ด้วยความช่วยเหลือของวิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ว่า พื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ สัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง V บน H

วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์

1. บทนำ

สถิติทางคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่พัฒนาวิธีการได้มาซึ่งอธิบายและประมวลผลข้อมูลการทดลองเพื่อศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์มวลสุ่ม

ในสถิติทางคณิตศาสตร์ สามารถแยกความแตกต่างได้สองด้าน: สถิติพรรณนาและสถิติอุปนัย (การอนุมานทางสถิติ) สถิติเชิงพรรณนาเกี่ยวข้องกับการสะสม การจัดระบบ และการนำเสนอข้อมูลการทดลองในรูปแบบที่สะดวก สถิติอุปนัยบนพื้นฐานของข้อมูลเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับวัตถุที่รวบรวมข้อมูลหรือการประมาณค่าพารามิเตอร์ได้

พื้นที่ทั่วไปของสถิติทางคณิตศาสตร์คือ:

1) ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่าง

2) ทฤษฎีการประมาณการ

3) การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ

4) การวิเคราะห์การถดถอย

5) การวิเคราะห์ความแปรปรวน

สถิติทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับแนวคิดเบื้องต้นจำนวนหนึ่ง โดยที่เป็นไปไม่ได้ที่จะศึกษาวิธีการสมัยใหม่ในการประมวลผลข้อมูลการทดลอง ในจำนวนแรกนั้น เราสามารถใส่แนวคิดเรื่องประชากรทั่วไปและกลุ่มตัวอย่างได้

ในการผลิตเชิงอุตสาหกรรมจำนวนมาก มักจำเป็นต้องกำหนดว่าคุณภาพของผลิตภัณฑ์เป็นไปตามมาตรฐานหรือไม่ โดยไม่ตรวจสอบผลิตภัณฑ์ที่ผลิตแต่ละรายการ เนื่องจากจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตมีจำนวนมากหรือการตรวจสอบผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับการทำให้สภาพทรุดโทรม จึงมีการตรวจสอบผลิตภัณฑ์จำนวนเล็กน้อย จากการตรวจสอบนี้ จะต้องทำการสรุปเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ทั้งชุด แน่นอนว่าเราไม่สามารถพูดได้ว่าทรานซิสเตอร์ทั้งหมดจากชุด 1 ล้านชิ้นนั้นดีหรือไม่ดีโดยการตรวจสอบตัวใดตัวหนึ่ง ในทางกลับกัน เนื่องจากกระบวนการในการเลือกตัวอย่างสำหรับการทดสอบและการทดสอบเองอาจใช้เวลานานและนำไปสู่ต้นทุนที่สูง ขอบเขตของการตรวจสอบผลิตภัณฑ์ควรเป็นไปในลักษณะที่สามารถแสดงผลิตภัณฑ์ทั้งชุดได้อย่างน่าเชื่อถือ ของขนาดต่ำสุด ด้วยเหตุนี้ เราจึงแนะนำแนวคิดหลายประการ

ชุดของวัตถุที่ศึกษาหรือข้อมูลการทดลองทั้งหมดเรียกว่าประชากรทั่วไป เราจะแสดงด้วย N จำนวนวัตถุหรือจำนวนข้อมูลที่ประกอบขึ้นเป็นประชากรทั่วไป ค่าของ N เรียกว่าขนาดของประชากร ถ้า N>>1 นั่นคือ N มีขนาดใหญ่มาก ถือว่า N = ¥

ตัวอย่างสุ่มหรือเพียงแค่กลุ่มตัวอย่างเป็นส่วนหนึ่งของประชากรทั่วไป โดยสุ่มเลือกจากตัวอย่างนั้น คำว่า "สุ่ม" หมายถึงความน่าจะเป็นในการเลือกวัตถุใด ๆ จากประชากรทั่วไปเหมือนกัน นี่เป็นข้อสันนิษฐานที่สำคัญ อย่างไรก็ตาม การทดสอบในทางปฏิบัติมักจะทำได้ยาก

ขนาดตัวอย่างเรียกว่าจำนวนวัตถุหรือจำนวนข้อมูลที่ประกอบขึ้นเป็นกลุ่มตัวอย่างและแสดงว่า น. ในอนาคต เราจะถือว่าองค์ประกอบของตัวอย่างสามารถกำหนดได้ตามลำดับ ค่าตัวเลข x 1 , x 2 , ... x n . ตัวอย่างเช่น ในกระบวนการควบคุมคุณภาพของทรานซิสเตอร์แบบไบโพลาร์ที่ผลิตขึ้น ค่านี้สามารถวัดค่าเกน DC ได้

2. ลักษณะเชิงตัวเลขของกลุ่มตัวอย่าง

2.1 ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

สำหรับกลุ่มตัวอย่างเฉพาะที่มีขนาด n ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

โดยที่ x i คือค่าขององค์ประกอบตัวอย่าง โดยปกติจะต้องอธิบายคุณสมบัติทางสถิติของตัวอย่างสุ่มโดยอำเภอใจ ไม่ใช่อย่างใดอย่างหนึ่ง ซึ่งหมายความว่ามีการพิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งถือว่ากลุ่มตัวอย่างขนาด n มีจำนวนเพียงพอ ในกรณีนี้องค์ประกอบตัวอย่างจะถือเป็นตัวแปรสุ่ม X ผม โดยรับค่า x ผม ด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ซึ่งเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของประชากรทั่วไป จากนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างก็เป็นตัวแปรสุ่มด้วย

ก่อนหน้านี้เราจะแสดงตัวแปรสุ่มด้วยตัวพิมพ์ใหญ่และค่าของตัวแปรสุ่มด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก

ค่าเฉลี่ยของประชากรทั่วไปที่ใช้สร้างตัวอย่างจะเรียกว่าค่าเฉลี่ยทั่วไปและแสดงด้วย ม x . คาดได้ว่าถ้าขนาดกลุ่มตัวอย่างมีนัยสำคัญ ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะไม่แตกต่างจากค่าเฉลี่ยทั่วไปอย่างเห็นได้ชัด เนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่ม คุณจึงสามารถหาค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ได้:

ดังนั้น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยทั่วไป ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือค่าประมาณที่เป็นกลางของค่าเฉลี่ยประชากร เราจะกลับมาใช้คำนี้ในภายหลัง เนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่มที่ผันผวนรอบค่าเฉลี่ยทั่วไป จึงควรประเมินความผันผวนนี้โดยใช้ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง พิจารณาตัวอย่างที่มีขนาด n เล็กกว่าขนาดของประชากรทั่วไป N มาก (n<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

ตัวแปรสุ่ม X i และ X j (i¹j) ถือได้ว่าเป็นอิสระ ดังนั้น

แทนที่ผลลัพธ์ในสูตรสำหรับความแปรปรวน:

โดยที่ s 2 คือความแปรปรวนของประชากร

จากสูตรนี้เมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้น ความผันผวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างรอบค่าเฉลี่ยทั่วไปจะลดลงเป็น s 2 /n ลองอธิบายข้างต้นด้วยตัวอย่าง ให้มีสัญญาณสุ่มที่มีความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ตามลำดับ เท่ากับ m x = 10, s 2 = 9

สุ่มตัวอย่างสัญญาณที่ระยะห่างเท่า ๆ กัน t 1 , t 2 , ... ,

เสื้อ 1 t 2 . . . t n t

เนื่องจากการอ่านเป็นตัวแปรสุ่ม เราจะแสดงว่าเป็น X(t 1), X(t 2), . . ,X(ตัน).

