Dərəcələr və köklər üçün düsturlar. Göstərici, qaydalar, nümunələr

Bu material çərçivəsində bir ədədin dərəcəsinin nə olduğunu təhlil edəcəyik. Əsas təriflərə əlavə olaraq, təbii, tam, rasional və irrasional eksponentlərlə hansı dərəcələrin olduğunu formalaşdıracağıq. Həmişə olduğu kimi, bütün anlayışlar tapşırıq nümunələri ilə təsvir olunacaq.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Birincisi, təbii göstərici ilə dərəcənin əsas tərifini tərtib edirik. Bunun üçün vurmanın əsas qaydalarını yadda saxlamalıyıq. Əvvəlcədən aydınlaşdıraq ki, hələlik biz əsl ədədi əsas kimi (onu a hərfi ilə qeyd edək), göstərici kimi isə natural ədədi (n hərfi ilə qeyd edək) götürəcəyik.

Tərif 1

Təbii göstəricisi n olan a ədədinin gücü hər biri a sayına bərabər olan n -ci sayda amillərin hasilidir. Dərəcə belə yazılır: a n, və düstur şəklində onun tərkibi aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Məsələn, göstərici 1 və əsas a-dırsa, a-nın birinci dərəcəsi kimi yazılır a 1... Nəzərə alsaq ki, a faktorun qiyməti, 1 isə amillərin sayıdır, belə nəticəyə gəlmək olar a 1 = a.

Ümumiyyətlə deyə bilərik ki, dərəcə çoxlu sayda bərabər faktorların yazılması üçün əlverişli formadır. Beləliklə, forma girişi 8 8 8 8 qədər azalda bilər 8 4 ... Təxminən eyni şəkildə, məhsul bizə çox sayda termin yazmaqdan çəkinməyə kömək edir (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); biz bunu natural ədədlərin vurulmasına həsr olunmuş məqalədə artıq araşdırdıq.

Diplom qeydini necə düzgün oxumaq olar? Ümumi qəbul edilmiş variant “n-nin gücünə a”dır. Və ya "a-nın n -ci dərəcəsi" və ya "a n -ci dərəcə" deyə bilərsiniz. Deyək ki, nümunədə giriş var 8 12 , "8-dən 12-ci dərəcəyə", "8-dən 12-ci dərəcəyə" və ya "12-ci dərəcə 8-ə" oxuya bilərik.

Nömrənin ikinci və üçüncü səlahiyyətlərinin öz köklü adları var: kvadrat və kub. İkinci dərəcəni, məsələn, 7 (7 2) rəqəmini görsək, onda “7 kvadratı” və ya “7 rəqəminin kvadratı” deyə bilərik. Eynilə, üçüncü dərəcə belə oxunur: 5 3 "5 rəqəminin kubu" və ya "kubda 5"dir. Bununla birlikdə, "ikinci / üçüncü dərəcədə" standart formuladan istifadə etmək də mümkündür, bu səhv olmayacaqdır.

Misal 1

Təbii göstərici ilə dərəcə nümunəsini təhlil edək: üçün 5 7 beş əsas, yeddi isə göstərici olacaq.

Bazanın tam olması lazım deyil: dərəcə üçün (4 , 32) 9 əsas kəsr 4, 32, göstərici isə doqquzdur. Mötərizəyə diqqət yetirin: belə bir giriş əsasları natural ədədlərdən fərqli olan bütün dərəcələr üçün edilir.

Məsələn: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Mötərizələr nə üçündür? Onlar hesablama səhvlərinin qarşısını almağa kömək edirlər. Deyək ki, iki girişimiz var: (− 2) 3 və − 2 3 ... Onlardan birincisi, təbii eksponenti üç olan bir gücə qaldırılan mənfi ədədi mənfi iki deməkdir; ikincisi dərəcənin əks qiymətinə uyğun gələn ədəddir 2 3 .

Bəzən kitablarda nömrə dərəcəsinin bir az fərqli yazılışını tapa bilərsiniz - a ^ n(burada a əsas, n isə eksponentdir). Yəni 4 ^ 9 ilə eynidir 4 9 ... Əgər n çoxrəqəmli ədəddirsə, mötərizə içərisindədir. Məsələn, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ancaq qeyddən istifadə edəcəyik a n daha çox yayılmışdır.

Tərifindən təbii göstərici ilə dərəcənin dəyərinin necə hesablanacağını təxmin etmək asandır: sadəcə olaraq n-ci dəfə çoxalmalısınız. Bu barədə daha çox başqa bir məqalədə yazdıq.

Dərəcə anlayışı başqa bir riyazi anlayışın - ədədin kökünün əksidir. Dərəcənin və eksponentin qiymətini bilsək, onun əsasını hesablaya bilərik. Dərəcə ayrıca materialda təhlil etdiyimiz problemlərin həlli üçün faydalı olan bəzi xüsusi xüsusiyyətlərə malikdir.

