Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge. Arithmetische Folge: Was ist das? Arithmetische Folgesumme der ersten Zahlen

Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, dann sagen mir die internen Cap-Beweise, dass Sie immer noch nicht wissen, was eine arithmetische Folge ist, Sie es aber wirklich (nein, so: SOOOOO!) wissen wollen. Deshalb werde ich Sie nicht mit langen Einführungen quälen und sofort zur Sache kommen.

Zu Beginn ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Zahlenmengen:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Was haben alle diese Sets gemeinsam? Auf den ersten Blick nichts. Aber tatsächlich gibt es etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich vom vorherigen durch die gleiche Nummer.

Urteile selbst. Der erste Satz besteht nur aus aufeinanderfolgenden Zahlen, jede mehr als die vorherige. Im zweiten Fall beträgt die Differenz zwischen benachbarten Zahlen bereits fünf, diese Differenz ist jedoch immer noch konstant. Im dritten Fall gibt es überhaupt Wurzeln. Allerdings gilt $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, während $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.h. In diesem Fall erhöht sich jedes nächste Element einfach um $\sqrt(2)$ (und haben Sie keine Angst, dass diese Zahl irrational ist).

Also: Alle solchen Folgen werden einfach arithmetische Folgen genannt. Lassen Sie uns eine strenge Definition geben:

Definition. Eine Folge von Zahlen, bei der sich jede nächste um genau den gleichen Betrag von der vorherigen unterscheidet, wird als arithmetische Folge bezeichnet. Der genaue Betrag, um den sich die Zahlen unterscheiden, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet und am häufigsten mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ist die Progression selbst, $d$ ist ihre Differenz.

Und nur ein paar wichtige Bemerkungen. Erstens wird nur der Fortschritt berücksichtigt ordentlich Zahlenfolge: Sie dürfen streng in der Reihenfolge gelesen werden, in der sie geschrieben sind – und sonst nichts. Sie können die Nummern nicht neu anordnen oder austauschen.

Zweitens kann die Folge selbst entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Menge (1; 2; 3) offensichtlich eine endliche arithmetische Folge. Aber wenn Sie so etwas wie (1; 2; 3; 4; ...) schreiben, ist dies bereits eine unendliche Entwicklung. Die Auslassungspunkte nach der Vier deuten sozusagen darauf hin, dass viele Zahlen weiter gehen. Unendlich viele zum Beispiel. :)

Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Fortschritte zu- und abnehmen. Wir haben bereits steigende Einsen gesehen – die gleiche Menge (1; 2; 3; 4; ...). Hier sind Beispiele für abnehmende Verläufe:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Das letzte Beispiel mag übermäßig kompliziert erscheinen. Aber den Rest, denke ich, verstehen Sie. Deshalb führen wir neue Definitionen ein:

Definition. Eine arithmetische Folge heißt:

1. zunehmend, wenn jedes nächste Element größer als das vorherige ist;
2. abnehmend, wenn im Gegenteil jedes nachfolgende Element kleiner ist als das vorherige.

Darüber hinaus gibt es sogenannte „stationäre“ Sequenzen – sie bestehen aus der gleichen sich wiederholenden Zahl. Zum Beispiel (3; 3; 3; ...).

Bleibt nur noch eine Frage: Wie kann man einen zunehmenden Verlauf von einem abnehmenden unterscheiden? Glücklicherweise hängt hier alles nur vom Vorzeichen der Zahl $d$ ab, d.h. Fortschrittsunterschiede:

1. Wenn $d \gt 0$, dann nimmt die Progression zu;
2. Wenn $d \lt 0$, dann nimmt die Progression offensichtlich ab;
3. Schließlich gibt es den Fall $d=0$ – in diesem Fall wird die gesamte Folge auf eine stationäre Folge identischer Zahlen reduziert: (1; 1; 1; 1; ...) usw.

Versuchen wir, die Differenz $d$ für die drei oben genannten abnehmenden Progressionen zu berechnen. Dazu reicht es aus, zwei beliebige benachbarte Elemente (z. B. das erste und das zweite) zu nehmen und von der Zahl rechts die Zahl links abzuziehen. Es wird so aussehen:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Wie Sie sehen, fiel der Unterschied in allen drei Fällen tatsächlich negativ aus. Und nachdem wir nun die Definitionen mehr oder weniger herausgefunden haben, ist es an der Zeit, herauszufinden, wie Progressionen beschrieben werden und welche Eigenschaften sie haben.

Mitglieder der Progression und der wiederkehrenden Formel

Da die Elemente unserer Folgen nicht vertauschbar sind, können sie nummeriert werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3)),... \right\)\]

Einzelne Elemente dieser Menge werden als Mitglieder der Progression bezeichnet. Sie werden auf diese Weise mit Hilfe einer Nummer angegeben: das erste Mitglied, das zweite Mitglied usw.

Darüber hinaus sind, wie wir bereits wissen, benachbarte Mitglieder der Progression durch die Formel verbunden:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d\]

Kurz gesagt, um den $n$-ten Term der Progression zu finden, müssen Sie den $n-1$-ten Term und die Differenz $d$ kennen. Eine solche Formel wird als rekurrent bezeichnet, da Sie mit ihrer Hilfe jede Zahl finden können, indem Sie nur die vorherige (und tatsächlich alle vorherigen) kennen. Das ist sehr umständlich, deshalb gibt es eine kniffligere Formel, die jede Berechnung auf den ersten Term und die Differenz reduziert:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Diese Formel ist Ihnen wahrscheinlich schon einmal begegnet. Sie geben es gerne in allen möglichen Nachschlagewerken und Reshebniks wieder. Und in jedem vernünftigen Mathematiklehrbuch ist es eines der ersten.

Ich empfehle Ihnen jedoch, ein wenig zu üben.

Aufgabe Nummer 1. Schreiben Sie die ersten drei Terme der arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$ auf, wenn $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lösung. Wir kennen also den ersten Term $((a)_(1))=8$ und die Progressionsdifferenz $d=-5$. Verwenden wir die gerade angegebene Formel und ersetzen wir $n=1$, $n=2$ und $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5=3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10=-2. \\ \end(align)\]

Antwort: (8; 3; -2)

Das ist alles! Beachten Sie, dass unser Fortschritt abnimmt.