ลองกำหนดจำนวนตัวอย่างเพื่อให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการประมาณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณไม่เกิน 1% ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เนื่องจาก m x = 10 จำเป็นที่

2.2 ความแปรปรวนตัวอย่าง

จากข้อมูลตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือต้องรู้ไม่เพียงแค่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเท่านั้น แต่ยังต้องทราบถึงการแพร่กระจายของค่าตัวอย่างรอบค่าเฉลี่ยตัวอย่างด้วย หากค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นค่าประมาณของค่าเฉลี่ยทั่วไป ความแปรปรวนตัวอย่างจะต้องเป็นการประมาณค่าความแปรปรวนทั่วไป ความแปรปรวนตัวอย่าง

การใช้การแทนค่าความแปรปรวนตัวอย่างนี้ เราพบการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของมัน

1. หัวข้อ: “พื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์”.

2. ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ

สถิติทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการรวบรวม จัดระบบ และประมวลผลผลลัพธ์จากการสังเกตเหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่เพื่อชี้แจงและใช้รูปแบบที่มีอยู่จริงในทางปฏิบัติ วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านการแพทย์ทางคลินิกและการสาธารณสุข โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะใช้ในการพัฒนาวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับการวินิจฉัยทางการแพทย์ ในทฤษฎีการระบาด การวางแผนและการประมวลผลผลลัพธ์ของการทดลองทางการแพทย์ และในองค์กรด้านการดูแลสุขภาพ แนวคิดทางสถิติไม่ว่าจะโดยรู้ตัวหรือไม่รู้ตัว ถูกนำมาใช้ในการตัดสินใจในเรื่องต่างๆ เช่น การวินิจฉัยทางคลินิก การทำนายโรคในผู้ป่วยแต่ละราย การทำนายผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของโปรแกรมบางรายการในกลุ่มประชากรที่กำหนด และเลือกโปรแกรมที่เหมาะสมในสถานการณ์เฉพาะ . ความคุ้นเคยกับแนวคิดและวิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์เป็นองค์ประกอบที่จำเป็นของการศึกษาอย่างมืออาชีพของผู้ปฏิบัติงานด้านสุขภาพทุกคน

1. เพื่อให้นักเรียนได้รู้จักกับแนวคิดพื้นฐาน แนวคิด และวิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์ โดยให้ความสนใจเป็นหลักในประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการประมวลผลผลลัพธ์จากการสังเกตเหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่เพื่อชี้แจงและนำรูปแบบที่มีอยู่ไปปฏิบัติ
2. เพื่อสอนให้นักเรียนใช้แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์อย่างมีสติในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เกิดขึ้นในกิจกรรมระดับมืออาชีพของแพทย์

1. นิยามความถี่คลาส (สัมบูรณ์และสัมพัทธ์)
2. การกำหนดลำดับและการเลือกทั่วไป ปริมาณการเลือก
3. การประมาณค่าจุดและช่วงเวลา
4. ช่วงเวลาและความถูกต้องที่เชื่อถือได้
5. การกำหนดโหมด ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
6. การกำหนดช่วง, ช่วงระหว่างควอไทล์, ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
7. การหาค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย
8. การหาค่าความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนตัวอย่าง
9. การหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างและค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน
10. การหาค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง
11. สมการถดถอยเชิงเส้นเชิงประจักษ์
12. การหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่าง

1. โหมด ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
2. พิสัย, พิสัยระหว่างควอไทล์, ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
3. หมายถึงค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์
4. ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนตัวอย่าง
5. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างและค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน
6. ช่วงที่เชื่อถือได้สำหรับความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์
7. สัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง
8. ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่าง

1. ความหมายของการแจกแจง อนุกรมของการแจกแจงและการแจกแจงแบบหลายเหลี่ยมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
2. การหาค่าฟังก์ชันระหว่างตัวแปรสุ่ม
3. การกำหนดความสัมพันธ์zazhnіstіระหว่างตัวแปรสุ่ม

1. ความหมายของเหตุการณ์ vipadical ความถี่สัมพัทธ์และความน่าจะเป็น
2. ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
3. ทฤษฎีบทเพื่อรวบรวมความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมกัน
4. ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ
5. ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน
6. ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด
7. ทฤษฎีบทของเบย์
8. คำจำกัดความของตัวแปรสุ่ม: ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง
9. นิยามการกระจาย อนุกรมการแจกแจง และรูปหลายเหลี่ยมการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
10. นิยามของฟังก์ชันการกระจาย
11. การกำหนดมาตรการตั้งศูนย์กระจายสินค้า
12. การกำหนดมาตรการความแปรปรวนของค่าตัวแปรสุ่ม
13. การกำหนดความกว้างของการกระจายและเส้นโค้งการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง
14. คำจำกัดความของการพึ่งพาฟังก์ชันระหว่างตัวแปรสุ่ม
15. การกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม
16. นิยามการถดถอย สมการและเส้นถดถอย
17. การหาค่าความแปรปรวนร่วมและสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
18. นิยามของสมการถดถอยเชิงเส้น

1. Zhumatiy P.G. บรรยาย "ทฤษฎีความน่าจะเป็น". โอเดสซา, 2009.
2. Zhumatiy P.G. "ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น". โอเดสซา, 2009.
3. Zhumatiy P.G. , Senytska Ya.R. องค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น คำแนะนำตามระเบียบสำหรับนักศึกษาสถาบันการแพทย์ โอเดสซา, 1981.
4. Chaly O.V. , Agapov B.T. , Tsekhmister Ya.V. ฟิสิกส์การแพทย์และชีวภาพ เคียฟ, 2004

สถิติทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการรวบรวม จัดระบบ ประมวลผล แสดงผล วิเคราะห์ และตีความผลลัพธ์จากการสังเกตเพื่อระบุรูปแบบที่มีอยู่

การประยุกต์ใช้สถิติในการดูแลสุขภาพเป็นสิ่งจำเป็นทั้งในระดับชุมชนและในระดับผู้ป่วยแต่ละราย การแพทย์เกี่ยวข้องกับบุคคลที่แตกต่างกันในหลาย ๆ ด้าน และคุณค่าของตัวชี้วัดบนพื้นฐานของการที่บุคคลสามารถถือว่ามีสุขภาพดีนั้นแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล ไม่มีผู้ป่วยสองรายหรือผู้ป่วยสองกลุ่มที่เหมือนกันทุกประการ ดังนั้นการตัดสินใจเกี่ยวกับผู้ป่วยแต่ละรายหรือประชากรจึงต้องพิจารณาจากประสบการณ์ที่ได้รับจากผู้ป่วยรายอื่นหรือประชากรที่มีลักษณะทางชีววิทยาคล้ายคลึงกัน จำเป็นต้องตระหนักว่า เมื่อพิจารณาจากความคลาดเคลื่อนที่มีอยู่แล้ว การตัดสินใจเหล่านี้จึงไม่สามารถแม่นยำได้อย่างสมบูรณ์ - การตัดสินใจเหล่านี้มักเกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอนอยู่เสมอ อยู่ในลักษณะนี้ที่ประกอบด้วยธรรมชาติสมัยใหม่ของยา

ตัวอย่างบางส่วนของการประยุกต์ใช้วิธีการทางสถิติในการแพทย์:

การตีความการเปลี่ยนแปลง (ความแปรปรวนของลักษณะของสิ่งมีชีวิตเมื่อตัดสินใจว่าค่าของลักษณะเฉพาะใดจะเป็นอุดมคติปกติค่าเฉลี่ย ฯลฯ ทำให้จำเป็นต้องใช้วิธีการทางสถิติที่เหมาะสม)

การวินิจฉัยโรคในผู้ป่วยแต่ละรายและการประเมินภาวะสุขภาพของกลุ่มประชากร

การทำนายการสิ้นสุดของโรคในผู้ป่วยแต่ละรายหรือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของโครงการควบคุมโรคในกลุ่มประชากรใดๆ