Göstəricilərdə təkcə natural ədədlər deyil, ümumiyyətlə, mənfi və sıfırlar da daxil olmaqla istənilən tam qiymətlər dayana bilər, çünki onlar da tam ədədlər çoxluğuna aiddir.

Tərif 2

Müsbət tam ədədi olan ədədin gücü düstur kimi göstərilə bilər: .

Bundan əlavə, n istənilən müsbət tam ədəddir.

Gəlin sıfır dərəcə anlayışı ilə məşğul olaq. Bunun üçün əsasları bərabər olan dərəcələr üçün bölmənin xassəsini nəzərə alan yanaşmadan istifadə edirik. Aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:

Tərif 3

Bərabərlik a m: a n = a m - nşərtlərdə doğru olacaq: m və n natural ədədlərdir, m< n , a ≠ 0 .

Son şərt vacibdir, çünki sıfıra bölməkdən qaçır. Əgər m və n dəyərləri bərabərdirsə, onda aşağıdakı nəticəni alırıq: a n: a n = a n - n = a 0

Lakin eyni zamanda a n: a n = 1 bərabər ədədlərin bölünməsidir a n və a. Belə çıxır ki, istənilən sıfırdan fərqli ədədin sıfır dərəcəsi birə bərabərdir.

Ancaq belə bir sübut sıfırdan sıfır dərəcəyə aid deyil. Bunun üçün bizə dərəcələrin başqa bir xassəsi - bərabər əsaslı dərəcələrin hasillərinin xassəsi lazımdır. Bu belə görünür: a m a n = a m + n .

Əgər 0-a bərabər n varsa, onda a m a 0 = a m(bu bərabərlik də bizə bunu sübut edir a 0 = 1). Amma a da sıfıra bərabərdirsə, bizim bərabərliyimiz şəklini alır 0 m 0 0 = 0 m, Bu, n-nin istənilən təbii dəyəri üçün doğru olacaq və dərəcənin dəyərinin dəqiq nə olmasının əhəmiyyəti yoxdur 0 0 , yəni istənilən ədədə bərabər ola bilər və bu bərabərliyin sədaqətinə təsir etməyəcək. Buna görə də formanın qeydi 0 0 xüsusi mənası yoxdur və biz bunu ona aid etməyəcəyik.

İstəyirsinizsə, bunu yoxlamaq asandır a 0 = 1 dərəcə xassəsi ilə birləşir (a m) n = a m n bir şərtlə ki, dərəcənin bazası sıfır olmasın. Beləliklə, eksponenti sıfır olan istənilən sıfırdan fərqli ədədin dərəcəsi birə bərabərdir.

Misal 2

Gəlin konkret rəqəmlərlə bir nümunəyə baxaq: Beləliklə, 5 0 - vahid, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 və dəyəri 0 0 qeyri-müəyyən.

Sıfır dərəcədən sonra mənfi dərəcənin nə olduğunu anlamaq bizə qalır. Bunun üçün yuxarıda istifadə etdiyimiz bərabər əsaslı dərəcələr hasilinin eyni xassəsinə ehtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şərti təqdim edək: m = - n, onda a sıfıra bərabər olmamalıdır. Bundan belə çıxır a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... Belə çıxır ki, a n və a - n qarşılıqlı tərs ədədlərimiz var.

Nəticə etibarı ilə a tam ədədin mənfi qüvvəsi 1 a n kəsrindən başqa bir şey deyildir.

Bu formula təsdiq edir ki, tam mənfi eksponentli dərəcə üçün bütün eyni xassələr təbii göstəricili dərəcə kimi etibarlıdır (əsas sıfır olmamaq şərti ilə).

Misal 3

Mənfi tam ədədi n olan a-nın qüvvəsi 1 a n kəsr kimi göstərilə bilər. Beləliklə, a - n = 1 a n şərti ilə a ≠ 0 və n istənilən natural ədəddir.

Fikrimizi konkret misallarla izah edək:

Misal 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paraqrafın son hissəsində deyilənlərin hamısını bir düsturda aydın şəkildə təsvir etməyə çalışacağıq:

Tərif 4

Təbii göstəricisi z olan a ədədinin gücü belədir: az = az, e l və z ilə - tam müsbət 1, z = 0 və a ≠ 0, (və z = 0 və a = 0 üçün, 0 0 alırıq, ifadənin dəyərləri 0 0 deyil (z tam ədəddirsə və a = 0 0 z verirsə, n n e n d e d e n t-də ego z n)

Rasional eksponent dərəcələr nədir

Göstəricidə tam ədəd olduğu halları təhlil etdik. Bununla belə, eksponentində kəsrli ədəd olduqda, onu da bir səviyyəyə qaldıra bilərsiniz. Buna rasional eksponent dərəcə deyilir. Bu alt bölmədə onun digər dərəcələrlə eyni xassələrə malik olduğunu sübut edəcəyik.

