Penggunaan l. Ciri fasa amplitud (Hodograf Nyquist) Penggunaan L.A.Ch. dan ciri frekuensi fasa untuk menganalisis kestabilan sistem

Ini ialah lokus bagi titik-titik yang penghujung vektor fungsi pemindahan frekuensi menerangkan apabila frekuensi berubah daripada -∞ kepada +∞. Saiz segmen dari asal ke setiap titik hodograf menunjukkan berapa kali pada frekuensi tertentu isyarat keluaran lebih besar daripada isyarat input, dan peralihan fasa antara isyarat ditentukan oleh sudut kepada segmen yang disebutkan.

Semua kebergantungan frekuensi lain dijana daripada AFC:

U(w) - genap (untuk sistem kawalan automatik tertutup P(w));
V(w) - ganjil;
A(w) - genap (tindak balas kekerapan);
j(w) - ganjil (tindak balas fasa);
LACHH & LFCH - paling kerap digunakan.

Ciri frekuensi logaritma.

Ciri frekuensi logaritma (LFC) termasuk ciri amplitud logaritma (LAFC) dan ciri fasa logaritma (LPFC) yang dibina secara berasingan pada satu satah. Pembinaan LFC & LFCH dijalankan menggunakan ungkapan berikut:

L(w) = 20 lg | W(j w)| = 20 lg A(w), [dB];

j(w) = arg( W(j w)), [rad].

Magnitud L(w) dinyatakan dalam desibel . Bel ialah unit logaritma yang sepadan dengan peningkatan kuasa sepuluh kali ganda. Satu Bel sepadan dengan peningkatan kuasa sebanyak 10 kali ganda, 2 Bel - sebanyak 100 kali, 3 Bel - sebanyak 1000 kali, dsb. Satu desibel adalah sama dengan satu persepuluh Bel.

Contoh AFC, AFC, PFC, LFC dan LPFC untuk pautan dinamik biasa diberikan dalam Jadual 2.

Jadual 2. Ciri-ciri kekerapan pautan dinamik biasa.

Prinsip peraturan automatik

Berdasarkan prinsip kawalan, senapang gerak sendiri boleh dibahagikan kepada tiga kumpulan:

Dengan peraturan berdasarkan pengaruh luar - prinsip Poncelet (digunakan dalam senapang gerak sendiri gelung terbuka).
Dengan peraturan oleh sisihan - prinsip Polzunov-Watt (digunakan dalam senjata tertutup sendiri).
Dengan peraturan gabungan. Dalam kes ini, ACS mengandungi gelung kawalan tertutup dan terbuka.

Prinsip kawalan berdasarkan gangguan luaran

Struktur memerlukan penderia gangguan. Sistem ini diterangkan oleh fungsi pemindahan gelung terbuka: x(t) = g(t) - f(t).

Kelebihan:

Adalah mungkin untuk mencapai invarian lengkap kepada gangguan tertentu.
Masalah kestabilan sistem tidak timbul, kerana tiada OS.

Kelemahan:

Sebilangan besar gangguan memerlukan bilangan saluran pampasan yang sepadan.
Perubahan dalam parameter objek terkawal membawa kepada ralat dalam kawalan.
Hanya boleh digunakan pada objek yang ciri-cirinya diketahui dengan jelas.

Prinsip kawalan sisihan

Sistem ini diterangkan oleh fungsi pemindahan gelung terbuka dan persamaan penutupan: x(t) = g(t) - y(t) W oc( t). Algoritma sistem adalah berdasarkan keinginan untuk mengurangkan ralat x(t) kepada sifar.

Kelebihan:

OOS membawa kepada pengurangan ralat, tanpa mengira faktor yang menyebabkannya (perubahan dalam parameter objek terkawal atau keadaan luaran).

Kelemahan:

Dalam sistem OS, terdapat masalah kestabilan.
Pada asasnya adalah mustahil untuk mencapai invarian mutlak kepada gangguan dalam sistem. Keinginan untuk mencapai invarian separa (bukan dengan OS pertama) membawa kepada komplikasi sistem dan kemerosotan kestabilan.

Kawalan gabungan

Kawalan gabungan terdiri daripada gabungan dua prinsip kawalan berdasarkan sisihan dan gangguan luaran. Itu. Isyarat kawalan kepada objek dihasilkan oleh dua saluran. Saluran pertama adalah sensitif kepada sisihan pembolehubah terkawal daripada sasaran. Yang kedua menjana tindakan kawalan terus daripada induk atau isyarat yang mengganggu.

x(t) = g(t) - f(t) - y(t)Woc(t)

Kelebihan:

Kehadiran OOS menjadikan sistem kurang sensitif terhadap perubahan dalam parameter objek terkawal.
Menambah saluran sensitif rujukan atau sensitif gangguan tidak menjejaskan kestabilan gelung maklum balas.