การเลือกอิทธิพลที่เหมาะสมต่อผู้ป่วยหรือกลุ่มประชากร

การวางแผนและดำเนินการวิจัยทางการแพทย์ การวิเคราะห์และการตีพิมพ์ผล การอ่านและการประเมินที่สำคัญ

การวางแผนและการจัดการด้านสุขภาพ

ข้อมูลทางการแพทย์ที่เป็นประโยชน์มักจะซ่อนอยู่ในข้อมูลดิบจำนวนมาก จำเป็นต้องเน้นข้อมูลที่มีอยู่ในนั้นและนำเสนอข้อมูลในลักษณะที่โครงสร้างของการเปลี่ยนแปลงนั้นมองเห็นได้ชัดเจน จากนั้นเลือกวิธีการวิเคราะห์เฉพาะ

การแสดงข้อมูลให้ความคุ้นเคยกับแนวคิดและข้อกำหนดต่อไปนี้:

ชุดตัวแปร (การจัดเรียงตามคำสั่ง) - การเรียงลำดับการสังเกตปริมาณแต่ละรายการอย่างง่าย

คลาส - หนึ่งในช่วงเวลาที่แบ่งช่วงค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม

จุดสุดยอดของคลาส - ค่าที่ จำกัด คลาสเช่น 2.5 และ 3.0 ขีด จำกัด ล่างและบนของคลาส 2.5 - 3.0

ความถี่คลาส (สัมบูรณ์) คือจำนวนการสังเกตในชั้นเรียน

ความถี่ของคลาสสัมพัทธ์ - ความถี่สัมบูรณ์ของคลาสที่แสดงเป็นเศษส่วนของจำนวนการสังเกตทั้งหมด

ความถี่คลาสสะสม (สะสม) - จำนวนการสังเกตซึ่งเท่ากับผลรวมของความถี่ของคลาสก่อนหน้าทั้งหมดและคลาสนี้

แผนภูมิคอลัมน์ - การแสดงกราฟิกของความถี่ข้อมูลสำหรับคลาสที่ระบุโดยใช้คอลัมน์ที่มีความสูงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความถี่คลาส

แผนภูมิวงกลม - การแสดงกราฟิกของความถี่ข้อมูลสำหรับคลาสที่ระบุโดยใช้เซกเตอร์วงกลม พื้นที่ที่เป็นสัดส่วนโดยตรงกับความถี่ของคลาส

ฮิสโตแกรม - การแสดงกราฟิกของการกระจายความถี่ของข้อมูลเชิงปริมาณตามพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แปรผันตรงกับความถี่ของชั้นเรียนโดยตรง

รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ - กราฟของการกระจายความถี่ของข้อมูลเชิงปริมาณ จุดที่สอดคล้องกับความถี่ของคลาสจะอยู่เหนือช่วงกลางของช่วง แต่ละจุดที่อยู่ติดกันสองจุดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรง

ogive (เส้นโค้งสะสม) - กราฟของการกระจายความถี่สัมพัทธ์สะสม

ความแปรปรวนมีอยู่ในข้อมูลทางการแพทย์ทั้งหมดซึ่งเป็นการวิเคราะห์ผลการวัดตามการศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับค่าตัวแปรสุ่มภายใต้การศึกษา

ชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเรียกว่าทั่วไป

ส่วนของประชากรทั่วไปที่ลงทะเบียนจากผลการทดสอบเรียกว่ากลุ่มตัวอย่าง

จำนวนการสังเกตที่รวมอยู่ในกลุ่มตัวอย่างเรียกว่าขนาดกลุ่มตัวอย่าง (ปกติจะแสดงเป็น n)

ภารกิจของวิธีการสุ่มตัวอย่างคือการประมาณค่าตัวแปรสุ่มที่ถูกต้องซึ่งกำลังศึกษาโดยใช้ผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่ได้รับ ดังนั้นข้อกำหนดหลักที่นำเสนอต่อการคัดเลือกคือการแสดงคุณลักษณะทั้งหมดของประชากรทั่วไปสูงสุดการเลือกที่ตรงตามข้อกำหนดนี้เรียกว่าตัวแทนการประเมินการประเมินขึ้นอยู่กับตัวแทนของการคัดเลือก กล่าวคือ ระดับความสอดคล้องของการประเมินด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนด

เมื่อประเมินพารามิเตอร์ของประชากรทั่วไปโดยผู้มีสิทธิเลือกตั้ง (การประมาณค่าพารามิเตอร์) จะใช้แนวคิดต่อไปนี้:

การประมาณค่าแบบจุด - การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรทั่วไปในรูปแบบของค่าเดียวซึ่งสามารถทำได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงสุด

การประมาณช่วง - การประมาณค่าพารามิเตอร์ประชากรในรูปแบบของช่วงเวลาของค่าที่มีความน่าจะเป็นที่กำหนดเพื่อให้ครอบคลุมค่าที่แท้จริง

ในการประมาณค่าแบบช่วงเวลา จะใช้แนวคิด:

ช่วงที่เชื่อถือได้ - ช่วงของค่าที่มีความน่าจะเป็นที่กำหนดเพื่อให้ครอบคลุมค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ประชากรในการประมาณช่วงเวลา

ความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้) - ความน่าจะเป็นที่ช่วงเวลาที่เชื่อถือได้ครอบคลุมค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ประชากร

ขอบเขตที่เชื่อถือได้ - ขอบเขตล่างและบนของช่วงเวลาที่เชื่อถือได้

ข้อสรุปที่ได้จากวิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับจำนวนการสังเกตที่จำกัดและคัดเลือกมาโดยตลอด ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่ผลลัพธ์สำหรับตัวอย่างที่สองอาจแตกต่างกัน สถานการณ์นี้กำหนดลักษณะจินตนาการของข้อสรุปของสถิติทางคณิตศาสตร์ และด้วยเหตุนี้ จึงมีการใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติการวิจัยทางสถิติ

วิธีทั่วไปในการวิจัยทางสถิติมีดังนี้:

หลังจากการประมาณค่าขนาดหรือการพึ่งพาระหว่างกันตามข้อมูลเชิงสังเกต พวกเขาเสนอสมมติฐานว่าปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองสุ่มอย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่น

โดยใช้วิธีการทางสถิติ สมมติฐานนี้สามารถยืนยันหรือปฏิเสธได้ เมื่อยืนยัน บรรลุเป้าหมาย - พบแบบจำลองที่อธิบายรูปแบบที่ศึกษา มิฉะนั้น พวกเขาจะทำงานต่อไป นำเสนอและทดสอบสมมติฐานใหม่

คำจำกัดความของการประมาณการทางสถิติตัวอย่าง:

โหมดคือค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในผู้มีสิทธิเลือกตั้ง

ค่ามัธยฐาน - ค่ากลาง (ค่ามัธยฐาน) ของชุดตัวแปร

ช่วง R - ความแตกต่างระหว่างค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในชุดการสังเกต

เปอร์เซ็นต์ไทล์ - ค่าในชุดรูปแบบที่แบ่งการแจกแจงออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆ กัน (ดังนั้น ค่ามัธยฐานจะเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50)

ควอร์ไทล์ที่หนึ่ง - เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25

ควอร์ไทล์ที่สาม - เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75

ช่วงระหว่างควอไทล์ - ความแตกต่างระหว่างควอไทล์ที่หนึ่งและสาม (ครอบคลุม 50% ของการสังเกตส่วนกลาง)

ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ - ครึ่งหนึ่งของช่วงควอไทล์

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง - ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าตัวอย่างทั้งหมด (ค่าประมาณตัวอย่างของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์)

หมายถึงค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ - ผลรวมของการเบี่ยงเบนจากจุดเริ่มต้นที่สอดคล้องกัน (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย) หารด้วยปริมาตรของตัวอย่าง

ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างคำนวณโดยใช้สูตร

ความแปรปรวนตัวอย่าง ( X ) - (ตัวประมาณค่าความแปรปรวน) ถูกกำหนดโดย

ตัวอย่างความแปรปรวนร่วม -- (ค่าประมาณตัวอย่างของความแปรปรวนร่วม K ( X,Y )) เท่ากับ

สัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่างของ Y บน X (ประมาณการตัวอย่างของสัมประสิทธิ์การถดถอยของ Y บน X ) เท่ากับ

สมการถดถอยเชิงเส้นเชิงประจักษ์สำหรับ Y บน X is

ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย X-on-Y ตัวอย่าง (ค่าประมาณตัวอย่างของสัมประสิทธิ์การถดถอย X-on-Y) คือ

สมการถดถอยเชิงเส้นเชิงประจักษ์ X บน Y มีรูปแบบ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง s(X) - (ค่าประมาณตัวอย่างของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) เท่ากับสแควร์รูทของความแปรปรวนตัวอย่าง

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่าง - (ค่าประมาณตัวอย่างของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์) เท่ากับ

ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง  - (ค่าประมาณตัวอย่างค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน CV) เท่ากับ

.

8.1.1 การคำนวณเชิงปฏิบัติของการประมาณการตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 .

ระยะเวลาของโรค (เป็นวัน) ใน 20 กรณีของโรคปอดบวมเพิ่มขึ้น:

10, 11, 6, 16, 7, 13, 15, 8, 9, 10, 11, 13, 7, 8, 13, 15, 16, 13, 14, 15

กำหนดโหมด, มัธยฐาน, พิสัย, พิสัยระหว่างควอไทล์, ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, ความแปรปรวนตัวอย่าง, ค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างของการแปรผัน

Rozv "zok.

ชุดตัวแปรสำหรับการเลือกมีรูปแบบ

6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16

แฟชั่น

ตัวเลขที่พบบ่อยที่สุดในตัวเลือกคือ 13 ดังนั้น ค่าของโหมดในตัวเลือกจะเป็นตัวเลขนี้

ค่ามัธยฐาน

เมื่อชุดรูปแบบแปรผันมีจำนวนการสังเกตเป็นคู่ ค่ามัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของสมาชิกส่วนกลางสองตัวของชุดข้อมูล ในกรณีนี้คือ 11 และ 13 ดังนั้นค่ามัธยฐานคือ 12

ขอบเขต

ค่าต่ำสุดในตัวเลือกคือ 6 และค่าสูงสุดคือ 16 ดังนั้น R = 10

ช่วงระหว่างควอไทล์, ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

ในชุดการเปลี่ยนแปลง หนึ่งในสี่ของข้อมูลทั้งหมดมีค่าน้อยกว่าหรือระดับ 8 ดังนั้นควอร์ไทล์แรกคือ 8 และ 75% ของข้อมูลทั้งหมดมีค่าน้อยกว่าหรือระดับ 12 ดังนั้นควอร์ไทล์ที่สามคือ 14 ดังนั้น ช่วงระหว่างควอไทล์คือ 6 และค่าเบี่ยงเบนควอร์ไทล์คือ 3

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าตัวอย่างทั้งหมดเท่ากับ

.

ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

.

ความแปรปรวนตัวอย่าง

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

.

ค่าสัมประสิทธิ์การสั่นสะเทือนของการแปรผัน

.

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราพิจารณาวิธีที่ง่ายที่สุดในการศึกษาความสัมพันธ์สุ่มระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัว

ตัวอย่างที่ 2 .

เมื่อตรวจดูกลุ่มผู้ป่วย ได้ข้อมูลเกี่ยวกับการเติบโตของ H (ซม.) และปริมาตรของเลือดหมุนเวียน V (ล.):

หาสมการถดถอยเชิงเส้นเชิงประจักษ์

Rozv "zok.

สิ่งแรกที่ต้องคำนวณคือ:

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

.

สิ่งที่สองในการคำนวณคือ:

ความแปรปรวนตัวอย่าง (N)

ความแปรปรวนตัวอย่าง (V)

ความแปรปรวนร่วมตัวอย่าง

ที่สามคือการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง:

สัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง V บน H

สัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง H บน V

.

ประการที่สี่ เขียนสมการที่ต้องการ:

สมการถดถอยเชิงเส้นเชิงประจักษ์สำหรับ V บน H มีรูปแบบ

สมการถดถอยเชิงเส้นเชิงประจักษ์สำหรับ H บน V is

.

ตัวอย่างที่ 3 .

ใช้เงื่อนไขและผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 2 คำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และตรวจสอบการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างความสูงของมนุษย์กับปริมาตรของเลือดหมุนเวียนด้วยความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้ 95%

Rozv "zok.

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์การถดถอยและสูตรที่เป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ

.

สำหรับการประมาณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเลือกได้ สูตรนี้มีรูปแบบ

.

โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่างและในตัวอย่างที่ 2 เราจะได้

.

การตรวจสอบความน่าเชื่อถือของการพึ่งพาสหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม (สมมติว่ามีการแจกแจงแบบปกติสำหรับแต่ละตัวแปร) ดำเนินการในลักษณะนี้:

• คำนวณค่าของ T

• หาค่าสัมประสิทธิ์ในตารางแจกของนักเรียน

• การมีอยู่ของการพึ่งพาสหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มจะได้รับการยืนยันเมื่อดำเนินการความหยาบ

.

ตั้งแต่ 3.5 > 2.26 ดังนั้นด้วยความน่าจะเป็นที่น่าเชื่อถือ 95% ของการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างความสูงของผู้ป่วยและปริมาตรของเลือดที่ไหลเวียนสามารถพิจารณาได้

ค่าประมาณช่วงเวลาสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

หากตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ การประมาณช่วงเวลาสำหรับความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จะถูกคำนวณตามลำดับต่อไปนี้:

1. หาค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

2.คำนวณความแปรปรวนของตัวอย่างและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง s ;

3. ในตารางการแจกแจงของนักเรียน สำหรับความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้  และปริมาตรของตัวอย่าง n จะพบค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียน

4. ช่วงที่เชื่อถือได้สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เขียนเป็น

5. ในตารางการกระจาย ">  และปริมาตรของตัวอย่าง n ค้นหาสัมประสิทธิ์

;

6. ช่วงเวลาที่เชื่อถือได้สำหรับการกระจายตัวเขียนเป็น

ค่าของช่วงที่เชื่อถือได้ ความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้  และขนาดกลุ่มตัวอย่าง n จะขึ้นอยู่กับค่าอื่นๆ แท้จริงแล้วความสัมพันธ์

ลดลงเมื่อ n เพิ่มขึ้น ดังนั้น ค่าคงที่ช่วงที่เชื่อถือได้ด้วยการเติบโตของ n เพิ่มขึ้นและ  . ด้วยความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้คงที่โดยการเพิ่มปริมาณ viborkp ขนาดของช่วงเวลาที่เชื่อถือได้จะลดลง เมื่อวางแผนการวิจัยทางการแพทย์ ความสัมพันธ์นี้จะใช้เพื่อกำหนดปริมาตรขั้นต่ำของกลุ่มตัวอย่าง ซึ่งจะให้ค่าของช่วงที่เชื่อถือได้และความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้ตามเงื่อนไขของปัญหาที่กำลังแก้ไข

ตัวอย่างที่ 5

ใช้เงื่อนไขและผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 1 หาค่าประมาณช่วงของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของความน่าจะเป็นที่เชื่อถือได้ 95%

Rozv "zok.