Rasional ədədlər nədir? Onların çoxluğuna həm tam, həm də kəsr ədədləri daxildir, fraksiya ədədləri isə adi fraksiyalar (həm müsbət, həm də mənfi) kimi göstərilə bilər. m/n fraksiyalı eksponentlə a ədədinin dərəcəsinin tərifini tərtib edək, burada n natural ədəd, m isə tam ədəddir.

A m n kəsr göstəricisi ilə müəyyən dərəcəmiz var. Dərəcədən dərəcə xassəsinin yerinə yetirilməsi üçün a m n n = a m n · n = a m bərabərliyi doğru olmalıdır.

N-ci kökün tərifini və a m n n = a m olduğunu nəzərə alsaq, a m n m, n və a-nın verilmiş qiymətləri üçün məna kəsb edirsə, a m n = a m n şərtini qəbul edə bilərik.

Tam eksponentli dərəcənin yuxarıdakı xassələri a m n = a m n şərti ilə düzgün olacaqdır.

Mülahizəmizdən gəldiyimiz əsas nəticə belədir: kəsr göstəricisi m/n olan bəzi a ədədinin qüvvəsi a ədədinin m-nin gücünə n-ci köküdür. m, n və a-nın verilmiş qiymətləri üçün a m n ifadəsi mənalı qalsa, bu doğrudur.

1. Dərəcənin əsasının dəyərini məhdudlaşdıra bilərik: a götürün, m-nin müsbət qiymətləri üçün 0-dan böyük və ya bərabər olacaq, mənfi dəyərlər üçün isə ciddi şəkildə az olacaq (çünki m ≤ 0 üçün alırıq 0 m, lakin bu dərəcə müəyyən edilməyib). Bu halda, kəsr göstəricisi olan dərəcənin tərifi belə görünəcəkdir:

Bəzi müsbət a ədədi üçün kəsr göstəricisi m/n olan eksponent a-nın m-in gücünə qaldırılmış n-ci köküdür. Bir düstur şəklində bunu aşağıdakı kimi təqdim etmək olar:

Sıfır bazası olan dərəcə üçün bu mövqe də uyğundur, ancaq onun eksponenti müsbət ədəddirsə.

Əsas sıfır və kəsr müsbət göstəricisi olan dərəcə m / n kimi ifadə edilə bilər

müsbət tam m və natural n şərti ilə 0 m n = 0 m n = 0.

Mənfi nisbətlə m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir məqamı qeyd edək. a-nın sıfırdan böyük və ya bərabər olması şərtini təqdim etdiyimiz üçün bəzi halları aradan qaldırdıq.

a m n ifadəsi bəzən a və bəzi m mənfi dəyərləri üçün məna kəsb edir. Beləliklə, əsas mənfi olan (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 düzgün qeydlərdir.

2. İkinci yanaşma, cüt və tək göstəriciləri olan a m n kökünü ayrıca nəzərdən keçirməkdir. Sonra daha bir şərt təqdim etməliyik: eksponentində ləğv edilə bilən adi kəsr olan a-nın gücü, eksponentində müvafiq azalmayan kəsrin olduğu a-nın gücü hesab olunur. Daha sonra bu şərtin nə üçün lazım olduğunu və nə üçün bu qədər vacib olduğunu izah edəcəyik. Beləliklə, a m k n k rekordumuz varsa, onu a m n-ə endirib hesablamaları sadələşdirə bilərik.

Əgər n tək və m müsbətdirsə, a hər hansı qeyri-mənfi ədəddirsə, m n məna kəsb edir. Mənfi olmayan a üçün şərt zəruridir, çünki mənfi ədədin cüt kökü çıxarılmır. Əgər m-nin dəyəri müsbətdirsə, onda a mənfi və ya sıfır ola bilər, çünki tək kök istənilən həqiqi ədəddən çıxarıla bilər.

Yuxarıdakı təriflərin hamısını bir qeyddə birləşdirək:

Burada m/n azalmayan kəsr, m istənilən tam ədəd, n isə istənilən natural ədəd deməkdir.

Tərif 5

İstənilən adi ləğv edilə bilən kəsr m · k n · k üçün göstərici m n ilə əvəz edilə bilər.

