Pelajaran Matematika: Mengapa Anda Tidak Dapat Membagi dengan Nol. Metode untuk memecahkan batas. Ketidakpastian Urutan pertumbuhan fungsi. Metode penggantian Infinity dibagi dengan angka

Sangat sering, banyak orang bertanya-tanya mengapa tidak mungkin menggunakan pembagian dengan nol? Dalam artikel ini, kami akan membahas secara detail tentang dari mana aturan ini berasal, serta tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol.

dalam kontak dengan

Nol bisa disebut sebagai salah satu angka yang paling menarik. Angka ini tidak ada artinya, itu berarti kekosongan dalam arti kata yang sebenarnya. Namun, jika Anda meletakkan nol di sebelah angka apa pun, maka nilai angka ini akan menjadi beberapa kali lebih besar.

Angka itu sendiri sangat misterius. Itu digunakan oleh orang-orang Maya kuno. Untuk Maya, nol berarti "awal", dan hitungan mundur hari kalender juga dimulai dari nol.

Fakta yang sangat menarik adalah bahwa tanda nol dan tanda ketidakpastian serupa untuk mereka. Dengan ini, Maya ingin menunjukkan bahwa nol adalah tanda identik yang sama dengan ketidakpastian. Di Eropa, penunjukan nol muncul relatif baru-baru ini.

Juga, banyak orang mengetahui larangan yang terkait dengan nol. Siapapun akan mengatakan itu tidak bisa dibagi nol. Ini dikatakan oleh guru di sekolah, dan anak-anak biasanya mengambil kata mereka untuk itu. Biasanya, anak-anak hanya tidak tertarik untuk mengetahui hal ini, atau mereka tahu apa yang akan terjadi jika, setelah mendengar larangan penting, mereka langsung bertanya “Mengapa kamu tidak bisa membagi dengan nol?”. Tetapi ketika Anda bertambah tua, minat meningkat, dan Anda ingin tahu lebih banyak tentang alasan larangan semacam itu. Namun, ada bukti yang masuk akal.

Tindakan dengan nol

Pertama, Anda perlu menentukan tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol. ada beberapa jenis kegiatan:

• Tambahan;
• Perkalian;
• Pengurangan;
• Pembagian (nol dengan angka);
• Eksponen.

Penting! Jika nol ditambahkan ke angka apa pun selama penambahan, maka angka ini akan tetap sama dan tidak akan mengubah nilai numeriknya. Hal yang sama terjadi jika Anda mengurangi nol dari angka apa pun.

Dengan perkalian dan pembagian, semuanya sedikit berbeda. Jika kalikan bilangan apa saja dengan nol, maka hasil kali juga akan menjadi nol.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Mari kita tulis ini sebagai tambahan:

Ada lima angka nol yang ditambahkan secara total, jadi ternyata

Mari kita coba kalikan satu dengan nol. Hasilnya juga akan nol.

Nol juga dapat dibagi dengan angka lain yang tidak sama dengannya. Dalam hal ini, itu akan berubah, yang nilainya juga akan menjadi nol. Aturan yang sama berlaku untuk bilangan negatif. Jika Anda membagi nol dengan angka negatif, Anda mendapatkan nol.

Anda juga dapat menaikkan nomor berapa pun ke kekuatan nol. Dalam hal ini, Anda mendapatkan 1. Penting untuk diingat bahwa ungkapan "nol pangkat nol" sama sekali tidak berarti. Jika Anda mencoba menaikkan nol ke kekuatan apa pun, Anda mendapatkan nol. Contoh:

Kami menggunakan aturan perkalian, kami mendapatkan 0.

Apakah mungkin untuk membagi dengan nol?

Jadi, di sini kita sampai pada pertanyaan utama. Apakah mungkin untuk membagi dengan nol? sama sekali? Dan mengapa tidak mungkin membagi angka dengan nol, mengingat bahwa semua operasi lain dengan nol sepenuhnya ada dan berlaku? Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu beralih ke matematika yang lebih tinggi.

