Kāds ir a kosinuss? Kas ir sinuss un kosinuss trigonometrijā? Nu, izmēģināsim šīs formulas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa

Skolotāji uzskata, ka katram skolēnam jāprot veikt aprēķinus un zināt trigonometriskās formulas, taču ne katrs skolotājs izskaidro, kas ir sinuss un kosinuss. Kāda ir to nozīme, kur tie tiek izmantoti? Kāpēc mēs runājam par trijstūriem, bet mācību grāmatā ir parādīts aplis? Mēģināsim savienot visus faktus kopā.

Mācību priekšmets

Trigonometrijas mācības parasti sākas vidusskolas 7.-8. Šajā laikā skolēniem tiek izskaidrots, kas ir sinuss un kosinuss, un tiek lūgts atrisināt ģeometriskos uzdevumus, izmantojot šīs funkcijas. Vēlāk parādās sarežģītākas formulas un izteiksmes, kuras jāpārveido algebriski (dubultā un pusleņķa formulas, pakāpju funkcijas), un tiek veikts darbs ar trigonometrisko apli.

Taču skolotāji ne vienmēr spēj skaidri izskaidrot lietoto jēdzienu nozīmi un formulu pielietojamību. Tāpēc skolēns bieži vien neredz jēgu šim priekšmetam, un iegaumētā informācija ātri aizmirstas. Taču, tiklīdz vidusskolēnam paskaidrosiet, piemēram, funkcijas saistību ar svārstīgo kustību, loģiskā saikne paliks atmiņā uz daudziem gadiem, un joki par mācību priekšmeta nelietderīgumu kļūs par pagātni.

Lietošana

Zinātkāres labad ielūkosimies dažādās fizikas nozarēs. Vai vēlaties noteikt šāviņa darbības rādiusu? Vai arī jūs aprēķinājat berzes spēku starp objektu un noteiktu virsmu? Šūpot svārstu, vērot starus, kas iet cauri stiklam, aprēķināt indukciju? Trigonometriskie jēdzieni parādās gandrīz jebkurā formulā. Tātad, kas ir sinuss un kosinuss?

Definīcijas

Leņķa sinuss ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu, kosinuss ir blakus esošās malas attiecība pret to pašu hipotenūzu. Šeit nav absolūti nekā sarežģīta. Iespējams, skolēnus parasti mulsina vērtības, ko viņi redz trigonometrijas tabulā, jo tajā ir ietvertas kvadrātsaknes. Jā, iegūt no tiem decimālskaitļus nav īpaši ērti, bet kurš teica, ka visiem skaitļiem matemātikā jābūt vienādiem?

Patiesībā trigonometrijas uzdevumu grāmatās var atrast kādu smieklīgu mājienu: lielākā daļa atbilžu šeit ir pāra un sliktākajā gadījumā satur divu vai trīs sakni. Secinājums ir vienkāršs: ja jūsu atbilde izrādās “daudzstāvu” daļa, vēlreiz pārbaudiet, vai risinājumā nav kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Un jūs, visticamāk, tos atradīsit.

Ko atcerēties

Tāpat kā jebkurai zinātnei, trigonometrijai ir dati, kas jāapgūst.

Pirmkārt, jums vajadzētu iegaumēt taisnleņķa trijstūra sinusu, kosinusu 0 un 90, kā arī 30, 45 un 60 grādu skaitliskās vērtības. Šie rādītāji ir sastopami deviņās no desmit skolas problēmām. Apskatot šīs vērtības mācību grāmatā, jūs zaudēsiet daudz laika, un pārbaudes vai eksāmena laikā tās vispār nebūs kur apskatīt.

Jāatceras, ka abu funkciju vērtība nedrīkst pārsniegt vienu. Ja kaut kur aprēķinos iegūstat vērtību ārpus 0–1 diapazona, apstājieties un mēģiniet vēlreiz atrisināt problēmu.

Sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Ja vienu no vērtībām jau esat atradis, izmantojiet šo formulu, lai atrastu atlikušo.

Teorēmas

Pamata trigonometrijā ir divas pamatteorēmas: sinusus un kosinusus.

Pirmais norāda, ka trijstūra katras malas attiecība pret pretējā leņķa sinusu ir vienāda. Otrais ir tas, ka jebkuras malas kvadrātu var iegūt, saskaitot abu atlikušo malu kvadrātus un atņemot to dubulto reizinājumu, kas reizināts ar leņķa kosinusu, kas atrodas starp tām.

Tādējādi, ja kosinusa teorēmā aizstājam 90 grādu leņķa vērtību, mēs iegūstam... Pitagora teorēmu. Tagad, ja jums ir jāaprēķina tādas figūras laukums, kas nav taisnleņķa trīsstūris, jums vairs nav jāuztraucas - abas apspriestās teorēmas ievērojami vienkāršos problēmas risinājumu.

Mērķi un uzdevumi

Trigonometrijas apguve kļūs daudz vienkāršāka, ja sapratīsit vienu vienkāršu faktu: visas jūsu veiktās darbības ir vērstas tikai uz viena mērķa sasniegšanu. Jebkuri trijstūra parametri ir atrodami, ja par to ir zināma minimālā informācija - tā varētu būt viena leņķa vērtība un divu malu garums vai, piemēram, trīs malas.

Lai noteiktu jebkura leņķa sinusu, kosinusu, tangensu, šie dati ir pietiekami, un ar to palīdzību jūs varat viegli aprēķināt figūras laukumu. Gandrīz vienmēr atbildei ir nepieciešama kāda no minētajām vērtībām, un tās var atrast, izmantojot vienādas formulas.

Neatbilstības trigonometrijas apguvē

Viens no mulsinošajiem jautājumiem, no kura studenti dod priekšroku izvairīties, ir dažādu trigonometrijas jēdzienu saistību atklāšana. Šķiet, ka trijstūri tiek izmantoti, lai pētītu leņķu sinusus un kosinusus, taču nez kāpēc simboli bieži ir atrodami attēlā ar apli. Turklāt ir pilnīgi nesaprotams viļņiem līdzīgs grafiks, ko sauc par sinusoidālo vilni, kuram nav ārējas līdzības ne ar apli, ne ar trijstūriem.

Turklāt leņķus mēra vai nu grādos, vai radiānos, un skaitlis Pi, kas uzrakstīts vienkārši kā 3,14 (bez vienībām), kaut kādu iemeslu dēļ formulās parādās, kas atbilst 180 grādiem. Kā tas viss ir saistīts?

Vienības

Kāpēc Pi ir tieši 3.14? Vai atceries, kāda ir šī nozīme? Tas ir rādiusu skaits, kas iekļaujas lokā uz pusapļa. Ja apļa diametrs ir 2 centimetri, apkārtmērs būs 3,14 * 2 vai 6,28.

Otrais punkts: jūs, iespējams, pamanījāt līdzību starp vārdiem "radiāns" un "rādiuss". Fakts ir tāds, ka viens radiāns ir skaitliski vienāds ar leņķi no apļa centra līdz viena rādiusa garam lokam.

Tagad mēs apvienosim iegūtās zināšanas un sapratīsim, kāpēc trigonometrijā virs koordinātu ass ir rakstīts “Pi uz pusēm”, bet pa kreisi - “Pi”. Šī ir leņķiskā vērtība, ko mēra radiānos, jo pusloks ir 180 grādi jeb 3,14 radiāni. Un kur ir grādi, tur ir sinusus un kosinusus. Ir viegli uzzīmēt trīsstūri no vēlamā punkta, atliekot segmentus uz centru un uz koordinātu asi.

Paskatīsimies nākotnē

Skolā apgūtā trigonometrija nodarbojas ar taisnvirziena koordinātu sistēmu, kur, lai cik dīvaini tas neizklausītos, taisne ir taisne.