Natürlich konnte $n=1$ nicht ersetzt werden – den ersten Term kennen wir bereits. Durch das Ersetzen der Einheit haben wir jedoch sichergestellt, dass unsere Formel auch für den ersten Term funktioniert. In anderen Fällen lief alles auf banale Arithmetik hinaus.

Aufgabe Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge auf, wenn ihr siebter Term −40 und ihr siebzehnter Term −50 ist.

Lösung. Wir beschreiben den Zustand des Problems in den üblichen Worten:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a)_(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \right.\]

Ich habe das Zeichen des Systems gesetzt, weil diese Anforderungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Und jetzt stellen wir fest, dass wir Folgendes erhalten, wenn wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren (wir haben das Recht dazu, weil wir ein System haben):

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Einfach so haben wir den Fortschrittsunterschied entdeckt! Es bleibt die gefundene Zahl in einer der Gleichungen des Systems einzusetzen. Zum Beispiel im ersten:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Da wir nun den ersten Term und den Unterschied kennen, müssen wir noch den zweiten und dritten Term finden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Bereit! Problem gelöst.

Antwort: (-34; -35; -36)

Beachten Sie eine merkwürdige Eigenschaft der Progression, die wir entdeckt haben: Wenn wir den $n$-ten und den $m$-ten Term nehmen und sie voneinander subtrahieren, erhalten wir die Differenz der Progression multipliziert mit der Zahl $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, die Sie unbedingt kennen sollten – mit ihrer Hilfe können Sie die Lösung vieler Fortschrittsprobleme deutlich beschleunigen. Hier ist ein Paradebeispiel dafür:

Aufgabe Nummer 3. Der fünfte Term der arithmetischen Folge ist 8,4 und der zehnte Term ist 14,4. Finden Sie den fünfzehnten Term dieser Progression.

Lösung. Da $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ und wir $((a)_(15))$ finden müssen, beachten wir Folgendes:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Aber nach der Bedingung $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, also $5d=6$, woraus folgt:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Antwort: 20.4

Das ist alles! Wir mussten keine Gleichungssysteme aufstellen und den ersten Term und die Differenz berechnen – alles wurde in nur wenigen Zeilen entschieden.

Betrachten wir nun eine andere Art von Problem – die Suche nach negativen und positiven Mitgliedern der Progression. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn die Progression zunimmt, während ihr erster Term negativ ist, früher oder später positive Terme darin auftauchen. Und umgekehrt: Die Bedingungen einer abnehmenden Progression werden früher oder später negativ.

Gleichzeitig ist es bei weitem nicht immer möglich, diesen Moment „auf der Stirn“ zu finden und die Elemente nacheinander zu sortieren. Oft sind Aufgaben so gestaltet, dass die Berechnungen ohne Kenntnis der Formeln mehrere Blätter in Anspruch nehmen würden – wir würden einfach einschlafen, bis wir die Antwort gefunden hätten. Daher werden wir versuchen, diese Probleme schneller zu lösen.

Aufgabe Nummer 4. Wie viele negative Terme in einer arithmetischen Folge -38,5; -35,8; …?

Lösung. Also $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, woraus wir sofort den Unterschied finden:

Beachten Sie, dass die Differenz positiv ist, die Progression also zunimmt. Der erste Term ist negativ, also werden wir tatsächlich irgendwann auf positive Zahlen stoßen. Die Frage ist nur, wann dies geschehen wird.

Versuchen wir herauszufinden, wie lange (d. h. bis zu welcher natürlichen Zahl $n$) die Negativität der Terme erhalten bleibt:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Die letzte Zeile bedarf einer Klarstellung. Wir wissen also, dass $n \lt 15\frac(7)(27)$. Andererseits passen für uns nur ganzzahlige Werte der Zahl (außerdem: $n\in \mathbb(N)$), daher ist die größte zulässige Zahl genau $n=15$ und auf keinen Fall 16.

Aufgabennummer 5. In der arithmetischen Folge $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finden Sie die Nummer des ersten positiven Termes dieser Folge.

Dies wäre genau das gleiche Problem wie das vorherige, aber wir kennen $((a)_(1))$ nicht. Aber die Nachbarterme sind bekannt: $((a)_(5))$ und $((a)_(6))$, sodass wir den Fortschrittsunterschied leicht finden können:

Versuchen wir außerdem, den fünften Term durch den ersten und die Differenz mithilfe der Standardformel auszudrücken:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nun gehen wir analog zum vorherigen Problem vor. Wir finden heraus, an welcher Stelle in unserer Folge positive Zahlen erscheinen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Die kleinste ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 56.

Bitte beachten Sie, dass in der letzten Aufgabe alles auf strikte Ungleichung reduziert wurde, sodass die Option $n=55$ für uns nicht geeignet ist.

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einfache Probleme löst, gehen wir zu komplexeren Problemen über. Aber lernen wir zunächst eine weitere sehr nützliche Eigenschaft arithmetischer Folgen kennen, die uns in Zukunft viel Zeit und ungleiche Zellen ersparen wird. :) :)

Arithmetisches Mittel und gleiche Einzüge

Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Terme der steigenden arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$. Versuchen wir, sie auf einem Zahlenstrahl zu markieren:

Ich habe ausdrücklich auf beliebige Elemente $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ und nicht auf beliebige $((a)_(1)),\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ usw. hingewiesen. Denn die Regel, die ich Ihnen jetzt verrate, funktioniert für alle „Segmente“ gleich.