ในตัวอย่างที่ 1 ค่าประมาณจุดของค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง=12) ความแปรปรวน (ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง=10.7) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง) จะถูกทดสอบ ปริมาตรของตัวอย่างเท่ากับ n = 20

จากตารางการแจกแจงของนักเรียน เราจะหาค่าของสัมประสิทธิ์

จากนั้นเราคำนวณครึ่งความกว้าง d ของช่วงที่เชื่อถือได้

และจดค่าประมาณช่วงเวลาของความคาดหวัง

10,5 < < 13,5 при = 95%

จากตารางการกระจายของเพียร์สัน "ไคสแควร์" เราพบสัมประสิทธิ์

คำนวณขอบเขตที่เชื่อถือได้บนและล่าง

และเขียนค่าประมาณช่วงเวลาสำหรับความแปรปรวนในรูปแบบ

6.2 23 ที่  = 95%

8.1.2. งานสำหรับโซลูชันอิสระ

ปัญหา 5.4 C 1 - 8 ถูกเสนอสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ (PG Zhumatiy. “ การประมวลผลทางคณิตศาสตร์ของข้อมูลชีวการแพทย์ งานและตัวอย่าง”. Odessa, 2009, p. 24-25)

1. ความถี่ของคลาส (สัมบูรณ์และสัมพัทธ์)
2. ประชากรทั่วไปและกลุ่มตัวอย่าง ขนาดกลุ่มตัวอย่าง
3. การประมาณค่าจุดและช่วง
4. ช่วงเวลาและความน่าเชื่อถือที่เชื่อถือได้
5. โหมด ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
6. ช่วง ช่วงระหว่างควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนรายไตรมาส
7. ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย
8. ตัวอย่างความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวน
9. ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน
10. สัมประสิทธิ์การถดถอยตัวอย่าง
11. สมการถดถอยเชิงประจักษ์
12. การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และความน่าเชื่อถือของสหสัมพันธ์
13. การสร้างการประมาณช่วงเวลาสำหรับตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติ

1. Zhumatiy P.G. “การประมวลผลทางคณิตศาสตร์ของข้อมูลชีวการแพทย์ งานและตัวอย่าง”. โอเดสซา, 2009.
2. Zhumatiy P.G. บรรยาย "สถิติทางคณิตศาสตร์". โอเดสซา, 2009.
3. Zhumatiy P.G. "พื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์". โอเดสซา, 2009.
4. Zhumatiy P.G. , Senytska Ya.R. องค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น คำแนะนำตามระเบียบสำหรับนักศึกษาสถาบันการแพทย์ โอเดสซา, 1981.
5. Chaly O.V. , Agapov B.T. , Tsekhmister Ya.V. ฟิสิกส์การแพทย์และชีวภาพ เคียฟ, 2004

1. Remizov O.M. ฟิสิกส์การแพทย์และชีวภาพ ม. “ บัณฑิตวิทยาลัย”, 1999.
2. Remizov O.M. , Isakova N.Kh. , Maksina O.G. การรวบรวมปัญหาจากฟิสิกส์การแพทย์และชีวภาพ ม., ., “โรงเรียนมัธยม”, 2530.

วิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์จะใช้เป็นกฎในทุกขั้นตอนของการวิเคราะห์วัสดุการวิจัยเพื่อเลือกกลยุทธ์ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับข้อมูลตัวอย่างเฉพาะโดยประเมินผลลัพธ์ที่ได้รับ วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในการประมวลผลเนื้อหา การประมวลผลวัสดุทางคณิตศาสตร์ทำให้สามารถระบุและประเมินพารามิเตอร์เชิงปริมาณของข้อมูลวัตถุประสงค์ได้อย่างชัดเจน วิเคราะห์และนำเสนอในอัตราส่วนและการพึ่งพาต่างๆ ช่วยให้คุณสามารถกำหนดการวัดความแปรปรวนของค่าในวัสดุที่รวบรวมซึ่งมีข้อมูลเชิงปริมาณเกี่ยวกับชุดของกรณีบางกรณีซึ่งบางส่วนยืนยันการเชื่อมต่อที่ถูกกล่าวหาและบางส่วนไม่เปิดเผยคำนวณความน่าเชื่อถือของความแตกต่างเชิงปริมาณระหว่าง ชุดกรณีที่เลือก รับลักษณะทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่จำเป็นสำหรับการตีความข้อเท็จจริงที่ถูกต้อง ความสำคัญของความแตกต่างที่ได้รับระหว่างการศึกษาถูกกำหนดโดยการทดสอบ t ของนักเรียน

ค่าต่อไปนี้ถูกคำนวณ

1. เฉลี่ย ค่าเลขคณิตตัวอย่าง

กำหนดลักษณะค่าเฉลี่ยของประชากรที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ให้เราแสดงถึงผลการวัด แล้ว:

โดยที่ Y คือผลรวมของค่าทั้งหมดเมื่อดัชนีปัจจุบัน i เปลี่ยนจาก 1 เป็น n

2. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ซึ่งกำหนดลักษณะการกระจาย การกระจายตัวของประชากรภายใต้การพิจารณาเทียบกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต

= (x สูงสุด - x นาที)/ k

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ที่ไหน

xmax - ค่าสูงสุดของตาราง;

xmin - ค่าต่ำสุดของตาราง;

k - สัมประสิทธิ์

3. ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือความผิดพลาดในการเป็นตัวแทน (m) ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิตกำหนดระดับความเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยเลขคณิตตัวอย่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรทั่วไป

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ y คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลการวัด

n - ขนาดตัวอย่าง ยิ่ง ม. เล็กลง ความเสถียรของผลลัพธ์ก็จะยิ่งสูงขึ้น

4. เกณฑ์ของนักเรียน

(ในตัวเศษ - ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่มในตัวส่วน - รากที่สองจากผลรวมของกำลังสองของข้อผิดพลาดมาตรฐานของวิธีการเหล่านี้)

เมื่อประมวลผลผลการศึกษาที่ได้รับ เราใช้ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ด้วยแพ็คเกจ Excel

องค์กรของการศึกษา

การศึกษาดำเนินการโดยเราตามกฎที่ยอมรับโดยทั่วไป และดำเนินการใน 3 ขั้นตอน

ในระยะแรก ได้มีการรวบรวมและวิเคราะห์เนื้อหาที่ได้รับเกี่ยวกับปัญหาการวิจัยที่พิจารณาแล้ว เรื่องของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เกิดขึ้น การวิเคราะห์วรรณกรรมในขั้นตอนนี้ทำให้สามารถระบุวัตถุประสงค์และวัตถุประสงค์ของการศึกษาได้ การทดสอบเบื้องต้นของเทคนิคการวิ่ง 30 เมตรได้ดำเนินการ<... class="gads_sm">

ในขั้นตอนที่สาม เนื้อหาที่ได้รับจากการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ได้รับการจัดระบบ ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดเกี่ยวกับปัญหาการวิจัยถูกสรุป

การศึกษาทดลองดำเนินการบนพื้นฐานของสถาบันการศึกษาของรัฐ "Lyakhovichskaya โรงเรียนมัธยม” รวมกลุ่มตัวอย่างเป็นนักเรียนชั้น ป.6 จำนวน 20 คน (อายุ 11-12 ปี)

บทที่ 3 การวิเคราะห์ผลการศึกษา

จากผลการทดลองสอน เราได้ระบุเทคนิคการวิ่งระยะ 30 เมตรเบื้องต้นของนักเรียนในกลุ่มควบคุมและกลุ่มทดลอง (ภาคผนวก 1-2) การประมวลผลทางสถิติของผลลัพธ์ที่ได้รับทำให้เราได้รับข้อมูลต่อไปนี้ (ตารางที่ 6)

