সম্ভাব্যতা তত্ত্বে সমস্যা। একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়৷ একটি র্যান্ডম পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা 4 বার নিক্ষেপ করা হয়৷
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলির মধ্যে, যা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা নম্বর 4-এ উপস্থাপিত হয়েছে, উপরন্তু, একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলা এবং একটি পাশা নিক্ষেপের সমস্যা রয়েছে। আমরা আজ তাদের তাকান হবে.
মুদ্রা টস সমস্যা
কার্যক্রম 1.একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। মাথা ঠিক একবার প্রদর্শিত হবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।
এই ধরনের সমস্যায়, P (লেজ) এবং O (হেডস) অক্ষর ব্যবহার করে সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল লিখতে সুবিধাজনক। সুতরাং, OP এর ফলাফলের মানে হল যে প্রথম নিক্ষেপে এটি মাথার উপরে এসেছিল এবং দ্বিতীয় নিক্ষেপে এটি লেজ পর্যন্ত এসেছিল। বিবেচনাধীন সমস্যাটিতে, 4টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে: RR, RO, OR, OO। ইভেন্ট "টেল ঠিক একবারই প্রদর্শিত হবে" 2টি ফলাফল দ্বারা অনুকূল হয়: RO এবং OP৷ প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা সমান।
উত্তর: 0.5।
টাস্ক 2।একটি প্রতিসম মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হয়। এটি ঠিক দুবার মাথার উপর ল্যান্ড করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।
মোট 8টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO। ইভেন্ট "মাথা ঠিক দুবার প্রদর্শিত হবে" 3টি ফলাফল দ্বারা অনুকূল হয়: ROO, ORO, OOR৷ প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা সমান।
উত্তর: 0.375।
টাস্ক 3।একটি ফুটবল ম্যাচ শুরুর আগে, রেফারি একটি মুদ্রা উল্টিয়ে দেন কোন দল বল দিয়ে শুরু করবে তা নির্ধারণ করতে। পান্না দল বিভিন্ন দলের সাথে তিনটি ম্যাচ খেলে। এই গেমগুলিতে "পান্না" ঠিক একবার জিতবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।
এই কাজটি আগেরটির মতোই। প্রতিবার ল্যান্ডিং হেড মানে "পান্না" দিয়ে লট জেতা (এই অনুমান সম্ভাব্যতার গণনাকে প্রভাবিত করে না)। তাহলে 8টি ফলাফল সম্ভব: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO। ইভেন্টটি "টেলগুলি ঠিক একবারই প্রদর্শিত হবে" 3টি ফলাফল দ্বারা অনুকূল হয়: ROO, ORO, OOR৷ প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা সমান।
উত্তর: 0.375।
সমস্যা 4. একটি প্রতিসম মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হয়। সম্ভাব্যতা খুঁজুন যে ROO ফলাফল ঘটবে (প্রথমবার এটি হেড অবতরণ করে, দ্বিতীয় এবং তৃতীয়বার মাথা ল্যান্ড করে)।
পূর্ববর্তী কাজের মতো, এখানে 8টি ফলাফল রয়েছে: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO। ROO ফলাফল হওয়ার সম্ভাবনা সমান।
উত্তর: 0.125।
ডাইস রোলিং সমস্যা
টাস্ক 5।পাশা দুইবার নিক্ষেপ করা হয়. পরীক্ষার কয়টি প্রাথমিক ফলাফল "বিন্দুর যোগফল 8" ইভেন্টের পক্ষে?