Kelemahan:

Saluran yang sensitif kepada tugas atau gangguan biasanya mengandungi pautan yang membezakan. Pelaksanaan praktikal mereka adalah sukar.
Tidak semua objek membenarkan paksaan.

Analisis kestabilan ATS

Konsep kestabilan sistem pengawalseliaan dikaitkan dengan keupayaannya untuk kembali kepada keadaan keseimbangan selepas kehilangan kuasa luar yang membawanya keluar dari keadaan ini. Kestabilan adalah salah satu keperluan utama untuk sistem automatik.

Konsep kestabilan boleh diperluaskan kepada kes pergerakan ATS:

pergerakan yang tidak terganggu
pergerakan marah.

Pergerakan mana-mana sistem kawalan diterangkan menggunakan persamaan pembezaan, yang secara umum menerangkan 2 mod operasi sistem:

Mod Keadaan Tetap

Mod pemanduan

Dalam kes ini, penyelesaian umum dalam mana-mana sistem boleh ditulis sebagai:

Terpaksa komponen ditentukan oleh pengaruh input pada input sistem kawalan. Sistem mencapai keadaan ini pada akhir proses sementara.

Peralihan komponen ditentukan dengan menyelesaikan persamaan pembezaan homogen bentuk:

Pekali a 0 ,a 1 ,…a n termasuk parameter sistem => menukar sebarang pekali persamaan pembezaan membawa kepada perubahan dalam beberapa parameter sistem.

Penyelesaian persamaan pembezaan homogen

di manakah pemalar kamiran, dan merupakan punca-punca persamaan ciri bentuk berikut:

Persamaan ciri mewakili penyebut fungsi pemindahan sama dengan sifar.

Akar-akar persamaan ciri boleh menjadi nyata, konjugat kompleks dan kompleks, yang ditentukan oleh parameter sistem.

Untuk menilai kestabilan sistem, beberapa kriteria kemampanan

Semua kriteria kemampanan dibahagikan kepada 3 kumpulan:

akar

- algebra

Kriteria kestabilan Nyquist telah dirumus dan dibenarkan pada tahun 1932 oleh ahli fizik Amerika H. Nyquist. Kriteria kestabilan Nyquist paling banyak digunakan dalam amalan kejuruteraan atas sebab-sebab berikut:

- kestabilan sistem dalam keadaan tertutup dikaji oleh fungsi pemindahan frekuensi bahagian terbukanya W p (jw), dan fungsi ini, selalunya, terdiri daripada faktor mudah. Pekali adalah parameter sebenar sistem, yang membolehkan anda memilihnya daripada keadaan kestabilan;

- untuk mengkaji kestabilan, anda boleh menggunakan ciri frekuensi yang diperoleh secara eksperimen bagi elemen sistem yang paling kompleks (objek kawalan, badan eksekutif), yang meningkatkan ketepatan keputusan yang diperolehi;

- kestabilan sistem boleh dikaji menggunakan ciri frekuensi logaritma, pembinaannya tidak sukar;

- margin kestabilan sistem ditentukan dengan mudah;

- mudah digunakan untuk menilai kestabilan ATS dengan kelewatan.

Kriteria kestabilan Nyquist membolehkan anda menilai kestabilan ACS berdasarkan AFC bahagian gelung terbukanya. Dalam kes ini, tiga kes penggunaan kriteria Nyquist dibezakan.

1. Bahagian terbuka ACS adalah stabil.Untuk kestabilan sistem gelung tertutup, adalah perlu dan mencukupi bahawa tindak balas AFC bahagian gelung terbuka sistem (Nyquist hodograph) apabila menukar frekuensi w dari 0 hingga +¥ tidak meliputi titik dengan koordinat [-1, j 0]. Dalam Rajah. 4.6 menunjukkan situasi utama yang mungkin:

1. - sistem tertutup benar-benar stabil;

2. - ATS stabil secara bersyarat, i.e. stabil hanya dalam julat tertentu perubahan dalam pekali penghantaran k;

3. - ATS berada di sempadan kestabilan;

4. - ATS tidak stabil.

nasi. 4.6. Nyquist hodograf apabila bahagian terbuka ACS stabil

2. Bahagian terbuka ACS berada pada sempadan kestabilan.Dalam kes ini, persamaan ciri mempunyai sifar atau akar khayalan semata-mata, dan akar yang tinggal mempunyai bahagian nyata negatif.