ตารางที่ 6. ระดับเริ่มต้นของคุณภาพการวิ่ง

ดังที่เห็นได้จากตารางที่ 6 จำนวนคะแนนเฉลี่ยสำหรับนักกีฬาในกลุ่มควบคุมและกลุ่มทดลองไม่มีความแตกต่างกันทางสถิติ ในกลุ่มทดลอง คะแนนเฉลี่ย 3.6 คะแนน และในกลุ่มควบคุม 3.7 คะแนน T-test ในทั้งสองกลุ่ม temp=0.3; Р?0.05 ที่ tcrit=2.1; ผลการทดสอบเบื้องต้นพบว่า ตัวชี้วัดไม่ขึ้นกับการฝึก และเป็นแบบสุ่ม จากการทดสอบเบื้องต้น ตัวชี้วัดคุณภาพการทำงานของกลุ่มควบคุมนั้นสูงกว่ากลุ่มทดสอบเล็กน้อย แต่ไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติในกลุ่ม ซึ่งเป็นหลักฐานบ่งชี้ตัวตนของนักเรียนในกลุ่มควบคุมและกลุ่มทดลองในเทคนิคการวิ่ง 30 เมตร

ในระหว่างการทดสอบ ทั้งสองกลุ่ม ตัวบ่งชี้ที่แสดงถึงประสิทธิภาพของเทคนิคการวิ่งดีขึ้น อย่างไรก็ตาม การปรับปรุงในกลุ่มผู้เข้าร่วมการทดลองที่แตกต่างกันนี้มีลักษณะที่แตกต่างกัน จากการฝึกอบรมพบว่าตัวบ่งชี้ในกลุ่มควบคุมเพิ่มขึ้นเล็กน้อย (3.8 คะแนน) เป็นประจำ ดังที่เห็นได้จากภาคผนวก 2 พบว่ามีตัวบ่งชี้ที่เพิ่มขึ้นอย่างมากในกลุ่มทดลอง นักเรียนศึกษาตามโปรแกรมที่เราเสนอซึ่งปรับปรุงประสิทธิภาพการทำงานอย่างมีนัยสำคัญ

ตารางที่ 7. การเปลี่ยนแปลงคุณภาพการวิ่งในกลุ่มทดลอง

ในระหว่างการทดสอบ เราพบว่าการโหลดที่เพิ่มขึ้นในกลุ่มทดลองทำให้การพัฒนาความเร็วมีนัยสำคัญมากกว่าในกลุ่มควบคุม

ในวัยรุ่น ขอแนะนำให้พัฒนาความเร็วด้วยการใช้เครื่องมือพลศึกษาที่มีเป้าหมายเพื่อเพิ่มความถี่ของการเคลื่อนไหว เมื่ออายุ 12-15 ปี ความสามารถด้านความเร็วเพิ่มขึ้น อันเป็นผลมาจากการใช้การออกกำลังกายแบบเน้นความเร็วและความแข็งแรงเป็นหลักที่เราใช้ในกระบวนการเรียนบทเรียน พลศึกษาและกิจกรรมนอกหลักสูตรในหมวดกีฬาบาสเกตบอลและกรีฑา

เมื่อดำเนินการเรียนในกลุ่มทดลองจะมีการดำเนินการขั้นตอนที่ซับซ้อนและประสบการณ์ยนต์ ข้อบกพร่องได้รับการแก้ไขในเวลาที่เหมาะสม จากการวิเคราะห์ข้อมูลจริงพบว่า วิธีการสอนเชิงทดลองมีการเปลี่ยนแปลงคุณภาพของเทคนิคการวิ่งอย่างมีนัยสำคัญ (อุณหภูมิ=2.4) การวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้รับในกลุ่มทดลองและการเปรียบเทียบกับข้อมูลที่ได้รับในกลุ่มควบคุมโดยใช้วิธีการสอนที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป ให้เหตุผลในการยืนยันว่าวิธีการที่เสนอโดยเราจะเพิ่มประสิทธิภาพในการสอน

ดังนั้น ในขั้นตอนการปรับปรุงวิธีการวิ่ง 30 ม. ที่โรงเรียน เราจึงเปิดเผยการเปลี่ยนแปลงของตัวบ่งชี้การทดสอบในกลุ่มทดลองและกลุ่มควบคุม หลังการทดลอง คุณภาพของการรับผลในกลุ่มทดลองเพิ่มขึ้นเป็น 4.9 คะแนน (t=3.3; P?0.05) เมื่อสิ้นสุดการทดสอบ คุณภาพของเทคนิคการวิ่งในกลุ่มทดลองจะสูงกว่าในกลุ่มควบคุม

สถิติคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่เกี่ยวข้องกับคำอธิบายทางสถิติของผลการทดลองและการสังเกตตลอดจน อาคาร แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีแนวคิด ความน่าจะเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของสถิติทางคณิตศาสตร์คือ ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ในโครงสร้างของสถิติทางคณิตศาสตร์ แบ่งตามธรรมเนียมสองส่วนหลัก: สถิติเชิงพรรณนาและการอนุมานทางสถิติ (รูปที่ 1.1)

ข้าว. 1.1. ส่วนหลักของสถิติทางคณิตศาสตร์

สถิติเชิงพรรณนาใช้สำหรับ:

o การวางนัยทั่วไปของตัวบ่งชี้ของตัวแปรหนึ่งตัว (สถิติของกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม)

o การระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป (การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ - การถดถอย)

สถิติเชิงพรรณนาทำให้สามารถรับได้ ข้อมูลใหม่เข้าใจอย่างรวดเร็วและประเมินผลอย่างครอบคลุม กล่าวคือ มันทำหน้าที่ทางวิทยาศาสตร์ในการอธิบายวัตถุของการศึกษา ซึ่งเป็นตัวกำหนดชื่อของมัน วิธีการของสถิติเชิงพรรณนาได้รับการออกแบบมาเพื่อเปลี่ยนชุดของข้อมูลเชิงประจักษ์แต่ละชุดให้เป็นระบบของรูปแบบและตัวเลขที่มองเห็นได้สำหรับการรับรู้: การแจกแจงความถี่ ตัวบ่งชี้แนวโน้มความแปรปรวนการสื่อสาร วิธีการเหล่านี้คำนวณสถิติของกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม ซึ่งใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการอนุมานทางสถิติ

อนุมานทางสถิติให้โอกาส:

o ประเมินความถูกต้อง ความน่าเชื่อถือ และประสิทธิผลของสถิติตัวอย่าง ค้นหาข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในกระบวนการ สถิติการศึกษา(การประเมินทางสถิติ)

o สรุปพารามิเตอร์ของประชากรทั่วไปที่ได้รับบนพื้นฐานของสถิติตัวอย่าง (การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ)

เป้าหมายหลักของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์คือการได้รับความรู้ใหม่เกี่ยวกับปรากฏการณ์ บุคคล หรือเหตุการณ์จำนวนมาก ซึ่งเรียกว่าประชากรทั่วไป

ประชากรคือผลรวมของวัตถุที่ศึกษา ตัวอย่าง- ส่วนหนึ่งของมันซึ่งก่อตัวขึ้นในลักษณะที่พิสูจน์ได้ทางวิทยาศาสตร์ 2

คำว่า "ประชากรทั่วไป" ใช้เมื่อพูดถึงกลุ่มวัตถุขนาดใหญ่แต่มีขอบเขตจำกัดภายใต้การศึกษา ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับประชากรของผู้สมัครยูเครนในปี 2009 หรือประชากรของเด็กก่อนวัยเรียนในเมือง Rivne ประชากรทั่วไปสามารถเข้าถึงปริมาณที่มีนัยสำคัญ มีขอบเขตและไม่จำกัด ในทางปฏิบัติ ตามกฎแล้ว หนึ่งเกี่ยวข้องกับเซตจำกัด และถ้าอัตราส่วนของขนาดของประชากรทั่วไปต่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างมากกว่า 100 ดังนั้น ตามหลักการของ Glass and Stanley วิธีการประมาณค่าสำหรับประชากรแบบจำกัดและแบบอนันต์จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน ชุดทั่วไปสามารถเรียกได้ว่าเป็นชุดค่าสมบูรณ์ของแอตทริบิวต์บางอย่าง ความจริงที่ว่ากลุ่มตัวอย่างเป็นของประชากรทั่วไปเป็นพื้นฐานหลักในการประเมินลักษณะของประชากรทั่วไปตามลักษณะของกลุ่มตัวอย่าง

หลัก ความคิดสถิติทางคณิตศาสตร์อยู่บนพื้นฐานของความเชื่อที่ว่าการศึกษาที่สมบูรณ์ของวัตถุทั้งหมดของประชากรทั่วไปในปัญหาทางวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติหรือเป็นไปไม่ได้ทางเศรษฐกิจ เนื่องจากต้องใช้เวลาและต้นทุนวัสดุจำนวนมาก ดังนั้นในสถิติทางคณิตศาสตร์จึงใช้ แนวทางการคัดเลือกหลักการที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1.2.

