Formeln für Grad und Wurzeln. Potenzierung, Regeln, Beispiele

Im Rahmen dieses Materials werden wir den Grad einer Zahl analysieren. Zusätzlich zu den grundlegenden Definitionen werden wir formulieren, was Grade mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Exponenten sind. Wie immer werden alle Konzepte mit Aufgabenbeispielen illustriert.

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Zunächst formulieren wir eine grundlegende Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten. Dazu müssen wir uns an die Grundregeln der Multiplikation erinnern. Lassen Sie uns im Voraus klarstellen, dass wir vorerst eine reelle Zahl als Basis nehmen (bezeichnen Sie mit dem Buchstaben a) und als Indikator - eine natürliche Zahl (bezeichnen Sie sie mit dem Buchstaben n).

Definition 1

Die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl a ist. Der Abschluss ist so geschrieben: ein, und in Form einer Formel kann seine Zusammensetzung wie folgt dargestellt werden:

Wenn beispielsweise der Exponent 1 und die Basis a ist, dann wird die erste Potenz von a geschrieben als ein 1... Da a der Wert des Faktors und 1 die Anzahl der Faktoren ist, können wir schlussfolgern, dass a 1 = a.

Im Allgemeinen können wir sagen, dass der Abschluss eine bequeme Form ist, eine große Anzahl gleicher Faktoren zu schreiben. Also, ein Eintrag des Formulars 8 8 8 8 kann reduziert werden auf 8 4 ... In ähnlicher Weise hilft uns das Produkt, eine große Anzahl von Begriffen zu vermeiden (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); wir haben dies bereits in dem Artikel über die Multiplikation natürlicher Zahlen untersucht.

Wie kann man das Abschlusszeugnis richtig lesen? Die allgemein akzeptierte Option ist "a hoch n". Oder Sie sagen "n-ter Grad von a" oder "n-ter Grad". Enthält das Beispiel beispielsweise den Eintrag 8 12 , können wir "8 zum 12. Grad", "8 zum 12. Grad" oder "12. zum 8. Grad" lesen.

Die zweite und dritte Potenz der Zahl haben ihre bekannten Namen: Quadrat und Würfel. Wenn wir zweiten Grades sehen, zum Beispiel die Zahl 7 (7 2), dann können wir „7 zum Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl 7“ sagen. Ähnlich wird der dritte Grad so gelesen: 5 3 Ist ein "Würfel der Zahl 5" oder "5 in einem Würfel". Es ist jedoch auch möglich, die Standardformulierung „im zweiten / dritten Grad“ zu verwenden, es wird kein Fehler sein.

Beispiel 1

Lassen Sie uns ein Beispiel für einen Abschluss mit einem natürlichen Indikator analysieren: für 5 7 fünf ist die Basis und sieben ist der Indikator.

Die Basis muss keine ganze Zahl sein: für den Grad (4 , 32) 9 die Basis ist der Bruch 4, 32 und der Exponent ist neun. Achten Sie auf die Klammern: Ein solcher Eintrag erfolgt für alle Grade, deren Basen von natürlichen Zahlen abweichen.

Zum Beispiel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Wozu dienen Klammern? Sie helfen, Rechenfehler zu vermeiden. Nehmen wir an, wir haben zwei Einträge: (− 2) 3 und − 2 3 ... Der erste von ihnen bedeutet eine negative Zahl minus zwei, potenziert mit einem natürlichen Exponenten drei; die zweite ist die Zahl, die dem entgegengesetzten Wert des Grades entspricht 2 3 .

Manchmal findet man in Büchern eine etwas andere Schreibweise des Zahlengrades - ein ^ n(wobei a die Basis und n der Exponent ist). Das heißt, 4 ^ 9 ist dasselbe wie 4 9 ... Wenn n eine mehrstellige Zahl ist, wird sie in Klammern eingeschlossen. Beispiel: 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Aber wir werden die Notation verwenden ein als häufiger.

Es ist leicht zu erraten, wie man den Wert eines Grades mit einem natürlichen Exponenten aus seiner Definition berechnet: Sie müssen nur eine n-te Anzahl von Malen multiplizieren. Darüber haben wir in einem anderen Artikel mehr geschrieben.