Mari kita mulai dengan definisi konsep, apa itu nol? Guru sekolah mengklaim bahwa nol bukanlah apa-apa. Kekosongan. Artinya, ketika Anda mengatakan bahwa Anda memiliki 0 pena, itu berarti Anda tidak memiliki pena sama sekali.

Dalam matematika yang lebih tinggi, konsep "nol" lebih luas. Bukan berarti kosong sama sekali. Di sini, nol disebut ketidakpastian, karena jika Anda melakukan sedikit riset, ternyata dengan membagi nol dengan nol, kita bisa mendapatkan angka lain apa pun, yang belum tentu nol.

Tahukah Anda bahwa operasi aritmatika sederhana yang Anda pelajari di sekolah tidak begitu sama di antara mereka sendiri? Langkah paling dasar adalah penjumlahan dan perkalian.

Untuk matematikawan, konsep "" dan "pengurangan" tidak ada. Misalkan: jika tiga dikurangi dari lima, maka dua akan tetap ada. Ini adalah apa yang tampak seperti pengurangan. Namun, matematikawan akan menulisnya seperti ini:

Jadi, ternyata perbedaan yang tidak diketahui adalah angka tertentu yang perlu ditambahkan ke 3 untuk mendapatkan 5. Artinya, Anda tidak perlu mengurangi apa pun, Anda hanya perlu mencari angka yang sesuai. Aturan ini berlaku untuk penambahan.

Hal-hal yang sedikit berbeda dengan aturan perkalian dan pembagian. Diketahui bahwa perkalian dengan nol menghasilkan hasil nol. Misalnya, jika 3:0=x, maka jika Anda membalik catatan, Anda mendapatkan 3*x=0. Dan angka yang dikalikan dengan 0 akan menghasilkan nol pada hasil kali. Ternyata angka yang akan memberikan nilai apa pun selain nol dalam produk dengan nol tidak ada. Ini berarti bahwa pembagian dengan nol tidak ada artinya, yaitu sesuai dengan aturan kita.

Tetapi apa yang terjadi jika Anda mencoba membagi nol dengan dirinya sendiri? Mari kita ambil x sebagai bilangan tak tentu. Ternyata persamaan 0 * x \u003d 0. Hal ini dapat diselesaikan.

Jika kita mencoba mengambil nol daripada x, kita mendapatkan 0:0=0. Tampaknya logis? Tetapi jika kita mencoba mengambil bilangan lain selain x, misalnya 1, maka hasilnya adalah 0:0=1. Situasi yang sama akan terjadi jika Anda mengambil nomor lain dan masukkan ke persamaan.

Dalam hal ini, ternyata kita dapat mengambil angka lain sebagai faktor. Hasilnya akan menjadi jumlah tak terbatas dari nomor yang berbeda. Terkadang, bagaimanapun, pembagian dengan 0 dalam matematika yang lebih tinggi masuk akal, tetapi biasanya ada kondisi tertentu yang menyebabkan kita masih dapat memilih satu angka yang sesuai. Tindakan ini disebut "pengungkapan ketidakpastian". Dalam aritmatika biasa, pembagian dengan nol akan kembali kehilangan artinya, karena kita tidak akan dapat memilih satu angka pun dari himpunan.

Penting! Nol tidak dapat dibagi dengan nol.

Nol dan tak terhingga

Infinity sangat umum dalam matematika yang lebih tinggi. Karena tidak penting bagi anak sekolah untuk mengetahui bahwa masih ada operasi matematika dengan tak terhingga, guru tidak dapat menjelaskan dengan tepat kepada anak-anak mengapa tidak mungkin membagi dengan nol.

Siswa mulai mempelajari rahasia matematika dasar hanya di tahun pertama institut. Matematika yang lebih tinggi menyediakan serangkaian besar masalah yang tidak memiliki solusi. Masalah yang paling terkenal adalah masalah dengan tak terhingga. Mereka dapat diselesaikan dengan analisis matematika.

