Kursus Pilihan dalam Matematika "Nilai Absolut". Bagian Portal Pendidikan III. Rencana pendidikan dan tematik

Persamaan dan sistem mereka berisi tanda nilai absolut
(Pengembangan metodis)

Paragraf 1. Informasi dasar.

Klausul 1. Penentuan nilai absolut dari jumlah tersebut. Solusi dari persamaan paling sederhana.

Kenalan dengan konsep nilai absolut dari jumlah (modul angka) lebih baik untuk memulai dengan interpretasi geometrisnya: dalam geometri, modul adalah jarak dari titik yang menggambarkan angka yang diberikan pada sumbu numerik atau bidang koordinat sebelum koordinat. Dengan demikian, angka 5 terletak pada sumbu numerik ke kanan nol, dan angka -5 di sebelah kiri nol, tetapi jarak dari titik-titik yang menggambarkan angka-angka ini sebelum koordinat sama dan sama dengan 5. Nilai dari nilai absolut dari angka A ditunjukkan oleh tanda kurung :.
Mari kita jelaskan definisi geometris modul secara grafis:

Dengan demikian, penentuan aljabar dari modul nilai tertentu didirikan:

.
Kami sekarang mempertimbangkan yang paling sederhana (tetapi penting untuk memahami material) dari persamaan, termasuk tanda nilai absolut. Di bawah kami memahami beberapa ekspresi aljabar yang berisi variabel yang tidak diketahui.

A. Escapes dari spesies, di mana A adalah angka yang diberikan. (satu)
Kami mengklarifikasi masalah berdiri di hadapan kami: Jika X adalah beberapa solusi persamaan (1), maka, menurut definisi geometris modul, titik f pada lurus numerik terletak pada jarak A dari asal dari koordinat. Oleh karena itu, jika A0, kami memiliki dua poin yang diinginkan: F1 \u003d -A, F2 \u003d A.

Jadi, persamaan (1): dengan A0 memiliki solusinya untuk solusi persamaan dan.
Secara singkat pernyataan terakhir dicatat seperti ini:

Ini dibaca: berbagai solusi persamaan di A\u003e 0 ada kombinasi set solusi persamaan dan.

Contoh 1. Memecahkan persamaan: a); b); di) ; d).

Solusi:
a) .
Jawaban: X1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

B) \u003d\u003e tidak ada solusi, karena Modul (nilai absolut) dari segala nilai tidak dapat negatif.
Jawab: Tidak ada solusi.

C) .
Jawaban: X1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

D) .
Jawaban: X1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Contoh 2. Memecahkan persamaan: a); b).

Solusi:
a) Menurut (1) dalam hal ini \u003d, mis. f (x) ≥2. Oleh karena itu, persamaan tidak memiliki solusi.
Jawab: Tidak ada solusi.

Jawaban: X1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

B. Persamaan formulir (2) dan (3).
Karena modul ekspresi apa pun adalah non-negatif, oleh karena itu, jika X adalah solusi persamaan (2), sisi kanan persamaan ini adalah nonnegatif, I.E. . Tetapi kemudian di sisi kiri persamaan yang sama dengan definisi adalah sama. Kesimpulan: Dengan kondisi wajib, kami datang ke identitas, sehingga solusi ketidaksetaraan akan pada saat yang sama solusi persamaan (2).
Berdebat dengan cara yang sama, kami memperoleh bahwa semua solusi ketimpangan adalah solusi persamaan (3).

Contoh 3. Memecahkan persamaan: a); b); di) .
Solusi:
a) .
Menjawab:.

B) .
Menjawab:.

C. Persamaan bentuk (4).
Jika X adalah solusi persamaan (4), maka, sesuai dengan definisi geometris dari modul, jarak pada garis lurus numerik dari titik F dan G sama dengan awal koordinat, I.E. Atau poin f dan g bertepatan (kami memiliki :), atau simetris satu sama lain relatif terhadap awal koordinat (kami punya :). karena itu

Sebagai spesial, persamaan harus disebutkan.
Solusi persamaan ini adalah X, di mana ekspresi didefinisikan.

Contoh 4. Memecahkan persamaan: a); b); di) ; d).

Solusi:

A) Persamaan ini adalah persamaan spesies di mana. Fungsi ini ditentukan dengan X yang valid, jadi X - apapun.
Jawab: X - apapun.

B) .
Menjawab:.

C) .
.
Menjawab:.

Catatan: Karena , kedua bagian dari persamaan (4) dapat didirikan ke dalam kotak, membebaskan dari modul, dan di antara akar persamaan yang dihasilkan tidak akan "ekstra" bagi kita.
Misalnya: di mana kita dapatkan.