Und die Regel ist ganz einfach. Erinnern wir uns an die rekursive Formel und schreiben sie für alle markierten Mitglieder auf:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Diese Gleichheiten können jedoch anders umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Na so was? Aber die Tatsache, dass die Terme $((a)_(n-1))$ und $((a)_(n+1))$ im gleichen Abstand von $((a)_(n))$ liegen. Und dieser Abstand ist gleich $d$. Das Gleiche gilt für die Terme $((a)_(n-2))$ und $((a)_(n+2))$ – sie sind auch von $((a)_(n))$ um denselben Abstand entfernt, der $2d$ entspricht. Sie können unbegrenzt fortfahren, aber das Bild verdeutlicht die Bedeutung gut

Was bedeutet das für uns? Das bedeutet, dass Sie $((a)_(n))$ finden können, wenn die Nachbarzahlen bekannt sind:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wir haben eine großartige Aussage abgeleitet: Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Mitglieder! Darüber hinaus können wir von unserem $((a)_(n))$ nach links und rechts nicht um einen Schritt, sondern um $k$ Schritte abweichen – und trotzdem ist die Formel korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Diese. Wir können leicht etwas $((a)_(150))$ finden, wenn wir $((a)_(100))$ und $((a)_(200))$ kennen, weil $((a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass uns diese Tatsache nichts Nützliches bringt. Allerdings werden in der Praxis viele Aufgaben gezielt für die Verwendung des arithmetischen Mittels „geschärft“. Schau mal:

Aufgabennummer 6. Finden Sie alle Werte von $x$, sodass die Zahlen $-6((x)^(2))$, $x+1$ und $14+4((x)^(2))$ aufeinanderfolgende Mitglieder einer arithmetischen Folge sind (in dieser Reihenfolge).

Lösung. Da diese Zahlen Mitglieder einer Progression sind, ist die Bedingung des arithmetischen Mittels für sie erfüllt: Das zentrale Element $x+1$ kann durch benachbarte Elemente ausgedrückt werden:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Das Ergebnis ist eine klassische quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $x=2$ und $x=-3$ sind die Antworten.

Antwort: -3; 2.

Aufgabennummer 7. Finden Sie die Werte von $$ so, dass die Zahlen $-1;4-3;(()^(2))+1$ eine arithmetische Folge bilden (in dieser Reihenfolge).

Lösung. Auch hier drücken wir den Mittelterm durch das arithmetische Mittel benachbarter Terme aus:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Eine weitere quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $x=6$ und $x=1$.

Antwort 1; 6.

Wenn Sie bei der Lösung eines Problems brutale Zahlen erhalten oder sich der Richtigkeit der gefundenen Antworten nicht ganz sicher sind, gibt es einen wunderbaren Trick, mit dem Sie überprüfen können: Haben wir das Problem richtig gelöst?

Nehmen wir an, wir haben in Aufgabe 6 die Antworten -3 und 2 erhalten. Wie können wir überprüfen, ob diese Antworten richtig sind? Lassen Sie uns sie einfach in den Originalzustand stecken und sehen, was passiert. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($-6(()^(2))$, $+1$ und $14+4(()^(2))$, die eine arithmetische Folge bilden sollten. Ersetzen Sie $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Wir haben die Zahlen -54; −2; 50, die sich um 52 unterscheiden, sind zweifellos eine arithmetische Folge. Das Gleiche passiert für $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Wieder eine Progression, allerdings mit einer Differenz von 27. Somit ist das Problem richtig gelöst. Wer möchte, kann die zweite Aufgabe selbst überprüfen, aber ich sage gleich: Auch da stimmt alles.

Im Allgemeinen sind wir bei der Lösung der letzten Probleme auf eine weitere interessante Tatsache gestoßen, die ebenfalls beachtet werden muss:

Wenn drei Zahlen so sind, dass die zweite der Durchschnitt der ersten und letzten ist, dann bilden diese Zahlen eine arithmetische Folge.

Das Verständnis dieser Aussage wird es uns in Zukunft ermöglichen, die notwendigen Fortschritte basierend auf dem Zustand des Problems buchstäblich zu „konstruieren“. Doch bevor wir uns auf eine solche „Konstruktion“ einlassen, sollten wir noch einen weiteren Sachverhalt beachten, der sich unmittelbar aus dem bereits Geschilderten ergibt.

Gruppierung und Summe der Elemente

Kehren wir noch einmal zum Zahlenstrahl zurück. Wir bemerken dort mehrere Mitglieder der Progression, zwischen denen vielleicht. vielen anderen Mitgliedern wert:

Versuchen wir, den „linken Schwanz“ durch $((a)_(n))$ und $d$ und den „rechten Schwanz“ durch $((a)_(k))$ und $d$ auszudrücken. Es ist sehr einfach:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Beachten Sie nun, dass die folgenden Summen gleich sind:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d=S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d=S. \end(align)\]

Einfach ausgedrückt: Wenn wir zunächst zwei Elemente der Progression betrachten, die in ihrer Summe einer Zahl $S$ entsprechen, und dann beginnen, von diesen Elementen aus in entgegengesetzte Richtungen zu treten (aufeinander zu oder umgekehrt, um uns zu entfernen), dann Die Summen der Elemente, auf die wir stoßen, werden ebenfalls gleich sein$S$. Dies lässt sich am besten grafisch darstellen:

Wenn wir diese Tatsache verstehen, können wir Probleme lösen, deren Komplexität grundsätzlich höher ist als die, die wir oben betrachtet haben. Zum Beispiel diese:

Aufgabennummer 8. Bestimmen Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, bei der der erste Term 66 ist und das Produkt aus dem zweiten und zwölften Term das kleinstmögliche ist.

Lösung. Schreiben wir alles auf, was wir wissen:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Wir kennen also den Unterschied der Progression $d$ nicht. Tatsächlich wird die gesamte Lösung um die Differenz herum aufgebaut, da das Produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Für diejenigen im Tank: Ich habe den gemeinsamen Faktor 11 aus der zweiten Klammer genommen. Somit ist das gewünschte Produkt eine quadratische Funktion bezüglich der Variablen $d$. Betrachten Sie daher die Funktion $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – ihr Graph wird eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen sein, weil Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Wie Sie sehen können, ist der Koeffizient mit dem höchsten Term 11 – das ist eine positive Zahl, wir haben es also eigentlich mit einer Parabel mit nach oben gerichteten Ästen zu tun:

Graph einer quadratischen Funktion - Parabel

Bitte beachten Sie: Diese Parabel nimmt ihren Minimalwert an ihrem Scheitelpunkt mit der Abszisse $((d)_(0))$ an. Natürlich können wir diese Abszisse nach dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), aber es wäre viel vernünftiger zu beachten, dass der gewünschte Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse der Parabel liegt, sodass der Punkt $((d)_(0))$ den gleichen Abstand von den Wurzeln der Gleichung $f\left(d\right)=0$ hat:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Deshalb hatte ich es nicht eilig, die Klammern zu öffnen: In der Originalform waren die Wurzeln sehr, sehr leicht zu finden. Daher ist die Abszisse gleich dem arithmetischen Mittel der Zahlen −66 und −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Was gibt uns die entdeckte Zahl? Damit nimmt das geforderte Produkt den kleinsten Wert an ($((y)_(\min ))$ haben wir übrigens nicht berechnet – das wird von uns nicht verlangt). Gleichzeitig ist diese Zahl die Differenz des Anfangsverlaufs, d.h. Wir haben die Antwort gefunden. :)

Antwort: -36

Aufgabennummer 9. Fügen Sie drei Zahlen zwischen den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$ ein, sodass sie zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

Lösung. Tatsächlich müssen wir eine Folge von fünf Zahlen erstellen, wobei die erste und die letzte Zahl bereits bekannt sind. Bezeichnen Sie die fehlenden Zahlen durch die Variablen $x$, $y$ und $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\)\]

Beachten Sie, dass die Zahl $y$ die „Mitte“ unserer Folge ist – sie hat den gleichen Abstand von den Zahlen $x$ und $z$ sowie von den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$. Und wenn wir im Moment nicht $y$ aus den Zahlen $x$ und $z$ ermitteln können, dann ist die Situation an den Enden der Progression anders. Denken Sie an das arithmetische Mittel:

Wenn wir nun $y$ kennen, werden wir die verbleibenden Zahlen finden. Beachten Sie, dass $x$ zwischen $-\frac(1)(2)$ und $y=-\frac(1)(3)$ liegt, die gerade gefunden wurden. Deshalb

Wenn wir ähnlich argumentieren, finden wir die verbleibende Zahl:

Bereit! Wir haben alle drei Zahlen gefunden. Schreiben wir sie in der Antwort in der Reihenfolge auf, in der sie zwischen den ursprünglichen Zahlen eingefügt werden sollen.

Antwort: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Aufgabennummer 10. Fügen Sie zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingefügten Zahlen 56 beträgt.

Lösung. Eine noch schwierigere Aufgabe, die jedoch auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird – durch das arithmetische Mittel. Das Problem ist, dass wir nicht genau wissen, wie viele Zahlen wir einfügen müssen. Aus Gründen der Bestimmtheit gehen wir daher davon aus, dass es nach dem Einfügen genau $n$ Zahlen gibt, und die erste davon ist 2 und die letzte ist 42. In diesem Fall kann die gewünschte arithmetische Folge wie folgt dargestellt werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;((a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Beachten Sie jedoch, dass sich die Zahlen $((a)_(2))$ und $((a)_(n-1))$ aus den Zahlen 2 und 42 ergeben, die an den Kanten um einen Schritt zueinander stehen, d. h. in die Mitte der Sequenz. Und das bedeutet das

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Aber dann kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Wenn wir $((a)_(3))$ und $((a)_(1))$ kennen, können wir den Fortschrittsunterschied leicht finden:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Es bleibt nur noch, die verbleibenden Mitglieder zu finden:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Somit kommen wir bereits im 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz – der Zahl 42. Insgesamt mussten nur 7 Zahlen eingefügt werden: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textaufgaben mit Fortschritten

Abschließend möchte ich ein paar relativ einfache Probleme betrachten. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die in der Schule Mathematik lernen und das oben Geschriebene nicht gelesen haben, scheinen diese Aufgaben wie eine Geste zu sein. Dennoch sind es genau solche Aufgaben, die in der OGE und der USE in Mathematik auftauchen, daher empfehle ich Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Aufgabennummer 11. Das Team produzierte im Januar 62 Teile und in jedem Folgemonat 14 Teile mehr als im Vormonat. Wie viele Teile hat die Brigade im November produziert?

Lösung. Offensichtlich wird die Anzahl der pro Monat lackierten Teile eine zunehmende arithmetische Folge sein. Und:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ist der 11. Monat des Jahres, also müssen wir $((a)_(11))$ finden:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Somit werden im November 202 Teile gefertigt.

Aufgabennummer 12. Die Buchbindewerkstatt hat im Januar 216 Bücher gebunden, und jeden Monat wurden vier Bücher mehr gebunden als im Vormonat. Wie viele Bücher hat der Workshop im Dezember gebunden?

Lösung. Alles das selbe:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezember ist der letzte, 12. Monat des Jahres, also suchen wir nach $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Das ist die Antwort: Im Dezember werden 260 Bücher gebunden.

Nun, wenn Sie bis hierher gelesen haben, möchte ich Ihnen gratulieren: Sie haben den „Kurs für junge Kämpfer“ in arithmetischen Progressionen erfolgreich abgeschlossen. Wir können getrost mit der nächsten Lektion fortfahren, in der wir die Progressionssummenformel sowie wichtige und sehr nützliche Konsequenzen daraus studieren.

Was ist die Essenz der Formel?

Mit dieser Formel können Sie finden beliebig NACH SEINER NUMMER“ N" .

Natürlich müssen Sie den ersten Begriff kennen eine 1 und Fortschrittsunterschied D Nun ja, ohne diese Parameter können Sie keinen bestimmten Verlauf aufschreiben.

Es reicht nicht aus, sich diese Formel zu merken (oder zu betrügen). Es ist notwendig, ihre Essenz zu assimilieren und die Formel auf verschiedene Probleme anzuwenden. Ja, und vergessen Sie nicht zur richtigen Zeit, ja ...) Wie nicht vergessen- Ich weiß nicht. Und hier wie man sich erinnert Bei Bedarf gebe ich Ihnen einen Hinweis. Für diejenigen, die die Lektion bis zum Ende meistern.)

Befassen wir uns also mit der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.

Was eine Formel im Allgemeinen ist – stellen wir uns vor.) Was eine arithmetische Folge, eine Mitgliedszahl, eine Folgedifferenz ist – wird in der vorherigen Lektion klar dargelegt. Werfen Sie einen Blick darauf, wenn Sie es noch nicht gelesen haben. Da ist alles einfach. Es bleibt abzuwarten, was n-tes Mitglied.

