สร้างตัวเลขด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ การสร้างส่วนที่เท่ากับผลคูณหรืออัตราส่วนของอีกสองส่วนโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเป็นงานสร้างสรรค์ การเรียนรู้วัสดุใหม่

ถ้ามันค่อนข้างเป็นธรรมชาติด้วยสมมติฐานของเครื่องมือที่หลากหลายมากขึ้น มันกลายเป็นว่าเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาการก่อสร้างชุดใหญ่ เราอาจคาดการณ์ได้ว่า ในทางตรงกันข้าม ภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนดไว้สำหรับเครื่องมือ ประเภทของปัญหาที่แก้ไขได้จะแคบลง สิ่งที่น่าทึ่งยิ่งกว่าคือการค้นพบโดย Mascheroni ของอิตาลี (1750-1800): โครงสร้างทางเรขาคณิตทั้งหมดที่สามารถทำได้ด้วยเข็มทิศและเส้นตรงสามารถทำได้ด้วยเข็มทิศเพียงอันเดียว แน่นอนว่าควรกำหนดไว้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดที่กำหนดโดยไม่มีไม้บรรทัด ดังนั้นโครงสร้างพื้นฐานนี้จึงไม่ครอบคลุมอยู่ในทฤษฎีของ Mascheroni เราต้องสันนิษฐานว่าจะได้รับบรรทัดหากได้รับสองคะแนน แต่ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศเพียงอย่างเดียว เป็นไปได้ที่จะหาจุดตัดของสองเส้นที่ให้ด้วยวิธีนี้ หรือจุดตัดของเส้นที่มีวงกลม

อาจเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการสร้างของ Mascheroni คือการเสแสร้งของเซ็กเมนต์ที่กำหนด วิธีแก้ปัญหามีให้แล้วในหน้า 185 นอกจากนี้ ในหน้า 186 เราได้เรียนรู้วิธีแบ่งเซ็กเมนต์ที่กำหนดเป็นครึ่งหนึ่ง ตอนนี้เรามาดูวิธีการแบ่งส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O กัน นี่คือคำอธิบายของโครงสร้างนี้ ด้วยรัศมี เราวาดส่วนโค้งสองส่วนที่มีจุดศูนย์กลาง จากจุด O เราแยกส่วนโค้งดังกล่าวไว้สองส่วนบนส่วนโค้งเหล่านี้ และจุดนั้น จากนั้นเราจะพบจุดตัดของส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง P และรัศมี และส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมี ในที่สุด โดยนำส่วนโค้งเป็นรัศมี เราอธิบายส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง P หรือจนกว่าจุดตัดที่มีส่วนโค้งเป็นจุดตัดและเป็นจุดกึ่งกลางที่ต้องการของส่วนโค้ง บทพิสูจน์จะปล่อยให้ผู้อ่านอ่านเป็นแบบฝึกหัด

ข้าว. 48. ทางแยกของวงกลมและเส้นที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง

เป็นไปไม่ได้เลยที่จะพิสูจน์คำยืนยันหลักของ Mascheroni ด้วยการแสดง สำหรับทุกการก่อสร้างที่สามารถทำได้ด้วยเข็มทิศและเส้นตรง ว่าสามารถทำได้ด้วยเข็มทิศเพียงเส้นเดียว ท้ายที่สุด มีการก่อสร้างที่เป็นไปได้จำนวนนับไม่ถ้วน แต่เราจะบรรลุเป้าหมายเดียวกัน หากเราพิสูจน์ได้ว่าโครงสร้างพื้นฐานแต่ละอย่างต่อไปนี้เป็นไปได้ด้วยเข็มทิศอันเดียว:

1. วาดวงกลมถ้ามีจุดศูนย์กลางและรัศมี

2. หาจุดตัดของวงกลมสองวง

3. หาจุดตัดของเส้นกับวงกลม

4. หาจุดตัดของสองเส้น

โครงสร้างทางเรขาคณิตใดๆ (ในความหมายปกติ โดยสันนิษฐานว่าเป็นเข็มทิศและเส้นตรง) ประกอบขึ้นจากลำดับที่จำกัดของโครงสร้างเบื้องต้นเหล่านี้ ว่าสองคนแรกเป็นไปได้ด้วยเข็มทิศเดียวจะชัดเจนทันที โครงสร้างที่ยากขึ้น 3 และ 4 ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติการผกผันที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า

ให้เราหันไปที่โครงสร้าง 3: ค้นหาจุดตัดของวงกลม C ที่กำหนดโดยมีเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้ เราวาดส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีตามลำดับเท่ากับและยกเว้นจุด O พวกมันตัดกันที่จุด ป. จากนั้นเราสร้างจุดกลับกันถึงจุด P เทียบกับวงกลม C (ดู โครงสร้างที่อธิบายไว้ในหน้า 186) สุดท้าย เราวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมี (แน่นอนว่าจะตัดกับ C): จุดตัดที่มีวงกลม C จะเป็นจุดที่ต้องการ เพื่อพิสูจน์ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าแต่ละจุดอยู่ห่างจากสิ่งปลูกสร้างเท่ากัน อันที่จริง ก็เพียงพอแล้วที่จะอ้างอิงถึงสถานการณ์ที่จุดผกผันกับจุดนั้นแยกออกจากจุดด้วยระยะทางเท่ากับรัศมีของวงกลม C (ดูหน้า 184) เป็นที่น่าสังเกตว่าวงกลมที่ผ่านจุดเป็นเส้นผกผันผกผันกับวงกลม C เนื่องจากวงกลมนี้กับเส้นตัดกัน

ข้าว. 49. ทางแยกของวงกลมและเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง

กับ C ที่จุดเดียวกัน (เมื่อกลับด้าน จุดวงกลมฐานจะคงที่)

การก่อสร้างที่ระบุไม่สามารถทำได้เฉพาะเมื่อเส้นผ่านจุดศูนย์กลาง C แต่จากนั้นจุดตัดสามารถพบได้โดยการก่อสร้างที่อธิบายไว้ในหน้า 188 ดังที่ได้รับเมื่อเราวาดวงกลมตามอำเภอใจโดยให้จุดศูนย์กลาง B ตัดกับ C ที่จุด วงกลม ผกผันกับเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดที่กำหนดทันที ทำให้เกิดการก่อสร้างที่แก้ปัญหาที่ 4 ให้เส้นถูกกำหนดด้วยจุด (รูปที่ 50)