D. Lihat persamaan. (lima)
Kami memiliki: jumlahnya non-negatif dengan definisi ekspresi adalah nol. Akibatnya, masing-masing komponen harus nol. Karena Kemudian dan hanya ketika, dan kemudian dan hanya jika, oleh karena itu, persamaan (5) setara dengan sistem :.
Pecahkan sistem ini rasional sebagai berikut: memilih dari persamaan yang lebih sederhana, temukan solusi TI dan periksa untuk kepatuhan dengan seluruh sistem substitusi hingga sisa persamaan.

Contoh 5. Memecahkan persamaan: a);
b).

Solusi:

TAPI)
Kami mengganti secara bergantian x \u003d -1 dan x \u003d 1 dalam persamaan pertama, kami memperoleh bahwa kedua persamaan sistem dibuat hanya pada x \u003d -1.
Jawab: x \u003d -1.

B) Persamaan ini adalah sistem yang setara (setara):

Jawab: x \u003d -2.
Paragraf 2. Metode Interval. Solusi dari sistem yang paling sederhana.

Biarkan perlu untuk menyelesaikan persamaan. Menurut definisi aljabar dari modul:

Dengan demikian, titik X \u003d 2 membagi sumbu numerik menjadi dua interval, pada masing-masing kurung modular di atas ekspresi X-2 diungkapkan dengan cara yang berbeda:

Oleh karena itu, solusi persamaan awal dikurangi menjadi pertimbangan yang konsisten dari dua situasi yang mungkin:
a) Misalkan X adalah solusi dari persamaan awal, dan.
Kemudian kita memiliki:, yang sesuai dengan kondisi a). Oleh karena itu, ini adalah solusi untuk persamaan asli.
b) Misalkan X adalah solusi dari persamaan awal, dan
Lalu kita punya: itu tidak sesuai dengan kondisi b). Oleh karena itu, ini bukan solusi untuk persamaan aslinya.
Persamaan yang dipertimbangkan memiliki satu-satunya root :.

Terutama metode interval berguna jika ada beberapa kurung modular dalam persamaan. Satu-satunya kesulitan adalah menentukan urutan tindakan yang jelas, sehingga sangat disarankan untuk mengikuti rencana berikut:

1) Tentukan semua nilai yang tidak diketahui, di mana ekspresi di bawah tanda-tanda modul berubah menjadi nol atau menjadi tidak pasti, dan mencatat poin yang diperoleh pada sumbu numerik.
2) Memecahkan persamaan awal pada masing-masing interval numerik yang diidentifikasi.
3) Gabungkan solusi yang ditemukan dalam jawaban keseluruhan.

Ini berguna pada akhir tahap pertama untuk disingkirkan, sebagai persis tergantung pada posisi sumbu yang tidak diketahui pada sumbu numerik, setiap kurung modular terungkap.

Latihan: Pengungkapan braket modular dalam ekspresi.
Pertama, kami mempertimbangkan tanda kurung internal: dengan, jadi kami perhatikan pada titik sumbu numerik.
Kemudian kami mempertimbangkan tanda kurung eksternal: menyelesaikan persamaan (solusi dilakukan di atas metode interval:

Persamaan pertama tidak memiliki akar, dan kendali kedua adalah angka 1 dan -1, tetapi x \u003d 1 tidak memenuhi kondisinya).
Selanjutnya, pilih arbitrary x, lebih -1, misalnya, x \u003d 0, kami memastikan bahwa pada x\u003e -1; Memilih x arbitrer, kurang -1, misalnya, x \u003d -2, pastikan bahwa ketika x

Akibatnya, sumbu numerik bertanda poin x \u003d -1 dan x \u003d 0. Pada masing-masing celah yang dihasilkan, modul dalam ekspresi awal diungkapkan oleh "rantai" (*):

Kapan;
kapan;
di.

Contoh Persamaan 6 Desain: a); b); di) ; d).
Solusi:

A) saya panggung.
. Karena itu:
.

Tahap II.
1) Maka maka persamaan awal akan mengambil formulir :.

2). Kemudian, oleh karena itu, persamaan awal akan mengambil formulir: yang tidak sesuai dengan segmen yang dipertimbangkan, oleh karena itu pada kesenjangan ini tidak memiliki persamaan akar.
3) Maka maka persamaan awal akan mengambil formulir: yang sesuai dengan semi-interval yang dipertimbangkan, oleh karena itu persamaan awal.
AKU AKU.
Dalam interval numerik pertama dan kedua, persamaan solusi tidak memiliki solusi. Yang ketiga menerima keputusan.
Menjawab:.

B) Tahap.
Karena itu:

Kami memiliki celah numerik berikut:

Tahap II.
1) maka karena itu persamaan awal akan mengambil formulir:
Diperlukan kesetaraan numerik yang tepat, sehingga salah satu dari interval adalah solusi dari persamaan asli!
2). Kami memiliki, membuka modul sesuai dengan hasil tahap pertama: yang sesuai dengan segmen yang dipertimbangkan, oleh karena itu ada solusi dari persamaan asli.
3) mengungkapkan modul:
Kesetaraan numerik yang salah, oleh karena itu, pada semi-interval ini, persamaan akar awal tidak ada.

AKU AKU.
Pada interval pertama:
Di Gap Kedua:
Dalam interval ketiga: tidak ada solusi.
Hasil:
Menjawab:

C) Tahap.
Pertama, kami mempertimbangkan modul "internal", maka "eksternal":
1) x \u003d 0 pada x \u003d 0 \u003d\u003e
2)
Persamaan ini harus diselesaikan secara terpisah. Kami mencatat pada saat yang sama bahwa celah numerik yang harus dipertimbangkan sudah diketahui (lihat (*)):
Ketika kami tidak memiliki solusi
kapan kita punya
Tapi x1 tidak mematuhi kondisinya.
Jadi ,.
Ekspresi yang sama positif pada (misalnya, x \u003d 10 :) dan negatif pada (misalnya, x \u003d 1 :). Karena itu:

Kami memiliki celah numerik berikut:

Tahap II.
Pada setiap interval, pertama-tama kami mengungkapkan tanda kurung modular eksternal, kemudian internal.
1) .
:, Apa yang sesuai dengan interval yang sedang dipertimbangkan, oleh karena itu ada solusi dari persamaan asli.
2) .
: .
Periksa korespondensi segmen yang ditentukan yang ditemukan oleh akar: - Jelas, periksa sekarang, apakah rasio dilakukan

Jelas, mis. Ini adalah akar yang asing.
3) .
:. Kami memeriksa tugas yang dihasilkan ke setengah interval yang ditentukan: adalah akar dari persamaan asli.

AKU AKU.
;
;
.
Menjawab:.

D) Fitur persamaan ini adalah adanya nilai yang tidak diketahui dalam denomoter penyebut, sehingga perlu pada setiap celah numerik untuk menemukan area menentukan persamaan (oou).

Kami memiliki dua interval semi:

Tahap II.
1) Mengungkapkan modul dan menyederhanakan, kami memperoleh persamaan.
OO:. Dengan dari OO, jelas, kita mendapatkan kesetaraan yang setia, jadi Keputusan dari persamaan sumber semuanya.
2) Mengungkap modul dan menyederhanakan, kami memperoleh persamaan OO :. Kemudian, yang sesuai dengan semi-interval yang dipertimbangkan, oleh karena itu ada solusi dari persamaan asli.

Menjawab:.

B. Solusi sistem persamaan sederhana yang mengandung nilai absolut, seharusnya tidak menyebabkan kesulitan: sebagai aturan, sudah cukup untuk menggunakan siswa yang dikenal untuk metode substitusi.

Contoh 7. Memecahkan Sistem Persamaan:
a b c d)

Solusi:
a) Dari persamaan pertama sistem yang kita dapatkan:
Kemudian, setelah substitusi (*), persamaan kedua akan mengambil formulir:
.
Menurut (*): kapan.
Menjawab:

B) Dari persamaan pertama dari sistem yang kita dapatkan:
.
Dengan dari persamaan kedua dari sistem yang kita dapatkan
Sesuai, x \u003d 2.
Dengan dari persamaan kedua dari sistem kita mendapatkan y \u003d -5.
Menjawab:.

C) dari persamaan kedua dari sistem yang kita dapatkan:
.
Dengan dari persamaan pertama yang kita dapatkan.
Dengan dari persamaan pertama yang kita dapatkan; Demikian,.
Menjawab:.

D) Dalam hal ini, lebih mudah menggunakan metode penambahan, dan untuk menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, metode interval.
.

1) Kami mendapatkan solusi no;
2) kita dapatkan.
Kesimpulan: Dan sekarang kita dapatkan dari persamaan pertama.
Menjawab:.

Klausul 3. Metode Solusi Rasional: Pertimbangan geometris dan aljabar yang paling sederhana, generalisasi metode interval, menggantikan variabel.

