สามเหลี่ยมมีอะไรบ้าง. มุมของสามเหลี่ยมเรียกว่าอะไร? ความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยม

หากสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นเชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ เราจะได้สามเหลี่ยม ด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมักเรียกว่าฐาน

ทฤษฎีบท.ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 0

ถ้ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม สามเหลี่ยมนั้นจะถูกเรียกว่า มุมแหลม.

ถ้ามุมหนึ่งของสามเหลี่ยมเป็นมุมป้าน สามเหลี่ยมนั้นก็จะเรียกว่า ป้าน.

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเรียกว่า สี่เหลี่ยม. ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากและอีกสองด้าน ขา.

ในสามเหลี่ยมใดๆ มุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่า ด้านตรงข้ามเท่ากัน - มุมเท่ากัน และในทางกลับกัน ด้านใดของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ และมากกว่าผลต่างของอีกสองด้านที่เหลือด้วย

ต่อด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม เราได้มุมด้านนอก มุม ABD - ภายนอก.

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน องค์ประกอบ (ด้านและมุม) ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับองค์ประกอบของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ

ทฤษฎีบท.สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการ ถ้าด้านสองด้านและมุมระหว่างรูปสามเหลี่ยมทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างทั้งสองข้างของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ

ทฤษฎีบท.สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการ ถ้าด้านและมุมประชิดสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากัน ตามลำดับ กับด้านหนึ่งและมุมประชิดสองมุมของอีกมุมหนึ่ง

ทฤษฎีบท.สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการ ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับสามด้านของอีกด้านหนึ่งตามลำดับ

ค่ามัธยฐาน แบ่งครึ่ง และความสูงของรูปสามเหลี่ยม

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม.

รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุมหนึ่งแล้วหารออกเป็นสองมุมเท่าๆ กัน เรียกว่า แบ่งครึ่ง. bisector แบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนกับด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังเส้นที่มีด้านตรงข้ามเรียกว่า สูงสามเหลี่ยม.

จุดสามเหลี่ยมที่ยอดเยี่ยม 1) เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

2) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

3) ความสูงของสามเหลี่ยม (หรือส่วนต่อขยาย) ตัดกันที่จุดหนึ่ง

4) ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมเรียกว่าหน้าจั่วถ้าด้านสองด้านเท่ากัน ด้านเท่ากันเรียกว่า ข้างและบุคคลที่สาม พื้นฐานสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากันเรียกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่า

ทฤษฎีบท.ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน

ทฤษฎีบท.ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและความสูง

วิทยาศาสตร์ของเรขาคณิตบอกเราว่าสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ลูกบาศก์คืออะไร ในโลกสมัยใหม่ทุกคนมีการศึกษาในโรงเรียนโดยไม่มีข้อยกเว้น นอกจากนี้ วิทยาศาสตร์ที่ศึกษาโดยตรงว่าสามเหลี่ยมคืออะไรและมีคุณสมบัติอย่างไรคือตรีโกณมิติ เธอสำรวจในรายละเอียดเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ data เราจะพูดถึงสามเหลี่ยมในบทความของเราในวันนี้ ประเภทของพวกเขาจะอธิบายไว้ด้านล่าง เช่นเดียวกับบางทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา

สามเหลี่ยมคืออะไร? คำนิยาม

นี่คือรูปหลายเหลี่ยมแบน มีสามมุมซึ่งเห็นได้ชัดเจนจากชื่อ นอกจากนี้ยังมีสามด้านและจุดยอดสามจุด อันแรกเป็นส่วน ส่วนที่สองเป็นจุด เมื่อรู้ว่ามุมสองมุมมีค่าเท่ากับเท่าใด คุณสามารถหามุมที่สามได้โดยการลบผลรวมของสองมุมแรกออกจากตัวเลข 180

สามเหลี่ยมคืออะไร?

สามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์ต่างๆ

ประการแรกพวกเขาจะแบ่งออกเป็นมุมแหลมมุมป้านและสี่เหลี่ยม มุมแรกมีมุมแหลมนั่นคือมุมที่น้อยกว่า 90 องศา ในมุมป้าน มุมหนึ่งเป็นมุมป้าน นั่นคือ มุมหนึ่งมีค่ามากกว่า 90 องศา อีกมุมหนึ่งเป็นมุมแหลม สามเหลี่ยมเฉียบพลันรวมถึงสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย สามเหลี่ยมดังกล่าวมีด้านและมุมเท่ากันทุกประการ พวกมันทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 60 องศา ซึ่งคำนวณได้ง่าย ๆ โดยการหารผลรวมของมุมทั้งหมด (180) ด้วยสาม

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พูดถึงสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวเลขดังกล่าวมีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา (ตรง) นั่นคือด้านสองด้านตั้งฉาก อีกสองมุมเป็นมุมแหลม พวกมันเท่ากันได้ แล้วมันจะเป็นหน้าจั่ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถค้นหาด้านที่สาม โดยรู้สองด้านแรก ตามทฤษฎีบทนี้ หากคุณบวกกำลังสองของขาข้างหนึ่งเข้ากับกำลังสองของอีกข้างหนึ่ง คุณจะได้กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตารางของขาสามารถคำนวณได้โดยการลบกำลังสองของขาที่รู้จักออกจากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อพูดถึงสามเหลี่ยมคืออะไร เราสามารถจำหน้าจั่วได้ นี่คือมุมหนึ่งที่ด้านสองด้านเท่ากัน และมุมสองมุมก็เท่ากัน

ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร?

ขาเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่เหลือซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก จากนั้นสามารถวางแนวตั้งฉากลงบนขาได้ อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าโคไซน์ และด้านตรงข้ามเรียกว่าไซน์

- คุณสมบัติของมันคืออะไร?

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขาของมันคือสามและสี่ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือห้า ถ้าคุณเห็นว่าขาของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับสามและสี่ คุณแน่ใจได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับห้า นอกจากนี้ ตามหลักการนี้ สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายว่าขาจะเท่ากับสามถ้าวินาทีเท่ากับสี่ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือห้า เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส หากสองขาเป็น 3 และ 4 แล้ว 9 + 16 \u003d 25 รากของ 25 คือ 5 นั่นคือด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5 นอกจากนี้สามเหลี่ยมอียิปต์ยังเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีด้านเป็น 6, 8 และ 10 ; 9, 12 และ 15 และตัวเลขอื่นๆ ที่มีอัตราส่วน 3:4:5

สามเหลี่ยมอะไรได้อีก?

สามเหลี่ยมยังสามารถจารึกและล้อมรอบ รูปที่อธิบายวงกลมนั้นเรียกว่าถูกจารึกไว้ จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดที่วางอยู่บนวงกลม สามเหลี่ยมที่ถูกล้อมรอบคือรูปที่วงกลมถูกจารึกไว้ ทุกด้านสัมผัสกับมันในบางจุด

อย่างไร

พื้นที่ของตัวเลขใด ๆ วัดเป็นตารางหน่วย (ตารางเมตร ตารางมิลลิเมตร ตารางเซนติเมตร เดซิเมตร ตาราง ฯลฯ) ค่านี้สามารถคำนวณได้หลายวิธีขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปใดๆ ที่มีมุมหาได้จากการคูณด้านของมันด้วยเส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากมุมตรงข้าม แล้วหารรูปนี้ด้วยสอง คุณยังหาค่านี้ได้ด้วยการคูณทั้งสองข้าง แล้วคูณจำนวนนี้ด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้, แล้วหารด้วยสอง เมื่อรู้ทุกด้านของสามเหลี่ยม แต่ไม่รู้มุม คุณสามารถหาพื้นที่ด้วยวิธีอื่นได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องหาเส้นรอบวงครึ่งหนึ่ง จากนั้นลบด้านต่างๆ ออกจากตัวเลขนี้แล้วคูณค่าทั้งสี่ที่ได้รับ ต่อไปหาเลขที่ออกมา พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้นั้นหาได้จากการคูณด้านทั้งหมดแล้วหารจำนวนที่ได้ซึ่งถูกล้อมรอบด้วยสี่

พบพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่อธิบายไว้ในลักษณะนี้: เราคูณครึ่งปริมณฑลด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ หากสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้ เรายกกำลังด้านข้าง คูณตัวเลขผลลัพธ์ด้วยรากของสาม แล้วหารตัวเลขนี้ด้วยสี่ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณความสูงของสามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านเท่ากันได้ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคูณหนึ่งในนั้นด้วยรากของสามแล้วหารจำนวนนี้ด้วยสอง

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทหลักที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขนี้คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่อธิบายไว้ข้างต้นและโคไซน์ อันที่สอง (ไซน์) คือว่า ถ้าคุณหารด้านใดๆ ด้วยไซน์ของมุมตรงข้าม คุณจะได้รัศมีของวงกลมที่อธิบายรอบมัน คูณด้วยสอง ที่สาม (โคไซน์) คือว่าถ้าผลรวมของกำลังสองของสองด้านถูกลบออกจากผลคูณของมัน คูณด้วยสองและโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างพวกมัน จะได้กำลังสองของด้านที่สาม

สามเหลี่ยมต้าหลี่ - มันคืออะไร?

