หัวข้อนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายเชิงปฏิบัติของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าองค์ประกอบพื้นฐานในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ องค์ประกอบนี้เป็นผลลัพธ์เฉพาะของการใช้การดำเนินการสร้างความแตกต่างเฉพาะบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันดั้งเดิม

ความหมายของอนุพันธ์

เพื่อทำความเข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร คุณจำเป็นต้องรู้ว่าชื่อของฟังก์ชันนั้นมาจากคำว่า "อนุพันธ์" โดยตรง ซึ่งก็คือเกิดจากปริมาณอื่น ในเวลาเดียวกันกระบวนการกำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่างนั้นมีชื่อ - "ความแตกต่าง"

วิธีการแทนและนิยามที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดเมื่อใช้ทฤษฎีลิมิต แม้ว่าข้อเท็จจริงจะปรากฏช้ากว่าแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มากก็ตาม ตามคำจำกัดความของทฤษฎีนี้ อนุพันธ์คือขีดจำกัดในอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ หากมีขีดจำกัดดังกล่าว และโดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์นี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์

ตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ด้านล่างนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจได้อย่างชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร

1. ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจำเป็นต้องกำหนดค่าของฟังก์ชันนี้โดยตรงที่จุด x รวมถึงที่จุด x + Δx ยิ่งไปกว่านั้น Δx คือส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ x
2. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน y เท่ากับ f(x+Δx) – f(x)
3. เขียนอนุพันธ์โดยใช้ลิมิตของความสัมพันธ์ f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх คำนวณที่ Δх → 0

โดยปกติแล้วอนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายอะพอสทรอฟี่ - “’” เหนือฟังก์ชันที่สร้างความแตกต่างโดยตรง สัญกรณ์ในรูปแบบของเครื่องหมายอะพอสทรอฟีหนึ่งหมายถึงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและในรูปแบบของสอง - ที่สอง อนุพันธ์ของลำดับสูงสุดมักจะระบุด้วยตัวเลขที่เกี่ยวข้อง เช่น f^(n) - อนุพันธ์ของลำดับที่ n หมายถึงอะไร โดยที่ตัวอักษร "n" เป็นจำนวนเต็ม ข้อใด 0. อนุพันธ์ลำดับศูนย์คือฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของมันเอง

เพื่ออำนวยความสะดวกในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน จึงมีการพัฒนาและนำกฎบางประการสำหรับการแยกฟังก์ชันมาใช้:

• C' = 0 โดยที่ C คือการกำหนดค่าคงที่
• x' เท่ากับ 1;
• (f + g)’ เท่ากับ f’ + g’;
• (C*f)’ เท่ากับ C*f’ และอื่นๆ
• สำหรับการหาอนุพันธ์แบบ N-fold จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตร Leibniz ในรูปแบบ: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k โดยที่ C(n) k คือ การกำหนดสัมประสิทธิ์ทวินาม

อนุพันธ์และเรขาคณิต

ความเข้าใจทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือ หากฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์จำกัดที่จุด x ค่าของอนุพันธ์นี้จะเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ต่อฟังก์ชัน f ที่จุดนั้น

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเรียกว่าลิมิต (ถ้ามี)

สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ตารางอนุพันธ์

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

พิจารณาซีแคนต์ เอบีกราฟิกฟังก์ชั่น y=ฉ(x)เช่นว่าจุด กและ ในมีพิกัดและ การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์อยู่ที่ไหน ให้เราแสดงด้วยการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ทำเครื่องหมายทุกอย่างบนภาพวาด:

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีเรามี . เนื่องจากตามคำนิยามแล้ว แทนเจนต์คือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดมุม .

ให้เรานึกถึงคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ณ จุดหนึ่งเรียกว่าขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ แสดงแทน .

ดังนั้น , ความชันของแทนเจนต์อยู่ที่ไหน

ดังนั้นการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ณ จุดหนึ่งนั้นเทียบเท่ากับการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ณ จุดติดต่อ และ ความชันของแทนเจนต์เท่ากับค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น, นั่นคือ .

