Lorentz e กำหนดการเคลื่อนที่แบบไม่เป็นคาบ บทคัดย่อทางคณิตศาสตร์ ในหัวข้อ "ตัวดึงดูดลอเรนซ์" เครื่องมือทฤษฎีความโกลาหล

อิซวี มหาวิทยาลัย "ภงด." ปีที่ 15 ฉบับที่ 1 พ.ศ. 2550 UDC 517.9

ลอเรนซ์ดึงดูดในกระแสเฉือน

เช้า. มูคาเมดอฟ

ภายในกรอบของแบบจำลองพลศาสตร์วุ่นวายของตัวกลางต่อเนื่องที่เสนอไว้ก่อนหน้านี้ ได้มีการนำระบบการเต้นเป็นจังหวะของความเร็วการไหลสามมิติที่สอดคล้องกับตัวดึงดูดประเภทลอเรนซ์มาใช้ การแก้ปัญหาคือชุดของโครงสร้างที่กำหนดรูปทรงเรขาคณิตของท่อร่วมแบบแบ่งชั้นที่ลดลงเหลือกรณีสามมิติ ซึ่งเกิดขึ้นจากการเต้นเป็นจังหวะของความเร็วการไหลปานกลาง พลวัตของตัวดึงดูดลอเรนซ์นั้นแสดงออกมาในรูปแบบของการขึ้นอยู่กับเวลาของการเต้นเป็นจังหวะตามแนวความคล่องตัวของการไหลเฉลี่ย

ดังที่ทราบกันดี หนึ่งในตัวอย่างคลาสสิกของความโกลาหลเชิงกำหนด - ตัวดึงดูดแบบลอเรนซ์ - ค้นพบอันเป็นผลมาจากการวิจัยอุทกพลศาสตร์ของธรรมชาติที่ประยุกต์ ยังไม่ได้รับการทำซ้ำอย่างเพียงพอในรูปแบบรูปแบบของกลศาสตร์ปั่นป่วนที่มีอยู่ ในงานของผู้เขียนมีการเสนอสมมติฐานว่าไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาอุทกพลศาสตร์แบบคลาสสิกสำหรับปัญหานี้ได้และเสนอเหตุผลสำหรับข้อสรุปนี้ ขึ้นอยู่กับความเข้าใจที่ว่าแบบจำลองตัวดึงดูดของไดนามิกที่วุ่นวายส่งผลต่อระดับการเคลื่อนที่ในอวกาศของตัวกลางต่อเนื่อง และระดับนี้ไม่ได้แสดงในสมการเนเวียร์-สโตกส์แบบดั้งเดิม ดังนั้นข้อเสนอที่จะขยายทางเลือกสำหรับการแก้ปัญหาตัวดึงดูดลอเรนซ์โดยการรวมโครงสร้าง meso เพิ่มเติมไว้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของอุทกพลศาสตร์อย่างชัดเจน โดยใช้เครื่องมือของทฤษฎีนี้นอกเหนือไปจากกรอบของการดำเนินการแบบคลาสสิกด้วยสมการเนเวียร์-สโตกส์

ในปัจจุบัน โหมดตัวดึงดูดของไดนามิกต่อเนื่องถูกสร้างขึ้นภายในกรอบของแบบจำลองที่แสดงถึงนามธรรมที่กว้างขวางของการเคลื่อนที่ของตัวกลางต่อเนื่อง ซึ่งแทบจะไม่ได้ใช้แนวคิดเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์เชิงกลของอนุภาคของตัวกลางซึ่งกันและกัน ในบางกรณี นามธรรมเหล่านี้สะท้อนถึงคุณสมบัติของตัวดำเนินการประเภทวิวัฒนาการที่ทำงานในลำดับชั้นของช่องว่างของฮิลเบิร์ตที่ซ้อนกัน ในกรณีอื่นๆ สิ่งเหล่านี้สะท้อนถึงพลวัตของระบบมิติจำกัดที่สร้างการเปลี่ยนแปลงในสถานะของสภาพแวดล้อม แต่จริงๆ แล้วแต่ละสถานะนั้นแสดงโดยเพียงจุดหนึ่งของท่อร่วมเฟสที่สอดคล้องกัน การสร้างแบบจำลองดังกล่าวไม่เป็นไปตามวัตถุประสงค์ที่ประยุกต์ใช้ของกลศาสตร์ของไหล ซึ่งจำเป็นต้องมีการสร้างโครงสร้างสำคัญทั้งหมดขึ้นมาใหม่โดยตรง กล่าวคือ ในพื้นที่ที่ถูกครอบครองโดยตัวกลางต่อเนื่อง หากเราคำนึงถึงข้อโต้แย้งของข้อมูลทางทฤษฎีและการทดลองเข้าข้าง

การมีอยู่ของการเป็นตัวแทน ดังนั้นการสืบพันธุ์ของตัวดึงดูดในบริบทของพลวัตของลักษณะเชิงพื้นที่และชั่วคราวของสภาพแวดล้อมดูเหมือนจะมีความจำเป็นเร่งด่วน

ในงานนี้ ตัวดึงดูดแบบลอเรนซ์ถูกสร้างขึ้นภายในกรอบของพลวัตอันปั่นป่วนที่เสนอในแบบจำลอง ตามแบบจำลองนี้ ช่องว่างเฟสของระบอบการปกครองที่ปั่นป่วนคือการแบ่งชั้นของไอพ่นของการเต้นเป็นจังหวะของปริมาณอุทกพลศาสตร์ เรขาคณิตของมัดการเต้นเป็นจังหวะจะถือว่าเป็นแบบนิรนัยโดยพลการ ซึ่งกำหนดโดยคุณสมบัติจำลองของระบอบการปกครองที่วุ่นวายที่สอดคล้องกัน วัตถุหลักของการสร้างแบบจำลองคือโครงสร้างที่วุ่นวายซึ่งเป็นเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดในตัวกลางที่ไม่เสถียรที่ซับซ้อน สันนิษฐานว่าแต่ละระบอบการปกครองที่ปั่นป่วนที่จัดตั้งขึ้นนั้นสอดคล้องกับโครงสร้างที่วุ่นวายที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ในวิถีโคจรของโครงสร้างที่วุ่นวาย พวกมันถูกระบุด้วยชุดของเส้นโค้งอินทิกรัลของการแจกแจงแบบ Pfaff ที่ไม่สามารถอินทิเกรตได้ (ไม่ใช่โฮโลโนมิก) ที่กำหนดบนชุดของการเต้นเป็นจังหวะของตัวแปรไดนามิก

ลักษณะเฉพาะของแบบจำลองที่นำเสนอคือวิธีการของลากรองจ์ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของตัวกลาง ซึ่งในกรณีทั่วไป ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงการอธิบายการเคลื่อนที่ในตัวแปรออยเลอร์เท่านั้น ปรากฎว่าคำอธิบายของลากรองจ์มีความเหมาะสมอย่างน่าทึ่งสำหรับการพรรณนาถึงพลวัตของระบบที่มีตัวดึงดูดที่แปลกประหลาด แทนที่จะเป็นข้อจำกัดที่เข้มงวดของกระบวนทัศน์ออยเลอร์ คำอธิบายลากรองจ์กำหนดเงื่อนไขที่นุ่มนวลกว่ามากซึ่งทำหน้าที่ในการกำหนดวัตถุทางเรขาคณิตของการแจกแจงแบบไม่โฮโลโนมิกที่สอดคล้องกัน การเปลี่ยนแปลงในการเน้นการสร้างแบบจำลองนี้ทำให้สามารถสร้างตัวดึงดูดต่างๆ ในไดนามิกของลำอนุภาคของตัวกลางที่ต่อเนื่องได้

1. ให้เราตั้งสมการสำหรับไดนามิกของการเต้นเป็นจังหวะสามโหมด

(yg + 4 (x,y!))(xk = Ar(x,y^)(I (1,3,k = 1,2,3), (1)

โดยที่ xk และ yr สร้างชุดของพิกัดเชิงพื้นที่และไดนามิกของการแบ่งชั้นการเต้นเป็นจังหวะ และวัตถุ xrk(x,y^)(xk และ Ar(x,y^)M กำหนดลักษณะของการโต้ตอบระหว่างโหมดของโหมด เราสามารถ พิจารณาวัตถุและสมการเหล่านี้ (1) เอง) เป็นกฎสำหรับการก่อตัวของอนุพันธ์ของพิกัดไดนามิกโดยคำนึงถึงพิกัดเชิงพื้นที่และเวลาซึ่งกำหนดโดยวิวัฒนาการที่ปั่นป่วนจริง ความหมายทางเรขาคณิตที่ไม่แปรเปลี่ยนของวัตถุเหล่านี้คือในกลุ่มพัลส์ที่พวกเขากำหนด วัตถุของการเชื่อมต่อภายในและสนามเวกเตอร์แนวตั้ง ตามลำดับ

สมมติว่าพิกัดไดนามิกที่แนะนำข้างต้นมีความหมายของการเต้นเป็นจังหวะของความเร็วการไหลของตัวกลาง นั่นคือ ความเร็วที่แท้จริงของตัวกลางสามารถสลายตัวเป็นสนามความเร็วของการไหลเฉลี่ยและการเต้นเป็นจังหวะตามสูตร

ig(x,y)= u0(x)+ อ่างทอง (2)

เราใช้สมการสมดุลมวลและโมเมนตัมในรูปแบบของสมการความต่อเนื่องมาตรฐานและสมการเนเวียร์-สโตกส์

