วิธีพิสูจน์ว่าเส้นตั้งฉาก บทเรียน "ตั้งฉากกับเส้นตรง". ความตั้งฉากของเส้น - เงื่อนไขความตั้งฉาก
เส้นตรง (ส่วนของเส้นตรง) ระบุด้วยอักษรละตินสองตัวหรืออักษรตัวเล็กหนึ่งตัว ประเด็นนี้ระบุด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่เท่านั้น
เส้นต้องไม่ตัดกัน ตัดกัน หรือตรงกัน เส้นที่ตัดกันมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว เส้นที่ไม่ตัดกันไม่มีจุดร่วม และเส้นที่ตัดกันมีจุดทั้งหมดเหมือนกัน
คำนิยาม. เส้นสองเส้นที่ตัดกันเป็นมุมฉากเรียกว่าเส้นตั้งฉาก ความตั้งฉากของเส้นตรง (หรือส่วนของเส้นตรง) แสดงด้วยเครื่องหมายตั้งฉาก "⊥"
ตัวอย่างเช่น:
ของคุณ เอบีและ ซีดี(รูปที่ 1) ตัดกันที่จุด เกี่ยวกับและ ∠ อคส = ∠วอส = ∠อ.ต.ก = ∠ทบ= 90° แล้ว เอบี ⊥ ซีดี.
ถ้า เอบี ⊥ ซีดี(รูปที่ 2) และตัดกันที่จุด ในแล้ว ∠ เอบีซี = ∠อ.บ.ต= 90°
คุณสมบัติของเส้นตั้งฉาก
1. ผ่านจุด ก(รูปที่ 3) สามารถวาดเส้นตั้งฉากได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น เอบีเป็นเส้นตรง ซีดี;เส้นอื่นผ่านจุด กและข้าม ซีดีเรียกว่า เส้นเฉียง (รูปที่ 3 เส้นตรง เออีและ เอเอฟ).
2. จากจุดหนึ่ง กคุณสามารถวางแนวตั้งฉากกับเส้นตรงได้ ซีดี; ความยาวของเส้นตั้งฉาก (ความยาวของส่วน เอบี) ดึงมาจากจุด กโดยตรง ซีดีเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจาก กก่อน ซีดี(รูปที่ 3)
ความหมายของเส้นตั้งฉาก
เส้นตั้งฉาก.
ให้ a และ b เป็นเส้นตรงที่ตัดกันที่จุด A (รูปที่ 1) แต่ละเส้นจะถูกแบ่งโดยจุด A ออกเป็นสองเส้นครึ่ง เส้นแบ่งครึ่งของเส้นหนึ่งทำมุมสี่มุมกับเส้นแบ่งครึ่งของอีกเส้นหนึ่ง ให้อัลฟาเป็นหนึ่งในมุมเหล่านี้ จากนั้นอีกสามมุมที่เหลือจะอยู่ติดกับอัลฟาหรือแนวตั้งกับอัลฟ่า
ถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก มุมอื่นๆ ก็จะเป็นมุมฉากด้วย ในกรณีนี้ เราบอกว่าเส้นตัดกันเป็นมุมฉาก
คำนิยาม.
เส้นสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก (รูปที่ 2)
การตั้งฉากของเส้นจะแสดงด้วยเครื่องหมาย ⊥ การบันทึก a ⊥ b อ่านว่า: เส้น a ตั้งฉากกับเส้น b
ทฤษฎีบท.
ในแต่ละจุดของเส้น เราสามารถลากเส้นตั้งฉากกับจุดนั้นได้ และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น
การพิสูจน์.
ให้ a เป็นเส้นที่กำหนดและ A เป็นจุดที่กำหนด แสดงด้วยขวานหนึ่งในครึ่งเส้นโดยเส้นตรง a กับจุดเริ่มต้น A (รูปที่ 3) ให้เราแยกมุม (a1b1) เท่ากับ 90° จากครึ่งเส้น a1
จากนั้นเส้นที่มีรังสี b1 จะตั้งฉากกับเส้นตรง a
สมมติว่ามีเส้นอีกเส้นหนึ่งผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้นตรง a แสดงด้วย c1 เส้นครึ่งหนึ่งของเส้นนี้อยู่ในระนาบครึ่งเดียวกับรังสี b2 มุม (a1b1) และ (a1c1) ซึ่งแต่ละมุมเท่ากับ 90° ถูกวางในระนาบครึ่งเดียวจากครึ่งเส้น a1 แต่มีเพียงมุมเดียวที่เท่ากับ 90° เท่านั้นที่สามารถวาดจากครึ่งเส้น a1 ลงในระนาบครึ่งนี้ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นอีกเส้นหนึ่งผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้น A ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คำนิยาม.