เราสรุป: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งประกอบด้วยการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

20 ความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความแตกต่าง

การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์จนถึงค่าของลำดับขนาดเล็กที่สูงกว่า ซึ่งหมายความว่าสำหรับย่านใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กเพียงพอของจุดที่กำหนด ฟังก์ชันสามารถถูกแทนที่ด้วยเส้นตรง (อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันถือว่าไม่เปลี่ยนแปลง) ส่วนเชิงเส้นของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล (ณ จุดที่กำหนด)

เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการสร้างความแตกต่างคือความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรจริงตัวหนึ่ง ความสามารถในการหาอนุพันธ์จะเทียบเท่ากับการมีอยู่ของอนุพันธ์ ในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัว เงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) สำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์คือการมีอยู่ของอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรทั้งหมด เพื่อให้ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ย่อยจะอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำลังพิจารณาและมีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้

21 ความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันหาอนุพันธ์

ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวต่อเนื่องที่จุดนั้น

การพิสูจน์.

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x)y=f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0x0 จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้จะเท่ากับ Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α( ⋅x)⋅x

เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ΔxΔx มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ΔyΔy ก็มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่นกัน และนี่หมายถึงความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

นั่นคือท้ายที่สุดแล้ว เราก็ได้ฟังก์ชัน y=f(x)y=f(x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x0x0 ก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดนี้เช่นกัน Q.E.D.

ดังนั้น ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดจึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.

ฟังก์ชัน y=|x|y=|x| ณ จุด x0x0 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ ณ จุดนี้ ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

อันที่จริงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะเท่ากับ:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|

ในกรณีนี้เราได้รับ:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

ไม่มีขีดจำกัด limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน y=|x|y=|x| ซึ่งต่อเนื่องที่จุด x0x0 ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้

22 ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง xเรียกว่าส่วนหลักที่เป็นเส้นตรงของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ย = ฉ(x) เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของมันและการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ x(การโต้แย้ง).

มันเขียนแบบนี้:

ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียลฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ย = ฉ(x) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ S ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันนี้ที่จุด M( x; ย) เมื่อมีการเปลี่ยนแปลง x(อาร์กิวเมนต์) ตามค่า (ดูรูป)..

23 กฎการแยกผลรวมและผลคูณ

เพื่อพิสูจน์กฎข้อที่สองของการหาอนุพันธ์ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์และคุณสมบัติของลิมิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) nฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) nอนุพันธ์

ให้เราพิสูจน์กฎในการหาอนุพันธ์ผลคูณของสองฟังก์ชัน

ให้เราเขียนขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของผลคูณของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เราจะคำนึงถึงสิ่งนั้นและ (การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์)

Q.E.D.

24 ค่าคงที่ของรูปแบบ 1 ของส่วนต่าง

ความคงที่ของรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลแรก

ถ้า xเป็นตัวแปรอิสระแล้ว ดีเอ็กซ์ = x - x 0 (ส่วนเพิ่มคงที่) ในกรณีนี้เรามี

df(x 0) = ฉ"(x 0)ดีเอ็กซ์. (3)

ถ้า x = φ (ที) จึงเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ดีเอ็กซ์ = φ" (ที 0)dt. เพราะฉะนั้น,

นั่นคือ ส่วนต่างแรกมีคุณสมบัติของค่าคงที่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงข้อโต้แย้ง

25 ทฤษฎีบทของโรลเล่

ทฤษฎีบทของโรลล์ (ทฤษฎีบทอนุพันธ์เป็นศูนย์) ระบุว่า

การพิสูจน์

ถ้าฟังก์ชันในช่วงค่าคงที่ คำสั่งนั้นก็ชัดเจน เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์ ณ จุดใดๆ ของช่วงนั้น

ถ้าไม่เช่นนั้น เนื่องจากค่าของฟังก์ชันที่จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์นั้นเท่ากัน ดังนั้นตามทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส มันจึงรับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลานั้น กล่าวคือ มันมีจุดสุดขีดเฉพาะที่ที่ จุดนี้ และตามบทแทรกของแฟร์มาต์ ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเท่ากับ 0