Bet ir arī sarežģītāki veidi, kā strādāt ar telpu: trijstūra leņķu summa šeit būs lielāka par 180 grādiem, un taisne mūsu skatījumā izskatīsies kā īsta loka.

Pāriesim no vārdiem pie darbiem! Paņemiet ābolu. Veiciet trīs griezumus ar nazi, lai, skatoties no augšas, iegūtu trīsstūri. Izņemiet iegūto ābola gabalu un apskatiet “ribas”, kur beidzas miza. Tie nemaz nav taisni. Augļus jūsu rokās var nosacīti saukt par apaļiem, bet tagad iedomājieties, cik sarežģītām jābūt formulām, ar kurām jūs varat atrast nogrieztā gabala laukumu. Bet daži speciālisti šādas problēmas risina katru dienu.

Trigonometriskās funkcijas dzīvē

Vai esat pamanījuši, ka īsākajam lidmašīnas ceļam no punkta A uz punktu B uz mūsu planētas virsmas ir izteikta loka forma? Iemesls ir vienkāršs: Zeme ir sfēriska, kas nozīmē, ka jūs nevarat daudz aprēķināt, izmantojot trīsstūrus - jums ir jāizmanto sarežģītākas formulas.

Nevienos ar telpu saistītos jautājumos neiztikt bez akūtā leņķa sinusa/kosinusa. Interesanti, ka šeit saplūst ļoti daudz faktoru: trigonometriskās funkcijas ir nepieciešamas, aprēķinot planētu kustību pa apļiem, elipsēm un dažādām sarežģītāku formu trajektorijām; raķešu, satelītu, atspoļu palaišanas process, izpētes transportlīdzekļu atdalīšana; novērojot tālas zvaigznes un pētot galaktikas, kuras pārskatāmā nākotnē cilvēki nevarēs sasniegt.

Kopumā darbības lauks cilvēkam, kurš pārzina trigonometriju, ir ļoti plašs un, acīmredzot, ar laiku tikai paplašināsies.

Secinājums

Šodien mēs uzzinājām vai vismaz atkārtojām, kas ir sinuss un kosinuss. Tie ir jēdzieni, no kuriem jums nav jābaidās – vienkārši vēlieties tos, un jūs sapratīsit to nozīmi. Atcerieties, ka trigonometrija nav mērķis, bet tikai instruments, ar kuru var apmierināt reālas cilvēka vajadzības: būvēt mājas, nodrošināt satiksmes drošību, pat izpētīt Visuma plašumus.

Patiešām, zinātne pati par sevi var šķist garlaicīga, taču, tiklīdz jūs tajā atradīsit veidu, kā sasniegt savus mērķus un pašrealizāciju, mācību process kļūs interesants, un jūsu personīgā motivācija palielināsies.

Mājasdarbu veikšanai mēģiniet atrast veidus, kā piemērot trigonometriskās funkcijas jums interesējošā jomā. Iedomājieties, izmantojiet savu iztēli, un tad jūs, iespējams, atklāsiet, ka jaunas zināšanas jums noderēs nākotnē. Un turklāt matemātika ir noderīga vispārējai domāšanas attīstībai.

Kosinuss ir plaši pazīstama trigonometriskā funkcija, kas ir arī viena no galvenajām trigonometrijas funkcijām. Leņķa kosinuss taisnleņķa trijstūrī ir trijstūra blakus malas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Visbiežāk kosinusa definīcija ir saistīta ar taisnstūra tipa trīsstūri. Bet gadās arī tā, ka leņķis, kuram jāaprēķina kosinuss taisnstūra trīsstūrī, neatrodas tieši šajā taisnstūra trīsstūrī. Ko tad darīt? Kā atrast trijstūra leņķa kosinusu?

