Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику

Решение задачи:

Если у квадратичной функции коэффициент "а" больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.
И наоборот, если у квадратичной функции коэффициент "а" меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.
Знак коэффициента "с" можно определить по точке пересечения параболы с осью Y. Если точка пересечения выше нуля, то и "с" больше нуля. И наоборот, если точка пересечения ниже нуля, то и "с" меньше нуля. А если парабола проходит через начало координат, то с=0
Рассмотрим каждый график:
А) Ветви параболы направлены вверх. Точка пересечения параболы с осью Y лежит выше нуля, следовательно a>0 и c>0, т.е. вариант 1).
Б) Ветви параболы направлены вниз. Точка пересечения параболы с осью Y лежит выше нуля, следовательно a 0, т.е. вариант 3).
В) Ветви параболы направлены вверх. Точка пересечения параболы с осью Y лежит ниже нуля, следовательно a>0, а c Ответ: А) - 1), Б) - 3), В) - 2)

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице

Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более , в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.

Выполнила: Давыдова Галина Анатольевна
Учитель математики
МКОУ «Кукуйская ООШ №25»
Ефремовский район, тульская область

Введение

Данный материал поддерживает изучение основного курса
математики и способствует лучшему усвоению базового курса.
Материал можно использовать как на уроках математики, так и
на дополнительных занятиях при подготовке к ГИА.
Квадратичная функция является одной из главных функций
школьной математики и от учащегося требуется четкое
понимание и знание всех ее свойств.
По знакам коэффициентов можно воспроизвести
схематический график квадратичной функции, по знаку
выражения (b2 – 4ac) определить существование и число
корней. Ученику надо понимать, как коэффициенты
квадратичной функции, их знаки, соотношения между ними
определяют свойства функции влияют на расположение
графика. Так же важно уметь определять знаки коэффициентов
по графику квадратичной функции.

Цели:

выработать умение исследования и чтения
графиков;
формировать математическое мышление,
необходимые человеку в современном
обществе.

Задачи:

Научиться находить знаки коэффициентов
по графику;
овладеть рядом технических и
интеллектуальных математических умений;
приобрести определенную математическую
культуру;

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется
функция вида: y=aх2+bx+c,
где
а – коэффициент при старшей степени
неизвестной х (первый коэффициент),
b – коэффициент при неизвестной х (второй
коэффициент),
с - свободный член.

Для определения знака коэффициентов
квадратичной функции по
графику воспользуемся теоремой Виета:
сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а
произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его
старший коэффициент равен единице.
Чтобы уравнение aх2+bx+c =0 стало приведенным, нужно
обе части уравнения разделить на старший коэффициент.
Получим приведенное уравнение х2+b/ax+c/a =0 .
Для него справедливы соотношения:
х1 + х2 = - b / а
х1 х2 = с/а
И эти же соотношения справедливы для уравнения
aх2+bx+c=0

Определение знака коэффициента а по графику квадратичной функции

1. если ветви параболы
направлены вверх,
то а>0 ,
2. если ветви параболы
направлены вниз, то
а<0 .

Определение знака корней квадратного трехчлена по графику квадратичной функции

Корни квадратного трехчлена aх2+bx+c – это абсциссы точек
пересечения графика функции y=aх2+bx+c с осью абсцисс
Если оба корня положительны, то х1 + х2 = -b / а >0
Если оба корня отрицательны, то х1 + х2 = - b / а <0
Если корень с большим модулем положителен, то
х1 + х2 = - b / а >0.
Если корень с большим модулем отрицателен, то
х1 + х2 = - b / а <0.
Если корни имеют одинаковые знаки, то х1 х2 = с/а >0
Если корни имеют разные знаки, то х1 х2 = с/а<0.
Во всех случаях, определив знак коэффициента а по
направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки
коэффициентов b и c

10. Пример №1

квадратичной функции, если график
функции имеет вид:
1. Ветви параболы направлены вниз,
следовательно, а<0.
2. Корни имеют одинаковые знаки,

положительно:
х1 х2 = с/а >0. Так как а<0 ,
следовательно, с <0 .
3. Оба корня отрицательны,
следовательно, их сумма
отрицательна: х1 + х2 = - b / а <0. Так
как а <0 , следовательно, b<0.
Ответ: а<0 , b<0, с <0.

11. Пример №2

Определить знаки коэффициентов
квадратичной функции, если
график функции имеет вид:
1. Ветви параболы направлены
вверх, следовательно, а>0.
2. Корни имеют разные знаки,
следовательно, их произведение
отрицательно:
х1 х2 = с/а<0. Так как а>0 ,
следовательно, с<0.
3. Корень с большим модулем
положителен,
следовательно, сумма корней
положительна:
х1 + х2 = - b / а >0.
Так как а>0 , следовательно, b<0.
Ответ: а>0. b<0, с<0 .

12. Модуль «Алгебра» прототип задания 5

1.
2.
График какой из приведенных
ниже функций изображен на
рисунке?
1. У= -х2 -6х-5
2. У= х2 +6х+5
3. У= х2 -6х+5
4. У= -х2 +6х-5
Решение:
Ветви направлены вверх,
следовательно а>0.
Сумма корней отрицательна,
х1 + х2 = -6, а=1>0,следовательно,
b >0, b=6
Ответ: 2

13. Найдите знаки коэффициентов а;b и с по графику функции, изображенному на рисунке.

14. Литература

1. "Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений"
Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2010.;
2. "Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений"
Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2011.;
3. ГИА, Математика, 3000 задач с ответами, Часть 1, Семенов А.Л.,
Ященко И.В., 2013.

Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.

Методическая разработка Сагнаевой А.М.

МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .

Ι. Нахождение коэффициента а

по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

у=a(х-m)2+n

4. решаем полученное уравнение.

А(х 1 ;у 1 )

парабола

ΙΙ. Нахождение коэффициента b

1. Сначала находим значение коэффициента a

2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a

3. Вычисляем значение коэффициента b .

А(х 1 ;у 1 )

парабола

ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c

1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты a,b

(см. шаги Ι, ΙΙ)

3. Подставляем найденные значения a, b ,А(х 1; у 1 ) в уравнение

у=ax 2 +bx+c и находим с.

А(х 1 ;у 1 )

парабола

Задачи

подсказка

Ιх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с Ответ: 5 с х 1 х 2 " width="640"

Ветви параболы направлены вниз,

Корни имеют разные знаки,Ι х 1 ΙΙх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a
Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с

х 1

х 2

П Подсказка

0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Ответ: 5 " width="640"

1.Ветви параболы направлены вниз, значит а

x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.

0 , т.к. ветви параболы направлены вверх; 2. с=у(0)3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу: при этом а 0, следовательно, b4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках. " width="640"

На рисунке приведен график функции у=ax 2 +bx+c. Укажите знаки коэффициентов a,b,c и дискриминанта D.

Решение:

1. а0 , т.к. ветви параболы направлены вверх;

3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу:

при этом а 0, следовательно, b

4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках.

На рисунке изображена парабола

Укажите значения k и t .

Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.

Найдите, где - абсциссы точек пересечения

параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).