Problem i sannolikhetsteorin. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger, i ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt 4 gånger.

I problemen om sannolikhetsteori, som presenteras i Unified State Exam nummer 4, finns det förutom problem med att kasta ett mynt och kasta en tärning. Vi ska titta på dem idag.

Myntkastningsproblem

Uppgift 1. Ett symmetriskt mynt kastas två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att visas exakt en gång.

I sådana problem är det bekvämt att skriva ner alla möjliga resultat, skriva dem med bokstäverna P (svansar) och O (huvuden). Så resultatet av OP betyder att det kom upp i huvudet vid det första kastet, och vid det andra kastet kom det upp i svansar. I det aktuella problemet finns det fyra möjliga utfall: RR, RO, OR, OO. Händelsen "svansar kommer att visas exakt en gång" gynnas av 2 resultat: RO och OP. Den nödvändiga sannolikheten är lika med .

Svar: 0,5.

Uppgift 2. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att det landar på huvuden exakt två gånger.

Det finns totalt 8 möjliga utfall: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Händelsen "huvuden kommer att dyka upp exakt två gånger" gynnas av tre utfall: ROO, ORO, OOR. Den nödvändiga sannolikheten är lika med .

Svar: 0,375.

Uppgift 3. Innan en fotbollsmatch startar slår domaren ett mynt för att avgöra vilket lag som ska börja med bollen. Emerald-laget spelar tre matcher med olika lag. Hitta sannolikheten att "Emerald" i dessa spel kommer att vinna lotten exakt en gång.

Denna uppgift liknar den föregående. Låt varje gång landningshuvuden betyda att man vinner lotten med "Smaragden" (detta antagande påverkar inte beräkningen av sannolikheter). Då är 8 utfall möjliga: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Händelsen "svansar kommer att visas exakt en gång" gynnas av tre utfall: ROO, ORO, OOR. Den nödvändiga sannolikheten är lika med .

Svar: 0,375.

Problem 4. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att ROO-utfallet kommer att inträffa (första gången det landar huvuden, andra och tredje gången det landar huvuden).

Som i tidigare uppgifter finns det 8 utfall: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Sannolikheten för att ROO-utfallet inträffar är lika med .

Svar: 0,125.

Problem med tärning

Uppgift 5. Tärningarna kastas två gånger. Hur många elementära resultat av experimentet gynnar händelsen "summan av poäng är 8"?

Problem 6. Två tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheten att summan blir 4 poäng. Avrunda resultatet till hundradelar.

I allmänhet, om tärningar kastas, finns det lika möjliga utfall. Samma antal utfall erhålls om samma tärning kastas flera gånger i rad.

Händelsen "det totala antalet är 4" gynnas av följande utfall: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Deras antal är 3. Den nödvändiga sannolikheten är .

För att beräkna det ungefärliga värdet av en bråkdel är det praktiskt att använda vinkeldelning. Således, ungefär lika med 0,083..., avrundat till närmaste hundradel har vi 0,08.

Svar: 0,08

Problem 7. Tre tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheten att summan blir 5 poäng. Avrunda resultatet till hundradelar.

Resultatet kommer att anses vara tre siffror: poängen som kastas på den första, andra och tredje tärningen. Det finns alla lika möjliga resultat. Följande utfall är gynnsamma för händelsen "totalt 5": 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Deras antal är 6. Den nödvändiga sannolikheten är . För att beräkna det ungefärliga värdet av en bråkdel är det praktiskt att använda vinkeldelning. Ungefär får vi 0,027..., avrundat till hundradelar har vi 0,03. Källa "Förberedelser för Unified State Exam. Matematik. Sannolikhetsteori". Redigerad av F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

I sannolikhetsteorin finns det en grupp problem för vilka det räcker att känna till den klassiska definitionen av sannolikhet och visuellt representera den föreslagna situationen. Sådana problem inkluderar de flesta myntkastningsproblem och tärningskastningsproblem. Låt oss komma ihåg den klassiska definitionen av sannolikhet.