ความหมายทางเรขาคณิต

ทฤษฎีบทระบุว่า หากพิกัดของปลายทั้งสองของเส้นโค้งเรียบเท่ากัน จะมีจุดบนเส้นโค้งที่เส้นสัมผัสกันของเส้นโค้งขนานกับแกน x

26 ทฤษฎีบทของลากรองจ์และผลที่ตามมา

สูตรการเพิ่มจำนวนจำกัดหรือ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของลากรองจ์ระบุว่าถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานั้น ก็จะมีจุดเช่นนั้น

.

ทางเรขาคณิตสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้ มีจุดบนเซกเมนต์ที่แทนเจนต์ขนานกับคอร์ดที่ผ่านจุดของกราฟที่ตรงกับปลายเซ็กเมนต์

การตีความทางกล: ให้เป็นระยะทางของจุดในขณะนั้นจากตำแหน่งเริ่มต้น แล้วจะมีเส้นทางที่เดินทางเป็นระยะๆ อัตราส่วนคือ ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลานี้ ซึ่งหมายความว่าหากความเร็วของร่างกายถูกกำหนด ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง จากนั้นในบางครั้งมันจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของมันในพื้นที่นี้

การพิสูจน์

สำหรับฟังก์ชันตัวแปรเดียว:

เรามาแนะนำฟังก์ชั่นกัน เงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Rolle เป็นที่พอใจ: ที่ส่วนท้ายของส่วนค่าของมันจะเท่ากับศูนย์ จากการใช้ทฤษฎีบทดังกล่าว เราพบว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์:

Q.E.D.

ข้อพิสูจน์และลักษณะทั่วไป

ทฤษฎีบทการเพิ่มขึ้นอันจำกัดของลากรองจ์เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดซึ่งเป็นทฤษฎีบทปมในระบบแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด มีการนำไปประยุกต์ใช้มากมายในคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ และทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็เป็นผลที่ตามมาเช่นกัน

ข้อพิสูจน์ 1.ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาที่มีอนุพันธ์เท่ากับศูนย์จะเป็นค่าคงที่

การพิสูจน์.สำหรับข้อใดข้อหนึ่งและมีประเด็นเช่นนั้น

ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับทุกคน

ข้อพิสูจน์ที่ 2 (สูตรเทย์เลอร์ที่มีเทอมที่เหลือในรูปแบบลากรองจ์)หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ครั้งหนึ่งในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดหนึ่ง ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันเล็กๆ (เช่น ส่วนที่อยู่ในละแวกที่ระบุ) สูตรของ Taylor ใช้ได้:

ตัวเลขจากช่วงเวลาอยู่ที่ไหน

ข้อพิสูจน์ 3.หากฟังก์ชันของตัวแปรสามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าในย่านใกล้เคียงของจุด O และอนุพันธ์ผสมอันดับสองของมันต่อเนื่องกันที่จุด O เมื่อถึงจุดนี้ ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:

หลักฐานสำหรับ.ให้เราแก้ไขค่าและพิจารณาตัวดำเนินการที่แตกต่างกัน

ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์ มีตัวเลขอยู่ , ดังนั้น

ที่ เนื่องจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า .

แต่เนื่องจาก (ซึ่งได้รับการตรวจสอบโดยตรง) ขีดจำกัดเหล่านี้จึงตรงกัน

ข้อพิสูจน์ที่ 4 (สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ)ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่งและอนุพันธ์ของมันคือรีมันน์สามารถบูรณาการได้ในช่วงเวลานี้ สูตรจะใช้ได้: .

การพิสูจน์.อนุญาต เป็นพาร์ติชันตามอำเภอใจของเซ็กเมนต์ . เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์ เราจะพบจุดดังกล่าวในแต่ละส่วนนั้น .