หลายคนต้องเผชิญกับแนวคิดนี้ ในตอนแรกคิดว่านี่เป็นคำจำกัดความบางอย่างในเรขาคณิต แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น สามเหลี่ยมต้าหลี่เป็นชื่อสามัญของสถานที่สามแห่งที่มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชีวิตของศิลปินที่มีชื่อเสียง “ยอด” ของมันคือบ้านที่ซัลวาดอร์ ดาลีอาศัยอยู่ ปราสาทที่เขามอบให้กับภรรยาของเขา และพิพิธภัณฑ์ภาพวาดเหนือจริง ระหว่างการเที่ยวชมสถานที่เหล่านี้ คุณจะได้เรียนรู้ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับศิลปินผู้สร้างสรรค์ผลงานชิ้นนี้ ซึ่งเป็นที่รู้จักไปทั่วโลก

สัญกรณ์มาตรฐาน

สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด อา, บีและ คแสดงเป็น (ดูรูป) สามเหลี่ยมมีสามด้าน:

ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก (a, b, c):

สามเหลี่ยมมีมุมดังต่อไปนี้:

มุมที่จุดยอดที่สอดคล้องกันจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีก (α, β, γ)

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมบนระนาบแบบยุคลิดสามารถกำหนดได้ไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับความสอดคล้องกัน) โดยกำหนดสามองค์ประกอบพื้นฐานต่อไปนี้:

1. a, b, γ (ความเท่าเทียมกันของทั้งสองด้านและมุมที่วางอยู่ระหว่างพวกเขา);
2. a, β, γ (ความเสมอภาคในด้านข้างและมุมประชิดสองมุม);
3. a, b, c (ความเท่าเทียมกันทั้งสามด้าน)

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

1. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก
2. บนสองขา
3. ตามขาและมุมแหลม
4. ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

บางจุดในรูปสามเหลี่ยมถูก "จับคู่" ตัวอย่างเช่น มีจุดสองจุดที่มองเห็นทุกด้านที่มุม 60° หรือที่มุม 120° เรียกว่า จุด Torricelli. นอกจากนี้ยังมีจุดสองจุดที่ฉายด้านข้างอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ นี้ - จุด Apollonius. คะแนนและอื่น ๆ เรียกว่า คะแนนโบรการ์ด.

โดยตรง

ในสามเหลี่ยมใดๆ จุดศูนย์ถ่วง จุดศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า สายออยเลอร์.

เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและจุด Lemoine เรียกว่า แกนโบรการ์. จุด Apollonius อยู่บนนั้น จุด Torricelli และจุด Lemoine ก็อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ฐานของเส้นแบ่งครึ่งด้านนอกของมุมของสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า แกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอก. จุดตัดของเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากกับเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมนั้นอยู่บนเส้นเดียวกันด้วย สายนี้เรียกว่า แกนออร์โธเซนตริก, ตั้งฉากกับเส้นออยเลอร์

หากเราเอาจุดบนวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมแล้ว การฉายที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นเรียกว่า เส้นตรงของซิมสันจุดที่กำหนดให้ เส้นตรงของจุดตรงข้ามตามเส้นทแยงมุมของ Simson นั้นตั้งฉาก

สามเหลี่ยม

• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ฐานของเซเวียนลากผ่านจุดที่กำหนดเรียกว่า สามเหลี่ยมซีเวียนจุดนี้.
• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในเส้นโครงของจุดที่กำหนดที่ด้านข้างเรียกว่า ใต้ผิวหนังหรือ สามเหลี่ยมเหยียบจุดนี้.
• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่จุดตัดที่สองของเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดที่กำหนดที่มีวงกลมล้อมรอบเรียกว่า สามเหลี่ยมซีเวียน. สามเหลี่ยม Cevian นั้นคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมใต้ผิวหนัง

วงกลม

• วงกลมจารึกเป็นวงกลมแทนเจนต์ของทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม เธอเป็นคนเดียว ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้เรียกว่า incenter.
• วงกลม- วงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม วงกลมที่ล้อมรอบก็มีเอกลักษณ์เช่นกัน
• Excircle- วงกลมสัมผัสด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและส่วนขยายของอีกสองด้าน มีสามวงกลมดังกล่าวในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางรากของมันคือศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ของสามเหลี่ยมมัธยฐานที่เรียกว่า ประเด็นของสปีกเกอร์.

