ตัวอย่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นและสถิติเป็นข้อเท็จจริงพื้นฐาน อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

จะมีงานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระที่คุณสามารถดูคำตอบได้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัว - ส่วนใหญ่มักใช้ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม พวกเขาอธิบายคุณสมบัติการกระจายที่สำคัญที่สุด: ตำแหน่งและระดับของการกระจายตัว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่าเพียงแค่ปานกลาง ตัวแปรสุ่ม. ความแปรปรวนแบบสุ่ม - ลักษณะการกระจายตัวความแปรปรวนแบบสุ่ม ใกล้กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเธอ

ในหลาย ๆ งานการฝึกฝนเสร็จสมบูรณ์ลักษณะที่ครบถ้วนสมบูรณ์ของตัวแปรสุ่ม - กฎหมายการจัดจำหน่าย - หรือไม่สามารถรับได้หรือไม่จำเป็นเลย ในกรณีเหล่านี้ถูก จำกัด โดยคำอธิบายโดยประมาณของตัวแปรสุ่มโดยใช้คุณสมบัติเชิงตัวเลข

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

มาถึงแนวคิดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กันเถอะ ปล่อยให้มวลของสารบางชนิดกระจายระหว่างจุด Abscissa Axis เอ็กซ์1 , เอ็กซ์2 , ..., เอ็กซ์น.. ในกรณีนี้แต่ละจุดวัสดุมีมวลที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นของ พี.1 , พี.2 , ..., พี.น.. มันจะต้องเลือกหนึ่งจุดบน Abscissa Axis ซึ่งระบุตำแหน่งของระบบทั้งหมดของจุดวัสดุโดยคำนึงถึงฝูงชนของพวกเขา ตามธรรมชาติเช่นจุดดังกล่าวใช้ศูนย์กลางของระบบมวลของจุดวัสดุ นี่คือค่าถ่วงน้ำหนักเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ซึ่งเป็น abscissa ของแต่ละจุด เอ็กซ์ผม. มันเข้าสู่ "น้ำหนัก" เท่ากับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่ได้รับ เอ็กซ์ มันเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือปริมาณงานของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดในความเป็นไปได้ของค่าเหล่านี้:

ตัวอย่างที่ 1 มีการจัดลอตเตอรี win-win มีเงินรางวัล 1,000 ครั้งซึ่ง 400 คือ 10 รูเบิล 300 - 20 รูเบิล 200 - 100 รูเบิล และ 100 - 200 รูเบิล ขนาดการชนะเฉลี่ยสำหรับการซื้อตั๋วเดียวคืออะไร?

การตัดสินใจ การชนะเฉลี่ยที่เราจะพบว่าจำนวนเงินที่ชนะทั้งหมดซึ่งเท่ากับ 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 \u003d 50,000 รูเบิลหารด้วย 1,000 (การชนะทั้งหมด) จากนั้นเราได้รับ 50000/1000 \u003d 50 รูเบิล แต่การแสดงออกสำหรับการคำนวณที่ชนะโดยเฉลี่ยสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในทางกลับกันในเงื่อนไขเหล่านี้จำนวนเงินที่ชนะเป็นค่าสุ่มที่สามารถใช้ค่า 10, 20, 100 และ 200 รูเบิล ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.4 ตามลำดับ 0.3; 0.2; 0.1 ดังนั้นการชนะเฉลี่ยที่คาดหวังจะเท่ากับจำนวนของขนาดผลิตภัณฑ์ของการชนะในความน่าจะเป็นของใบเสร็จรับเงินของพวกเขา

ตัวอย่างที่ 2 ผู้เผยแพร่ตัดสินใจเผยแพร่หนังสือเล่มใหม่ กำลังจะขายหนังสือสำหรับ 280 รูเบิลซึ่ง 200 จะได้รับตัวเอง 50 - ร้านหนังสือและ 30 - ผู้แต่ง ตารางให้ข้อมูลเกี่ยวกับค่าใช้จ่ายในการเผยแพร่หนังสือและความเป็นไปได้ของการขายสำเนาหนังสือจำนวนหนึ่ง

