följande:
det automatiska styrsystemet är stabilt i det stängda tillståndet om amplitud-fas frekvenssvaret för det öppna systemet när frekvensen ändras från 0 till? täcker inte en punkt i det komplexa planet med koordinater (-1, j0).
Nyquists stabilitetskriteriet är praktiskt att tillämpa på system med återkoppling, särskilt system av hög ordning.
För att konstruera Nyquist-hodografen kommer vi att använda överföringsfunktionen för det öppna systemet i symbolisk form från Praktisk lektion nr 5
Låt oss skriva det i symbolisk-digital form för de givna parametrarna för alla element i systemet, förutom överföringskoefficienten för den magnetiska förstärkaren:
Låt oss skriva ner ekvationen för amplitudfasfrekvenssvaret, välja de verkliga och imaginära frekvensegenskaperna och konstruera en familj av Nyquist-hodografer som en funktion av den magnetiska förstärkarens frekvens och transmissionskoefficient.
Rita en graf över amplitud-fas frekvenssvar i MathСad
Fig.3. En familj av Nyquist hodografkurvor konstruerade för överföringsfunktionen hos ett system med öppen slinga som en funktion av k mu .
Av fig. 3 framgår att en av Nyquist-hodograferna passerar genom punkten med koordinater (j0, -1) . Följaktligen, i ett givet intervall av förändringar i överföringskoefficienten för den magnetiska förstärkaren finns det också dess kritiska värde. För att bestämma det använder vi följande relationer:
Därför är den kritiska överföringskoefficienten för den magnetiska förstärkaren:
k mukr =11.186981170416560078
Låt oss se till att så verkligen är fallet. För att göra detta kommer vi att konstruera Nyquist hodografkurvor för tre värden på den magnetiska förstärkarens överföringskoefficient: k mu = 0,6k mukr ; k mu = k mukr ; k mu =1,2k mukr
Fig.4.
k mu = 0,6 k mukr; k mu = k mukr; k mu =1,2 k mukr
Kurvorna i fig. 4 bekräftar att den kritiska transmissionskoefficienten för den magnetiska förstärkaren hittas korrekt.
Användning av l.a.ch.h. och fasfrekvensegenskaper för att analysera systemstabilitet
Kriteriet för systemstabilitet i termer av logaritmisk amplitudfrekvensrespons (l.a.ch..x) och fasfrekvensrespons kan formuleras enligt följande:
Ett automatiskt styrsystem, instabilt i öppet tillstånd, är stabilt i stängt tillstånd om skillnaden mellan antalet positiva övergångar (övergång av fasfrekvenssvaret från botten till toppen genom linjen μ(φ) = -180 ° ) och antalet negativa övergångar (övergång av fasfrekvenssvaret från topp till botten genom linjen c(n) = -180 ° ) fasfrekvenssvar c(sch) genom linjen c(sch) = -180 ° är lika med noll i det frekvensområde där l.a.h..x (L(u)> 0).
För att konstruera ett fasfrekvenssvar är det tillrådligt att representera överföringsfunktionen i form av typiska dynamiska länkar.
och bygg faskarakteristiken med hjälp av uttrycket:
«+» - motsvarar typiska dynamiska länkar för täljaren för överföringsfunktionen;
«-« - motsvarar typiska dynamiska länkar för nämnaren för överföringsfunktionen.
Att konstruera en asymptotisk l.a.ch.h. Vi använder överföringsfunktionen för ett öppet system, presenterat i form av typiska dynamiska länkar:
För att göra detta använder vi en överföringsfunktion av formuläret:
Låt oss föreställa oss denna överföringsfunktion i form av typiska dynamiska länkar:
Parametrarna för typiska dynamiska länkar definieras enligt nedan:
Faskarakteristiska ekvationen kommer att ha formen:
Låt oss bestämma frekvensen vid vilken fasfrekvenssvaret korsar axeln c(w) = -180 °
Att konstruera L.A.C.H. låt oss använda uttrycket:
Figur 5 visar grafer av l.a.f.x för två värden på den magnetiska förstärkarens överföringskoefficient k mu = 10 och k mu = 80 .
Fig. 5.
Analys av l.a.h.h. och fasfrekvenskarakteristika visar att med ökande transmissionskoefficient för den magnetiska förstärkaren från 8 till 80 systemet blir instabilt från stabilt. Låt oss bestämma den kritiska överföringskoefficienten för den magnetiska förstärkaren.
Om det inte finns några ytterligare krav för systemstabilitetsmarginaler, rekommenderas det att de är lika med:
DL(s) = -12db Ds(s) = 35°h 45
Låt oss bestämma vid vilken överföringskoefficient för den magnetiska förstärkaren detta villkor är uppfyllt.
Detta bekräftas också av graferna som visas i figur 6.