Das Konzept eines Grades ist das Gegenteil eines anderen mathematischen Konzepts - der Wurzel einer Zahl. Wenn wir den Wert des Grades und des Exponenten kennen, können wir seine Basis berechnen. Der Abschluss hat einige spezifische Eigenschaften, die für die Lösung von Problemen nützlich sind, die wir in einem separaten Material analysiert haben.

In Exponenten können nicht nur natürliche Zahlen stehen, sondern im Allgemeinen beliebige ganzzahlige Werte, auch negative Einsen und Nullen, da sie ebenfalls zur Menge der ganzen Zahlen gehören.

Definition 2

Die Potenz einer Zahl mit einer positiven ganzen Zahl kann als Formel angezeigt werden: .

Außerdem ist n eine beliebige positive ganze Zahl.

Befassen wir uns mit dem Konzept des Nullgrads. Dazu verwenden wir einen Ansatz, der die Eigenschaft des Quotienten für Grade mit gleicher Basis berücksichtigt. Es ist wie folgt formuliert:

Definition 3

Gleichstellung a m: a n = a m - n gilt unter den Bedingungen: m und n sind natürliche Zahlen, m< n , a ≠ 0 .

Die letzte Bedingung ist wichtig, weil sie die Division durch Null vermeidet. Wenn die Werte von m und n gleich sind, erhalten wir folgendes Ergebnis: a n: a n = a n - n = a 0

Aber gleichzeitig a n: a n = 1 ist der Quotient aus gleichen Zahlen ein und ein. Es stellt sich heraus, dass der Nullgrad jeder Zahl ungleich Null gleich Eins ist.

Ein solcher Beweis gilt jedoch nicht von Null bis Grad Null. Dazu benötigen wir eine weitere Gradeigenschaft - die Eigenschaft von Gradprodukten mit gleicher Basis. Es sieht aus wie das: a m a n = a m + n .

Wenn n gleich 0 ist, dann a m a 0 = a m(diese Gleichheit beweist uns auch, dass a 0 = 1). Aber wenn a auch gleich Null ist, hat unsere Gleichheit die Form 0 m 0 0 = 0 m, Es gilt für jeden natürlichen Wert von n, und es spielt keine Rolle, was genau der Wert des Grades ist 0 0 , d. h., es kann eine beliebige Zahl sein, und dies hat keinen Einfluss auf die Treue der Gleichheit. Daher eine Notation der Form 0 0 hat keine besondere Bedeutung, und wir werden sie ihm nicht zuschreiben.

Auf Wunsch lässt sich das ganz einfach überprüfen a 0 = 1 konvergiert mit der Gradeigenschaft (am) n = am n vorausgesetzt, dass die Basis des Grades nicht Null ist. Somit ist der Grad jeder Zahl ungleich null mit dem Exponenten null gleich eins.

Beispiel 2

Schauen wir uns ein Beispiel mit bestimmten Zahlen an: Also, 5 0 - Einheit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1, und der Wert 0 0 nicht definiert.

Nach dem Nullgrad müssen wir noch herausfinden, was der negative Grad ist. Dazu benötigen wir dieselbe Eigenschaft des Gradprodukts mit gleicher Basis, die wir bereits oben verwendet haben: a m · a n = a m + n.

Führen wir die Bedingung ein: m = - n, dann sollte a ungleich Null sein. Es folgt dem a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... Es stellt sich heraus, dass a n und ein wir haben gegenseitig inverse Zahlen.

Als Ergebnis ist a hoch ganzzahlig negativer Potenz nichts anderes als ein Bruch 1 an n.

Diese Formulierung bestätigt, dass für einen Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten dieselben Eigenschaften gelten wie für einen Grad mit einem natürlichen Exponenten (vorausgesetzt, die Basis ist nicht Null).

Beispiel 3

Die Potenz von a mit einer negativen ganzen Zahl n kann als Bruch 1 a n dargestellt werden. Somit ist a - n = 1 a n unter der Bedingung a 0 und n ist eine beliebige natürliche Zahl.

Veranschaulichen wir unseren Gedanken an konkreten Beispielen:

Beispiel 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Im letzten Teil des Absatzes werden wir versuchen, alles Gesagte in einer Formel klar darzustellen:

Definition 4

Die Potenz der Zahl a mit dem natürlichen Exponenten z ist: az = az, e mit l und z - ganzzahlig positiv 1, z = 0 und a ≠ 0, (für und z = 0 und a = 0 erhalten wir 0 0, die Werte des Ausdrucks sind 0 0 nicht (wenn z eine ganze Zahl ist und a = 0 ergibt 0 z, ego z n in n n e n d e d e n t)

Was sind rationale Exponentengrade?