ค้นหาสำนักพิมพ์กำไรที่คาดหวัง

การตัดสินใจ ขนาดสุ่ม "กำไร" เท่ากับความแตกต่างของรายได้จากการขายและต้นทุนต้นทุน ตัวอย่างเช่นหากขายหนังสือ 500 ชุดรายได้จากการขายเท่ากับ 200 * 500 \u003d 100000 และค่าใช้จ่ายของรุ่นคือ 225,000 รูเบิล ดังนั้นสำนักพิมพ์คุกคามการสูญเสีย 125,000 รูเบิล ตารางต่อไปนี้สรุปค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม - ผลกำไร:

ดังนั้นเราจึงได้รับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลกำไรของสำนักพิมพ์:

.

ตัวอย่างที่ 3 ความน่าจะเป็นที่จะกดปุ่มหนึ่งนัด พี. \u003d 0.2 กำหนดค่าธรรมเนียมการไหลที่ให้การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนความนิยมเท่ากับ 5

การตัดสินใจ จากสูตรเดียวกันสำหรับความคาดหวังที่เราใช้จนถึงตอนนี้ด่วน เอ็กซ์ - การบริโภคเปลือกหอย:

.

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ จำนวนการเข้าชมที่สามนัดหากความน่าจะเป็นที่จะกดปุ่มแต่ละนัด พี. = 0,4 .

เคล็ดลับ: ความเป็นไปได้ของค่าสุ่มเพื่อค้นหา สูตร Bernoulli .

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

พิจารณาคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติ 1.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าถาวรเท่ากับค่าคงที่นี้:

อสังหาริมทรัพย์ 2.สามารถสร้างทวีคูณถาวรสำหรับสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

คุณสมบัติ 3.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวน (ความแตกต่าง) ของตัวแปรสุ่มเท่ากับจำนวน (ความแตกต่าง) ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา:

คุณสมบัติ 4.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา:

คุณสมบัติ 5.หากค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ ลด (ขยาย) ในหมายเลขเดียวกัน จากมันจะลดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (จะเพิ่มขึ้น) ในจำนวนเดียวกัน:

เมื่อคุณไม่สามารถจำกัดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในกรณีส่วนใหญ่มีเพียงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่ไม่สามารถระบุจำนวนสุ่มได้อย่างเพียงพอ

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ และ Y. ระบุโดยกฎหมายการแจกจ่ายต่อไปนี้:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเหล่านี้เป็นแบบเดียวกัน - ศูนย์เท่ากัน:

อย่างไรก็ตามลักษณะของการกระจายนั้นแตกต่างกัน ค่าสุ่ม เอ็กซ์ สามารถใช้เฉพาะค่าที่แตกต่างกันเล็กน้อยจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นค่าสุ่ม Y. อาจใช้ค่าเบี่ยงเบนความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างที่คล้ายกัน: เงินเดือนเฉลี่ยไม่ทำให้เป็นไปได้ที่จะตัดสินน้ำหนักที่เฉพาะเจาะจงของคนงานที่มีรายได้สูงและต่ำ กล่าวอีกนัยหนึ่งตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินสิ่งที่เบี่ยงเบนจากนั้นโดยเฉลี่ยอย่างน้อยก็เป็นไปได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องค้นหาการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

การกระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

การกระจาย ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ มันเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของสแควร์ของการเบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การเบี่ยงเบนเฉลี่ยกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ มันเรียกว่าค่าเลขคณิตของรากสแควร์ของการกระจายตัวของมัน:

.

ตัวอย่างที่ 5คำนวณการกระจายตัวและการเบี่ยงเบนแบบสองปั่นป่วนขนาดกลางของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ และ Y.ซึ่งกฎหมายการแจกจ่ายที่แสดงในตารางด้านบน

การตัดสินใจ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ และ Y.พบได้อย่างไรเหนือเป็นศูนย์ ตามสูตรการกระจายตัว อี.(เอช.)=อี.(y.) \u003d 0 รับ:

จากนั้นค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ และ Y. แต่งหน้า

.

