Masalah dalam teori kebarangkalian. Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali.Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung 4 kali.
Dalam masalah mengenai teori kebarangkalian, yang dibentangkan dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu nombor 4, sebagai tambahan kepada, terdapat masalah untuk melambung syiling dan membaling dadu. Kami akan melihat mereka hari ini.
Masalah lambungan syiling
Tugasan 1. Syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala akan muncul tepat sekali.
Dalam masalah sedemikian, adalah mudah untuk menulis semua kemungkinan hasil, menulisnya menggunakan huruf P (ekor) dan O (kepala). Jadi, hasil OP bermakna pada lontaran pertama ia naik kepala, dan pada lontaran kedua ia timbul ekor. Dalam masalah yang sedang dipertimbangkan, terdapat 4 kemungkinan hasil: RR, RO, OR, OO. Acara "ekor akan muncul tepat sekali" digemari oleh 2 hasil: RO dan OP. Kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan .
Jawapan: 0.5.
Tugasan 2. Syiling simetri dilambung tiga kali. Cari kebarangkalian ia mendarat di atas kepala tepat dua kali.
Terdapat 8 kemungkinan hasil secara keseluruhan: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Acara "kepala akan muncul tepat dua kali" digemari oleh 3 hasil: ROO, ORO, OOR. Kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan .
Jawapan: 0.375.
Tugasan 3. Sebelum perlawanan bola sepak bermula, pengadil membelek syiling untuk menentukan pasukan mana yang akan bermula dengan bola. Pasukan Emerald bermain tiga perlawanan dengan pasukan yang berbeza. Cari kebarangkalian bahawa dalam permainan ini "Emerald" akan memenangi lot tepat sekali.
Tugasan ini serupa dengan tugasan sebelumnya. Biarkan setiap kali pendaratan kepala bermakna memenangi lot dengan "Emerald" (andaian ini tidak menjejaskan pengiraan kebarangkalian). Kemudian 8 hasil adalah mungkin: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Acara "ekor akan muncul tepat sekali" digemari oleh 3 hasil: ROO, ORO, OOR. Kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan .
Jawapan: 0.375.
Masalah 4. Syiling simetri dilambung tiga kali. Cari kebarangkalian bahawa hasil ROO akan berlaku (kali pertama ia mendarat, kali kedua dan ketiga ia mendarat).
Seperti dalam tugasan sebelumnya, terdapat 8 hasil: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Kebarangkalian hasil ROO berlaku adalah sama dengan .
Jawapan: 0.125.
Masalah membaling dadu
Tugasan 5. Dadu dilempar dua kali. Berapakah hasil asas eksperimen yang memihak kepada peristiwa "jumlah mata ialah 8"?
Masalah 6. Dua dadu dilempar pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa jumlahnya ialah 4 mata. Bundarkan hasilnya kepada perseratus.
Secara umum, jika dadu dilempar, terdapat kemungkinan hasil yang sama. Bilangan hasil yang sama diperoleh jika dadu yang sama digulung beberapa kali berturut-turut.
Peristiwa “jumlah nombor ialah 4” digemari oleh keputusan berikut: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Nombor mereka ialah 3. Kebarangkalian yang diperlukan ialah .
Untuk mengira nilai anggaran pecahan, adalah mudah untuk menggunakan pembahagian sudut. Oleh itu, lebih kurang sama dengan 0.083..., dibundarkan kepada perseratus terdekat kita mempunyai 0.08.
Jawapan: 0.08
Masalah 7. Tiga dadu dilempar pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa jumlahnya ialah 5 mata. Bundarkan hasilnya kepada perseratus.
Keputusan akan dianggap sebagai tiga nombor: mata yang digulung pada dadu pertama, kedua dan ketiga. Terdapat semua kemungkinan hasil yang sama. Hasil berikut adalah baik untuk acara "jumlah 5": 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Nombor mereka ialah 6. Kebarangkalian yang diperlukan ialah . Untuk mengira nilai anggaran pecahan, adalah mudah untuk menggunakan pembahagian sudut. Anggaran kita mendapat 0.027..., membundarkan kepada perseratus, kita mempunyai 0.03. Sumber “Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersatu. Matematik. Teori kebarangkalian". Disunting oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
Dalam teori kebarangkalian, terdapat sekumpulan masalah yang cukup untuk mengetahui definisi klasik kebarangkalian dan secara visual mewakili situasi yang dicadangkan. Masalah sedemikian termasuk kebanyakan masalah lambungan syiling dan masalah guling dadu. Mari kita ingat definisi klasik kebarangkalian.