ข้าว. 50. ทางแยกของสองเส้น

เราวาดวงกลม C โดยพลการ และใช้วิธีการข้างต้น สร้างวงกลมที่ผกผันกับเส้นและวงกลมเหล่านี้ตัดกันที่จุด O และที่จุด X อีกจุดหนึ่ง ซึ่งเป็นจุดผกผันของจุด เป็นจุดตัดที่ต้องการ: วิธีการ ได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว ว่า X เป็นจุดที่ต้องการชัดเจนจากข้อเท็จจริงที่ว่ามีจุดผกผันจุดเดียวไปยังจุดที่เป็นของทั้งสองเส้นพร้อมๆ กัน ดังนั้นจุด X จุดผกผันจึงต้องอยู่บนและบนพร้อมกัน

โครงสร้างทั้งสองนี้เป็นการเติมเต็มการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันระหว่างโครงสร้างของ Mascheroni ซึ่งอนุญาตให้ใช้เฉพาะวงเวียนเท่านั้น และโครงสร้างเรขาคณิตธรรมดาที่มีวงเวียนและเส้นตรง

เราไม่สนใจความสง่างามของการแก้ปัญหาส่วนบุคคลที่เราได้พิจารณาที่นี่ เนื่องจากเป้าหมายของเราคือชี้แจงความหมายภายในของโครงสร้างของ Mascheroni แต่เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะระบุการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติด้วย แม่นยำยิ่งขึ้น เรากำลังพูดถึงการหาจุดห้าจุดบนวงกลมที่สามารถทำหน้าที่เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้

ให้ A เป็นจุดใดจุดหนึ่งในวงกลม K เนื่องจากด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีเครื่องหมายเท่ากับรัศมีของวงกลมจะวางบน K จุดดังกล่าวได้ไม่ยาก

ย้อนกลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

หนังสือเรียน:เรขาคณิต, 7-9: ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา / (L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev และอื่น ๆ ) - 16th ed. – ม.: การตรัสรู้, 2011.

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. เพื่อให้แนวคิดเกี่ยวกับปัญหาการก่อสร้างประเภทใหม่
2. พิจารณางานที่ง่ายที่สุดสำหรับการก่อสร้าง
3. สอนนักเรียนให้แก้ปัญหาดังกล่าว

งาน:

ด้านการศึกษา:

• ให้แนวคิดเกี่ยวกับปัญหาประเภทใหม่ - การสร้างปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดโดยไม่มีการแบ่งมาตราส่วน
• เพื่อสร้างทักษะการปฏิบัติงานจริง
• ขยายความรู้เกี่ยวกับประวัติเรขาคณิต

ด้านการพัฒนา:

• การพัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง
• การก่อตัวของความสามารถด้าน ICT;
• การก่อตัวของการคิดเชิงตรรกะ

ด้านการศึกษา:

• การศึกษาทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานการศึกษาเจตจำนงและความอุตสาหะเพื่อให้บรรลุผลสุดท้ายในการศึกษาหัวข้อ
• ส่งเสริมความสนใจในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์

ประเภทบทเรียน:รวมกัน

รูปแบบการจัดกิจกรรมการศึกษา:บุคคลกลุ่ม

ขั้นตอนบทเรียน:

• การเตรียมความพร้อมสำหรับกิจกรรมการเรียนรู้เชิงรุก
• การประยุกต์ใช้ความรู้
• การซักถามและการไตร่ตรอง
• ข้อมูลการบ้าน

อุปกรณ์:

• ตำรา, สมุดบันทึก, ดินสอ, ปากกาหมึกแห้ง, ไม้บรรทัด, วงเวียน, เอกสารประกอบคำบรรยาย (KIM);
• คอมพิวเตอร์ที่มีข้อกำหนดทางเทคนิคขั้นต่ำ: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7
• เครื่องฉายภาพมัลติมีเดีย จอภาพ

แหล่งข้อมูลบทเรียน:

• งานทดสอบ (KIM) เอกสารแนบ 1;
• การนำเสนอ;
• การประเมินระดับการดูดซึมของวัสดุ ภาคผนวก 3.

แผนการเรียน:

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร:

หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือ "ตัวอย่างงานก่อสร้าง" (สไลด์ 1)

จุดประสงค์ของบทเรียนคือการพิจารณาปัญหาการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดที่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดโดยไม่มีการแบ่งแยก เรียนรู้วิธีแก้ปัญหา (สไลด์ 2)

2. การทำซ้ำ ตรวจการบ้าน:

เราได้ศึกษาหัวข้อ "วงกลม" และวันนี้เราจะทดสอบความรู้ของคุณด้วยการทดสอบ ทำการทดสอบให้เสร็จสิ้น (แต่ละงานจะได้รับ KIM พร้อมงานทดสอบ) สำหรับแต่ละคำถาม ให้เลือกคำตอบที่ถูกต้อง ประเมินความรู้ของตนเองโดยนับจำนวนคำตอบที่ถูกต้อง ถ้าตอบถูก 6 ข้อ คะแนนคือ 5 คะแนน ถ้าตอบถูก 5 ข้อ คะแนนเป็น 4 คะแนน ถ้าตอบถูก 4 ข้อ คะแนนเป็น 3 คะแนน ตอบถูกจำนวนน้อยกว่าคือ คะแนน "2"

(คำตอบที่ถูกต้องในสไลด์ 3 ของการนำเสนอ)

3. การเตรียมนักเรียนสำหรับการรับรู้ของวัสดุใหม่:

คำพูดเบื้องต้นของครู:

เราได้จัดการกับโครงสร้างเรขาคณิตแล้ว: เราวาดเส้นตรง แยกส่วนที่เท่ากับข้อมูล วาดมุม สามเหลี่ยม และรูปร่างอื่น ๆ โดยใช้เครื่องมือต่างๆ เมื่อสร้างส่วนของความยาวที่กำหนด จะใช้ไม้บรรทัดที่มีหน่วยมิลลิเมตร และเมื่อสร้างมุมของการวัดองศาที่กำหนด จะใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

ในการบ้านของคุณ คุณมีงานต่อไปนี้:

วาดรูปสามเหลี่ยม ABC โดยให้ AB = 3.6 cm, AC = 2.7 cm, A = 48° แบบไหน เซนต์คุณใช้เครื่องมืออะไรในการแก้ปัญหานี้

ดังนั้นเราจึงใช้ไม้บรรทัดที่มีหน่วยมิลลิเมตรและไม้โปรแทรกเตอร์ แต่มีงานดังกล่าวซึ่งบางครั้งมีการกำหนดว่าควรใช้เครื่องมือใดเพื่อสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่เสนอ (สไลด์ 4-5)

ภารกิจที่ 1 ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดที่ไม่มีการแบ่งแยกบนรังสีที่กำหนดตั้งแต่เริ่มต้น ให้แยกส่วนที่เท่ากับส่วนที่ให้ไว้ การวาดภาพหน้าจอ

(นักเรียนเสนอวิธีแก้ปัญหา)

ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหาของคุณกัน (ดูสไลด์ 6)

ดังนั้น โครงสร้างหลายอย่างในเรขาคณิตสามารถทำได้โดยใช้เพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดโดยไม่มีการแบ่งส่วน (สไลด์ 7)

ต่อไปนี้ เมื่อพูดถึงปัญหาการก่อสร้าง เราจะนึกถึงแต่สิ่งก่อสร้างดังกล่าว

ปัญหาในการสร้างเข็มทิศและไม้บรรทัดเป็นวัสดุดั้งเดิมที่ศึกษาในระหว่างการสำรวจระดับน้ำทะเล โดยปกติงานเหล่านี้จะได้รับการแก้ไขตามรูปแบบที่ประกอบด้วยสี่ส่วน (ดูหน้า 95–96 ของตำราเรียน) ขั้นแรก วาด (วาด) ตัวเลขที่ต้องการและสร้างการเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลของปัญหากับองค์ประกอบที่ต้องการ ส่วนนี้ของการแก้ปัญหาเรียกว่า การวิเคราะห์. ช่วยให้คุณสร้างแผนสำหรับการแก้ปัญหา

แล้วตามแผนที่วางไว้ การก่อสร้างเข็มทิศและไม้บรรทัด

หลังจากนั้นคุณต้อง พิสูจน์ว่าร่างที่สร้างขึ้นนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

และสุดท้ายก็จำเป็น การวิจัยสำหรับข้อมูลใด ๆ ปัญหามีทางแก้ไขหรือไม่ และถ้ามี จะมีวิธีแก้ไขกี่วิธี

ในกรณีที่งานค่อนข้างง่าย สามารถละเว้นแต่ละส่วน เช่น การวิเคราะห์หรือการวิจัยได้ (สไลด์ 8)

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เราจะแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดในการสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดในชั้นเรียนอื่นเราจะแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

4. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่:

ดังนั้น งานของเราคือทำงานก่อสร้างให้เสร็จโดยใช้เครื่องมือเพียงสองอย่าง: เข็มทิศและไม้บรรทัดโดยไม่มีการแบ่งมาตราส่วน

สามารถทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง? เป็นที่ชัดเจนว่า ไม้บรรทัดช่วยให้คุณสามารถวาดเส้นตรงตามอำเภอใจรวมทั้งสร้างเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด การใช้เข็มทิศ คุณสามารถวาดวงกลมที่มีรัศมีตามอำเภอใจ เช่นเดียวกับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่กำหนดและรัศมีเท่ากับส่วนที่กำหนด(สไลด์ 9)

ด้วยการดำเนินการอย่างง่ายเหล่านี้ เราสามารถแก้ปัญหาสิ่งปลูกสร้างที่น่าสนใจมากมาย (สไลด์ 10):

1. บนรังสีที่กำหนดตั้งแต่ต้น ให้แยกส่วนที่เท่ากับรังสีที่กำหนด
2. กันรังสีที่กำหนดให้ทำมุมเท่ากับรังสีที่กำหนด
3. สร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ไม่ราบเรียบที่กำหนด
4. สร้างเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับเส้นที่จุดที่กำหนดอยู่
5. สร้างจุดกึ่งกลางของส่วนนี้

เราได้แก้ไขปัญหาหมายเลข 1 แล้ว

ตอนนี้ ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 2 ดำเนินการสร้างที่เหมาะสมในสมุดบันทึกของคุณ (สไลด์ 11-12)

และตอนนี้เรามาพิจารณางานหมายเลข 3 - 5 (สไลด์ 13-18)

(การก่อสร้างที่สอดคล้องกันและคำอธิบายของงานจะดำเนินการในสมุดบันทึก)

หลังจากทำงานเสร็จครูดึงความสนใจของนักเรียนให้เห็นว่างานดังกล่าวได้รับการพิจารณาในสมัยโบราณ(สไลด์ 19)

ทีนี้มาดูประวัติของเรขาคณิตกัน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณประสบความสำเร็จอย่างมากในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตด้วยความช่วยเหลือของวงเวียนและเส้นตรง พวกเขาพิสูจน์ว่ามุมหนึ่งสามารถแบ่งออกเป็นสี่มุมเท่า ๆ กัน ในการทำเช่นนี้คุณต้องแบ่งครึ่งแล้วสร้างครึ่งของแต่ละครึ่ง เป็นไปได้ไหมที่จะแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันโดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง? งานนี้เรียกว่า ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉากได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาหลายศตวรรษ อย่างไรก็ตาม เธอไม่ยอมแพ้ต่อความพยายามของพวกเขา ในศตวรรษที่ผ่านมาได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการก่อสร้างดังกล่าวเป็นไปไม่ได้สำหรับมุมโดยพลการ

มีปัญหาการก่อสร้างอื่นๆ ที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าแก้ไม่ได้ด้วยเข็มทิศและเส้นตรง ฉันแนะนำให้คุณค้นหาเนื้อหาที่มีข้อมูลเพื่อทำความคุ้นเคยกับงานเหล่านี้โดยอิสระ

5. สรุปบทเรียน:

เราได้เรียนรู้สิ่งใหม่มากมาย เรียนรู้ว่าปัญหาใดสามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัด ทุกท่านมีแผ่นคำถาม ให้คะแนนงานของคุณในบทเรียนวันนี้โดยเลือกหนึ่งในคำตอบที่แนะนำ