Chr + uDi (4)

ระบบสมการนี้ยังไม่สมบูรณ์ เนื่องจากสมการ (4) รวมถึงความดัน ซึ่งเป็นตัวแปรทางอุณหพลศาสตร์ ซึ่งในกรณีทั่วไป พลศาสตร์นั้นอยู่นอกเหนือขอบเขตของจลนศาสตร์ ในการอธิบายการเต้นเป็นจังหวะของแรงดัน จำเป็นต้องมีพิกัดไดนามิกใหม่ ซึ่งจะเพิ่มจำนวนองศาอิสระที่จำเป็นเพื่ออธิบายระบบการเคลื่อนที่แบบปั่นป่วนที่สอดคล้องกัน ให้เราแนะนำตัวแปรไดนามิกใหม่ที่มีความหมายของการเต้นเป็นจังหวะของแรงดัน ซึ่งก็คือเรายอมรับ

พี(x,y)= โป(x)+ y4. (5)

ดังนั้นชุดเริ่มต้นของพิกัดไดนามิกที่ต้องการเพื่อแสดงการเคลื่อนที่ของตัวกลางต่อเนื่องจึงเป็นสี่มิติ

ความเป็นไปได้ที่จะลดลงเป็นระบบสามมิติที่มีไดนามิกคล้ายกับไดนามิกของระบบลอเรนซ์อยู่ที่ความจริงที่ว่าความดันเข้าสู่สมการ (4) ในรูปแบบของการไล่ระดับสี ตามมาว่าการลดไดนามิกสามมิติของการเต้นเป็นจังหวะของความเร็วสามารถทำได้หากการไล่ระดับความดันที่รวมอยู่ในสมการ (4) มีเพียงพิกัดไดนามิกสามตัวแรกเท่านั้น ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะต้องกำหนดสิ่งนั้นในสมการพลศาสตร์สำหรับพิกัดที่สี่

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

ค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบการเชื่อมต่อ w4(x,yj)dxk ขึ้นอยู่กับพิกัดไดนามิกสามตัวแรกเท่านั้น โปรดทราบว่าระบอบการปกครองสามมิติอาจไม่เสถียรจากมุมมองของคำอธิบายที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น รวมถึงการพิจารณาระดับความเป็นอิสระที่น่าตื่นเต้นทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เราจะจำกัดตัวเองให้สร้างแบบจำลองนี้ตามลำดับความสำคัญของพลวัตที่เป็นไปได้

ให้เราพิจารณาเงื่อนไขที่กำหนดโดยสมการความสมดุล (3), (4) กับการแสดงออกของปริมาณที่ไม่ทราบ wk(x,yj)dxk และ Ai(x,yj)dt ที่รวมอยู่ในสมการไดนามิก (1) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทน (2) และ (5) ลงใน (3) และ (4) และใช้สมการ (1) และ (6) เพื่อให้นิพจน์ที่เกิดขึ้นง่ายขึ้น เราจะถือว่าพิกัดเชิงพื้นที่ xk เป็นคาร์ทีเซียน ในกรณีนี้ คุณไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างตัวยกและตัวห้อยได้ โดยเพิ่มและลดค่าลงได้ตามที่คุณต้องการในการเขียนนิพจน์ตัวแปรร่วม จากนั้นเราจะได้สมการต่อไปนี้สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ (1)

ดกุก - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik (8)

โดยที่สัญกรณ์ Dj = dj - wk^y ถูกนำมาใช้

เพื่อวัตถุประสงค์เพิ่มเติม ให้เราระบุการกำหนดปัญหา เราจะพิจารณาระบอบการปกครองที่สนามความเร็วเฉลี่ยอธิบายการไหลของแรงเฉือนแบบธรรมดา

สหราชอาณาจักร = Ax3à\. (9)

นอกจากนี้ เราจะตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับเรขาคณิตของสเปซชั้นของการเต้นเป็นจังหวะ เราจะพิจารณาการเชื่อมต่อบันเดิลให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในพิกัดไดนามิก นั่นคือ w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4) ในกรณีนี้ มันจะตามมาจากสมการ (8) ทันทีว่าวัตถุที่สองได้รับโครงสร้างพหุนามในพิกัดไดนามิก กล่าวคือ สนามเวกเตอร์แนวตั้งจะกลายเป็นพหุนามอันดับสองในพิกัดไดนามิก นั่นคือ

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk

ดังนั้น ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักซึ่งกำหนดสมการสำหรับไดนามิกของการเต้นของจังหวะของระบบการปกครองแบบสามโหมดที่กำลังพิจารณาคือสัมประสิทธิ์จามรี (x), Ar0 (x), Ark (x) และ A3k (x) สำหรับการพิจารณาว่าเรา มีสมการ (3) และ (4) โปรดทราบว่าสมการ (4) จะลดลงอย่างมากเมื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของสนามเวกเตอร์แนวตั้ง ในขณะที่การเลือกสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะถูกจำกัดด้วยสมการความต่อเนื่อง (3) เท่านั้น สมการนี้ทำให้เกิดความเด็ดขาดอย่างมีนัยสำคัญในการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ ดังนั้นจึงเหลือละติจูดไว้สำหรับการสร้างแบบจำลองโครงสร้างเชิงพื้นที่ของไดนามิกของจังหวะที่สอดคล้องกับการไหลเฉลี่ยที่เลือก

2. ให้เราพิจารณาถึงความเป็นไปได้ที่จะได้รับตัวดึงดูดแบบลอเรนซ์ในปัญหานี้ ด้วยเหตุนี้ ก่อนอื่นเราจะพูดถึงการสลายตัวของค่าความเร็วปัจจุบันเป็นความเร็วเฉลี่ยและการเต้นเป็นจังหวะรอบค่าเฉลี่ย

ตามความหมายของการเต้นเป็นจังหวะเวลาเฉลี่ยควรเท่ากับศูนย์นั่นคือ

(y)t - 0. (10)

ในเวลาเดียวกันการเต้นเป็นจังหวะถูกกำหนดเป็นการเบี่ยงเบนของค่าความเร็วปัจจุบันจากค่าเฉลี่ย หากพิจารณาการไหลเฉลี่ยแล้วสถานการณ์ที่ระบุไว้ไม่อนุญาตให้เลือกระบบสมการตามอำเภอใจที่มีไดนามิกที่ไม่เป็นระเบียบเป็นแบบจำลองสมการเคออส เพื่อให้ตัวแปรของระบบแบบจำลองสมการได้รับการพิจารณาเป็นจังหวะของปริมาณไฮโดรเมคานิกส์จริง จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (10) หาก (10) ไม่เป็นที่พอใจ แสดงว่ามีการดริฟท์โดยไม่ทราบสาเหตุในไดนามิกของการเต้นเป็นจังหวะ ดังนั้นระบบแบบจำลองที่นำมาใช้จึงไม่สอดคล้องกับปัจจัยที่ใช้งานอยู่ซึ่งนำมาพิจารณาหรือกับโครงสร้างของการไหลเฉลี่ยที่อนุญาต

นอกจากนี้ สมการ (1) ในกรณีทั่วไปคือระบบประเภท Pfaff ที่บูรณาการไม่สมบูรณ์ คุณสมบัติของความไม่บูรณาการได้ของสมการนี้มีความสำคัญโดยพื้นฐาน ซึ่งสอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของการเคลื่อนที่แบบปั่นป่วน กล่าวคือในกระบวนการของการเคลื่อนไหวการก่อตัวอนุภาคมอดผีเสื้อทรงกลมขนาดเล็กที่มีขนาดมหภาคใด ๆ จะสูญเสียความเป็นตัวของตัวเอง คุณลักษณะนี้ถูกนำมาพิจารณาโดยการไม่สามารถอินทิเกรตของสมการ (1) ได้ โดยพื้นฐานแล้ว (1) อธิบายชุดของวิถีการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของจุดที่มีความต่อเนื่องซึ่งเกิดจากตัวกลางต่อเนื่อง วิถีเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ในชุดระลอกคลื่น การฉายภาพบนพื้นที่ที่ถูกครอบครองโดยตัวกลางต่อเนื่องจะกำหนดพลวัตของการพัฒนาของการเต้นเป็นจังหวะตามเส้นโค้งเชิงพื้นที่ที่สอดคล้องกัน โปรดทราบว่าคุณสามารถเลือกแบบหลังได้ตามใจชอบ โดยกำหนดความเป็นไปได้ในการพิจารณาพลวัตของการเต้นเป็นจังหวะตามเส้นโค้งเชิงพื้นที่ใดๆ

เพื่อความชัดเจน ขอให้เราพิจารณาพลวัตของการเต้นเป็นจังหวะตามแนวความคล่องตัวของการไหลเฉลี่ย จากนั้นเราจะได้สมการไดนามิกดังต่อไปนี้:

เอ็กซ์อาร์ = u0, (11)

yg + w)k y3 4 = อาร์ (12)

ก่อนที่จะพิจารณาระบบนี้ ให้เราแปลงมันเป็นตัวแปรไร้มิติก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแนะนำในสมการดั้งเดิม (4) แทนค่าสัมประสิทธิ์ความหนืด

หมายเลขเรย์โนลด์ส จากนั้นเราจะยกเลิกการพึ่งพาตัวเลขนี้อย่างชัดเจนโดยใช้การแทนที่

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

ละเว้นเครื่องหมายโอเวอร์ไลน์เหนือตัวแปรจาก (12) ที่เราได้รับ

yg = DiO - i!kdkiO - dgro + y3(-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