Kebarangkalian kejadian A (kemungkinan objektif peristiwa berlaku dalam istilah berangka) adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang menguntungkan peristiwa ini kepada jumlah bilangan semua hasil asas tidak serasi yang sama mungkin: P(A)=m/n, Di mana:
- m ialah bilangan hasil ujian asas yang menguntungkan untuk berlakunya peristiwa A;
- n ialah jumlah bilangan semua kemungkinan hasil ujian asas.
Adalah mudah untuk menentukan bilangan hasil ujian asas yang mungkin dan bilangan hasil yang menggalakkan dalam masalah yang sedang dipertimbangkan dengan menyenaraikan semua pilihan yang mungkin (gabungan) dan pengiraan langsung.
Daripada jadual kita lihat bahawa bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=4. Hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (kepala muncul 1 kali) sepadan dengan pilihan No. 2 dan No. 3 eksperimen, terdapat dua pilihan tersebut m = 2.
Cari kebarangkalian peristiwa P(A)=m/n=2/4=0.5
Masalah 2 . Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa anda tidak akan mendapat kepala sama sekali.
Penyelesaian
. Oleh kerana syiling dilambung dua kali, maka, seperti dalam masalah 1, bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=4. Hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (kepala tidak akan muncul sekali pun) sepadan dengan pilihan No. 4 percubaan (lihat jadual dalam masalah 1). Terdapat hanya satu pilihan sedemikian, yang bermaksud m=1.
Cari kebarangkalian peristiwa P(A)=m/n=1/4=0.25
Masalah 3 . Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung tiga kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala akan muncul tepat 2 kali.
Penyelesaian . Kami membentangkan pilihan yang mungkin untuk tiga lambungan syiling (semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor) dalam bentuk jadual:
Daripada jadual kita lihat bahawa bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=8. Hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (kepala muncul 2 kali) sepadan dengan pilihan No. 5, 6 dan 7 eksperimen. Terdapat tiga pilihan sedemikian, yang bermaksud m=3.
Cari kebarangkalian kejadian P(A)=m/n=3/8=0.375
Masalah 4 . Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung empat kali. Cari kebarangkalian mendapat kepala tepat 3 kali.
Penyelesaian . Kami membentangkan pilihan yang mungkin untuk empat lambungan syiling (semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor) dalam bentuk jadual:
| Pilihan No. | lontaran pertama | lontaran ke-2 | lontaran ke-3 | balingan ke-4 | Pilihan No. | lontaran pertama | lontaran ke-2 | lontaran ke-3 | balingan ke-4 |
| 1 | Helang | Helang | Helang | Helang | 9 | Ekor | Helang | Ekor | Helang |
| 2 | Helang | Ekor | Ekor | Ekor | 10 | Helang | Ekor | Helang | Ekor |
| 3 | Ekor | Helang | Ekor | Ekor | 11 | Helang | Ekor | Ekor | Helang |
| 4 | Ekor | Ekor | Helang | Ekor | 12 | Helang | Helang | Helang | Ekor |
| 5 | Ekor | Ekor | Ekor | Helang | 13 | Ekor | Helang | Helang | Helang |
| 6 | Helang | Helang | Ekor | Ekor | 14 | Helang | Ekor | Helang | Helang |
| 7 | Ekor | Helang | Helang | Ekor | 15 | Helang | Helang | Ekor | Helang |
| 8 | Ekor | Ekor | Helang | Helang | 16 | Ekor | Ekor | Ekor | Ekor |
Daripada jadual kita lihat bahawa bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=16. Hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (kepala akan muncul 3 kali) sepadan dengan pilihan No. 12, 13, 14 dan 15 eksperimen, yang bermaksud m = 4.