Ja jums ir jāaprēķina leņķa kosinuss taisnstūra trīsstūrī, tad viss ir ļoti vienkārši. Jums vienkārši jāatceras kosinusa definīcija, kas satur šīs problēmas risinājumu. Jums vienkārši jāatrod tāda pati attiecība starp blakus esošo pusi, kā arī trīsstūra hipotenūzu. Patiešām, šeit nav grūti izteikt leņķa kosinusu. Formula ir šāda: - cosα = a/c, šeit “a” ir kājas garums, bet mala “c” attiecīgi ir hipotenūzas garums. Piemēram, taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kosinusu var atrast, izmantojot šo formulu.

Ja jūs interesē, ar ko ir vienāds leņķa kosinuss patvaļīgā trijstūrī, tad talkā nāk kosinusa teorēma, kas šādos gadījumos būtu jāizmanto. Kosinusa teorēma nosaka, ka trijstūra malas kvadrāts a priori ir vienāds ar tā paša trīsstūra atlikušo malu kvadrātu summu, bet nedubultojot šo malu reizinājumu ar leņķa kosinusu, kas atrodas starp tām.

1. Ja trijstūrī jāatrod akūtā leņķa kosinuss, tad jāizmanto šāda formula: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Ja trijstūrī jāatrod strupā leņķa kosinuss, tad jāizmanto šāda formula: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Apzīmējumi formulā - a un b - ir to malu garumi, kas ir blakus vēlamajam leņķim, c - ir malas garums, kas ir pretējs vēlamajam leņķim.

Leņķa kosinusu var aprēķināt arī, izmantojot sinusa teorēmu. Tajā teikts, ka visas trīsstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem. Izmantojot sinusu teorēmu, jūs varat aprēķināt atlikušos trijstūra elementus, kam ir informācija tikai par divām malām un leņķi, kas ir pretējs vienai malai, vai no diviem leņķiem un vienas malas. Apsveriet to ar piemēru. Problēmas nosacījumi: a=1; b = 2; c=3. Leņķi, kas ir pretējs malai “A”, apzīmē ar α, tad saskaņā ar formulām mums ir: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Atbilde: 1.

Ja leņķa kosinuss jāaprēķina nevis trīsstūrī, bet kādā citā patvaļīgā ģeometriskā figūrā, tad viss kļūst nedaudz sarežģītāk. Vispirms ir jānosaka leņķa lielums radiānos vai grādos, un tikai pēc tam no šīs vērtības jāaprēķina kosinuss. Kosinusu pēc skaitliskās vērtības nosaka, izmantojot Bradis tabulas, inženiertehniskos kalkulatorus vai īpašus matemātikas lietojumus.

Īpašām matemātiskām lietojumprogrammām var būt tādas funkcijas kā automātiska leņķu kosinusu aprēķināšana konkrētajā attēlā. Šādu lietojumprogrammu skaistums ir tāds, ka tie sniedz pareizo atbildi, un lietotājs netērē laiku, risinot dažreiz diezgan sarežģītas problēmas. No otras puses, pastāvīgi izmantojot tikai uzdevumu risināšanas lietojumprogrammas, tiek zaudētas visas prasmes strādāt ar matemātisko problēmu risināšanu, lai atrastu leņķu kosinusus trīsstūros, kā arī citas patvaļīgas figūras.

Trigonometrija kā zinātne radās Senajos Austrumos. Pirmie trigonometriskie koeficienti tika iegūti astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientāciju pēc zvaigznēm. Šie aprēķini attiecās uz sfērisko trigonometriju, savukārt skolas kursā tiek pētīta plaknes trīsstūra malu un leņķu attiecība.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar trigonometrisko funkciju īpašībām un attiecībām starp trijstūra malām un leņķiem.