Untuk kestabilan sistem tertutup, jika bahagian gelung terbuka sistem berada pada sempadan kestabilan, adalah perlu dan mencukupi bahawa tindak balas AFC bagi bahagian gelung terbuka sistem apabila menukar w dari 0 hingga +¥, ditambah dalam kawasan ketakselanjaran dengan lengkok jejari tak terhingga besar, tidak meliputi titik dengan koordinat [-1, j 0]. Dengan kehadiran ν punca sifar tindak balas AFC bahagian gelung terbuka sistem di w=0 dengan lengkok jejari tak terhingga besar bergerak dari separuh paksi nyata positif dengan sudut darjah mengikut arah jam, seperti ditunjukkan dalam Rajah. 4.7.

nasi. 4.7. Hodograf Nyquist dengan kehadiran akar sifar

Sekiranya terdapat sepasang akar khayalan semata-mata w i =, kemudian tindak balas AFC pada kekerapan w i lengkok dengan jejari tak terhingga besar bergerak pada sudut 180° mengikut arah jam, yang dicerminkan dalam Rajah. 4.8.

nasi. 4.8. Hodograf Nyquist dengan kehadiran sepasang akar khayalan semata-mata

3. Bahagian gelung terbuka sistem tidak stabil, iaitu persamaan ciri mempunyai l akar dengan bahagian nyata positif. Dalam kes ini, untuk kestabilan sistem gelung tertutup adalah perlu dan mencukupi apabila frekuensi berubah w dari 0 hingga +¥ AFC bahagian terbuka ACS meliputi titik itu

[-1, j 0) l/2 kali dalam arah positif (lawan arah jam).

Dengan bentuk kompleks hodograf Nyquist, lebih mudah untuk menggunakan formulasi lain bagi kriteria Nyquist, yang dicadangkan oleh Ya.Z. Tsypkin menggunakan peraturan peralihan. Peralihan tindak balas fasa bahagian gelung terbuka sistem dengan peningkatan w segmen paksi sebenar dari -1 hingga -¥ dari atas ke bawah dianggap positif (Rajah 4.9), dan dari bawah ke atas negatif. Jika respons AFC bermula dalam segmen ini pada w=0 atau berakhir pada w=¥ , maka dianggap bahawa AFC membuat separuh peralihan.

nasi. 4.9. Peralihan hodograf Nyquist melalui segmen P( w) daripada -¥ hingga -1

Sistem tertutup adalah stabil, jika perbezaan antara bilangan peralihan positif dan negatif hodograf Nyquist melalui segmen paksi nyata dari -1 hingga -¥ adalah sama dengan l/2, di mana l ialah bilangan punca persamaan ciri dengan positif bahagian sebenar.

Keadaan tugas.

Menggunakan kriteria kestabilan Mikhailov dan Nyquist, tentukan kestabilan sistem kawalan gelung tunggal yang mempunyai fungsi pemindahan bentuk dalam keadaan terbuka

Masukkan nilai K, a, b dan c ke dalam formula mengikut pilihan.

W(s) = , (1)

Bina hodograf Mikhailov dan Nyquist. Tentukan kekerapan pemotongan sistem.

Tentukan nilai kritikal keuntungan sistem.

Penyelesaian.

Masalah analisis dan sintesis sistem kawalan diselesaikan menggunakan alat matematik yang begitu berkuasa seperti kalkulus operasi (transformasi Laplace). Masalah analisis dan sintesis sistem kawalan diselesaikan menggunakan alat matematik yang begitu berkuasa seperti kalkulus operasi (transformasi Laplace). Penyelesaian umum persamaan operator ialah jumlah istilah yang ditentukan oleh nilai akar polinomial ciri (polinomial):

D(s) =  d s n d n ) .

Pembinaan hodograf Mikhailov.

A) Kami menulis polinomial ciri untuk sistem tertutup yang diterangkan oleh persamaan (1)

D(s) = 50 + (25s+1)(0.1s+1)(0.01s+1) = 50+(625+50s+1)(0.001+0.11s+1) =0.625+68.85 +630.501+50.11s +51.

Akar-akar polinomial D(s) mungkin: batal; nyata (negatif, positif); khayalan (sentiasa berpasangan, konjugat) dan konjugat kompleks.

B) Ubah kepada bentuk s→ ωj

D()=0.625+68.85+630.501+50.11+51=0.625ω-68.85jω- 630.501ω+50.11jω+51

ω – frekuensi isyarat, j = (1) 1/2 – unit khayalan. J 4 =(-1) 4/2 =1, J 3 =(-1) 3/2 =-(1) 1/2 = - j, J 2 =(-1) 2/2 =-1, J =(-1) 1/2 = j,

C) Mari kita pilih bahagian sebenar dan khayalan.

D= U()+jV(), dengan U() ialah bahagian sebenar dan V() ialah bahagian khayalan.

U(ω) =0.625ω-630.501ω+51

V(ω) =ω(50.11-68.85ω)

D) Mari kita bina hodograf Mikhailov.