সমস্যা 6. একই সময়ে দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। মোট 4 পয়েন্ট হবে সম্ভাব্যতা খুঁজুন. ফলাফলকে শতভাগে রাউন্ড করুন।
সাধারণভাবে, যদি পাশা নিক্ষেপ করা হয়, সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে। একই ডাই পরপর কয়েকবার ঘূর্ণিত হলে একই সংখ্যক ফলাফল পাওয়া যায়।
ইভেন্ট "মোট সংখ্যা 4" নিম্নলিখিত ফলাফল দ্বারা অনুকূল হয়: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1। তাদের সংখ্যা হল 3। প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা হল।
একটি ভগ্নাংশের আনুমানিক মান গণনা করতে, কোণ বিভাজন ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এইভাবে, প্রায় 0.083 এর সমান..., নিকটতম শততম বৃত্তাকারে আমাদের 0.08 আছে।
উত্তর: 0.08
সমস্যা 7. একই সময়ে তিনটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে মোট 5 পয়েন্ট হবে। ফলাফলকে শতভাগে রাউন্ড করুন।
ফলাফলটি তিনটি সংখ্যা হিসাবে বিবেচিত হবে: পয়েন্টগুলি প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পাশায় ঘূর্ণিত। সব সমান সম্ভাব্য ফলাফল আছে. নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি "মোট 5" ইভেন্টের জন্য অনুকূল: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1৷ তাদের সংখ্যা 6। প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা হল। একটি ভগ্নাংশের আনুমানিক মান গণনা করতে, কোণ বিভাজন ব্যবহার করা সুবিধাজনক। আনুমানিক আমরা 0.027 পাই..., শতভাগে রাউন্ডিং, আমাদের 0.03 আছে। সূত্র “ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি। অংক. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব". F.F দ্বারা সম্পাদিত লিসেনকো, এস ইউ। কুলাবুখোভা
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, সমস্যাগুলির একটি গ্রুপ রয়েছে যার জন্য সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা জানা এবং প্রস্তাবিত পরিস্থিতিকে দৃশ্যমানভাবে উপস্থাপন করা যথেষ্ট। এই ধরনের সমস্যাগুলির মধ্যে বেশিরভাগ মুদ্রা টস সমস্যা এবং ডাইস রোলিং সমস্যা অন্তর্ভুক্ত। আসুন সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞাটি স্মরণ করি।
ঘটনার সম্ভাবনা A (সাংখ্যিক পরিভাষায় ঘটে যাওয়া একটি ইভেন্টের উদ্দেশ্যমূলক সম্ভাবনা) এই ইভেন্টের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের সাথে সমানভাবে সম্ভাব্য বেমানান প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যার সমান: P(A)=m/n, কোথায়:
- m হল প্রাথমিক পরীক্ষার ফলাফলের সংখ্যা যা ঘটনা A ঘটার জন্য অনুকূল হয়;
- n হল সমস্ত সম্ভাব্য প্রাথমিক পরীক্ষার ফলাফলের মোট সংখ্যা।
সম্ভাব্য প্রাথমিক পরীক্ষার ফলাফলের সংখ্যা এবং বিবেচনাধীন সমস্যাগুলির অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা সমস্ত সম্ভাব্য বিকল্প (সংমিশ্রণ) এবং সরাসরি গণনা করে নির্ণয় করা সুবিধাজনক।
টেবিল থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=4। ইভেন্টের অনুকূল ফলাফল A = (হেড 1 বার প্রদর্শিত হয়) পরীক্ষার নং 2 এবং নং 3 বিকল্পের সাথে মিলে যায়, এই ধরনের দুটি বিকল্প m = 2 রয়েছে৷
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=2/4=0.5
সমস্যা 2 . একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। আপনি এ সব কোন মাথা পাবেন সম্ভাবনা খুঁজে.