เส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดคือส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ซึ่งมีปลายด้านหนึ่งอยู่ที่จุดตัดกัน จุดสิ้นสุดของส่วนนี้เรียกว่าฐานของเส้นตั้งฉาก
ในรูปที่ 4 เส้น AB ตั้งฉากถูกลากจากจุด A ไปยังเส้น a จุด B คือฐานของเส้นตั้งฉาก
หากต้องการสร้างเส้นตั้งฉาก ให้ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 5)
เส้นที่ตัดกันสองเส้นเรียกว่าเส้นตั้งฉาก (หรือตั้งฉากกัน) ถ้าเส้นเหล่านั้นก่อตัวเป็นมุมฉากสี่มุม เส้นตั้งฉากของเส้น AC และ BD แสดงได้ดังนี้: AC ⊥ BD (อ่านว่า: “เส้น AC ตั้งฉากกับเส้น BD”)
โปรดทราบว่าเส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สามไม่ตัดกัน (รูปที่ 6a) อันที่จริง ให้พิจารณาเส้น AA1 และ BB1 ที่ตั้งฉากกับเส้น PQ (รูปที่ 6b) ให้เราพับภาพวาดตามเส้นตรง PQ เพื่อให้ส่วนบนของภาพวาดซ้อนทับส่วนล่าง เนื่องจากมุมฉาก 1 และ 2 เท่ากัน รังสี RA จะซ้อนทับกับรังสี PA1 ในทำนองเดียวกัน ray QB จะทับซ้อนกับ ray QB1 ดังนั้น หากเราถือว่าเส้น AA1 และ BB1 ตัดกันที่จุด M จุดนี้จะซ้อนทับบนจุด M1 บางจุดที่อยู่บนเส้นเหล่านี้ด้วย (รูปที่ 6, c) และเราจะได้เส้นสองเส้นที่ผ่าน คะแนน M และ M1: AA1 และ BB1 แต่นี่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น สมมติฐานของเราจึงผิด ดังนั้นเส้น AA1 และ BB1 จึงไม่ตัดกัน 
การสร้างมุมฉากบนพื้น
ในการสร้างมุมฉากบนพื้นจะใช้อุปกรณ์พิเศษ ซึ่งอุปกรณ์ที่ง่ายที่สุดคือ eker Eker ประกอบด้วยแท่งสองอันที่ตั้งเป็นมุมฉากและติดตั้งบนขาตั้ง (รูปที่ 7) ที่ปลายแท่งตะปูจะถูกตอกเข้าไปเพื่อให้เส้นตรงที่ผ่านนั้นตั้งฉากกัน ในการสร้างมุมฉากบนพื้นด้วย OA ด้านที่กำหนด ให้ติดตั้งขาตั้งกับเอคเกอร์เพื่อให้สายดิ่งอยู่เหนือจุด O และทิศทางของแท่งหนึ่งตรงกับทิศทางของลำแสง OA การรวมกันของทิศทางเหล่านี้สามารถทำได้โดยใช้เหตุการณ์สำคัญที่วางอยู่บนคาน จากนั้นพวกเขาก็แขวนเส้นตรงไปยังอีกแท่งหนึ่ง (ตรง OB ในรูปที่ 7) มันกลายเป็น AOB มุมฉาก
ใน geodesy เครื่องมือขั้นสูงเช่นกล้องสำรวจถูกนำมาใช้เพื่อสร้างมุมฉาก 
แนวนอน:
3
. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดบนวงกลมเข้ากับจุดศูนย์กลาง 6
. คำสั่งที่ไม่ต้องการการพิสูจน์ 9
. โครงสร้างระบบความคิด 10
. เป็นรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่ง 15
. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนเส้นโค้ง 16
. การวัดความยาว 17
18
. จุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม 19
. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 20
. ส่วนหนึ่งของวงกลม 21
. การวัดความยาวแบบโบราณ
แนวตั้ง:
1
. ตัวอักษร 2
. ประเภทของสี่เหลี่ยมด้านขนาน 4
. คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม 5
. องค์ประกอบทางเรขาคณิต 7
. ลำแสงที่แบ่งครึ่งมุม 8
. สัญลักษณ์ของอักษรกรีก 10
. ผลบวกของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม 11
. ประโยคเสริมใช้ในการพิสูจน์ 12
. องค์ประกอบสามเหลี่ยมมุมฉาก 13
. หนึ่งในเส้นที่สวยงามของสามเหลี่ยม 14
. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
มีงานดังกล่าว:
มีน้ำพุแห่งมนต์เสน่ห์ 10 แห่งในป่าแห่งมนต์เสน่ห์ - หมายเลข 1, 2, 3, ... 10. น้ำของแต่ละแหล่งมีสี รสชาติ และกลิ่นที่แยกไม่ออกจากน้ำธรรมดา แต่เป็นพิษที่แรงที่สุด ผู้ที่ดื่มมันจะถึงวาระ - หากภายในหนึ่งชั่วโมงหลังจากนั้นเขาไม่ได้ดื่มน้ำจากแหล่งที่มีจำนวนสูงกว่า (ตัวอย่างเช่นแหล่งที่ 4-10 รอดจากพิษของแหล่งที่ 3; พิษของแหล่งที่ 10 ไม่ทิ้งโอกาสรอด) น้ำพุ 9 แห่งแรกเปิดให้สาธารณชนเข้าชม แต่น้ำพุแห่งที่ 10 อยู่ในถ้ำของ Kashchei the Immortal และมีเพียง Kashchei เท่านั้นที่เข้าถึงได้
และแล้ววันหนึ่ง Ivan the Fool ก็ท้าให้ Kashchei ดวลกัน เงื่อนไขง่ายๆ: แต่ละคนนำแก้วของเหลวมาด้วย คู่แข่งแลกแก้วและดื่มเนื้อหาของพวกเขา แล้วพวกเขาก็ทำในสิ่งที่ทำได้
Kashchei รู้สึกยินดี ยังคง: เขาจะมอบยาพิษให้อีวานหมายเลข 10 และไม่มีอะไรสามารถช่วยอีวานได้ และตัวเขาเองจะดื่มยาพิษที่อีวานให้ด้วยน้ำจากแหล่งที่ 10 - และเขาจะรอด
พยายามพัฒนาแผนการดวลสำหรับอีวาน ภารกิจคือการมีชีวิตอยู่และกำจัด Kashchei
คำตอบ 1.