Azaldılmayan kəsr eksponenti m / n olan ədədin gücü - aşağıdakı hallarda m n kimi ifadə edilə bilər: - istənilən həqiqi a üçün müsbət tam dəyərlər m və tək təbii qiymətlər n. Misal: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

İstənilən sıfırdan fərqli real a, mənfi tam m və tək n üçün, məsələn, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

İstənilən qeyri-mənfi a, müsbət tam m və hətta n üçün, məsələn, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

İstənilən müsbət a üçün tam mənfi m və hətta n, məsələn, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Digər qiymətlər üçün kəsr göstəricisi müəyyən edilmir. Belə dərəcələrə misallar: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

İndi yuxarıda qeyd olunan şərtin əhəmiyyətini izah edək: niyə kəsri ləğv edilə bilən göstərici ilə kəsri azalmayan ilə əvəz etmək lazımdır. Bunu etməsəydik, belə hallar olardı, deyək ki, 6/10 = 3/5. Onda doğru olmalıdır (- 1) 6 10 = - 1 3 5, lakin - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 və (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Birincisini verdiyimiz fraksiya göstəricisi ilə dərəcənin tərifi praktikada istifadə etmək üçün ikincidən daha əlverişlidir, ona görə də bundan istifadə etməyə davam edəcəyik.

Tərif 6

Beləliklə, kəsr göstəricisi m / n olan müsbət a ədədinin dərəcəsi 0 m n = 0 m n = 0 kimi müəyyən edilir. Mənfi halda a a m n qeydi mənasızdır. Müsbət kəsr eksponentlər üçün sıfırın gücü m / n 0 m n = 0 m n = 0 kimi müəyyən edilir, mənfi kəsr göstəriciləri üçün sıfırın dərəcəsini təyin etmirik.

Nəticələrdə qeyd edirik ki, istənilən kəsr göstəricisini həm qarışıq ədəd, həm də onluq kəsr kimi yaza bilərsiniz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesablama zamanı göstəricini adi kəsrlə əvəz etmək və daha sonra kəsr eksponenti olan eksponent tərifindən istifadə etmək daha yaxşıdır. Yuxarıdakı nümunələr üçün alırıq:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasional və etibarlı göstərici ilə dərəcələr nədir

Həqiqi ədədlər nədir? Onların çoxluğuna həm rasional, həm də irrasional ədədlər daxildir. Buna görə də həqiqi göstəricili dərəcənin nə olduğunu başa düşmək üçün rasional və irrasional göstəricilərlə dərəcələri müəyyən etməliyik. Yuxarıda rasional olanları qeyd etdik. Gəlin irrasional göstəricilərlə addım-addım məşğul olaq.

Misal 5

Tutaq ki, bizdə a irrasional ədədi və onun onluq təxminlərinin ardıcıllığı a 0, a 1, a 2, var. ... ... ... Məsələn, a = 1,67175331 dəyərini götürək. ... ... , sonra

a 0 = 1,6, a 1 = 1,67, a 2 = 1,671,. ... ... , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753,. ... ...

Biz təxminlər ardıcıllığını a a 0, a 1, a a 2, dərəcə ardıcıllığı ilə əlaqələndirə bilərik. ... ... ... Rəqəmlərin rasional gücə yüksəldilməsi haqqında əvvəllər söylədiklərimizi xatırlasaq, bu güclərin dəyərlərini özümüz hesablaya bilərik.

Məsələn götürək a = 3, onda a a 0 = 31.67, a a 1 = 31.6717, a a 2 = 31.671753,. ... ... və s.

Dərəcələrin ardıcıllığı a bazası və irrasional eksponent a olan dərəcənin qiyməti olacaq ədədə endirilə bilər. Nəticədə: 3 1, 67175331 kimi irrasional göstəricisi olan dərəcə. ... 6, 27 sayına endirilə bilər.

Tərif 7

İrrasional göstəricisi a olan müsbət a ədədinin gücü a kimi yazılır. Onun dəyəri a a 0, a 1, a a 2, ardıcıllığının həddidir. ... ... , burada 0, 1, 2,. ... ... a irrasional ədədinin ardıcıl onluq təxminləridir. Sıfır bazası olan dərəcə müsbət irrasional göstəricilər üçün də müəyyən edilə bilər, halbuki 0 a = 0 Beləliklə, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Mənfi olanlar üçün bunu etmək olmaz, çünki məsələn, 0 - 5, 0 - 2 π dəyəri müəyyən edilməyib. İstənilən irrasional gücə qaldırılan biri, məsələn, bir qalır və 2-də 1 2, 1 5 və 1 - 5 1-ə bərabər olacaqdır.

Mətndə xəta görsəniz, onu seçin və Ctrl + Enter düymələrini basın

Nə vaxt sayı özünü çoxaldır özümə, işçağırdı dərəcə.

Beləliklə, 2.2 = 4, kvadrat və ya 2-nin ikinci dərəcəsi
2.2.2 = 8, kub və ya üçüncü dərəcə.
2.2.2.2 = 16, dördüncü dərəcə.