เมื่อรวมความเท่าเทียมกันเหล่านี้แล้ว เราได้รับ:

ทางด้านซ้ายคือผลรวมอินทิกรัลของรีมันน์สำหรับอินทิกรัลและพาร์ติชั่นที่ทำเครื่องหมายไว้ เมื่อผ่านไปจนถึงขีดจำกัดเส้นผ่านศูนย์กลางของพาร์ติชันเราจะได้สูตรของนิวตัน - ไลบ์นิซ

ข้อพิสูจน์ที่ 5 (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการประมาณค่าส่วนเพิ่มอันจำกัด)ปล่อยให้การทำแผนที่สามารถหาความแตกต่างได้อย่างต่อเนื่องในพื้นที่ที่มีขนาดกะทัดรัดนูนออกมา แล้ว .

27 ทฤษฎีบทของคาชา

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของคอชี.

ให้สองฟังก์ชันได้รับและเช่นนั้น: 1. และถูกกำหนดและต่อเนื่องในส่วน ; 2. อนุพันธ์และจำกัดในช่วงเวลา; 3.อนุพันธ์และไม่หายไปพร้อมกันในช่วงที่ 4 ; ก็ย่อมมีอยู่จริงตามความเป็นจริงดังต่อไปนี้ . (หากเราลบเงื่อนไขที่ 4 ออก ก็จำเป็น เช่น เพื่อทำให้เงื่อนไขที่ 3 แข็งแกร่งขึ้น: g"(x) ไม่ควรหายไปทุกที่ในช่วงเวลานั้น)

ในเชิงเรขาคณิต สิ่งนี้สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังต่อไปนี้: หากมีการระบุกฎการเคลื่อนที่บนระนาบ (นั่นคือ abscissa และ ordinate ถูกกำหนดผ่านพารามิเตอร์ ) จากนั้นบนส่วนใด ๆ ของเส้นโค้งดังกล่าวซึ่งระบุโดยพารามิเตอร์ และ มี คือเส้นตรงเวกเตอร์แทนเจนต์ของเวกเตอร์การกระจัดจาก ถึง

เนื้อหาของบทความ

อนุพันธ์– อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) กำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) ณ จุดนั้น xของช่วงเวลานี้เรียกว่าลิมิตซึ่งอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมีแนวโน้ม ฉณ จุดนี้การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกันเมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:

การกำหนดอื่น ๆ ก็ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน:

ความเร็วทันที

ปล่อยให้ประเด็น มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ระยะทาง สจุดที่เคลื่อนที่นับจากตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่ง ม 0 ขึ้นอยู่กับเวลา ที, เช่น. สมีฟังก์ชันของเวลา ที: ส= ฉ(ที). ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ทีจุดเคลื่อนที่ มอยู่ในระยะไกล สจากตำแหน่งเริ่มต้น ม 0 และในเวลาต่อมา ที+ดี ทีพบว่าตัวเองอยู่ในตำแหน่ง ม 1 - ในระยะทาง ส+ดี สจากตำแหน่งเริ่มต้น ( ดูรูป.).

ดังนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง D ทีระยะทาง สเปลี่ยนตามจำนวน D ส. ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่าในช่วงเวลา D ทีขนาด สได้รับการเพิ่มขึ้น D ส.

ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดได้อย่างแม่นยำในทุกกรณี มในช่วงเวลาหนึ่ง ที. ตัวอย่างเช่น หากร่างกายอยู่ที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลา D ทีเคลื่อนที่เร็วมากและสุดท้ายช้ามากแล้วความเร็วเฉลี่ยจะไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดที่ระบุและให้ทราบความเร็วที่แท้จริงของการเคลื่อนที่ในขณะนั้นได้ ที. หากต้องการแสดงความเร็วที่แท้จริงโดยใช้ความเร็วเฉลี่ยได้แม่นยำยิ่งขึ้น คุณต้องใช้เวลา D น้อยลง ที. ระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดในขณะนั้นได้อย่างสมบูรณ์ที่สุด ทีขีดจำกัดความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่ D ที® 0 ขีดจำกัดนี้เรียกว่าความเร็วปัจจุบัน:

ดังนั้น ความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ ขณะหนึ่งเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มเส้นทาง D สการเพิ่มเวลา D ทีเมื่อการเพิ่มเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ เพราะ

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

การสร้างเส้นสัมผัสกันเป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ซึ่งเขียนโดยไลบ์นิซมีชื่อว่า วิธีการใหม่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด รวมถึงแทนเจนต์ซึ่งปริมาณทั้งเศษส่วนและจำนวนอตรรกยะไม่เป็นอุปสรรค และเป็นแคลคูลัสชนิดพิเศษสำหรับสิ่งนี้.