Der Verlauf kann im Allgemeinen als Zahlenreihe geschrieben werden:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

eine 1- bezeichnet den ersten Term einer arithmetischen Folge, eine 3- drittes Mitglied eine 4- Vierter und so weiter. Wenn wir an der fünften Amtszeit interessiert sind, sagen wir, wir arbeiten mit eine 5, wenn einhundertzwanzigstel - von ein 120.

Wie man allgemein definiert beliebig Mitglied einer arithmetischen Folge, s beliebig Nummer? Sehr einfach! So:

ein

Das ist es n-tes Mitglied einer arithmetischen Folge. Unter dem Buchstaben n sind alle Mitgliederzahlen auf einmal verborgen: 1, 2, 3, 4 und so weiter.

Und was bringt uns ein solcher Rekord? Stellen Sie sich vor, sie hätten statt einer Zahl einen Brief aufgeschrieben ...

Diese Notation gibt uns ein leistungsstarkes Werkzeug für die Arbeit mit arithmetischen Folgen. Verwendung der Notation ein, können wir schnell finden beliebig Mitglied beliebig arithmetische Folge. Und eine Menge Aufgaben, die es nach und nach zu lösen gilt. Sie werden weiter sehen.

In der Formel des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge:

eine 1- das erste Mitglied der arithmetischen Folge;

N- Mitgliedsnummer.

Die Formel verknüpft die Schlüsselparameter jeder Progression: ein ; ein 1 ; D Und N. Um diese Parameter herum drehen sich alle Rätsel nach und nach.

Die Formel für den n-ten Term kann auch zum Schreiben einer bestimmten Progression verwendet werden. Im Problem kann man zum Beispiel sagen, dass der Verlauf durch die Bedingung gegeben ist:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ein solches Problem kann sogar verwirren ... Es gibt keine Reihe, keinen Unterschied ... Aber wenn man die Bedingung mit der Formel vergleicht, kann man das in dieser Progression leicht herausfinden a 1 \u003d 5 und d \u003d 2.

Und es kann noch wütender sein!) Wenn wir die gleiche Bedingung annehmen: a n = 5 + (n-1) 2, ja, die Klammern öffnen und ähnliche angeben? Wir erhalten eine neue Formel:

an = 3 + 2n.

Das Nur nicht allgemein, sondern für einen bestimmten Verlauf. Hier liegt die Falle. Manche Leute denken, dass der erste Term eine Drei ist. Obwohl das erste Glied in Wirklichkeit eine Fünf ist ... Etwas tiefer werden wir mit einer so modifizierten Formel arbeiten.

Bei Fortschrittsaufgaben gibt es eine andere Notation - ein n+1. Dies ist, Sie haben es erraten, der „n plus der erste“ Term der Progression. Seine Bedeutung ist einfach und harmlos.) Dies ist ein Mitglied der Progression, deren Zahl um eins größer als die Zahl n ist. Zum Beispiel, wenn wir ein Problem haben ein Fünfte Amtszeit also ein n+1 wird das sechste Mitglied sein. Und dergleichen.

Am häufigsten die Bezeichnung ein n+1 kommt in rekursiven Formeln vor. Haben Sie keine Angst vor diesem schrecklichen Wort!) Dies ist nur eine Art, einen Begriff einer arithmetischen Folge auszudrücken durch den vorherigen. Angenommen, wir erhalten eine arithmetische Folge in dieser Form unter Verwendung der wiederkehrenden Formel:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Vom vierten bis zum dritten, vom fünften bis zum vierten und so weiter. Und wie man sofort zählt, sagen wir das zwanzigste Semester, ein 20? Aber auf keinen Fall!) Während die 19. Amtszeit nicht bekannt ist, kann die 20. nicht gezählt werden. Dies ist der grundlegende Unterschied zwischen der rekursiven Formel und der Formel des n-ten Termes. Rekursiv funktioniert nur durch vorherige Term und die Formel des n-ten Termes - durch Erste und erlaubt sofort Finden Sie jedes Mitglied anhand seiner Nummer. Nicht die gesamte Zahlenreihe der Reihe nach zählen.

In einer arithmetischen Folge kann eine rekursive Formel leicht in eine reguläre umgewandelt werden. Zählen Sie ein Paar aufeinanderfolgender Terme und berechnen Sie die Differenz D, Finden Sie ggf. den ersten Term eine 1, schreiben Sie die Formel in der üblichen Form und arbeiten Sie damit. Im GIA sind solche Aufgaben häufig anzutreffen.

Anwendung der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.

Schauen wir uns zunächst die direkte Anwendung der Formel an. Am Ende der vorherigen Lektion gab es ein Problem:

Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n). Finden Sie eine 121, wenn a 1 =3 und d=1/6.

Dieses Problem kann ohne Formeln gelöst werden, einfach basierend auf der Bedeutung der arithmetischen Folge. Hinzufügen, ja hinzufügen ... Ein oder zwei Stunden.)

Und laut Formel dauert die Lösung weniger als eine Minute. Sie können es zeitlich festlegen.) Wir entscheiden.

Die Bedingungen liefern alle Daten zur Verwendung der Formel: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Es bleibt abzuwarten, was N. Kein Problem! Wir müssen finden ein 121. Hier schreiben wir:

Bitte pass auf! Anstelle eines Index N Es erschien eine bestimmte Zahl: 121. Was ziemlich logisch ist.) Wir interessieren uns für das Mitglied der arithmetischen Folge Nummer einhunderteinundzwanzig. Das wird unser sein N. Es ist diese Bedeutung N= 121 werden wir weiter in der Formel in Klammern einsetzen. Ersetzen Sie alle Zahlen in der Formel und berechnen Sie:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Das ist alles dazu. Genauso schnell konnte man das fünfhundertzehnte Mitglied finden und das tausenddritte, jedes beliebige. Wir setzen stattdessen N die gewünschte Zahl im Index des Buchstabens „ A" und in Klammern, und wir überlegen.

Ich möchte Sie an das Wesentliche erinnern: Mit dieser Formel können Sie finden beliebig Term einer arithmetischen Folge NACH SEINER NUMMER“ N" .

Lassen Sie uns das Problem intelligenter lösen. Nehmen wir an, wir haben folgendes Problem:

Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge (a n), wenn a 17 =-2; d=-0,5.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, werde ich den ersten Schritt vorschlagen. Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf! Ja Ja. Schreiben Sie von Hand direkt in Ihr Notizbuch:

Und wenn wir uns nun die Buchstaben der Formel ansehen, verstehen wir, welche Daten wir haben und welche fehlen? Verfügbar d=-0,5, es gibt ein siebzehntes Mitglied ... Alles? Wenn Sie denken, das sei alles, dann können Sie das Problem nicht lösen, ja ...

Wir haben auch eine Nummer N! Im Zustand a 17 =-2 versteckt zwei Optionen. Dies ist sowohl der Wert des siebzehnten Elements (-2) als auch seine Nummer (17). Diese. n=17. Dieses „kleine Ding“ rutscht oft am Kopf vorbei, und ohne es (ohne das „kleine Ding“, nicht den Kopf!) ist das Problem nicht lösbar. Obwohl ... und auch ohne Kopf.)

Jetzt können wir unsere Daten einfach dumm in die Formel einsetzen:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh ja, ein 17 Wir wissen, dass es -2 ist. Okay, fügen wir es ein:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Das ist im Grunde alles. Es bleibt noch, den ersten Term der arithmetischen Folge aus der Formel auszudrücken und zu berechnen. Sie erhalten die Antwort: a 1 = 6.

Eine solche Technik – das Schreiben einer Formel und das einfache Ersetzen bekannter Daten – hilft bei einfachen Aufgaben sehr. Nun, Sie müssen natürlich in der Lage sein, eine Variable aus einer Formel auszudrücken, aber was tun? Ohne diese Fähigkeit kann Mathematik überhaupt nicht studiert werden ...

Ein weiteres beliebtes Problem:

Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge (a n), wenn a 1 =2; ein 15 =12.

Was machen wir? Sie werden überrascht sein, wir schreiben die Formel!)

Bedenken Sie, was wir wissen: a 1 =2; a 15 =12; und (besonderes Highlight!) n=15. Fühlen Sie sich frei, die Formel zu ersetzen:

12=2 + (15-1)d

Lasst uns rechnen.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Das ist die richtige Antwort.

Also Aufgaben a n , a 1 Und D entschieden. Es bleibt zu lernen, wie man die Nummer findet:

Die Zahl 99 ist Mitglied einer arithmetischen Folge (a n), wobei a 1 =12; d=3. Finden Sie die Nummer dieses Mitglieds.

Wir setzen die bekannten Größen in die Formel des n-ten Termes ein:

a n = 12 + (n-1) 3

Auf den ersten Blick gibt es hier zwei unbekannte Größen: ein n und n. Aber ein ist ein Glied der Folge mit der Zahl N... Und dieses Mitglied der Progression kennen wir! Es ist 99. Wir kennen seine Nummer nicht. N, Daher muss auch diese Nummer gefunden werden. Setzen Sie den Progressionsterm 99 in die Formel ein:

99 = 12 + (n-1) 3

Wir drücken aus der Formel aus N, wir denken. Wir bekommen die Antwort: n=30.

Und jetzt ein Problem zum gleichen Thema, aber kreativer):

Bestimmen Sie, ob die Zahl 117 Mitglied einer arithmetischen Folge (a n) sein wird:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Schreiben wir die Formel noch einmal. Was, es gibt keine Optionen? Hm... Warum brauchen wir Augen?) Sehen wir das erste Mitglied der Progression? Wir sehen. Das ist -3,6. Sie können sicher schreiben: a 1 \u003d -3,6. Unterschied D lässt sich aus der Serie ermitteln? Es ist einfach, wenn Sie wissen, was der Unterschied einer arithmetischen Folge ist:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ja, wir haben das Einfachste gemacht. Es bleibt eine unbekannte Zahl zu klären N und eine unverständliche Zahl 117. Im vorherigen Problem war zumindest bekannt, dass es sich um den Term der Progression handelte, der angegeben wurde. Aber hier wissen wir nicht einmal das ... Wie soll man sein!? Nun, wie man ist, wie man ist... Schalten Sie Ihre kreativen Fähigkeiten ein!)

Wir vermuten dass 117 schließlich ein Mitglied unseres Fortschritts ist. Mit unbekannter Nummer N. Und versuchen wir, genau wie im vorherigen Problem, diese Nummer zu finden. Diese. wir schreiben die Formel (ja-ja!) und ersetzen unsere Zahlen:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Wieder drücken wir aus der Formel ausN, wir zählen und erhalten:

Hoppla! Die Zahl stellte sich heraus Bruchteil! Einhunderteineinhalb. Und Bruchzahlen in Progressionen kann nicht sein. Welche Schlussfolgerung ziehen wir? Ja! Nummer 117 ist nicht Mitglied unserer Weiterentwicklung. Es liegt irgendwo zwischen dem 101. und 102. Mitglied. Wenn sich herausstellte, dass die Zahl natürlich ist, d.h. Wenn es sich um eine positive ganze Zahl handelt, wäre die Zahl ein Mitglied der Folge mit der gefundenen Zahl. Und in unserem Fall lautet die Antwort auf das Problem: Nein.

Aufgabe basierend auf einer realen Version des GIA:

Die arithmetische Folge ergibt sich aus der Bedingung:

a n \u003d -4 + 6,8 n

Finden Sie das erste und zehnte Glied der Progression.

Hier ist der Verlauf auf ungewöhnliche Weise gesetzt. Eine Art Formel ... Es passiert.) Diese Formel (wie ich oben geschrieben habe) - auch die Formel des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge! Sie erlaubt es auch Finden Sie jedes Mitglied der Progression anhand seiner Nummer.

Wir suchen das erste Mitglied. Der, der denkt. dass der erste Term minus vier ist, ist ein fataler Fehler!) Weil die Formel in der Aufgabe geändert wurde. Der erste Term einer arithmetischen Folge darin versteckt. Nichts, wir werden es jetzt finden.)