Sannolikhet för händelse A (den objektiva möjligheten att en händelse inträffar i numeriska termer) är lika med förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse och det totala antalet av alla lika möjliga inkompatibla elementära utfall: P(A)=m/n, Var:

• m är antalet elementära testresultat som är gynnsamma för förekomsten av händelse A;
• n är det totala antalet av alla möjliga elementära testresultat.

Det är bekvämt att bestämma antalet möjliga elementära testresultat och antalet gynnsamma utfall i de problem som övervägs genom att räkna upp alla möjliga alternativ (kombinationer) och direkt räkning.

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=4. Gynnsamma utfall av händelsen A = (huvuden dyker upp 1 gång) motsvarar alternativ nr 2 och nr 3 i experimentet, det finns två sådana alternativ m = 2.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=2/4=0,5

Problem 2 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att du inte får några huvuden alls.

Lösning . Eftersom myntet kastas två gånger är antalet möjliga elementära utfall n=4, liksom i uppgift 1. Gynnsamma utfall av händelsen A = (huvuden visas inte ens en gång) motsvarar alternativ nr 4 i experimentet (se tabellen i uppgift 1). Det finns bara ett sådant alternativ, vilket betyder m=1.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=1/4=0,25

Problem 3 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt tre gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp exakt 2 gånger.

Lösning . Vi presenterar de möjliga alternativen för tre myntkast (alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar) i form av en tabell:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=8. Gynnsamma utfall av händelsen A = (huvuden visas 2 gånger) motsvarar alternativen nr 5, 6 och 7 i experimentet. Det finns tre sådana alternativ, vilket betyder m=3.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=3/8=0,375

Problem 4 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt fyra gånger. Hitta sannolikheten att få huvuden exakt 3 gånger.

Lösning . Vi presenterar de möjliga alternativen för fyra myntkast (alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar) i form av en tabell:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=16. Gynnsamma utfall av händelsen A = (huvuden kommer att dyka upp 3 gånger) motsvarar alternativ nr 12, 13, 14 och 15 i experimentet, vilket betyder m = 4.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=4/16=0,25

Att bestämma sannolikhet i tärningsproblem

Problem 5 . Bestäm sannolikheten att när du kastar en tärning (en rättvis tärning) kommer du att få mer än 3 poäng.

Lösning . När du kastar en tärning (en vanlig tärning) kan vilken som helst av dess sex ansikten falla ut, d.v.s. någon av de elementära händelserna inträffar - förlusten av 1 till 6 punkter (punkter). Detta betyder att antalet möjliga elementära utfall är n=6.
Händelse A = (mer än 3 poäng kastade) betyder att 4, 5 eller 6 poäng (poäng) kastas. Detta betyder att antalet gynnsamma utfall är m=3.
Sannolikhet för händelse P(A)=m/n=3/6=0,5

Problem 6 . Bestäm sannolikheten att när du kastar en tärning får du ett antal poäng som inte är större än 4. Avrunda resultatet till närmaste tusendel.

Lösning . När du kastar en tärning kan vilken som helst av dess sex ytor falla ut, d.v.s. någon av de elementära händelserna inträffar - förlusten av 1 till 6 punkter (punkter). Detta betyder att antalet möjliga elementära utfall är n=6.
Händelse A = (högst 4 poäng rullade) betyder att 4, 3, 2 eller 1 poäng (poäng) kastas. Detta betyder att antalet gynnsamma utfall är m=4.
Sannolikhet för händelse Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Problem 7 . Tärningarna kastas två gånger. Hitta sannolikheten för att antalet rullade är mindre än 4 båda gångerna.

Lösning . Eftersom tärningarna (tärningarna) kastas två gånger kommer vi att resonera på följande sätt: om den första tärningen visar en poäng, så kan den andra tärningen få 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vi får paren (1;1) ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) och så vidare med varje ansikte. Låt oss presentera alla fall i form av en tabell med 6 rader och 6 kolumner:

Vi beräknar de gynnsamma resultaten av händelsen A = (båda gångerna var siffran mindre än 4) (de är markerade i fetstil) och vi får m=9.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=9/36=0,25

Problem 8 . Tärningarna kastas två gånger. Hitta sannolikheten att det största av de två siffrorna som dras är 5. Avrunda ditt svar till närmaste tusental.