Wir haben die Fälle analysiert, in denen der Exponent eine ganze Zahl enthält. Sie können eine Zahl jedoch auch potenzieren, wenn ihr Exponent eine Bruchzahl enthält. Dies wird als rationaler Exponentengrad bezeichnet. In diesem Unterabschnitt werden wir beweisen, dass er die gleichen Eigenschaften wie die anderen Grade hat.

Was sind rationale Zahlen? Ihr Satz umfasst sowohl ganze als auch Bruchzahlen, während Bruchzahlen als gewöhnliche Brüche (sowohl positiv als auch negativ) dargestellt werden können. Wir formulieren die Definition des Grades einer Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n, wobei n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl ist.

Wir haben einen gewissen Grad mit gebrochenem Exponenten a m n. Damit die Eigenschaft von Grad zu Grad erfüllt ist, muss die Gleichheit a m n n = a m n · n = a m wahr sein.

Angesichts der Definition der n-ten Wurzel und dass a m n n = a m ist, können wir die Bedingung a m n = a m n akzeptieren, wenn a m n für die gegebenen Werte von m, n und a sinnvoll ist.

Die obigen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten sind korrekt, vorausgesetzt a m n = a m n.

Die Hauptschlussfolgerung aus unserer Argumentation lautet wie folgt: Die Potenz einer Zahl a mit dem gebrochenen Exponenten m / n ist die n-te Wurzel der Zahl a hoch m. Dies ist der Fall, wenn für die angegebenen Werte von m, n und a der Ausdruck a m ​​n sinnvoll bleibt.

1. Wir können den Wert der Basis des Grades begrenzen: Nehmen Sie a, das für positive Werte von m größer oder gleich 0 ist, und für negative Werte strikt weniger (da für m ≤ 0 erhalten wir 0 m, aber dieser Grad ist nicht definiert). In diesem Fall sieht die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten wie folgt aus:

Der Exponent mit dem gebrochenen Exponenten m / n für eine positive Zahl a ist die n-te Wurzel von a hoch m. In Form einer Formel lässt sich dies wie folgt darstellen:

Für einen Grad mit Nullbasis ist diese Position ebenfalls geeignet, jedoch nur, wenn sein Exponent eine positive Zahl ist.

Ein Grad mit einer Basis Null und einem gebrochenen positiven Exponenten m / n kann ausgedrückt werden als

0 m n = 0 m n = 0 unter der Bedingung der positiven ganzen Zahl m und des natürlichen n.

Mit negativem Verhältnis m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Beachten wir einen Punkt. Da wir die Bedingung eingeführt haben, dass a größer oder gleich Null ist, haben wir einige Fälle weggelassen.

Der Ausdruck a m ​​n ist manchmal für einige negative Werte von a und einige m sinnvoll. Die richtigen Einträge sind also (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, wobei die Basis negativ ist.

2. Der zweite Ansatz besteht darin, die Wurzel a m n mit geraden und ungeraden Exponenten getrennt zu betrachten. Dann müssen wir noch eine weitere Bedingung einführen: Die Potenz von a, in deren Exponenten ein annullierbarer gewöhnlicher Bruch steht, wird als Potenz von a angesehen, in deren Exponenten der entsprechende irreduzible Bruch steht. Später werden wir erklären, warum wir diese Bedingung brauchen und warum sie so wichtig ist. Wenn wir also einen Datensatz a m k n k haben, können wir ihn auf a m n reduzieren und die Berechnungen vereinfachen.

Wenn n ungerade und m positiv ist, a eine beliebige nicht-negative Zahl ist, dann ist a m n sinnvoll. Die Bedingung für ein nicht-negatives a ist notwendig, da eine gerade Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen wird. Wenn der Wert von m positiv ist, kann a negativ oder null sein, da eine ungerade Wurzel kann aus jeder reellen Zahl gezogen werden.

Lassen Sie uns alle Daten der obigen Definition in einem Datensatz kombinieren:

Dabei bedeutet m / n einen irreduziblen Bruch, m eine beliebige ganze Zahl und n eine beliebige natürliche Zahl.