Cari kebarangkalian kejadian P(A)=m/n=4/16=0.25
 |
Menentukan Kebarangkalian dalam Masalah Dadu
Masalah 5 . Tentukan kebarangkalian apabila membaling dadu (dadu adil) anda akan mendapat lebih daripada 3 mata.
Penyelesaian
. Apabila membaling dadu (dadu biasa), mana-mana daripada enam mukanya boleh gugur, i.e. mana-mana peristiwa asas berlaku - kehilangan 1 hingga 6 titik (mata). Ini bermakna bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=6.
Acara A = (lebih daripada 3 mata digulung) bermakna 4, 5 atau 6 mata (mata) digulung. Ini bermakna bilangan hasil yang menggalakkan ialah m=3.
Kebarangkalian kejadian P(A)=m/n=3/6=0.5
Masalah 6 . Tentukan kebarangkalian bahawa apabila membaling dadu anda mendapat bilangan mata tidak lebih daripada 4. Bundarkan keputusan kepada perseribu yang terdekat.
Penyelesaian
. Apabila melontar dadu, mana-mana daripada enam mukanya boleh jatuh, i.e. mana-mana peristiwa asas berlaku - kehilangan 1 hingga 6 titik (mata). Ini bermakna bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=6.
Acara A = (tidak lebih daripada 4 mata digulung) bermakna 4, 3, 2 atau 1 mata (mata) digulung. Ini bermakna bilangan hasil yang menggalakkan ialah m=4.
Kebarangkalian kejadian Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667
Masalah 7 . Dadu dilempar dua kali. Cari kebarangkalian bahawa nombor yang digulung adalah kurang daripada 4 kedua-dua kali.
Penyelesaian . Oleh kerana dadu (dadu) dilempar dua kali, kami akan membuat alasan seperti berikut: jika dadu pertama menunjukkan satu mata, maka dadu kedua boleh mendapat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kami mendapat pasangan (1;1). ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) dan seterusnya dengan setiap muka. Mari kita bentangkan semua kes dalam bentuk jadual 6 baris dan 6 lajur:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Kami mengira hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (kedua-dua kali bilangan itu kurang daripada 4) (ia diserlahkan dalam huruf tebal) dan kami mendapat m=9.
Cari kebarangkalian peristiwa P(A)=m/n=9/36=0.25
Masalah 8 . Dadu dilempar dua kali. Cari kebarangkalian bahawa lebih besar daripada dua nombor yang dilukis ialah 5. Bundarkan jawapan anda kepada ribu yang terdekat.
Penyelesaian . Kami membentangkan semua kemungkinan hasil daripada dua balingan dadu dalam jadual:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Daripada jadual kita lihat bahawa bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=6*6=36.
Kami mengira hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (yang terbesar daripada dua nombor yang dilukis ialah 5) (ia diserlahkan dalam huruf tebal) dan mendapat m=8.
Cari kebarangkalian peristiwa P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222
Masalah 9 . Dadu dilempar dua kali. Cari kebarangkalian bahawa nombor kurang daripada 4 digulung sekurang-kurangnya sekali.
Penyelesaian . Kami membentangkan semua kemungkinan hasil daripada dua balingan dadu dalam jadual:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Daripada jadual kita lihat bahawa bilangan hasil asas yang mungkin ialah n=6*6=36.
Frasa "sekurang-kurangnya sekali nombor kurang daripada 4 muncul" bermaksud "nombor kurang daripada 4 muncul sekali atau dua kali", kemudian bilangan hasil yang menggalakkan bagi peristiwa A = (sekurang-kurangnya sekali nombor kurang daripada 4 muncul ) (mereka diserlahkan dalam huruf tebal) m=27.
Cari kebarangkalian peristiwa P(A)=m/n=27/36=0.75
keadaan
Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian benda yang sama akan keluar kali kedua seperti kali pertama.
Penyelesaian
- Kami akan menyelesaikan masalah ini menggunakan formula:
Di mana P(A) ialah kebarangkalian peristiwa A, m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa ini, n ialah jumlah bilangan hasil yang mungkin.
- Mari kita gunakan teori ini untuk masalah kita:
A – peristiwa apabila perkara yang sama muncul untuk kali kedua seperti kali pertama;
P(A) – kebarangkalian bahawa perkara yang sama akan muncul kali kedua seperti kali pertama.