Lösning . Vi presenterar alla möjliga resultat av två tärningskast i tabellen:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=6*6=36.
Vi beräknar de gynnsamma resultaten av händelsen A = (det största av de två siffrorna som dras är 5) (de är markerade i fetstil) och får m=8.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Problem 9 . Tärningarna kastas två gånger. Hitta sannolikheten att ett tal mindre än 4 kastas minst en gång.

Lösning . Vi presenterar alla möjliga resultat av två tärningskast i tabellen:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=6*6=36.
Frasen "minst en gång kom ett nummer mindre än 4 upp" betyder "ett nummer mindre än 4 kom upp en eller två gånger", då antalet gynnsamma utfall av händelsen A = (minst en gång ett nummer mindre än 4 kom upp ) (de är markerade i fetstil) m=27.
Hitta sannolikheten för händelsen P(A)=m/n=27/36=0,75

Skick

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att samma sak kommer ut andra gången som första gången.

Lösning

1. Vi kommer att lösa detta problem med formeln:

Där P(A) är sannolikheten för händelse A, m är antalet gynnsamma utfall för denna händelse, n är det totala antalet möjliga utfall.

1. Låt oss tillämpa denna teori på vårt problem:

A – en händelse när samma sak dyker upp för andra gången som första gången;

P(A) – sannolikheten att samma sak kommer upp andra gången som första gången.

1. Låt oss definiera m och n:

m är antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse, det vill säga antalet utfall när samma sak händer andra gången som den första. I experimentet kastas ett mynt två gånger, som har 2 sidor: svansar (P) och huvuden (O). Vi behöver samma sak för att komma upp andra gången som första gången, och detta är möjligt när följande kombinationer dyker upp: OO eller PP, det vill säga, det visar sig att

m = 2, eftersom det finns 2 möjliga alternativ, när samma sak kommer upp andra gången som första gången;

n är det totala antalet möjliga utfall, det vill säga för att bestämma n måste vi hitta antalet av alla möjliga kombinationer som kan uppstå när man kastar ett mynt två gånger. När du kastar ett mynt för första gången kan det komma upp antingen svansar eller huvuden, det vill säga två alternativ är möjliga. När du kastar ett mynt en andra gång är exakt samma alternativ möjliga. Det visar sig att

Problemformulering: I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden (svansar) inte kommer att dyka upp ens en gång (kommer att dyka upp exakt/minst 1, 2 gånger).

Problemet är en del av Unified State Examination i grundläggande matematik för årskurs 11 under nummer 10 (Klassisk definition av sannolikhet).

Låt oss titta på hur sådana problem löses med hjälp av exempel.

Exempeluppgift 1:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden inte kommer upp ens en gång.

OO ELLER RO RR

Det finns totalt 4 sådana kombinationer.Vi är bara intresserade av de som inte innehåller en enda örn. Det finns bara en sådan kombination (PP).

P = 1/4 = 0,25

Svar: 0,25

Exempeluppgift 2:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att få huvuden exakt två gånger.

Låt oss överväga alla möjliga kombinationer som kan uppstå om ett mynt kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna huvuden med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de där huvuden visas exakt 2 gånger. Det finns bara en sådan kombination (OO).

P = 1/4 = 0,25

Svar: 0,25

Exempeluppgift 3:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt en gång.

Låt oss överväga alla möjliga kombinationer som kan uppstå om ett mynt kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna huvuden med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de där huvuden kom upp exakt 1 gång. Det finns bara två sådana kombinationer (OR och RO).

Svar: 0,5

Exempeluppgift 4:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp minst en gång.

Låt oss överväga alla möjliga kombinationer som kan uppstå om ett mynt kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna huvuden med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de där huvuden förekommer minst en gång. Det finns bara tre sådana kombinationer (OO, OP och RO).

P = 3/4 = 0,75

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt...