Definition 5

Für jeden gewöhnlichen löschbaren Bruch m · k n · k kann der Exponent durch a m n ersetzt werden.

Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m / n - kann in folgenden Fällen als a m n ausgedrückt werden: - für jedes reelle a, positive ganzzahlige Werte m und ungerade natürliche Werte n. Beispiel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Für jedes reelle a ungleich Null, negative ganze Zahl m und ungerades n, zum Beispiel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Für jedes nicht-negative a, positive ganze Zahlen m und gerade n, zum Beispiel 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Für jedes positive a, ganzzahlige negative m und gerade n, zum Beispiel 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Für andere Werte ist der Bruchexponent nicht definiert. Beispiele für solche Abschlüsse: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Lassen Sie uns nun die Bedeutung der oben genannten Bedingung erklären: Warum den Bruch durch einen löschbaren Exponenten durch einen Bruch mit einem irreduziblen ersetzen. Wenn wir dies nicht getan hätten, hätten wir solche Situationen erhalten, sagen wir 6/10 = 3/5. Dann sollte es wahr sein (- 1) 6 10 = - 1 3 5, aber - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, und (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Die Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten, die wir zuerst gegeben haben, ist in der Praxis bequemer als die zweite, daher werden wir sie weiterhin verwenden.

Definition 6

Somit ist der Grad einer positiven Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n definiert als 0 m n = 0 m n = 0. Bei negativem ein die Schreibweise a m n ist bedeutungslos. Nullpotenz für positive gebrochene Exponenten m / n ist definiert als 0 m n = 0 m n = 0, für negative gebrochene Exponenten definieren wir den Nullgrad nicht.

In den Schlussfolgerungen stellen wir fest, dass Sie jeden Bruchindikator sowohl als gemischte Zahl als auch als Dezimalbruch schreiben können: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Beim Rechnen ist es besser, den Exponenten durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und dann die Definition eines Exponenten durch einen gebrochenen Exponenten zu verwenden. Für die obigen Beispiele erhalten wir:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Was sind Grade mit einem irrationalen und gültigen Exponenten?

Was sind reelle Zahlen? Ihre Menge umfasst sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Um zu verstehen, was ein Grad mit einem realen Indikator ist, müssen wir daher Grade mit rationalen und irrationalen Indikatoren definieren. Die rationalen haben wir oben schon erwähnt. Lassen Sie uns Schritt für Schritt mit irrationalen Indikatoren umgehen.

Beispiel 5

Angenommen, wir haben eine irrationale Zahl a und eine Folge ihrer dezimalen Näherungen a 0, a 1, a 2,. ... ... ... Nehmen wir zum Beispiel den Wert a = 1,67175331. ... ... , dann

a 0 = 1,6, a 1 = 1,67, a 2 = 1,671,. ... ... , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753,. ... ...

Wir können einer Folge von Näherungen eine Folge von Graden a a 0, a a 1, a a 2, zuordnen. ... ... ... Wenn wir uns daran erinnern, was wir zuvor über das Erhöhen von Zahlen in eine rationale Potenz gesagt haben, können wir die Werte dieser Potenzen selbst berechnen.

Nimm zum Beispiel a = 3, dann a a 0 = 31,67, a a 1 = 31,6717, a a 2 = 31,671753,. ... ... usw.

Die Gradfolge kann auf eine Zahl reduziert werden, die der Wert des Grades mit einer Basis a und einem irrationalen Exponenten a ist. Als Ergebnis: ein Abschluss mit einem irrationalen Exponenten wie 3 1, 67175331. ... kann auf die Zahl 6, 27 reduziert werden.

Definition 7

Die Potenz einer positiven Zahl a mit einem irrationalen Exponenten a wird als a geschrieben. Sein Wert ist die Grenze der Folge a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... , wobei a 0, a 1, a 2,. ... ... sind sukzessive dezimale Näherungen der irrationalen Zahl a. Der Grad mit Nullbasis kann auch für positive irrationale Indikatoren bestimmt werden, während 0 a = 0 Also, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Und bei negativen ist dies nicht möglich, da zB der Wert 0 - 5, 0 - 2 π nicht definiert ist. Ein beliebig irrationaler Potenzwert bleibt beispielsweise eins, und 1 2, 1 5 in 2 und 1 - 5 werden gleich 1 sein.

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Wann die Zahl multipliziert sich selbst auf sich, arbeiten namens Grad.

Also 2,2 = 4, Quadrat oder zweite Potenz von 2
2.2.2 = 8, Würfel oder dritter Grad.
2.2.2.2 = 16, vierten Grades.

Außerdem ist 10,10 = 100, die zweite Potenz ist 10.
10/10/10 = 1000, dritter Grad.
10.10.10.10 = 10000 vierten Grades.

Und a.a = aa, zweiter Grad von a
a.a.a = aaa, dritten Grades a
a.a.a.a = aaaa, vierten Grades a

Die ursprüngliche Nummer wird angerufen Wurzel die Potenzen dieser Zahl, denn das ist die Zahl, aus der die Grade geschaffen wurden.

Allerdings ist es gerade bei hohen Abschlüssen nicht ganz bequem, alle Faktoren, die die Abschlüsse ausmachen, aufzuschreiben. Daher wird ein abgekürztes Notationsverfahren verwendet. Die Wurzel des Grades wird nur einmal geschrieben und rechts und etwas höher daneben, aber in etwas kleinerer Schrift wird geschrieben, wie oft wirkt als Wurzel als Faktor... Diese Nummer oder dieser Buchstabe heißt Exponent oder Grad Zahlen. Also ist a 2 gleich a.a oder aa, weil die Wurzel von a zweimal mit sich selbst multipliziert werden muss, um die Potenz von aa zu erhalten. Außerdem bedeutet a 3 aaa, d. h. hier wird a wiederholt drei Mal als Faktor.

Der erste Grad ist 1, aber er wird normalerweise nicht aufgezeichnet. Eine 1 wird also als a geschrieben.

Abschlüsse sollte man nicht verwechseln mit Koeffizienten... Der Koeffizient zeigt an, wie oft der Wert angenommen wird als Teil ganz. Der Grad gibt an, wie oft der Wert angenommen wird Faktor Auf der Arbeit.
Also 4a = a + a + a + a. Aber a 4 = a.a.a.a

Das Schema der Potenznotation hat den besonderen Vorteil, dass es uns erlaubt, auszudrücken Unbekannt Grad. Dazu wird statt einer Zahl der Exponent geschrieben Buchstabe... Bei der Lösung des Problems können wir den Wert erhalten, der, wie wir wissen, ist manche Grad einer anderen Größe. Aber bis jetzt wissen wir nicht, ob es ein Quadrat, ein Würfel oder ein anderer höherer Grad ist. Im Ausdruck a x bedeutet der Exponent also, dass dieser Ausdruck hat manche Grad, wenn auch nicht definiert welchem ​​Grad... Also werden b m und d n mit m und n potenziert. Wenn der Exponent gefunden ist, Nummer einen Buchstaben ersetzt. Also, wenn m = 3, dann b m = b 3; aber wenn m = 5 dann b m = b 5.

Die Methode, Werte mit Potenzen zu schreiben, ist auch bei der Verwendung von großem Vorteil Ausdrücke... Also ist (a + b + d) 3 (a + b + d) (A + b + d) (A + b + d), also die Kubik des Trinoms (a + b + d) . Aber wenn du diesen Ausdruck nach dem Würfeln schreibst, sieht er aus wie
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3.

Wenn wir eine Reihe von Graden nehmen, deren Exponenten um 1 steigen oder fallen, finden wir, dass das Produkt um . zunimmt gemeinsamer Faktor oder verringert sich um gemeinsamer Teiler, und dieser Faktor oder Teiler ist die ursprüngliche Zahl, die potenziert wird.

Also, in der Reihe aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
oder a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
Indikatoren, wenn von rechts nach links gezählt, sind gleich 1, 2, 3, 4, 5; und der Unterschied zwischen ihren Werten ist 1. Wenn wir anfangen rechts multiplizieren auf a erhalten wir erfolgreich mehrere Werte.

Also a.a = a 2, zweiter Term. Und a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, dritter Term. a 4 .a = a 5.

Wenn wir anfangen links Teilen auf einen,
wir erhalten eine 5: a = a 4 und a 3: a = a 2.
a 4: a = a 3 a 2: a = a 1

Aber ein solcher Teilungsprozess kann weitergeführt werden, und wir erhalten einen neuen Wertekanon.