সমাধান
. যেহেতু মুদ্রাটি দুবার নিক্ষেপ করা হয়েছে, তারপর, সমস্যা 1 এর মতো, সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=4। ইভেন্টের অনুকূল ফলাফল A = (একবারও মাথা প্রদর্শিত হবে না) পরীক্ষার বিকল্প নং 4 এর সাথে মিলে যায় (সমস্যা 1 এ টেবিলটি দেখুন)। শুধুমাত্র একটি বিকল্প আছে, যার মানে m=1।
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=1/4=0.25
সমস্যা 3 . একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হয়। মাথা ঠিক 2 বার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।
সমাধান . আমরা একটি টেবিলের আকারে তিনটি মুদ্রা টসের জন্য সম্ভাব্য বিকল্পগুলি উপস্থাপন করি (মাথা এবং লেজের সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ):
টেবিল থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=8। ইভেন্টের অনুকূল ফলাফল A = (মাথা 2 বার প্রদর্শিত হয়) পরীক্ষার বিকল্প নং 5, 6 এবং 7 এর সাথে মিলে যায়। এরকম তিনটি অপশন আছে, যার মানে m=3।
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=3/8=0.375
সমস্যা 4 . একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হয়। ঠিক 3 বার হেড পাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।
সমাধান . আমরা একটি টেবিলের আকারে চারটি মুদ্রা টসের জন্য সম্ভাব্য বিকল্পগুলি উপস্থাপন করি (মাথা এবং লেজের সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ):
| বিকল্প নং | ১ম নিক্ষেপ | ২য় নিক্ষেপ | ৩য় নিক্ষেপ | ৪র্থ নিক্ষেপ | বিকল্প নং | ১ম নিক্ষেপ | ২য় নিক্ষেপ | ৩য় নিক্ষেপ | ৪র্থ নিক্ষেপ |
| 1 | ঈগল | ঈগল | ঈগল | ঈগল | 9 | লেজ | ঈগল | লেজ | ঈগল |
| 2 | ঈগল | লেজ | লেজ | লেজ | 10 | ঈগল | লেজ | ঈগল | লেজ |
| 3 | লেজ | ঈগল | লেজ | লেজ | 11 | ঈগল | লেজ | লেজ | ঈগল |
| 4 | লেজ | লেজ | ঈগল | লেজ | 12 | ঈগল | ঈগল | ঈগল | লেজ |
| 5 | লেজ | লেজ | লেজ | ঈগল | 13 | লেজ | ঈগল | ঈগল | ঈগল |
| 6 | ঈগল | ঈগল | লেজ | লেজ | 14 | ঈগল | লেজ | ঈগল | ঈগল |
| 7 | লেজ | ঈগল | ঈগল | লেজ | 15 | ঈগল | ঈগল | লেজ | ঈগল |
| 8 | লেজ | লেজ | ঈগল | ঈগল | 16 | লেজ | লেজ | লেজ | লেজ |
টেবিল থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=16। ইভেন্ট A = (হেড 3 বার প্রদর্শিত হবে) এর অনুকূল ফলাফলগুলি পরীক্ষার 12, 13, 14 এবং 15 নম্বর বিকল্পগুলির সাথে মিলে যায়, যার মানে m = 4৷
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=4/16=0.25
 |
ডাইস সমস্যায় সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা
সমস্যা 5 . একটি পাশা (একটি ন্যায্য পাশা) নিক্ষেপ করার সময় আপনি 3 পয়েন্টের বেশি পাবেন এমন সম্ভাবনা নির্ধারণ করুন।
সমাধান
. একটি পাশা (একটি নিয়মিত পাশা) নিক্ষেপ করার সময়, এর ছয়টি মুখের যে কোনোটি পড়ে যেতে পারে, যেমন যে কোনো প্রাথমিক ঘটনা ঘটে - 1 থেকে 6 বিন্দু (পয়েন্ট) এর ক্ষতি। এর মানে হল সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=6।
ইভেন্ট A = (3 পয়েন্টের বেশি ঘূর্ণিত) মানে 4, 5 বা 6 পয়েন্ট (পয়েন্ট) ঘূর্ণিত। এর মানে হল অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা m=3।
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা P(A)=m/n=3/6=0.5
সমস্যা 6 . সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করুন যে একটি পাশা নিক্ষেপ করার সময় আপনি 4-এর বেশি নয় এমন একটি সংখ্যা পাবেন৷ ফলাফলটিকে নিকটতম সহস্রতমে বৃত্তাকার করুন৷
সমাধান
