วงกลมของไซน์และโคไซน์ที่มีเครื่องหมาย คุณสมบัติไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ค่าของโคไซน์คืออะไร

วงกลมตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการด้วยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

คำจำกัดความของคำนี้คืออะไร วิธีสร้างวงกลมที่กำหนด วิธีกำหนดหนึ่งในสี่ในตรีโกณมิติ วิธีหามุมในวงกลมตรีโกณมิติที่สร้างขึ้น เราจะพูดถึงสิ่งนี้และอีกมากมายในภายหลัง

วงกลมตรีโกณมิติ

รูปแบบตรีโกณมิติของวงกลมตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์คือวงกลมที่มีรัศมีเดียวอยู่กึ่งกลางที่จุดกำเนิดของระนาบพิกัด ตามกฎแล้วมันถูกสร้างขึ้นโดยช่องว่างของสูตรไซน์ที่มีโคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนระบบพิกัด

จุดประสงค์ของทรงกลมดังกล่าวที่มีสเปซ n มิติคือต้องขอบคุณฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สามารถอธิบายได้ ดูเหมือนง่าย: วงกลมภายในซึ่งมีระบบพิกัดและสามเหลี่ยมหลายรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากวงกลมนี้โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

มุมมองสามเหลี่ยมมุมฉากคือมุมมองหนึ่งที่มีมุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ 90 ° มันเกิดจากขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่มีค่าตรีโกณมิติทั้งหมด ขาเป็นรูปสามเหลี่ยมสองด้านที่อยู่ประชิดมุม 90 องศา และด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งยาวกว่าขาเสมอ

ไซน์คืออัตราส่วนของขาข้างหนึ่งต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนของขาอีกข้างหนึ่ง และแทนเจนต์คืออัตราส่วนของขาทั้งสองข้าง ทัศนคติเป็นสัญลักษณ์ของการแบ่งแยก นอกจากนี้ แทนเจนต์คือการแบ่งมุมแหลมด้วยไซน์กับโคไซน์ โคแทนเจนต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับแทนเจนต์

สูตรสำหรับสองอัตราส่วนสุดท้ายมีดังนี้: tg (a) = sin (a) / cos (a) และ ctg (a) = cos (a) / sin (a)

การสร้างหน่วยวงกลม

การสร้างวงกลมหน่วยจะลดลงเป็นรูปวาดโดยมีรัศมีหน่วยอยู่ตรงกลางของระบบพิกัด จากนั้น ในการสร้าง คุณต้องนับมุมและหมุนทวนเข็มนาฬิกา ไปรอบๆ วงกลมทั้งหมด แล้ววางพิกัดที่สอดคล้องกับมุมเหล่านั้น

การก่อสร้างเริ่มต้นหลังจากวาดวงกลมและกำหนดจุดศูนย์กลางโดยการวางระบบพิกัด OX จุด O บนแกนพิกัดคือไซน์ และ X คือโคไซน์ ดังนั้นพวกเขาจึงเป็น abscissa และ สังฆราช จากนั้นคุณต้องทำการวัด ∠ แสดงเป็นองศาและเรเดียน

ง่ายต่อการแปลตัวบ่งชี้เหล่านี้ - วงกลมเต็มเท่ากับสองไพเรเดียน มุมจากศูนย์ทวนเข็มนาฬิกาด้วยเครื่องหมาย + และ ∠ ไปตามเข็มนาฬิกาจาก 0 ด้วยเครื่องหมาย - ค่าไซน์-โคไซน์ที่เป็นบวกและลบจะทำซ้ำทุกรอบของวงกลม

มุมบนวงกลมตรีโกณมิติ

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญทฤษฎีของวงกลมตรีโกณมิติ คุณต้องเข้าใจว่า ∠ ถูกนับอย่างไรและวัดได้อย่างไร ถือว่าง่ายมาก

วงกลมแบ่งออกเป็นสี่ส่วนโดยระบบพิกัด แต่ละส่วนมีรูปแบบ ∠ 90 ° ครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้มีค่าเท่ากับ 45 องศา ดังนั้นวงกลมสองส่วนจะเท่ากับ 180 ° และสาม - 360 ° วิธีการใช้ข้อมูลนี้?