Also a: a = a / a = 1. (1 / a): a = 1 / aa
1: a = 1 / a (1 / aa): a = 1 / aaa.

Die vollständige Zeile lautet: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1 / a, 1 / aa, 1 / aaa.

Oder eine 5, eine 4, eine 3, eine 2, eine, 1, 1 / a, 1 / eine 2, 1 / eine 3.

Hier die Werte rechts von einem gibt es umkehren Werte links von eins. Daher können diese Abschlüsse genannt werden inverse Grade A. Wir können auch sagen, dass die Grade auf der linken Seite invers zu den Graden auf der rechten Seite sind.

Also 1: (1 / a) = 1. (a / 1) = a. Und 1: (1 / a 3) = eine 3.

Der gleiche Aufnahmeplan kann angewendet werden auf Polynome... Für a + b erhalten wir also die Menge,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1 / (a ​​+ b), 1 / (a ​​+ b) 2, 1 / (a ​​+ b) 3.

Der Einfachheit halber wird eine andere Form des Schreibens der inversen Potenzen verwendet.

Nach dieser Form ist 1 / a oder 1 / a 1 = a -1. Und 1 / aaa oder 1 / a 3 = a -3.
1 / aa oder 1 / a 2 = a -2. 1 / aaaa oder 1 / a 4 = a -4.

Und um eine vollständige Reihe mit Indikatoren mit 1 als Gesamtdifferenz zu erstellen, wird a / a oder 1 als solche angesehen, die keinen Grad hat und als 0 geschrieben wird.

Dann unter Berücksichtigung der direkten und inversen Potenzen
statt aaaa, aaa, aa, a, a / a, 1 / a, 1 / aa, 1 / aaa, 1 / aaaa
Sie können eine 4, eine 3, eine 2, eine 1, eine 0, eine -1, eine -2, eine -3, eine -4 schreiben.
Oder a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Und eine Reihe von nur einzelnen Abschlüssen sieht so aus:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Die Wurzel einer Potenz kann in mehr als einem Buchstaben ausgedrückt werden.

Also ist aa.aa oder (aa) 2 der zweite Grad von aa.
Und aa.aa.aa oder (aa) 3 ist der dritte Grad von aa.

Alle Potenzen der Zahl 1 sind gleich: 1.1 oder 1.1.1. wird gleich 1 sein.

Potenzierung bedeutet, den Wert einer beliebigen Zahl zu ermitteln, indem man diese Zahl mit sich selbst multipliziert. Potenzierungsregel:

Multiplizieren Sie den Wert mit sich selbst so oft, wie es in der Potenz der Zahl angegeben ist.

Diese Regel ist allen Beispielen gemeinsam, die während des Exponentiationsprozesses auftreten können. Aber es wird richtig sein, eine Erklärung zu geben, wie sie auf bestimmte Fälle angewendet wird.

Wird nur ein Term potenziert, wird er so oft mit sich selbst multipliziert, wie der Exponent angibt.

Die vierte Potenz von a ist eine 4 oder aaaa. (Art. 195.)
Die sechste Potenz von y ist y 6 oder yyyyyy.
Die n-te Potenz von x ist x n oder xxx ..... n-mal wiederholt.

Ist es notwendig, einen Ausdruck mit mehreren Termen zu einer Exponentialfunktion zu erheben, gilt der Grundsatz, nach dem die Potenz des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt dieser Faktoren potenziert.

Also (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Aber ay.ay = aay = aayy = a 2 y 2.
Also (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3.

Um den Grad eines Produkts zu ermitteln, können wir daher entweder mit dem gesamten Produkt auf einmal operieren oder mit jedem Faktor separat operieren und dann ihre Werte mit Potenzen multiplizieren.

Beispiel 1. Die vierte Potenz von dhy ist (dhy) 4 oder d 4 h 4 y 4.

Beispiel 2. Der dritte Grad 4b ist (4b) 3 oder 4 3 b 3 oder 64b 3.

Beispiel 3. Die n-te Potenz von 6ad ist (6ad) n oder 6 n a n d n.

Beispiel 4. Der dritte Grad 3m.2y ist (3m.2y) 3 oder 27m 3.8y 3.

Die Potenz eines Zweierterms, bestehend aus Termen, die durch die Zeichen + und - verbunden sind, wird durch Multiplikation seiner Terme berechnet. So,

(a + b) 1 = a + b, ersten Grades.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, zweiten Grades (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, dritten Grades.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, vierten Grades.

