Həll ilə kvadrat bərabərsizlik sistemləri nümunələri. Kvadrat bərabərsizliklər. Aralıqlar üsulu. Kvadrat bərabərsizlik nədir

Diqqət!
Əlavə var
Xüsusi Bölmə 555 -də olan materiallar.
Çox "çox olmayan ..." olanlar üçün
Və "çox ..." olanlar üçün)

Nə "kvadrat bərabərsizliyi"? Sual yoxdur!) Əgər götürsəniz hər hansı Kvadrat tənlik və işarəni əvəz edin "=" (bərabər) hər hansı bir bərabərsizlik nişanına ( > ≥ < ≤ ≠ ), bir kvadrat bərabərsizliyi əldə edirik. Misal üçün:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Yaxşı, fikri başa düşürsən ...)

Burada tənliklər və bərabərsizliklər bağlamağım əbəs yerə deyil. Məsələ burasındadır ki, həll etmək üçün ilk addımdır hər hansı kvadrat bərabərsizlik - bu bərabərsizliyin yarandığı tənliyi həll edin. Bu səbəbdən kvadratik tənlikləri həll edə bilməmək avtomatik olaraq bərabərsizliklərin tam bir uğursuzluğuna səbəb olur. İşarə aydındırmı?) Bir şey varsa, hər hansı bir kvadrat tənliyi necə həll edəcəyinizə baxın. Orada hər şey detallıdır. Və bu dərsdə xüsusi olaraq bərabərsizliklərlə məşğul olacağıq.

Həll üçün hazır olan bərabərsizlik aşağıdakı formaya malikdir: solda - kvadrat üçbucaqlı balta 2 + bx + c, sağda - sıfır. Bərabərlik işarəsi tamamilə hər hansı bir ola bilər. İlk iki nümunə burada həlli üçün artıq hazırdır.Üçüncü nümunə hələ də hazırlanmalıdır.

Bu saytı bəyəndinizsə ...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha maraqlı bir neçə saytım var.)

Nümunələr həll etməyi təcrübə edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama testi. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyaları və törəmələri ilə tanış ola bilərsiniz.

Kvadrat bərabərsizliklərçağırılır və \ (ax ^ 2 + bx + c \) \ (⋁ \) \ (0 \) formasına endirilə bilər, burada \ (a \), \ (b \) və \ (c \) hər hansı bir ədəd var (üstəlik, \ (a ≠ 0 \)), \ (x \) məlum deyil və \ (⋁ \) müqayisə işarələrindən (\ (> \), \ (<\),\(≤\),\(≥\)).

Sadə dildə desək, bu cür bərabərsizliklər bənzəyir, amma bərabər bir işarə ilə.
Nümunələr:

\ (x ^ 2 + 2x-3> 0 \)
\ (3x ^ 2-x≥0 \)
\ ((2x + 5) (x-1) ≤5 \)

Kvadrat bərabərsizliyi necə həll etmək olar?

Kvadrat bərabərsizliklər ümumiyyətlə həll olunur. Aşağıda sıfırdan böyük bir diskriminant ilə kvadrat bərabərsizliklərin necə həll olunacağına dair bir alqoritm verilmişdir. Sıfıra bərabər və ya sıfırdan aşağı olan diskriminantı olan kvadrat bərabərsizliklərin həlli ayrıca təhlil edilir.

Misal. \ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \) kvadrat bərabərsizliyini həll edin
Həll:

\ (\ frac (x ^ 2) (5) + \ frac (2x) (3) \)\ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
\ (D = 100 + 4⋅3⋅8 = 196 = 14 ^ 2 \) \ (x_1 = \ frac (-10-14) (6) =-4 \) \ (x_2 = \ frac (-10 + 14) (6) = \ frac (2) (3) \)		Kök tapıldıqda bərabərsizliyi yazırıq forma.
\ (3 (x + 4) (x- \ frac (2) (3)) ≥0 \)		İndi bir ədəd oxu çəkək, kökləri işarələyək və aralıqlarla işarələr qoyaq.
		Cavab olaraq bizə maraqlı olan fasilələri yazaq. \ (≥ \) bərabərsizlik işarəsi olduğundan, \ (+ \) aralığına ehtiyacımız var və cavaba köklərin özlərini daxil edirik (bu nöqtələrdəki mötərizələr kvadratdır).