. একটি ডাই নিক্ষেপ করার সময়, এর ছয়টি মুখের যে কোনোটি পড়ে যেতে পারে, যেমন যে কোনো প্রাথমিক ঘটনা ঘটে - 1 থেকে 6 বিন্দু (পয়েন্ট) এর ক্ষতি। এর মানে হল সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=6।
ইভেন্ট A = (4 পয়েন্টের বেশি ঘূর্ণিত নয়) মানে 4, 3, 2 বা 1 পয়েন্ট (বিন্দু) ঘূর্ণিত। এর মানে হল অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা m=4।
ঘটনার সম্ভাবনা Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667
সমস্যা 7 . পাশা দুইবার নিক্ষেপ করা হয়. ঘূর্ণিত সংখ্যা উভয় বার 4-এর কম হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।
সমাধান . যেহেতু ডাইস (ডাইস) দুইবার নিক্ষেপ করা হয়, আমরা নিম্নরূপ যুক্তি দেব: যদি প্রথম ডাইটি এক বিন্দু দেখায়, তাহলে দ্বিতীয় ডাইটি 1, 2, 3, 4, 5, 6 পেতে পারে। আমরা জোড়া (1;1) পাই ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) এবং তাই প্রতিটি মুখের সাথে। আসুন 6টি সারি এবং 6টি কলামের একটি টেবিল আকারে সমস্ত কেস উপস্থাপন করি:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
আমরা ইভেন্টের অনুকূল ফলাফল গণনা করি A = (উভয় সময়ই সংখ্যাটি 4 এর কম ছিল) (এগুলি গাঢ়ভাবে হাইলাইট করা হয়েছে) এবং আমরা m=9 পাই।
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=9/36=0.25
সমস্যা 8 . পাশা দুইবার নিক্ষেপ করা হয়. অঙ্কিত দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তর 5 হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন। আপনার উত্তরকে নিকটতম হাজারে বৃত্তাকার করুন।
সমাধান . আমরা টেবিলে দুটি ডাইস নিক্ষেপের সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল উপস্থাপন করি:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
টেবিল থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=6*6=36।
আমরা ইভেন্টের অনুকূল ফলাফল গণনা করি A = (অঙ্কিত দুটি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে বড়টি হল 5) (এগুলি গাঢ়ভাবে হাইলাইট করা হয়েছে) এবং m=8 পাই।
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222
সমস্যা 9 . পাশা দুইবার নিক্ষেপ করা হয়. 4-এর কম একটি সংখ্যা অন্তত একবার ঘূর্ণিত হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।
সমাধান . আমরা টেবিলে দুটি ডাইস নিক্ষেপের সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল উপস্থাপন করি:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
টেবিল থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল n=6*6=36।
"কমপক্ষে একবার 4-এর কম একটি সংখ্যা এসেছে" এর অর্থ হল "4-এর চেয়ে কম একটি সংখ্যা একবার বা দুবার এসেছে", তারপর ইভেন্ট A এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা = (কমপক্ষে একবার 4-এর কম একটি সংখ্যা এসেছে। ) (এগুলি বোল্ডে হাইলাইট করা হয়েছে) m=27।
ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজুন P(A)=m/n=27/36=0.75
অবস্থা
একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। প্রথমবারের মতো দ্বিতীয়বার একই জিনিস বের হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।
সমাধান
- আমরা সূত্র ব্যবহার করে এই সমস্যার সমাধান করব:
যেখানে P(A) হল ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা, m হল এই ঘটনার জন্য অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n হল সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা।
- আসুন আমাদের সমস্যাটিতে এই তত্ত্বটি প্রয়োগ করি:
A - একটি ঘটনা যখন প্রথমবারের মতো একই জিনিস দ্বিতীয়বার আসে;
P(A) - সম্ভাব্যতা যে একই জিনিস প্রথমবারের মতো দ্বিতীয়বার আসবে।