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ฐานของความสูงทั้งสาม และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงทั้งสามที่เชื่อมต่อจุดยอดกับศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์อยู่บนวงกลมเดียวเรียกว่า วงกลมเก้าแต้มหรือ วงกลมออยเลอร์. จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่บนเส้นออยเลอร์ วงกลมที่มีเก้าจุดสัมผัสวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมนอกสามวง จุดสัมผัสระหว่างวงกลมที่จารึกไว้กับวงกลมเก้าจุดเรียกว่า จุด Feuerbach. หากจากจุดยอดแต่ละอันเราจัดวางสามเหลี่ยมบนเส้นตรงที่มีด้านต่างๆ orthoses ยาวเท่ากันกับด้านตรงข้ามดังนั้นหกจุดที่เป็นผลลัพธ์จะอยู่ในวงกลมเดียว - วงการคอนเวย์. ในสามเหลี่ยมใดๆ วงกลมสามวงสามารถถูกจารึกในลักษณะที่แต่ละวงกลมสัมผัสทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมและวงกลมอีกสองวง วงกลมดังกล่าวเรียกว่า วงการมัลฟัตตี. ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมหกรูปที่สามเหลี่ยมหารด้วยค่ามัธยฐานอยู่บนวงกลมหนึ่งวงซึ่งเรียกว่า วงเวียนละมุล.

สามเหลี่ยมมีวงกลมสามวงที่แตะสองด้านของสามเหลี่ยมและวงกลมที่ล้อมรอบ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า กึ่งจารึกหรือ วงกลม Verrier. ส่วนเชื่อมต่อจุดสัมผัสของวงกลม Verrier กับวงกลมล้อมรอบตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า จุด Verrier. มันทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางของ homothety ซึ่งนำวงกลมที่ล้อมรอบไปยัง incircle จุดสัมผัสของวงกลม Verrier กับด้านข้างอยู่บนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสัมผัสของวงกลมที่จารึกไว้กับจุดยอดตัดกัน ณ จุดหนึ่ง เรียกว่า จุด Gergonneและส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดสัมผัสของ excircle - in จุดนาเจล.

วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา

จารึกรูปกรวย (วงรี) และมุมมองของมัน

สามารถเขียนรูปกรวยจำนวนอนันต์ (วงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา) ในรูปสามเหลี่ยมได้ หากเราเขียนรูปกรวยตามอำเภอใจในรูปสามเหลี่ยมและเชื่อมจุดสัมผัสกับจุดยอดตรงข้าม เส้นที่ได้จะตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า ทัศนคติรูปกรวย สำหรับจุดใดๆ ของระนาบที่ไม่ได้นอนตะแคงข้างหรือตรงส่วนต่อขยาย มีรูปกรวยที่มีเปอร์สเปคทีฟที่จารึกไว้อยู่ ณ จุดนี้

วงรีของ Steiner ถูกล้อมรอบและเซเวียร์ผ่านจุดโฟกัส

วงรีสามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่แตะด้านข้างที่จุดกึ่งกลาง วงรีดังกล่าวเรียกว่า Steiner จารึกวงรี(เปอร์สเปคทีฟจะเป็นเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม) วงรีที่อธิบายไว้ซึ่งสัมผัสกับเส้นที่ลากผ่านจุดยอดขนานกับด้านข้างเรียกว่า ล้อมรอบด้วยวงรี Steiner. หากการเปลี่ยนรูปแบบคล้ายคลึง ("เอียง") แปลรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จากนั้นวงรี Steiner ที่จารึกและล้อมรอบจะเข้าสู่วงกลมที่จารึกและล้อมรอบ Cevians ที่ลากผ่านจุดโฟกัสของวงรี Steiner ที่อธิบายไว้ (จุด Skutin) นั้นเท่ากัน (ทฤษฎีบทของ Skutin) จากวงรีที่อธิบายไว้ทั้งหมด วงรี Steiner ที่อธิบายนั้นมีพื้นที่ที่เล็กที่สุด และจากวงรีที่จารึกไว้ วงรี Steiner ที่จารึกไว้นั้นมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด

วงรีของโบรการ์ดและมุมมอง - Lemoine point

วงรีที่มีจุดโฟกัสอยู่ที่จุดของโบรการ์เรียกว่า วงรีโบรการ์ด. มุมมองของมันคือจุด Lemoine

คุณสมบัติของพาราโบลาที่จารึกไว้

คีเพิร์ต พาราโบลา

มุมมองของพาราโบลาที่จารึกอยู่บนวงรี Steiner ที่ล้อมรอบ จุดเน้นของพาราโบลาที่จารึกไว้จะอยู่บนวงกลมที่ล้อมรอบ และไดเรกทริกซ์จะเคลื่อนผ่านออร์โธเซ็นเตอร์ พาราโบลาที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมซึ่งไดเร็กทริกซ์คือเส้นออยเลอร์เรียกว่า พาราโบลาของคีเพิร์ต. มุมมองของมันคือจุดที่สี่ของจุดตัดของวงกลมที่ล้อมรอบและวงรี Steiner ที่ล้อมรอบเรียกว่า จุดสไตเนอร์.

อติพจน์ของ Cypert

หากไฮเปอร์โบลาที่อธิบายไว้ผ่านจุดตัดของความสูง แสดงว่าเป็นด้านเท่ากันหมด (กล่าวคือ เส้นกำกับจะตั้งฉาก) จุดตัดของเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาด้านเท่าอยู่บนวงกลมเก้าจุด

การแปลงร่าง

ถ้าเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดบางจุดไม่ได้อยู่ด้านข้างและส่วนต่อขยายของเส้นนั้นสะท้อนถึงเส้นแบ่งครึ่งที่สัมพันธ์กัน ภาพเหล่านั้นก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่า คอนจูเกตแบบ isogonallyอันเดิม (ถ้าจุดอยู่บนวงกลมที่ล้อมรอบ เส้นที่ได้จะขนานกัน) จุดที่น่าสังเกตหลายคู่เป็นคอนจูเกตแบบไอโซกอน: จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและออร์โธเซนเตอร์ จุดเซนทรอยด์และจุดเลมอยน์ จุดโบรการ์ด จุด Apollonius จะคอนจูเกตแบบไอโซกอนกับจุด Torricelli และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นจะคอนจูเกตแบบไอโซกอนกับตัวมันเอง ภายใต้การกระทำของการคอนจูเกตแบบไอโซกอน เส้นตรงเข้าสู่รูปกรวยที่ล้อมรอบ และรูปกรวยที่ล้อมรอบเป็นเส้นตรง ดังนั้นไฮเปอร์โบลา Kiepert และแกนโบรการ์ด, ไฮเพอร์โบลา Enzhabek และเส้นออยเลอร์, ไฮเพอร์โบลา Feuerbach และเส้นกึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้จะคอนจูเกตแบบไอโซกอน วงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมใต้ผิวหนังของจุดคอนจูเกตแบบไอโซกอนจะตรงกัน จุดโฟกัสของวงรีที่จารึกไว้เป็นคอนจูเกตแบบไอโซกอน

หากแทนที่จะเป็นเซเวียนแบบสมมาตรเราใช้เซเวียนซึ่งมีฐานอยู่ไกลจากตรงกลางด้านข้างเท่ากับฐานของเซเวียนดั้งเดิมจากนั้นเซเวียนดังกล่าวก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งเช่นกัน การแปลงผลลัพธ์เรียกว่า การผันไอโซโทนิก. นอกจากนี้ยังจับคู่เส้นกับรูปกรวยที่ล้อมรอบ จุด Gergonne และ Nagel เป็นคอนจูเกตแบบไอโซโทม ภายใต้การแปลงแบบคล้ายคลึง จุดคอนจูเกตแบบไอโซโทมจะส่งผ่านไปยังจุดคอนจูเกตแบบไอโซโทม ที่คอนจูเกชันของไอโซโทมี วงรี Steiner ที่อธิบายไว้จะผ่านเข้าไปในเส้นตรงที่อนันต์

หากในส่วนที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมถูกตัดออกจากวงกลมที่ล้อมรอบ วงกลมจะถูกจารึกไว้ซึ่งสัมผัสด้านข้างที่ฐานของ cevians ที่ลากผ่านจุดใดจุดหนึ่งจากนั้นจุดสัมผัสของวงกลมเหล่านี้จะเชื่อมต่อกับวงกลม วงกลมที่มีจุดยอดตรงกันข้าม แล้วเส้นดังกล่าวจะตัดกันที่จุดหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงของระนาบซึ่งตรงกับจุดเดิมกับจุดที่เกิดเรียกว่า การแปลงแบบมีมิติเท่ากัน. องค์ประกอบของการผันไอโซกอนและไอโซโทมิกเป็นองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงไอโซเซอร์คิวลาร์ด้วยตัวมันเอง องค์ประกอบนี้เป็นการแปลงแบบโปรเจ็กเตอร์ที่ทำให้ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมอยู่ในตำแหน่ง และแปลงแกนของเส้นแบ่งครึ่งด้านนอกเป็นเส้นตรงที่ระยะอนันต์

หากเราดำเนินการต่อด้านข้างของสามเหลี่ยม Cevian ของจุดใดจุดหนึ่งแล้วนำจุดตัดกับด้านที่สอดคล้องกันจุดที่เกิดของทางแยกจะอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นเรียกว่า ขั้วไตรลิเนียร์จุดเริ่ม. แกนออร์โธเซนตริก - ขั้วไตรลิเนียร์ของออร์โธเซนเตอร์ ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้คือแกนของเส้นแบ่งครึ่งชั้นนอก ขั้วที่เป็นเส้นตรงของจุดที่วางอยู่บนจุดตัดรูปกรวยที่ล้อมรอบอยู่ตัดกันที่จุดหนึ่ง (สำหรับวงกลมที่ล้อมรอบ นี่คือจุด Lemoine สำหรับวงรี Steiner ที่ล้อมรอบ มันคือเซนทรอยด์) องค์ประกอบของการคอนจูเกตแบบไอโซกอน (หรือไอโซโทนิก) และขั้วไตรลิเนียร์คือการแปลงสภาพเป็นคู่ (หากจุดคอนจูเกตแบบไอโซกอนอล (ไอโซโทป) กับจุดนั้นอยู่บนขั้วแบบไตรลิเนียร์ของจุด จากนั้นขั้วแบบไตรลิเนียร์ของจุดแบบไอโซกอนอล คอนจูเกตไปยังจุดอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุด )

ลูกบาศก์

ความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยม

บันทึก:ในส่วนนี้ , , , คือความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม และ , , คือมุมที่อยู่ตรงข้ามกันทั้งสามด้านตามลำดับ (มุมตรงข้าม)

อสมการสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมไม่เสื่อม ผลรวมของความยาวของด้านทั้งสองนั้นมากกว่าความยาวของด้านที่สาม ในอันที่เสื่อมจะเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันโดยความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

อสมการสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของตัวชี้วัด

ผลรวมสามเหลี่ยมของทฤษฎีบทมุม

ทฤษฎีบทไซน์

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม จากทฤษฎีบทว่าถ้า a< b < c, то α < β < γ.

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทแทนเจนต์

อัตราส่วนอื่นๆ

อัตราส่วนเมตริกในรูปสามเหลี่ยมกำหนดไว้สำหรับ:

การแก้สามเหลี่ยม

การคำนวณด้านและมุมที่ไม่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม จากค่าที่รู้จัก ในอดีตเรียกว่า "คำตอบของสามเหลี่ยม" ในกรณีนี้ จะใช้ทฤษฎีบทตรีโกณมิติทั่วไปข้างต้น

พื้นที่สามเหลี่ยม

ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นพื้นที่:

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมในอวกาศโดยใช้เวกเตอร์

ให้จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุด , , .

มาแนะนำเวกเตอร์พื้นที่กัน ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม และมันชี้ไปตามเส้นปกติถึงระนาบของสามเหลี่ยม:

ให้ , โดยที่ , , คือเส้นโครงของสามเหลี่ยมบนระนาบพิกัด โดยที่

และเช่นเดียวกัน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ .

อีกทางหนึ่งคือการคำนวณความยาวของด้าน (โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แล้วใช้สูตรนกกระสา

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยม . สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ป้าน และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

เส้นและจุดที่ยอดเยี่ยมในรูปสามเหลี่ยม: ความสูง ค่ามัธยฐาน

bisectors, ค่ามัธยฐานอี ตั้งฉาก, ออร์โธเซ็นเตอร์,

จุดศูนย์ถ่วง ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

สามเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมักใช้อักษรตัวเล็กแทน ซึ่งตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกัน

หากทั้งสามมุมเป็นมุมแหลม ( รูปที่ 20) แสดงว่า สามเหลี่ยมแหลม . หากมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง(ค, รูปที่ 21), นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก; ข้างก , ขเกิดเป็นมุมฉากเรียกว่า ขา; ด้านข้างคตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก. ถ้าหนึ่งในมุมป้าน ( B, รูปที่ 22), นั่นคือ สามเหลี่ยมป้าน


สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 23) - หน้าจั่ว, ถ้า สองด้านเท่ากันเอ= ค); ด้านเท่ากันนี้เรียกว่า ด้านข้างบุคคลที่สามเรียกว่า พื้นฐานสามเหลี่ยม. สามเหลี่ยมเอบีซี (รูปที่ 24) - ด้านเท่ากันหมด, ถ้า ทั้งหมดด้านเท่ากันเอ = ข = ค). โดยทั่วไป ( เอ ≠ ข ≠ ค) เรามี สเกลเน่สามเหลี่ยม .

คุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยม ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ:

1. มีมุมที่ใหญ่กว่าตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน

2. มุมเท่ากันอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากัน และกลับกัน

โดยเฉพาะทุกมุมใน ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 º .

จากคุณสมบัติสองประการสุดท้ายจะเป็นไปตามที่แต่ละมุมอยู่ในด้านเท่ากันหมด

สามเหลี่ยมคือ60 º.

4. ต่อด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม (AC, รูปที่ 25) เราได้รับ ภายนอก

มุม BCD . มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายใน

ไม่เกี่ยวกัน :BCD=A+B.

5. ใด ๆ ด้านของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลบวกของอีกสองด้านและอื่นๆ

ความแตกต่างของพวกเขา (เอ < ข + ค, เอ > ข – ค;ข < เอ + ค, ข > เอ – ค;ค < เอ + ข,ค > เอ – ข).

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมจะเท่ากันถ้าเท่ากันตามลำดับ:

เอ ) สองด้านและมุมระหว่างพวกมัน

ข ) สองมุมและด้านที่อยู่ติดกัน

c) สามด้าน

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สอง สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมจะเท่ากัน ถ้าเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ขาของพวกเขาเท่ากัน

2) ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกรูปหนึ่ง

3) ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของอีกรูปหนึ่ง

4) ขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของอีกรูปหนึ่ง

5) ขาและมุมแหลมตรงข้ามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและ ตรงข้ามมุมแหลมของอีกด้านหนึ่ง

เส้นและจุดที่ยอดเยี่ยมในรูปสามเหลี่ยม

ส่วนสูง สามเหลี่ยมคือตั้งฉาก,ตกจากจุดยอดใด ๆ ไปยังด้านตรงข้าม ( หรือความต่อเนื่อง). ด้านนี้เรียกว่าฐานของสามเหลี่ยม . ระดับความสูงทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกันเสมอณ จุดหนึ่งเรียกว่า orthocenterสามเหลี่ยม. orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน (pointอู๋ , รูปที่ 26) อยู่ภายในสามเหลี่ยมและorthocenter ของสามเหลี่ยมป้าน (pointอู๋ , รูปที่ 27) – ข้างนอก; จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตรงกับจุดยอดของมุมฉาก

ค่ามัธยฐาน - มัน ส่วน เชื่อมจุดยอดใดๆ ของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐานสามของรูปสามเหลี่ยม (พ.ศ. , พ.ศ. , CF , fig.28) ตัดกันที่จุดหนึ่ง อู๋ ซึ่งอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเสมอและเป็นของเขา จุดศูนย์ถ่วง. จุดนี้แบ่งแต่ละค่ามัธยฐาน 2:1 จากด้านบน

แบ่งครึ่ง - มัน ส่วนแบ่งครึ่งมุมจากบนลงล่าง ทางแยกกับฝั่งตรงข้าม สามเสี้ยวของสามเหลี่ยม (พ.ศ. , พ.ศ. , CF , fig.29) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ้ นอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและ สิ่งมีชีวิต จารึกวงกลมตรงกลาง(ดูหัวข้อ "จารึกและรูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบ)

bisector แบ่งฝั่งตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านประชิด ; ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 29 AE : CE = AB : BC .