- Mari kita takrifkan m dan n:
m ialah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini, iaitu bilangan hasil apabila perkara yang sama berlaku kali kedua seperti yang pertama. Dalam eksperimen, syiling dilambung dua kali, yang mempunyai 2 sisi: ekor (P) dan kepala (O). Kami memerlukan perkara yang sama untuk muncul kali kedua seperti kali pertama, dan ini mungkin apabila kombinasi berikut muncul: OO atau PP, iaitu, ternyata
m = 2, kerana terdapat 2 pilihan yang mungkin, apabila perkara yang sama muncul untuk kali kedua seperti kali pertama;
n ialah jumlah bilangan hasil yang mungkin, iaitu, untuk menentukan n kita perlu mencari bilangan semua kemungkinan kombinasi yang boleh berlaku apabila melambung syiling dua kali. Apabila melempar syiling buat kali pertama, ia boleh muncul sama ada ekor atau kepala, iaitu, dua pilihan adalah mungkin. Apabila melontar syiling untuk kali kedua, pilihan yang sama mungkin. Ternyata begitu
Rumusan masalah: Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala (ekor) tidak akan muncul sekali pun (akan muncul tepat/sekurang-kurangnya 1, 2 kali).
Masalahnya adalah sebahagian daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik peringkat asas untuk gred 11 di bawah nombor 10 (Takrifan klasik kebarangkalian).
Mari kita lihat bagaimana masalah sedemikian diselesaikan menggunakan contoh.
Contoh tugasan 1:
Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala tidak akan muncul walaupun sekali.
OO ATAU RO RR
Terdapat 4 kombinasi sedemikian secara keseluruhan. Kami hanya berminat dengan yang tidak mengandungi satu helang. Terdapat hanya satu gabungan (PP) sedemikian.
P = 1 / 4 = 0.25
Jawapan: 0.25
Contoh tugasan 2:
Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian mendapat kepala tepat dua kali.
Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang boleh berlaku jika syiling dilambung dua kali. Untuk kemudahan, kami akan menandakan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:
OO ATAU RO RR
Terdapat 4 kombinasi sedemikian secara keseluruhan. Kami hanya berminat dengan kombinasi yang mana kepala muncul tepat 2 kali. Terdapat hanya satu kombinasi (OO).
P = 1 / 4 = 0.25
Jawapan: 0.25
Contoh tugasan 3:
Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala muncul tepat sekali.
Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang boleh berlaku jika syiling dilambung dua kali. Untuk kemudahan, kami akan menandakan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:
OO ATAU RO RR
Terdapat 4 kombinasi sedemikian secara keseluruhan. Kami hanya berminat dengan kombinasi yang mana kepala muncul tepat 1 kali. Terdapat hanya dua kombinasi tersebut (OR dan RO).
Jawapan: 0.5
Contoh tugasan 4:
Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekurang-kurangnya sekali.
Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang boleh berlaku jika syiling dilambung dua kali. Untuk kemudahan, kami akan menandakan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:
OO ATAU RO RR
Terdapat 4 kombinasi sedemikian secara keseluruhan. Kami hanya berminat dengan kombinasi yang mana kepala muncul sekurang-kurangnya sekali. Terdapat hanya tiga kombinasi sedemikian (OO, OP dan RO).
P = 3 / 4 = 0.75
Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung...
Sebagai mukadimah.
Semua orang tahu bahawa syiling mempunyai dua sisi - kepala dan ekor.
Numismatis percaya bahawa syiling mempunyai tiga sisi - hadapan, belakang dan tepi.
Kedua-dua di antara mereka dan antara lain, hanya sedikit orang yang tahu apa itu syiling simetri. Tetapi mereka yang sedang bersiap untuk mengambil Peperiksaan Negeri Bersepadu tahu tentang perkara ini (baik, atau patut tahu:).
Secara umum, artikel ini akan bercakap tentang duit syiling yang luar biasa, yang tidak ada kaitan dengan numismatik, tetapi, pada masa yang sama, adalah syiling yang paling popular di kalangan pelajar sekolah.