Das Quadrat ist a - b, es gibt a 2 - 2ab + b 2.

Der Rechner hilft, eine Zahl online schnell zu potenzieren. Die Basis des Grades kann eine beliebige Zahl sein (sowohl ganze als auch reelle Zahlen). Der Exponent kann auch ganz oder reell sein, sowie sowohl positiv als auch negativ. Beachten Sie, dass für negative Zahlen keine nicht ganzzahlige Exponentiation definiert ist und der Rechner daher einen Fehler meldet, wenn Sie dies dennoch versuchen.

Abschlussrechner

Erhebe dich an die Macht

Exponenten: 28399

Was ist die natürliche Potenz einer Zahl?

Die Zahl p heißt n-te Potenz der Zahl a, wenn p gleich der Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert ist: p = a n = a ... a
n - genannt Exponent, und die Zahl a - Basisgrad.

Wie hebt man eine Zahl auf eine natürliche Potenz?

Um zu verstehen, wie man verschiedene Zahlen zu natürlichen Potenzen erhöht, betrachten Sie einige Beispiele:

Beispiel 1... Erhöhe die Zahl drei in die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 3 4 . zu berechnen
Lösung: wie oben erwähnt, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Antworten: 3 4 = 81 .

Beispiel 2... Erhöhe die Zahl fünf zur fünften Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 5 5 . zu berechnen
Lösung: ebenso 5 5 = 5 5 5 5 5 5 = 3125.
Antworten: 5 5 = 3125 .

Um eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erheben, müssen Sie sie also nur n-mal mit sich selbst multiplizieren.

Was ist die negative Potenz einer Zahl?

In diesem Fall existiert die negative Potenz nur für Zahlen ungleich Null, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde.

Wie potenziert man eine Zahl mit einer negativen ganzen Zahl?

Um eine Zahl ungleich null negativ zu potenzieren, musst du den Wert dieser Zahl mit derselben positiven Potenz berechnen und eins durch das Ergebnis dividieren.

Beispiel 1... Erhöhe die Zahl zwei auf minus die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 2 -4 . zu berechnen

Antworten: 2 -4 = 0.0625 .

Leistungsformeln werden beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C ist ein n-te Potenz der Zahl ein Wenn:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Wenn man Grade mit derselben Basis multipliziert, addieren sich ihre Indikatoren:

binA n = a m + n.

2. Bei der Teilung von Graden mit gleicher Basis werden ihre Indikatoren abgezogen:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Die Potenz eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Potenzen des Dividenden und des Divisors:

(a / b) n = a n / b n.

5. Erhöht man einen Grad zu einem Grad, werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n.

Jede der obigen Formeln gilt von links nach rechts und umgekehrt.

zum Beispiel. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Root-Operationen.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel der Beziehung ist gleich dem Verhältnis von Dividende und Divisor der Wurzeln:

3. Beim Potenzieren einer Wurzel genügt es, die Wurzelzahl zu potenzieren:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad in . erhöhen n einmal und gleichzeitig einbauen n-te Potenz der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wurzelwert nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad in . reduzieren n die Wurzel einmal und gleichzeitig extrahieren n-te Potenz der radikalen Zahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Die Potenz einer Zahl mit einem nicht positiven (ganzen) Exponenten ist definiert als eine Einheit geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten gleich dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten:

Formel bin: a n = a m - n kann nicht nur verwendet werden für m> n, aber auch bei m< n.

zum Beispiel. ein4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Damit die Formel bin: a n = a m - n wurde gerecht, als m = n, das Vorhandensein des Nullgrads ist erforderlich.

Null Grad. Die Potenz einer Zahl ungleich null mit einem Exponenten von null ist gleich eins.

zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Bruchexponent. Um eine reelle Zahl aufzustellen ein bis zum grad m / n, du musst die Wurzel extrahieren n-ter Grad von m-te Potenz dieser Zahl ein.

Wenn man das Gespräch über den Grad einer Zahl fortsetzt, ist es logisch, herauszufinden, wie man die Bedeutung des Grades findet. Dieser Prozess wurde benannt Potenzierung... In diesem Artikel werden wir nur untersuchen, wie die Exponentiation durchgeführt wird, während wir alle möglichen Exponenten berühren - natürlich, ganz, rational und irrational. Und gemäß der Tradition werden wir die Lösungen von Beispielen für das Erhöhen von Zahlen in verschiedene Potenzen im Detail betrachten.