มาวิเคราะห์กัน (13) โปรดทราบว่าแบบจำลองที่ใช้ถือว่าเกิดความปั่นป่วนที่พัฒนาแล้ว กล่าวคือ เลขเรย์โนลด์สควรถือว่ามีขนาดค่อนข้างใหญ่ จากนั้นหากปริมาณไร้มิติมีค่าตามลำดับของเอกภาพปริมาณมิติจริงตาม (13) จะระบุขนาดของการสำแดงของพลวัต โดยเฉพาะอย่างยิ่งจาก (13) ตามมาด้วยว่าตาชั่งเชิงพื้นที่มีขนาดเล็ก ดังนั้น ประการแรกควรพิจารณาแบบจำลองที่ใช้ว่าเป็นแบบจำลองของกระบวนการผสมแบบปั่นป่วนที่ระดับความละเอียดของตัวกลางต่อเนื่องใน mesoscopic

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์ของ (11) และ (12) กัน จะเห็นได้ง่ายว่าสำหรับโฟลว์เฉลี่ยที่เลือก สมการ (11) มีปริพันธ์อย่างง่าย เส้นไหลเฉลี่ยที่สอดคล้องกับสมการนี้คือเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด x1 หากไม่รวมพิกัดเชิงพื้นที่ จาก (12) เราจะได้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นอิสระในกรณีทั่วไป ยิ่งไปกว่านั้น หากค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อและการไล่ระดับความดันไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด x1 ระบบ (14) จะกลายเป็นระบบอัตโนมัติ โดยมีพิกัดเชิงพื้นที่ที่เหลือ x2 และ x3 เป็นพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ เส้นทางจริงจะเปิดขึ้นสู่การสร้างแบบจำลองโดยตรงของไดนามิกของจังหวะกึ่งคงที่เชิงพื้นที่ที่ไม่เหมือนกัน ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของการสร้างแบบจำลองดังกล่าว

โดยสรุปของประเด็นนี้ เราสังเกตว่าการเกิดขึ้นของการกระจายแบบไม่โฮโลโนมิกที่ระบุโดยระบบ Pfaffian (1), (6) เป็นผลสืบเนื่องจากการสันนิษฐานว่าในสภาวะที่มีความปั่นป่วนอย่างรุนแรง ระดับของวิถีการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของ อนุภาคของตัวกลางจะเกิดการก่อตัวที่เสถียร เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรใหม่นี้คือข้อกำหนดสำหรับความไม่แน่นอนของวิถีของจุด ซึ่งในทางกลับกัน ต้องใช้ค่าจำนวนมากของเลขเรย์โนลด์ส ความพยายามที่จะขยายแนวทางไปสู่ค่าเล็กๆ ของตัวเลข Rae นั้นไม่มีมูลความจริง

3. ให้เรามาดูการสร้างตัวอย่างซึ่งการเต้นของความเร็วตามแนววิถีของการไหลเฉลี่ยได้รับการอธิบายโดยระบบ Canonical ประเภท Lorentz เพื่อความง่าย เราจะถือว่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อทั้งหมดคงที่ ในกรณีนี้ เราได้ไดนามิกที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงพื้นที่ตามแนวเส้นไหลเฉลี่ย ซึ่งอย่างไรก็ตาม ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงพื้นที่ตามเส้นที่กำหนด เราจะเรียกสมมติฐานว่าเป็นการประมาณแบบกึ่งเนื้อเดียวกัน

งานของเราคือการให้สมการ (14) เป็นรูปแบบของระบบลอเรนซ์ที่เป็นที่ยอมรับ อุปสรรคแรกที่มองเห็นได้คือความไม่แน่นอนในการระบุพิกัดไดนามิกและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

จากระบบ Canonical สมมติว่ากลไกการโต้ตอบระหว่างโหมดประเภทต่างๆ จะทำให้สามารถจำลองการระบุตัวตนเหล่านี้ได้ เราจะเลือกตัวเลือกต่อไปนี้ ให้โครงสร้างของสมการ (14) มีรูปแบบดังนี้

y1 = ก(-y1 + y2), (15)

y2 = (ก - (ก))y1 - y2 - y1y3, (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)

โดยมีการเน้นคำศัพท์ปกติไว้อย่างชัดเจน ซึ่งตามที่ระบุไว้ในวรรค 2 ควรแยกออกจากนิพจน์สำหรับการเต้นเป็นจังหวะ

x = o(-x + y), y = rx - y - xy, g = -y g + xy (18)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สมมติว่ามีเวลาเฉลี่ยสำหรับตัวแปรของระบบ (18) อยู่ ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ของระบบนี้ภายใต้การแปลง

x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)

เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสองตัวแรกควรเป็นศูนย์ จากนั้นจึงทำการทดแทน

x ^ x, y ^ y, z ^ z + (r) (20)

ใน (18) ให้ระบบสมการ (15) - (17)

ในเรื่องนี้เราทราบว่าสำหรับค่าที่แตกต่างกันของพารามิเตอร์ของระบบ Lorentz การแก้ปัญหาสามารถทำได้ด้วยค่าเฉลี่ยทั้งศูนย์และไม่เป็นศูนย์ของตัวแปรสองตัวแรก ด้วยเหตุนี้ เราจะจำกัดการพิจารณาในภายหลังไว้เฉพาะความเป็นไปได้ลำดับแรกเท่านั้น นอกจากนี้ เราสังเกตว่าการทดแทน (20) สามารถทำได้ในกรณีที่คำในนิพจน์ที่สาม (20) ไม่มีความหมายของค่าเฉลี่ยเวลา ในกรณีนี้ การตีความในภายหลังอาจต้องมีการนิยามใหม่ของขั้นตอนการหาค่าเฉลี่ย โดยทั่วไป คำจำกัดความที่เหมาะสมจะต้องมีการชี้แจงช่วงเวลาของปรากฏการณ์ที่พิจารณา เป็นที่ชัดเจนว่าคำจำกัดความใหม่ดังกล่าวจะต้องมีการพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อมูลเริ่มต้นและความแปรผันของพารามิเตอร์ระบบ ผลกระทบที่รู้จักกันดีของปฏิสัมพันธ์ของตัวดึงดูดที่วุ่นวายแสดงให้เห็นว่าความคลุมเครือสามารถเกิดขึ้นได้อย่างไรในการกำหนดค่าเฉลี่ยที่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์การเคลื่อนไหว

กลับมาที่การพิจารณาของเรา เมื่อเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (15) - (17) และ (14) ที่เราได้รับ

(DiO - i£dki0 - s/ro) =

(-3]uO + - dkyu] + yu^) =

V -U (ก.)) (-o

ก. -(ก.) -1 0 V 0 0 -y คุณ

นอกจากนี้จาก (7) เรามี

ดีเค ยู0 = 0, 0.

ลองพิจารณา (21) และ (24) เมื่อใช้นิพจน์แทน (9) จะเห็นได้ง่ายว่า (24) มีความพึงพอใจเหมือนกัน และ (21) จะลดลงเพียงเพื่อกำหนดความชันความดันเฉลี่ยเท่านั้น ในกรณีนี้ การไล่ระดับสีจะตั้งฉากกับความเร็วการไหลเฉลี่ย ซึ่งเป็นผลมาจากการระบุตัวแปรของระบบ Lorentz ที่เป็นที่ยอมรับและส่วนประกอบของความผันผวนของความเร็ว

ให้เราหันไปหาสมการ (23) และ (25) จาก (23) เราได้รับนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับส่วนประกอบของวัตถุที่เชื่อมต่อซึ่งสมมาตรด้วยตัวห้อย ส่วนที่ไม่สมมาตรถูกกำหนดจาก (25) โดยมีความแน่นอนบางประการ คำตอบทั่วไปของสมการเหล่านี้ได้มาจากนิพจน์ต่อไปนี้:

/ เอ๋,x2 - bjxr -aix1 + ซีดี,x3 bjx1 - cjx2 \

ех2 - / х3 -ех1 + ьх3 (/ - 1) йх1 - йх2 V ря1х2 - ех3 (-р + 1) йх1 + айх3 ех1 - айх2)

ให้เราหันไปหาสมการที่เหลือ (22) สมการเมทริกซ์นี้คือระบบของสมการพีชคณิตกำลังสอง 9 ตัว

b2 - ค(พี + /) +

ae - bp + ur = g - (g)

อีบี - ก/ + ω43 = 0,

ae - bp + b + 1,021 = o,

C/ + e2 + b2 - (1 - /)(1 - p) + ω42 = -1,

อีซี + ab + ω43 = 0,

A/ + eb + a - A + ω1 = 0,

อีซี + ab + ω42 = 0,

ซีพี - (1 - /)(1 - p) + e2 + a2 + ω33 = -y

สิ่งที่ไม่รู้จักคือค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ 6 ค่า (26) ส่วนประกอบ 9 ชิ้นของเทนเซอร์ความดัน 1 ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดความเร็วเฉลี่ย และพารามิเตอร์ 3 ตัวของระบบลอเรนซ์ ตามมาว่าการแก้ปัญหาของระบบนี้ถูกกำหนดด้วยความเด็ดขาดของพารามิเตอร์ที่มีนัยสำคัญ ในโหมดสามมิติที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เทนเซอร์เกรเดียนต์ของความดัน ω>4r นั้นเป็นไปตามอำเภอใจ และโดยการระบุมัน เป็นไปได้ที่จะจำลองไดนามิกส์ที่ต้องการสำหรับตัวเลือกสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ สำหรับรูปแบบหลายมิติ ส่วนประกอบของเทนเซอร์ความดันจะรวมอยู่ในระบบสมการที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ซึ่งคำนึงถึงพลวัตของระดับความอิสระที่ตื่นเต้นทั้งหมด ในกรณีนี้เทนเซอร์ความดันไม่สามารถกำหนดได้อีกต่อไป ในเรื่องนี้ เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะพิจารณาตัวเลือกเฉพาะต่างๆ ในการกำหนดเทนเซอร์ความดัน โดยสมมติว่าสมมติฐานที่สมเหตุสมผลทางกายภาพควรหาค่าที่เป็นตัวแทนในสมการที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นโดยคำนึงถึงไดนามิกหลายมิติ เราจะถือว่าเทนเซอร์เกรเดียนต์ของความดันอยู่ในแนวทแยงโดยมีองค์ประกอบเป็นศูนย์ซึ่งสอดคล้องกับพิกัด y2 ในกรณีนี้ (22) มีวิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอนดังต่อไปนี้:

ω!1 = .1 - ก, ω43 = .1 - y + 1, .1 = (K - ก) ก - A2, K = ก. - (ก.), (27)

K - ที่ Ka, K - a AK

a = A, b = a - K, c =--.1, p =-, f = - K, e =--- (28)

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาผลลัพธ์ (27), (28) มันปล่อยให้ค่าของ A, r, a, y เป็นไปตามอำเภอใจซึ่งกำหนดขนาดของการไล่ระดับความเร็วการไหลเฉลี่ยและพารามิเตอร์สามตัวของระบบแบบจำลอง Lorentz ลักษณะการเคลื่อนที่อื่นๆ ทั้งหมดจะแสดงเป็นฟังก์ชันของชุดปริมาณที่ทำเครื่องหมายไว้ โดยการเลือกค่าที่แน่นอนของปริมาณเหล่านี้ คุณสามารถเปลี่ยนแปลงไดนามิกของการเต้นเป็นจังหวะได้ และใช้สูตร (26), (27) เพื่อค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของส่วนประกอบของวัตถุการเชื่อมต่อ หากเราคำนึงว่าแต่ละวัตถุเป็นตัวกำหนดลักษณะของปฏิสัมพันธ์ของการเต้นเป็นจังหวะ ก็เป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนแปลงการโต้ตอบประเภทต่างๆ ด้วยตนเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เปลี่ยนแปลงขนาดของส่วนประกอบเทนเซอร์แรงดัน ควรสังเกตว่าในบางกรณีส่วนประกอบเหล่านี้สามารถลดลงจนเหลือศูนย์ได้เหมือนกัน ลักษณะเฉพาะของการแก้ปัญหา (27), (28) คือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนส่วนประกอบของเทนเซอร์ความดันให้เป็นศูนย์ในขณะที่ยังคงอยู่ในขอบเขตของค่าเหล่านั้นของพารามิเตอร์ระบบที่พลวัตของ Lorentz เกิดขึ้น (อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ค่อนข้างเป็นไปได้ในภูมิภาคของค่าพารามิเตอร์เหล่านั้นซึ่งมีไดนามิกของการเต้นเป็นจังหวะสม่ำเสมอ)

มาประมาณการกันหน่อย ปล่อยให้พารามิเตอร์ของระบบแบบจำลองสอดคล้องกับตัวดึงดูด Lorentz โดยมีพารามิเตอร์ a = 10, r = 28, y = 8/3 ในกรณีนี้ การคำนวณแสดงว่าการเต้นเป็นจังหวะมีเวลาเป็นลักษณะเฉพาะ t ~ 0.7 ภายในช่วงเวลาที่คำนวณ b = 0 + 50 ค่าการเต้นเป็นจังหวะจะอยู่ในช่วง y1 = -17.3 + 19.8, y2 = -22.8 + 27.2 และ y3 = -23.2 + 23.7

ให้เราเปรียบเทียบค่าสัมบูรณ์ของการเต้นของความเร็วและการไล่ระดับความเร็วเฉลี่ย จาก (13) จะได้ค่าพัลส์โดยการหารค่าสัมพัทธ์ด้วยตัวเลข l/D ในขณะที่การไล่ระดับความเร็วเฉลี่ยยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ให้เราหาค่าการไล่ระดับความเร็วเท่ากับความสามัคคีตามลำดับขนาด

มี A ~ 1 จากนั้นที่ค่า Rae = 2000 นั่นคือที่ค่าวิกฤตที่ต่ำกว่า สำหรับการเต้นเป็นจังหวะเราจะได้ลำดับความสำคัญเท่ากับ 50% ของค่าการไล่ระดับสี สำหรับกรณีของ Rae = 40000 การเต้นของความเร็วจะไปถึงเพียง 10%% ของค่าที่ยอมรับของการไล่ระดับความเร็วเฉลี่ย จากนี้เห็นได้ชัดว่าสัดส่วนที่เหมาะสมระหว่างความเร็วเฉลี่ยและการเต้นเป็นจังหวะสามารถมั่นใจได้ในช่วงตัวเลข Rae ที่กำหนดเท่านั้น

4. ข้อมูลใหม่จะถูกเปิดเผยโดยการพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดในตัวกลาง สำหรับพลศาสตร์ลอเรนซ์ในการประมาณกึ่งเอกพันธ์ สมการการเคลื่อนที่ของจุดจะมีรูปแบบ

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

ระบบนี้กลายเป็นเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ โซลูชันทั่วไปสามารถหาได้ง่ายโดยการบูรณาการเบื้องต้น ดังนั้นเราจึงสังเกตเฉพาะคุณสมบัติเชิงคุณภาพของวิถีของจุดเท่านั้น จากสมการลักษณะเฉพาะสำหรับความเร็วในการเคลื่อนที่ เราพบว่ามีรากที่เป็นลบสองอันและหนึ่งรากที่เป็นบวก ดังนั้นในแต่ละจุดในอวกาศ ทิศทางการบีบอัดสองทิศทางและทิศทางแรงดึงหนึ่งทิศทางจึงมีความแตกต่างกัน คุณลักษณะไดนามิกเหล่านี้เป็นคุณลักษณะที่ไม่แปรเปลี่ยนซึ่งสามารถใช้ในการจำแนกตัวดึงดูดที่สอดคล้องกับการไหลด้วยค่าความเร็วเฉลี่ยเท่ากัน

ดังต่อไปนี้จากคำตอบทั่วไปของระบบ (29) และ (30) การเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของจุดต่างๆ ของตัวกลางในทิศทางที่ตัดขวางกับเส้นไหลเฉลี่ยนั้นไม่จำกัด กล่าวคือ ในการฉายภาพบนแกน x3 มีการดริฟท์ปกติ ในกรณีนี้จุดที่เคลื่อนที่ตั้งฉากกับความเพรียวบางของกระแสเฉลี่ยจะตกไปในบริเวณของค่าความเร็วสูง ในกรณีนี้ จำนวน Rae จะเพิ่มขึ้น ซึ่งจะทำให้ขนาดสัมพัทธ์ของการเต้นเป็นจังหวะลดลง ภายในกรอบของการประมาณกึ่งเอกพันธ์ที่เกิดขึ้น ผลกระทบนี้นำไปสู่การลดลงโดยสัมพัทธ์ของการเต้นเป็นจังหวะ และท้ายที่สุด ทำให้เกิดการเสื่อมลงไปสู่ความผันผวน

บรรณานุกรม

1. มูคาเมดอฟ เอ.เอ็ม. แบบจำลองอันปั่นป่วน: ปัญหาและแนวทางแก้ไข //17 IMACS Congress, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr

2. มูคาเมดอฟ เอ.เอ็ม. สู่ทฤษฎีเกจของความปั่นป่วน // ความโกลาหล, โซลิตัน และแฟร็กทัล 2549. ฉบับ. 29. หน้า 253.

3. Ruelle D., Takens F. กับธรรมชาติของความวุ่นวาย // ชุมชน. คณิตศาสตร์. ฟิสิกส์ 2514. ฉบับ. 20. หน้า 167.

4. Babin A.V., Vishik M.I. ตัวดึงดูดสมการวิวัฒนาการ อ.: Nauka, 1989. 296 น.

5. Mandelbrot B. เรขาคณิตเศษส่วนของธรรมชาติ ฟรีแมน. ซานฟรานซิสโก ปี 1982

6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. เกี่ยวกับธรรมชาติแบบพหุคูณของระบบความปั่นป่วนและความวุ่นวายที่พัฒนาเต็มที่ // J. Phys. ก. 2527. เล่มที่ 17. ป.3521.

7. เอลนาสชี่ ม.ส. อินทิกรัลเส้นทางไฟน์แมนและทฤษฎี E-Infinity จากการทดลอง Gedanken แบบสองช่อง // วารสารนานาชาติด้านวิทยาศาสตร์ไม่เชิงเส้นและการจำลองเชิงตัวเลข 2548. ฉบับ. 6(4) ป.335.

8. มูคาเมดอฟ เอ.เอ็ม. รวบรวมระบอบการปกครองของความปั่นป่วนในกระแสเฉือน // Vestnik KSTU im. อ. ตูโปเลฟ พ.ศ. 2546 ฉบับที่ 3 หน้า 36.

9. ยูโดวิช วี.ไอ. เส้นกำกับของวงจรจำกัดของระบบลอเรนซ์ที่ตัวเลขเรย์ลีสูง // VINITI 07/31/78. เลขที่ 2611-78.