ตัวอย่างเช่น ตามเทคโนโลยีการก่อตัว ตัวอย่างจะถูกสุ่ม (แบบง่ายและเป็นระบบ) แบ่งชั้น เป็นกลุ่ม (ดูหัวข้อ 4)

ข้าว. 1.2. แบบแผนการประยุกต์ใช้วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ตาม แนวทางการคัดเลือกการใช้คณิตศาสตร์ วิธีการทางสถิติสามารถทำได้ตามลำดับต่อไปนี้ (ดูรูปที่ 1.2):

o กับ ประชากรทั่วไป,คุณสมบัติซึ่งอยู่ภายใต้การวิจัยบางอย่าง วิธีการสร้างตัวอย่าง- วัตถุทั่วไป แต่มีจำนวน จำกัด ที่ใช้วิธีการวิจัย

o เป็นผลมาจากวิธีการสังเกต การทดลอง และการวัดบนวัตถุตัวอย่าง ข้อมูลเชิงประจักษ์ได้รับ

o การประมวลผลข้อมูลเชิงประจักษ์โดยใช้วิธีสถิติเชิงพรรณนาให้ตัวบ่งชี้ตัวอย่างซึ่งเรียกว่านักสถิติ - เช่นเดียวกับชื่อของวินัย

o การใช้วิธีการอนุมานทางสถิติกับ นักสถิติรับพารามิเตอร์ที่กำหนดคุณสมบัติ ประชากรทั่วไป

ตัวอย่าง 1.1.เพื่อประเมินความเสถียรของระดับความรู้ (ตัวแปร x)การทดสอบกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่มของนักเรียน 3 คนด้วยปริมาตรของ น.การทดสอบประกอบด้วย m งาน ซึ่งแต่ละงานได้รับการประเมินตามระบบการให้คะแนน: "เสร็จสิ้น" "- 1" ไม่สำเร็จ "- 0 ความสำเร็จโดยเฉลี่ยในปัจจุบันของนักเรียนยังคงอยู่ X

3 สุ่มตัวอย่าง(จากภาษาอังกฤษ สุ่ม-สุ่ม) เป็นตัวอย่างตัวแทนซึ่งจัดทำขึ้นตามกลยุทธ์การทดสอบแบบสุ่ม

ที่ระดับปีก่อนหน้า/ชม.? ลำดับการแก้ปัญหา:

o ค้นหาสมมติฐานที่มีความหมายเช่น: "if ผลลัพธ์ปัจจุบันการทดสอบจะไม่แตกต่างไปจากเดิม เราสามารถพิจารณาระดับความรู้ของนักเรียนที่ไม่เปลี่ยนแปลง และกระบวนการศึกษาที่มีเสถียรภาพ";

o กำหนดสมมติฐานทางสถิติที่เพียงพอ เช่น สมมติฐานว่าง H 0ว่า "คะแนนเฉลี่ยปัจจุบันของ X ไม่แตกต่างทางสถิติจากค่าเฉลี่ยของปีก่อนหน้า/ชม." กล่าวคือ ชั่วโมง 0: X = ⁄ r เทียบกับสมมติฐานทางเลือกที่เกี่ยวข้อง X เอฟ ^ ;

o สร้างการแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวแปรที่ตรวจสอบ X;

o กำหนด(ถ้าจำเป็น) ความสัมพันธ์ เช่น ระหว่างตัวแปร Xและตัวชี้วัดอื่นๆ build เส้นถดถอย

o ตรวจสอบการติดต่อของการแจกแจงเชิงประจักษ์กับกฎปกติ

o ประเมินค่าของตัวบ่งชี้จุดและช่วงความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์ เช่น ค่าเฉลี่ย

o กำหนดเกณฑ์การทดสอบสถิติ สมมติฐาน;

o ทดสอบสมมติฐานทางสถิติตามเกณฑ์ที่เลือก

o กำหนดการตัดสินใจเกี่ยวกับสมมติฐานว่างทางสถิติในบางส่วน ระดับนัยสำคัญ;

o ย้ายจากการตัดสินใจที่จะยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานว่างทางสถิติของการตีความข้อสรุปเกี่ยวกับสมมติฐานที่มีความหมาย

o กำหนดข้อสรุปที่มีความหมาย

ดังนั้น หากเราสรุปขั้นตอนข้างต้น การประยุกต์ใช้วิธีการทางสถิติประกอบด้วยสามช่วงหลัก:

การเปลี่ยนจากวัตถุแห่งความเป็นจริงไปเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์และสถิติเชิงนามธรรม กล่าวคือ การสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์ กระบวนการ ทรัพย์สิน

ดำเนินการระงับข้อพิพาทตามจริง ทางคณิตศาสตร์ภายในกรอบของแบบจำลองความน่าจะเป็นตามผลการวัด การสังเกต การทดลอง และการกำหนดข้อสรุปทางสถิติ

การตีความผลการสืบค้นทางสถิติเกี่ยวกับ สถานการณ์จริงและตัดสินใจได้อย่างเหมาะสม

วิธีการทางสถิติสำหรับการประมวลผลและตีความข้อมูลขึ้นอยู่กับทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นพื้นฐานของวิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ หากปราศจากการใช้แนวคิดพื้นฐานและกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปข้อสรุปของสถิติทางคณิตศาสตร์ และด้วยเหตุนี้จึงใช้เหตุผลเหล่านี้อย่างสมเหตุสมผลเพื่อวัตถุประสงค์ทางวิทยาศาสตร์และในทางปฏิบัติ

ดังนั้น งานของสถิติเชิงพรรณนาคือการแปลงชุดข้อมูลตัวอย่างให้เป็นระบบของตัวบ่งชี้ - สถิติ - การกระจายความถี่ การวัดแนวโน้มและความแปรปรวนจากศูนย์กลาง ค่าสัมประสิทธิ์การมีเพศสัมพันธ์ และอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน อย่างไรก็ตาม สถิติเป็นลักษณะของกลุ่มตัวอย่างโดยเฉพาะ แน่นอน เป็นไปได้ที่จะคำนวณการกระจายตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ความแปรปรวน ฯลฯ แต่ "การวิเคราะห์ข้อมูล" ดังกล่าวมีค่าทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาที่จำกัด การถ่ายโอน "กลไก" ของข้อสรุปใด ๆ บนพื้นฐานของตัวบ่งชี้ดังกล่าวไปยังประชากรอื่น ๆ นั้นไม่ถูกต้อง