- চলুন m এবং n সংজ্ঞায়িত করা যাক:
m হল এই ইভেন্টের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, অর্থাৎ, প্রথমটির মতো দ্বিতীয়বার একই জিনিস ঘটলে ফলাফলের সংখ্যা। পরীক্ষায়, একটি মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়, যার 2টি দিক রয়েছে: লেজ (P) এবং মাথা (O)। প্রথমবারের মতো দ্বিতীয়বার আসতে আমাদের একই জিনিস দরকার, এবং এটি সম্ভব যখন নিম্নলিখিত সংমিশ্রণগুলি আসে: OO বা PP, অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে যে
m = 2, যেহেতু 2টি সম্ভাব্য বিকল্প আছে, যখন একই জিনিস প্রথমবারের মতো দ্বিতীয়বার আসে;
n হল সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা, অর্থাৎ n নির্ধারণ করার জন্য আমাদেরকে একটি মুদ্রা দুবার ছুঁড়ে ফেলার সময় ঘটতে পারে এমন সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণের সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে। প্রথমবারের জন্য একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করার সময়, এটি লেজ বা মাথা পর্যন্ত আসতে পারে, অর্থাৎ, দুটি বিকল্প সম্ভব। দ্বিতীয়বার একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করার সময়, ঠিক একই বিকল্পগুলি সম্ভব। এটা দেখা যাচ্ছে যে
সমস্যা তৈয়ার:একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। মাথা (পুচ্ছ) একবারও প্রদর্শিত হবে না এমন সম্ভাবনা খুঁজুন (ঠিক/কমপক্ষে 1, 2 বার প্রদর্শিত হবে)।
সমস্যাটি 10 নম্বরের অধীনে 11 গ্রেডের মৌলিক স্তরের গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার অংশ (সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা)।
আসুন উদাহরণ ব্যবহার করে এই জাতীয় সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করা হয় তা দেখি।
উদাহরণ টাস্ক 1:
একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। একবারও মাথা উঠবে না এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।
OO বা RO RR
মোট 4টি এই ধরনের সংমিশ্রণ রয়েছে৷ আমরা শুধুমাত্র সেগুলির প্রতি আগ্রহী যেগুলিতে একটি ঈগল নেই৷ শুধুমাত্র একটি এই ধরনের সমন্বয় (পিপি) আছে।
P = 1/4 = 0.25
উত্তর: 0.25
উদাহরণ টাস্ক 2:
একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। ঠিক দুবার মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।
একটি মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হলে যে সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ ঘটতে পারে তা বিবেচনা করা যাক। সুবিধার জন্য, আমরা O অক্ষর দ্বারা মাথা এবং P অক্ষর দ্বারা লেজ নির্দেশ করব:
OO বা RO RR
মোট 4টি এই ধরনের সংমিশ্রণ রয়েছে৷ আমরা শুধুমাত্র সেইগুলির প্রতি আগ্রহী যেগুলির মধ্যে মাথা ঠিক 2 বার প্রদর্শিত হয়৷ শুধুমাত্র একটি এই ধরনের সমন্বয় (OO) আছে।
P = 1/4 = 0.25
উত্তর: 0.25
উদাহরণ টাস্ক 3:
একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। মাথা ঠিক একবার উঠে আসার সম্ভাবনা খুঁজুন।
একটি মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হলে যে সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ ঘটতে পারে তা বিবেচনা করা যাক। সুবিধার জন্য, আমরা O অক্ষর দ্বারা মাথা এবং P অক্ষর দ্বারা লেজ নির্দেশ করব:
OO বা RO RR
মোট 4টি এই ধরনের সংমিশ্রণ রয়েছে৷ আমরা শুধুমাত্র সেইগুলির জন্য আগ্রহী যেগুলির মধ্যে মাথা ঠিক 1 বার এসেছে৷ এই ধরনের শুধুমাত্র দুটি সমন্বয় আছে (OR এবং RO)।
উত্তর: 0.5
উদাহরণ টাস্ক 4:
একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হয়। মাথা অন্তত একবার প্রদর্শিত হবে সম্ভাব্যতা খুঁজুন.
একটি মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করা হলে যে সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ ঘটতে পারে তা বিবেচনা করা যাক। সুবিধার জন্য, আমরা O অক্ষর দ্বারা মাথা এবং P অক্ষর দ্বারা লেজ নির্দেশ করব:
OO বা RO RR
মোট 4টি এই ধরনের সংমিশ্রণ রয়েছে৷ আমরা শুধুমাত্র সেইগুলির প্রতি আগ্রহী যেগুলির মধ্যে মাথা অন্তত একবার উপস্থিত হয়৷ এই ধরনের মাত্র তিনটি সমন্বয় আছে (OO, OP এবং RO)।
P = 3 / 4 = 0.75
একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়...
একটি ভূমিকা হিসাবে.
সবাই জানে যে একটি মুদ্রার দুটি দিক রয়েছে - মাথা এবং লেজ।
মুদ্রাবিদরা বিশ্বাস করেন যে একটি মুদ্রার তিনটি দিক রয়েছে - বিপরীত, বিপরীত এবং প্রান্ত।
উভয়ের মধ্যে এবং অন্যদের মধ্যে, খুব কম লোকই জানেন যে একটি প্রতিসম মুদ্রা কী। কিন্তু যারা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা দেওয়ার প্রস্তুতি নিচ্ছেন তারা এই সম্পর্কে জানেন (ভাল, বা জানা উচিত:)।
সাধারণভাবে, এই নিবন্ধটি একটি অস্বাভাবিক মুদ্রা সম্পর্কে কথা বলবে, যার মুদ্রাবিদ্যার সাথে কোনও সম্পর্ক নেই, তবে একই সময়ে, স্কুলছাত্রীদের মধ্যে সবচেয়ে জনপ্রিয় মুদ্রা।
তাই।
প্রতিসম মুদ্রা- এটি আকার, ওজন, ব্যাস ইত্যাদি ছাড়াই একটি কাল্পনিক গাণিতিকভাবে আদর্শ মুদ্রা৷ ফলস্বরূপ, এই জাতীয় মুদ্রারও একটি প্রান্ত থাকে না, অর্থাৎ এটির সত্যিই কেবল দুটি দিক থাকে৷ একটি প্রতিসম মুদ্রার প্রধান বৈশিষ্ট্য হল যে এই ধরনের পরিস্থিতিতে মাথা বা লেজ প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা একেবারে একই। এবং তারা চিন্তা পরীক্ষা চালানোর জন্য একটি প্রতিসম মুদ্রা নিয়ে এসেছিল।
সবচেয়ে জনপ্রিয় প্রতিসম মুদ্রা সমস্যা হল: “একটি এলোমেলো পরীক্ষায়, একটি প্রতিসম মুদ্রা দুবার (তিন বার, চার বার, ইত্যাদি) নিক্ষেপ করা হয়। সমস্যা হল সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা যে একটি দিক নির্দিষ্ট সংখ্যক বার অবতরণ করবে।
একটি প্রতিসম মুদ্রা দিয়ে সমস্যার সমাধান
এটা স্পষ্ট যে টসের ফলে, মুদ্রাটি মাথা বা লেজের উপর অবতরণ করবে। কতবার কত নিক্ষেপ করতে হবে তার উপর নির্ভর করে। মাথা বা লেজ পাওয়ার সম্ভাবনা সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা দ্বারা শর্ত পূরণ করে এমন ফলাফলের সংখ্যাকে ভাগ করে গণনা করা হয়।
এক নিক্ষেপ
এখানে সবকিছু সহজ. এটি হয় মাথা বা লেজ হবে। সেগুলো. আমাদের দুটি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে, যার একটি আমাদের সন্তুষ্ট করে - 1/2=50%
দুই-নিক্ষেপ
দুটি থ্রোতে আপনি পেতে পারেন:
দুটি ঈগল
দুই মাথা