หากจำเป็นต้องแก้ปัญหาการหา ∠ ให้หันไปใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสามเหลี่ยมและกฎพื้นฐานของพีทาโกรัสที่เกี่ยวข้อง

มุมวัดเป็นเรเดียน:

• จาก 0 ถึง 90 ° - ค่ามุมจาก 0 ถึง ∏ / 2;
• จาก 90 ถึง 180 ° - ค่ามุมจาก ∏ / 2 ถึง ∏;
• จาก 180 ถึง 270 ° - จาก ∏ ถึง 3 * ∏ / 2;
• ไตรมาสสุดท้ายจาก 270 0 ถึง 360 0 - ค่าจาก 3 * ∏ / 2 ถึง 2 * ∏

หากต้องการทราบการวัดเฉพาะ แปลงเรเดียนเป็นองศา หรือในทางกลับกัน คุณควรใช้วิธีโกงข้อมูล

การแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียน

สามารถวัดมุมเป็นองศาหรือเรเดียนได้ จะต้องตระหนักถึงความเชื่อมโยงระหว่างความหมายทั้งสอง ความสัมพันธ์นี้แสดงเป็นตรีโกณมิติโดยใช้สูตรพิเศษ ต้องขอบคุณความเข้าใจในความสัมพันธ์ คุณจึงสามารถเรียนรู้วิธีควบคุมมุมอย่างรวดเร็วและเปลี่ยนจากองศาเป็นเรเดียนกลับได้

ในการค้นหาว่าเรเดียนคืออะไร คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

1 ดีใจ. = 180 / ∏ = 180 / 3.1416 = 57.2956

ในที่สุด 1 เรเดียนเท่ากับ 57 ° และ 1 องศาเท่ากับ 0.0175 เรเดียน:

1 องศา = (∏ / 180) rad = 3.1416 / 180 rad = 0.0175 rad.

โคไซน์, ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

โคไซน์ที่มีไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ - ฟังก์ชันของมุมอัลฟาตั้งแต่ 0 ถึง 360 องศา แต่ละฟังก์ชันมีค่าบวกหรือลบขึ้นอยู่กับขนาดของมุม พวกเขาเป็นสัญลักษณ์ของความสัมพันธ์กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นในวงกลม

การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย ... "
และสำหรับผู้ที่ "สม่ำเสมอมาก ... ")

เกือบจะเหมือนกับในบทเรียนที่แล้ว มีแกน วงกลม มุม ทุกอย่างคือคาง-ชินาเร็ม เพิ่มจำนวนไตรมาส (ที่มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่) - จากที่หนึ่งถึงสี่ แล้วจู่ๆใครก็ไม่รู้? อย่างที่คุณเห็น ไตรมาส (เรียกอีกอย่างว่าคำว่า "จตุภาค") ที่สวยงามจะมีเลขทวนเข็มนาฬิกา เพิ่มค่ามุมบนแกน ทุกอย่างชัดเจนไม่มีปัญหา

และมีการเพิ่มลูกศรสีเขียว พร้อมบวก. มันหมายความว่าอะไร? ผมขอเตือนคุณว่าด้านคงที่ของมุม เสมอ ตอกไปยังครึ่งแกน OX ที่เป็นบวก ดังนั้น หากเราบิดด้านที่เคลื่อนที่ได้ของมุม บวกลูกศร, เช่น. เรียงจากน้อยไปมากของตัวเลขไตรมาส มุมจะถือเป็นบวกตัวอย่างเช่น รูปภาพแสดงมุมบวกที่ +60 °

ถ้าเราเลื่อนโค้ง ในทิศทางตรงกันข้ามตามเข็มนาฬิกา มุมจะถือเป็นลบเลื่อนเคอร์เซอร์ไปที่รูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) คุณจะเห็นลูกศรสีน้ำเงินพร้อมเครื่องหมายลบ นี่คือทิศทางการอ่านค่าลบของมุม แสดงมุมลบ (- 60 °) เป็นตัวอย่าง และคุณจะเห็นว่าตัวเลขบนแกนเปลี่ยนไปอย่างไร ... ฉันยังแปลมันเป็นมุมลบด้วย การนับเลขจตุภาคไม่เปลี่ยนแปลง

นี่คือจุดเริ่มต้นของความเข้าใจผิดครั้งแรก ยังไง !? แล้วถ้ามุมลบบนวงกลมตรงกับมุมบวกล่ะ !? และโดยทั่วไปปรากฎว่าตำแหน่งเดียวกันของด้านที่เคลื่อนที่ (หรือจุดบนวงกลมตัวเลข) สามารถเรียกได้ว่าเป็นทั้งมุมลบและมุมบวก !?