Jadi.
Syiling simetri- ini adalah syiling ideal matematik khayalan tanpa saiz, berat, diameter, dll. Akibatnya, syiling sedemikian juga tidak mempunyai kelebihan, iaitu, ia hanya mempunyai dua sisi. Sifat utama syiling simetri ialah dalam keadaan sedemikian kebarangkalian kepala atau ekor muncul adalah sama sekali. Dan mereka datang dengan syiling simetri untuk menjalankan eksperimen pemikiran.
Masalah syiling simetri yang paling popular ialah: "Dalam eksperimen rawak, syiling simetri dilambung dua kali (tiga kali, empat kali, dsb.). Masalahnya ialah untuk menentukan kebarangkalian bahawa satu pihak akan mendarat beberapa kali.
Menyelesaikan masalah dengan syiling simetri
Adalah jelas bahawa akibat daripada lambungan, syiling akan mendarat sama ada di kepala atau ekor. Berapa kali bergantung kepada berapa banyak balingan yang perlu dilakukan. Kebarangkalian mendapat kepala atau ekor dikira dengan membahagikan bilangan hasil yang memenuhi syarat dengan jumlah bilangan hasil yang mungkin.
Satu lontaran
Semuanya mudah di sini. Ia sama ada menjadi kepala atau ekor. Itu. kita mempunyai dua kemungkinan hasil, satu daripadanya memuaskan hati kita - 1/2=50%
Balingan dua
Dalam dua lontaran anda boleh mendapatkan:
dua ekor helang
dua kepala
kepala kemudian ekor
ekor, kemudian kepala
Itu. Terdapat hanya empat pilihan yang mungkin. Masalah dengan lebih daripada satu gulungan paling mudah diselesaikan dengan menyediakan jadual pilihan yang mungkin. Untuk kesederhanaan, mari kita nyatakan kepala sebagai "0" dan ekor sebagai "1". Kemudian jadual hasil yang mungkin akan kelihatan seperti ini:
00
01
10
11
Jika, sebagai contoh, anda perlu mencari kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekali, anda hanya perlu mengira bilangan pilihan yang sesuai dalam jadual - i.e. garisan di mana helang muncul sekali. Terdapat dua baris sedemikian. Ini bermakna kebarangkalian mendapat satu kepala dalam dua lambungan syiling simetri ialah 2/4 = 50%
Kebarangkalian bahawa kepala akan muncul dua kali dalam dua lontaran ialah 1/4=25%
Tiga roska
Mari buat jadual pilihan:
000
001
010
011
100
101
110
111
Mereka yang biasa dengan kalkulus binari memahami apa yang telah kami perolehi. :) Ya, ini adalah digit binari daripada "0" hingga "7". Ini menjadikannya lebih mudah untuk tidak keliru dengan pilihan.
Mari kita selesaikan masalah dari perenggan sebelumnya - hitung kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekali. Terdapat tiga baris di mana "0" muncul sekali. Ini bermakna kebarangkalian mendapat satu kepala dalam tiga lambungan syiling simetri ialah 3/8 = 37.5%
Kebarangkalian bahawa kepala akan muncul dua kali dalam tiga lontaran ialah 3/8 = 37.5%, i.e. sama sekali.
Kebarangkalian bahawa kepala akan muncul tiga kali dalam tiga lontaran ialah 1/8 = 12.5%.
Empat balingan
Mari buat jadual pilihan:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekali. Terdapat hanya tiga baris di mana "0" muncul sekali, sama seperti dalam kes tiga lontaran. Tetapi sudah ada enam belas pilihan. Ini bermakna kebarangkalian mendapat satu kepala dalam empat lambungan syiling simetri ialah 3/16 = 18.75%
Kebarangkalian bahawa kepala akan muncul dua kali dalam tiga lontaran ialah 6/8 = 75%.
Kebarangkalian bahawa kepala akan muncul tiga kali dalam tiga lontaran ialah 4/8 = 50%.
Oleh itu, dengan peningkatan dalam bilangan lontaran, prinsip menyelesaikan masalah tidak berubah sama sekali - hanya, dalam perkembangan yang sepadan, bilangan pilihan meningkat.
