Contoh sistem pertidaksamaan persegi dengan solusi. Ketidaksetaraan persegi. Metode interval. Apa itu pertidaksamaan kuadrat

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat merata ...")

Apa "ketidaksamaan kuadrat"? Tidak ada pertanyaan!) Jika Anda mengambil setiap persamaan kuadrat dan ganti tandanya "=" (sama) dengan ikon ketidaksetaraan ( > ≥ < ≤ ≠ ), kita mendapatkan pertidaksamaan kuadrat. Sebagai contoh:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Nah, Anda mendapatkan ide ...)

Bukan tanpa alasan saya mengikat persamaan dan ketidaksetaraan di sini. Intinya adalah bahwa langkah pertama dalam memecahkan setiap pertidaksamaan kuadrat - selesaikan persamaan dari mana ketidaksetaraan ini dibuat. Untuk alasan ini, ketidakmampuan untuk memecahkan persamaan kuadrat secara otomatis menyebabkan kegagalan total dalam ketidaksetaraan. Apakah petunjuknya jelas?) Jika ada, lihat cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Semuanya detail di sana. Dan dalam pelajaran ini kita akan berurusan secara khusus dengan ketidaksetaraan.

Pertidaksamaan siap untuk solusi memiliki bentuk: di sebelah kiri - trinomial persegi kapak 2 + bx + c, di sebelah kanan - nol. Tanda pertidaksamaan dapat berupa apa saja. Dua contoh pertama ada di sini sudah siap untuk solusi. Contoh ketiga masih perlu disiapkan.

Jika Anda menyukai situs ini ...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian validasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Pertidaksamaan kuadrat dipanggil, yang dapat direduksi menjadi bentuk \ (ax ^ 2 + bx + c \) \ (⋁ \) \ (0 \), di mana \ (a \), \ (b \) dan \ (c \) adalah bilangan apa saja (apalagi, \ (a 0 \)), \ (x \) tidak diketahui, dan \ (⋁ \) adalah tanda pembanding (\ (> \), \ (<\),\(≤\),\(≥\)).

Sederhananya, ketidaksetaraan seperti itu terlihat seperti, tetapi dengan bukannya tanda sama dengan.
Contoh:

\ (x ^ 2 + 2x-3> 0 \)
\ (3x ^ 2-x≥0 \)
\ ((2x + 5) (x-1) 5 \)

Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?

Pertidaksamaan kuadrat biasanya diselesaikan. Di bawah ini adalah algoritma tentang cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan diskriminan yang lebih besar dari nol. Solusi pertidaksamaan kuadrat dengan diskriminan sama dengan nol atau kurang dari nol - dianalisis secara terpisah.

Contoh. Memecahkan pertidaksamaan kuadrat \ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
Larutan:

\ (\ frac (x ^ 2) (5) + \ frac (2x) (3) \)\ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
\ (D = 100 + 4⋅3⋅8 = 196 = 14 ^ 2 \) \ (x_1 = \ frac (-10-14) (6) = - 4 \) \ (x_2 = \ frac (-10 + 14) (6) = \ frac (2) (3) \)		Ketika akar-akarnya ditemukan, kita tuliskan pertidaksamaan dalam membentuk.
\ (3 (x + 4) (x- \ frac (2) (3)) 0 \)		Sekarang mari menggambar sumbu angka, tandai akar di atasnya dan tempatkan tanda pada interval.
		Mari kita tuliskan interval yang menarik bagi kita sebagai tanggapan. Karena tanda pertidaksamaan \ (≥ \), kita memerlukan interval dengan \ (+ \), dan kita menyertakan akarnya sendiri dalam jawaban (tanda kurung pada titik-titik ini persegi).

Menjawab : \ (x∈ (-∞; -4] [\ frac (2) (3); ) \)

Pertidaksamaan kuadrat dengan diskriminan negatif dan nol

Algoritma di atas bekerja ketika diskriminan lebih besar dari nol, yaitu memiliki \ (2 \) root. Apa yang harus dilakukan dalam kasus lain? Misalnya, seperti:

Jika \ (D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Yaitu ungkapan:
\ (x ^ 2 + 2x + 9 \) positif untuk sembarang \ (x \), karena \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \) - negatif untuk semua \ (x \), karena \ (a = -1<0\)

Jika \ (D = 0 \), maka trinomial kuadrat untuk satu nilai \ (x \) sama dengan nol, dan untuk semua yang lain memiliki tanda konstan, yang bertepatan dengan tanda koefisien \ (a \) .