1. ให้คะแนนความยากของบทเรียน คุณอยู่ในชั้นเรียน:
   • อย่างง่ายดาย;
   • โดยปกติ;
   • แข็ง
2. ประเมินระดับการดูดซึมของวัสดุ:
   • เรียนครบ สมัครได้
   • เรียนรู้อย่างเต็มที่ แต่พบว่ามันยากที่จะนำไปใช้
   • เรียนรู้บางส่วน;
   • ไม่เข้าใจ

รวบรวมแผ่นพับเพื่อประเมินระดับการดูดซึมของเนื้อหาในบทเรียนของวันนี้ เพื่อจัดระเบียบงานในบทเรียนถัดไปอย่างเหมาะสม มีการรายงานคะแนนสำหรับบทเรียน รวมถึงคะแนนการทดสอบในหัวข้อ "วงกลม"

6. การบ้าน:

• ตอบคำถาม 17–21 ในหน้า 50;
• แก้ปัญหาหมายเลข 153, 154 (สไลด์ 20)

การเรียนการสอน

วางเข็มของเข็มทิศไว้ที่จุดที่ทำเครื่องหมายไว้ วาดวงกลมด้วยสไตลัสที่มีรัศมีที่วัดได้

วางจุดที่ใดก็ได้ตามเส้นรอบวงของส่วนโค้งที่วาด นี่จะเป็นจุดยอด B ที่สองของสามเหลี่ยมที่ถูกสร้างขึ้น

วางขาบนจุดยอดที่สองในลักษณะเดียวกัน วาดวงกลมอีกวงหนึ่งเพื่อให้มันตัดกับวงแรก

จุดยอด C ที่สามของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจะอยู่ที่จุดตัดของส่วนโค้งทั้งสองที่วาดไว้ ทำเครื่องหมายบนภาพ

เมื่อได้จุดยอดทั้งสามแล้ว ให้ต่อด้วยเส้นตรงโดยใช้พื้นผิวเรียบใดๆ (ดีกว่าไม้บรรทัด) สามเหลี่ยม ABC ถูกสร้างขึ้น

หากวงกลมสัมผัสทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด และจุดศูนย์กลางอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม จะถูกเรียกว่าจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด วงกลม

การเรียนการสอน

จากจุดยอดของสามเหลี่ยม (ด้านตรงข้ามกับมุมหาร) ส่วนโค้งของวงกลมรัศมีตามอำเภอใจจะถูกวาดด้วยเข็มทิศจนกระทั่งตัดกัน

จุดตัดของส่วนโค้งตามแนวไม้บรรทัดเชื่อมต่อกับด้านบนของมุมที่แบ่งได้

ทำเช่นเดียวกันกับมุมอื่น

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมจะเป็นอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมและกึ่งปริมณฑล: r=S/p โดยที่ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม และ p=(a+ b+c)/2 คือกึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมนั้นอยู่ห่างจากทุกด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน

ที่มา:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

พิจารณาปัญหาของการสร้างรูปสามเหลี่ยม โดยจะต้องรู้ด้านสามด้านหรือด้านเดียวและมุมสองมุม

คุณจะต้องการ

• - วงเวียน
• - ไม้บรรทัด
• - ไม้โปรแทรกเตอร์

การเรียนการสอน

สมมติว่ามีสามด้าน: a, b และ c การใช้ก็ไม่ยากกับบุคคลดังกล่าว อันดับแรก เลือกด้านที่ยาวที่สุดของด้านนี้ ให้มันเป็นด้าน c แล้ววาดมัน จากนั้นเราตั้งค่าการเปิดของเข็มทิศเป็นค่าของอีกด้านหนึ่ง ด้าน a และวาดวงกลมรัศมี a โดยศูนย์กลางที่ปลายด้านหนึ่งของด้าน c ตอนนี้ตั้งค่าการเปิดเข็มทิศเป็นค่าของด้าน b และวาดวงกลมตรงกลางอีกด้านหนึ่งของด้าน c รัศมีของวงกลมนี้คือ b เราเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลมกับจุดศูนย์กลางและรับสามเหลี่ยมที่มีด้านที่ต้องการ

ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วาดรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านที่กำหนดและมุมที่อยู่ติดกันสองมุม วาดด้านของความยาวที่ระบุ วางมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ที่ขอบของมัน ที่จุดตัดของด้านข้างของมุม หาจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยม

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก

สำหรับด้านของสามเหลี่ยม ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: ผลรวมของความยาวของสองด้านใดๆ ต้องมากกว่าด้านที่สาม หากสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสามเหลี่ยมดังกล่าว

วงกลมในขั้นตอนที่ 1 ตัดกันสองจุด คุณสามารถเลือกอะไรก็ได้ สามเหลี่ยมจะเท่ากัน

สามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน ตามคำจำกัดความนี้ การสร้างรูปสามเหลี่ยมประเภทนี้ไม่ใช่เรื่องยาก

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด แผ่นกระดาษรอง ดินสอ

การเรียนการสอน

ใช้ไม้บรรทัดเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายบนแผ่นงานเป็นชุดทีละจุดดังแสดงในรูปที่ 2

บันทึก

ในรูปสามเหลี่ยม (ด้านเท่า) ปกติ มุมทั้งหมดคือ 60 องศา

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

สามเหลี่ยมด้านเท่ายังเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้วย หากสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แสดงว่าด้าน 2 ใน 3 ของมันเท่ากัน และด้านที่สามถือเป็นฐาน สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ก็ตามเป็นหน้าจั่ว ในขณะที่คอนเวิร์สไม่เป็นความจริง

สามเหลี่ยมด้านเท่าใดๆ ก็ตาม ไม่เพียงแต่ด้านเท่านั้น แต่ยังมีมุมด้วย ซึ่งแต่ละมุมมีค่าเท่ากับ 60 องศา อย่างไรก็ตาม การวาดภาพสามเหลี่ยมดังกล่าวซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์จะไม่ค่อยแม่นยำนัก ดังนั้น ในการสร้างรูปนี้ จะดีกว่าถ้าใช้เข็มทิศ

คุณจะต้องการ

• ดินสอ ไม้บรรทัด วงเวียน

การเรียนการสอน

จากนั้นใช้เข็มทิศตั้งไว้ที่ปลาย (จุดยอดในอนาคตของสามเหลี่ยม) แล้ววาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับความยาวของส่วนนี้ คุณไม่สามารถวาดวงกลมทั้งหมดได้ แต่วาดเพียงหนึ่งในสี่ของวงกลมจากขอบตรงข้ามของส่วน

ตอนนี้ย้ายเข็มทิศไปที่ปลายอีกด้านหนึ่งของส่วนแล้ววาดวงกลมที่มีรัศมีเดียวกันอีกครั้ง ที่นี่จะสร้างวงกลมที่ทอดยาวจากปลายสุดของส่วนไปยังสี่แยกที่มีส่วนโค้งที่สร้างขึ้นแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยมของคุณ

เพื่อให้การก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์ ให้ใช้ไม้บรรทัดด้วยดินสออีกครั้งแล้วเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลมสองวงกับปลายทั้งสองของส่วน คุณจะได้รูปสามเหลี่ยมซึ่งทั้งสามด้านเท่ากันหมด - สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายด้วยไม้บรรทัด

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน สามเหลี่ยมด้านเท่าหรือสามเหลี่ยมปกติคือสามเหลี่ยมที่มีด้านและมุมทั้งหมดเท่ากัน พิจารณาว่าคุณจะวาดรูปสามเหลี่ยมธรรมดาได้อย่างไร.

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัดวงกลม

การเรียนการสอน

ใช้เข็มทิศวาดวงกลมอีกวงหนึ่ง จุดศูนย์กลางจะอยู่ที่จุด B และรัศมีเท่ากับส่วนของเส้นตรง BA

วงกลมจะตัดกันเป็นสองจุด เลือกใด ๆ ของพวกเขา ตั้งชื่อว่า C. นี่จะเป็นจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยม

เชื่อมต่อจุดยอดเข้าด้วยกัน สามเหลี่ยมที่ได้จะถูกต้อง ตรวจสอบโดยการวัดด้านข้างด้วยไม้บรรทัด

พิจารณาวิธีสร้างสามเหลี่ยมปกติโดยใช้ไม้บรรทัดสองตัว วาดส่วนตกลง มันจะเป็นด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม และจุด O และ K จะเป็นจุดยอด

โดยไม่ต้องย้ายไม้บรรทัดหลังจากสร้างส่วน OK แล้ว ให้แนบไม้บรรทัดอีกอันตั้งฉากกับส่วนนั้น ลากเส้น m ตัดส่วนตกลงตรงกลาง

ใช้ไม้บรรทัดวัดส่วน OE เท่ากับส่วน OK เพื่อให้ปลายด้านหนึ่งตรงกับจุด O และอีกด้านอยู่บนเส้น m จุด E จะเป็นจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยม

สร้างสามเหลี่ยมให้เสร็จโดยเชื่อมต่อจุด E และ K ตรวจสอบโครงสร้างด้วยไม้บรรทัด

บันทึก

คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามเหลี่ยมถูกต้องโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์โดยการวัดมุม

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

สามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถวาดบนแผ่นงานในกรงได้โดยใช้ไม้บรรทัดเดียว แทนที่จะใช้ไม้บรรทัดอื่น ให้ใช้เส้นตั้งฉาก

ที่มา:

• การจำแนกสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมด้านเท่า
• สามเหลี่ยมคืออะไร
• การสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมที่จารึกไว้คือสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมทั้งหมด คุณสามารถสร้างมันขึ้นมาได้ถ้าคุณรู้อย่างน้อยด้านเดียวและมุมหนึ่ง วงกลมนี้เรียกว่า circumscribed และจะเป็นวงกลมเดียวสำหรับสามเหลี่ยมนี้

คุณจะต้องการ

• - วงกลม;
• - ด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม
• - กระดาษ;
• - เข็มทิศ;
• - ไม้บรรทัด;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เครื่องคิดเลข

การเรียนการสอน

จากจุด A ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อกันมุมที่กำหนด ไปต่อที่ด้านข้างของมุมจนถึงทางแยกที่มีวงกลมแล้วใส่จุด C เชื่อมจุด B กับ C คุณจะได้สามเหลี่ยม ABC มันสามารถเป็นประเภทใดก็ได้ ศูนย์กลางของวงกลมที่สามเหลี่ยมแหลมอยู่ด้านนอก ที่สามเหลี่ยมป้านจะอยู่ด้านนอก และที่สามเหลี่ยมมุมฉากนั้นอยู่ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก หากคุณไม่ได้รับมุม แต่ยกตัวอย่างเช่น ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ให้คำนวณมุมใดมุมหนึ่งจากรัศมีและด้านที่ทราบ

บ่อยครั้งที่เราต้องจัดการกับโครงสร้างผกผันเมื่อให้สามเหลี่ยมและต้องอธิบายวงกลมรอบ ๆ คำนวณรัศมีของมัน ซึ่งสามารถทำได้ตามสูตรต่างๆ ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณได้รับ สามารถหารัศมีได้ เช่น ข้างและไซน์ของมุมตรงข้าม ในกรณีนี้ มันเท่ากับความยาวของด้านหารด้วยไซน์สองเท่าของมุมตรงข้าม นั่นคือ R=a/2sinCAB นอกจากนี้ยังสามารถแสดงออกผ่านผลคูณของด้านได้อีกด้วย ในกรณีนี้ R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

กำหนดจุดศูนย์กลางของวงกลม แบ่งครึ่งทุกด้านแล้ววาดฉากตั้งฉากตรงกลาง จุดตัดของพวกเขาจะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม วาดมันเพื่อให้มันตัดกับจุดยอดทั้งหมดของมุม

ด้านสั้นทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเรียกว่าขา โดยนิยามจะต้องตั้งฉากกัน คุณสมบัติของรูปนี้ช่วยอำนวยความสะดวกในการก่อสร้างอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถกำหนดความตั้งฉากได้อย่างแม่นยำเสมอไป ในกรณีเช่นนี้ คุณสามารถคำนวณความยาวของทุกด้านได้ - พวกมันจะช่วยให้คุณสร้างสามเหลี่ยมในวิธีเดียวที่เป็นไปได้ ดังนั้นจึงถูกต้อง