মাথা তারপর লেজ
লেজ, তারপর মাথা
সেগুলো. শুধুমাত্র চারটি সম্ভাব্য বিকল্প আছে। একাধিক রোলের সমস্যাগুলি সম্ভাব্য বিকল্পগুলির একটি টেবিল তৈরি করে সহজেই সমাধান করা হয়। সরলতার জন্য, আসুন মাথাগুলিকে "0" এবং লেজগুলিকে "1" হিসাবে চিহ্নিত করি। তারপর সম্ভাব্য ফলাফলের সারণীটি এইরকম দেখাবে:
00
01
10
11
যদি, উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করতে হবে যে হেডগুলি একবার প্রদর্শিত হবে, আপনাকে কেবল টেবিলে উপযুক্ত বিকল্পগুলির সংখ্যা গণনা করতে হবে - যেমন সেই লাইন যেখানে ঈগল একবার দেখা যায়। এরকম দুটি লাইন আছে। এর মানে হল একটি প্রতিসম মুদ্রার দুটি টসে একটি মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা 2/4 = 50%
দুটি থ্রোতে হেডগুলি দুবার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা হল 1/4=25%
তিন রোস্কা
আসুন বিকল্পগুলির একটি সারণী তৈরি করি:
000
001
010
011
100
101
110
111
যারা বাইনারি ক্যালকুলাসের সাথে পরিচিত তারা বোঝে আমরা কি করতে এসেছি। :) হ্যাঁ, এগুলি "0" থেকে "7" পর্যন্ত বাইনারি সংখ্যা। এটি বিকল্পগুলির সাথে বিভ্রান্ত না হওয়া সহজ করে তোলে।
আগের অনুচ্ছেদ থেকে সমস্যাটি সমাধান করা যাক - হেডগুলি একবার প্রদর্শিত হবে এমন সম্ভাব্যতা গণনা করুন। তিনটি লাইন আছে যেখানে "0" একবার প্রদর্শিত হবে। এর মানে হল একটি প্রতিসম মুদ্রার তিনটি টসে একটি মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা 3/8 = 37.5%
তিনটি নিক্ষেপের মধ্যে মাথা দুবার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা হল 3/8 = 37.5%, অর্থাৎ একেবারে একই
তিনটি থ্রোতে হেডস তিনবার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা হল 1/8 = 12.5%।
চার নিক্ষেপ
আসুন বিকল্পগুলির একটি সারণী তৈরি করি:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
সম্ভাবনা যে মাথা একবার প্রদর্শিত হবে. শুধুমাত্র তিনটি লাইন আছে যেখানে "0" একবার প্রদর্শিত হয়, যেমনটি তিনটি নিক্ষেপের ক্ষেত্রে। তবে ইতিমধ্যে ষোলটি বিকল্প রয়েছে। এর মানে হল একটি প্রতিসম মুদ্রার চারটি টসে একটি মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা 3/16 = 18.75%
তিনটি থ্রোতে মাথা দুবার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা হল 6/8 = 75%।
তিনটি থ্রোতে হেডস তিনবার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা হল 4/8 = 50%।
সুতরাং, নিক্ষেপের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে, সমস্যা সমাধানের নীতিটি মোটেও পরিবর্তিত হয় না - শুধুমাত্র, একটি সংশ্লিষ্ট অগ্রগতিতে, বিকল্পের সংখ্যা বৃদ্ধি পায়।