เพื่อให้สามารถถ่ายโอนตัวบ่งชี้ตัวอย่างหรืออื่น ๆ หรือไปยังประชากรทั่วไปได้ จำเป็นต้องมีเหตุผลทางคณิตศาสตร์ บทบัญญัติเกี่ยวกับความสอดคล้องและความสามารถของลักษณะตัวอย่างกับลักษณะของประชากรทั่วไปที่เรียกว่าประชากรทั่วไปเหล่านี้ บทบัญญัติดังกล่าวอยู่บนพื้นฐานของแนวทางเชิงทฤษฎีและรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองความน่าจะเป็นของความเป็นจริง เช่น แนวทางสัจพจน์ ในกฎจำนวนมหาศาล เป็นต้น ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้นจึงเป็นไปได้ที่จะถ่ายโอนคุณสมบัติที่กำหนดโดยผลการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงประจักษ์ที่ จำกัด ไม่ว่าจะไปยังชุดอื่นหรือชุดที่แพร่หลาย ดังนั้น การสร้าง กฎการทำงาน การใช้แบบจำลองความน่าจะเป็น จึงเป็นหัวข้อของสนามคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" กลายเป็นสาระสำคัญของวิธีการทางสถิติ

ดังนั้นในสถิติทางคณิตศาสตร์จึงใช้ตัวบ่งชี้คู่ขนานกัน: บรรทัดแรกซึ่งเกี่ยวข้องกับการปฏิบัติ (นี่คือตัวบ่งชี้ตัวอย่าง) และบรรทัดที่สองตามทฤษฎี (นี่คือตัวบ่งชี้ของแบบจำลองความน่าจะเป็น) ตัวอย่างเช่น ความถี่เชิงประจักษ์ที่กำหนดบนตัวอย่างสอดคล้องกับแนวคิดของความน่าจะเป็นทางทฤษฎี ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (การปฏิบัติ) สอดคล้องกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ทฤษฎี) เป็นต้น นอกจากนี้ในการศึกษาลักษณะการคัดเลือกเป็นหลัก คำนวณจากการสังเกต การวัดผล การทดลอง หลังจากนั้นพวกเขาได้รับการประเมินทางสถิติของความสามารถและประสิทธิผล การทดสอบสมมติฐานทางสถิติตามวัตถุประสงค์ของการวิจัย และในที่สุดก็ได้รับการยอมรับด้วยความน่าจะเป็นบางอย่าง ตัวชี้วัดคุณสมบัติของประชากรที่ศึกษา

คำถาม. งาน.

1. อธิบายส่วนหลักของสถิติทางคณิตศาสตร์

2. แนวคิดหลักของสถิติทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

3. อธิบายอัตราส่วนของประชากรทั่วไปและกลุ่มตัวอย่าง

4. อธิบายโครงร่างการใช้วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์

5. ระบุรายการงานหลักของสถิติทางคณิตศาสตร์

6. อะไรคือกลุ่มหลักของการใช้วิธีการทางสถิติ? อธิบายพวกเขา

7. ขยายความเชื่อมโยงระหว่างสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น

สถิติทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในส่วนหลักของวิทยาศาสตร์เช่นคณิตศาสตร์และเป็นสาขาที่ศึกษาวิธีการและกฎสำหรับการประมวลผลข้อมูลบางอย่าง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือสำรวจวิธีการค้นพบรูปแบบที่มีอยู่ในคอลเลกชันขนาดใหญ่ของวัตถุที่เหมือนกันตามแบบสำรวจตัวอย่าง

จุดประสงค์ของส่วนนี้คือเพื่อสร้างวิธีการประมาณความน่าจะเป็นหรือการยอมรับ การตัดสินใจบางอย่างเกี่ยวกับธรรมชาติของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามผลที่ได้รับ ตาราง แผนภูมิ และฟิลด์สหสัมพันธ์ใช้เพื่ออธิบายข้อมูล ไม่ค่อยได้ใช้

สถิติทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่น มันเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเศรษฐกิจในการประมวลผลข้อมูลเกี่ยวกับชุดปรากฏการณ์และวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน พวกเขาสามารถเป็นผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยอุตสาหกรรม บุคลากร ข้อมูลกำไร ฯลฯ ขึ้นอยู่กับลักษณะทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์ของการสังเกต เราสามารถแยกสถิติของตัวเลข การวิเคราะห์ฟังก์ชันและวัตถุที่มีลักษณะไม่ใช่ตัวเลข และหลายมิติ การวิเคราะห์. นอกจากนี้ ยังพิจารณางานทั่วไปและงานเฉพาะ (ที่เกี่ยวข้องกับการฟื้นฟูการพึ่งพา การใช้การจัดประเภท การศึกษาแบบคัดเลือก)

ผู้เขียนหนังสือเรียนบางเล่มเชื่อว่าทฤษฎีทางสถิติทางคณิตศาสตร์เป็นเพียงส่วนหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในขณะที่คนอื่นๆ เชื่อว่าเป็นวิทยาศาสตร์อิสระที่มีเป้าหมาย วัตถุประสงค์ และวิธีการของตนเอง อย่างไรก็ตามการใช้งานนั้นกว้างขวางมาก

ใช่ สว่างที่สุด สถิติคณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้กับจิตวิทยา การใช้งานจะช่วยให้ผู้เชี่ยวชาญพิสูจน์ได้อย่างถูกต้อง ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล สรุปข้อมูล หลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเชิงตรรกะ และอื่นๆ อีกมากมาย ควรสังเกตว่าบ่อยครั้งเป็นไปไม่ได้เลยที่จะวัดปรากฏการณ์ทางจิตวิทยาหรือลักษณะบุคลิกภาพนี้หรือนั้นโดยปราศจากขั้นตอนการคำนวณ นี่แสดงให้เห็นว่าพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้มีความจำเป็น กล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นแหล่งที่มาและพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

วิธีการวิจัยซึ่งอาศัยการพิจารณาข้อมูลสถิติถูกนำมาใช้ในด้านอื่น อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตทันทีว่า เมื่อนำไปใช้กับวัตถุที่มีลักษณะต้นกำเนิดต่างกัน จะมีลักษณะเฉพาะอยู่เสมอ ดังนั้นจึงไม่สมเหตุสมผลที่จะรวมวิทยาศาสตร์กายภาพเป็นวิทยาศาสตร์เดียว ลักษณะทั่วไปของวิธีนี้จะลดลงเพื่อนับจำนวนวัตถุที่รวมอยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งตลอดจนการศึกษาการกระจายของคุณลักษณะเชิงปริมาณและการใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อให้ได้ข้อสรุปบางอย่าง

องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ ฯลฯ ในที่นี้ ค่าของคุณลักษณะและพารามิเตอร์ สมมติฐานเกี่ยวกับความบังเอิญของคุณลักษณะใดๆ ในสองตัวอย่าง เกี่ยวกับสมมาตรของการแจกแจง และอื่นๆ อีกมากมายสามารถเป็นได้ ที่พิจารณา.

สถิติทางคณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในการนำไปใช้ เป้าหมายคือ ส่วนใหญ่มักจะสร้างวิธีการที่เพียงพอสำหรับการประมาณค่าและทดสอบสมมติฐาน ในปัจจุบันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในศาสตร์นี้คือ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์. ไม่เพียงแต่ทำให้ขั้นตอนการคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก แต่ยังสร้างตัวอย่างสำหรับการจำลองแบบหรือเมื่อศึกษาความเหมาะสมของผลลัพธ์ที่ได้ในทางปฏิบัติ

ในกรณีทั่วไป วิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์ช่วยให้ได้ข้อสรุปสองประการ: ไม่ว่าจะเป็นการตัดสินตามที่ต้องการเกี่ยวกับธรรมชาติหรือคุณสมบัติของข้อมูลที่กำลังศึกษาและความสัมพันธ์ หรือเพื่อพิสูจน์ว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นไม่เพียงพอต่อการสรุปผล