Mari kita bina hodograf Mikhailov dekat dan jauh dari sifar; untuk ini kita akan membina D(jw) apabila w berubah daripada 0 kepada +∞. Mari cari titik persimpangan U(tongkat V(w) dengan gandar. Jom selesaikan masalah menggunakan Microsoft Excel.

Kami menetapkan nilai w dalam julat dari 0 hingga 0.0001 hingga 0.1, dan mengiranya dalam jadual. Nilai Excel U(ω) dan V(ω), D(ω); cari titik persilangan U(tongkat V(w) dengan gandar,

Kami menetapkan nilai w dalam julat dari 0.1 hingga 20, dan mengiranya dalam jadual. Nilai Excel U(tongkat V(w), D; cari titik persilangan U(tongkat V(w) dengan gandar.

Jadual 2.1 – Definisi bahagian nyata dan khayalan dan polinomial itu sendiri D()menggunakan Microsoft Excel

nasi. A, B, ..... Kebergantungan U(ω) dan V(ω), D(ω) daripada ω

Menurut Rajah. A, B, .....cari titik persilangan U(tongkat V(w) dengan gandar:

pada ω = 0 U(ω)= …. Dan V(ω)= ……

Rajah 1. Hodograf Mikhailov pada ω = 0:000.1:0.1.

Rajah.2. Hodograf Mikhailov pada ω = 0.1:20

D) Kesimpulan tentang kestabilan sistem berdasarkan hodograf.

Kestabilan (sebagai konsep) mana-mana sistem dinamik ditentukan oleh kelakuannya selepas menghilangkan pengaruh luaran, i.e. pergerakan bebasnya di bawah pengaruh keadaan awal. Sesuatu sistem adalah stabil jika ia kembali kepada keadaan keseimbangan asalnya selepas isyarat (gangguan) yang membawanya keluar dari keadaan ini berhenti bertindak ke atas sistem. Sistem yang tidak stabil tidak kembali kepada keadaan asalnya, tetapi terus bergerak menjauhinya dari semasa ke semasa. Untuk menilai kestabilan sistem, adalah perlu untuk mengkaji komponen bebas penyelesaian kepada persamaan dinamik, iaitu penyelesaian kepada persamaan:.

D(s) =  d s n d n )= 0.

Semak kestabilan sistem menggunakan kriteria Mikhailov :

Kriteria Mikhailov: Untuk ASR yang stabil, adalah perlu dan mencukupi bahawa hodograf Mikhailov (lihat Rajah 1 dan Rajah 2), bermula pada w = 0 pada separuh paksi nyata positif, berputar berturut-turut dalam arah positif (lawan arah jam) sebagai w meningkat daripada 0 kepada ∞ n kuadran, dengan n ialah darjah polinomial ciri.

Jelas daripada penyelesaian (lihat Rajah 1 dan Rajah 2) bahawa hodograf memenuhi syarat kriteria berikut: Ia bermula pada separuh paksi nyata positif pada w = 0. Hodograf tidak memenuhi syarat kriteria berikut: ia tidak mengelilingi semua 4 kuadran dalam arah positif (darjah polinomial n=4) pada ω.

Kami membuat kesimpulan bahawa sistem gelung terbuka ini tidak stabil .

Pembinaan hodograf Nyquist.

A) Mari kita buat penggantian dalam formula (1) s→ ωj

W(s) = =,

B) Buka kurungan dan serlahkan bahagian nyata dan khayalan dalam penyebut

C) Darab dengan konjugat dan pilih bahagian nyata dan khayalan

di mana U() ialah bahagian sebenar dan V() ialah bahagian khayalan.

D) Mari kita bina hodograf Nyquist: - pergantungan W() pada .

Rajah.3. Hodograf Nyquist.

E) Mari kita semak kestabilan sistem menggunakan kriteria Nyquist:

Kriteria Nyquist: Agar sistem yang stabil dalam keadaan terbuka menjadi stabil dalam keadaan tertutup, adalah perlu bahawa hodograf Nyquist, apabila frekuensi berubah dari sifar kepada infiniti, tidak meliputi titik dengan koordinat (-1; j0) .

Jelas daripada penyelesaian (lihat Rajah 3) bahawa hodograf memenuhi semua syarat kriteria:

Hodograf menukar arahnya mengikut arah jam

Hodograf tidak meliputi titik (-1; j0)

Kami membuat kesimpulan bahawa sistem gelung terbuka ini adalah stabil .

Penentuan nilai kritikal keuntungan sistem.

A) Dalam perenggan 2, bahagian nyata dan khayalan telah pun dibezakan

B) Untuk mencari nilai kritikal keuntungan sistem, adalah perlu untuk menyamakan bahagian khayalan dengan sifar dan bahagian nyata kepada -1

C) Mari kita cari daripada persamaan kedua (2).

Pengangka mestilah 0.