ให้เส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ( ซม. ข้าว.).

ในระดับหนึ่งค่า xฟังก์ชั่นมีความสำคัญ ย =ฉ(x). ค่านิยมเหล่านี้ xและ ยจุดบนเส้นโค้งสอดคล้องกัน ม 0(x, ย). ถ้าจะโต้แย้ง. xให้ เพิ่มขึ้น D xแล้วค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์ x+ดี xสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันใหม่ ย+ดี ย = ฉ(x + ดี x). จุดที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งจะเป็นจุด ม 1(x+ดี x,ย+ดี ย). ถ้าคุณวาดเส้นตัด ม 0ม 1 และเขียนแทนด้วย j มุมที่เกิดจากเส้นตัดขวางที่มีทิศทางบวกของแกน วัวจากรูปก็ชัดเจนทันทีว่า

ถ้าตอนนี้ D xมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แล้วจึงถึงจุด ม 1 เคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุด ม 0 และมุม เจ เปลี่ยนแปลงด้วย D x. ที่ ดีเอ็กซ์® 0 มุม j มีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด a และเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น ม 0 และองค์ประกอบที่มีทิศทางบวกของแกน x มุม a จะเป็นแทนเจนต์ที่ต้องการ ความชันของมันคือ:

เพราะฉะนั้น, ฉ´( x) = ทีจีเอ

เหล่านั้น. มูลค่าอนุพันธ์ ฉ´( x) สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด xเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดที่สอดคล้องกัน ม 0(x,ย) โดยมีทิศทางแกนบวก วัว.

ความแตกต่างของฟังก์ชัน

คำนิยาม. ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x = x 0 จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด x = x 0 แล้วมันจะต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อสรุปตรงกันข้ามไม่ถูกต้องเช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อถึงจุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = |x| อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x(–Ґ x x = 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้กราฟไม่มีแทนเจนต์ มีแทนเจนต์ขวาและซ้าย แต่ไม่ตรงกัน

ทฤษฎีบทบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทเรื่องรากของอนุพันธ์ (ทฤษฎีบทของโรล)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) มีความต่อเนื่องในส่วนนี้ [ก,ข] สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้และที่ส่วนท้าย x = กและ x = ขไปที่ศูนย์ ( ฉ(ก) = ฉ(ข) = 0) จากนั้นอยู่ภายในส่วน [ ก,ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด x= กับ, ก c b ซึ่งอนุพันธ์ ฉў( x) ไปที่ศูนย์ เช่น ฉў( ค) = 0.

ทฤษฎีบทการเพิ่มขึ้นจำกัด (ทฤษฎีบทลากรองจ์)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] และสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด กับ, กค ข นั่น

ฉ(ข) – ฉ(ก) = ฉў( ค)(ข– ก).

ทฤษฎีบทว่าด้วยอัตราส่วนส่วนเพิ่มของสองฟังก์ชัน (ทฤษฎีบทของคอชี)ถ้า ฉ(x) และ ก(x) – สองฟังก์ชันต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] และหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของเซ็กเมนต์นี้ และ กў( x) จะไม่หายไปจากส่วนใดภายในส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีจุดดังกล่าว x = กับ, กค ข นั่น

อนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ

ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง [ ก, ข] ค่าอนุพันธ์ ฉ ў( x) พูดโดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x, เช่น. อนุพันธ์ ฉ ў( x) ยังเป็นฟังก์ชันของ x. เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนี้ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ฉ(x) ซึ่งแสดงแทน ฉ ўў ( x).