Cavab : \ (x∈ (-∞; -4] ∪ [\ frac (2) (3); ∞) \)

Mənfi və sıfır ayrı -seçkiliyi olan kvadrat bərabərsizlikləri

Yuxarıdakı alqoritm diskriminant sıfırdan böyük olduqda, yəni \ (2 \) kökü olduqda işləyir. Digər hallarda nə etməli? Məsələn, belə:

Əgər \ (D.<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Yəni ifadə:
\ (x ^ 2 + 2x + 9 \) hər hansı bir \ (x \) üçün müsbətdir, çünki \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \)- hər hansı bir \ (x \) üçün mənfi, çünki \ (a = -1<0\)

\ (D = 0 \) olarsa, \ (x \) bir dəyər üçün kvadrat üçbucağı sıfıra bərabərdir və digərləri üçün \ (a \) əmsalının işarəsi ilə üst -üstə düşən sabit bir işarəyə malikdir. .

Yəni ifadə:
\ (x ^ 2 + 6x + 9 \) - \ (x = -3 \) üçün sıfıra bərabərdir və bütün digər x üçün müsbətdir, çünki \ (a = 1> 0 \)
\ (-x ^ 2-4x-4 \)-\ (x = -2 \) üçün sıfıra bərabərdir və digərləri üçün mənfi \ (a = -1<0\).

Üçbucaqlı kvadrat sıfıra bərabər olan x -i necə tapmaq olar? Müvafiq kvadrat tənliyi həll etməlisiniz.

Bu məlumatları nəzərə alaraq, kvadrat bərabərsizliklərini həll edək:

Bunu anlamadan əvvəl, Kvadrat bərabərsizliyi necə həll etmək olar, bərabərsizliyin kvadrat adlandırılmasına baxaq.

Unutma!

Bərabərlik deyilir kvadrat naməlum "x" in ən yüksək (ən yüksək) gücü ikiyə bərabərdirsə.

Nümunələrdən istifadə edərək bərabərsizliyin növünü təyin etməyə çalışaq.

Kvadrat bərabərsizliyi necə həll etmək olar

Əvvəlki dərslərdə xətti bərabərsizlikləri necə həll edəcəyimizə baxdıq. Lakin xətti bərabərsizliklərdən fərqli olaraq, kvadrat bərabərsizliklər tamamilə fərqli bir şəkildə həll olunur.

Vacibdir!

Kvadrat bərabərsizliyi xətti ilə eyni şəkildə həll edə bilməzsiniz!

Kvadrat bərabərsizliyi həll etmək üçün xüsusi bir üsul istifadə olunur interval metodu.

Aralıq üsulu nədir

Fasilələr üsulu ilə Kvadrat bərabərsizlikləri həll etməyin xüsusi üsulu adlanır. Aşağıda bu üsuldan necə istifadə ediləcəyini və adını niyə aldığını izah edəcəyik.

Unutma!

Aralıq metodundan istifadə edərək kvadrat bərabərsizliyini həll etmək üçün sizə lazımdır:

Yuxarıda təsvir olunan qaydaların yalnız nəzəri olaraq qəbul edilməsinin çətin olduğunu başa düşürük, buna görə də dərhal yuxarıdakı alqoritmdən istifadə edərək bir kvadrat bərabərsizliyin həllinə bir nümunəni nəzərdən keçirəcəyik.

Kvadrat bərabərsizliyi həll etmək lazımdır.

İndi deyildiyi kimi, qeyd olunan nöqtələr arasındakı fasilələr üzərində "tağlar" çəkin.