Kami terima itu, kemudian

C) Gantikan kepada (1) persamaan pertama dan cari

Nilai kritikal keuntungan sistem.

kesusasteraan:

1.Kaedah teori kawalan automatik klasik dan moden. Jilid 1.

Analisis dan dinamik statistik sistem kawalan automatik. M: Ed. MSTU dinamakan sempena Bauman. 2000

2. Voronov A.A. Teori kawalan automatik. T. 1-3, M., Nauka, 1992

Teorem penting daripada teori fungsi pembolehubah kompleks menyatakan: biarkan fungsi itu unik di dalam kontur C yang disambungkan secara ringkas dan, sebagai tambahan, unik dan analitik pada kontur ini. Jika tidak sama dengan sifar pada C dan jika di dalam kontur C hanya terdapat bilangan titik tunggal (kutub) yang terhingga, maka

di mana ialah bilangan sifar, dan ialah bilangan kutub di dalam C, setiap satunya diambil kira mengikut kepelbagaiannya.

Teorem ini mengikuti terus dari teorem sisa Cauchy, yang menyatakan bahawa

Mari kita gantikan dengan dan ambil perhatian bahawa singulariti dikekalkan pada kedua-dua sifar dan kutub. Kemudian sisa-sisa yang terdapat pada titik tunggal ini akan sama dengan pendaraban titik tunggal dengan tanda positif pada sifar dan tanda negatif pada Teorem yang dirumuskan di atas kini jelas.

Perhubungan (11.2-1) juga boleh ditulis dalam bentuk

Oleh kerana kontur C secara amnya mempunyai bahagian nyata dan khayalan, logaritmanya akan ditulis dalam bentuk

Dengan syarat bahawa C tidak lenyap di mana-mana di sempadan, integrasi dalam (II.2-3) memberikan secara langsung

di mana menandakan permulaan dan akhir sewenang-wenangnya kontur tertutup C. Akibatnya,

Menggabungkan keputusan (II.2-1) dan (II.2-7), kita mendapati bahawa hasil darab jumlah perubahan sudut (putaran lengkap di sekeliling asal) apabila kontur C berjalan di sekeliling adalah sama dengan perbezaan antara sifar dan kutub di dalam kontur C.

Jika ialah jumlah bilangan revolusi di sekeliling asal semasa C berjalan di sekeliling, maka kita boleh menulis

Selain itu, kontur C mengelilingi dalam arah yang sepadan dengan peningkatan dalam sudut positif, dan revolusi dipanggil positif jika ia juga berlaku dalam arah yang sepadan dengan peningkatan dalam sudut positif.

nasi. II.2-1. Kontur tertutup yang menutup bahagian terhingga separuh satah kanan.

Kini keputusan ini boleh digunakan terus kepada masalah menentukan kestabilan. Kami ingin tahu sama ada penyebut fungsi pemindahan mempunyai sifar dalam separuh satah kanan.

Akibatnya, kontur C dipilih untuk menutup sepenuhnya separuh satah kanan. Litar ini ditunjukkan dalam Rajah. di mana separuh bulatan besar yang menutup separuh satah kanan diberikan oleh hubungan

sambil cenderung kepada infiniti dalam had.

Katakan ia ditulis sebagai

di mana keseluruhan fungsi dan yang tidak mempunyai faktor sepunya. Marilah kita membina gambar rajah dalam satah kompleks, menukar nilai di sepanjang kontur C. Gambar rajah ini akan memberi kita beberapa kontur tertutup. Dalam kes umum, ia akan menjadi fungsi keseluruhan bentuk polinomial, yang jelas tidak mempunyai kutub di bahagian terhingga satah. Jika ia adalah transendental, maka bilangan P kutub di bahagian terhingga separuh satah kanan mesti ditentukan. Mengetahui P dan menentukan daripada rajah apabila C melalui, kita kini boleh menentukan, mengikut persamaan (II.2-8), bilangan sifar dalam separuh satah kanan

nasi. II.2-2. Sistem kawalan litar tunggal yang mudah.

Untuk sistem menjadi stabil, ia mestilah sama dengan sifar. Akibatnya, penggunaan kriteria ini merangkumi dua peringkat: yang pertama ialah penentuan kutub di separuh satah kanan, dan yang kedua ialah pembinaan rajah apabila C berjalan melalui. Peringkat pertama biasanya dilakukan dengan sangat mudah. Yang kedua boleh menimbulkan kesukaran yang ketara, terutamanya jika ia adalah sepertiga atau lebih tinggi dan jika ia mengandungi istilah transendental.