ดังนั้นด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เดียวกันของการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ เล็กมาก แต่ตัวแปรสุ่ม Y. - สำคัญ นี่เป็นผลมาจากความแตกต่างในการกระจายของพวกเขา

ตัวอย่างที่ 6 นักลงทุนมี 4 โครงการลงทุนทางเลือก ตารางสรุปข้อมูลเกี่ยวกับผลกำไรที่คาดหวังในโครงการเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่เหมาะสม

ค้นหาสำหรับแต่ละการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์การกระจายตัวและการเบี่ยงเบนสมุทรสองกำลังสอง

การตัดสินใจ เราแสดงให้เห็นว่าค่าเหล่านี้คำนวณสำหรับทางเลือกที่ 3:

ตารางสรุปค่าที่พบสำหรับทางเลือกทั้งหมด

ทางเลือกทั้งหมดเป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ซึ่งหมายความว่าในระยะยาวทุกคนมีรายได้เดียวกัน การเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถตีความว่าเป็นหน่วยวัดความเสี่ยงมากกว่าที่จะเพิ่มความเสี่ยงของการลงทุน นักลงทุนที่ไม่ต้องการความเสี่ยงที่ยิ่งใหญ่จะเลือกโครงการที่ 1 เนื่องจากเขามีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เล็กที่สุด (0) หากนักลงทุนชอบความเสี่ยงและรายได้ที่มากขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ เขาจะเลือกโครงการที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ยิ่งใหญ่ที่สุด - โครงการ 4

คุณสมบัติของการกระจายตัว

เราให้คุณสมบัติของการกระจายตัว

คุณสมบัติ 1.การกระจายตัวของค่าคงที่เป็นศูนย์:

อสังหาริมทรัพย์ 2.สามารถสร้างทวีคูณถาวรสำหรับสัญญาณการกระจายตัวในขณะที่วางไว้ในสแควร์:

.

คุณสมบัติ 3.การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตารางของค่านี้ซึ่งเป็นตารางของการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของค่าจะถูกหัก:

,

ที่ไหน .

คุณสมบัติ 4.การกระจายตัวของจำนวน (ความแตกต่าง) ของตัวแปรสุ่มเท่ากับจำนวนเงิน (ความแตกต่าง) ของการกระจายตัวของพวกเขา:

ตัวอย่างที่ 7 เป็นที่ทราบกันดีว่าค่าสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ ใช้ค่าเพียงสองค่าเท่านั้น: -3 และ 7 นอกจากนี้ยังมีการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์: อี.(เอ็กซ์) \u003d 4. ค้นหาการกระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

การตัดสินใจ แสดงให้เห็น พี. ความน่าจะเป็นที่ค่าสุ่มใช้ค่า เอ็กซ์1 = −3 . จากนั้นความน่าจะเป็นของความหมาย เอ็กซ์2 = 7 จะเป็น 1 - พี. . เราได้รับสมการสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

อี.(เอ็กซ์) = เอ็กซ์1 พี. + เอ็กซ์2 (1 − พี.) = −3พี. + 7(1 − พี.) = 4 ,

คุณได้รับความน่าจะเป็น: พี. \u003d 0.3 และ 1 - พี. = 0,7 .

กฎหมายของการกระจายตัวแปรสุ่ม:

การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มนี้คำนวณโดยสูตรจากคุณสมบัติการกระจายตัว 3:

D.(เอ็กซ์) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มด้วยตัวเองแล้วดูการตัดสินใจ

ตัวอย่างที่ 8 ความแปรปรวนแบบสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ ใช้ค่าเพียงสองค่าเท่านั้น เพิ่มเติมจากค่า 3 ใช้ความน่าจะเป็นที่ 0.4 นอกจากนี้ยังมีการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มเป็นที่รู้จักกัน D.(เอ็กซ์) \u003d 6 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างที่ 9 ใน URN ของ 6 ขาวและลูกบอลสีดำ 4 ลูก จาก urns จะถูกนำออกไป 3 ลูก จำนวนลูกบอลสีขาวในหมู่การตัดลูกเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ . ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวแปรสุ่มนี้

การตัดสินใจ ค่าสุ่ม เอ็กซ์ สามารถใช้ค่า 0, 1, 2, 3. ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับพวกเขาสามารถคำนวณได้โดย กฎของการคูณความน่าจะเป็น . กฎหมายของการกระจายตัวแปรสุ่ม:

ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้:

เอ็ม(เอ็กซ์) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

การกระจายตัวแปรสุ่มนี้:

D.(เอ็กซ์) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องการตีความเชิงกลของการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์จะรักษาความหมายเดียวกัน: ศูนย์กลางของมวลสำหรับมวลเดียวกระจายอย่างต่อเนื่องบน Abscissa Axis ด้วยความหนาแน่น f.(เอ็กซ์. ซึ่งแตกต่างจากค่าสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีฟังก์ชั่นอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์ผม. มันเปลี่ยน hoppy ในตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องอาร์กิวเมนต์จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง แต่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องยังเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ย

หากต้องการค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคุณต้องค้นหาอินทิกรัลบางอย่าง . หากฟังก์ชั่นความหนาแน่นจะได้รับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแล้วจะเข้าสู่ Integrand โดยตรง หากมีการให้ฟังก์ชั่นการแจกแจงความน่าจะเป็นแล้วสร้างความแตกต่างคุณต้องค้นหาฟังก์ชั่นความหนาแน่น

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แสดงหรือ.

กฎหมายการจัดจำหน่ายมีลักษณะเป็นจำนวนสุ่มอย่างเต็มที่ อย่างไรก็ตามกฎหมายของการกระจายไม่เป็นที่รู้จักและต้อง จำกัด ข้อมูลน้อยลง บางครั้งมันเป็นผลกำไรมากขึ้นในการใช้ตัวเลขที่อธิบายถึงค่าสุ่มมูลค่าที่เรียกว่าตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลข ตัวแปรสุ่ม. ลักษณะตัวเลขที่สำคัญรวมถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตามที่จะแสดงต่อไปโดยประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ในการแก้ปัญหาหลายอย่างก็เพียงพอที่จะรู้ถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นหากทราบว่าการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจุดแตกสลายที่ลูกศรแรกนั้นมากกว่าที่สองลูกศรแรกของค่าเฉลี่ยของการเคาะคะแนนมากกว่าที่สองและดังนั้นจึงยิงได้ดีขึ้น

ความหมาย 4.1: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวนแบบแยกแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าปริมาณของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับความน่าจะเป็นของพวกเขา

ให้ค่าสุ่ม เอ็กซ์ สามารถใช้ค่าเท่านั้น x 1, x 2, ... x nความน่าจะเป็นเท่ากันตามลำดับ p 1, p 2, ... p n.ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ m (x.) ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

m (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n

Esley ไม่ต่อเนื่องค่าสุ่ม เอ็กซ์ ใช้ชุดที่นับได้นับได้แล้ว

,

นอกจากนี้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีอยู่หากแถวที่ด้านขวาของความเท่าเทียมกันจะมาบรรจบกันอย่างแน่นอน

ตัวอย่าง.ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ ก.ในการทดสอบหนึ่งครั้งหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก. เท่ากัน พี..

การตัดสินใจ: ค่าสุ่ม เอ็กซ์ - จำนวนเหตุการณ์ ก. มีการกระจายของ Bernoulli ดังนั้น

ทางนี้, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ในการทดสอบหนึ่งครั้งเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้.

ความหมายน่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ปล่อยให้ผลิต น. การทดสอบที่ค่าสุ่ม เอ็กซ์ ที่นำมาใช้ m 1. เมื่อมีค่า x 1, m 2. เมื่อมีค่า x 2 ,…, m k เมื่อมีค่า x เคและ m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. จากนั้นผลรวมของค่าทั้งหมดที่นำมาใช้ เอ็กซ์, เท่ากัน x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าทั้งหมดที่นำมาใช้โดยตัวแปรสุ่มจะเป็น

ทัศนคติ m i / n- ความถี่สัมพัทธ์ w i. ค่า x I.ประมาณเท่ากับโอกาสของเหตุการณ์ p i.ที่ไหน ดังนั้น

ความหมายที่น่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ได้คือ: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ประมาณเท่ากัน (ยิ่งมีจำนวนการทดสอบมากขึ้นเท่านั้น) เลขคณิตกลางสังเกตค่าสุ่ม.