คุณจะต้องการ

• กระดาษ ดินสอ ไม้บรรทัด ไม้โปรแทรกเตอร์ เข็มทิศ สี่เหลี่ยม

วิดีโอสอน "การก่อสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด" มีสื่อการเรียนรู้ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาการก่อสร้าง โครงสร้างทางเรขาคณิตเป็นส่วนสำคัญในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง งานเรขาคณิตแทบไม่สามารถทำได้หากไม่มีความสามารถในการสะท้อนเงื่อนไขในรูปอย่างถูกต้อง วัตถุประสงค์หลักของบทเรียนวิดีโอนี้คือเพื่อเพิ่มพูนความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับการใช้เครื่องมือวาดภาพเพื่อสร้างรูปทรงเรขาคณิต เพื่อแสดงความสามารถของเครื่องมือเหล่านี้ และเพื่อสอนวิธีแก้ปัญหาการก่อสร้างอย่างง่าย

การเรียนรู้โดยใช้บทเรียนทางวิดีโอมีข้อดีหลายประการ รวมถึงความชัดเจน ความชัดเจนของโครงสร้างที่สร้างขึ้น เนื่องจากมีการสาธิตเนื้อหาโดยใช้วิธีการทางอิเล็กทรอนิกส์ที่ใกล้เคียงกับการก่อสร้างจริงบนกระดาน โครงสร้างสามารถมองเห็นได้ชัดเจนจากทุกที่ในห้องเรียน โดยเน้นจุดสำคัญด้วยสี และเสียงประกอบจะเข้ามาแทนที่การนำเสนอของครูเกี่ยวกับบล็อกมาตรฐานของสื่อการเรียนการสอน

วิดีโอสอนเริ่มต้นด้วยการประกาศชื่อหัวข้อ นักเรียนจะได้รับการเตือนว่าพวกเขามีทักษะบางอย่างในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตอยู่แล้ว ในบทเรียนที่แล้ว เมื่อนักเรียนศึกษาพื้นฐานของเรขาคณิตและเข้าใจแนวคิดของเส้นตรง จุด มุม ส่วนงาน สามเหลี่ยม พวกเขาวาดส่วนต่างๆ เท่ากับข้อมูล พวกเขาก็สร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด โครงสร้างดังกล่าวไม่ต้องการทักษะที่ซับซ้อน แต่การทำงานที่ถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำงานต่อไปกับวัตถุทางเรขาคณิตและการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น

นักเรียนจะได้รับรายการเครื่องมือหลักที่ใช้ในการสร้างโครงสร้างเมื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ภาพแสดงไม้บรรทัดมาตราส่วน เข็มทิศ สามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก ไม้โปรแทรกเตอร์

เพื่อขยายความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับวิธีการก่อสร้างประเภทต่าง ๆ พวกเขาควรให้ความสนใจกับโครงสร้างที่ดำเนินการโดยไม่มีไม้บรรทัดมาตราส่วนและสำหรับพวกเขาเท่านั้นที่สามารถใช้วงเวียนและไม้บรรทัดที่ไม่มีแผนกได้ มีข้อสังเกตว่ากลุ่มงานก่อสร้างดังกล่าวซึ่งใช้เฉพาะไม้บรรทัดและเข็มทิศเท่านั้นถูกแยกออกเป็นรูปทรงเรขาคณิต

เพื่อกำหนดปัญหาทางเรขาคณิตที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ ขอเสนอให้พิจารณาความสามารถของเครื่องมือวาดภาพเหล่านี้ ไม้บรรทัดช่วยในการวาดเส้นโดยพลการเพื่อสร้างเส้นที่ผ่านบางจุด เข็มทิศออกแบบมาเพื่อวาดวงกลม ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศเท่านั้นที่สร้างวงกลมโดยพลการ ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศจะมีการวาดส่วนที่เท่ากับส่วนนี้ด้วย ความเป็นไปได้ที่ระบุของเครื่องมือวาดภาพทำให้สามารถทำงานก่อสร้างได้หลายอย่าง ท่ามกลางงานก่อสร้างดังกล่าว:

1. การสร้างมุมที่เท่ากับมุมที่กำหนด
2. ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดผ่านจุดที่กำหนด
3. แบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
4. งานก่อสร้างอื่นๆ อีกมากมาย

ต่อไปจะเสนอให้แก้ปัญหาการก่อสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ หน้าจอแสดงสภาวะของปัญหา ซึ่งประกอบด้วยการแบ่งส่วนบนรังสีหนึ่ง ๆ เท่ากับส่วนใดส่วนหนึ่งจากจุดเริ่มต้นของรังสี การแก้ปัญหานี้เริ่มต้นด้วยการสร้างเซ็กเมนต์ AB โดยพลการและเรย์ OS เพื่อเป็นการแก้ปัญหานี้ เสนอให้สร้างวงกลมที่มีรัศมี AB และจุดศูนย์กลางที่จุด O หลังจากสร้างแล้ว วงกลมที่สร้างขึ้นจะตัดกับรังสีโอเอส ณ จุดหนึ่ง D ในกรณีนี้ ส่วนหนึ่งของรังสีที่แสดงโดย ส่วน OD คือส่วนที่เท่ากับส่วน AB แก้ไขปัญหา.

บทเรียนวิดีโอ "การก่อสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด" สามารถใช้เมื่อครูอธิบายพื้นฐานของการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติสำหรับการก่อสร้าง นอกจากนี้ วิธีนี้ยังสามารถเข้าใจได้โดยการศึกษาเนื้อหานี้อย่างอิสระ บทเรียนวิดีโอนี้สามารถช่วยครูในการส่งเนื้อหาในหัวข้อนี้ทางไกล

สร้างด้วยเข็มทิศและเส้นตรง

สิ่งก่อสร้างด้วยเข็มทิศและเส้นตรง- ส่วนของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในงานก่อสร้าง เข็มทิศและไม้บรรทัดถือเป็นเครื่องมือในอุดมคติ โดยเฉพาะ:

• ไม้บรรทัดไม่มีการแบ่งแยกและมีด้านยาวเป็นอนันต์ แต่มีเพียงหนึ่งด้านเท่านั้น
• เข็มทิศสามารถมีช่องเปิดขนาดใหญ่หรือเล็กตามอำเภอใจได้ (นั่นคือ มันสามารถวาดวงกลมรัศมีตามอำเภอใจ)

ตัวอย่าง

แบ่งครึ่งสาย

ปัญหารอยแยก. ใช้เข็มทิศและเส้นตรงเพื่อแบ่งส่วนนี้ ABออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน หนึ่งในการแก้ปัญหาแสดงในรูป:

• วงเวียนวาดวงกลมตรงกลางจุด อาและ บีรัศมี AB.
• หาจุดแยก พีและ คิววงกลมที่สร้างขึ้นสองวง (ส่วนโค้ง)
• บนไม้บรรทัด ให้วาดส่วนหรือเส้นที่ลากผ่านจุด พีและ คิว.
• การหาจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ AB- จุดสี่แยก ABและ PQ.