คูคัชชี. เขาจะต้องไม่ได้รับยาพิษ แต่เป็นน้ำสะอาด เขาจะดื่มด้วยพิษของเขา - และเขาถึงวาระแล้ว
คำตอบ 2
อย่าฆ่าตัวตายนะ พิษอื่นใดนอกจากหมายเลข 1 ก็สามารถเป็นยาแก้พิษได้เช่นกัน ก่อนที่คุณจะเข้าสู่การต่อสู้คุณต้องดื่มยาพิษจำนวนเล็กน้อย จากนั้นยาพิษหมายเลข 10 ที่ได้รับจาก Kashchei ในการดวลจะไม่ฆ่า แต่ช่วยชีวิต
โดยทั่วไปแล้วแนวคิดนี้เป็นเรื่องเล็กน้อย เป็นไปไม่ได้เสมอที่จะชั่งน้ำหนักการกระทำอย่างโดดเดี่ยว การกระทำเดียวกันสามารถเป็นได้ทั้งยาพิษและยาแก้พิษ มากขึ้นอยู่กับพื้นหลัง ฉันจะไม่พูดทุกอย่าง แต่แน่นอนมาก
และเมื่อคุณได้ยินว่าหนึ่งในคนรู้จักของคุณได้ทำสิ่งเลวร้ายเช่นนี้ อย่ารีบเร่งที่จะวางสาย คุณแน่ใจหรือว่ามันเป็นเรื่องไร้สาระ? เป็นไปได้ไหมว่าพวกเขามีลักษณะเช่นนี้? คุณแน่ใจหรือไม่ว่าคุณทราบเบื้องหลังของการกระทำเหล่านี้
การสร้างเส้นตั้งฉาก
ตอนนี้เราจะพยายามสร้างเส้นตั้งฉากโดยใช้เข็มทิศ สำหรับสิ่งนี้เรามีจุด O และเส้น a
รูปแรกแสดงเส้นที่จุด O อยู่ และรูปที่สอง จุดนี้ไม่ได้อยู่บนเส้น a
ทีนี้ลองพิจารณาสองตัวเลือกนี้แยกกัน
ตัวเลือกที่ 1
ก่อนอื่นเราใช้เข็มทิศวางไว้ตรงกลางจุด O แล้ววาดวงกลมด้วยรัศมีตามอำเภอใจ ตอนนี้เราเห็นว่าวงกลมที่กำหนดตัดเส้น a ที่จุดสองจุด ให้สิ่งเหล่านี้เป็นจุด A และ B
ต่อไป เราวาดและวาดวงกลมจากจุด A และ B รัศมีของวงกลมเหล่านี้จะเป็น AB แต่จุด C จะเป็นจุดตัดของวงกลมเหล่านี้ หากคุณจำได้ว่าในตอนแรกเราได้คะแนน A และ B เมื่อเราวาดวงกลมและใช้รัศมีโดยพลการ
เป็นผลให้เราเห็นว่าเส้นตั้งฉากที่ต้องการผ่านจุด C และ O
การพิสูจน์
ในการพิสูจน์นี้ เราจำเป็นต้องวาดส่วน AC และ CB และเราเห็นว่าสามเหลี่ยมผลลัพธ์มีค่าเท่ากัน: Δ ACO = Δ BCO ซึ่งตามมาจากเกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ปรากฎว่า AO = OB, AC = CB และ CO เป็นเรื่องธรรมดาโดยการสร้าง มุมผลลัพธ์ ∠COA และ ∠COB เท่ากัน และทั้งคู่มีขนาดเท่ากับ 90° เป็นไปตามที่เส้น CO ตั้งฉากกับ AB
จากนี้ เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นนั้นตั้งฉากกัน ถ้าอย่างน้อยหนึ่งมุมตั้งฉากกัน ซึ่งหมายความว่ามุมดังกล่าวคือ 90 องศาและถูกต้อง
ตัวเลือกที่ 2
และตอนนี้ลองพิจารณาอีกรูปแบบหนึ่งของการสร้างเส้นตั้งฉาก โดยที่จุดที่กำหนดไม่ได้อยู่บนเส้น a
ในกรณีนี้ ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศ จากจุด O เราวาดวงกลมที่มีรัศมีที่วงกลมนี้ตัดกับเส้น a และให้จุด A และ B เป็นจุดตัดของวงกลมนี้กับเส้นที่กำหนด a
นอกจากนี้เราใช้รัศมีเท่ากัน แต่วาดวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางจะเป็นจุด A และ B เราดูรูปและเห็นว่าเรามีจุด O1 ซึ่งเป็นจุดตัดของวงกลมด้วยและอยู่ใน ครึ่งระนาบ แต่แตกต่างจากจุดที่ O ตั้งอยู่
สิ่งต่อไปที่เราจะทำคือลากเส้นตรงผ่านจุด O และ O1 นี่จะเป็นเส้นตั้งฉากที่เรามองหา
การพิสูจน์
สมมติว่าจุดตัดของเส้น OO1 และ AB คือจุด C จากนั้นสามเหลี่ยม AOB และ BO1A จะเท่ากันตามเกณฑ์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่สาม และ AO = OB = AO1 = O1B และ AB เป็นเรื่องธรรมดาโดยการสร้าง จากนี้เป็นไปตามที่มุม OAC และ O1AC เท่ากัน สามเหลี่ยม OAC และ O1AC ต่อจากเครื่องหมายแรกของความเท่ากันของสามเหลี่ยม AO เท่ากับ AO1 และโดยการสร้าง มุม OAC และ O1AC จะเท่ากับ AC ทั่วไป ดังนั้น มุม OCA จึงเท่ากับมุม O1CA แต่เนื่องจากพวกมันอยู่ติดกัน จึงหมายความว่าพวกมันเป็นเส้นตรง ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า OC เป็นแนวตั้งฉากซึ่งหลุดจากจุด O ไปยังเส้น a
ดังนั้น ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัด คุณจึงสามารถสร้างเส้นตั้งฉากได้อย่างง่ายดาย และไม่สำคัญว่าจุดที่เส้นตั้งฉากควรผ่านอยู่ที่ใดในส่วนนี้หรือนอกส่วนนี้สิ่งสำคัญในกรณีเหล่านี้คือการค้นหาและกำหนดจุดเริ่มต้น A และ B อย่างถูกต้อง
คำถาม:
- เส้นใดเรียกว่าตั้งฉาก?