A. Beberapa persamaan sederhana memungkinkan interpretasi geometris yang jelas, solusinya sangat disederhanakan - interval numerik "tidak cocok" segera dikecualikan dari pertimbangan.
Kami pertama-tama menunjukkan bahwa secara geometris ada jarak antara titik sumbu numerik yang menggambarkan angka dan. Untuk melakukan ini, pada sumbu numerik, di mana koordinat pada titik sudah ditandai dan bergerak. Koordinat poin akan berubah:

Jarak antara titik dan ini, sesuai dengan sistem referensi baru, jarak antara titik-titik dan, I.E.

Contoh 8. Memecahkan persamaan: a) b) c) d) d).

Solusi:
a) Diperlukan untuk menunjukkan pada sumbu numerik seperti X bahwa jumlah jarak dari X ke 1 dan dari X ke 3 sama dengan 3 unit. Jarak antara 1 dan 3 adalah 2 unit., Oleh karena itu (sebaliknya). Ternyata X terletak pada ke kiri 1, atau di sebelah kanan 3 - pada jarak tertentu dari mereka, dan bagaimanapun juga. Karena itu, dari mana.

Sekarang dengan mudah ada dua nilai x.
Menjawab:.
b) Diperlukan untuk menunjukkan pada sumbu numerik seperti titik 2x, jarak dari 2x ke -2 lebih dari jarak dari 2x hingga 7 hingga 9,12 unit.
Jika perbedaan dalam pertanyaan selalu sama dengan -9;
Jika perbedaan dalam pertanyaan selalu sama dengan 9;
Jika perbedaan dalam pertanyaan kurang dari atau sama dengan 9.
Biarkan, misalnya:

Kemudian.
Jawab: Tidak ada solusi.

C) Tulis ulang persamaan dalam formulir. Oleh karena itu, X yang diinginkan terletak tiga kali lebih dekat ke 3 dari 2:

\u003d\u003e Tidak ada solusi, karena X selalu lebih dekat ke 2 dari k 3;
"Di mata" ,;
\u003d\u003e "Di mata" ,.
Menjawab:.

D) Contoh ini menunjukkan bahwa sangat berguna untuk "secara ketat" memecah sumbu numerik ke interval (tanpa "tumpang tindih" dari spesies):

Tidak ada solusi;
(sesuai dengan semi-interval yang sedang dipertimbangkan);
Tidak ada solusi.
Menjawab:.

E) Mari kita mulai menggunakan metode interval:

Saya perhatikan sekarang ketika dan di luar segmen ini. Oleh karena itu masuk akal mengingat persamaan hanya pada segmen ini, dan kita dapatkan :. Jelas, x \u003d 2.
Menjawab:.

B. Mempelajari nilai-nilai nilai-nilai bagian kanan dan kiri persamaan, sering kali dimungkinkan untuk menyederhanakan keputusan solusi, tidak termasuk nilai-nilai yang jelas tidak sesuai dari yang tidak diketahui.

Contoh 9. Memecahkan persamaan: a) b) c) d).

Solusi:

A) Bagian kiri dari persamaan adalah non-negatif pada x apa pun, dan di bagian kanan - angka negatif.
Jawab: Tidak ada solusi.

B) Bagian kiri persamaan adalah non-negatif pada X, oleh karena itu, jika X adalah solusi, maka sisi kanan juga tidak negatif. Jadi cukup untuk mempertimbangkan hanya arti dari X dari daerah itu. Tetapi kemudian mereka menerima kesetaraan yang salah.
Jawab: Tidak ada solusi.
c) Ekspresi positif untuk X, sehingga kurung modular eksternal dapat dihapus. Selain itu, jika x adalah solusi, maka sisi kanan juga positif, oleh karena itu sudah cukup untuk mempertimbangkan x dari daerah. Lalu kita dapatkan (sesuai dengan area).
Menjawab:.

D) jumlah dari dua istilah non-negatif sama dengan 1, jika masing-masing komponen tidak melebihi unit: karena ternyata pada bagian yang ditentukan jika, maka jelas bahwa itu tidak cocok untuk kita. Karena itu, jika X adalah solusi, lalu. Dan pada setengah interval yang kita dapatkan
Jelas bahwa - akar yang asing.
Menjawab:.

C. Pertimbangkan persamaan formulir (1)
Memecahkan persamaan ini dengan interval, kami memperoleh persamaan untuk celah-celah di mana persamaan untuk celah di mana. Jelas bahwa tidak masuk akal untuk mempertimbangkan setiap celah secara terpisah, sudah cukup untuk membaginya menjadi dua kelompok yang ditentukan: untuk masing-masing perlu untuk menyelesaikan persamaan yang sesuai dan memeriksa akar yang diperoleh untuk kepatuhan dengan kondisi yang ditugaskan. Lewat sini

Opsi lain adalah mungkin: jelas bahwa di antara solusi persamaan akar sebenarnya dari persamaan (1) akan berada di bawah yang melakukan argumen serupa untuk kasus yang kita dapatkan

Manakah dari opsi yang dipilih, tergantung pada jenis fungsi, misalnya, jika solusi persamaan lebih mudah untuk menggantikan, maka masuk akal untuk menerapkan metode pertama.