Anda juga dapat mendaftar ke infinity operasi matematika dasar: penjumlahan, perkalian dengan bilangan. Pengurangan dan pembagian juga umum digunakan, tetapi pada akhirnya mereka masih bermuara pada dua operasi sederhana.

Tapi apa yang akan jika kamu mencoba:

• Kalikan tak terhingga dengan nol. Secara teori, jika kita mencoba mengalikan bilangan apa pun dengan nol, kita akan mendapatkan nol. Tapi infinity adalah kumpulan angka yang tidak terbatas. Karena kita tidak dapat memilih satu angka dari himpunan ini, ekspresi *0 tidak memiliki solusi dan sama sekali tidak berarti.
• Nol dibagi tak terhingga. Ini adalah cerita yang sama seperti di atas. Kami tidak dapat memilih satu angka, yang berarti kami tidak tahu harus membagi apa. Ekspresinya tidak masuk akal.

Penting! Infinity sedikit berbeda dari ketidakpastian! Infinity adalah jenis ketidakpastian.

Sekarang mari kita coba membagi tak terhingga dengan nol. Tampaknya harus ada ketidakpastian. Tetapi jika kita mencoba mengganti pembagian dengan perkalian, kita mendapatkan jawaban yang sangat pasti.

Misalnya: /0=∞*1/0= *∞ = .

Ternyata seperti ini paradoks matematika.

Mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol?

Eksperimen pikiran, coba bagi dengan nol

Keluaran

Jadi, sekarang kita tahu bahwa nol tunduk pada hampir semua operasi yang dilakukan dengan, kecuali untuk satu operasi. Anda tidak dapat membagi dengan nol hanya karena hasilnya adalah ketidakpastian. Kami juga belajar bagaimana beroperasi pada nol dan tak terhingga. Hasil dari tindakan tersebut akan menjadi ketidakpastian.

Turunan fungsi tidak jatuh jauh, dan dalam kasus aturan L'Hopital, turun tepat di tempat fungsi aslinya jatuh. Keadaan ini membantu dalam mengungkapkan ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞ dan beberapa ketidakpastian lain yang muncul dalam perhitungan. membatasi rasio dua fungsi yang sangat kecil atau sangat besar. Perhitungannya sangat disederhanakan oleh aturan ini (sebenarnya ada dua aturan dan catatan tentangnya):

Seperti yang ditunjukkan oleh rumus di atas, ketika menghitung limit rasio dua fungsi yang sangat kecil atau besar tak hingga, limit rasio dua fungsi dapat diganti dengan limit rasionya. turunan dan dengan demikian mendapatkan hasil tertentu.

Mari kita beralih ke formulasi yang lebih tepat dari aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital untuk Kasus Limit Dua Nilai Tak Berhingga. Biarkan fungsi F(x) Dan G(x Sebuah. Dan pada intinya Sebuah Sebuah turunan fungsi G(x) tidak sama dengan nol ( G"(x Sebuah sama satu sama lain dan sama dengan nol:

.

Aturan L'Hôpital untuk kasus limit dua besaran tak terhingga. Biarkan fungsi F(x) Dan G(x) memiliki turunan (yaitu, mereka dapat diturunkan) di beberapa lingkungan titik Sebuah. Dan pada intinya Sebuah mereka mungkin atau mungkin tidak memiliki turunan. Apalagi, di sekitar titik Sebuah turunan fungsi G(x) tidak sama dengan nol ( G"(x)≠0 ) dan limit fungsi-fungsi ini karena x cenderung ke nilai fungsi di titik Sebuah sama satu sama lain dan sama dengan tak terhingga:

.

Maka limit rasio fungsi-fungsi ini sama dengan limit rasio turunannya:

Dengan kata lain, untuk ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞, limit rasio dua fungsi sama dengan limit rasio turunannya, jika yang terakhir ada (hingga, yaitu sama dengan a jumlah tertentu, atau tak terbatas, yaitu sama dengan tak terhingga).