Genau wie in den vorherigen Aufgaben ersetzen wir n=1 in diese Formel:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Hier! Der erste Term ist 2,8, nicht -4!

Ebenso suchen wir nach dem zehnten Term:

a 10 \u003d -4 + 6,8 · 10 \u003d 64

Das ist alles dazu.

Und nun für diejenigen, die diese Zeilen gelesen haben, der versprochene Bonus.)

Angenommen, Sie haben in einer schwierigen Kampfsituation beim GIA oder beim Einheitlichen Staatsexamen die nützliche Formel des n-ten Elements einer arithmetischen Folge vergessen. Etwas fällt mir ein, aber irgendwie unsicher ... Ob N dort, bzw n+1, oder n-1... Wie sein!?

Ruhig! Diese Formel ist leicht abzuleiten. Nicht sehr streng, aber auf jeden Fall genug für Sicherheit und die richtige Entscheidung!) Für den Abschluss genügt es, sich die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge zu merken und sich ein paar Minuten Zeit zu nehmen. Sie müssen nur ein Bild zeichnen. Zur Klarheit.

Wir zeichnen eine numerische Achse und markieren die erste darauf. Zweiter, Dritter usw. Mitglieder. Und beachten Sie den Unterschied D zwischen Mitgliedern. So:

Wir schauen uns das Bild an und denken: Was ist der zweite Term? Zweite eins D:

A 2 =a 1 + 1 D

Was ist die dritte Amtszeit? Dritte Term entspricht dem ersten Term plus zwei D.

A 3 =a 1 + 2 D

Verstehst du es? Nicht umsonst setze ich einige Wörter fett. Okay, noch ein Schritt.)

Was ist der vierte Begriff? Vierte Term entspricht dem ersten Term plus drei D.

A 4 =a 1 + 3 D

Es ist an der Zeit zu erkennen, dass die Anzahl der Lücken, d. h. D, Stets eins weniger als die Nummer des gesuchten Mitglieds N. Das heißt, bis zur Nummer n, Anzahl der Lücken Wille n-1. Die Formel lautet also (keine Optionen!):

Im Allgemeinen sind visuelle Bilder bei der Lösung vieler Probleme in der Mathematik sehr hilfreich. Vernachlässigen Sie die Bilder nicht. Aber wenn es schwierig ist, ein Bild zu zeichnen, dann ... nur eine Formel!) Darüber hinaus ermöglicht Ihnen die Formel des n-ten Termes, das gesamte mächtige Arsenal der Mathematik mit der Lösung zu verbinden – Gleichungen, Ungleichungen, Systeme usw. Man kann kein Bild in eine Gleichung einfügen ...

Aufgaben zur eigenständigen Entscheidung.

Zum Aufwärmen:

1. In der arithmetischen Folge (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5,1. Finden Sie eine 3.

Hinweis: Laut Bild ist das Problem in 20 Sekunden gelöst ... Laut Formel wird es schwieriger. Aber für die Beherrschung der Formel ist es nützlicher.) In Abschnitt 555 wird dieses Problem sowohl durch das Bild als auch durch die Formel gelöst. Fühle den Unterschied!)

Und das ist kein Aufwärmen mehr.)

2. In der arithmetischen Folge (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finden Sie a 3 .

Was, Widerwillen, ein Bild zu zeichnen?) Trotzdem! Bessere Formel, ja ...

3. Der arithmetische Fortschritt ist durch die Bedingung gegeben:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finden Sie das einhundertfünfundzwanzigste Glied dieser Progression.

In dieser Aufgabe wird der Fortschritt wiederkehrend angegeben. Aber bis zum einhundertfünfundzwanzigsten Term zählen... Nicht jeder kann eine solche Leistung vollbringen.) Aber die Formel des n-ten Termes liegt in der Macht eines jeden!

4. Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finden Sie die Zahl des kleinsten positiven Termes der Progression.

5. Ermitteln Sie gemäß der Bedingung von Aufgabe 4 die Summe der kleinsten positiven und größten negativen Mitglieder der Progression.

6. Das Produkt des fünften und zwölften Termes einer aufsteigenden arithmetischen Folge beträgt -2,5 und die Summe des dritten und elften Termes ist Null. Finden Sie eine 14.

Nicht die einfachste Aufgabe, ja ...) Hier wird die Methode „an den Fingern“ nicht funktionieren. Sie müssen Formeln schreiben und Gleichungen lösen.

Antworten (in Unordnung):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Passiert? Es ist schön!)

Es klappt nicht alles? Das passiert. Übrigens gibt es in der letzten Aufgabe einen subtilen Punkt. Beim Lesen des Problems ist Aufmerksamkeit erforderlich. Und Logik.

Die Lösung all dieser Probleme wird in Abschnitt 555 ausführlich besprochen. Und das Fantasieelement für den vierten und das subtile Moment für den sechsten sowie allgemeine Ansätze zur Lösung etwaiger Probleme für die Formel des n-ten Termes – alles ist gemalt. Ich empfehle.

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Unterrichtsart: neues Material lernen.

Lernziele:

• Erweiterung und Vertiefung der Vorstellungen der Studierenden über Aufgaben, die mittels arithmetischer Progression gelöst werden; Organisation der Suchaktivität der Studierenden bei der Ableitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung von Fähigkeiten, sich selbstständig neues Wissen anzueignen, bereits erworbenes Wissen zur Lösung der Aufgabe zu nutzen;
• Entwicklung des Wunsches und Bedürfnisses, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Unabhängigkeit.

Aufgaben:

• das vorhandene Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ verallgemeinern und systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Elemente einer arithmetischen Folge ableiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln zur Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren zum Ermitteln des Werts eines numerischen Ausdrucks aufmerksam.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für die Arbeit in Gruppen und Paaren;
• Bewertungspapier;
• Präsentation„Arithmetische Folge“.

I. Aktualisierung des Grundwissens.

1. Unabhängige Arbeit zu zweit.

1. Möglichkeit:

Definieren Sie eine arithmetische Folge. Schreiben Sie eine rekursive Formel auf, die eine arithmetische Folge definiert. Geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Folge und geben Sie deren Unterschied an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie das 100. Glied einer arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu diesem Zeitpunkt bereiten zwei Schüler auf der Rückseite der Tafel Antworten auf dieselben Fragen vor.
Die Studierenden bewerten die Arbeit des Partners durch Vergleich mit der Tafel. (Flugblätter mit Antworten werden ausgehändigt).