Aralıqların içinə işarələr qoyaq. Sağdan sola, "+" ilə başlayan işarələri işarələyin.

Sadəcə olaraq icra etməliyik, yəni lazım olan intervalları seçib cavab olaraq yazmalıyıq. Qayıdaq bərabərsizliyimizə.

Bərabərsizliyimizdən bəri " x 2 + x - 12 ", yəni mənfi fasilələrə ehtiyacımız var. Nömrələr oxundakı bütün mənfi sahələri kölgə salın və cavab olaraq yazın.

Yalnız bir mənfi interval "-3" və "4" rəqəmləri arasında olduğu ortaya çıxdı, buna görə cavabı ikiqat bərabərsizlik olaraq yazırıq.
"-3".

Alınan cavabı kvadrat bərabərsizliyinə yazaq.

Cavab: −3

Yeri gəlmişkən, dəqiq bir kvadrat bərabərsizliyi həll edərkən ədədlər arasındakı intervalları nəzərə aldığımız üçün intervallar metodu öz adını aldı.

Cavabı aldıqdan sonra həll yolunun düzgün olub olmadığını yoxlamaq məntiqlidir.

Alınan cavabın kölgəli sahəsində olan hər hansı bir nömrəni seçək " −3 "və onu" x "ilə əvəz edin. Doğru bərabərsizliyi əldə etsək, kvadrat bərabərsizliyin cavabının doğru olduğunu gördük.

Məsələn, intervaldan "0" rəqəmini götürək. Bunu "x 2 + x - 12" orijinal bərabərsizliyi ilə əvəz edək.

X 2 + x - 12
0 2 + 0 - 12 −12 (doğru)

Həll sahəsindəki bir rəqəmi əvəz edərkən düzgün bərabərsizliyi əldə etdik ki, bu da cavabın düzgün tapıldığını göstərir.

Həllin fasilələr üsulu ilə qısa notası

Kvadrat bərabərsizliyin həlli üçün qısaldılmış qeyd " x 2 + x - 12 "aralıq metodundan istifadə etmək belə görünür:

X 2 + x - 12
x 2 + x - 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x 2 = 0 Cavab: x ≤ 0; x ≥ 1 2 "X 2" -dən əvvəl kvadrat bərabərsizliyində mənfi əmsalın olduğu bir nümunəyə nəzər salın. Bütün ifadələri bərabərsizliyin bir tərəfinə köçürdükdən sonra bir kvadrat bərabərsizliyin ümumi görünüşü aşağıdakı formalardan biridir: $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ və ya $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 $ və ya $ ax ^ 2 + bx + c $ A \ neq 0 $ və $ b, c \ in \ mathbb (R) $ olduqda Yuxarıdakı bərabərsizliklərin hər birinin həlli, $ x $ əvəz edə biləcək bütün həqiqi ədədləri tapmaqdır ki, bərabərsizlik doğru olsun. Məsələn, $ x = 1 $ olduğunu elan etsək $ x ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 $ bərabərsizliyinin köklərindən biridir. $ X $ bərabərsizliyində bütün dəyişənlər üçün 1 əvəz edərək, $ 1 ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 \ rightarrow \ frac (1) (2)> 0 $ əldə edirik. bu həmişə doğrudur. Buna görə də $ x = 1 $ bu bərabərsizliyin həll yollarından biridir. İndi bərabərsizlikləri necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik (1). Əvvəlcə $ y = ax ^ 2 + bx + c $ iki dəyişəndən ibarət bir tənliyi nəzərdən keçiririk və $ ax ^ 2 + bx + c $ sıfır olduğunu qəbul edirik. Sonra: $ ax ^ 2 + bx + c = 0 \ sağ ox a (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a)) = 0 \ sağ ox ^ (a \ neq 0) x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \ sağ ox $ $ x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) = 0 \ sağ ox (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) = 0 \ sağ arrow $ $ (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 = \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2)) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow $ $ x = \ frac (-b) (2a) \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2 - 4ac) ) (2a) $ Buradan belə çıxır ki, kvadratik tənliyin qrafiki x oxunu $ x_1 = \ frac (-b + \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) $ və $ x_2 = \ frac (-b-) nöqtəsində kəsişir. \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ Bu sıfırlar ədəd xəttini üç aralığa bölür: $ (- \ infty, x_1) $, $$, $ (x_2, + \ infty) $, $ x_1 olduğunu düşünərək İndi $ \ Delta = b ^ 2 - 4ac $ edək. Aşağıdakı üç vəziyyəti nəzərdən keçirə bilərik: $ \ Delta> 0 $ $ \ Delta = 0 $ $ \ Delta Dava 1:$ \ Delta> 0 $ olarsa, Sonra $ ax ^ 2 + bx + c $ iki fərqli köklərə malikdir $ (x_1 \ neq x_2) $. İndi $ a> 0 $ olarsa, onun qrafiki olduğu kimi alınır "Şəkil a". $ A "Şəkil b" dirsə. Buna görə də, $ a> 0 $ və $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 (ax ^ 2 + bx + c> 0) $ varsa, həllər dəsti belədir: $ (- \ infty, x_1] \ fincan $ $ ((x_1, x_2)) $ Digər tərəfdən, $ a 0) $ olarsa, həllər dəsti belədir: $$ $ ((x_1, x_2)) $ Və əgər $ ax ^ 2 + bx + c \ leq 0 (ax ^ 2 + bx + c $ ( - \ infty, x_1] \ cup \ cup ∪ [1 + 3 4, + ∞) və ya x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4. Misal 3 Kvadrat bərabərsizliyi həll edin - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Həll Əvvəlcə bərabərsizliyin sol tərəfindəki üçbucaqlı kvadratın köklərini tapırıq: D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Bu ciddi bir bərabərsizlikdir, buna görə qrafikdə "boş" bir nöqtə istifadə edirik. Koordinat 7 ilə. İndi (- ∞, 7) və (7, + ∞) yaranan intervallardakı işarələri təyin etməliyik. Kvadrat üçbucağın diskriminantı sıfır və aparıcı əmsal mənfi olduğu üçün işarələri qoyduq -, -: İmzalanmış bərabərsizliyi həll etdiyimiz üçün< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: Bu vəziyyətdə həllər hər iki intervaldır (- ∞, 7), (7, + ∞). Cavab:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) və ya başqa bir işarədə x ≠ 7. Misal 4 Kvadrat bərabərsizliyi x 2 + x + 7 edir< 0 решения? Həll Eşitsizliyin sol tərəfindəki üçbucaqlı kvadratın köklərini tapın. Bunu etmək üçün diskriminant tapırıq: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Diskriminant sıfırdan azdır, yəni əsl kök yoxdur. Qrafik şəkil üzərində nöqtələri olmayan rəqəm xətti kimi görünəcək. Kvadrat üçbucağın dəyərlərinin işarəsini təyin edək. Zaman D.< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : Bu vəziyyətdə, "-" işarəsi ilə boşluqların üzərinə kölgə sala bilərik. Amma bizdə belə boşluqlar yoxdur. Buna görə rəsm bu görünüşünü saxlayır: Hesablamalar nəticəsində boş bir dəst əldə etdik. Bu o deməkdir ki, bu kvadrat bərabərsizliyin həlli yoxdur. Cavab: Yox. Mətndə bir səhv görsəniz, onu seçin və Ctrl + Enter düymələrini basın Oxşar nəşrlər Yeni ili qeyd edə biləcəyiniz gözəl şəhərlər "Heç bir ortağa ehtiyacım yoxdur" Sergey Çoban ən uğurlu rus memarı oldu Doqquz onilliklər "Tass foto xronikası Tass foto xronikası Tass foto arxivinin ictimaiyyətə yayımlanmasının başlanğıcı və youtube -də apass videolarının toplusu Tass Fotoları