Som ett förord.
Alla vet att ett mynt har två sidor - huvud och svans.
Numismatiker tror att ett mynt har tre sidor - framsida, baksida och kant.
Både bland dem och bland andra är det få som vet vad ett symmetriskt mynt är. Men de som förbereder sig för att ta Unified State Exam vet om detta (nåja, eller borde veta:).

I allmänhet kommer den här artikeln att tala om ett ovanligt mynt, som inte har något att göra med numismatik, men samtidigt är det det mest populära myntet bland skolbarn.

Så.
Symmetriskt mynt- det här är ett imaginärt matematiskt idealiskt mynt utan storlek, vikt, diameter etc. Som ett resultat har ett sådant mynt inte heller en kant, det vill säga att det egentligen bara har två sidor. Huvudegenskapen hos ett symmetriskt mynt är att under sådana förhållanden är sannolikheten för att huvuden eller svansar dyker upp absolut densamma. Och de kom på ett symmetriskt mynt för att genomföra tankeexperiment.
Det mest populära symmetriska myntproblemet är: ”I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger (tre gånger, fyra gånger etc.) Problemet är att bestämma sannolikheten för att en sida kommer att landa ett visst antal gånger.

Lös problemet med ett symmetriskt mynt

Det är uppenbart att som ett resultat av ett kast kommer myntet att landa på antingen huvuden eller svansen. Hur många gånger beror på hur många kast som ska göras. Sannolikheten att få huvud eller svans beräknas genom att dividera antalet utfall som uppfyller villkoret med det totala antalet möjliga utfall.

Ett kast

Allt är enkelt här. Det blir antingen huvuden eller svansar. De där. vi har två möjliga resultat, varav ett tillfredsställer oss - 1/2=50 %

Två kast

I två kast kan du få:
två örnar
två huvuden
huvuden sedan svansar
svansar, sedan huvuden
De där. Det finns bara fyra möjliga alternativ. Problem med mer än en rulle löses enklast genom att göra en tabell över möjliga alternativ. För enkelhetens skull, låt oss beteckna huvuden som "0" och svansar som "1". Sedan ser tabellen över möjliga utfall ut så här:
00
01
10
11
Om du till exempel behöver hitta sannolikheten att huvuden dyker upp en gång behöver du helt enkelt räkna antalet lämpliga alternativ i tabellen - d.v.s. de linjerna där örnen dyker upp en gång. Det finns två sådana linjer. Det betyder att sannolikheten att få ett huvud i två kast av ett symmetriskt mynt är 2/4 = 50 %
Sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp två gånger i två kast är 1/4=25 %

Tre roska

Låt oss skapa en tabell med alternativ:
000
001
010
011
100
101
110
111
De som är bekanta med binär kalkyl förstår vad vi har kommit fram till. :) Ja, det här är binära siffror från "0" till "7". Detta gör det lättare att inte bli förvirrad med alternativen.
Låt oss lösa problemet från föregående stycke - beräkna sannolikheten för att huvuden kommer att dyka upp en gång. Det finns tre rader där "0" visas en gång. Det betyder att sannolikheten att få ett huvud i tre kast av ett symmetriskt mynt är 3/8 = 37,5 %
Sannolikheten att huvuden dyker upp två gånger i tre kast är 3/8 = 37,5 %, d.v.s. absolut samma.
Sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp tre gånger i tre kast är 1/8 = 12,5 %.

Fyra kast

Låt oss skapa en tabell med alternativ:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Sannolikheten att huvuden dyker upp en gång. Det finns bara tre rader där "0" visas en gång, precis som i fallet med tre kast. Men det finns redan sexton alternativ. Det betyder att sannolikheten att få ett huvud på fyra kast av ett symmetriskt mynt är 3/16 = 18,75 %
Sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp två gånger i tre kast är 6/8 = 75%.
Sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp tre gånger i tre kast är 4/8 = 50 %.

Så, med en ökning av antalet kast, förändras principen för att lösa problemet inte alls - bara, i en motsvarande progression, ökar antalet alternativ.