Untuk sistem kawalan maklum balas, ditunjukkan dalam bentuk umum dalam Rajah. Kerumitan gambarajah boleh dikurangkan dengan ketara dengan menggunakan fungsi pemindahan gelung terbuka. Fungsi pemindahan sistem gelung tertutup berkaitan dengan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka oleh hubungan

di mana boleh mempunyai kedua-dua kutub dan sifar. Dalam masalah kestabilan, adalah wajar untuk mengetahui sama ada ia mempunyai kutub di separuh satah kanan. Ini bersamaan dengan berada di separuh satah kanan sifar fungsi, atau berada dalam satah separuh kanan, dianjak oleh -1, sifar fungsi. Untuk menjelaskan kesan yang berlaku akibat perubahan dalam keuntungan gelung terbuka, dan pada masa yang sama meminimumkan kerja membina rajah Nyquist, kami menulis semula ungkapan penyebut (II.2-12) dalam bentuk di mana K ialah keuntungan sistem gelung terbuka. Sekarang kutub adalah sama dengan sifar berkenaan dengan

Untuk menggunakan kriteria Nyquist, kami mula-mula melukis kontur C, yang meliputi

keseluruhan separuh satah kanan. Selepas ini, kami mengira jumlah bilangan pusingan untuk pergerakan yang sama di sekeliling titik. Menukar keuntungan K hanya mengubah kedudukan titik dan tidak menjejaskan lokasi [-Bilangan kutub P fungsi dalam PPP ditentukan terus daripada fungsi itu sendiri, jika ia mempunyai bentuk hasil darab faktor mudah, atau lebih sukar untuk dikira jika ia mempunyai bentuk polinomial atau transendental. Kestabilan sistem kemudiannya ditentukan oleh penggunaan langsung persamaan (II.2-8), yang menetapkan

Akibatnya, sistem adalah stabil hanya jika ia sama dengan sifar, di mana kini bilangan sifar penyebut (II.2-12) dalam

nasi. II.2-3. Dua kemungkinan pengubahsuaian litar dengan pintasan kutub pada paksi khayalan.

Apabila menggunakan kriteria dalam bentuk ini, perhatian harus diberikan kepada pilihan kontur C, meliputi separuh satah kanan. Hubungan (11.2-1), dan oleh itu (11.2-13) memerlukan ketiadaan singulariti fungsi yang dipaparkan pada kontur C. Terdapat kes yang kerap apabila ia mempunyai kutub di tempat asal atau bahkan beberapa pasang kutub konjugat kompleks pada paksi khayalan. Untuk menangani kes-kes khas ini, kongur C diubah suai dengan melintasi setiap singulariti dalam separuh bulatan yang sangat kecil, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. II.2-3. Jika ciri-cirinya adalah tiang, maka kontur C yang diubah suai boleh melepasi sama ada ke kanan atau ke kirinya, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. II.2-3,a dan II.2-3,b, masing-masing. Jika singulariti bukan kutub, maka kontur mesti sentiasa melepasi sebelah kanannya, memandangkan hubungan (II.2-1) hanya membenarkan singulariti seperti kutub di dalam kontur C. Tiang-tiang pada paksi khayalan yang dipintas dari kiri terletak di dalam kontur C dan, oleh itu, mesti diambil kira dalam P. Dalam kes ini, kontur C dalam persekitaran terdekat titik tunggal biasanya dipilih dalam bentuk

di mana sudut berbeza dari ke dalam had cenderung kepada sifar.

Hodograf semasa ia melalui kontur C terdiri terutamanya daripada empat bahagian. Hodograf di

tidak termasuk sekitar singulariti pada paksi khayalan, hanyalah tindak balas frekuensi sistem gelung terbuka. Oleh itu, hodograf at boleh didapati dengan memplotkannya pada relatif kepada paksi sebenar. Apabila seseorang berjalan melalui separuh bulatan tak terhingga, nilai untuk semua sistem yang boleh dilaksanakan secara fizikal ialah sifar atau, paling banyak, nilai pemalar terhingga. Akhir sekali, hodograf apabila berjalan melalui separuh bulatan kecil di sekitar kutub pada paksi khayalan ditentukan dengan menggantikan secara langsung ungkapan (II.2-14) ke dalam fungsi ini. Oleh itu, pemetaan kontur C pada satah fungsi selesai.

Apabila menggunakan kriteria dalam bentuk ini, sifat sekatan yang dikenakan ke atasnya menjadi jelas. Pertama, ia hanya boleh mempunyai bilangan singulariti jenis kutub yang terhingga dalam separuh satah kanan. Kedua, ia hanya boleh mempunyai bilangan singulariti yang terhad (tiang atau titik cabang) pada paksi khayalan. Kelas fungsi boleh dilanjutkan untuk memasukkan fungsi yang mempunyai titik cawangan, selagi titik cawangan terletak pada separuh satah kiri dan jika nilai prinsipal fungsi digunakan. Ketiga, ciri penting bentuk dalam pengangka adalah dibenarkan, kerana nilai mutlak fungsi ini, apabila berubah dalam setengah satah kanan, terletak di antara dan 0.