Contoh 10. Memecahkan Persamaan: a)
b) c).

Solusi:

A) Misalkan
Kemudian miliki
Seharusnya
Maka kami tidak memiliki solusi.
Periksa sekarang akar yang diperoleh. Saya menulis ulang persamaan aslinya:
. Karena kedua root benar.
Menjawab:

B) Misalkan
Maka kami tidak memiliki solusi.
Seharusnya
Kemudian miliki
Untuk menentukan kebenaran akar-akar ini, kami akan memeriksa pemenuhan kondisi: Jelas, akar outsider. Untuk memeriksa, cari tahu apakah benar itu. Karena itu, ketidaksetaraan yang dipertimbangkan tidak terpenuhi.
Jawab: Tidak ada solusi.

C) Penulisan ulang persamaan: Kami menggunakan ilustrasi grafis berikut: (Grafik disajikan di sini dan).

Sekarang jelas bahwa celah numerik yang dihasilkan harus digabungkan menjadi tiga kelompok berikut:
satu) . Kami mendapatkan (sesuai dengan kondisi yang ditetapkan).
2) Menerima
Tidak ada solusi.
3) Menerima
Tidak ada solusi.
Menjawab:.

D. Metode penggantian beberapa ekspresi variabel huruf baru sudah dikenal. Itu hanya dapat dilihat bahwa ketika memecahkan persamaan yang mengandung modul, sering kali mungkin untuk segera membatasi rentang perubahan dalam variabel baru.
Contoh 11. Memecahkan persamaan atau sistem persamaan: a);
b);
di)

Solusi:
a) Mengganti variabel baru Kami memperoleh sistem yang berarti bahwa akar persamaan diperoleh.
Menjawab:.

B) Mengganti ekspresi variabel baru yang kita dapatkan persamaan. Kita mendapatkan:
. Masih menyelesaikan persamaan ini.
Menjawab:.

C) Tulis ulang persamaan dalam formulir:
Jelas, dua opsi dimungkinkan:
1)
2) Ganti variabel baru. Perhatikan bahwa dalam arti penggantian dan menurut OST dari persamaan ini, I.E. (*) Dan persamaan akan mengambil formulir. Seperti yang kita dapatkan
Mempertimbangkan (*), kami akhirnya mendapatkannya
Jadi, ganti, kita dapatkan
Karena dalam arti penggantian, kita dapatkan

Kontrol tugas ke §1.
1) Putuskan, gunakan definisi modul nomor:
a) b) c) d) d) e) g) h) dan) untuk).

2) memutuskan persamaan "standar":
a) b) c) d) d) e) g) h) dan).

3) Tentukan metode interval:
a) b); c) d) e) g) h) dan) k) l) m) n) o) p) p) t) y) f) x)

4) memutuskan cara rasional:
a) b) c) d) d) e) g) h) dan) k) l) m) n)

5) memutuskan sistem persamaan:
a) b) c) d) d) e) g) h) k) l) m) n) p) p) p)

Tugas untuk Membangun Grafik "Modul" Fungsi dan tugas dengan parameter secara tradisional merupakan salah satu topik matematikawan paling sulit, sehingga selalu dimasukkan dalam tugas-tugas GIA dan EGE yang meningkat dan tinggi.

Konsep "modul" dipelajari di sekolah dari kelas 6, dan pada tingkat, hanya definisi dan perhitungan, meskipun fakta bahwa itu banyak digunakan di banyak bagian kursus sekolah matematika, misalnya, dalam studi kesalahan absolut dan relatif dari jumlah perkiraan; Dalam geometri dan fisika akan dipelajari konsep vektor dan panjangnya (modul vektor). Konsep-konsep modul berlaku dalam kursus matematika yang lebih tinggi, fisika dan ilmu teknis yang dipelajari di lembaga pendidikan yang lebih tinggi.

Ada masalah di depan lulusan - untuk berhasil melewati GIA di kelas 9, dan di masa depan dan ujian.

Tahun ini, dalam pelajaran matematika, kami bertemu dengan konsep fungsi linear dan belajar cara membangun jadwalnya. Ditunjukkan bahwa jadwal ini diambil sebagai dasar untuk konstruksi fungsi "modul". Selain itu, guru mengatakan bahwa persamaan dengan satu dan beberapa modul. Saya memutuskan untuk mempelajari topik ini lebih dalam, terutama karena dia akan berguna bagi saya saat melewati ujian.