Kultūras un zinātnes ziedu laikos mūsu ēras 1. gadu tūkstotī zināšanas izplatījās no Senajiem Austrumiem uz Grieķiju. Bet galvenie trigonometrijas atklājumi ir arābu kalifāta vīriešu nopelni. Jo īpaši Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā tangenss un kotangenss, kā arī sastādīja pirmās sinusu, pieskares un kotangenšu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienus ieviesa Indijas zinātnieki. Trigonometrijai tika pievērsta liela uzmanība tādu senatnes izcilu figūru kā Eiklīds, Arhimēds un Eratostens darbos.

Trigonometrijas pamatlielumi

Skaitliskā argumenta trigonometriskās pamatfunkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Katram no tiem ir savs grafiks: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēniem tas ir labāk zināms formulējumā: “Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos”, jo pierādījums tiek sniegts, izmantojot vienādsānu taisnstūra trīsstūra piemēru.

Sinuss, kosinuss un citas attiecības nosaka attiecības starp jebkura taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem un malām. Iesniegsim formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekosim sakarības starp trigonometriskajām funkcijām:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztas funkcijas. Ja iedomājamies kāju a kā grēka A un hipotenūzas c reizinājumu un kāju b kā cos A * c, iegūstam šādas pieskares un kotangences formulas:

Trigonometriskais aplis

Grafiski sakarību starp minētajiem daudzumiem var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā apzīmē visas iespējamās leņķa α vērtības - no 0° līdz 360°. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai atkarībā no leņķa ir negatīva vai pozitīva vērtība. Piemēram, grēkam α būs “+” zīme, ja α pieder apļa 1. un 2. ceturtdaļai, tas ir, tas ir diapazonā no 0° līdz 180°. Attiecībā uz α no 180° līdz 360° (III un IV ceturtdaļa) sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskās tabulas konkrētiem leņķiem un noskaidrot lielumu nozīmi.

Vērtības α, kas vienādas ar 30°, 45°, 60°, 90°, 180° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Viņiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas īpašu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās attiecas uz radiāniem. Rad ir leņķis, kurā apļa loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai noteiktu universālu atkarību; aprēķinot radiānos, faktiskajam rādiusa garumam cm nav nozīmes.

Leņķi trigonometrisko funkciju tabulās atbilst radiāna vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis jeb 360°.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai aplūkotu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, tangensa un kotangenta pamatīpašības, ir nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes veidā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet sinusa un kosinusa īpašību salīdzinošo tabulu:

Noteikt, vai funkcija ir pāra vai nē, ir ļoti vienkārši. Pietiek iedomāties trigonometrisku apli ar trigonometrisko lielumu zīmēm un garīgi “salocīt” grafiku attiecībā pret OX asi. Ja zīmes sakrīt, funkcija ir pāra, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusa un kosinusa viļņu pamatīpašību uzskaitījums ļauj mums parādīt šādu modeli:

Ir ļoti viegli pārbaudīt, vai formula ir pareiza. Piemēram, ja x = π/2, sinuss ir 1, tāpat kā kosinuss no x = 0. Pārbaudi var veikt, apskatot tabulas vai izsekojot funkciju līknes dotajām vērtībām.

Tangensoīdu un kotangentoīdu īpašības

Pieskares un kotangentes funkciju grafiki būtiski atšķiras no sinusa un kosinusa funkcijām. Vērtības tg un ctg ir viena otras apgrieztas vērtības.

1. Y = dzeltenbrūns x.
2. Pieskarei ir tendence uz y vērtībām pie x = π/2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
3. Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
4. Tg (- x) = - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
5. Tg x = 0, ja x = πk.
6. Funkcija palielinās.
7. Tg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, ja x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Atvasinājums (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Apsveriet tālāk tekstā redzamo kotangentoīda grafisko attēlu.

Kotangentoīdu galvenās īpašības:

1. Y = bērnu gultiņa x.
2. Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoīdā Y var iegūt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
3. Kotangentoīds tiecas uz y vērtībām pie x = πk, bet nekad tās nesasniedz.
4. Kotangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
6. Ctg x = 0, ja x = π/2 + πk.
7. Funkcija samazinās.
8. Ctg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, ja x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Atvasinājums (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Pareizi

Tiek saukta pretējās puses attiecība pret hipotenūzu akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss

Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare

Tiek saukta pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trīsstūris.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss

Tiek saukta blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Patvaļīga leņķa sinuss

Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .

\sin \alpha=y

Patvaļīga leņķa kosinuss

Vienības apļa punktā, kuram atbilst leņķis \alpha, tiek izsaukta abscisa patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .

\cos \alpha=x

Patvaļīga leņķa tangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .

iedegums \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Patvaļīga leņķa kotangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs

Ja \alpha ir kāds leņķis AOM, kur M ir vienības apļa punkts, tad

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir vienāda ar -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir vienāda ar \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula

Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:

Sinuss un kosinuss sākotnēji radās no nepieciešamības aprēķināt daudzumus taisnleņķa trīsstūros. Tika pamanīts, ka, ja taisnleņķa trijstūrī leņķu pakāpes mērs netiek mainīts, tad malu attiecība, lai arī cik šīs malas mainītos garumā, vienmēr paliek nemainīga.

Tādā veidā tika ieviesti sinusa un kosinusa jēdzieni. Akūta leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu, bet kosinuss ir hipotenūzai blakus esošās malas attiecība.

Kosinusu un sinusu teorēmas

Taču kosinusus un sinusus var izmantot ne tikai taisnleņķa trijstūriem. Lai atrastu jebkura trijstūra strupā vai asā leņķa vai malas vērtību, pietiek ar kosinusu un sinusu teorēmu.

Kosinusa teorēma ir pavisam vienkārša: "Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, no kuras atņemtas šo malu divkāršs reizinājums un starp tām esošā leņķa kosinuss."

Ir divas sinusa teorēmas interpretācijas: mazā un paplašinātā. Pēc nepilngadīgā teiktā: "Trīsstūrī leņķi ir proporcionāli pretējām malām." Šī teorēma bieži tiek paplašināta trijstūra ierobežotā apļa īpašību dēļ: "Trijstūrī leņķi ir proporcionāli pretējām malām, un to attiecība ir vienāda ar ierobežotā apļa diametru."

Atvasinājumi

Atvasinājums ir matemātisks rīks, kas parāda, cik ātri funkcija mainās attiecībā pret izmaiņām tās argumentā. Atvasinājumi tiek izmantoti ģeometrijā un vairākās tehniskajās disciplīnās.

Risinot problēmas, jums jāzina trigonometrisko funkciju atvasinājumu tabulas vērtības: sinuss un kosinuss. Sinusa atvasinājums ir kosinuss, un kosinuss ir sinuss, bet ar mīnusa zīmi.

Pielietojums matemātikā

Īpaši bieži sinusus un kosinusus izmanto taisnleņķa trijstūri un ar tiem saistīto uzdevumu risināšanā.

Sinusu un kosinusu ērtības atspoguļojas arī tehnoloģijās. Leņķus un malas bija viegli novērtēt, izmantojot kosinusa un sinusa teorēmas, sadalot sarežģītas formas un objektus “vienkāršos” trīsstūros. Inženieri, kas bieži nodarbojas ar malu attiecību un grādu mēru aprēķiniem, pavadīja daudz laika un pūļu, lai aprēķinātu netabulas leņķu kosinusus un sinusus.

Tad palīgā nāca Bradis tabulas, kurās bija tūkstošiem dažādu leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu vērtību. Padomju laikos daži skolotāji piespieda savus skolēnus iegaumēt Bradis tabulu lapas.

Radiāns ir leņķa vērtība lokam, kura garums ir vienāds ar rādiusu vai 57,295779513° grādiem.

Grāds (ģeometrijā) ir 1/360 daļa no apļa vai 1/90 daļa no taisnā leņķa.

π = 3,141592653589793238462… (pi aptuvenā vērtība).