Yaitu ungkapan:
\ (x ^ 2 + 6x + 9 \) - sama dengan nol untuk \ (x = -3 \) dan positif untuk semua x lainnya, karena \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-4x-4 \) - sama dengan nol untuk \ (x = -2 \) dan negatif untuk yang lainnya, karena \ (a = -1<0\).

Bagaimana menemukan x yang trinomial kuadratnya sama dengan nol? Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai.

Dengan mengingat informasi ini, mari selesaikan pertidaksamaan kuadrat:

Sebelum kita mengetahuinya, cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, mari kita lihat apa yang disebut pertidaksamaan persegi.

Ingat!

Ketimpangan disebut persegi jika kekuatan tertinggi (tertinggi) dari "x" yang tidak diketahui sama dengan dua.

Mari berlatih mendefinisikan jenis pertidaksamaan menggunakan contoh.

Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Dalam pelajaran sebelumnya, kita melihat bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linier. Tetapi tidak seperti pertidaksamaan linier, pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeda.

Penting!

Anda tidak dapat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cara yang sama seperti pertidaksamaan linier!

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, digunakan metode khusus, yang disebut metode interval.

Apa metode jarak?

Dengan metode interval disebut cara khusus untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Di bawah ini kami akan menjelaskan cara menggunakan metode ini dan mengapa itu mendapatkan namanya.

Ingat!

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat menggunakan metode interval, Anda perlu:

Kami memahami bahwa aturan yang dijelaskan di atas sulit dipahami hanya dalam teori, jadi kami akan segera mempertimbangkan contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan algoritme di atas.

Hal ini diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

Sekarang, seperti yang dikatakan dalam, gambarkan "lengkungan" di atas interval antara titik-titik yang ditandai.

Mari kita letakkan tanda di dalam interval. Dari kanan ke kiri, bergantian, dimulai dengan "+", tandai tandanya.

Kita hanya perlu mengeksekusi, yaitu memilih interval yang diperlukan dan menuliskannya sebagai tanggapan. Mari kita kembali ke ketidaksetaraan kita.

Karena dalam ketidaksetaraan kita “ x 2 + x - 12", yang berarti kita membutuhkan interval negatif. Warnai semua area negatif pada sumbu angka dan tuliskan sebagai tanggapan.

Interval negatif ternyata hanya satu, yaitu antara angka "−3" dan "4", jadi kami menuliskannya dalam jawaban sebagai pertidaksamaan ganda
"−3".

Mari kita tuliskan jawaban yang diperoleh untuk pertidaksamaan kuadrat.

Jawaban: 3

Omong-omong, justru karena fakta bahwa ketika memecahkan pertidaksamaan kuadrat kami mempertimbangkan interval antara angka, metode interval mendapatkan namanya.

Setelah menerima jawaban, masuk akal untuk memeriksanya untuk memastikan bahwa solusinya benar.

Mari kita pilih nomor apa saja yang ada di area yang diarsir dari jawaban yang diterima " 3 "dan gantikan dengan" x "dalam pertidaksamaan asli. Jika kita mendapatkan pertidaksamaan yang benar, maka kita menemukan jawaban pertidaksamaan kuadrat itu benar.

Mari kita ambil, misalnya, angka "0" dari interval. Mari kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan asli "x 2 + x - 12".

X 2 + x - 12
0 2 + 0 - 12 12 (benar)

Kami mendapatkan ketidaksetaraan yang benar ketika mengganti angka dari area solusi, yang berarti jawabannya ditemukan dengan benar.

Notasi singkat dari solusi dengan metode interval

Notasi singkat untuk solusi pertidaksamaan kuadrat " x 2 + x - 12 "menggunakan metode spasi akan terlihat seperti ini:

X 2 + x - 12
x 2 + x - 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x 2 = 0 Jawaban: x 0; x 1 2 Pertimbangkan contoh di mana "x 2" didahului oleh koefisien negatif dalam pertidaksamaan persegi. Gambaran umum pertidaksamaan kuadrat setelah memindahkan semua ekspresi ke salah satu sisi pertidaksamaan adalah salah satu bentuk berikut: $ax ^ 2 + bx + c> 0 $ atau $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 $ atau $ ax ^ 2 + bx + c Ketika $ a \ neq 0 $ serta $ b, c \ di \ mathbb (R) $ Penyelesaian setiap pertidaksamaan di atas adalah dengan mencari semua bilangan real yang dapat menggantikan $ x $ sehingga pertidaksamaan tersebut benar. Misalnya, jika kita menyatakan bahwa $ x = 1 $ adalah salah satu akar dari pertidaksamaan $ x ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 $. Mensubstitusikan 1 untuk semua variabel $ x $ dalam pertidaksamaan, kita mendapatkan bahwa $ 1 ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 \ rightarrow \ frac (1) (2)> 0 $, yang selalu benar. Oleh karena itu, $ x = 1 $ adalah salah satu solusi dari pertidaksamaan ini. Sekarang kita akan belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan (1). Pertama, kita mempertimbangkan persamaan dalam dua variabel, $ y = ax ^ 2 + bx + c $, dan menganggap bahwa $ ax ^ 2 + bx + c $ adalah nol. Kemudian: $ ax ^ 2 + bx + c = 0 \ panah kanan a (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a)) = 0 \ panah kanan ^ (a \ neq 0) x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \ panah kanan $ $ x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) = 0 \ panah kanan (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) = 0 \ panah kanan $ $ (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 = \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) \ panah kanan x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2)) \ panah kanan x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ panah kanan $ $ x = \ frac (-b) (2a) \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ panah kanan x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2 - 4ac) ) (2a) $ Maka grafik persamaan kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik $ x_1 = \ frac (-b + \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ dan $ x_2 = \ frac (-b - \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ Angka nol ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: $ (- \ infty, x_1) $, $$, $ (x_2, + \ infty) $, dengan asumsi bahwa $ x_1 Sekarang biarkan $ \ Delta = b ^ 2 - 4ac $. Kita dapat mempertimbangkan tiga kasus berikut: $ \ Delta> 0 $ $ \ Delta = 0 $ $ \ Delta Kasus 1: Jika $\Delta> 0 $, Kemudian $ax ^ 2 + bx + c $ memiliki dua akar yang berbeda $ (x_1 \ neq x_2) $. Nah, jika $a > 0 $, maka diperoleh grafiknya seperti pada "Gambar a". Jika $a adalah "Gambar b". Oleh karena itu, jika $ a> 0 $ dan jika kita memiliki $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 (ax ^ 2 + bx + c> 0) $, maka himpunan penyelesaiannya adalah: $ (- \ infty, x_1] \ cup $ $ ((x_1, x_2)) $ Sebaliknya, jika $ a 0) $, maka himpunan penyelesaiannya adalah: $$ $ ((x_1, x_2)) $ Dan jika kita memiliki $ ax ^ 2 + bx + c \ leq 0 (ax ^ 2 + bx + c $ (- \ infty, x_1] \ cup \ cup [1 + 3 4, + ) atau x 1 - 3 4, x 1 + 3 4. Contoh 3 Memecahkan pertidaksamaan kuadrat - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Larutan Pertama, kita cari akar-akar trinomial kuadrat dari ruas kiri pertidaksamaan: D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Ini adalah ketidaksetaraan yang ketat, jadi kami menggunakan titik "kosong" dalam grafik. Dengan koordinat 7. Sekarang kita perlu menentukan tanda-tanda pada interval yang dihasilkan (- , 7) dan (7, + ). Karena diskriminan dari trinomial kuadrat adalah nol, dan koefisien terkemuka negatif, kami meletakkan tanda -, -: Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan bertanda< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: Dalam hal ini, solusinya adalah kedua interval (- , 7), (7, + ). Menjawab:(- , 7) (7, + ) atau dalam notasi lain x 7. Contoh 4 Apakah pertidaksamaan kuadrat x 2 + x + 7< 0 решения? Larutan Temukan akar-akar trinomial kuadrat dari sisi kiri pertidaksamaan. Untuk melakukan ini, kami menemukan diskriminan: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Diskriminan kurang dari nol, yang berarti tidak ada akar real. Gambar grafik akan terlihat seperti garis bilangan tanpa tanda titik di atasnya. Mari kita tentukan tanda dari nilai-nilai trinomial persegi. Kapan D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : Dalam hal ini, kita dapat menerapkan penetasan di atas celah dengan tanda "-". Tapi kami tidak memiliki celah seperti itu. Oleh karena itu, gambar mempertahankan penampilan ini: Sebagai hasil dari perhitungan, kami mendapat satu set kosong. Ini berarti bahwa pertidaksamaan kuadrat ini tidak memiliki solusi. Menjawab: Tidak. Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter Publikasi serupa Analisis Elit Jenderal di Kekaisaran Rusia Jenderal Kekaisaran Rusia di Abad ke-19 Ke mana perginya kaum fasis di uni soviet (peta)? Rumania selama Perang Dunia II Rumania dalam Perang Dunia II Server Minecraft Bed Wars di proyek Squareland