Subyek "Metode grafis untuk memecahkan persamaan yang berisi nilai absolut"

tujuan pekerjaan : teliti kemungkinan konstruksi grafik rasional dengan modul untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul dan parameter

Periksa teori dengan memecahkan metode persamaan dengan modul.

Belajarlah untuk menyelesaikan persamaan 1 derajat yang berisi tanda nilai absolut.

Mengklasifikasikan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan.

Menganalisis keunggulan dan kerugian dari berbagai metode untuk membangun fungsi grafik "modul".

Cari tahu apa parameternya

Terapkan metode rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter

Object - Metode untuk Memecahkan Persamaan dengan Modul

Subjek metode grafis untuk memecahkan persamaan

Metode Penelitian: Teoritis dan Praktis:

teoritis adalah studi tentang literatur tentang topik penelitian; Informasi Internet;

analisis praktis dari informasi yang diperoleh dalam studi literatur, hasil yang diperoleh dalam memecahkan persamaan dengan modul dengan berbagai cara;

perbandingan cara untuk menyelesaikan persamaan masalah rasionalitas penggunaannya dalam memecahkan berbagai persamaan dengan modul.

BAB I.

Konsep dan definisi

1.1. Modul ini banyak digunakan di banyak bagian kursus sekolah matematika, misalnya, dalam studi kesalahan absolut dan relatif dari jumlah perkiraan; Dalam geometri dan fisika, konsep vektor dan panjangnya (modul vektor) dipelajari. Konsep-konsep modul berlaku dalam kursus matematika yang lebih tinggi, fisika dan ilmu teknis yang dipelajari di lembaga pendidikan yang lebih tinggi.

Kata "modul" terjadi dari kata Latin "modulus", yang berarti "ukuran". Kata ini memiliki banyak nilai dan diterapkan tidak hanya dalam matematika, fisika dan teknologi, tetapi juga dalam arsitektur, pemrograman dan ilmu akurat lainnya. Itulah istilah yang disarankan menggunakan Cotto, siswa Newton. Tanda modul diperkenalkan dalam XIX Century Weierstrass.

Dalam arsitektur, unit ukuran modul-sumber, dipasang untuk struktur arsitektur ini. Ini adalah istilah yang diterapkan di berbagai bidang teknologi yang berfungsi untuk menunjuk berbagai koefisien dan nilai, misalnya, modul pertunangan, modul. Di Matematika, modul ini memiliki beberapa nilai, tetapi saya akan menganggapnya sebagai nilai absolut dari jumlah tersebut.

Definisi : Modul (nilai absolut) dari angka yang valid tapimenyebut dirinya nomor ini jika tapi≥0, atau angka sebaliknya - tapi, jika sebuah tapi<0; modul nol adalah nol.

Modul ini jarak ke koordinat langsung dari nol ke titik.

1.2. Persamaan dengan modul adalah persamaan yang berisi variabel di bawah tanda nilai absolut (di bawah tanda modul). Memecahkan persamaannya adalah bahwa itu berarti menemukan semua akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar. Metode untuk memecahkan persamaan dengan modul:

1. Dengan mendefinisikan modul - "Melepaskan Modul". Solusinya didasarkan pada definisi.

2. Solusi metode analitik untuk persamaan menggunakan transformasi ekspresi yang termasuk dalam persamaan dan sifat-sifat modul.

3. MeetModes interval: Pengungkapan modul pada interval dan semi-interval yang dibentuk oleh modul "nolos".

4. Metode grafis. Inti dari metode ini adalah untuk membangun grafik fungsi-fungsi ini yang mewakili kiri dan kanan persamaan. Jika grafik berpotongan, absensi titik penghitungan grafik akan menjadi akar dari persamaan ini.

1.3. Metode untuk membangun fitur grafik dengan modul

1.3.1. A-priory. Dua garis lurus dibangun \u003d kx + di, di mana x\u003e 0, y \u003d -kx + di, di mana x<0

1.3.2 Metode simetri. Grafik dibangun y \u003d kx + in, pada x\u003e 0.ad garis pada x<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3. Fungsi Forming:

a) y \u003d | x x | + n grafik menggeser sumbu ordinat pada unit

b) y \u003d | x | -n grafik bergeser ke bawah sumbu ordinat

c) y \u003d | x + n | Grafik bergeser ke kiri sepanjang sumbu absistik

d) y \u003d | x -n | Jadwal bergeser ke kanan sepanjang sumbu absriss

1.3.4. Metode interval. Garis lurus koordinat dipecah pada interval dan semi-interval dengan nol modul. Selanjutnya, menggunakan definisi modul, untuk masing-masing area yang ditemukan, kami memperoleh persamaan yang perlu diselesaikan pada interval ini dan mendapatkan fungsi.