10. อนิชเชนโก้ VS. การแกว่งที่ซับซ้อนในระบบอย่างง่าย อ.: Nauka, 1990. 312 น.

11. ลอยต์สยานสกี้ แอล.จี. กลศาสตร์ของของเหลวและก๊าซ อ.: Nauka, 1987. 840 น.

รัฐคาซานได้รับ 23/01/2549

มหาวิทยาลัยเทคนิค หลังแก้ไข 08/15/2549

ลอเรนซ์ดึงดูดใจในกระแสของการเปลี่ยนแปลงที่เรียบง่าย

ในกรอบของแบบจำลองที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้สำหรับการจำลองไดนามิกที่วุ่นวายของตัวกลางต่อเนื่อง จะมีการแสดงตัวดึงดูดลอเรนซ์ การจำลองจะได้รับความช่วยเหลือจากโครงสร้างที่กำหนดรูปทรงของมัดเส้นใยที่เกี่ยวข้องกับระบบการเต้นเป็นจังหวะแบบ 3 มิติ พลศาสตร์ของลอเรนซ์จะปรากฏเป็นการขึ้นต่อกันของเวลาของการเต้นเป็นจังหวะตามเส้นการไหลเฉลี่ย

Mukhamedov Alfarid Mavievich - เกิดที่เมืองคาซาน (1953) สำเร็จการศึกษาจากคณะฟิสิกส์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐคาซาน ภาควิชาแรงโน้มถ่วงและสัมพัทธภาพ (2519) นักศึกษาปริญญาเอกภาควิชาทฤษฎีและกลศาสตร์ประยุกต์ของมหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐคาซานซึ่งตั้งชื่อตาม อ. ตูโปเลฟ ผู้เขียนผลงาน 12 ชิ้นในหัวข้อนี้ รวมถึงเอกสาร "การวิจัยทางวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์" (คาซาน: สำนักพิมพ์ KSTU, 2548, ประพันธ์ร่วมกับ G.D. Tarzimanova) พื้นที่ที่สนใจทางวิทยาศาสตร์: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพลวัตที่วุ่นวาย, เรขาคณิตของท่อร่วมไฟเบอร์, วิธีการทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ปกติแล้วพวกเขาจะพูดแบบนั้น ความวุ่นวายเป็นรูปแบบหนึ่งของระเบียบที่สูงกว่า อย่างไรก็ตาม การพิจารณาความโกลาหลเป็นรูปแบบอื่นของระเบียบนั้นถูกต้องมากกว่า - ในระบบไดนามิกใดๆ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ระเบียบในความเข้าใจปกติจะตามมาด้วยความโกลาหล และความโกลาหลตามมาด้วยระเบียบ ถ้าเรานิยามความโกลาหลว่าเป็นความยุ่งวุ่นวาย เมื่อนั้นในความยุ่งเหยิงเช่นนั้น เราก็จะสามารถเห็นรูปแบบพิเศษของระเบียบของเราเองได้อย่างแน่นอน ตัวอย่างเช่น, ควันบุหรี่ในตอนแรกมันเพิ่มขึ้นในรูปแบบของเสาที่เป็นระเบียบ ภายใต้อิทธิพลของสภาพแวดล้อมภายนอก มันมีรูปร่างที่แปลกประหลาดมากขึ้นเรื่อยๆ และการเคลื่อนไหวของมันก็วุ่นวาย อีกตัวอย่างหนึ่งของความวุ่นวายในธรรมชาติ - ใบไม้จากต้นไม้ใดๆ. อาจแย้งได้ว่าคุณจะพบแผ่นงานที่คล้ายกันหลายแผ่น เช่น ไม้โอ๊ก แต่ไม่มีตัวอักษรที่เหมือนกันสักคู่เดียว ความแตกต่างถูกกำหนดโดยอุณหภูมิ ลม ความชื้น และปัจจัยภายนอกอื่นๆ มากมาย นอกเหนือจากสาเหตุภายในล้วนๆ (เช่น ความแตกต่างทางพันธุกรรม)

ทฤษฎีความโกลาหล

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีความโกลาหล

เครื่องมือทฤษฎีความโกลาหล

ตัวดึงดูดลอเรนซ์

ในปีพ.ศ. 2504 นักอุตุนิยมวิทยาและนักคณิตศาสตร์ เอ็ดเวิร์ด ลอเรนซ์ ซึ่งเสียชีวิตเมื่อวันที่ 16 เมษายน พ.ศ. 2551 ได้ป้อนข้อมูลลงในแบบจำลองสภาพอากาศด้วยคอมพิวเตอร์ที่เขาสร้างขึ้น โดยปัดเศษไม่ใช่ตำแหน่งที่หก แต่เป็นทศนิยมตำแหน่งที่สาม เป็นผลให้มีการกำหนดเอฟเฟกต์ผีเสื้อ มีการค้นพบตัวดึงดูดแปลก ๆ ตัวหนึ่ง ค้นพบความคาดเดาไม่ได้ของพฤติกรรมของระบบกำหนดหลายอย่าง และท้ายที่สุด ทฤษฎีแห่งความโกลาหลก็ถูกสร้างขึ้น

ความเป็นมา: ปีศาจแห่งลาปลาซ

คำถาม: อย่างน้อยก็เป็นไปได้ที่ปีศาจเช่นนั้นจะเป็นไปได้หรือไม่? ความสำเร็จของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำว่าใช่: คำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์, ทำนายการปรากฏตัวของดาวหาง, เหตุการณ์สุ่มอธิบายโดยทฤษฎีความน่าจะเป็น

อย่างไรก็ตาม ต่อมาปีศาจของลาปลาซก็ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรง หลังจากการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมและการค้นพบหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก (เป็นไปไม่ได้ที่จะวัดความเร็วและพิกัดของอนุภาคในเวลาเดียวกันอย่างแม่นยำ) เป็นที่ชัดเจนว่าระบบควอนตัมไม่อยู่ภายใต้ปีศาจ: พวกมันมีพื้นฐาน ความคาดเดาไม่ได้

ต่อมามีการตั้งข้อสังเกตอีกว่าการมีอยู่ของปีศาจจะขัดแย้งกับกฎของอุณหพลศาสตร์ โดยหลักการแล้วมันจะมีพลังข้อมูลไม่เพียงพอสำหรับความรู้และการคำนวณ แม้ว่าจะใช้ทรัพยากรทั้งหมดของจักรวาลก็ตาม

อย่างไรก็ตาม ปีศาจไม่ได้สละตำแหน่งของเขาไปโดยสิ้นเชิง ในความเป็นจริง ขอให้เราจินตนาการถึงระบบที่กำหนดขึ้นอย่างสมบูรณ์ (กำหนดไว้ล่วงหน้า ไร้การสุ่ม) (คลาสสิก โดยไม่มีเอฟเฟกต์ควอนตัม) หากเรารู้กฎทั้งหมดที่ควบคุมพฤติกรรมของมัน (ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน) เราจะรู้พารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดและมีพลังในการคำนวณที่จำเป็น (นั่นคือเรามีปีศาจของ Laplace อยู่ในมือ - อ่านว่า: ซูเปอร์คอมพิวเตอร์) จากนั้นสำหรับสิ่งนั้น เป็นระบบที่เราสามารถทำนายพฤติกรรมได้หมด?

มีข้อแม้ประการหนึ่ง การวัดทั้งหมดของเราจะมีข้อผิดพลาดบางประการ ตัวแปรที่เก็บไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์จะมีความแม่นยำจำกัด นั่นคือคุณจะต้องใช้ข้อมูลโดยประมาณ โอเค เราไม่ต้องการความแม่นยำอันไม่มีที่สิ้นสุด แค่การคาดการณ์โดยประมาณก็เพียงพอแล้ว ข้อมูลต้นฉบับมีข้อผิดพลาดในหลักที่ห้าหรือไม่? ข้อผิดพลาดในการทำนายในหลักที่ห้าจะเหมาะกับเรา

ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ไหมที่จะพยากรณ์อากาศ? อย่างน้อยก็ประมาณ? อย่างน้อยก็ในพื้นที่จำกัด แต่ในช่วงเวลาที่เหมาะสมไม่มากก็น้อย?