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

Property1:ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าถาวรเท่ากับค่าคงที่มากที่สุด

Property2:ตัวคูณถาวรสามารถทำเพื่อสัญลักษณ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คำจำกัดความ 4.2: ตัวแปรสุ่มสองตัว เรียกว่า อิสระหากกฎหมายของการกระจายของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของค่าอื่นที่ได้รับ มิฉะนั้น ตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับ.

ความหมาย 4.3: ตัวแปรสุ่มหลายตัว โทร อิสระร่วมกันหากกฎหมายของการกระจายของจำนวนใด ๆ ของพวกเขาไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้คือค่าที่เหลืออยู่

Property3:ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

ผลที่ตามมา: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของตัวแปรสุ่มแบบสุ่มที่เป็นอิสระหลายอย่างเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

Property4:ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

ผลที่ตามมา: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายแบบเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

ตัวอย่าง.คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มทวินาม x -จำนวนของเหตุการณ์ ก. ใน น. การทดลอง

การตัดสินใจ: จำนวนทั้งหมด เอ็กซ์ เหตุการณ์ที่ปรากฏ ก. ในการทดสอบเหล่านี้ประกอบด้วยจำนวนเหตุการณ์ในการทดสอบแต่ละครั้ง เราแนะนำตัวแปรสุ่ม x I. - จำนวนเหตุการณ์ใน ผม.การทดสอบการทำงานที่เป็นค่าแบบสุ่ม BernoulLievish ที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ . โดยคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เรามี

ทางนี้, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการกระจายทวินามที่มีพารามิเตอร์ N และ P เท่ากับผลิตภัณฑ์ NP.

ตัวอย่าง.ความน่าจะเป็นที่จะกดปุ่มเป้าหมายเมื่อถ่ายภาพจากปืน p \u003d 0.6ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการเข้าชมทั้งหมดหากมีการผลิต 10 ช็อต

การตัดสินใจ: แต่ละช็อตไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการถ่ายภาพอื่นดังนั้นเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจึงเป็นอิสระและดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ

ลักษณะที่สมบูรณ์ที่สุดของตัวแปรสุ่มแบบสุ่มคือกฎหมายการจัดจำหน่าย อย่างไรก็ตามมันไม่เป็นที่รู้จักเสมอไปและในกรณีเหล่านี้จำเป็นต้องมีเนื้อหาที่มีข้อมูลน้อยลง ข้อมูลดังกล่าวอาจรวมถึง: ช่วงการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบสุ่มค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) คุณสมบัติอื่น ๆ บางอย่างที่อธิบายถึงค่าสุ่มด้วยวิธีการทั้งหมด ค่าทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลข ตัวแปรสุ่ม. โดยปกติแล้วนี่คือบาง ไม่สุ่ม ตัวเลขไม่ทางใดก็ทางหนึ่งลักษณะการสุ่ม วัตถุประสงค์หลักของลักษณะที่เป็นตัวเลขอยู่ในรูปแบบที่ถูกบีบอัดเพื่อแสดงคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของการกระจายเฉพาะ

ลักษณะเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดของตัวแปรสุ่ม เอช. เรียกมันว่า ค่าที่คาดหวัง:

m (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)

ที่นี่ x 1, x 2, …, x N - ค่าสุ่มที่เป็นไปได้ เอช.แต่ p 1, p 2, …, p n - ความน่าจะเป็นของพวกเขา

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าสุ่มหากทราบถึงกฎหมายการจัดจำหน่าย:

การตัดสินใจ. M (x) \u003d 2 × 0,3 + 3 × 0.1 + 5 × 0.6 \u003d 3.9.

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ แต่ ในการทดสอบหนึ่งครั้งหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากัน r.

การตัดสินใจ. ถ้าเป็น เอช. - จำนวนเหตุการณ์ แต่ ในการทดสอบหนึ่งครั้งจากนั้นเห็นได้ชัดว่ากฎหมายการจัดจำหน่าย เอช. มันมีรูปแบบ:

จากนั้น m (x) \u003d 0 × (1-p) + 1 × p \u003d p.

ดังนั้น: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ในการทดสอบหนึ่งครั้งเท่ากับความน่าจะเป็น

ความหมายน่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ปล่อยให้ผลิต น. การทดสอบที่ค่าสุ่ม เอช. ที่นำมาใช้ m 1. เมื่อมีค่า x 1, m 2. เมื่อมีค่า x 2, …, m k เมื่อมีค่า x เค. จากนั้นผลรวมของค่าทั้งหมดใน น. การทดสอบเท่ากับ:

x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k.

เราจะพบค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าทั้งหมดที่นำมาใช้โดยตัวแปรสุ่ม:

ค่า - ความถี่สัมพัทธ์ของค่า x i (i \u003d 1, ... , K). ถ้าเป็น น. ดีพอ (n®¥)ความถี่เหล่านี้มีค่าประมาณเท่ากับความน่าจะเป็น:. แต่แล้ว

\u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x k p k \u003d m (x)

ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงมีค่าเท่ากับ (แม่นยำยิ่งขึ้นจำนวนการทดสอบมากขึ้น) ของค่าเฉลี่ยที่สังเกตโดยเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ประกอบด้วยความหมายที่น่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นคงที่เท่ากับค่าคงที่มากที่สุด

m (c) \u003d s × 1 \u003d s.

2. ตัวคูณค่าคงที่สามารถทำเพื่อสัญลักษณ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

m (cx) \u003d s × m (x).

หลักฐาน. ให้กฎหมายการจัดจำหน่าย เอช. ตั้งตาราง:

จากนั้นค่าสุ่ม สเก็ต ค่าใช้จ่าย CX 1, cx 2, …, CX N ที่มีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกัน. กฎหมายการกระจาย สเก็ต มันมีรูปแบบ:

m (cx) \u003d cx 1 × p 1 + cx 2 × p 2 + ... + cx n × p n \u003d

\u003d c (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d cm (x)

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา:

m (xy) \u003d m (x) × m (y).

ข้อความนี้ได้รับโดยไม่มีการพิสูจน์ (หลักฐานขึ้นอยู่กับการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์)

บทกวับ. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของตัวแปรสุ่มแบบสุ่มที่เป็นอิสระหลายอย่างเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสามตัวแปรสุ่มอิสระสามตัว

m (xyz) \u003d m (x) × m (y) × m (z).

ตัวอย่าง. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์จำนวนคะแนนที่สามารถหลุดออกมาเมื่อขว้างปาสองกระดูก

การตัดสินใจ. อนุญาต x I. - จำนวนคะแนน ผม.กระดูก. มันอาจเป็นตัวเลข 1 , 2 , …, 6 ด้วยความน่าจะเป็น จากนั้น

m (x i) \u003d 1 × + 2 × + ... + 6 × \u003d (1 + 2 + ... + 6) \u003d ×× 6 \u003d.

อนุญาต x \u003d x 1 × x 2. จากนั้น

m (x) \u003d m (x 1) × m (x 2) \u003d \u003d 12,25.

4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว (อิสระหรือขึ้นอยู่กับ) เท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของข้อกำหนด:

m (x + y) \u003d m (x) + m (y).

คุณสมบัตินี้มีลักษณะทั่วไปในกรณีที่มีเงื่อนไขตามอำเภอใจ

ตัวอย่าง. 3 ช็อตผลิตด้วยความน่าจะเป็นในเป้าหมายเท่ากัน p 1 \u003d 0.4, p 2 \u003d 0.3 และ p 3 \u003d 0.6. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการเข้าชมทั้งหมด

การตัดสินใจ. อนุญาต x I. - จำนวนการเข้าชมเมื่อ ผม.- เรายิง จากนั้น

m (x i) \u003d 1 × p i + 0 × (1-p i) \u003d p i.