อนุพันธ์ ไม่มีลำดับที่ของฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าอนุพันธ์ (ลำดับแรก) ของอนุพันธ์ ไม่มี 1- th และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ย(n) = (ย(n– 1))ў.

ส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ย = ฉ(x), ที่ไหน x– ตัวแปรอิสระ ใช่ ดี้ = ฉ ў( x)ดีเอ็กซ์, ฟังก์ชั่นบางอย่างจาก x, แต่จาก xขึ้นอยู่กับปัจจัยแรกเท่านั้น ฉ ў( x) ปัจจัยที่สอง ( ดีเอ็กซ์) คือการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ xและไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ เพราะ ดี้มีฟังก์ชันจาก xจากนั้นเราจะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้ ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สองของฟังก์ชันนี้ และแสดงแทนด้วย ง 2ย:

ง(ดีเอ็กซ์) = ง 2ย = ฉ ўў( x)(ดีเอ็กซ์) 2 .

ดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มีของลำดับแรกเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลแรกของดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มี 1- ลำดับที่:

ไม่เป็นไร = ง(ดีเอ็น–1ย) = ฉ(n)(x)ดีเอ็กซ์(n).

อนุพันธ์บางส่วน

หากฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งเพียงข้อเดียว แต่ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งหลายข้อ x ฉัน(ฉันแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง n,ฉัน= 1, 2,… n),ฉ(x 1,x 2,… เอ็กซ์เอ็น) จากนั้นในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะมีการนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนมาใช้ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้นเช่น x ฉัน. อนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 เทียบกับ x ฉันถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์สามัญและถือว่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดยกเว้น x ฉัน, คงค่าคงที่ไว้ สำหรับอนุพันธ์บางส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์

อนุพันธ์บางส่วนอันดับ 1 ที่กำหนดในลักษณะนี้ (เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน) ก็สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนได้เช่นกัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง เป็นต้น อนุพันธ์ดังกล่าวที่นำมาจากข้อโต้แย้งที่แตกต่างกันเรียกว่าแบบผสม อนุพันธ์แบบผสมต่อเนื่องในลำดับเดียวกันไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างและมีค่าเท่ากัน

แอนนา ชูไกโนวา

ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดที่จุดและพื้นที่ใกล้เคียงบางส่วน ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์เพื่อให้จุดนั้นอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้น

คำนิยาม. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ที่ (หากขีดจำกัดนี้มีอยู่และมีจำกัด) เช่น

หมายถึง: ,,,.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดทางขวา (ซ้าย) เรียกว่า

(หากขีดจำกัดนี้มีอยู่และมีจำกัด)

กำหนดโดย: , – อนุพันธ์ที่จุดทางด้านขวา,

, คืออนุพันธ์ที่จุดทางซ้าย

เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท. ฟังก์ชันจะมีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ ณ จุดนี้อนุพันธ์ของฟังก์ชันทางขวาและซ้ายมีอยู่และเท่ากัน นอกจากนี้

ทฤษฎีบทต่อไปนี้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งและความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง) ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันที่จุดนั้นจะต่อเนื่องกัน

การพิสูจน์

ให้มันมีอยู่. แล้ว

,

อยู่ที่ไหนไม่มีขอบเขต

ความคิดเห็น

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน และแสดงถึง

ความแตกต่างของฟังก์ชัน .

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพ

1) ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์. ถ้าฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์เป็นปริมาณทางกายภาพ อนุพันธ์ก็คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่สัมพันธ์กับตัวแปร ณ จุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลาหนึ่ง อนุพันธ์ของมันคือความเร็ว ณ เวลานั้น ถ้า คือปริมาณไฟฟ้าที่ไหลผ่านหน้าตัดของตัวนำ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง แล้วคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณไฟฟ้า ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง กล่าวคือ ความแรงในปัจจุบัน ณ เวลาหนึ่ง

2) ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ปล่อยให้เป็นเส้นโค้ง เป็นจุดบนเส้นโค้ง

เรียกว่าเส้นตรงใดๆ ที่ตัดกันอย่างน้อยสองจุด ตัดออก .