คำนิยามที่เป็นทางการ

ปัญหาการก่อสร้างจะพิจารณาเซตของจุดทั้งหมดของเครื่องบิน เซตของทุกเส้นของเครื่องบิน และเซตของวงกลมทั้งหมดของเครื่องบิน ซึ่งอนุญาตให้ดำเนินการต่อไปนี้:

1. เลือกจุดจากชุดของจุดทั้งหมด:
   1. จุดโดยพลการ
   2. จุดโดยพลการบนเส้นที่กำหนด
   3. จุดโดยพลการบนวงกลมที่กำหนด
   4. จุดตัดของสองเส้นที่กำหนด
   5. จุดตัด / แทนเจนซีของเส้นที่กำหนดและวงกลมที่กำหนด
   6. จุดตัด/แทนเจนซีของวงกลมสองวงที่กำหนด
2. "ทาง ไม้บรรทัด» เลือกบรรทัดจากชุดของทุกบรรทัด:
   1. เส้นโดยพลการ
   2. เส้นโดยพลการที่ผ่านจุดที่กำหนด
   3. เส้นที่ผ่านสองจุดที่กำหนด
3. "ทาง เข็มทิศ» เลือกแวดวงจากชุดของแวดวงทั้งหมด:
   1. วงกลมตามอำเภอใจ
   2. วงกลมตามอำเภอใจที่จุดที่กำหนด
   3. วงกลมตามอำเภอใจที่มีรัศมีเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่กำหนด
   4. วงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดที่กำหนดและมีรัศมีเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนดสองจุด

ในเงื่อนไขของปัญหามีการระบุชุดของคะแนนไว้ ต้องใช้การดำเนินการจำนวนจำกัด เพื่อสร้างชุดจุดอื่นจากการดำเนินการที่ได้รับอนุญาตข้างต้น ซึ่งอยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับชุดเดิม

การแก้ปัญหาการก่อสร้างประกอบด้วยสามส่วนที่สำคัญ:

1. คำอธิบายของวิธีการสร้างชุดที่กำหนด
2. การพิสูจน์ว่าฉากที่สร้างขึ้นในลักษณะที่อธิบายนั้นเป็นความสัมพันธ์ที่กำหนดกับฉากดั้งเดิม โดยปกติการพิสูจน์การก่อสร้างจะทำขึ้นเพื่อเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทเป็นประจำ โดยอาศัยสัจพจน์และทฤษฎีบทอื่นๆ ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว
3. การวิเคราะห์วิธีการก่อสร้างที่อธิบายไว้สำหรับการนำไปใช้กับตัวแปรต่างๆ ของเงื่อนไขเริ่มต้น เช่นเดียวกับความเป็นเอกลักษณ์หรือความไม่ซ้ำกันของสารละลายที่ได้จากวิธีการที่อธิบายไว้

ปัญหาที่ทราบ

• ปัญหาของ Apollonius ในการสร้างวงกลมแทนเจนต์ถึงสามวงกลมที่กำหนด หากไม่มีวงกลมที่ระบุอยู่ภายในวงกลมอื่น แสดงว่าปัญหานี้มี 8 วิธีที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง
• ปัญหาของพรหมคุปต์ในการสร้างรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ทั้งสี่ด้าน

การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

geometers โบราณรู้วิธีสร้างที่ถูกต้อง น-gons สำหรับ , , และ .

โครงสร้างที่เป็นไปได้และเป็นไปไม่ได้

โครงสร้างทั้งหมดไม่มีอะไรมากไปกว่าคำตอบของสมการบางตัว และสัมประสิทธิ์ของสมการนี้สัมพันธ์กับความยาวของส่วนที่กำหนด ดังนั้นจึงสะดวกที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการสร้างตัวเลขซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับสมการบางประเภท ภายในกรอบของข้อกำหนดข้างต้น สามารถสร้างสิ่งต่อไปนี้ได้:

• การสร้างคำตอบของสมการเชิงเส้น
• การสร้างคำตอบของสมการกำลังสอง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเป็นไปได้ที่จะสร้างเฉพาะตัวเลขที่เท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้รากที่สองของตัวเลขดั้งเดิม (ความยาวของส่วน) ตัวอย่างเช่น,

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• ก่อสร้างด้วยเข็มทิศเดียวตามทฤษฎีบท Mohr-Mascheroni ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศเดียว คุณสามารถสร้างร่างใดๆ ที่สามารถสร้างได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด ในกรณีนี้ ให้พิจารณาว่าเส้นถูกสร้างขึ้นหากมีการให้คะแนนสองจุดบนเส้นนั้น
• ก่อสร้างด้วยไม้บรรทัดเดียวเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ามีเพียงการก่อสร้างที่ไม่เปลี่ยนแปลงเชิงคาดการณ์เท่านั้นที่สามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเพียงคนเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกส่วนออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน หรือหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่วาด แต่ถ้ามีวงกลมที่วาดไว้ล่วงหน้าบนระนาบโดยมีจุดศูนย์กลางที่ทำเครื่องหมายไว้ โดยใช้ไม้บรรทัด คุณสามารถวาดโครงสร้างแบบเดียวกับเข็มทิศและไม้บรรทัดได้ (ทฤษฎีบท Poncelet-Steiner ( ภาษาอังกฤษ)) พ.ศ. 2376 หากไม้บรรทัดมี serif สองตัว การสร้างด้วยความช่วยเหลือของมันจะเทียบเท่ากับโครงสร้างด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัด (นโปเลียนทำขั้นตอนสำคัญในการพิสูจน์สิ่งนี้)
• การก่อสร้างด้วยเครื่องมือที่จำกัดในปัญหาประเภทนี้ เครื่องมือ (ตรงกันข้ามกับสูตรคลาสสิกของปัญหา) ถือว่าไม่เหมาะ แต่มีข้อ จำกัด : สามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้โดยใช้ไม้บรรทัดก็ต่อเมื่อระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ไม่เกินค่าที่กำหนด ค่า; รัศมีของวงกลมที่วาดด้วยเข็มทิศสามารถจำกัดได้จากด้านบน ด้านล่าง หรือทั้งสองด้านบนและด้านล่าง
• อาคารที่มีโอริกามิแบนดูกฎของคูจิต