ทศนิยมสามตำแหน่ง

เขามีคอมพิวเตอร์ Royal McBee ไว้คอยบริการ ในปี 1960 Lorenz ได้สร้างแบบจำลองสภาพอากาศที่เรียบง่าย แบบจำลองนี้เป็นชุดตัวเลขที่อธิบายค่าของตัวแปรต่างๆ (อุณหภูมิ ความดันบรรยากาศ ความเร็วลม) ในช่วงเวลาที่กำหนด ลอเรนซ์เลือกสมการสิบสองสมการที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเหล่านี้ ค่าของตัวแปรในช่วงเวลาถัดไปขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรในช่วงเวลาก่อนหน้าและคำนวณโดยใช้สมการเหล่านี้ ดังนั้นแบบจำลองจึงถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์

เพื่อนร่วมงานของ Lorenz รู้สึกยินดีกับโมเดลนี้ เครื่องถูกป้อนตัวเลขหลายตัว จากนั้นเริ่มสร้างชุดตัวเลข (ต่อมาลอเรนซ์สอนให้วาดกราฟง่ายๆ) เพื่ออธิบายสภาพอากาศในโลกจินตนาการบางโลก ตัวเลขไม่ซ้ำ - บางครั้งเกือบจะซ้ำกัน ระบบดูเหมือนจะสร้างสถานะเก่าขึ้นมาใหม่ แต่ไม่สมบูรณ์ ไม่มีวงจรเกิดขึ้น กล่าวโดยสรุป สภาพอากาศเทียมนั้นคาดเดาได้ไม่ดี และลักษณะของความไม่แน่นอน (ความไม่แน่นอน) นี้ใกล้เคียงกับสภาพอากาศนอกหน้าต่างโดยประมาณ นักเรียนและครูทำการเดิมพันโดยพยายามคาดเดาว่าแบบจำลองจะเป็นอย่างไรในครั้งต่อไป

ในฤดูหนาวปี 1961 Lorenz ตัดสินใจศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งที่สร้างโดยเครื่องจักรแล้ว เป็นข้อมูลเริ่มต้นเขาป้อนค่าของตัวแปรจากกึ่งกลางของกราฟแล้วออกไปพักผ่อน เครื่องจักรจะต้องสร้างกราฟครึ่งหลังอย่างแม่นยำและสร้างกราฟต่อไป อย่างไรก็ตาม เมื่อกลับมา ลอเรนซ์ก็ค้นพบกราฟที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง หากในตอนแรกเขาทำซ้ำครั้งแรกไม่มากก็น้อย ในตอนท้ายเขาก็ไม่มีอะไรเหมือนกันกับเขา

ความแตกต่างของกราฟสภาพอากาศสองกราฟที่มีต้นกำเนิดจากจุดเดียวกัน ผลงานพิมพ์ของ Lorenz จากปี 1961 ทำซ้ำในหนังสือของ James Gleick เรื่อง Chaos: The Making of a New Science (เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, "Amphora", 2001)

ปรากฎว่าแบบจำลองที่การสุ่มถูกกำจัดออกไปโดยสิ้นเชิงด้วยค่าเริ่มต้นเดียวกัน จะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง เครื่องไม่พังและคำนวณทุกอย่างถูกต้อง Lorenz ไม่ได้พิมพ์ผิดเมื่อป้อนข้อมูล

พบวิธีแก้ไขได้ค่อนข้างรวดเร็ว: ในหน่วยความจำของเครื่อง ค่าของตัวแปรจะถูกจัดเก็บด้วยความแม่นยำระดับทศนิยมหกตำแหน่ง (...,506217) และพิมพ์ออกมาเพียงสามตำแหน่งเท่านั้น (...,506) แน่นอนว่าลอเรนซ์แนะนำค่าที่ปัดเศษ โดยถือว่าสมเหตุสมผลว่าความแม่นยำดังกล่าวค่อนข้างเพียงพอ

มันกลับกลายเป็นว่าไม่ “...โดมิโนตัวเล็กล้มลง...โดมิโนตัวใหญ่...โดมิโนขนาดใหญ่ที่เชื่อมโยงกันด้วยสายโซ่นับไม่ถ้วนที่ประกอบกันเป็นกาลเวลา” เรย์ แบรดเบอรีเขียนไว้ในเรื่อง “A Sound of Thunder” ที่โด่งดังในปี 1952 สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในโมเดล Lorentz โดยประมาณ ระบบกลายเป็นระบบที่ไวต่ออิทธิพลเพียงเล็กน้อย

เอฟเฟกต์ผีเสื้อ

ความโกลาหลและความคาดเดาไม่ได้มาจากไหนในระบบที่กำหนดขึ้น? ตั้งแต่ความไวสูงไปจนถึงสภาวะเริ่มต้น อิทธิพลเพียงเล็กน้อยที่ไม่สามารถกำจัดได้ - การปัดเศษของตัวแปร (หากเป็นแบบจำลองเชิงทฤษฎี) ข้อผิดพลาดในการวัด (หากเป็นการศึกษาระบบจริง) - และระบบมีพฤติกรรมแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ลอเรนซ์ยกตัวอย่างที่ชัดเจนว่า หากสภาพอากาศจัดอยู่ในกลุ่มของระบบที่มีความละเอียดอ่อนดังกล่าวจริงๆ (แน่นอนว่า ไม่ใช่ทุกระบบที่เป็นแบบนั้น) การกระพือปีกของนกนางนวลอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพอากาศที่เห็นได้ชัดเจน ต่อมานกนางนวลก็ถูกแทนที่ด้วยผีเสื้อ และในปี 1972 ความสามารถในการทำนาย: การกระพือปีกของผีเสื้อในบราซิลทำให้เกิดพายุทอร์นาโดในเท็กซัสได้หรือไม่

นี่คือที่มาของคำว่า "เอฟเฟกต์ผีเสื้อ" อันโด่งดัง ซึ่งหมายถึงทั้งเรื่องราวของแบรดเบอรีและที่น่าแปลกใจคือการค้นพบครั้งต่อไปของลอเรนซ์ - ผู้ดึงดูดแปลก ๆ ที่ได้รับการตั้งชื่อตามเขา

โครงสร้างที่ไม่คาดคิด

ลอเรนซ์สร้างแบบจำลองสมการ 3 ตัวที่คล้ายกันแต่เรียบง่ายกว่าโดยมีตัวแปร 3 ตัว แบบจำลองนี้อธิบายการพาความร้อนในก๊าซและของเหลว รวมถึงพฤติกรรมของอุปกรณ์กลไกอย่างง่าย - กังหันน้ำ Lorentz (ดูภาพประกอบ) ภายใต้แรงกดดันของน้ำที่เติมภาชนะ (และไหลออกมาจากรูเล็ก ๆ ) ล้อจะทำงานในลักษณะที่ซับซ้อนอย่างน่าประหลาดใจ: มันหมุนช้าลง, เร่งความเร็วขึ้น, เริ่มหมุนไปในทิศทางอื่น, หยุด - โดยทั่วไป เหมาะสมกับระบบที่วุ่นวายในการเคารพตนเอง

สมการมีลักษณะเช่นนี้
dx/dt = ส(y - x)
dy/dt = x(r - z) - y
dz/dt = xy - bz
ส=10, r=28, ข=8/3 คุณสามารถรับค่าพารามิเตอร์อื่นได้ แต่ไม่ใช่สำหรับค่าทั้งหมดระบบจะแสดงพฤติกรรมที่วุ่นวาย

ในการแสดงพฤติกรรมของระบบด้วยสายตา Lorenz ไม่ได้ใช้กราฟเวลาธรรมดา แต่เป็นแนวตั้งของเฟส ตัวเลขสามตัวที่อธิบายสถานะของระบบระบุพิกัดของจุดในพื้นที่สามมิติ ในแต่ละขั้นตอน จุดใหม่จะปรากฏขึ้นบนแนวตั้งของเฟส

หากระบบมีความเสถียรสมบูรณ์ไม่ช้าก็เร็ว การเพิ่มคะแนนจะต้องหยุดลงโดยสิ้นเชิงไม่ช้าก็เร็ว หากแกว่งเป็นระยะ เส้นจุดจะก่อตัวเป็นวงแหวน สุดท้ายนี้ หากไม่มีรูปแบบใดๆ เลยในพฤติกรรมของระบบ อะไรก็อาจปรากฏในภาพบุคคลของเฟสได้

ผลลัพธ์เป็นสิ่งที่คาดไม่ถึงโดยสิ้นเชิง วัตถุที่ปรากฏในภาพบุคคล (ดูภาพประกอบหลัก) ตั้งอยู่ในขอบเขตที่กำหนดโดยไม่ต้องข้ามไป มันมีโครงสร้างบางอย่าง - มันดูเหมือนปีกทั้งสองของผีเสื้อ - แต่ภายในขอบเขตของมันมันก็ไม่เป็นระเบียบโดยสิ้นเชิง มันไม่ได้หยุด "การพัฒนา": ไม่ใช่จุดใหม่เพียงจุดเดียวที่สอดคล้องกับจุดก่อนหน้า แต่ภาพเฟสจะถูกสร้างขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด การเปลี่ยนจากปีกข้างหนึ่งไปอีกปีกหนึ่งสอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของการหมุนของล้อไปในทิศทางอื่น

วัตถุดังกล่าวซึ่งเป็นตัวดึงดูดที่แปลกประหลาดมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตแฟร็กทัลและทฤษฎีความโกลาหล "ปีกผีเสื้อ" เรียกว่า "ตัวดึงดูดลอเรนซ์"

เอฟเฟกต์ผีเสื้อ: ถ่ายภาพบุคคลในระยะ 3 จุดเวลา เส้นสีเหลืองและสีน้ำเงินแสดงถึงวิถีที่สอดคล้องกับชุดข้อมูลเริ่มต้นซึ่งค่า x แตกต่างกัน 10 -5 . ตอนแรกเส้นเกือบจะตรงกัน (สีเหลืองปิดด้วย

ทฤษฎีความโกลาหล

สิ่งที่น่าตกใจประการที่สองคือในความสับสนวุ่นวายนี้ ปรากฎว่ามีความเป็นระเบียบซ่อนอยู่ ไม่คาดคิด แปลก เข้าใจได้ไม่ดี เป็นตัวแทนของ "โครงสร้างที่ละเอียดอ่อนที่ซ่อนอยู่ในกระแสข้อมูลที่วุ่นวาย" (J. Gleick) แต่สิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่านั้นคือ ตัวดึงดูด Lorentz ไม่สามารถแก้ปัญหาการทำนายได้ แต่การมีอยู่ของมันนั้นคุ้มค่าที่จะศึกษา

การค้นหาการสำแดงความเป็นระเบียบในความโกลาหลดังกล่าวเป็นจุดสนใจของวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างใหม่ นั่นคือทฤษฎีความโกลาหล มันไม่ได้เกิดขึ้นทันทีและไม่มีผู้สร้างคนใดคนหนึ่ง รากฐานของมันวางอยู่ในผลงานของ Poincaré, Kolmogorov, Arnold, Lyapunov, Landau, Smail, Mandelbrot, Feigenbaum และนักวิทยาศาสตร์ผู้มีความสามารถอีกหลายสิบคนที่ได้เห็นสิ่งที่ไม่มีใครเคยเห็นมาก่อนหรือสามารถอธิบายสิ่งที่คนอื่นเห็นได้

หนึ่งในช่วงเวลาสำคัญ (ไม่ได้รับการชื่นชมในทันที) ในการปรากฏตัวของมันถือเป็นวันที่ Edward Norton Lorenz ผู้รักสภาพอากาศและผู้แสวงหาสิ่งแปลก ๆ อย่างต่อเนื่องแนะนำค่าตัวแปรที่ปัดเศษเป็นทศนิยมสามตำแหน่งลงในของเขา แบบอย่าง.

ระบบลอเรนซ์เป็นระบบสามมิติของสมการเชิงอนุพันธ์อิสระแบบไม่เชิงเส้น ระบบพลวัตได้รับการศึกษาโดย Edward Lorenz ในปี 1963 สาเหตุหลักที่ทำให้เกิดความสนใจในระบบสมการลอเรนซ์ก็คือพฤติกรรมที่วุ่นวายของมัน ระบบสมการเขียนอยู่ในรูป

โดยที่ q, r, b > 0 จากการรวมระบบ มีการระบุรูปแบบที่ระบุด้านล่างนี้

สำหรับ r>0 และ r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).

ข้าว. 1.ตัวดึงดูดที่เสถียร r>0 และ r<1

เมื่อ r เข้าใกล้ 1 การชะลอตัวแบบวิกฤตจะเกิดขึ้น เมื่อ r เกินค่า 1 การแยกไปสองทางแรกจะเกิดขึ้น ต้นกำเนิดของพิกัดสูญเสียความเสถียรและมีตัวดึงดูดสองตัวแยกตัวออกจากมัน (รูปที่ 2) ทั้งในระดับโลกและในระดับท้องถิ่น

ข้าว. 2.ตัวดึงดูดที่เสถียรสองตัว r>1

ในกรณีที่ร<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1.345 – โฟกัส (รูปที่ 4)

ข้าว. 3.สองโหนด r=1.3

ข้าว. 4.สองโฟกัส r=10

เมื่อ r เพิ่มขึ้นเป็นค่า 13.926 วิถีโคจรที่ไม่เสถียรสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดกำเนิดจะกลับไปยังจุดกำเนิดเมื่อ t มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด และพวกมันก็เลิกเป็นผู้ดึงดูดทั่วโลก

ในกรณีของ r=13.927 จุดสามารถเคลื่อนที่แบบสั่นจากย่านหนึ่งไปยังอีกย่านหนึ่งและย้อนกลับได้ พฤติกรรมนี้เรียกว่า metastable chaos หรือ homoclinic loop (รูปที่ 5)

ข้าว. 5.โฮโมคลินิกลูป r=13.927

เมื่อ r>13.927 ขึ้นอยู่กับทิศทาง วิถีโคจรจะมาถึงจุดใดจุดหนึ่งในสองจุดที่มั่นคง โฮโมคลินิกวนซ้ำจะเสื่อมลงเป็นวงจรจำกัดที่ไม่เสถียร และกลุ่มของวิถีโคจรที่ซับซ้อนซึ่งไม่ใช่ตัวดึงดูดก็เกิดขึ้นเช่นกัน การแยกไปสองทางของวิถีโฮโมคลินิกเกิดขึ้นพร้อมกับการก่อตัวของสองรอบที่ไม่เสถียร (รูปที่ 6)

ข้าว. 6.สองรอบไม่เสถียร r>13.927

ด้วยค่า r=24.06 วิถีโคจรไม่ได้นำไปสู่จุดที่คงที่ แต่จะเข้าใกล้วงจรจำกัดที่ไม่เสถียรเชิงกำกับสัญญาณ - ตัวดึงดูด Lorentz จะปรากฏขึ้นเอง (รูปที่ 7)

ข้าว. 7.ตัวดึงดูดลอเรนซ์ r=24.06

ในกรณีของ r>24.06 จะเกิดการแยกไปสองทางอื่น อย่างไรก็ตาม จุดเสถียรทั้งสองจุดจะถูกรักษาไว้จนถึงค่า r=24.74

ที่ r=24.74 การผกผันของการแยกไปสองทางของ Hopf เกิดขึ้นเมื่อ r>24.74 “ตัวดึงดูดแปลก ๆ” ยังคงอยู่ (รูปที่ 8)

ข้าว. 8.ตัวดึงดูดแปลกๆ ของลอเรนซ์ r>24.74

เมื่อ r เพิ่มขึ้นเป็น 100 จะสังเกตโหมดการสั่นได้เอง (รูปที่ 9)

ข้าว. 9.โหมดสั่นตัวเอง r=100

เมื่อ r เพิ่มขึ้นเป็นค่า 225 จะเกิดน้ำตกของวงจรที่แยกไปสองทางเป็นสองเท่า (รูปที่ 10)

ข้าว. 10.วงจรเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า, r=225

ข้าว. สิบเอ็ดสารละลายคาบไม่สมมาตรสองค่า r=300

ที่ค่า r มาก จะมีวงจรสมมาตรในระบบ (รูปที่ 12)

ข้าว. 12.วงจรสมมาตร r=400

โปรแกรม "Lorenz - โปรแกรมสำหรับศึกษาระบบ Lorenz" ซึ่งใช้งานในสภาพแวดล้อมการพัฒนา Turbo C++ ช่วยให้คุณสามารถจำลองระบบ Lorenz ได้ การสร้างภาพบุคคลในเฟสและกราฟของการพึ่งพาการแก้ปัญหาตามเวลา t ขึ้นอยู่กับวิธี Runge-Kutta ลำดับที่สาม อินเทอร์เฟซของโปรแกรมแสดงในรูปที่ 13

ข้าว. 13.

การสร้างแบบจำลองพฤติกรรมของระบบ Lorenz โดยใช้โปรแกรม Lorenz เกี่ยวข้องกับการทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ (รูปที่ 14):

• กำหนดพิกัดเริ่มต้น (x0,y0,z0)
• กำหนดขั้นตอนการรวม h และจำนวนการวนซ้ำ i;
• ตั้งค่าสัมประสิทธิ์ q, r, b;
• (ไม่บังคับ) ตั้งค่าตัวบ่งชี้ "รายละเอียด" เพื่อรับรายละเอียดวิธีแก้ปัญหา
• คลิกปุ่ม "คำนวณ";
• (ไม่บังคับ) ดับเบิลคลิกที่รูปภาพที่ได้เพื่อคัดลอกไปยังคลิปบอร์ด

ข้าว. 14.

ตัวอย่างการสร้างแบบจำลองพฤติกรรมของระบบ Lorenz โดยใช้โปรแกรม Lorenz แสดงในรูปที่ 15

ข้าว. 15.

วรรณกรรม

1. Arkhangelsky A.Ya. การเขียนโปรแกรมใน C++ Builder – อ.: บินอม-เพรส, 2010. – 1304 น.
2. เคอร์ยานอฟ ดี. แมทแคด 15/แมทแคด ไพรม์ 1.0 – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BHV-Petersburg, 2012. – 432 น.
3. อาร์โนลด์ วี.ไอ. สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ – อ.: MTsNMO, 2012. – 344 หน้า

รายชื่อโปรแกรม

1. MassTextReplacer - โปรแกรมสำหรับไฟล์ข้อความที่เปลี่ยนแปลงจำนวนมาก
2. Lorenz - โปรแกรมสำหรับศึกษาระบบ Lorenz

โซลูชั่นของระบบที่ ร=24,06

โซลูชั่นของระบบที่ ร=28 - อันที่จริง นี่คือตัวดึงดูดของลอเรนซ์

โซลูชั่นของระบบที่ ร=100 - มองเห็นโหมดการสั่นของตัวเองในระบบ

ในปัญหาการพาความร้อน แบบจำลองเกิดขึ้นเมื่อความเร็วการไหลและอุณหภูมิถูกขยายออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์สองมิติ และ "การตัดแต่ง" ตามมาอย่างแม่นยำจนถึงฮาร์โมนิกตัวแรกและตัวที่สอง นอกจากนี้ ระบบสมการอุทกพลศาสตร์ที่สมบูรณ์ที่กำหนดให้เขียนไว้ในการประมาณแบบ Boussinesq การตัดแต่งซีรีส์นี้มีความสมเหตุสมผลในระดับหนึ่งเนื่องจาก Solzman ในงานของเขาแสดงให้เห็นว่าไม่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจใด ๆ ในพฤติกรรมของฮาร์โมนิกส่วนใหญ่

การบังคับใช้และความสอดคล้องกับความเป็นจริง

ให้เราแสดงความหมายทางกายภาพของตัวแปรและพารามิเตอร์ในระบบสมการที่เกี่ยวข้องกับปัญหาดังกล่าว