ทางนี้,

m (x 1 + x 2 + x 3) \u003d \u003d 0.4 + 0.3 + 0.6 \u003d 1.3.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่ากลาง) ของค่าสุ่มของ x ที่กำหนดไว้ในพื้นที่ความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าหมายเลข m \u003d m [x] \u003d σx i p i ถ้าซีรีส์มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

การแต่งตั้งให้บริการ. ใช้บริการออนไลน์ การคำนวณการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์การกระจายตัวและความเบี่ยงเบน RMS (ซม. ตัวอย่าง. นอกจากนี้กราฟของฟังก์ชั่นการกระจาย F (x) ถูกสร้างขึ้น

คุณสมบัติของการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับเธอ: m [c] \u003d c, c - คงที่;
2. m \u003d c m [x]
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา: m \u003d m [x] + m [y]
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระนั้นเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา: m \u003d m [x] m [y] ถ้า x และ y เป็นอิสระ

คุณสมบัติของการกระจายตัว

1. การกระจายตัวของค่าคงที่เป็นศูนย์: D (c) \u003d 0
2. ตัวคูณถาวรสามารถละทิ้งจากใต้สัญลักษณ์ของการกระจายตัวทำให้เข้ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส: D (k * x) \u003d k 2 d (x)
3. หากตัวแปรสุ่ม X และ Y มีความเป็นอิสระจากนั้นการกระจายจำนวนเท่ากับจำนวนการกระจายตัว: D (x + y) \u003d D (x) + D (y)
4. หากตัวแปรสุ่ม x และ y ขึ้นอยู่กับ: D (x + y) \u003d dx + dy + 2 (x-m [x]) (y-m [y])
5. สูตรการคำนวณที่ถูกต้องสำหรับการกระจายตัว:
   D (x) \u003d m (x 2) - (m (x)) 2

ตัวอย่าง. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักและการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว x และ y: m (x) \u003d 8, m (y) \u003d 7, D (x) \u003d 9, d (y) \u003d 6 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายความแปรปรวนแบบสุ่ม Z \u003d 9X-8Y + 7
การตัดสินใจ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: m (z) \u003d m (9x-8y + 7) \u003d 9 * m (x) - 8 * m (y) + m (7) \u003d 9 * 8 - 8 * 7 + 7 \u003d 23
ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการกระจายตัว: D (z) \u003d D (9x-8y + 7) \u003d D (9x) - D (8Y) + D (7) \u003d 9 ^ 2D (x) - 8 ^ 2D (Y) + 0 \u003d 81 * 9 - 64 * 6 \u003d 345

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

1. สลับกันทวีคูณคู่: x ฉันต่อ p i
2. เราพับผลิตภัณฑ์ของแต่ละคู่ x i p i
   ตัวอย่างเช่นสำหรับ n \u003d 4: m \u003d σx i p i \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

ตัวอย่างหมายเลข 1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ค่าสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องมีช่วงการกระจายต่อไปนี้:

การตัดสินใจ ค่าของการค้นหาจากความสัมพันธ์: σp i \u003d 1
σP I \u003d \u200b\u200bA + 0.32 + 2 A + 0.41 + 0.03 \u003d 0.76 + 3 A \u003d 1
0.76 + 3 A \u003d 1 หรือ 0.24 \u003d 3 A จากที่ A \u003d 0.08

ตัวอย่างหมายเลข 3 กำหนดกฎหมายของการกระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหากทราบถึงการกระจายตัวของมันและ x 1 x 1 \u003d 6; x 2 \u003d 9; x 3 \u003d x; x 4 \u003d 15
p 1 \u003d 0.3; p 2 \u003d 0.3; P 3 \u003d 0.1; P 4 \u003d 0.3
d (x) \u003d 12.96

การตัดสินใจ
ที่นี่มีความจำเป็นต้องทำสูตรสำหรับการค้นหาการกระจาย D (x):
d (x) \u003d x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
ที่ Miethazza m (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
สำหรับข้อมูลของเรา
m (x) \u003d 6 * 0,3 + 9 * 0,3 + x 3 * 0.1 + 15 * 0.3 \u003d 9 + 0.1x 3
12.96 \u003d 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + x 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
หรือ -9/100 (x 2 -20x + 96) \u003d 0
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหารากของสมการและจะมีสองคน
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
เลือกหนึ่งที่ตรงตามเงื่อนไข x 1 x 3 \u003d 12

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
x 1 \u003d 6; x 2 \u003d 9; x 3 \u003d 12; x 4 \u003d 15
p 1 \u003d 0.3; P 2 \u003d 0.3; P 3 \u003d 0.1; p 4 \u003d 0.3