Həmçinin, 10.10 = 100, ikinci güc 10-dur.
10/10/10 = 1000, üçüncü dərəcə.
10.10.10.10 = 10000 dördüncü dərəcə.

Və a.a = aa, a-nın ikinci dərəcəsi
a.a.a = aaa, üçüncü dərəcə a
a.a.a.a = aaaa, dördüncü dərəcə a

Orijinal nömrə çağırılır kök o nömrənin səlahiyyətləri, çünki dərəcələrin yaradıldığı nömrədir.

Bununla belə, dərəcələri təşkil edən bütün amilləri yazmaq, xüsusən də yüksək dərəcələr olduqda, tamamilə əlverişli deyil. Buna görə də qısaldılmış qeyd üsulundan istifadə olunur. Dərəcənin kökü yalnız bir dəfə, sağda və yanında bir az yuxarıda yazılır, lakin bir az kiçik şriftlə neçə dəfə yazılır. amil kimi kök kimi çıxış edir... Bu nömrə və ya hərf çağırılır eksponent və ya dərəcə nömrələri. Deməli, 2 a.a və ya aa bərabərdir, çünki a-nın gücünü almaq üçün a-nın kökünü iki dəfə özünə vurmaq lazımdır. Həmçinin, 3 aaa deməkdir, yəni burada a təkrarlanır üç dəfə amil kimi.

Birinci dərəcə 1-dir, lakin adətən qeyd olunmur. Beləliklə, 1 a kimi yazılır.

Dərəcələri ilə qarışdırmamalısınız əmsallar... Əmsal dəyərin nə qədər tez-tez alındığını göstərir hissəsi bütöv. Dərəcə dəyərin nə qədər tez-tez alındığını göstərir amil işdə.
Beləliklə, 4a = a + a + a + a. Ancaq 4 = a.a.a.a

Güc qeydi sxemi bizə ifadə etməyə imkan verən özünəməxsus üstünlüyə malikdir naməlum dərəcə. Bunun üçün ədəd əvəzinə göstərici yazılır məktub... Problemin həlli prosesində, bildiyimiz kimi, dəyəri əldə edə bilərik bəziləri başqa kəmiyyət dərəcəsi. Ancaq indiyə qədər bunun kvadrat, kub və ya başqa bir yüksək dərəcə olduğunu bilmirik. Deməli, a x ifadəsində göstərici bu ifadənin malik olduğunu bildirir bəziləri dərəcəsi müəyyən edilməsə də hansı dərəcə... Beləliklə, b m və d n, m və n-in dərəcələrinə qaldırılır. Göstərici tapıldıqda, nömrə məktubu ilə əvəz edilmişdir. Deməli, m = 3 olarsa, b m = b 3; lakin m = 5 olarsa, b m = b 5 olar.

Güclərdən istifadə edərək dəyərlərin yazılması üsulu da istifadə vəziyyətində böyük bir üstünlükdür ifadələri... Deməli, (a + b + d) 3 (a + b + d).(A + b + d).(A + b + d), yəni trinomialın kubu (a + b + d) . Amma bu ifadəni kublara ayırdıqdan sonra yazsanız, belə görünəcək
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3.

Göstəriciləri 1 artan və ya azalan bir sıra dərəcələri götürsək, hasilin artdığını görərik. ümumi faktor və ya azalır ortaq bölən, və bu amil və ya bölən bir gücə qaldırılan orijinal ədəddir.

Belə ki, aaaaa, aaaa, aaa, aa, a seriallarında;
və ya 5, 4, 3, 2, 1;
göstəricilər, sağdan sola hesablandıqda, 1, 2, 3, 4, 5-ə bərabərdir; və onların dəyərləri arasındakı fərq 1-dir. Başlasaq sağda çoxalmaq a-da çoxlu dəyərləri uğurla alırıq.

Beləliklə, a.a = a 2, ikinci müddətli. Və 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, üçüncü şərt. a 4 .a = a 5.

başlasaq sol paylaşüzərində üstündə,
5: a = a 4 və 3: a = a 2 alırıq.
a 4: a = a 3 a 2: a = a 1

Amma belə bölgü prosesi daha da davam etdirilə bilər və biz yeni dəyərlər toplusunu əldə edirik.

Beləliklə, a: a = a / a = 1. (1 / a): a = 1 / aa
1: a = 1 / a (1 / aa): a = 1 / aaa.

Tam sıra belə olacaq: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1 / a, 1 / aa, 1 / aaa.

Və ya 5, 4, 3, 2, a, 1, 1 / a, 1 / a 2, 1 / a 3.

Burada dəyərlər sağda birindən var tərs birinin solunda olan dəyərlər. Buna görə də bu dərəcələri adlandırmaq olar tərs dərəcələr a. Soldakı dərəcələrin sağdakı dərəcələrlə tərs olduğunu da deyə bilərik.