ดูสิ่งนี้ด้วย

• โปรแกรมเรขาคณิตแบบไดนามิกช่วยให้คุณวาดด้วยเข็มทิศและเส้นตรงบนคอมพิวเตอร์

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• A. Adlerทฤษฎีโครงสร้างเรขาคณิต / แปลจากภาษาเยอรมันโดย G.M. Fikhtengolts - รุ่นที่สาม - L.: Uchpedgiz, 2483. - 232 p.
• I.I. อเล็กซานดรอฟรวบรวมโจทย์เรขาคณิตสำหรับการก่อสร้าง - รุ่นที่สิบแปด - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - รุ่นที่สอง - M.: Uchpedgiz, 2500. - 268 น.
• A.M. Voronetsเรขาคณิตของเข็มทิศ - ม.-ล.: ONTI, 2477. - 40 น. - (ห้องสมุดคณิตศาสตร์ยอดนิยม แก้ไขโดย L.A. Lyusternik)
• V.A. Geilerปัญหาการก่อสร้างที่แก้ไขไม่ได้ // น้ำหล่อเย็น. - 1999. - หมายเลข 12. - ส. 115-118.
• วี.เอ.คิริเชนโกสิ่งก่อสร้างด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดและทฤษฎีกาลัวส์ // โรงเรียนภาคฤดูร้อน "คณิตศาสตร์สมัยใหม่". - ดูบนา, 2548.
• ยู ไอ มานินเล่มที่ 4 เรขาคณิต // สารานุกรมคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา - M.: Fizmatgiz, 2506. - 568 น.
• วาย. ปีเตอร์เสนวิธีการและทฤษฎีในการแก้ปัญหาการก่อสร้างทางเรขาคณิต - M.: โรงพิมพ์ของ E. Lissner และ Yu. Roman, 2435. - 114 p.
• V.V. Prasolovปัญหาอาคารคลาสสิกสามประการ การเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า สามส่วนของมุม ยกกำลังสองวงกลม - M.: Nauka, 1992. - 80 p. - (บรรยายยอดนิยมทางคณิตศาสตร์).
• เจ. สไตเนอร์โครงสร้างทางเรขาคณิตดำเนินการโดยใช้เส้นตรงและวงกลมคงที่ - M.: Uchpedgiz, 2482. - 80 p.
• วิชาเลือกทางคณิตศาสตร์. 7-9 / คอมพ์ I. L. Nikolskaya - ม.: การศึกษา, 2534. - ส. 80. - 383 น. - ISBN 5-09-001287-3

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "การก่อสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ส่วนของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในงานก่อสร้าง การดำเนินการต่อไปนี้เป็นไปได้: ทำเครื่องหมายจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน จุดบนเส้นที่สร้างขึ้นเส้นใดเส้นหนึ่ง หรือจุดตัดของเส้นสร้างสองเส้น ด้วยความช่วยเหลือของ ... ... Wikipedia

การก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง ส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในงานก่อสร้าง การดำเนินการต่อไปนี้เป็นไปได้: ทำเครื่องหมายจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน จุดบนหนึ่งในเส้นที่สร้างขึ้น หรือจุด ... ... Wikipedia

ตัวอย่าง s. ใช้ คอมพ์ สัณฐานวิทยาบ่อยครั้ง: (ไม่) อะไรนะ? ก่อสร้างเพื่ออะไร? การก่อสร้าง (ดู) อะไร? สร้างอะไร? อาคารเกี่ยวกับอะไร? เกี่ยวกับอาคาร พี อะไร? การก่อสร้าง (ไม่มี) อะไรนะ? ก่อสร้างทำไม? ก่อสร้าง (ดู) อะไร? ก่อสร้างกว่า? ... ... พจนานุกรมของ Dmitriev

วงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากัน การยกกำลังสองวงกลมเป็นปัญหาที่ประกอบด้วยการหาสิ่งก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับพื้นที่ที่กำหนด ... Wikipedia

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงต่างๆ (จุด เส้น มุม วัตถุสองมิติและสามมิติ) ขนาดและตำแหน่งสัมพัทธ์ เพื่อความสะดวกในการสอน เรขาคณิตแบ่งออกเป็นแบบแผนและเรขาคณิตแบบทึบ ใน… … สารานุกรมถ่านหิน

ในความหมายทั่วไป ทฤษฎีที่ศึกษาทางคณิตศาสตร์บางอย่าง วัตถุตามกลุ่ม automorphism ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ วงแหวน และโครงสร้างทอพอโลยีที่แตกต่างกัน t. ช่องว่าง และอื่นๆ ในความหมายที่แคบกว่านั้น จี.ที. ถูกเข้าใจว่าเป็นฟิลด์จี.ที. สิ่งนี้เกิดขึ้น… สารานุกรมคณิตศาสตร์

คำนี้มีความหมายอื่น ดูการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (Latin quadratura, squaring) เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่เดิมใช้แทนการหาพื้นที่ของรูปทรงหรือพื้นผิวที่กำหนด ในอนาคต ... ... Wikipedia

กฎของคูจิตาคือชุดของกฎเจ็ดข้อที่อธิบายโครงสร้างทางเรขาคณิตอย่างเป็นทางการโดยใช้กระดาษพับแบบเรียบ คล้ายกับโครงสร้างที่ใช้เข็มทิศและเส้นตรง อันที่จริงพวกเขาอธิบายวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อให้ได้ส่วนใหม่ ... ... Wikipedia