Adalah dinasihatkan untuk menunjukkan penggunaan kriteria Nyquist dengan contoh. Biarkan sistem terkawal dengan maklum balas ditakrifkan oleh hubungan

Fungsi pemindahan unsur-unsur yang diberikan sepadan dengan motor aruhan dua fasa yang beroperasi pada frekuensi daripada penguat magnet separuh gelombang. Kehadiran redaman negatif dikaitkan dengan rintangan rotor yang rendah. Persoalan pertama timbul: adakah mungkin untuk menstabilkan elemen yang diberikan hanya disebabkan oleh faktor keuntungan? Oleh itu marilah kita meletakkan

Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka mengambil bentuk

Kita lihat, pertama sekali, ia hanya mempunyai satu tiang pada separuh satah kanan dan tiang ini terletak pada titik. Gambar rajah anggaran apabila berjalan melalui kontur C yang ditunjukkan dalam Rajah. II.2-4, a, ditunjukkan dalam Rajah. II.2-4, b dan menunjukkan bahawa pada keuntungan yang dipilih terdapat satu revolusi positif di sekeliling titik.

nasi. II.2-4. Contoh gambar rajah Nyquist.

Oleh itu, dengan menggunakan kriteria Nyquist yang dinyatakan oleh persamaan (II.2-13), kita sampai pada keputusan

Meningkatkan K mewujudkan kemungkinan lebih banyak revolusi positif disebabkan oleh sifat lingkaran bahagian rajah disebabkan oleh pengganda, oleh itu kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak stabil untuk semua nilai positif K.

Untuk nilai negatif K, kita boleh sama ada memutarkan rajah kita berbanding dengan asal dan mempertimbangkan revolusi di sekeliling titik, atau menggunakan rajah sedia ada dan mempertimbangkan pusingan di sekeliling titik. Kaedah yang terakhir adalah lebih mudah; ia secara langsung menunjukkan bahawa, sekurang-kurangnya, tidak ada perkembangan positif di sekelilingnya. Ini memberikan sekurang-kurangnya satu sifar dalam separuh satah kanan untuk nilai negatif K. Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa sistem tidak stabil untuk semua nilai K, kedua-dua positif dan negatif, dan oleh itu beberapa pembetulan diperlukan untuk membuat sistem stabil.

Kriteria Nyquist juga boleh digunakan apabila tindak balas frekuensi sistem gelung terbuka dibina daripada data eksperimen. Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka mestilah dalam kes ini stabil dan, oleh itu, tidak boleh mempunyai kutub di separuh satah kanan, i.e. Untuk membina hodograf Nyquist dengan betul, penjagaan mesti diambil untuk menentukan dengan tepat kelakuan sistem pada frekuensi yang sangat rendah.

Apabila menggunakan kriteria Nyquist pada sistem berbilang gelung, pembinaan bermula dengan gelung paling dalam dan diteruskan ke gelung luar, mengira dengan teliti bilangan kutub dalam PPP daripada setiap gelung individu. Kerja yang dimasukkan ke dalam kaedah ini selalunya boleh dikurangkan dengan menghapuskan beberapa litar dengan menukar carta alir. Pilihan urutan untuk membina hodograf untuk sistem berbilang gelung bergantung pada gambar rajah struktur, serta pada lokasi elemen yang ditentukan dan pembetulan dalam kontur.

Pembinaan hodograf Nyquist menggunakan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka yang dinyatakan sebagai polinomial

Kriteria frekuensi Nyquist apabila mengkaji kestabilan sistem automatik adalah berdasarkan tindak balas frekuensi fasa amplitud sistem gelung terbuka dan boleh dirumuskan seperti berikut:

jika persamaan ciri sistem gelung terbuka tertib ke-n mempunyai punca k dengan bahagian nyata positif (k = 0, 1, ..... n) dan punca n-k dengan bahagian nyata negatif, maka untuk kestabilan sistem gelung tertutup adalah perlu dan mencukupi bahawa hodograf tindak balas frekuensi fasa amplitud bagi sistem gelung terbuka (Hodograf Nyquist) meliputi titik (-1, j0) satah kompleks pada sudut k p, atau, yang sama, meliputi titik (-1, j0) dalam arah positif, i.e. lawan jam, k kali.

Untuk kes khas apabila persamaan ciri sistem gelung terbuka tidak mempunyai punca dengan bahagian nyata positif (k = 0), i.e. , apabila ia stabil dalam keadaan terbuka, kriteria Nyquist dirumuskan seperti berikut:

sistem kawalan automatik adalah stabil dalam keadaan tertutup jika tindak balas frekuensi fasa amplitud sistem gelung terbuka apabila frekuensi berubah dari 0 kepada? tidak meliputi satu titik dalam satah kompleks dengan koordinat (-1, j0).