มัธยฐานตั้งฉาก เป็นเส้นตั้งฉากจากค่าเฉลี่ยจุดแบ่ง (ด้านข้าง) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของสามเหลี่ยม ABC(KO , MO , NO , fig.30 ) ตัดกันที่จุดหนึ่ง O ซึ่งก็คือ ศูนย์ วงกลมล้อมรอบ (จุด K , M , N จุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี).

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดนี้อยู่ภายในสามเหลี่ยม ในป้าน - ภายนอก; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก Orthocenter, จุดศูนย์ถ่วง, จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงและศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ เกิดขึ้นพร้อมกันในสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเห็นได้ชัดจากรูปที่ 31 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีขา ก , ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

มาสร้างสี่เหลี่ยมกันเถอะ AKMB ใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เป็นด้านข้าง แล้วขยายด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เพื่อให้ได้สี่เหลี่ยม CDEF ที่มีด้านเท่ากับเอ + ข .ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม CDEF คือ ( a+b) 2 . ในทางกลับกันสิ่งนี้ พื้นที่เท่ากับผลรวมพื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปและสี่เหลี่ยม AKMB นั่นคือ

ค 2 + 4 (อะบี / 2) = ค 2 + 2 ท้อง

จากที่นี่,

ค 2 + 2 อะบี= (a+b) 2 ,

และในที่สุดเราก็มี:

ค 2 =เอ 2 +ข 2 .

อัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ในกรณีทั่วไป (สำหรับรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ) เรามี:

ค 2 =เอ 2 +ข 2 – 2อะบี· cos ค,

ที่ไหน C - มุมระหว่างด้านเอและ ข .

มุมของสามเหลี่ยมเรียกว่าอะไร? คำตอบอาจขึ้นอยู่กับจำนวนมุมที่จุดยอดของสามเหลี่ยม

หากสามเหลี่ยมมีมุมเพียงมุมเดียวก็สามารถเรียกมันด้วยตัวอักษรหนึ่งตัวตามหลังชื่อของจุดยอด

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม MKF (รูปที่ 1) จุดยอดแต่ละอันมีมุมเพียงมุมเดียว ดังนั้นแต่ละมุมสามารถเรียกได้ด้วยตัวอักษรตัวเดียวโดยใช้ชื่อของจุดยอดซึ่งรังสีที่สร้างมุมนี้เล็ดลอดออกมา:

รูปที่ 1

มุม M มุม K และมุม F

มีเครื่องหมายพิเศษเพื่อกำหนดมุม: ∠

เครื่องหมาย ∠M อ่านว่า "มุม M"

แต่ละมุมของ MKF สามเหลี่ยมสามารถเรียกได้ว่าสามตัวอักษร ในกรณีนี้ จุดยอดในชื่อมุมควรอยู่ตรงกลาง

มุม M สามารถเรียกได้ว่ามุม KMF หรือมุม FMK

∠K - ∠MKF หรือ ∠FKM

∠F - ∠MFK หรือ ∠KFM

รูปที่ 2

ในรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 2 เฉพาะมุมที่จุดยอด A และ D เท่านั้นที่สามารถตั้งชื่อด้วยตัวอักษรเดียว: ∠A และ ∠D

จุดยอด B มีสามมุม ดังนั้นแต่ละมุมจึงต้องตั้งชื่อด้วยตัวอักษรสามตัว: ∠ABC, ∠CBD และ ∠ABD

ในทำนองเดียวกัน มุมจุดยอด C สามารถตั้งชื่อได้ด้วยตัวอักษรสามตัวเท่านั้น: ∠ACB, ∠BCD และ ∠ACD เป็นไปไม่ได้ที่จะตั้งชื่อมุมเหล่านี้ ∠C

รูปที่ 3

แต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 3 สามารถตั้งชื่อได้ด้วยตัวอักษรสามตัวเท่านั้น

มุมของสามเหลี่ยม ABO: ∠ABO, ∠BAO, ∠AOB

มุมของสามเหลี่ยม BOC: ∠BOC, ∠OBC, ∠BCO

มุมของสามเหลี่ยม OCD: ∠OCD, ∠COD, ∠CDO

มุมของสามเหลี่ยม AOD: ∠AOD, ∠ADO, ∠OAD

มุมของสามเหลี่ยม ABC: ∠ABC, ∠BAC, ∠BCA

มุมของสามเหลี่ยม BCD: ∠BCD, ∠CBD, ∠BDC

มุมของสามเหลี่ยม ACD: ∠ACD, ∠CAD, ∠ADC

มุมของสามเหลี่ยม ABD: ∠ABD, ∠BAD, ∠ADB