Beləliklə, 1: (1 / a) = 1. (a / 1) = a. Və 1: (1 / a 3) = a 3.

Eyni qeyd planı tətbiq oluna bilər polinomlar... Beləliklə, a + b üçün dəsti alırıq,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1 / (a ​​+ b), 1 / (a ​​+ b) 2, 1 / (a ​​+ b) 3.

Rahatlıq üçün tərs güclərin yazılmasının başqa bir formasından istifadə olunur.

Bu formaya görə, 1 / a və ya 1 / a 1 = a -1. Və 1 / aaa və ya 1 / a 3 = a -3.
1 / aa və ya 1 / a 2 = a -2. 1 / aaaa və ya 1 / a 4 = a -4.

Və ümumi fərq kimi 1 olan göstəriciləri olan tam seriya etmək üçün a / a və ya 1 dərəcəsi yoxdur və 0 olaraq yazılır.

Sonra birbaşa və tərs səlahiyyətləri nəzərə alaraq
aaaa, aaa, aa, a, a / a, 1 / a, 1 / aa, 1 / aaa, 1 / aaaa əvəzinə
4, 3, 2, 1, 0, -1, a -2, -3, -4 yaza bilərsiniz.
Və ya +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

Və bir sıra yalnız fərdi dərəcələr belə görünəcək:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Gücün kökü birdən çox hərflə ifadə oluna bilər.

Deməli, aa.aa və ya (aa) 2 aa-nın ikinci dərəcəsidir.
Və aa.aa.aa və ya (aa) 3 aa-nın üçüncü dərəcəsidir.

1 rəqəminin bütün səlahiyyətləri eynidir: 1.1 və ya 1.1.1. 1-ə bərabər olacaq.

Göstərici hər hansı bir ədədin qiymətini bu ədədi özünə vurmaqla tapmaqdır. Göstərici qaydası:

Nömrənin gücündə göstərildiyi qədər dəyəri özü ilə çarpın.

Bu qayda eksponentasiya prosesi zamanı yarana biləcək bütün nümunələr üçün ümumidir. Ancaq bunun konkret hallara necə tətbiq olunduğu barədə izahat vermək düzgün olar.

Yalnız bir hədd gücə yüksəldilirsə, o zaman eksponentin göstərdiyi qədər özünə vurulur.

a-nın dördüncü qüvvəsi 4 və ya aaaadır. (Maddə 195.)
y-nin altıncı qüvvəsi y 6 və ya yyyyyy-dır.
X-in n-ci qüvvəsi x n və ya xxx ..... n dəfə təkrarlanır.

Bir neçə termindən ibarət ifadəni eksponensiallığa qaldırmaq lazımdırsa, prinsip ona uyğun olaraq tətbiq olunur bir neçə amilin hasilinin gücü bir gücə yüksəldilmiş bu amillərin hasilinə bərabərdir.

Beləliklə (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Amma ay.ay = aay = aayy = a 2 y 2.
Beləliklə, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3.

Buna görə də, bir məhsulun dərəcəsini taparkən, ya bütün məhsulla bir anda işləyə bilərik, ya da hər bir amillə ayrıca işləyə bilərik və sonra onların dəyərlərini güclərlə çoxalda bilərik.

Misal 1. Dhy-nin dördüncü qüvvəsi (dhy) 4 və ya d 4 h 4 y 4-dür.

Misal 2. Üçüncü dərəcə 4b (4b) 3 və ya 4 3 b 3 və ya 64b 3-dür.

Misal 3. 6ad-ın n-ci qüvvəsi (6ad) n və ya 6 n a n d n-dir.

Misal 4. Üçüncü dərəcə 3m.2y (3m.2y) 3 və ya 27m 3 .8y 3-dir.

+ və - işarələri ilə bağlanan terminlərdən ibarət iki terminin gücü onun şərtlərini vurmaqla hesablanır. Belə ki,

(a + b) 1 = a + b, birinci dərəcə.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, ikinci dərəcə (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, üçüncü dərəcə.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, dördüncü dərəcə.

Kvadrat a - b, 2 - 2ab + b 2 var.

Kalkulyator rəqəmi onlayn olaraq tez bir gücə çatdırmağa kömək edir. Dərəcənin əsası istənilən ədəd ola bilər (həm tam, həm də real). Göstərici həm bütöv, həm də həqiqi ola bilər, həm də müsbət və mənfi ola bilər. Yadda saxlamaq lazımdır ki, tam olmayan eksponentasiya mənfi ədədlər üçün müəyyən edilmir və buna görə də siz hələ də bunu etməyə çalışsanız, kalkulyator səhv barədə məlumat verəcəkdir.

Dərəcə kalkulyatoru

Gücü qaldırın

Göstəricilər: 28399

Ədədin təbii gücü nədir?

Əgər p a ədədinin özünə n dəfə vurulduğuna bərabərdirsə, p rəqəmi a ədədinin n-ci dərəcəsi adlanır: p = a n = a ... a
n - çağırılır eksponent, və a sayı - əsas dərəcə.

Nömrəni təbii gücə necə qaldırmaq olar?

Müxtəlif rəqəmləri təbii güclərə necə yüksəltməyi başa düşmək üçün bir neçə nümunəyə nəzər salın:

Misal 1... Üç rəqəmi dördüncü gücə qaldırın. Yəni 3 4 hesablamaq lazımdır
Həll: yuxarıda qeyd edildiyi kimi, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Cavab verin: 3 4 = 81 .

Misal 2... Beş rəqəmini beşinci gücə qaldırın. Yəni 5 5 hesablamaq lazımdır
Həll: eynilə, 5 5 = 5 5 5 5 5 5 = 3125.
Cavab verin: 5 5 = 3125 .

Beləliklə, bir ədədi təbii gücə yüksəltmək üçün onu özünə n dəfə vurmaq kifayətdir.

Ədədin mənfi qüvvəsi nədir?

Bu halda, mənfi qüvvə yalnız sıfırdan fərqli ədədlər üçün mövcuddur, çünki əks halda sıfıra bölmə baş verə bilər.

Ədədi mənfi tam ədədə necə qaldırmaq olar?

Sıfırdan fərqli bir ədədi mənfi gücə yüksəltmək üçün həmin ədədin dəyərini eyni müsbət gücə hesablamaq və birini nəticəyə bölmək lazımdır.

Misal 1... Dördüncü qüvvəni çıxarmaq üçün iki rəqəmi qaldırın. Yəni 2 -4 hesablamaq lazımdır

Cavab verin: 2 -4 = 0.0625 .

Güc düsturları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.

Nömrə c birdir n- ədədin gücü a nə vaxt:

Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. Dərəcələri eyni baza ilə vurmaqla onların göstəriciləri toplanır:

a mA n = a m + n.

2. Eyni əsaslı dərəcələrin bölünməsində onların göstəriciləri çıxılır:

3. 2 və ya daha çox amilin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Kəsrin gücü dividend və bölənin səlahiyyətlərinin nisbətinə bərabərdir:

(a / b) n = a n / b n.

5. Dərəcəni dərəcəyə qaldıraraq, göstəricilər vurulur:

(a m) n = a m n.

Yuxarıdakı düsturların hər biri soldan sağa və əksinə doğrudur.

Məsələn. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Kök əməliyyatları.

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Münasibətin kökü divident və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:

3. Kökü bir gücə qaldırarkən, kök sayını bu gücə qaldırmaq kifayətdir:

4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n-kök nömrəsinin gücü, onda kök dəyəri dəyişməyəcək:

5. Kökün dərəcəsini azaltsanız n kökü bir dəfə və eyni zamanda çıxarın n-radikal ədədin ci gücü, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:

Mənfi eksponentli dərəcə. Qeyri-müsbət (bütün) eksponentli ədədin gücü, qeyri-müsbət eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin gücünə bölünən vahid kimi müəyyən edilir:

Düstur a m: a n = a m - nüçün istifadə oluna bilməz m> n, həm də m< n.

Məsələn. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Belə ki, formula a m: a n = a m - n zaman ədalətli oldu m = n, sıfır dərəcəsinin olması lazımdır.

Sıfır qiymət. Göstəricisi sıfır olan hər hansı sıfırdan fərqli ədədin gücü birinə bərabərdir.

Məsələn. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kəsrə eksponent. Həqiqi nömrə qurmaq üçün a dərəcəyə qədər m / n, kökü çıxarmaq lazımdır n-ci dərəcə m-bu ədədin gücü a.

Bir ədədin dərəcəsi ilə bağlı söhbətə davam edərək, dərəcənin mənasını necə tapacağını anlamaq məntiqlidir. Bu proses adlandırıldı eksponentasiya... Bu yazıda bütün mümkün göstəricilərə - təbii, tam, rasional və irrasionallara toxunaraq, eksponentasiyanın necə həyata keçirildiyini öyrənəcəyik. Və ənənəyə görə, rəqəmlərin müxtəlif güclərə qaldırılmasına dair nümunələrin həllərini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

"Güclənmə" nə deməkdir?

Siz eksponentasiya deyilən şeyi izah etməklə başlamalısınız. Burada müvafiq tərif verilir.

Tərif.

Eksponentasiya- bu ədədin gücünün qiymətini tapmaqdır.

Beləliklə, r göstəricisi olan a ədədinin gücünün qiymətini tapmaq və a ədədini r dərəcəsinə qaldırmaq eyni şeydir. Məsələn, problem “(0,5) 5 dərəcəsinin dəyərini hesablayın”dırsa, o zaman onu aşağıdakı kimi yenidən formalaşdırmaq olar: “0,5 rəqəmini 5-in gücünə qaldırın”.

İndi birbaşa eksponentasiyanın həyata keçirildiyi qaydalara keçə bilərsiniz.

Nömrəni təbii gücə yüksəltmək

Təcrübədə əsas üzrə bərabərlik adətən formada tətbiq edilir. Yəni, a sayını m / n kəsr gücünə qaldırarkən əvvəlcə a ədədinin n-ci kökü çıxarılır, bundan sonra nəticə m tam gücünə qaldırılır.

Kəsirin gücünə yüksəltmə nümunələri üçün həll yollarını nəzərdən keçirin.

Misal.

Eksponent dəyərini hesablayın.

Həll.

Bunu həll etməyin iki yolunu göstərəcəyik.

Birinci yol. Tərifinə görə, kəsr göstəricisi. Kök işarəsi altında dərəcənin dəyərini hesablayırıq, bundan sonra kub kökünü çıxarırıq: .

İkinci yol. Kəsrə eksponentli dərəcənin tərifi ilə və köklərin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq bərabərliklər doğrudur. ... İndi kökü çıxarırıq nəhayət, bütöv bir gücə yüksəlt .

Şübhəsiz ki, kəsr gücünə yüksəldilməsinin əldə edilən nəticələri üst-üstə düşür.

Cavab:

Qeyd edək ki, kəsr göstəricisi onluq kəsr və ya qarışıq ədəd şəklində yazıla bilər, bu hallarda o, müvafiq adi kəsrlə əvəz edilməli, bundan sonra eksponentasiya aparılmalıdır.

Misal.

(44.89) 2.5-i hesablayın.

Həll.

Göstəricini adi kəsr şəklində yazaq (lazım olduqda məqaləyə baxın): ... İndi kəsr eksponentasiyasını yerinə yetiririk:

Cavab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, ədədləri rasional güclərə çatdırmaq kifayət qədər zəhmət tələb edən bir prosesdir (xüsusilə kəsr eksponentinin sayında və məxrəcində kifayət qədər böyük ədədlər aşkar edildikdə) adətən kompüter texnologiyasından istifadə etməklə həyata keçirilir.

Bu bəndin yekununda gəlin sıfır ədədini kəsr dərəcəsinə yüksəltmək üzərində dayanaq. Formanın sıfırın kəsr dərəcəsinə aşağıdakı məna verdik: üçün, bizdə , və sıfırda m / n gücü müəyyən edilmir. Beləliklə, fraksiya müsbət gücündə sıfır sıfıra bərabərdir, məsələn, ... Kəsr mənfi qüvvədə sıfırın mənası yoxdur, məsələn, ifadələr və 0 -4.3 mənası yoxdur.

İrrasional eksponentasiya

Bəzən irrasional göstəricisi olan ədədin gücünün dəyərini tapmaq lazım gəlir. Bu halda praktiki məqsədlər üçün adətən müəyyən bir işarəyə qədər dəqiqlik dərəcəsinin qiymətini əldə etmək kifayətdir. Dərhal qeyd edirik ki, praktikada bu dəyər elektron kompüterlərdən istifadə etməklə hesablanır, çünki irrasional gücə əl ilə yüksəltmək çox çətin hesablamalar tələb edir. Ancaq yenə də hərəkətlərin mahiyyətini ümumi şəkildə təsvir edəcəyik.

İrrasional eksponentli a ədədinin gücünün təxmini qiymətini almaq üçün eksponentin bəzi onluq təxminisi götürülür və eksponentin qiyməti hesablanır. Bu dəyər irrasional eksponentli a ədədinin gücünün təxmini qiymətidir. Başlanğıcda ədədin ondalıq təxminisi nə qədər dəqiq alınarsa, nəticədə dərəcənin dəyəri bir o qədər dəqiq olacaqdır.

Nümunə olaraq, 2 1,174367 ... gücünün təxmini dəyərini hesablayaq. İrrasional eksponentin aşağıdakı onluq yaxınlaşmasını götürək:. İndi 2-ni 1.17-nin rasional gücünə qaldırırıq (biz bu prosesin mahiyyətini əvvəlki paraqrafda təsvir etdik), 2 1.17 ≈2.250116 alırıq. Bu cür, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Məsələn, irrasional eksponentin daha dəqiq ondalıq təxminisini götürsək, orijinal eksponentin daha dəqiq qiymətini alırıq: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Biblioqrafiya.

• Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat Zh 5-ci sinif dərsliyi. təhsil müəssisələri.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 7-ci sinif üçün dərslik təhsil müəssisələri.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 8-ci sinif üçün dərslik təhsil müəssisələri.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 9-cu sinif üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün bələdçi).