ใช่. อย่างแน่นอน. สมมุติว่ามุมบวก 90 องศาอยู่บนวงกลม เหมือนเดิมทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบลบ 270 องศา มุมบวก เช่น +110 ° องศา ใช้เวลา เหมือนเดิมทุกประการ ตำแหน่งเป็นมุมลบ -250 °

ไม่มีปัญหา. ทุกอย่างถูกต้อง) การเลือกแคลคูลัสบวกหรือลบของมุมขึ้นอยู่กับสภาพของงาน ถ้าเงื่อนไขไม่บอกอะไร ในข้อความธรรมดา เกี่ยวกับเครื่องหมายของมุม (เช่น "กำหนดจุดเล็กที่สุด เชิงบวกมุม " ฯลฯ ) จากนั้นเราก็ทำงานด้วยค่านิยมที่สะดวกสำหรับเรา

ข้อยกเว้น (และอย่างไรถ้าไม่มีพวกมัน?!) คือความไม่เท่าเทียมกันของวิชาตรีโกณมิติ แต่ที่นั่นเราจะเชี่ยวชาญเคล็ดลับนี้

ตอนนี้คำถามสำหรับคุณ ฉันรู้ได้อย่างไรว่าตำแหน่งมุม 110 ° เหมือนกับตำแหน่งมุม -250 °
ฉันจะบอกใบ้ว่านี่เป็นเพราะการหมุนเวียนเต็มจำนวน 360 ° ... ไม่ชัดเจน? จากนั้นวาดวงกลม เราวาดบนกระดาษด้วยตัวเอง ทำเครื่องหมายมุม เกี่ยวกับ 110 องศา และ พิจารณาเหลือเท่าไหร่จนกว่าจะมียอดซื้อขายเต็ม มันจะยังคงอยู่เพียง 250 ° ...

เข้าใจแล้ว? และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ถ้ามุม 110 ° และ -250 ° อยู่บนวงกลม เหมือนกัน ตำแหน่ง แล้วไง ใช่ ที่มุม 110 ° และ -250 ° เหมือนเดิมทุกประการ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!
เหล่านั้น. sin110 ° = บาป (-250 °), ctg110 ° = ctg (-250 °) เป็นต้น ตอนนี้สำคัญมาก! และในตัวของมันเอง มีงานมากมายที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น และเป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาสูตรการย่อขนาดและภูมิปัญญาอื่นๆ ของตรีโกณมิติ

เห็นได้ชัดว่าฉันสุ่ม 110 °และ -250 °เป็นตัวอย่างเท่านั้น ความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ใช้ได้กับทุกมุมที่มีตำแหน่งเดียวกันบนวงกลม 60 °และ -300 °, -75 °และ 285 ° เป็นต้น ฉันจะสังเกตทันทีว่ามุมในคู่เหล่านี้ - หลากหลาย.แต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของพวกมันคือ - เหมือน.

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมลบคืออะไร มันค่อนข้างง่าย ทวนเข็มนาฬิกา - นับบวก ระหว่างทาง - เชิงลบ พิจารณามุมบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเรา... จากความปรารถนาของเรา แน่นอน และจากงานด้วย ... ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีเปลี่ยนจากมุมลบเป็นมุมบวกในฟังก์ชันตรีโกณมิติและในทางกลับกัน วาดวงกลม มุมโดยประมาณ และดูว่าเทิร์นเต็มขาดไปเท่าไหร่ กล่าวคือ สูงถึง 360 °

มุมมากกว่า 360 °

มาจัดการมุมที่มากกว่า 360° กัน และมีดังกล่าว? มีแน่นอน วิธีการวาดพวกเขาบนวงกลม? ไม่มีปัญหา! สมมุติว่าเราต้องหาว่ามุม 1,000 ° จะตกลงไปในสี่ส่วนใด? อย่างง่ายดาย! เราหมุนทวนเข็มนาฬิกาเต็มหนึ่งรอบ (มุมที่เราได้รับเป็นค่าบวก!) คลายเกลียว 360 ° เอาล่ะ ไปกันเลย! อีกเทิร์น - ได้ 720 °แล้ว เหลือเท่าไหร่? 280 ° ไม่เพียงพอสำหรับการปฏิวัติเต็มรูปแบบ ... แต่มุมนั้นมากกว่า 270 ° - และนี่คือเส้นขอบระหว่างไตรมาสที่สามและสี่ ดังนั้นมุม 1,000 ° ของเราจึงอยู่ในควอเตอร์ที่สี่ ทุกอย่าง.

อย่างที่คุณเห็นมันค่อนข้างง่าย ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่ามุม 1,000 °และมุม 280 °ซึ่งเราได้รับจากการละทิ้งการปฏิวัติเต็มรูปแบบ "พิเศษ" นั้นพูดอย่างเคร่งครัด หลากหลายมุม แต่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มุมเหล่านี้ เหมือนเดิมทุกประการ! เหล่านั้น. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° เป็นต้น ถ้าผมเป็นไซน์ ผมจะไม่สังเกตเห็นความแตกต่างระหว่างสองมุมนี้ ...

ทำไมคุณถึงต้องการทั้งหมดนี้? ทำไมเราต้องแปลมุมจากที่อื่น? ใช่ ทั้งหมดเหมือนกัน) เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ อันที่จริงการทำให้สำนวนง่ายขึ้นเป็นงานหลักของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ระหว่างทางหัวหน้ากำลังฝึก)

มาฝึกกันไหม?)

เราตอบคำถาม ง่าย ๆ ในตอนแรก

1. มุม -325 ° ตกในไตรมาสใด

2. มุม 3000 ° อยู่ในไตรมาสใด?

3. มุม -3000 ° ตกในไตรมาสใด

มีปัญหา? หรือความไม่มั่นคง? ไปที่ส่วน 555 การทำงานจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ ในบทเรียนแรกของ "งานจริง ... " นี้ทุกอย่างมีรายละเอียด ... เช่นคำถามของความไม่แน่นอนที่จะ ไม่ควร!

4. sin555 °มีสัญญาณอะไร?

5. สัญลักษณ์ของ tg555 ° คืออะไร?

คุณระบุหรือไม่? ดี! สงสัย? มันควรจะอยู่ในมาตรา 555 ... อย่างไรก็ตาม คุณจะได้เรียนรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ สิ่งที่มีประโยชน์มาก

และตอนนี้คำถามก็ฉลาดขึ้น

6. ลดนิพจน์ sin777 °เป็นไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

7. ลดนิพจน์ cos777 ° เป็นโคไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

8. ลดนิพจน์ cos (-777 °) เป็นโคไซน์ของมุมบวกที่เล็กที่สุด

9. ลดนิพจน์ sin777 °เป็นไซน์ของมุมลบที่ใหญ่ที่สุด

คุณงงกับคำถามข้อ 6-9 หรือไม่? ทำความคุ้นเคยกับการสอบและไม่พบสูตรดังกล่าว ... ดังนั้นฉันจะแปล สำหรับคุณคนเดียว!

คำว่า "โยนนิพจน์ไปที่ ... " หมายถึงการแปลงนิพจน์เพื่อให้ค่าของมัน ไม่เปลี่ยนแปลงและรูปลักษณ์ก็เปลี่ยนไปตามงานที่ได้รับมอบหมาย ดังนั้น ในงาน 6 และ 9 เราควรได้ไซน์ ซึ่งข้างในคือ มุมบวกที่เล็กที่สุดอย่างอื่นไม่สำคัญ

ฉันจะให้คำตอบตามลำดับ (ละเมิดกฎของเรา) และจะทำอย่างไร มีเพียงสองสัญญาณและเพียงสี่ในสี่ ... คุณจะไม่หนีไปในรูปแบบต่างๆ

6.sin57 °.

7.cos (-57 °).

8.cos57 °

9.-บาป (-57 °)

ฉันคิดว่าคำตอบของคำถาม 6-9 ทำให้สับสนบ้าง โดยเฉพาะ -บาป (-57 °)ใช่ไหม) ที่จริงแล้วในกฎพื้นฐานสำหรับการนับมุมมีที่ว่างสำหรับข้อผิดพลาด ... นั่นคือเหตุผลที่ฉันต้องทำบทเรียน: "จะกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันและนำมุมบนวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร" มาตรา 555 มีงาน 4 - 9 แยกออก ถอดประกอบอย่างดีพร้อมข้อผิดพลาดทั้งหมด และพวกเขาอยู่ที่นี่)

ในบทต่อไป เราจะจัดการกับเรเดียนลึกลับและตัวเลขไพ มาเรียนรู้วิธีการแปลงองศาเป็นเรเดียนได้อย่างง่ายดายและถูกต้องและในทางกลับกัน และเราจะแปลกใจที่พบว่าข้อมูลเบื้องต้นนี้บนเว็บไซต์ เพียงพอแล้ว เพื่อแก้ปัญหาตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน!

ถ้าคุณชอบไซต์นี้ ...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

บทความนี้ประกอบด้วย ตารางของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์... ก่อนอื่นเราให้ตารางค่าหลักของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... , 360 องศา ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2πเรเดียน). หลังจากนั้นเราจะให้ตารางไซน์และโคไซน์รวมถึงตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของ V.M. Bradis และแสดงวิธีใช้ตารางเหล่านี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำทางหน้า

ตารางของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน. สำหรับ 9 ซล. วันพุธ โรงเรียน / ยู. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด. S. A. Telyakovsky.- M.: การศึกษา, 1990.- 272 p.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน. สำหรับ 10-11 ซล. วันพุธ ซ. - ครั้งที่ 3 - ม.: การศึกษา, 2536 .-- 351 หน้า.: ป่วย - ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: ตำราเรียน สำหรับ 10-11 ซล. การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorov - 14th ed. - M.: Education, 2004. - 384 p.: ill. - ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): หนังสือเรียน. คู่มือ - ม.; สูงกว่า shk., 1984.-351 p. ป่วย
• แบรดดิส วีเอ็มตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: สำหรับการศึกษาทั่วไป ศึกษา. สถาบันต่างๆ - ครั้งที่ 2 - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

หลากหลาย บางส่วนเป็นเรื่องเกี่ยวกับโคไซน์ในสี่ส่วนที่เป็นบวกและลบ ซึ่งในสี่ของไซน์นั้นเป็นค่าบวกและค่าลบ ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่าย ถ้าคุณรู้วิธีคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ในมุมต่างๆ และคุ้นเคยกับหลักการของฟังก์ชันการพล็อตบนกราฟ

ค่าของโคไซน์คืออะไร

หากเราพิจารณาแล้ว เรามีอัตราส่วนกว้างยาวต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดมัน: โคไซน์ของมุม NSคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB (รูปที่ 1): cos NS= BC / AB

คุณสามารถหาไซน์ของมุม แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้สามเหลี่ยมเดียวกัน ไซน์จะเป็นอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับมุมของขา AC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB หาค่าแทนเจนต์ของมุมถ้าไซน์ของมุมที่ต้องการหารด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกัน แทนสูตรที่สอดคล้องกันเพื่อหาไซน์และโคไซน์ เราจะได้ tg NS= AC / BC โคแทนเจนต์ในฐานะผกผันของฟังก์ชันแทนเจนต์จะพบดังนี้: ctg NS= BC / AC

นั่นคือ สำหรับค่ามุมเดียวกัน พบว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนภาพจะเท่ากันเสมอ ดูเหมือนว่าจะชัดเจนว่าค่าเหล่านี้มาจากไหน แต่ทำไมได้ตัวเลขติดลบ?

ในการทำเช่นนี้คุณต้องพิจารณาสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งมีทั้งค่าบวกและค่าลบ

ชัดเจนเกี่ยวกับไตรมาสที่คืออะไร

พิกัดคาร์ทีเซียนคืออะไร? ถ้าเราพูดถึงพื้นที่สองมิติ เรามีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันที่จุด O - นี่คือแกน abscissa (Ox) และแกนพิกัด (Oy) จากจุด O ไปในทิศทางของเส้นตรงจะมีตัวเลขบวกอยู่และในทิศทางตรงกันข้าม - ตัวเลขเชิงลบ ในท้ายที่สุด สิ่งนี้จะกำหนดโดยตรงว่าโคไซน์ใดเป็นค่าบวก และส่วนใดเป็นค่าลบตามลำดับ

ครึ่งแรก

หากคุณวางสามเหลี่ยมมุมฉากในไตรมาสแรก (จาก 0 o ถึง 90 o) โดยที่แกน x และ y มีค่าบวก (ส่วน AO และ BO อยู่บนแกนที่ค่ามี " +") แล้วไซน์คืออะไร โคไซน์คืออะไร จะมีค่าบวกและกำหนดค่าเครื่องหมายบวก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณย้ายสามเหลี่ยมไปยังควอเตอร์ที่สอง (จาก 90o เป็น 180o)

ไตรมาสที่สอง

เราจะเห็นว่าขา AO มีค่าลบตามแกน y โคไซน์ของมุม NSตอนนี้มีความสัมพันธ์กับด้านนี้ด้วยเครื่องหมายลบ ดังนั้นค่าสุดท้ายจะกลายเป็นลบ ปรากฎว่าโคไซน์เป็นบวกในไตรมาสใดขึ้นอยู่กับตำแหน่งของสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และในกรณีนี้ โคไซน์ของมุมจะกลายเป็นลบ แต่สำหรับไซน์นั้นไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงเพราะในการพิจารณาสัญญาณนั้นจำเป็นต้องใช้ด้าน OB ซึ่งในกรณีนี้ยังคงมีเครื่องหมายบวก มาสรุปสองไตรมาสแรกกัน

ในการหาว่าโคไซน์เป็นบวกและส่วนไหนเป็นค่าลบ (เช่นเดียวกับไซน์และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ) คุณต้องดูว่าเครื่องหมายใดถูกกำหนดให้กับขาข้างหนึ่งหรืออีกข้างหนึ่ง สำหรับโคไซน์ของมุม NSขา AO มีความสำคัญสำหรับไซนัส - OB

จนถึงตอนนี้กลายเป็นไตรมาสเดียวที่ตอบคำถามว่า "ไตรมาสใดที่มีค่าไซน์และโคไซน์เป็นบวกในเวลาเดียวกัน" มาดูกันว่าจะยังคงมีความบังเอิญในเครื่องหมายของฟังก์ชันทั้งสองนี้หรือไม่

ในไตรมาสที่สอง ขา AO เริ่มมีค่าติดลบ ซึ่งหมายความว่าโคไซน์ก็กลายเป็นลบเช่นกัน ค่าบวกจะถูกเก็บไว้สำหรับไซน์

ไตรมาสที่สาม

ตอนนี้ทั้งสองขา AO และ OB กลายเป็นลบ จำความสัมพันธ์ของโคไซน์และไซน์:

คอส a = AO / AB;

บาป a = VO / AB

AB มีเครื่องหมายบวกเสมอในระบบพิกัดที่กำหนด เนื่องจากไม่ได้ชี้ไปยังด้านใดด้านหนึ่งจากสองด้านที่กำหนดโดยแกน แต่ขากลับกลายเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของทั้งสองฟังก์ชันก็เป็นค่าลบเช่นกัน เพราะหากคุณทำการคูณหรือหารด้วยตัวเลข ซึ่งมีตัวเดียวเท่านั้นที่มีเครื่องหมายลบ ผลลัพธ์ก็จะมีเครื่องหมายนี้เช่นกัน

ผลลัพธ์ในขั้นตอนนี้:

1) โคไซน์เป็นบวกในไตรมาสใด ในสามอันดับแรก

2) ไซน์เป็นบวกในไตรมาสใด ในครั้งแรกและครั้งที่สองของทั้งสาม

ไตรมาสที่สี่ (จาก 270 o ถึง 360 o)

ที่นี่ขา AO ได้รับเครื่องหมายบวกอีกครั้งและด้วยเหตุนี้โคไซน์ด้วย

สำหรับไซน์ กรณีต่างๆ ยังคงเป็น "เชิงลบ" เนื่องจากขา OB อยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น O

ข้อสรุป

เพื่อให้เข้าใจว่าโคไซน์เป็นบวก ลบ ฯลฯ อยู่ในไตรมาสใด คุณต้องจำอัตราส่วนสำหรับการคำนวณโคไซน์: ขาที่อยู่ติดกับมุมหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ครูบางคนแนะนำให้จำสิ่งนี้: k (osine) = (k) มุม หากคุณจำ "สูตรโกง" นี้ได้ คุณจะเข้าใจโดยอัตโนมัติว่าไซน์คืออัตราส่วนตรงข้ามกับมุมของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

มันค่อนข้างยากที่จะจำว่าโคไซน์ใดเป็นค่าบวกและค่าลบอยู่ส่วนใด มีฟังก์ชันตรีโกณมิติมากมาย และทุกฟังก์ชันมีความหมายในตัวเอง แต่ยังคงเป็นผล: ค่าบวกสำหรับไซน์ - 1, 2 ไตรมาส (จาก 0 o ถึง 180 o); สำหรับโคไซน์ 1, 4 ควอเตอร์ (จาก 0 o ถึง 90 o และจาก 270 o ถึง 360 o) ในไตรมาสที่เหลือ ฟังก์ชันมีค่าเป็นลบ

บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับคนที่จำได้ว่าสัญลักษณ์ใดตามภาพฟังก์ชัน

สำหรับไซน์ จะเห็นว่าจากศูนย์ถึง 180 ° ยอดอยู่เหนือเส้นค่าของบาป (x) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นค่าบวกเช่นกัน สำหรับโคไซน์จะเหมือนกัน: โคไซน์เป็นค่าบวกในไตรมาสใด (ภาพที่ 7) และการเคลื่อนที่ของเส้นด้านบนและด้านล่างแกน cos (x) จะเห็นในไตรมาสใด เป็นผลให้เราสามารถจำสองวิธีในการกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์:

1. ตามวงกลมจินตภาพที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง (แม้ว่าในความเป็นจริง ไม่สำคัญว่าวงกลมจะมีรัศมีเท่าใด แต่ในหนังสือเรียนมักให้ตัวอย่างดังกล่าว ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น ในเวลาเดียวกัน ถ้าไม่ระบุไม่ตรงประเด็น เด็กอาจสับสนได้)

2. โดยภาพของการพึ่งพาฟังก์ชันบน (x) บนอาร์กิวเมนต์ x เองดังในรูปสุดท้าย

เมื่อใช้วิธีแรก คุณจะเข้าใจได้ว่าสัญญาณนั้นขึ้นอยู่กับอะไร และเราอธิบายรายละเอียดไว้ข้างต้นแล้ว รูปที่ 7 สร้างขึ้นบนพื้นฐานของข้อมูลเหล่านี้ แสดงภาพฟังก์ชันที่ได้รับและสัญญาณต่างๆ ด้วยเช่นกัน

บทเรียนที่ 1

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ใดๆ

ความหมายและคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

การวัดมุมเรเดียน

เราทำเครื่องหมายจุด A บนแกน Ox จากจุดกำเนิดของพิกัดแล้ววาดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางที่จุด O รัศมี OA จะถูกเรียก รัศมีเริ่มต้น.

มุม Р (ОМ; ОЕ) สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลมาจากการหมุนรอบจุดกำเนิดของรังสีที่มีจุดกำเนิดที่จุด О จากตำแหน่ง ОМ - ตำแหน่งเริ่มต้นไปยังตำแหน่ง ОЕ - มุมสุดท้าย การหมุนนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกาและ

ก) สำหรับการหมุนเวียนที่ไม่สมบูรณ์

b) ด้วยจำนวนเต็มของการหมุนเต็มจำนวน;

c) โดยจำนวนเต็มของการปฏิวัติเต็มและการปฏิวัติที่ไม่สมบูรณ์

มุมทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าบวกและค่าลบตามเข็มนาฬิกา

เราจะพิจารณามุมดังกล่าวว่าเป็นมุมที่เท่ากันซึ่งเมื่อรังสีเริ่มต้นของมันรวมกันในทางใดทางหนึ่งรังสีสุดท้ายจะถูกรวมเข้าด้วยกันและการเคลื่อนที่จากรังสีเริ่มต้นไปยังเส้นสุดท้ายจะดำเนินการในทิศทางเดียวกันสำหรับจำนวนเท่ากัน การปฏิวัติที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์รอบจุด O

มุมศูนย์ถือว่าเท่ากัน

คุณสมบัติการวัดมุม:

การวัดมุมที่พบบ่อยที่สุดคือองศาและเรเดียน

หน่วยวัดมุมเป็นองศาคือมุมของขนาดหนึ่งองศา - 1/180 ของมุมที่กางออก เป็นที่ทราบกันดีจากเส้นทางเรขาคณิตว่าการวัดมุมเป็นองศานั้นแสดงด้วยตัวเลขตั้งแต่ 01.01.01 สำหรับมุมของการหมุน มันสามารถแสดงเป็นองศาด้วยจำนวนจริงใดๆ ตั้งแต่ -∞ ถึง + ∞

ในฐานะที่เป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด เราจะนำวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยมาแทนจุดตัดของมันด้วยแกนพิกัด A (1; 0), B (0; 1), C (-1; 0), D (0; -1). Beam OA จะถูกนำมาเป็นมุมเริ่มต้นในมุมที่พิจารณา

แกน abscissa และแกนประสานตั้งฉากกันและแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วนพิกัด: I, II, III, IV (ดูรูป)

ขึ้นอยู่กับว่ารัศมีของรัศมี OM อยู่ในพิกัดใด มุมα จะเป็นมุมเดียวกันกับไตรมาสนี้

ดังนั้นถ้า 00< α <900 , то угол α - มุมของไตรมาสแรก

ถ้า 900< α <1800 , то угол α - มุมของไตรมาสที่สอง

ถ้า1800< α <2700 , то угол α - มุมของไตรมาสที่สาม

ถ้า 2700< α <3600 , то угол α คือมุมของไตรมาสที่สี่

แน่นอน เมื่อคุณบวกจำนวนเต็มของการหมุนมุม มุมของไตรมาสเดียวกันจะได้มา

ตัวอย่างเช่น มุม 4300 คือมุมผม - ไตรมาสที่ 4300 = 3600 + 700 = 700;

มุม 9200 คือมุมสาม - ไตรมาส เนื่องจาก 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000

(เช่น จำนวนรอบทั้งหมดสามารถละเว้นได้!)

มุม 00, ± 900, ± 1800, ± 2700, ± 3600 - ไม่ใช้กับไตรมาสใดๆ .

ลองหาว่าไตรมาสใดเป็นมุมα ถ้า:

α = 2830 (IV) α = 1900 (III) α = 1000 (II) α = -200 (IV) ชั่วโมง - ทิศทางลบ)

และตอนนี้สำหรับตัวคุณเอง:

α = 1790 α = 3250 α = 8000 α = -1200

ในทางเรขาคณิต ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม α ถูกกำหนดที่

00 ≤ α ≤ 1800 ตอนนี้เราพิจารณาคำจำกัดความเหล่านี้สำหรับมุมที่กำหนด α

font-size: 12.0pt; line-height: 115% "> สมมติว่าเมื่อหมุนรอบจุด O ด้วยมุมα รัศมีเริ่มต้น OA ข้ามไปยังรัศมี OM

มุมไซน์α เรียกว่าอัตราส่วนของพิกัดของจุด M ต่อความยาวของรัศมี กล่าวคือ

โคไซน์ของมุมα เรียกว่าอัตราส่วนของ abscissa ของจุด M ต่อความยาวของรัศมี กล่าวคือ

แทนเจนต์ของมุมα อัตราส่วนของพิกัดของจุด M ต่อ abscissa เรียกว่าเช่น

มุมโคแทนเจนต์ α อัตราส่วนของ abscissa ของจุด M ต่อพิกัดเรียกว่าเช่น

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้ตารางค่าของบางมุม ขีดกลางเกิดขึ้นเมื่อนิพจน์ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง №1. ค้นหาบาป300; คอส 450; tg600.

วิธีแก้ปัญหา: ก) ค้นหาในคอลัมน์ของตารางบาป และในบรรทัดที่ 300 ที่จุดตัดของคอลัมน์และเส้นตรง เราจะพบค่าบาป 300 เป็นตัวเลข พวกเขาเขียนแบบนี้:บาป 300 =

b) เราพบในคอลัมน์ของตาราง cosα และในบรรทัดที่ 450 ที่จุดตัดของคอลัมน์และเส้นตรง เราจะหาค่า cos 450 เป็นตัวเลข พวกเขาเขียนแบบนี้:คอส 450 =

c) เราพบในคอลัมน์ของตาราง tgα และในบรรทัด 600 ที่จุดตัดของคอลัมน์และเส้นตรง เราจะพบค่า tg 600 เป็นตัวเลข EN-US style = "font-size: 12.0pt; line-height: 115%" "> tg600 = ขนาดตัวอักษร: 12.0pt; ความสูงของบรรทัด: 115% "> ตัวอย่าง # 2

คำนวณก) 2c os 600 + EN-US "style =" font-size: 12.0pt; line-height: 115% "> cos300 = 2 ขนาดตัวอักษร: 12.0pt; ความสูงของบรรทัด: 115% "> b) 3 tg 450 tg 600 = 3 · 1 · https: //pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif "width =" 24 "height =" 24 src = ">

คำนวณตัวเอง : a) 5 sin 300 - ctg 450 b) 2 sin 300 + 6 cos 600 - 4 tg 450

c) 4tg 600 sin 600 c) 2cossin 900 + 5tg 1800

ลองพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มาดูกันว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์มีเครื่องหมายอะไรบ้างในแต่ละควอเตอร์พิกัด

สมมติว่าเมื่อหมุนรัศมี OA เท่ากับ R โดยมุม α , จุด A ส่งผ่านไปยังจุด M พร้อมพิกัด x และ y เพราะ(R = 1) แล้วเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ y

ใน I และ II ในควอเตอร์ y> 0 และใน II และ IV ไตรมาส - at<0.

เข้าสู่ระบบ ขึ้นอยู่กับ x เนื่องจากจากนั้นสำหรับมุม I และ IV ไตรมาส - x> 0 และใน

ไตรมาส II และ III x<0.

เพราะ ; จากนั้นในไตรมาส I และ III และ มีเครื่องหมาย "+" และใน II และ IV ในไตรมาสพวกเขามีเครื่องหมายลบ