1.3.5. Metode memperluas wilayah nol. Dalam kasus ketika beberapa modul lebih nyaman untuk tidak mengungkapkan modul, tetapi untuk menggunakan pernyataan berikut: jumlah modul aljabar n. Ekspresi linier adalah fungsi linear piecewise, yang terdiri dari grafik N. +1 segmen rectilinear.

Maka jadwal dapat dibangun oleh n.+2 poin n. Yang merupakan akar ekspresi intra-module, yang lain - titik sewenang-wenang dengan absis, lebih kecil dari akar ini dan yang terakhir - dengan absis, lebih besar dari akar.

1.4. Kami memiliki persamaan aX + B \u003d C.Dalam persamaan ini h. - Tidak diketahui, a, B, C - Koefisien yang dapat mengambil berbagai nilai numerik. Koefisien yang diberikan dengan cara ini disebut parameter. Satu persamaan dengan parameter menetapkan pluralitas persamaan (untuk semua nilai parameter yang mungkin).

ini semua persamaan yang menetapkan persamaan dengan parameter aX + B \u003d C.

Pecahkan persamaan dengan parameter - yang berarti:

Untuk menentukan pada nilai parameter apa persamaan memiliki root dan berapa banyak dari mereka pada nilai parameter yang berbeda.

Temukan semua ekspresi untuk akar dan tunjukkan untuk masing-masing nilai parameter di mana ungkapan ini menentukan akar persamaan.

1.5.Kesimpulan:

Dengan demikian, ada metode berbeda untuk membangun grafik dengan modul yang harus diselidiki dengan kemungkinan penggunaan rasional mereka.

BAB II.

Analisis metode untuk membangun grafik fungsi yang berisi modul dan aplikasi

« Grafik adalah garis pembicaraan,

yang dapat menceritakan banyak hal "

M.B. Balkk.

2.1. Mempelajari jenis persamaan dengan modul, kami melihat bahwa mereka dapat dibagi menjadi beberapa jenis dan metode solusi.

Meja. Klasifikasi jenis persamaan dan metode solusi mereka.

Jenis persamaan.

Metode Keputusan

1. Melarikan diri dengan satu modul

| X. n | \u003d a

| X | n \u003d A.

1. Pada definisi modul

2. Grafis

3. Analitik

2. Esitabilitas yang berisi 2 modul

| X. n | | X. m | \u003d a

1. Pada definisi modul

2. Grafis

3. Interval Metode

4. Analitik

3. Holded Modules.

||| X. n | m || \u003d.tapi

1. Pada definisi modul

2. Grafis

Kesimpulan: Dengan demikian, klasifikasi persamaan memberi kita metode umum untuk memecahkan semua jenis persamaan - itu dengan definisi modul dan metode grafis.

2.2.Analisis konstruksi grafik.

2.2.1. Ketik 1. Building Y \u003d x |

2.2.1.1.A-priory..

1. Benar lurus y \u003d x

2. Bagian tengah langsung di x 0

3. Bunga lurus y \u003d -x

4. Bagian bagian dari garis lurus pada x<0

2.2.1.2. Metode simetri

1. Benar lurus y \u003d x

2. Tingkatkan simetri relatif terhadap sumbu abcissi pada x<0

2.2.1.3. Building Y \u003d | x -2 |

1. Benar lurus y \u003d x-2

2. Bagian tengah garis lurus pada X-2 0

3. instrumen langsung y \u003d -x + 2

4.dide bagian dari garis lurus pada x-2<0

Kesimpulan: Metode rasional simetri

2.2.2. Tipe 2.

Tugas: Bangun grafik y \u003d

2.2.2.1.Metode Interval.

1. pada
Kami mendapatkan y \u003d -x + 3 + 1-x-4; y \u003d -2x.

2. Aktif
Dapatkan \u003d -x + 3-1 + X-4; y \u003d -2.

3. Aktif
Kami mendapatkan y \u003d x-3-1 + x-4; y \u003d 2x-8

4. Tract semuanya lurus.

5.dide bagian bagian langsung pada interval

2.2.2.2.Metode perluasan wilayah nol

1. Untuk: 3 dan 1; Diperpanjang area: 2.4.0

2. Nilai ekstrak dalam: 3,1,2,4,0 Ini: -2, -2, -2, 0, 0

3. Industion poin dengan koordinat mereka dan terhubung

Kesimpulan: Metode Memperluas Wilayah Zerule Rasional

2.2.3. Ketik 3. Modul bersarang- "Matryoshka"

DAN mari kita dibangun di \u003d || x | -1 |

2.2.3.1. Menurut definisi modul

Menurut definisi modul utama, kami memiliki:

1) x\u003e 0 y \u003d | x | -1

2) H.<0 у=-|х|+1

2. "Hapus" Modul berikut:

Modul: y \u003d x-1, x\u003e 0 dan y \u003d -x + 1 x<0

y \u003d -x + 1 x\u003e 0 y \u003d x-1 x<0

3. Bangun grafik

2.2.3.2. Metode simetri

1. y \u003d | x | -1
y \u003d x-1, simetri

2. Simetri relatif terhadap ketidakhadiran sumbu bagian dari grafik, di mana x-1<0

Kesimpulan: Metode simetri rasional.

2.2.4. Kami akan mengurangi analisis hasil dalam tabel:

Pengetahuan dan kemampuan

Kekurangannya

A-priory.

Definisi modul

TAHU: Bagaimana koordinat titik langsung ditentukan

Dapat mengalokasikan bagian dari ketidaksetaraan langsung

Solusi Bulky.

Penerapan sejumlah besar pengetahuan

Ketika "menghapus" modul, Anda dapat mengizinkan kesalahan

Metode simetri

Tahu dan dapat menerapkan konversi fungsi

Membangun simetri relatif terhadap sumbu absen

Pengetahuan tentang algoritma konversi grafik

Metode Interval.

Temukan Modul Zeros

Mendefinisikan interval dan semi-interval

Mengungkapkan modul

Menghitung modul

Lakukan komponen serupa

Dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Membangun lurus

Solusi Bulky.

Banyak perhitungan dan transformasi saat menghapus nol

Butuh banyak waktu

Kebenaran untuk menentukan interval dan semi-interval

Metode Memperluas Wilayah Zerule

Temukan Modul Zeros

Dapat memperluas zerule

Dapat menghitung modul pada titik-titik ini

Dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Toleransi pengukuran dalam perhitungan

Metode Transformasi Fungsi

Ketahui algoritma konversi

Dapat membangun poin dengan koordinat mereka

Dapat menghitung koordinat poin

Dapat menerapkan algoritma konversi

Pengetahuan tentang algoritma konversi grafik

Kesimpulan: Menganalisis tabel, kami menyimpulkan bahwa metode simetri dan ekspansi wilayah Zeros adalah yang paling rasional, karena Ini berisi tindakan paling sedikit untuk dibangun, yang berarti menghemat waktu.

2.3. Mengganti metode rasional untuk membangun grafik untuk menyelesaikan persamaan dengan modul dan parameter

2.3.1. Memecahkan persamaan:

Kami membangun y \u003d
dan y \u003d 0,5s

2.Terima: -1.2.

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Berikan segmen dan sinar

2.3.2. EGE 2009. Temukan semua nilai A, dengan masing-masing persamaan
, Itu memiliki tepat 1 root. Dan \u003d 7. Dalam perjalanan pekerjaan yang dilakukan, kami berhasil mengeksplorasi dan menganalisis berbagai metode untuk membangun grafik. Sebagai hasil dari analisis dan perbandingan metode untuk membangun grafik, kesimpulan berikut diperoleh:

Terjemahan tugas aljabar dalam bahasa g.rafikov menghindari solusi besar;

Saat memecahkan persamaan yang berisi modul dan parameter, metode grafik lebih visual dan relatif lebih sederhana;

Saat membangun grafik yang berisi 2 modul dan "matryoshka" metode praktis simetri;

Meskipun metode grafis untuk memecahkan persamaan adalah perkiraan, karena Keakuratannya tergantung pada segmen tunggal yang dipilih, ketebalan pensil, sudut di mana garis berpotongan, dll., Tetapi metode ini memungkinkan kita untuk mengevaluasi jumlah akar persamaan untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter.

Mempertimbangkan bahwa salah satu tugas paling populer untuk ujian dan persamaan GIA dengan modul, fakta bahwa hasil utama adalah bahwa saya dapat menyelesaikan persamaan dengan modul dan parameter secara grafis.

Bibliografi

1. Dankova I. "Pelatihan prefektif dalam matematika", Moskow, 2006.

2. Pekerjaan ekstrakurikuler pada matematika. Alhova Z.n., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3. Matematika. Tutorial diedit oleh Muriury L.YA., Moscow Bridge, 1994.

4. Matematika. 8-9 kelas: Kumpulan kursus elektif. Masalah-2.The Compiler Auto: M.E. Kozina, Volgograd: Guru, 2007

5. Yarstresicky G.A. Tugas dengan parameter. M, 2006.