• การพาความร้อนเป็นชั้นแบนที่นี่ xรับผิดชอบความเร็วการหมุนของเพลาน้ำ ยและ z- สำหรับการกระจายอุณหภูมิในแนวนอนและแนวตั้ง ร- หมายเลข Rayleigh ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน, σ - หมายเลข Prandtl (อัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของความหนืดจลนศาสตร์ต่อค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายความร้อน) ขมีข้อมูลเกี่ยวกับเรขาคณิตของเซลล์หมุนเวียน
• การพาความร้อนในวงปิดที่นี่ x- ความเร็วการไหล ย- การเบี่ยงเบนของอุณหภูมิจากค่าเฉลี่ยที่จุด 90° จากจุดล่างสุดของวงรอบ z- เหมือนกัน แต่อยู่ที่จุดต่ำสุด ความร้อนจะถูกส่งไปที่จุดต่ำสุด
• การหมุนของกังหันน้ำเราพิจารณาปัญหาของล้อที่ขอบซึ่งมีตะกร้ามีรูอยู่ที่ด้านล่าง ด้านบนของวงล้อ สมมาตรกระแสน้ำไหลอย่างต่อเนื่องสัมพันธ์กับแกนการหมุน ปัญหาจะเทียบเท่ากับปัญหาก่อนหน้าโดยพลิกคว่ำโดยอุณหภูมิถูกแทนที่ด้วยความหนาแน่นของการกระจายตัวของมวลน้ำในตะกร้าตามขอบ
• เลเซอร์โหมดเดียวที่นี่ x- ความกว้างของคลื่นในช่องเลเซอร์ ย- โพลาไรซ์ z- การผกผันของระดับพลังงานของประชากร ขและ σ คืออัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์การผกผันและการผ่อนคลายของสนามต่อค่าสัมประสิทธิ์การผ่อนคลายของโพลาไรเซชัน ร- ความเข้มของการสูบน้ำ

เป็นเรื่องที่น่าสังเกตว่าในส่วนที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการพาความร้อน แบบจำลองลอเรนซ์เป็นการประมาณคร่าวๆ ซึ่งยังห่างไกลจากความเป็นจริงมาก มีความสอดคล้องที่เพียงพอไม่มากก็น้อยในภูมิภาคของรูปแบบปกติ โดยที่สารละลายที่เสถียรสะท้อนภาพเชิงคุณภาพที่สังเกตได้จากการทดลองของม้วนการพาความร้อนที่หมุนสม่ำเสมอ (เซลล์ Benard) รูปแบบที่วุ่นวายในแบบจำลองไม่ได้อธิบายถึงการพาความร้อนแบบปั่นป่วน เนื่องจากการตัดอนุกรมตรีโกณมิติดั้งเดิมออกอย่างมีนัยสำคัญ

สิ่งที่น่าสนใจคือแบบจำลองมีความแม่นยำมากขึ้นอย่างเห็นได้ชัดพร้อมการปรับเปลี่ยนบางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งใช้เพื่ออธิบายการพาความร้อนในชั้นที่มีการสั่นสะเทือนในทิศทางแนวตั้งหรืออิทธิพลทางความร้อนที่แปรผัน การเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขภายนอกดังกล่าวนำไปสู่การปรับสัมประสิทธิ์ในสมการ ในกรณีนี้ องค์ประกอบฟูริเยร์ความถี่สูงของอุณหภูมิและความเร็วจะถูกระงับอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งปรับปรุงความพอดีระหว่างแบบจำลอง Lorentz และระบบจริง

โชคของ Lorentz ในการเลือกค่าพารามิเตอร์นั้นเป็นสิ่งที่น่าสังเกต r (\displaystyle r)เนื่องจากระบบมาถึงตัวดึงดูดแปลก ๆ เฉพาะค่าที่มากกว่า 24.74 เท่านั้น สำหรับค่าที่น้อยกว่าพฤติกรรมจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ลักษณะการทำงานของโซลูชันระบบ

ให้เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของคำตอบของระบบ Lorentz สำหรับค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์ r ภาพประกอบในบทความแสดงผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขสำหรับจุดที่มีพิกัดเริ่มต้น (10,10,10) และ (-10,-10,10) การจำลองดำเนินการโดยใช้โปรแกรมด้านล่าง ซึ่งเขียนด้วยภาษา Fortran โดยวางแผนโดยใช้ตารางผลลัพธ์ เนื่องจากความสามารถด้านกราฟิกที่อ่อนแอของ Fortran โดยใช้ Compaq Array Viewer

• ร<1 - ตัวดึงดูดเป็นจุดกำเนิดของพิกัดไม่มีจุดคงที่อื่น ๆ

• 1<ร<13,927 - วิถีการเคลื่อนที่เป็นเกลียว (ซึ่งสอดคล้องกับการสั่นแบบหน่วง) ถึงสองจุด ตำแหน่งที่กำหนดโดยสูตร:

( x = ± b (r − 1) y = ± b (r − 1) z = r − 1 (\displaystyle (\begin(cases)x=\pm (\sqrt (b(r-1)))\ \y=\pm (\sqrt (b(r-1)))\\z=r-1\end(กรณี)))

จุดเหล่านี้จะกำหนดสถานะของระบบการพาความร้อนแบบคงที่ เมื่อโครงสร้างของเพลาของเหลวที่กำลังหมุนถูกสร้างขึ้นในชั้น

• ร≈13,927 - หากวิถีออกจากจุดกำเนิดของพิกัดจากนั้นเมื่อทำการปฏิวัติเต็มรูปแบบรอบจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่งแล้วมันจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น - มีห่วงโฮโมคลินิกสองห่วงเกิดขึ้น แนวคิด วิถีโฮโมคลินิกหมายความว่ามันออกไปและมาถึงตำแหน่งสมดุลเดียวกัน

• ร>13,927 - ขึ้นอยู่กับทิศทาง วิถีจะมาถึงจุดมั่นคงจุดใดจุดหนึ่งจากสองจุด โฮโมคลินิกลูปเสื่อมลงเป็นวงจรจำกัดที่ไม่เสถียร และตระกูลของวิถีโคจรที่จัดเรียงอย่างซับซ้อนก็เกิดขึ้นเช่นกัน ซึ่งไม่ใช่ตัวดึงดูด แต่ในทางกลับกัน จะขับไล่วิถีโคจรจากตัวมันเอง บางครั้งโดยการเปรียบเทียบ โครงสร้างนี้เรียกว่า "ผู้ขับไล่แปลก" (อังกฤษ. เพื่อขับไล่- ผลักออกไป)

• ร≈24,06 - วิถีตอนนี้ไม่ได้นำไปสู่จุดคงที่ แต่เข้าใกล้วงจรจำกัดที่ไม่เสถียรแบบเชิงเส้นกำกับ - ตัวดึงดูด Lorentz ปรากฏขึ้นเอง อย่างไรก็ตาม จุดคงที่ทั้งสองจุดจะถูกรักษาไว้ตามค่า ร≈24,74.

ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่สูง วิถีจะเกิดการเปลี่ยนแปลงร้ายแรง Shilnikov และ Kaplan แสดงให้เห็นว่ามีขนาดใหญ่มาก รระบบจะเข้าสู่โหมดการสั่นในตัวเอง และหากพารามิเตอร์ลดลง การเปลี่ยนแปลงไปสู่ความโกลาหลจะถูกสังเกตโดยลำดับการเพิ่มระยะเวลาการสั่นเป็นสองเท่า

ความสำคัญของแบบจำลอง

แบบจำลอง Lorentz เป็นตัวอย่างทางกายภาพที่แท้จริงของระบบไดนามิกที่มีพฤติกรรมวุ่นวาย ตรงกันข้ามกับการแมปที่สร้างขึ้นโดยมนุษย์ (“ฟันเลื่อย”, “กันสาด”, การเปลี่ยนแปลงของคนทำขนมปัง, การทำแผนที่ Feigenbaum ฯลฯ)

โปรแกรมที่จำลองพฤติกรรมของระบบลอเรนซ์

#รวม #รวม โมฆะหลัก () ( double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1; double dt = 0.0001; int a = 5, b = 15, c = 1; int gd = DETECT, gm; initgraph (& gd , & gm , "C: \\ BORLANDC \\ BGI" ); ทำ ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; ใส่พิกเซล ((int )(19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ), (int )(- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ), 9 ); ) ในขณะที่ (! kbhit ()); closegraph (); )

ข้อมูล = ตาราง [ ด้วย [( N = 1,000 , dt = 0.01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 ), NestList [ โมดูล [( x , y , z , x1 , y1 , z1 ), ( x , y , z ) = # ; x1 = x + ก (- x + y ) dt ; y1 = y + (ข x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; ( x1 , y1 , z1 )] & , ( 3.051522 , 1.582542 , 15.62388 ), N ] ], ( เจ , 0 , 5 )]; Graphics3D @ MapIndexed [( ฮิว [ 0.1 แรก [ # 2 ]], จุด [ # 1 ]) & , ข้อมูล ]

< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv = เอกสาร getElementById("cnv"); var cx = cnv getContext("2d"); วาร์ x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1; var dt = 0.0001 ; วาร์ ก = 5, ข = 15, ค = 1; var h = parseInt (cnv .getAttribute ( "ความสูง" )); var w = parseInt (cnv .getAttribute ( "ความกว้าง" )); var id = cx createImageData(w, h); var rd = คณิตศาสตร์ กลม ; var idx = 0 ; ผม = 1000000 ; ในขณะที่ (i -- ) ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (รอบ (19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ) + รอบ (- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ) * w ); id . ข้อมูล [ idx + 3 ] = 255 ; ) cx ใส่ImageData(id, 0, 0);