- มุมระหว่างเส้นตั้งฉากคืออะไร?
- ใช้อะไรวาดเส้นตั้งฉาก?
ทฤษฎีบท.จากจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นนั้นได้
การพิสูจน์.ให้ A เป็นจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด a (รูปที่ 56, a) ให้เราพิสูจน์ว่าจากจุด A เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง a ได้ ให้เราพับระนาบตามแนวเส้นตรง a (รูปที่ 56, b) เพื่อให้ครึ่งระนาบที่มีขอบเขต a ซึ่งมีจุด A ทับอยู่บนระนาบอีกครึ่งหนึ่ง ในกรณีนี้ จุด A จะถูกซ้อนทับในบางจุด เขียนแทนด้วยตัวอักษร B มายืดระนาบให้ตรงแล้วลากเส้นตรงผ่านจุด A และ B
ให้ H เป็นจุดตัดของเส้น AB และ a (รูปที่ 56, c) เมื่อระนาบงออีกครั้งในแนวเส้นตรง จุด H จะยังคงอยู่กับที่ ดังนั้น รังสี HA จะซ้อนทับกับรังสี HB ดังนั้นมุม 1 จะตรงกับมุม 2 ดังนั้น ∠1 = ∠2 เนื่องจากมุม 1 และ 2 อยู่ติดกัน ผลบวกของมุม 1 คือ 180° ดังนั้นแต่ละมุมจึงเป็นมุมฉาก ดังนั้น ส่วน AH จึงตั้งฉากกับเส้น a ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
26. พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง (รูปที่ 57 ในหนังสือเรียน)
ทฤษฎีบท. จากจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง จะไม่สามารถลากเส้นตั้งฉากสองเส้นไปยังเส้นนั้นได้
การพิสูจน์.ให้ A เป็นจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด a (ดูรูปที่ 56, a) ให้เราพิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นตั้งฉากสองเส้นจากจุด A ไปยังเส้นตรง A สมมติว่าจากจุด A คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉาก AH และ AK สองเส้นเข้ากับเส้น a (รูปที่ 57) ให้เราพับระนาบตามแนวเส้นตรง a เพื่อให้ครึ่งระนาบที่มีขอบเขต a ซึ่งมีจุด A ซ้อนทับกับอีกครึ่งระนาบ เมื่อโค้งงอ จุด H และ K ยังคงอยู่ที่จุด A ซ้อนทับในบางจุด เขียนแทนด้วยตัวอักษร B ในกรณีนี้ ส่วน AH และ AK จะซ้อนทับในส่วน BH และ BK
มุม AHB และ AKB เป็นมุมตรง เนื่องจากแต่ละมุมมีค่าเท่ากับผลรวมของมุมฉากสองมุม ดังนั้น จุด A, H และ B อยู่บนเส้นเดียวกัน และจุด A, K และ B อยู่บนเส้นเดียวกันด้วย
ดังนั้นเราจึงได้รับว่า AH และ AK สองเส้นผ่านจุด A และ B แต่สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ ดังนั้น สมมติฐานของเราจึงผิด ซึ่งหมายความว่าจากจุด A เป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นตั้งฉากกับเส้น A สองเส้น ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
http://mthm.ru/geometry7/perpendicular
เส้นตั้งฉากปรากฏในโจทย์เรขาคณิตแทบทุกข้อ บางครั้งความตั้งฉากของเส้นจะทราบได้จากเงื่อนไข ในขณะที่ในกรณีอื่น ๆ ความตั้งฉากของเส้นจะต้องได้รับการพิสูจน์ เพื่อพิสูจน์ความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงโดยใช้วิธีการทางเรขาคณิตใดๆ ว่ามุมระหว่างเส้นคือ 90 องศา
และจะตอบคำถาม "เส้นตั้งฉาก" ได้อย่างไร หากทราบสมการที่กำหนดเส้นเหล่านี้บนระนาบหรือในปริภูมิสามมิติ
สำหรับสิ่งนี้คุณควรใช้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นสองเส้นที่จะตั้งฉากกัน. เรากำหนดในรูปแบบของทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท.
กและ ขจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางจะตรง กตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ข.
การพิสูจน์เงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้นขึ้นอยู่กับนิยามของเวกเตอร์กำกับของเส้นและนิยามของเส้นตั้งฉาก
มาเพิ่มความเฉพาะเจาะจงกัน
ให้นำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามาใช้บนระนาบ อ๊อกซี่และสมการของเส้นบนระนาบบางรูปแบบจะได้รับ กำหนดเส้น กและ ข. แสดงเวกเตอร์ทิศทางของเส้น กและ ขตามลำดับอีกด้วย ตามสมการของเส้น กและ ขเป็นไปได้ที่จะกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ - เราได้รับ และ . จากนั้นสำหรับการตั้งฉากของเส้น กและ ขจำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์และเป็นที่พอใจ นั่นคือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และเท่ากับศูนย์: 
.
ดังนั้น, กและ ขในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ๊อกซี่บนเครื่องบินมีรูปแบบ , ที่ไหน และ คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น กและ ขตามลำดับ
เงื่อนไขนี้สะดวกที่จะใช้เมื่อหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงได้ง่าย และเมื่อหาพิกัดโดยตรง กและ ขสอดคล้องกับสมการมาตรฐานของเส้นบนระนาบหรือสมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบ
ตัวอย่าง.
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ๊อกซี่จะได้รับสามคะแนน เส้นตั้งฉากหรือไม่? เอบีและ ออสเตรเลีย?
สารละลาย.
เวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เอบีและ ออสเตรเลีย. อ้างอิงถึงบทความพิกัดของเวกเตอร์โดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เราคำนวณ 
. เวกเตอร์และตั้งฉากตั้งแต่ 
. ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเส้นจึงเป็นที่พอใจ เอบีและ ออสเตรเลีย. ดังนั้นโดยตรง เอบีและ ออสเตรเลียตั้งฉาก
คำตอบ:
ใช่ เส้นตั้งฉากกัน
ตัวอย่าง.
ตรงและ 
ตั้งฉาก?
สารละลาย.
กำกับเวกเตอร์ตรง และ - กำกับเวกเตอร์ตรง . ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ: 
. มันไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจึงไม่ตั้งฉาก นั่นคือสภาพของเส้นตั้งฉากไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้น เส้นเดิมจึงไม่ตั้งฉาก
คำตอบ:
ไม่ เส้นไม่ตั้งฉาก
เช่นเดียวกัน, เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเส้น กและ ขในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ๊อกซี่ในพื้นที่สามมิติมีรูปแบบ 
, ที่ไหน 
และ 
- เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง กและ ขตามลำดับ
ตัวอย่าง.
เส้นที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมนั้นตั้งฉากหรือไม่ อ๊อกซี่ในปริภูมิสามมิติด้วยสมการ 
และ ?
สารละลาย.
ตัวเลขในตัวส่วนของสมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง และพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง ซึ่งกำหนดโดยสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ คือค่าสัมประสิทธิ์ของพารามิเตอร์ ดังนั้น, 
และเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด มาดูกันว่าพวกมันตั้งฉากกันหรือไม่: 
. เนื่องจากดอทโปรดัคเป็นศูนย์ เวกเตอร์เหล่านี้จึงตั้งฉาก ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้นที่กำหนด
คำตอบ:
เส้นตั้งฉาก
ในการตรวจสอบการตั้งฉากของเส้นสองเส้นในระนาบ มีเงื่อนไขอื่นๆ ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉาก
ทฤษฎีบท.
สำหรับเส้นตั้งฉาก กและ ขบนระนาบนั้นจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ปกติของเส้น กตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ข.
เงื่อนไขเสียงของเส้นตั้งฉากนั้นสะดวกที่จะใช้หากพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นสามารถหาได้ง่ายจากสมการของเส้นที่กำหนด ข้อความนี้สอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นตรงของแบบฟอร์ม 
, สมการของเส้นตรงในส่วนและสมการของเส้นตรงที่มีความชัน
ตัวอย่าง.
ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตรง 
และตั้งฉาก
สารละลาย.
ด้วยสมการของเส้น มันง่ายที่จะหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นเหล่านี้ เป็นเวกเตอร์เส้นตั้งฉาก . เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ 
จากจุดที่มองเห็นพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้: .
เวกเตอร์ และ ตั้งฉาก เนื่องจากผลคูณของสเกลาร์เป็นศูนย์: 
. ดังนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นที่กำหนดในแนวตั้งฉากจึงเป็นที่พึงพอใจ นั่นคือ พวกมันตั้งฉากกันจริงๆ
โดยเฉพาะถ้าเป็นทางตรง กบนระนาบกำหนดสมการของเส้นตรงที่มีความชันของรูปแบบ และเส้นตรง ข– ของรูปแบบ จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นเหล่านี้มีพิกัด และ ตามลำดับ และเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้นเหล่านี้จะลดลงตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม
ตัวอย่าง.
เป็นเส้น และ ?
สารละลาย.
ความชันของเส้นคือ และความชันของเส้นคือ ผลคูณของสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากับลบหนึ่ง ดังนั้น เส้นตั้งฉาก
คำตอบ:
กำหนดเส้นตั้งฉาก
อีกหนึ่งเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้นตรงบนระนาบสามารถเปล่งเสียงได้
ทฤษฎีบท.
สำหรับเส้นตั้งฉาก กและ ขบนระนาบ มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นหนึ่งและเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สองจะต้องเป็นเส้นตรง
เห็นได้ชัดว่าเงื่อนไขนี้สะดวกที่จะใช้เมื่อพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นหนึ่งและพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สองนั้นหาได้ง่าย นั่นคือ เมื่อเส้นหนึ่งกำหนดโดยสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกของเส้นตรง บนระนาบและอันที่สอง - โดยสมการทั่วไปของเส้นหรือสมการของเส้นในส่วนหรือสมการของเส้นตรงที่มีความชัน
ตัวอย่าง.
ตรงและตั้งฉาก?
สารละลาย.
แน่นอน เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง และเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง เวกเตอร์และไม่ใช่แนวร่วมเนื่องจากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของแนวร่วมของเวกเตอร์สองตัว (ไม่มีจำนวนจริงดังกล่าว ทีที่ซึ่ง) ดังนั้นเส้นที่กำหนดจึงไม่ตั้งฉาก
คำตอบ:
เส้นไม่ตั้งฉาก
21. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง มาแสดงวิธีทำกัน
ให้กำหนดเส้นตรงบนระนาบหรือในปริภูมิสามมิติ กและจุด ม.1ไม่นอนเป็นเส้นตรง ก. ให้ผ่านจุด ม.1โดยตรง ข, ตั้งฉากกับเส้น ก. แสดงจุดตัดของเส้น กและ ขยังไง H1. ส่วนของเส้น ม 1 เอช 1เรียกว่า ตั้งฉากดึงมาจากจุด ม.1เป็นเส้นตรง ก.
คำนิยาม.
ระยะทางจากจุด ม.1ตรงไป ก เรียกระยะห่างระหว่างจุด ม.1และ H1.
อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งนั้นพบได้บ่อยกว่า ซึ่งความยาวของเส้นตั้งฉากจะปรากฏขึ้น
คำนิยาม.
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นที่กำหนด
นิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามแรกของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
โปรดทราบว่าระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งเป็นระยะทางที่เล็กที่สุดของระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดบนเส้นที่กำหนด มาแสดงกันเถอะ
เอากันตรงๆ กจุด ถามซึ่งไม่ตรงกับประเด็น ม.1. ส่วนของเส้น เอ็ม 1 คิวเรียกว่า เอียงดึงมาจากจุด ม.1เป็นเส้นตรง ก. เราต้องแสดงว่าเส้นตั้งฉากที่ดึงออกมาจากจุด ม.1เป็นเส้นตรง กน้อยกว่าความชันใด ๆ ที่ลากจากจุด ม.1เป็นเส้นตรง ก. มันคือ: สามเหลี่ยม ม 1 คิวเอช 1สี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก เอ็ม 1 คิวและความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมากกว่าความยาวของขาใดๆ เสมอ ดังนั้น 
.
22. เครื่องบินในอวกาศ R3. สมการระนาบ
สมการสามารถกำหนดระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนได้ 
ซึ่งถูกเรียกว่า สมการทั่วไปเครื่องบิน
คำนิยาม.เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบและเรียกมันว่า เวกเตอร์ปกติ
หากในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมทราบว่าพิกัดของจุดสามจุดไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว สมการของระนาบจะเขียนเป็น: 
.
เมื่อคำนวณปัจจัยนี้แล้ว เราจะได้สมการทั่วไปของระนาบ
ตัวอย่าง.เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ.
สารละลาย:
สมการระนาบ: .
23. การศึกษาสมการทั่วไปของระนาบ
คำจำกัดความ 2 เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบเรียกว่าเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนั้น
หากทราบจุดที่แน่นอนแล้ว ม 0 (x 0 , ย 0 , ซี 0) อยู่ในระนาบที่กำหนดและเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด จากนั้นสมการของระนาบที่ผ่านจุด ม 0 (x 0 , ย 0 , ซี 0) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ มีรูปแบบ
ก(x-x 0)+บี(ปป 0)+ ค(z-z 0)= 0. (3.22)
ให้เราแสดงว่าสมการ (3.22) เป็นสมการทั่วไปของระนาบ (3.21) ในการทำเช่นนี้ ให้เปิดวงเล็บและรวบรวมคำศัพท์ฟรีในวงเล็บ:
.ขวาน+By+Cz+(-ขวาน 0 -By-Cz 0)= 0
หมายถึง ง = -ขวาน 0 -By-Cz 0 เราจะได้สมการ Ax+By+Cz+D= 0.
ภารกิจที่ 1เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด A ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ถ้า ก(4, -3, 1), ข(1, 2, 3).
สารละลาย.มาหาเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบกัน:
ในการหาสมการระนาบ เราใช้สมการ (3.22):
คำตอบ: -3x + 5ย + 2ซี + 25 = 0.
ภารกิจที่ 2เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด ม 0 (-1, 2, -1) ตั้งฉากกับแกน ออนซ์.
สารละลาย.ในฐานะที่เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ต้องการ คุณสามารถหาเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามที่วางอยู่บนแกน OZ เช่น , แล้วสมการของระนาบ
คำตอบ: ซี + 1 = 0.
24. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่งถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งซึ่งเป็นจุดที่กำหนดให้ และอีกจุดหนึ่งคือการฉายภาพของจุดที่กำหนดให้ไปยังระนาบที่กำหนด
ให้จุดในพื้นที่สามมิติ ม.1และเครื่องบิน ให้ผ่านจุด ม.1โดยตรง กตั้งฉากกับระนาบ แสดงจุดตัดของเส้น กและเครื่องบินเช่น H1. ส่วนของเส้น ม 1 เอช 1เรียกว่า ตั้งฉาก, ลดลงจากจุด ม.1ไปยังระนาบและจุดหนึ่ง H1 – ฐานตั้งฉาก.
คำนิยาม.
คือระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดให้ไปยังระนาบที่กำหนด
คำจำกัดความของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบนั้นพบได้บ่อยในรูปแบบต่อไปนี้
คำนิยาม.
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกระนาบคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนด
ควรสังเกตว่าระยะห่างจากจุด ม.1ถึงระนาบที่กำหนดด้วยวิธีนี้เป็นระยะทางที่น้อยที่สุดจากจุดที่กำหนดให้ ม.1ไปยังจุดใดก็ได้ในระนาบ แน่นอนให้ประเด็น H2อยู่ในระนาบและแตกต่างจากจุด H1. เป็นรูปสามเหลี่ยมอย่างเห็นได้ชัด ม 2 เอช 1 เอช 2เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า, ม 1 เอช 1- สายสวนและ ม1ฮ2คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น 
. โดยวิธีการตัด ม1ฮ2เรียกว่า เอียงดึงมาจากจุด ม.1ไปที่เครื่องบิน ดังนั้น เส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่งจะน้อยกว่าเส้นเอียงที่ลากจากจุดเดียวกันไปยังระนาบหนึ่งเสมอ
ถ้าเส้นผ่านสองจุดที่กำหนดให้ ,
แล้วเธอ สมการเขียนไว้ในแบบฟอร์ม : 
.
คำนิยาม.เรียกว่าเวกเตอร์ แนวทางเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ขนานกันหรือเป็นของเส้นตรง
ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด 
.
วิธีแก้ไข: เราใช้สูตรทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด: - สมการบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุด และ เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์นำทางโดยตรง
26. การจัดเรียงเส้นร่วมกันในพื้นที่ R3
ไปที่ตัวเลือกสำหรับการจัดเรียงร่วมกันของสองบรรทัดในอวกาศ
ประการแรก บรรทัดสองเส้นสามารถตรงกัน นั่นคือ มีจุดร่วมมากมายไม่จำกัด (อย่างน้อยสองจุดร่วมกัน)
ประการที่สอง เส้นสองเส้นในอวกาศสามารถตัดกัน นั่นคือมีจุดร่วมหนึ่งจุด ในกรณีนี้ เส้นทั้งสองนี้อยู่ในระนาบของปริภูมิสามมิติ ถ้าเส้นสองเส้นตัดกันในอวกาศ เราก็มาถึงแนวคิดของมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน
ประการที่สาม เส้นสองเส้นในอวกาศสามารถขนานกันได้ ในกรณีนี้ พวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วมกัน เราขอแนะนำให้ศึกษาบทความ เส้นขนาน เส้นคู่ขนาน
หลังจากที่เราให้คำจำกัดความของเส้นขนานในอวกาศแล้ว เราควรพูดถึงเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเนื่องจากความสำคัญ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่วางอยู่บนเส้นนี้หรือบนเส้นที่ขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนดจะเรียกว่าเวกเตอร์กำกับเส้น เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงมักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้นตรงในอวกาศ
ในที่สุด เส้นสองเส้นในพื้นที่สามมิติสามารถเอียงได้ เส้นสองเส้นในอวกาศจะตัดกันหากไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน การจัดเรียงเส้นสองเส้นในพื้นที่ร่วมกันนี้ทำให้เราได้แนวคิดเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นเอียง
สิ่งสำคัญในทางปฏิบัติโดยเฉพาะคือกรณีที่มุมระหว่างเส้นตัดหรือเส้นเอียงในปริภูมิสามมิติคือ 90 องศา เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นตั้งฉาก (ดูบทความ เส้นตั้งฉาก, ความตั้งฉากของเส้น)
27. การจัดเรียงเส้นตรงและระนาบในพื้นที่ R3
เส้นตรงสามารถอยู่บนระนาบที่กำหนด ขนานกับระนาบที่กำหนด หรือตัดกันที่จุดหนึ่ง ดูตัวเลขต่อไปนี้
ถ้า หมายความว่า และเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเส้นอยู่บนระนาบหรือขนานกับมัน ถ้าเส้นอยู่บนระนาบ จุดใดๆ บนเส้นนั้นจะเป็นจุดบนระนาบ และพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นจะเป็นไปตามสมการของระนาบ ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบว่าจุดอยู่บนระนาบหรือไม่ ถ้า แล้วจุด 
- อยู่บนระนาบซึ่งหมายความว่าเส้นนั้นอยู่บนระนาบ
ถ้า , a แล้วจุดบนเส้นไม่อยู่บนระนาบ ซึ่งหมายความว่าเส้นนั้นขนานกับระนาบ
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
บทเรียนวิดีโอ "ตั้งฉากกับเส้นตรง" เป็นตัวช่วยภาพที่สามารถนำมาใช้ในบทเรียนเรขาคณิตในหัวข้อนี้ วิดีโอการสอนประกอบด้วยการแนะนำแนวคิดของเส้นตั้งฉาก เช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด
ด้วยความช่วยเหลือของบทเรียนวิดีโอทำให้ง่ายต่อการเรียนรู้เนื้อหาเนื่องจากสิ่งก่อสร้างทั้งหมดทำขึ้นโดยใช้แอนิเมชั่นโดยเลียนแบบการสาธิตเนื้อหาโดยครูโดยใช้กระดานดำ ในกรณีนี้ รายละเอียดที่สำคัญทั้งหมดจะถูกเน้นด้วยสีหรือเคอร์เซอร์พิเศษ คำอธิบายโดยละเอียดที่มาพร้อมกับการก่อสร้างอย่างชัดเจนและเข้าใจได้นำเสนอหนึ่งในส่วนที่ยากที่สุดของรูปทรงเรขาคณิต นั่นก็คือการพิสูจน์ บทเรียนวิดีโอสามารถกลายเป็นส่วนที่เป็นอิสระของบทเรียน ทำให้ครูไม่ต้องทำงานส่วนตัวหรือทำร่วมกับคำอธิบาย
ในตอนต้นของบทเรียนวิดีโอ จะมีการประกาศชื่อหัวข้อ "ตั้งฉากกับเส้นตรง" การสร้างเส้นตั้งฉากเริ่มต้นด้วยการสร้างจุด A และเส้นตรง A จากจุด A ถึงเส้น a ส่วนจะลดลงถึงจุด H แสดงว่าส่วน AN ซึ่งลดระดับลงไปที่เส้น a จะเรียกว่าเส้นตั้งฉากหากเส้นที่ผ่านส่วนนี้ตั้งฉากกับเส้น a ในรูปภาพที่มาพร้อมกับคำอธิบาย มุมฉากที่เกิดขึ้นระหว่างเส้นเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยสัญลักษณ์พิเศษ และด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชั่น ทำให้ส่วน AH ดำเนินต่อไปเป็นเส้นตรง จากคำกล่าวนี้ คำนิยามของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดให้เป็นส่วนที่เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด คำจำกัดความจะแสดงบนหน้าจอ โดยเน้นแนวคิดที่ศึกษาด้วยสีแดง งานนำเสนอดังกล่าวเน้นความสนใจของนักเรียนเกี่ยวกับคำจำกัดความ เป็นไปได้ที่จะจดลงในสมุดบันทึกซึ่งง่ายต่อการจดจำ สังเกตว่าจุด H ที่เส้นเหล่านี้ตัดกันเรียกว่าฐานของเส้นตั้งฉาก
ต่อไป นักเรียนจะได้นำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญที่จะช่วยแก้ปัญหาทางเรขาคณิตมากมายและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ข้อความของทฤษฎีบทจะแสดงบนหน้าจอและสามารถเสนอให้เขียนในสมุดบันทึกของนักเรียน การพิสูจน์ทฤษฎีบทเริ่มต้นด้วยการสร้างเส้น BC และจุด A ที่ไม่อยู่ในเส้น BC ส่วนแรกของการพิสูจน์คือ จากจุด A เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับเส้น BC ได้ เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ขั้นแรก สร้างมุม ∠МВС ซึ่งเท่ากับมุม ∠АВС ซึ่งสร้างขึ้นจากจุดเริ่มต้นของรังสีก่อนคริสต์ศักราช เนื่องจากมุมเหล่านี้เท่ากัน ด้าน BA และ BC ของ ∠ABC ก็ตรงกับด้าน BM และ BC ของมุม ∠MBC ในกรณีนี้ จุด A ซ้อนทับจุด A 1 มีการทำเครื่องหมายจุด H ซึ่งเป็นจุดตัดของส่วน AA 1 และเส้นตรง BC การซ้อนทับนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการเบี่ยงเบนของรูปแบบตามเส้นตรง BC ในกรณีนี้ ส่วน AH ที่ได้รับจากการก่อสร้างจะตั้งฉากกับเส้นตรง H และลำแสง HA จะรวมกับลำแสง HA 1 ในกรณีนี้ ∠1 - มุมตัดกันของส่วน AH และเส้น BC ซ้อนทับบน ∠2 - มุมตัดกันของส่วน HA 1 และเส้น BC ในกรณีนี้ มุม ∠1 และ ∠2 อยู่ติดกัน เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าแต่ละมุมเหล่านี้เป็นมุมฉาก เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 ° และเนื่องจากมุมฉากเกิดขึ้นที่จุดตัด ดังนั้น AH จึงตั้งฉากกับเส้น BC การกำหนดเส้นตั้งฉากจะแสดงบนหน้าจอด้วยสัญลักษณ์พิเศษที่จัดสรรไว้สำหรับการท่องจำ
ส่วนที่สองของการพิสูจน์อุทิศให้กับข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถลากเส้นตั้งฉากกับ BC จากจุด A ได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น สำหรับสิ่งนี้ มีการก่อสร้างเพิ่มเติมใต้รูปแรก การพิสูจน์คือความขัดแย้ง สันนิษฐานว่าจากจุด A เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นหลายเส้นตั้งฉากกับเส้น BC ในภาพ นอกจากเส้นตั้งฉากแล้ว ยังมีการลากเส้นอีกหนึ่งเส้น ซึ่งลดระดับจากจุด A ไปยังเส้น BC อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่าเส้น AH 1 ที่สร้างขึ้นจะตัดกับ AH ตั้งฉากที่มีอยู่ และนี่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น จากจุด A สามารถลากเส้นตรงเพียงเส้นเดียวในแนวตั้งฉากกับ BC ได้ ซึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้
ครูสามารถใช้บทเรียนวิดีโอ "ตั้งฉากกับเส้น" เพื่อนำเสนอเนื้อหาใหม่ในหัวข้อนี้ นอกจากนี้ หลักฐานที่ชัดเจนและเป็นภาพจะช่วยให้นักเรียนเข้าใจหัวข้อใหม่ด้วยตนเอง นอกจากนี้ยังสามารถใช้เนื้อหาในการเรียนรู้ทางไกล