Perkataan.

1. Aturan L'Hopital juga berlaku ketika fungsi F(x) Dan G(x) tidak terdefinisi pada x = Sebuah.

2. Jika, saat menghitung limit rasio turunan fungsi F(x) Dan G(x) kita kembali ke ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞, maka aturan L'Hopital harus diterapkan berulang kali (setidaknya dua kali).

3. Aturan L'Hopital juga berlaku jika argumen fungsi (x) cenderung ke bilangan tak berhingga Sebuah, dan hingga tak terhingga ( x → ∞).

Ketidakpastian tipe lain juga dapat direduksi menjadi ketidakpastian tipe 0/0 dan /∞.

Pengungkapan ketidakpastian jenis "nol dibagi nol" dan "tak terhingga dibagi tak terhingga"

Contoh 1

x=2 mengarah ke ketidakpastian bentuk 0/0. Oleh karena itu, turunan dari setiap fungsi dan kami mendapatkan

Di pembilang, turunan polinomial dihitung, dan di penyebut - turunan dari fungsi logaritma kompleks. Sebelum tanda sama dengan terakhir, yang biasa membatasi, mengganti deuce bukan x.

Contoh 2 Hitung limit rasio dua fungsi menggunakan aturan L'Hospital:

Larutan. Substitusi ke fungsi nilai yang diberikan x

Contoh 3 Hitung limit rasio dua fungsi menggunakan aturan L'Hospital:

Larutan. Substitusi ke fungsi nilai yang diberikan x=0 mengarah ke ketidakpastian bentuk 0/0. Oleh karena itu, kami menghitung turunan dari fungsi dalam pembilang dan penyebut dan mendapatkan:

Contoh 4 Menghitung

Larutan. Mensubstitusikan nilai x sama dengan plus tak terhingga ke dalam fungsi yang diberikan menghasilkan ketidaktentuan bentuk /∞. Oleh karena itu, kami menerapkan aturan L'Hopital:

Komentar. Mari kita beralih ke contoh di mana aturan L'Hopital harus diterapkan dua kali, yaitu, untuk mencapai batas rasio turunan kedua, karena batas rasio turunan pertama adalah ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞.

Pengungkapan ketidakpastian dalam bentuk "nol dikalikan dengan tak terhingga"

Contoh 12. Menghitung

.

Larutan. Kita mendapatkan

Contoh ini menggunakan identitas trigonometri.

Pengungkapan ketidakpastian jenis "nol pangkat nol", "tak terhingga pangkat nol" dan "satu pangkat tak terhingga"

Ketidakpastian bentuk , atau biasanya direduksi menjadi bentuk 0/0 atau /∞ menggunakan logaritma fungsi bentuk

Untuk menghitung limit ekspresi, seseorang harus menggunakan identitas logaritma, kasus khusus yang merupakan properti dari logaritma .

Menggunakan identitas logaritma dan sifat kontinuitas fungsi (untuk melampaui tanda limit), limit harus dihitung sebagai berikut:

Secara terpisah, seseorang harus menemukan batas ekspresi dalam eksponen dan bangun e ke tingkat yang ditemukan.

Contoh 13

Larutan. Kita mendapatkan

.

.

Contoh 14 Hitung menggunakan aturan L'Hopital

Larutan. Kita mendapatkan

Hitung batas ekspresi dalam eksponen

.

.

Contoh 15 Hitung menggunakan aturan L'Hopital

Jika suatu bilangan dibagi tak terhingga, apakah hasil bagi cenderung nol? Lanjut ke dalam dan dapatkan jawaban yang lebih baik

Jawaban dari Olenka[pemula]
semua 0
Kulit Krab
Peramal
(56636)
Tidak. tepat nol. Karena pembagi cenderung tak terhingga, hasil bagi cenderung nol. Dan, jika kita membagi bukan dengan angka yang cenderung tak terhingga, tetapi dengan tak terhingga itu sendiri (omong-omong, lebih tepatnya, itu tidak secara resmi dianggap sebagai angka sama sekali, tetapi dianggap sebagai simbol khusus yang melengkapi penunjukan angka) - tepat nol.