สัมผัสเส้นโค้งที่จุดหนึ่ง เรียกว่าตำแหน่งลิมิตของเส้นตัดถ้าจุดมีแนวโน้มเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง

จากคำจำกัดความจะเห็นได้ชัดว่าถ้ามีเส้นสัมผัสเส้นโค้งอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง ก็จะเป็นจุดเดียวเท่านั้น

พิจารณาเส้นโค้ง (เช่น กราฟของฟังก์ชัน) ปล่อยให้มันมีแทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งที่จุดหนึ่ง สมการ: (สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดและมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม)

โดยนิยามของความชัน

โดยที่มุมเอียงของเส้นตรงกับแกนคือที่ไหน

อนุญาต เป็นมุมเอียงของเส้นตัดกับแกนโดยที่ เนื่องจากเป็นแทนเจนต์ แล้วเมื่อใด

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้นเราจึงได้สิ่งนั้น – สัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด(ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด) ดังนั้นสมการของแทนเจนต์กับเส้นโค้งที่จุดหนึ่งจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ความคิดเห็น . เส้นตรงที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่ลากไปยังเส้นโค้งที่จุดนั้นเรียกว่า ให้เป็นปกติจนถึงโค้ง ณ จุดนั้น . เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงตั้งฉากมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ สมการของเส้นตั้งฉากกับเส้นโค้งที่จุดหนึ่งจึงมีรูปแบบ

, ถ้า .

ถ้า แล้วเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้นจะมีรูปแบบ

และปกติ

สมการแทนเจนต์และสมการปกติ

สมการแทนเจนต์

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสมการ ย=ฉ(x) คุณต้องเขียนสมการ แทนเจนต์ตรงจุด x 0. จากคำจำกัดความของอนุพันธ์:

ย/(x)=ลิมเดล x→0Δ ยΔ x

Δ ย=ฉ(x+Δ x)−ฉ(x).

สมการ แทนเจนต์ไปที่กราฟฟังก์ชัน: ย=เคเอ็กซ์+ข (เค,ข=ค่าคงที่). จากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: ฉ/(x 0)=ทีจีα= เคเพราะ x 0 และ ฉ(x 0)∈ เส้นตรง ตามด้วยสมการ แทนเจนต์เขียนเป็น: ย−ฉ(x 0)=ฉ/(x 0)(x−x 0) หรือ

ย=ฉ/(x 0)· x+ฉ(x 0)−ฉ/(x 0)· x 0.

สมการปกติ

ปกติ- ตั้งฉากกับ แทนเจนต์(ดูภาพ) ตามนี้:

ทีจีβ= ทีจี(2π−α)= กะรัตα=1 ทีจีα=1 ฉ/(x 0)

เพราะ มุมเอียงของเส้นปกติคือมุม β1 แล้วเราจะได้:

ทีจีβ1= ทีจี(π−β)=− ทีจีβ=−1 ฉ/(x).

จุด ( x 0,ฉ(x 0))∈ ปกติ สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

ย−ฉ(x 0)=−1ฉ/(x 0)(x−x 0).

การพิสูจน์

ให้มันมีอยู่. แล้ว

,

อยู่ที่ไหนไม่มีขอบเขต

แต่นี่หมายความว่ามันมีความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง (ดูคำจำกัดความทางเรขาคณิตของความต่อเนื่อง) ∎

ความคิดเห็น . ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง แต่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จริงหรือ,

จึงไม่มีอยู่จริง

แน่นอนว่าการโต้ตอบเป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในบางเซ็ต พวกเขาโทรหาเธอ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน และแสดงถึง

การดำเนินการค้นหาฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันอนุพันธ์ ความแตกต่างของฟังก์ชัน .