Kriteria kestabilan Nyquist mudah digunakan pada sistem dengan maklum balas, terutamanya sistem pesanan tinggi.

Untuk membina hodograf Nyquist, kami akan menggunakan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka dalam bentuk simbolik daripada Pelajaran Amali No. 5

Marilah kita menulisnya dalam bentuk simbolik-digital untuk parameter yang diberikan bagi semua elemen sistem, kecuali untuk pekali penghantaran penguat magnet:

Mari kita tuliskan persamaan tindak balas frekuensi fasa amplitud, pilih ciri frekuensi sebenar dan khayalan dan bina keluarga hodograf Nyquist sebagai fungsi frekuensi dan pekali penghantaran penguat magnet.

Memplot graf tindak balas kekerapan fasa amplitud dalam MathСad

Rajah.3. Satu keluarga lengkung hodograf Nyquist dibina untuk fungsi pemindahan sistem gelung terbuka sebagai fungsi k mu .

Daripada Rajah 3 adalah jelas bahawa salah satu hodograf Nyquist melalui titik dengan koordinat (j0, -1) . Akibatnya, dalam julat perubahan tertentu dalam pekali penghantaran penguat magnet juga terdapat nilai kritikalnya. Untuk menentukannya, kami menggunakan hubungan berikut:

Oleh itu, pekali penghantaran kritikal penguat magnet ialah:

k mukr =11.186981170416560078

Mari kita pastikan bahawa ini benar-benar berlaku. Untuk melakukan ini, kami akan membina lengkung hodograf Nyquist untuk tiga nilai pekali penghantaran penguat magnet: k mu = 0.6k mukr ; k mu = k mukr ; k mu =1.2k mukr

Rajah.4.

k mu = 0.6 k mukr; k mu = k mukri; k mu =1.2 k mukr

Lengkung dalam Rajah 4 mengesahkan bahawa pekali penghantaran kritikal penguat magnet ditemui dengan betul.

Penggunaan l.a.ch.h. dan ciri frekuensi fasa untuk menganalisis kestabilan sistem

Kriteria untuk kestabilan sistem dari segi tindak balas frekuensi amplitud logaritma (l.a.ch..x) dan tindak balas frekuensi fasa boleh dirumuskan seperti berikut:

Sistem kawalan automatik, tidak stabil dalam keadaan terbuka, stabil dalam keadaan tertutup jika perbezaan antara bilangan peralihan positif (peralihan tindak balas frekuensi fasa dari bawah ke atas melalui garisan μ(φ) = -180 ° ) dan bilangan peralihan negatif (peralihan tindak balas kekerapan fasa dari atas ke bawah melalui garisan c(n) = -180 ° ) tindak balas frekuensi fasa c(sch) melalui talian c(sch) = -180 ° adalah sama dengan sifar dalam julat frekuensi di mana l.a.h..x (L(u)> 0).

Untuk membina tindak balas frekuensi fasa, adalah dinasihatkan untuk mewakili fungsi pemindahan dalam bentuk pautan dinamik biasa.

dan bina ciri fasa menggunakan ungkapan:

«+» - sepadan dengan pautan dinamik biasa pengangka fungsi pemindahan;

«-« - sepadan dengan pautan dinamik biasa penyebut fungsi pemindahan.

Untuk membina l.a.ch.h asimptotik. Kami menggunakan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka, yang dibentangkan dalam bentuk pautan dinamik biasa:

Untuk melakukan ini, kami menggunakan fungsi pemindahan borang:

Mari bayangkan fungsi pemindahan ini dalam bentuk pautan dinamik biasa:

Parameter pautan dinamik biasa ditakrifkan seperti ditunjukkan di bawah:

Persamaan ciri fasa akan mempunyai bentuk:

Mari kita tentukan kekerapan di mana tindak balas frekuensi fasa melintasi paksi c(w) = -180 °

Untuk membina L.A.C.H. mari kita gunakan ungkapan:

Rajah 5 menunjukkan graf l.a.f.x untuk dua nilai pekali penghantaran penguat magnet k mu = 10 dan k mu = 80 .

Rajah.5.

Analisis l.a.h.h. dan ciri frekuensi fasa menunjukkan bahawa dengan peningkatan pekali penghantaran penguat magnet dari 8 hingga 80 sistem menjadi tidak stabil daripada stabil. Mari kita tentukan pekali penghantaran kritikal penguat magnet.

Jika tiada keperluan tambahan untuk margin kestabilan sistem, maka disyorkan untuk mengambilnya sama dengan:

DL(s) = -12db Ds(s) = 35°j 45

Mari kita tentukan pada apakah pekali penghantaran penguat magnetik keadaan ini dipenuhi.

Ini juga disahkan oleh graf yang ditunjukkan dalam Rajah 6.