Jawaban dari Jugeus Vladimir[guru]
Bahkan membagi nol, bahkan dikalikan dengan angka berapa pun, tetap akan menjadi nol!

Jawaban dari 1 23 [guru]
jika beberapa jenis omong kosong cenderung nol, maka mengalikannya dengan sesuatu yang terbatas (angka atau fungsi terbatas) tidak menyakitkan, karena all-rna cenderung nol.
tetapi jika Anda mengalikannya dengan sesuatu yang cenderung tidak ada habisnya, maka mungkin ada pilihan.

Jawaban dari Kulit Krab[guru]
Membagi bilangan apa pun dengan tak terhingga menghasilkan nol. Tepat nol, tidak ada "menjadi nol". Dan kemudian, dengan angka berapa pun Anda mengalikannya, nol. Dan hasil membagi nol dengan angka apa pun selain nol akan menjadi nol, hanya saat membagi nol dengan nol, hasilnya tidak ditentukan, karena angka apa pun akan cocok sebagai hasil bagi.

Metode untuk memecahkan batas. Ketidakpastian.
Urutan pertumbuhan fungsi. Metode penggantian

Contoh 4

Temukan batasnya

Ini adalah contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself. Dalam contoh yang diusulkan, sekali lagi, ketidakpastian (tingkat pertumbuhan yang lebih tinggi daripada akar).

Jika "x" cenderung "minus tak terhingga"

Hantu "minus infinity" telah lama melayang di artikel ini. Pertimbangkan batas dengan polinomial di mana . Prinsip dan metode penyelesaiannya akan sama persis seperti di bagian pertama pelajaran, dengan pengecualian sejumlah nuansa.

Pertimbangkan 4 chip yang akan diperlukan untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis:

1) Hitung limitnya

Nilai limit hanya bergantung pada istilah karena memiliki urutan pertumbuhan tertinggi. Jika kemudian modulo besar tak terhingga bilangan negatif pangkat GENAP, dalam hal ini - di keempat, sama dengan "ditambah tak terhingga": . Konstanta ("dua") positif, makanya:

2) Hitung limitnya

Ini gelar senior lagi bahkan, makanya : . Tapi ada "minus" di depan ( negatif konstanta –1), oleh karena itu:

3) Hitung limitnya

Nilai limit hanya bergantung pada . Seperti yang Anda ingat dari sekolah, "minus" "muncul" dari tingkat ganjil, jadi modulo besar tak terhingga angka negatif ke kekuatan ODD sama dengan "minus infinity", dalam hal ini: .
Konstanta ("empat") positif, cara:

4) Hitung limitnya

Orang pertama di desa memiliki lagi aneh gelar, apalagi, di dada negatif konstan, yang artinya: Jadi:
.

Contoh 5

Temukan batasnya

Menggunakan poin di atas, kami menyimpulkan bahwa ada ketidakpastian di sini. Pembilang dan penyebutnya mempunyai urutan pertumbuhan yang sama, artinya pada suatu bilangan akan diperoleh suatu bilangan berhingga. Kami mempelajari jawabannya dengan membuang semua benih:

Solusinya sepele:

Contoh 6

Temukan batasnya

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Dan sekarang, mungkin kasus yang paling halus:

Contoh 7

Temukan batasnya

Mempertimbangkan istilah senior, kami sampai pada kesimpulan bahwa ada ketidakpastian di sini. Pembilangnya memiliki tingkat pertumbuhan yang lebih tinggi daripada penyebutnya, jadi kita dapat langsung mengatakan bahwa batasnya adalah tak terhingga. Tapi apa jenis tak terhingga, "plus" atau "minus"? Penerimaannya sama - dalam pembilang dan penyebut kita akan menyingkirkan hal-hal kecil:

Kami memutuskan:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Contoh 15

Temukan batasnya

Ini adalah contoh do-it-yourself. Contoh perkiraan penyelesaian di akhir pelajaran.