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Was bedeutet "Exponentiation"?

Sie sollten damit beginnen, die sogenannte Exponentiation zu erklären. Hier ist die passende Definition.

Definition.

Potenzierung- Dies ist das Finden des Wertes der Potenz einer Zahl.

Daher ist das Ermitteln des Wertes der Potenz einer Zahl a mit dem Exponenten r und das Erhöhen der Zahl a mit r dasselbe. Wenn das Problem zum Beispiel „Berechne den Wert des Grades (0,5) 5“ lautet, dann kann es wie folgt umformuliert werden: „Erhöhe die Zahl 0,5 hoch 5“.

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Exponentiation durchgeführt wird.

Eine Zahl zu einer natürlichen Potenz erhöhen

In der Praxis wird die Gleichstellung auf der Grundlage in der Regel in der Form angewendet. Das heißt, wenn die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m/n erhöht wird, wird zuerst die n-te Wurzel der Zahl a extrahiert, wonach das Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhöht wird.

Betrachten Sie Lösungen für Beispiele für das Erhöhen in eine gebrochene Potenz.

Beispiel.

Berechne den Exponentenwert.

Lösung.

Wir zeigen zwei Möglichkeiten, um es zu lösen.

Der erste Weg. Per Definition ein gebrochener Exponent. Wir berechnen den Wert des Grades unter dem Wurzelzeichen, wonach wir die Kubikwurzel extrahieren: .

Zweiter Weg. Durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten und basierend auf den Eigenschaften der Wurzeln sind die Gleichungen wahr ... Jetzt extrahieren wir die Wurzel endlich zu einer ganzen Macht erheben .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse der Potenzerhöhung mit einem Bruchteil überein.

Antworten:

Beachten Sie, dass ein gebrochener Exponent in Form eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl geschrieben werden kann. In diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt werden, wonach die Exponentiation durchgeführt werden sollte.

Beispiel.

Berechnen (44,89) 2.5.

Lösung.

Schreiben wir den Exponenten in Form eines gewöhnlichen Bruchs (ggf. siehe Artikel): ... Jetzt führen wir die gebrochene Exponentiation durch:

Antworten:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass das Erhöhen von Zahlen in rationale Potenzen ein ziemlich mühsamer Prozess ist (insbesondere wenn genügend große Zahlen im Zähler und Nenner des gebrochenen Exponenten gefunden werden), der normalerweise mit Computertechnik durchgeführt wird.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Punktes darauf eingehen, die Zahl Null in eine gebrochene Potenz zu erheben. Wir haben dem gebrochenen Nullgrad der Form folgende Bedeutung gegeben: denn wir haben , und bei null hoch m / n ist undefiniert. Also ist Null in einer gebrochenen positiven Potenz gleich Null, zum Beispiel ... Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel sind Ausdrücke und 0 -4,3 nicht sinnvoll.

Irrationale Potenzierung

Manchmal ist es notwendig, den Wert der Potenz einer Zahl mit einem irrationalen Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es für praktische Zwecke normalerweise aus, den Wert des Grades auf ein bestimmtes Vorzeichen genau zu erhalten. Wir stellen gleich fest, dass dieser Wert in der Praxis mit elektronischen Computern berechnet wird, da eine manuelle Erhöhung in eine irrationale Potenz viele umständliche Berechnungen erfordert. Trotzdem werden wir das Wesen der Aktionen allgemein beschreiben.

Um einen Näherungswert der Potenz der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Näherung des Exponenten genommen und der Wert des Exponenten berechnet. Dieser Wert ist ein ungefährer Wert der Potenz der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung der Zahl anfangs genommen wird, desto genauer wird dadurch der Gradwert.

Als Beispiel berechnen wir den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367 .... Nehmen wir die folgende dezimale Näherung des irrationalen Exponenten:. Jetzt erhöhen wir 2 rational 1,17 (wir haben das Wesen dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), wir erhalten 2 1,17 ≈2,250116. Auf diese Weise, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Wenn wir beispielsweise eine genauere dezimale Näherung eines irrationalen Exponenten verwenden, erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referenzliste.

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