จำกัด 1 ครั้ง ขีด จำกัด แรกที่น่าทึ่ง ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งมีลักษณะดังนี้: lim x → 0 sin x x = 1
ในตัวอย่างเชิงปฏิบัติ มักพบการเปลี่ยนแปลงขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง: lim x → 0 sin k · xk · x = 1 โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน
มาอธิบายกัน: lim x → 0 sin (k x) k x = ว่างเปล่า t = k x และจาก x → 0 ตามมาด้วย t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1
ผลที่ตามมาของขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการแรก:
- ลิม x → 0 x บาป x = ลิม x → 0 = 1 บาป x x = 1 1 = 1
- ลิม x → 0 k x บาป k x = ลิม x → 0 1 บาป (k x) k x = 1 1 = 1
ข้อพิสูจน์เหล่านี้ค่อนข้างง่ายที่จะพิสูจน์โดยใช้กฎของโลปิตาลหรือการแทนที่ฟังก์ชันเล็กๆ
ลองพิจารณาปัญหาบางประการในการค้นหาลิมิตโดยใช้ลิมิตที่น่าทึ่งอันแรก เราจะให้คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับโซลูชัน
ตัวอย่างที่ 1
จำเป็นต้องกำหนดขีดจำกัดโดยไม่ต้องใช้กฎของโลปิตาล: lim x → 0 sin (3 x) 2 x
สารละลาย
ลองแทนค่า:
ลิม x → 0 บาป (3 x) 2 x = 0 0
เราเห็นว่าความไม่แน่นอนของศูนย์หารด้วยศูนย์เกิดขึ้น โปรดดูตารางความไม่แน่นอนเพื่อกำหนดวิธีการแก้ปัญหา การรวมกันของไซน์และการโต้แย้งทำให้เราทราบถึงการใช้ลิมิตอันมหัศจรรย์อันแรก แต่ก่อนอื่นเราเปลี่ยนนิพจน์ก่อน คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 3 x แล้วได้:
ลิม x → 0 บาป (3 x) 2 x = 0 0 = ลิม x → 0 3 x บาป (3 x) 3 x (2 x) = ลิม x → 0 บาป (3 x) 3 x 3 x 2 x = = ลิม x → 0 3 2 บาป (3 x) 3 x
จากข้อพิสูจน์จากขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง เรามี: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1
แล้วเราก็มาถึงผลลัพธ์:
ลิม x → 0 3 2 บาป (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2
คำตอบ:ลิม x → 0 บาป (3 x) 3 x = 3 2 .
ตัวอย่างที่ 2
จำเป็นต้องค้นหาขีด จำกัด lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 .
สารละลาย
ลองแทนค่าและรับ:
ลิม x → 0 1 - คอส (2 x) 3 x 2 = 1 - คอส (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
เราเห็นความไม่แน่นอนของศูนย์หารด้วยศูนย์ ลองแปลงตัวเศษโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ:
ลิม x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = ลิม x → 0 2 บาป 2 (x) 3 x 2
เราเห็นว่าขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งสามารถใช้ได้แล้วที่นี่:
ลิม x → 0 2 บาป 2 (x) 3 x 2 = ลิม x → 0 2 3 บาป x x บาป x x = 2 3 1 1 = 2 3
คำตอบ:ลิม x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
ตัวอย่างที่ 3
มีความจำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด lim x → 0 a rc sin (4 x) 3 x .
สารละลาย
ลองแทนค่า:
ลิม x → 0 a rc บาป (4 x) 3 x = a rc บาป (4 0) 3 0 = 0 0
เราเห็นความไม่แน่นอนของการหารศูนย์ด้วยศูนย์ มาทดแทนกัน:
a rc sin (4 x) = t ⇒ sin (a rc sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a rc sin (4 x) ) = a rc sin (4 · 0) = 0 ซึ่งหมายถึง t → 0 เป็น x → 0
ในกรณีนี้ หลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว ขีดจำกัดจะอยู่ในรูปแบบ:
ลิม x → 0 a rc บาป (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 บาป (t) = = lim t → 0 4 3 t บาป t = 4 3 1 = 4 3
คำตอบ:ลิม x → 0 a rc บาป (4 x) 3 x = 4 3 .
เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหาในบทความ คุณควรทำซ้ำเนื้อหาในหัวข้อ “ขีดจำกัด คำจำกัดความพื้นฐาน ตัวอย่างการค้นหา ปัญหาและแนวทางแก้ไข”
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
บทความนี้: “ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง” เกี่ยวข้องกับการเปิดเผยภายในขอบเขตความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ และ $ ^\infty $
นอกจากนี้ ความไม่แน่นอนดังกล่าวสามารถเปิดเผยได้โดยใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล แต่นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งจะกล่าวถึงในบทความอื่น
สูตรและผลที่ตามมา
สูตรขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองเขียนได้ดังนี้: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( โดยที่ ) e \approx 2.718 $$
มันเป็นไปตามจากสูตร ผลที่ตามมาซึ่งสะดวกมากที่จะใช้ในการแก้ตัวอย่างที่มีขีดจำกัด: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( โดยที่ ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = อี $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
เป็นที่น่าสังเกตว่าขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สองไม่สามารถใช้กับฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เสมอไป แต่เฉพาะในกรณีที่ฐานมีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพเท่านั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คำนวณขีด จำกัด ของฐานทางจิตใจแล้วจึงสรุปผล ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างการแก้ปัญหา
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ลองดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาโดยใช้สูตรตรงและผลที่ตามมา เราจะวิเคราะห์กรณีที่ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรด้วย การเขียนเฉพาะคำตอบที่พร้อมก็เพียงพอแล้ว
| ตัวอย่างที่ 1 |
| ค้นหาลิมิต $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| สารละลาย |
|
ลองแทนค่าอนันต์เข้าไปในลิมิตแล้วดูความไม่แน่นอน: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ ลองหาลิมิตของฐาน: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ เราได้ฐานเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้ลิมิตอันน่าทึ่งอันที่สองได้แล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ปรับฐานของฟังก์ชันให้เป็นสูตรโดยการลบและเพิ่ม: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ ลองดูข้อพิสูจน์ประการที่สองแล้วเขียนคำตอบ: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา! |
| คำตอบ |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| ตัวอย่างที่ 4 |
| แก้ขีดจำกัด $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| สารละลาย |
|
เราหาลิมิตของฐานแล้วพบว่า $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้ลิมิตที่น่าทึ่งตัวที่สองได้ ตามแผนมาตรฐาน เราบวกและลบหนึ่งรายการจากฐานของระดับ: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ เราปรับเศษส่วนให้เป็นสูตรของโน้ตตัวที่ 2 ขีดจำกัด: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ ตอนนี้เรามาปรับระดับกัน กำลังจะต้องมีเศษส่วนเท่ากับตัวส่วนของฐาน $ \frac(3x^2-2)(6) $ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณและหารระดับแล้วแก้โจทย์ต่อไป: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ ลิมิตที่อยู่ในกำลังที่ $ e $ เท่ากับ: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $ ดังนั้นเราจึงดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป: |
| คำตอบ |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
ให้เราตรวจสอบกรณีที่ปัญหาคล้ายกับขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง แต่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้มัน
ในบทความ: “ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง: ตัวอย่างของวิธีแก้ปัญหา” มีการวิเคราะห์สูตร ผลที่ตามมา และระบุประเภทของปัญหาทั่วไปในหัวข้อนี้
ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งมักใช้ในการคำนวณขีดจำกัดที่มีไซน์ อาร์คไซน์ แทนเจนต์ อาร์กแทนเจนต์ และผลลัพธ์ความไม่แน่นอนของศูนย์หารด้วยศูนย์
สูตร
สูตรสำหรับลิมิตแรกที่น่าทึ่งคือ: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
เราสังเกตว่าสำหรับ $ \alpha\to 0 $ เราจะได้ $ \sin\alpha \to $ 0 $ ดังนั้นเราจึงมีศูนย์ในตัวเศษและส่วน ดังนั้น จำเป็นต้องใช้สูตรของขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งเพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน $ \frac(0)(0) $
หากต้องการใช้สูตร ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ:
- นิพจน์ที่อยู่ในไซน์และตัวส่วนของเศษส่วนจะเหมือนกัน
- นิพจน์ในไซน์และส่วนของเศษส่วนมีแนวโน้มเป็นศูนย์
ความสนใจ! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ แม้ว่านิพจน์ใต้ไซน์และในตัวส่วนจะเหมือนกัน แต่ $ 2x ^2+1 = 1 $ สำหรับ $ x\ถึง 0 $ ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่สอง ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถใช้สูตรได้!