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich habe mir eine arithmetische Folge ausgedacht. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell das 7. Mitglied dieser Progression benennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Fragen von Studierenden.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine weiteren Fragen gibt, kann der Lehrer sie anregen – ein „Verbot“ von d (Unterschied), das heißt, es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist das 6. Semester der Progression und was ist das 8. Semester der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel stehen 20 Zahlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler sagen die Nummer der Nummer und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst an. Erklären Sie, wie ich das machen kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel des n-ten Semesters a n \u003d 3n - 2 und findet durch Ersetzen der gegebenen Werte von n die entsprechenden Werte ein .

II. Darstellung der pädagogischen Aufgabe.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lass euch sagen: Verteilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen, der Unterschied zwischen jedem und seinem Nachbarn beträgt 1/8 des Maßes.“

• In welcher Beziehung steht dieses Problem zum Thema arithmetische Progression? (Jede nächste Person erhält 1/8 des Maßes mehr, der Unterschied beträgt also d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet Ihrer Meinung nach die Zahl 10? (Die Summe aller Mitglieder der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um die Aufteilung der Gerste entsprechend dem Problemzustand einfach und unkompliziert zu gestalten? (Das erste Glied der Progression.)

Unterrichtsziel- Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Progressionsglieder von ihrer Zahl, dem ersten Glied und der Differenz und Prüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, wollen wir uns ansehen, wie die alten Ägypter das Problem gelöst haben.

Und sie haben es so gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme – durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte – verdoppelt Durchschnitt Aktie.
verdoppelt Durchschnitt Der Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte – 1/8 Takt = 1 7/8 Takte – doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - der Anteil der Quinte; usw. Sie können den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person ermitteln.

Wir erhalten die Reihenfolge:

III. Die Lösung der Aufgabe.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

1. Gruppe: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Allgemein

II. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Legende vom kleinen Gauß).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Abschluss:

III-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Abschluss:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Abschluss:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird als „Gauss-Methode“ bezeichnet.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der vorgeschlagenen Lösungen für eine beliebige arithmetische Folge:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wir finden diese Summe, indem wir ähnlich argumentieren:

4. Haben wir die Aufgabe gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfung der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel bei der Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Ausbildung der Fähigkeit, die Formel bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Finden: S 1500

Lösung: , und 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( und n) - arithmetische Folge;
(und n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Finden: N
Lösung:

V. Unabhängiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis arbeitete als Kurier. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat erhöhte es sich um 30 Rubel. Wie viel hat er in einem Jahr verdient?

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;
a 1 = 200, d=30, n=12
Finden: S 12
Lösung:

Antwort: Denis erhielt für das Jahr 4380 Rubel.

VI. Hausaufgabenunterricht.

1. S. 4.3 - Lernen Sie die Ableitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Verfassen Sie ein Problem, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden würde.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Punkteblatt

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute im Unterricht habe ich gelernt...
• Gelernte Formeln...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 ermitteln? Mit welcher Methode werden Sie dieses Problem lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskau: Aufklärung, 2009.

Beispielsweise ist die Folge \(2\); \(5\); \(8\); \(elf\); \(14\)… ist eine arithmetische Folge, da sich jedes nächste Element um drei vom vorherigen unterscheidet (kann aus dem vorherigen durch Addition von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Verläufe nennt man zunehmend.

Allerdings kann \(d\) auch eine negative Zahl sein. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Verläufe werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Der Fortschritt wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Zahlen, die eine Progression bilden, nennt man sie Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie die arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Lösen von Problemen auf einer arithmetischen Folge

Im Prinzip reichen die oben genannten Informationen bereits aus, um fast jedes Problem einer arithmetischen Folge (einschließlich der an der OGE angebotenen) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) gegeben. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antworten: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge sind angegeben: \(62; 49; 36…\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Termes dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge: \(...5; x; 10; 12,5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die folgenden Bedingungen gegeben: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In der arithmetischen Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finden Sie den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antworten: \(d=7\).

Wichtige arithmetische Progressionsformeln

Wie Sie sehen, können viele arithmetische Folgeprobleme einfach dadurch gelöst werden, dass man die Hauptsache versteht – dass eine arithmetische Folge eine Kette von Zahlen ist und jedes nächste Element in dieser Kette durch Addition derselben Zahl zur vorherigen (der Differenz) erhalten wird des Verlaufs).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen eine Lösung „auf der Stirn“ sehr umständlich ist. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Was ist es, wir \ (385 \) mal vier zu addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten dreiundsiebzig Elemente ermitteln müssen. Zählen ist verwirrend...

Daher lösen sie in solchen Fällen nicht „auf der Stirn“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Folge abgeleitet sind. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe \(n\) der ersten Terme.

Formel für das \(n\)-te Mitglied: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Mitglied der Progression ist;
\(n\) – Nummer des erforderlichen Elements;
\(a_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Mit dieser Formel können wir schnell mindestens das dreihundertste oder sogar das millionste Element finden, wobei wir nur das erste und den Fortschrittsunterschied kennen.

Beispiel. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen gegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antworten: \(b_(246)=1850\).

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) ist der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen \(a_n=3,4n-0,6\) gegeben. Finden Sie die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) anstelle von \(a_n\) ersetzen Sie die Formel dafür durch \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe \(n\) der ersten Elemente;
\(a_1\) ist der erste Term, der summiert wird;
\(d\) – Fortschrittsunterschied;
\(n\) – die Anzahl der Elemente in der Summe.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Jetzt verfügen Sie über alle Informationen, die Sie benötigen, um fast jedes arithmetische Folgeproblem zu lösen. Beenden wir das Thema mit der Betrachtung von Problemen, bei denen Sie nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken müssen (in der Mathematik kann dies nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen gegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis zum \(42\)-ten Element einschließlich.
Lösung:

Antworten: \(S=1683\).

Für eine arithmetische Folge gibt es noch einige weitere Formeln, die wir aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens in diesem Artikel nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.