Beberapa contoh yang lebih menarik tentang topik substitusi variabel:

Contoh 16

Temukan batasnya

Mengganti satu ke dalam hasil limit dalam ketidakpastian. Penggantian variabel sudah disarankan, tetapi pertama-tama kita mengubah garis singgung menggunakan rumus. Memang, mengapa kita membutuhkan tangen?

Perhatikan bahwa , oleh karena itu . Jika tidak sepenuhnya jelas, lihat nilai sinusnya tabel trigonometri. Jadi, kami segera menyingkirkan faktornya , selain itu, kami mendapatkan ketidakpastian yang lebih akrab 0.0. Alangkah baiknya jika limit kita juga cenderung nol.

Mari kita ganti:

Jika kemudian

Di bawah kosinus kita memiliki "x", yang juga perlu diekspresikan melalui "te".
Dari penggantian kami nyatakan: .

Kami menyelesaikan solusinya:

(1) Melakukan substitusi

(2) Perluas tanda kurung di bawah kosinus.

(4) Untuk mengatur batas indah pertama, artifisial kalikan pembilang dengan dan kebalikan dari .

Tugas untuk solusi independen:

Contoh 17

Temukan batasnya

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Ini adalah tugas sederhana di kelas mereka; dalam praktiknya, semuanya lebih buruk, dan, selain itu rumus pengurangan, seseorang harus menggunakan yang berbeda rumus trigonometri, serta trik lainnya. Dalam artikel Batas Kompleks, saya menganalisis beberapa contoh nyata =)

Menjelang liburan, kami akhirnya akan mengklarifikasi situasi dengan satu lagi ketidakpastian umum:

Penghapusan ketidakpastian "satu dengan kekuatan tak terhingga"

Ketidakpastian ini "dilayani" batas luar biasa kedua, dan di bagian kedua pelajaran itu, kita melihat dengan sangat rinci contoh-contoh standar solusi yang ditemukan dalam praktik di banyak kasus. Sekarang gambar dengan peserta pameran akan selesai, di samping itu, tugas akhir pelajaran akan dikhususkan untuk batas- "trik" di mana tampaknya perlu untuk menerapkan batas indah ke-2, meskipun ini sama sekali bukan kasus.

Kerugian dari dua rumus kerja batas indah ke-2 adalah bahwa argumen harus cenderung "ditambah tak terhingga" atau ke nol. Tapi bagaimana jika argumennya cenderung ke angka yang berbeda?

Rumus universal datang untuk menyelamatkan (yang sebenarnya merupakan konsekuensi dari batas luar biasa kedua):

Ketidakpastian dapat dihilangkan dengan rumus:

Di suatu tempat seperti saya sudah menjelaskan apa yang dimaksud dengan tanda kurung siku. Tidak ada yang istimewa, tanda kurung hanyalah tanda kurung. Biasanya mereka digunakan untuk menyoroti notasi matematika dengan jelas.

Mari kita soroti poin-poin penting dari rumus tersebut:

1) Ini tentang hanya tentang ketidakpastian dan tidak ada yang lain.

2) Argumen "x" dapat cenderung nilai sewenang-wenang(dan tidak hanya ke nol atau ), khususnya, ke "minus infinity" atau ke siapa pun nomor akhir.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan semua contoh pelajaran Batas Luar Biasa, yang termasuk dalam batas indah ke-2. Misalnya, mari kita hitung limitnya:

Pada kasus ini , dan menurut rumus:

Benar, saya tidak menyarankan Anda untuk melakukan ini, dalam tradisi, Anda masih menggunakan desain solusi "biasa", jika itu dapat diterapkan. tetapi menggunakan rumus sangat mudah untuk diperiksa contoh "klasik" hingga batas ke-2 yang luar biasa.