ผลที่ตามมา
ไม่ค่อยมีงานใดที่คุณจะเห็นขีด จำกัด แรกสุดที่ยอดเยี่ยมซึ่งคุณสามารถเขียนคำตอบได้ทันที ในทางปฏิบัติ ทุกอย่างดูซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่สำหรับกรณีเช่นนี้ จะมีประโยชน์ที่จะทราบผลที่ตามมาจากขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง ต้องขอบคุณพวกเขา คุณจึงสามารถคำนวณขีดจำกัดที่จำเป็นได้อย่างรวดเร็ว
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ลองพิจารณาขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง ตัวอย่างของวิธีแก้ปัญหาสำหรับการคำนวณขีดจำกัดที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติและความไม่แน่นอน $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| ตัวอย่างที่ 1 |
| คำนวณ $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| สารละลาย |
|
ลองดูที่ลิมิตแล้วสังเกตว่ามันมีไซน์อยู่ ต่อไป เราแทนที่ $ x = 0 $ ลงในทั้งเศษและส่วน แล้วได้ค่าความไม่แน่นอนเป็นศูนย์หารด้วยศูนย์: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ มีสัญญาณสองประการที่เราจำเป็นต้องใช้ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยม แต่มีความแตกต่างเล็กน้อย: เราไม่สามารถใช้สูตรได้ทันทีเนื่องจากนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายไซน์แตกต่างจากนิพจน์ในตัวส่วน และเราต้องการให้พวกเขาเท่าเทียมกัน ดังนั้น เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้นของตัวเศษ เราจะแปลงมันเป็น $2x$ ในการทำสิ่งนี้ เราจะนำสองตัวออกจากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นปัจจัยแยกกัน ดูเหมือนว่านี้: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ ได้โปรด โปรดทราบว่าในตอนท้าย $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ ได้มาจากสูตร หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา! |
| คำตอบ |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| ตัวอย่างที่ 2 |
| ค้นหา $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| สารละลาย |
|
และเช่นเคย คุณต้องรู้ประเภทของความไม่แน่นอนก่อน หากเป็นศูนย์หารด้วยศูนย์ เราจะสนใจว่ามีไซน์อยู่หรือไม่: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ ความไม่แน่นอนนี้ทำให้เราสามารถใช้สูตรของลิมิตแรกที่น่าทึ่ง แต่นิพจน์จากตัวส่วนไม่เท่ากับอาร์กิวเมนต์ของไซน์? ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้สูตรแบบ "เผชิญหน้า" ได้ จำเป็นต้องคูณและหารเศษส่วนด้วยอาร์กิวเมนต์ของไซน์: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ ตอนนี้เราเขียนคุณสมบัติของลิมิตแล้ว: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ ขีดจำกัดที่สองตรงกับสูตรทุกประการและเท่ากัน ถึงหนึ่ง: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ แทนที่อีกครั้ง $ x = 0 $ เป็นเศษส่วน แล้วเราจะได้ค่าความไม่แน่นอน $ \frac(0)(0) $ เพื่อกำจัดมัน ก็เพียงพอที่จะเอา $ x $ ออกจากวงเล็บและลดมันลง: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| คำตอบ |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| ตัวอย่างที่ 4 |
| คำนวณ $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| สารละลาย |
|
มาเริ่มการคำนวณด้วยการทดแทน $ x=0 $ เป็นผลให้เราได้ค่าความไม่แน่นอน $ \frac(0)(0) $ ลิมิตประกอบด้วยไซน์และแทนเจนต์ ซึ่งบอกเป็นนัยถึงการพัฒนาที่เป็นไปได้ของสถานการณ์โดยใช้สูตรของลิมิตแรกที่น่าทึ่ง ลองแปลงเศษและส่วนของเศษส่วนให้เป็นสูตรและผลที่ตามมา: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าในตัวเศษและส่วนมีนิพจน์ที่เหมาะกับสูตรและผลที่ตามมา. อาร์กิวเมนต์ไซน์และอาร์กิวเมนต์แทนเจนต์เหมือนกันสำหรับตัวส่วนที่สอดคล้องกัน $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| คำตอบ |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
บทความ: “ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา” พูดถึงกรณีที่แนะนำให้ใช้สูตรนี้และผลที่ตามมา
ตอนนี้ด้วยจิตวิญญาณที่สงบแล้วเรามาพิจารณากันต่อไป ขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยม.
ดูเหมือน .
แทนที่จะเป็นตัวแปร x สามารถแสดงฟังก์ชันต่างๆ ได้ สิ่งสำคัญคือมีแนวโน้มเป็น 0
จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัด
อย่างที่คุณเห็น ขีดจำกัดนี้คล้ายกับขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งมาก แต่ก็ไม่เป็นความจริงทั้งหมด โดยทั่วไป หากคุณสังเกตเห็นความบาปอยู่ในขอบเขต คุณควรคิดทันทีว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง
ตามกฎข้อที่ 1 ของเรา เราจะแทนที่ศูนย์แทน x:
เราเกิดความไม่แน่นอน
ทีนี้มาลองจัดระเบียบขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรกกัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาสร้างชุดค่าผสมง่ายๆ กัน:
เราจึงจัดตัวเศษและส่วนให้เน้นที่ 7x. ตอนนี้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่คุ้นเคยได้ปรากฏขึ้นแล้ว ขอแนะนำให้เน้นเมื่อตัดสินใจ:
ลองแทนที่คำตอบด้วยตัวอย่างแรกที่น่าทึ่งแล้วได้:
ลดความซับซ้อนของเศษส่วน:
คำตอบ: 7/3.
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างง่ายมาก
ดูเหมือน 
โดยที่ e = 2.718281828... เป็นจำนวนอตรรกยะ
อาจมีฟังก์ชันต่างๆ ปรากฏแทนตัวแปร x สิ่งสำคัญคือมีแนวโน้มว่า
จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัด
ที่นี่เราเห็นการมีอยู่ของระดับภายใต้เครื่องหมายของขีดจำกัด ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองได้
เช่นเคย เราจะใช้กฎข้อ 1 - แทนที่ x แทน:
จะเห็นได้ว่าที่ x ฐานของดีกรีคือ และเลขชี้กำลังคือ 4x > นั่นคือ เราได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม:
ลองใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันที่สองเพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนของเรา แต่ก่อนอื่น เราต้องจัดระเบียบมันก่อน อย่างที่คุณเห็น เราจำเป็นต้องทำให้มีอยู่ในตัวบ่งชี้ โดยที่เราเพิ่มฐานเป็นยกกำลัง 3x และในเวลาเดียวกันยกกำลัง 1/3x เพื่อให้นิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง:
อย่าลืมเน้นขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมของเรา:
นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเป็นจริงๆ ขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยม!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับ ขอบเขตอันอัศจรรย์ประการที่หนึ่งและที่สองจากนั้นอย่าลังเลที่จะถามพวกเขาในความคิดเห็น
เราจะตอบทุกคนให้มากที่สุด
คุณสามารถทำงานร่วมกับครูในหัวข้อนี้ได้
เรามีความยินดีที่จะเสนอบริการในการเลือกติวเตอร์ที่มีคุณสมบัติเหมาะสมในเมืองของคุณ พันธมิตรของเราจะเลือกครูที่ดีสำหรับคุณอย่างรวดเร็วตามเงื่อนไขที่เป็นประโยชน์
ข้อมูลไม่เพียงพอ? - คุณสามารถ !
คุณสามารถเขียนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ลงในสมุดบันทึกได้ การเขียนทีละรายการในสมุดบันทึกที่มีโลโก้จะดีกว่ามาก (http://www.blocnot.ru)
สูตรสำหรับลิมิตที่น่าทึ่งตัวที่สองคือ lim x → ∞ 1 + 1 x x = e การเขียนอีกรูปแบบหนึ่งมีลักษณะดังนี้: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e
เมื่อเราพูดถึงขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง เราต้องจัดการกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ 1 ∞ กล่าวคือ ความสามัคคีในระดับอนันต์
ลองพิจารณาปัญหาที่ความสามารถในการคำนวณขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สองจะมีประโยชน์
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาลิมิต x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4
สารละลาย
เรามาแทนที่สูตรที่ต้องการแล้วทำการคำนวณ
ลิม x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
คำตอบของเรากลายเป็นคำตอบหนึ่งของพลังแห่งความไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อกำหนดวิธีการแก้ปัญหา เราใช้ตารางความไม่แน่นอน ลองเลือกขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองและทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร
เสื้อ = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - เสื้อ 2
ถ้า x → ∞ ดังนั้น t → - ∞
มาดูกันว่าเราได้อะไรหลังจากการทดแทน:
ลิม x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
คำตอบ:ลิม x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = อี - 1 2 .
ตัวอย่างที่ 2
คำนวณขีดจำกัด ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x .
สารละลาย
ลองแทนอินฟินิตี้แล้วได้สิ่งต่อไปนี้
ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = ลิม x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
ในคำตอบ เราได้สิ่งเดียวกันกับปัญหาที่แล้วอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองได้อีกครั้ง ต่อไป เราต้องเลือกส่วนที่ฐานของฟังก์ชันกำลัง:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
หลังจากนี้ ขีดจำกัดจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ลิม x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
แทนที่ตัวแปร สมมุติว่า t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ถ้า x → ∞ ดังนั้น t → ∞
หลังจากนั้น เราจดสิ่งที่เราได้รับไว้ในขีดจำกัดเดิม:
ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ลิม x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = ลิม x → ∞ 1 + 1 เสื้อ - 2 เสื้อ - 1 = = ลิม x → ∞ 1 + 1 เสื้อ - 2 t 1 + 1 t - 1 = ลิม x → ∞ 1 + 1 t - 2 t ลิม x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = ลิม x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = อี - 2
เพื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ เราใช้คุณสมบัติพื้นฐานของขีดจำกัดและกำลัง
คำตอบ:ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณขีดจำกัด ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
สารละลาย
ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ลิม x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
หลังจากนั้น เราจำเป็นต้องแปลงฟังก์ชันเพื่อใช้ขีดจำกัดใหญ่อันที่สอง เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = ลิม x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
เนื่องจากตอนนี้เรามีเลขชี้กำลังเท่ากันในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน (เท่ากับ 6) ขีดจำกัดของเศษส่วนที่อนันต์จะเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ที่กำลังสูงกว่า
ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
โดยการแทนค่า t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 เราจะได้ลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สอง หมายถึงอะไร:
ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = ลิม x → ∞ 1 + 1 เสื้อ เสื้อ - 3 = e - 3
คำตอบ:ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
ข้อสรุป
ความไม่แน่นอน 1 ∞ เช่น ความเป็นหนึ่งเดียวกับกำลังอันไม่มีที่สิ้นสุดนั้นเป็นความไม่แน่นอนของกฎกำลัง ดังนั้นจึงสามารถเปิดเผยได้โดยใช้กฎในการค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลัง
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