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) มอบให้โดยที่เรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

(ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’

(ฉ − ก.)’ = ฉ ’ − ก. ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง f − g จึงสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมของ f + (−1) g จากนั้นจึงเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยถึงการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองใช้สูตรนี้คำนวณ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · จ xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากคำนวณไปสองสามหน้าคุณก็เผลอหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ประการแรก เราสังเกตว่าจากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด เราสามารถแยกแยะสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานได้ สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งมีการคำนวณและจัดตารางอนุพันธ์มายาวนาน ฟังก์ชันดังกล่าวค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ - พร้อมด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมีทั้งหมดตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำไม่ใช่เรื่องยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะถูกคำนวณอย่างง่ายดายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

แน่นอนว่าคุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันพื้นฐานเข้าด้วยกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมายได้ นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่ๆ จะปรากฏขึ้น ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังมีความแตกต่างตามกฎบางอย่างด้วย กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่างนี้

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชันได้รับ ฉ(x) และ ก(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’
2. (ฉ − ก)’ = ฉ ’ − ก ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ก + ชม.)’ = ฉ ’ + ก ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − กสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) กแล้วเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป x; ก(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x+ คอส x;

เราให้เหตุผลในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันนี้ ก(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

ก ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอส x;
ก ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ ผู้คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณ โจมตี">เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สกรูคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · ก) ’ = ฉ ’ · ก + ฉ · ก ’

สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอส x; ก(x) = (x 2 + 7x− 7) · จ x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3คอส x)’ = (x 3)’ เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2คอส x + x 3 (- บาป x) = x 2 (3คอส x − xบาป x)

การทำงาน ก(x) ตัวคูณแรกจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอนว่าปัจจัยแรกของฟังก์ชัน ก(x) เป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

ก ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · จ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · จ x + (x 2 + 7x− 7) · ( จ x)’ = (2x+ 7) · จ x + (x 2 + 7x− 7) · จ x = จ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · จ x = x(x+ 9) · จ x .

คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3คอส x − xบาป x);
ก ’(x) = x(x+ 9) · จ x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้ายอนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า

ถ้ามีสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x), และ ก(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/ก(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไม ก 2? และเช่นนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงจะดีกว่า

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรหาอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เรามาแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน - นี่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น การรับฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดเปิด x 2 + อิน x. มันจะได้ผล ฉ(x) = บาป ( x 2 + อิน x) - นี่คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน มันมีอนุพันธ์ด้วย แต่จะไม่สามารถค้นหาได้โดยใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้น

ฉันควรทำอย่างไรดี? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).

ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีการทำความเข้าใจสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหารด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = จ 2x + 3 ; ก(x) = บาป ( x 2 + อิน x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = จ x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = จ ที. เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (จ ที)’ · ที ’ = จ ที · ที ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:

ฉ ’(x) = จ ที · ที ’ = จ 2x+3 (2 x + 3)’ = จ 2x+ 3 2 = 2 จ 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ก(x). แน่นอนว่ามันจำเป็นต้องเปลี่ยนใหม่ x 2 + อิน x = ที. เรามี:

ก ’(x) = ก ’(ที) · ที’ = (บาป ที)’ · ที' = cos ที · ที ’

การแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = x 2 + อิน x. แล้ว:

ก ’(x) = คอส ( x 2 + อิน x) · ( x 2 + อิน x)' = คอส ( x 2 + อิน x) · (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมอนุพันธ์

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2 · จ 2x + 3 ;
ก ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2 + อิน x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่น เส้นขีดของผลรวมเท่ากับผลรวมของเส้นขีด นั่นชัดเจนกว่าเหรอ? นั่นเป็นสิ่งที่ดี

ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์จึงต้องกำจัดจังหวะเดียวกันนี้ตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้น จากตัวอย่างสุดท้าย ลองกลับไปสู่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x n)’ = n · x n − 1

น้อยคนที่รู้ว่าในบทบาทนี้ nอาจเป็นเลขเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5. จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีอะไรแปลก ๆ อยู่ใต้ราก? ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง - พวกเขาต้องการสร้างโครงสร้างดังกล่าวในการทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ขั้นแรก ลองเขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที. เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)’ · ที’ = 0.5 · ที−0.5 · ที ’.

มาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน: ที = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

สุดท้ายก็กลับไปสู่รากเหง้า: