วิธีการพิสูจน์ว่าเครื่องบินชั้นหนึ่งตั้งฉากกับผู้อื่น ระนาบตั้งฉากเงื่อนไขตั้งฉากของเครื่องบิน การตั้งฉากในอวกาศอาจมี

จำได้ว่าเครื่องบินเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกเขาตรง สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยสิ่งนี้ ใช้คะแนนเกี่ยวกับเส้นตรงที่มีเครื่องบินตัดกันและใช้จ่ายโดยตรง (รูปที่ 1.9A) ผ่านมันในเครื่องบิน มุมระหว่าง A และ B และมุมวัดระหว่าง เมื่อมุมนี้ตรงไปตรงมาพวกเขาบอกว่าเครื่องบินตั้งฉากกันและเขียนร่วมกัน

แน่นอนว่าคุณได้สังเกตเห็นแล้วว่าเมื่อจากสามเส้นตรง A, B ที่มีสองเส้นตั้งฉากกัน (รูปที่ 2.28) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, . ดังนั้น (บนพื้นฐานของการตั้งฉากของเส้นตรงและเครื่องบิน) ในทำนองเดียวกัน

ดังนั้นแต่ละระนาบตั้งฉากกันทั้งสองซึ่งมีฉากตั้งฉากกับระนาบอื่น ยิ่งไปกว่านั้นเหล่านี้ในแนวตั้งฉากเติมเครื่องบินตั้งฉากร่วมกัน (รูปที่ 2.29)

ให้เราพิสูจน์คำสั่งสุดท้าย แน่นอนถ้าผ่านจุดใด ๆ ของเครื่องบินและใช้เส้นตรง

ที่ (ตามทฤษฎีบท 5 ในการขนานของการตั้งฉาก)

และสำหรับคุณสมบัติของการตั้งฉากของระนาบก็เพียงพอที่จะตั้งฉากกับเครื่องบิน

ทฤษฎีบท 7. (สัญญาณของการตั้งฉากของระนาบ) หากระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่นเครื่องบินเหล่านี้จะตั้งฉากกัน

ปล่อยให้เครื่องบินมีเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ P (รูปที่ 2.28) จากนั้นตรงและข้ามเครื่องบิน P ที่จุด O. Point o ตั้งอยู่บนเส้นตรงที่ตัดกัน เราดำเนินการในเครื่องบิน p ผ่านจุดของโดยตรง เนื่องจาก B อยู่ในระนาบ P ดังนั้นจึงเป็นเช่นนั้น

คุณสมบัตินี้มีความหมายในทางปฏิบัติที่เรียบง่าย: ระนาบของประตูแขวนบนพื้นตั้งฉากของ JAMB นั้นตั้งฉากกับระนาบของพื้นที่ตำแหน่งตำแหน่งใด ๆ (รูปที่ 2.1) แอปพลิเคชั่นที่ใช้งานได้จริงของคุณสมบัตินี้: เมื่อคุณต้องการตรวจสอบว่ามีการติดตั้งในแนวตั้งหรือไม่ พื้นผิวเรียบ (ผนังรั้ว ฯลฯ ) จากนั้นทำได้โดยใช้เชือกบัดกรีกับสินค้า ท่อประปามักจะกำกับในแนวตั้งเสมอและผนังในแนวตั้งถ้าในสถานที่ของเธอเป็นลูกดิ่งตั้งอยู่ตามนั้นไม่เบี่ยงเบน

เมื่อพบงานที่พบว่าเครื่องบินตั้งฉากสามข้อเสนอแนะต่อไปนี้มักจะใช้

ข้อเสนอ 1. โดยตรงนอนอยู่ในหนึ่งในสองเครื่องบินตั้งฉากกันและตั้งฉากกับพวกเขาด้วยโดยตรงตรงตั้งฉากกับระนาบอื่น

ปล่อยให้เครื่องบินตั้งฉากกันและตัดกันเป็นเส้นตรง C. ปล่อยให้ตรงไปตรงมาและอยู่ในระนาบ A และ (รูปที่ 2.28) กำมะถันโดยตรงในบางจุด O. เราจะใช้เวลาผ่านจุด o ใน p เครื่องบิน p ตั้งฉากกับเส้นตรงด้วย ตั้งแต่นั้น. ตั้งแต่นั้นมา (ตามทฤษฎีบท 2)

ข้อเสนอที่สองกลับมาก่อน

ข้อเสนอ 2. ตรงโดยมีจุดร่วมกับหนึ่งในสองเครื่องบินตั้งฉากกันและตั้งฉากกับระนาบอื่น ๆ อยู่ในครั้งแรกของพวกเขา

ปล่อยให้เครื่องบินตั้งฉากกันตรงไปตรงมาตรงและตรงกับเครื่องบินและจุดทั่วไป A (รูปที่ 2.30) ผ่านจุด A ในระนาบ แต่เราจะดำเนินการแยกเส้นตรงแนวตั้งฉากตรงของเครื่องบิน ตามข้อเสนอเนื่องจากมีเพียงหนึ่งเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบนี้จากนั้นโดยตรงและตรงข้ามกับพื้นที่ผ่านแต่ละจุด ในขณะที่อยู่ในเครื่องบิน A แล้วและและอยู่ในระนาบ

ข้อเสนอ 3. หากเครื่องบินสองลำตั้งฉากกับเครื่องบินที่สามตัดกันทางแยกโดยตรงของพวกเขาจะตั้งฉากกับระนาบที่สาม

ให้เครื่องบินสองลำตัดต่อเนื่องในแนวตั้งฉากกับเครื่องบินที่ (รูปที่ 2.31) จากนั้นผ่านจุดใด ๆ โดยตรงและเราจะทำการระนาบเส้นตรงตั้งฉาก Y ตามข้อเสนอที่ 2 นี้ตรงนี้อยู่ในระนาบและในเครื่องบิน P I.e. มันเกิดขึ้นพร้อมกับโดยตรง ดังนั้น,

ทัศนคติของการตั้งฉากของระนาบเป็นหนึ่งในพื้นที่และแอพพลิเคชั่นที่สำคัญที่สุดและใช้ในรูปทรงเรขาคณิตของพื้นที่

ของความหลากหลายของสถานที่ซึ่งกันและกัน

สองระนาบของความสนใจเป็นพิเศษและการศึกษาสมควรได้รับสิ่งที่ระนาบตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ (เช่นเครื่องบินของผนังที่อยู่ติดกันของห้อง

รั้วและพล็อตของที่ดินประตูและเพศ ฯลฯ (รูปที่ 417, A-B)

ตัวอย่างข้างต้นช่วยให้คุณเห็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของความสัมพันธ์ที่เราจะศึกษาคือสมมาตรของสถานที่ตั้งของแต่ละระนาบที่เกี่ยวข้องกับอื่น ๆ ความสมมาตรทำให้มั่นใจได้โดยความจริงที่ว่าเครื่องบินดูเหมือนว่าจะ "ทอ" จากแนวตั้งฉาก ลองชี้แจงการสังเกตเหล่านี้

ให้พวกเขามีเครื่องบินαและตรงกับมัน (รูปที่ 418, a) เราจะใช้จ่ายโดยตรงตรงระนาบตั้งฉากαผ่านแต่ละจุด โดยตรงทั้งหมดเหล่านี้มีขนานกันระหว่างตัวเอง (ทำไม?) และถือเป็นพื้นฐานของปัญหา 1 § 8 เครื่องบินบางลำβ (รูปที่ 418, b) ตามธรรมชาติตั้งชื่อเครื่องบินβ ตั้งฉากเครื่องบินα

ในทางกลับกันการตั้งค่าตรงทั้งหมดในระนาบαและตั้งฉากโดยตรงสร้างเครื่องบินαและตั้งฉากกับเครื่องบินβ (รูปที่ 418, b) แน่นอนถ้าเป็นไปตามอำเภอใจเช่นโดยตรงมันข้ามโดยตรงในบางจุด ผ่านจุดที่ผ่านไปในระนาบβตั้งฉากαแสงและดังนั้น b ดังนั้นและ c และ b ดังนั้นβ ดังนั้นระนาบαตั้งฉากกับเครื่องบินβและเส้นเป็นเส้นของสี่แยกของพวกเขา

เครื่องบินสองลำถูกเรียกว่าตั้งฉากหากแต่ละชิ้นถูกสร้างขึ้นโดยเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบที่สองที่มั่นคงและผ่านจุดตัดของเครื่องบินเหล่านี้

แนวตั้งฉากของcompositesαiβ-location- เริ่มต้นตามปกติแล้ว: αβ

หนึ่งในภาพประกอบของนิยามนี้สามารถส่งได้หากคุณพิจารณาชิ้นส่วนของห้องของบ้านในชนบท (รูปที่ 419) ในนั้นพื้นและผนังประกอบด้วยกระดานผนังตั้งฉากที่สอดคล้องกันและพื้น ดังนั้นพวกเขาจะตั้งฉาก ในทางปฏิบัติ

ซึ่งหมายความว่าพื้นอยู่ในแนวนอนและผนังเป็นแนวตั้ง

คำจำกัดความที่ลดลงเป็นเรื่องยากที่จะใช้ในกรณีที่การตรวจสอบจริงของการตั้งฉากของระนาบ แต่ถ้าคุณวิเคราะห์ข้อโต้แย้งที่นำไปสู่คำจำกัดความนี้เราจะเห็นว่าการตั้งฉากของระนาบαและให้การปรากฏตัวในเครื่องบินβ directb, ตั้งฉากกับเครื่องบินα (รูปที่ 418, b) เรามาถึงสัญลักษณ์ของการตั้งฉากของสองระนาบซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติ

406 แนวตั้งฉากของ Direct และ Planes

ทฤษฎีบท 1 (คุณลักษณะของการตั้งฉากของระนาบ)

หากหนึ่งในสองระนาบผ่านระนาบที่สองตั้งฉากที่ตั้งฉากจากนั้นเครื่องบินเหล่านี้จะตั้งฉาก

ปล่อยให้เครื่องบินβผ่านโดยตรงเครื่องบินตั้งฉากαเป็นบรรทัดแยกαและβ (รูปที่ 420, a) เครื่องบินตรงทั้งหมดβขนานกับ DirectB และข้ามตรงไปตรงมาพร้อมกับ Directeb Form เครื่องบินβ โดยทฤษฎีบทบนเส้นตรงสองเส้นขนานซึ่งหนึ่งในนั้นตั้งฉากกับระนาบ (ทฤษฎีบท 1 § 19), ทั้งหมดที่มี directeb ตั้งฉากกับระนาบα นั่นคือระนาบβประกอบด้วยการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุดตัดของเครื่องบินαและβและระนาบตั้งฉากα (รูปที่ 420, b)

ตอนนี้อยู่ในระนาบαผ่านจุด A จุดตัดของ IP ของ IP จะดำเนินการตรงที่ตั้งฉากตรง (รูปที่ 420, b) เส้นตรงตั้งฉากกับเครื่องบินβบนพื้นฐานของการตั้งฉากของโดยตรงและระนาบ (a c, โดยการสร้าง, และ b, เป็น b α) การทำอาร์กิวเมนต์ก่อนหน้านี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกเราได้รับเครื่องบินαประกอบด้วยเครื่องบินแนวตั้งฉากβส่งผ่านทางสายข้ามของระนาบ ตามการกำหนดเครื่องบินαและβตั้งฉาก■

คุณสมบัติที่ระบุทำให้เป็นไปได้ที่จะสร้างแนวตั้งฉากของระนาบหรือให้มัน

pri m e p 1 แนบโล่ไปที่โพสต์เพื่อให้ตั้งอยู่ในแนวตั้ง

หากเสาอยู่ในแนวตั้งมันก็เพียงพอที่จะทำการป้องกันโดยพลการไปยังโพสต์และปลอดภัย (รูปที่ 421, a) ตามที่อธิบายข้างต้นระนาบของโล่จะตั้งฉากกับพื้นผิวของโลก ในกรณีนี้งานมีสารละลายที่ไม่เงียบ

หากเสาอ้อมเอียงไปจนถึงพื้นดินก็เพียงพอที่จะติดตั้งรางแนวตั้งไปยังโพสต์ (รูปที่ 421, b) แล้วโล่ติดอยู่กับรางและโพสต์ ในกรณีนี้ตำแหน่งของโล่จะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์เนื่องจากเสาและคราดกำหนดระนาบเดียว■

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้งาน "เทคนิค" ถูกลดลงในงานวัสดุในการดำเนินการผ่านระนาบโดยตรงนี้ตั้งฉากกับระนาบอื่น

pri me p 2 จากจุดสุดยอดของ SquareaBCD มันถูกดำเนินการอย่างมีความหมายของระนาบเซ็กเมนต์ AB \u003d AK \u003d A

1) กำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเครื่องบิน AKC Andabd

AKD และ ABK

2) สร้างระนาบที่ส่งผ่าน Planeabc แบบตั้งฉาก BD โดยตรง

3) ดำเนินการผ่านกลางเครื่องบิน CCC แบ่งตั้งฉากเครื่องบินตั้งฉาก

4) ค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยม BDF

เราสร้างรูปวาดที่สอดคล้องกับสภาพของตัวอย่าง (รูปที่ 422)

1) เครื่องบิน AKC IABD ตั้งฉากตั้งฉากบนพื้นฐานของการตั้งฉากของเครื่องบิน (ทฤษฎีบท 1): AK ABD ตามเงื่อนไข Planeakd IABK ยังตั้งฉาก

larns บนพื้นฐานของการตั้งฉากของระนาบ (ทฤษฎีบท 1) แน่นอนตรงไปตรงมาซึ่งเครื่องบินผ่านตั้งฉากกับดาวเคราะห์บนพื้นฐานของแนวตั้งฉากของโดยตรงและเครื่องบิน (ทฤษฎีบท 1 § 18): โฆษณาเป็นด้านข้างที่อยู่ติดกันของสแควร์ AK AK ตั้งแต่

AK ABD

2) บนพื้นฐานของการตั้งฉากของระนาบสำหรับโครงสร้างที่ต้องการของสารลดแรงตึงผิว

408 แนวตั้งฉากของเส้นตรงและเครื่องบิน

โดยตรงเครื่องบินตั้งฉาก ABC และสำหรับสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วในช่วงนี้เพื่อใช้เส้นตรงขนานกับ Directak

แน่นอนโดยเงื่อนไขโดยตรง AK ตั้งฉากกับ PlaneAbc และดังนั้นตามทฤษฎีบทประมาณสองขนานตรง

ทฤษฎีบท 2 (ประมาณตั้งฉากกับจุดตัดของเครื่องบินตั้งฉาก)

หากเครื่องบินสองลำตั้งฉากชาดโดยตรงเป็นของระนาบหนึ่งลำและตั้งฉากกับแนวแยกของเครื่องบินเหล่านี้ตั้งฉากกับระนาบที่สอง

ปล่อยให้เครื่องบินตั้งฉาก

αและβตัดกันเป็นเส้นตรง C และเส้นตรงในระนาบβตั้งฉากกับสถานที่โดยตรงและข้ามเป็นจุด (รูปที่ 425) โดยการป้องกัน

การตั้งฉากตั้งฉากของระนาบในเครื่องบินβผ่านจุดในโดยตรง

b 1, ระนาบตั้งฉากα เป็นที่ชัดเจนว่ามันตั้งฉากกับสถานที่โดยตรง แต่

จุดตรงของบรรทัดในเครื่องบินยังสามารถตรวจสอบเพียงหนึ่งโดยตรงตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ ดังนั้น

ตรง B IB 1 ตรง และนี่หมายความว่าเส้นตรงที่ตรงข้ามแนวตั้งฉากของระนาบตั้งฉากสองแบบตั้งฉากกับระนาบที่สอง ■.

ใช้ทฤษฎีบทที่พิจารณาเพื่อยืนยันสัญลักษณ์อื่นของการตั้งฉากของเครื่องบินซึ่งมีความสำคัญจากจุดที่ตามมาของการศึกษาต่อไปของการจัดเรียงกันของเครื่องบินทั้งสอง

ความงงงวยของα-perfendicular, direct c - บรรทัดของสี่แยกของพวกเขา ผ่านจุดโดยพลการโดยตรง

ในระนาบαและตรง IB ตั้งฉากโดยตรง (รูปที่ 426) ทฤษฎีบท

iU 2, Direct IB ตั้งฉากกับเครื่องบินβและαตรงกับดังนั้นพวกเขาจะตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ : a b. ตรง

ฉันและ IB กำหนดเครื่องบินγ จุดตัดเส้นของเครื่องบินαและβ

ตั้งฉากกับเครื่องบินγบนพื้นฐานของการตั้งฉากของโดยตรงและเครื่องบิน (ทฤษฎีบท 1 § 18): C A, C B, A γ, B γ หากคุณคำนึงถึงความเด็ดขาดของการเลือกจุดที่ถูกต้องและความจริงที่ว่าผ่านจุดนี้เป็นระนาบเดียวมันจะตั้งฉากกับมันจากนั้นคุณสามารถทำผลลัพธ์ต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 3 (เกี่ยวกับเครื่องบินตั้งฉากกับแนวข้ามของเครื่องบินตั้งฉาก)

เครื่องบินตั้งฉากกับแนวแยกของเครื่องบินตั้งฉากสองแบบข้ามระนาบเหล่านี้ด้วยแนวตั้งตรงโดยตรง

ดังนั้นจึงมีการจัดตั้งคุณสมบัติอื่นของระนาบตั้งฉาก คุณสมบัตินี้เป็นลักษณะที่ถูกต้องสำหรับสองระนาบสองลำจากนั้นระนาบจะตั้งฉากกับกันและกัน เรามีการยอมรับในแนวตั้งฉากของระนาบอีกครั้ง

ทฤษฎีบท 4 (สัญญาณที่สองของการตั้งฉากของระนาบ)

หากจุดตัดกันโดยตรงของเครื่องบินสองลำเป็นเครื่องบินที่สามตั้งฉากกับแนวของจุดตัดของพวกเขาตั้งฉากกับข้อมูลเครื่องบินก็ตั้งฉากกับ

ปล่อยให้เครื่องบินαและβตัดกันเครื่องบินและเครื่องบินγตั้งฉากกับสถานที่โดยตรงข้ามระนาบαและβ

แยกออกบน Direct IB (รูปที่ 427) ภายใต้เงื่อนไขและข ตั้งแต่γс, toa s และดังนั้นโดยตรงจะตั้งฉากกับเครื่องบินβบนพื้นฐานของการตั้งฉากของเส้นตรงและเครื่องบิน (ทฤษฎีบท 1 § 18) การพูด

นี่หมายถึงว่าเครื่องบินαและตั้งฉากตั้งฉากบนพื้นฐานของเครื่องบินตั้งฉาก (ทฤษฎีบท 1) ■

ทฤษฎีบทในพันธะของการตั้งฉากของระนาบสองลำของเครื่องบินที่สามที่มีความช่วยเหลือซึ่งกันและกันสมควรได้รับ

ทฤษฎีบท 5 (ประมาณแนวแยกของเครื่องบินสองลำเครื่องบินที่ตั้งฉากที่สาม)

หากเครื่องบินสองลำตั้งฉากกับเครื่องบินลำที่สามตัดกันเส้นแยกของพวกเขาตั้งฉากกับระนาบนี้

ปล่อยให้เครื่องบินαและβตั้งฉากกับระนาบγแปลเป็นเส้นตรง (A || γ) และจุดตัดของโดยตรง

พิจารณาทฤษฎีบทที่อธิบายถึงการเชื่อมโยงระหว่างขนานและแนวตั้งฉากของระนาบ ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันที่เรามีอยู่ในการโดยตรงและเครื่องบิน

ทฤษฎีบท 6 (บนเครื่องบินคู่ขนานตั้งฉากกับระนาบที่สาม)

หากหนึ่งในสองของเครื่องบินคู่ขนานตั้งฉากกับที่สามเครื่องบินที่สองจะตั้งฉากกับมัน

ปล่อยให้เครื่องบินαและβขนานกันและเครื่องบินγตั้งฉากกับระนาบα ตั้งแต่เครื่องบินγ

ข้ามเครื่องบินαแล้วมันควรข้ามและขนานกับเครื่องบินβ ใช้ในเครื่องบินα

m ที่มีชื่อเสียงที่สุด m, ระนาบตั้งฉากγและใช้จ่ายผ่านมันรวมถึงผ่านจุดที่ระนาบβ, เครื่องบินδ (รูปที่ 429)

เครื่องบินδและβตัดกันเป็นเส้นตรง P และตั้งแต่α║βที่║ P (ทฤษฎีบท 2 §18) จากทฤษฎีบท 1 มันดังต่อไปนี้ชุดคือγและดังนั้นระนาบตั้งฉากγจะเป็นเครื่องบินβผ่านโดยตรง ■.

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วให้สัญญาณอีกสัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบ

ผ่าน จุดนี้ เป็นไปได้ที่จะดำเนินการระนาบตั้งฉากกับสิ่งนี้โดยใช้สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของเครื่องบิน (ทฤษฎีบท 1) มันเพียงพอผ่านจุดนี้เพื่อดำเนินการเส้นตรงตั้งฉากของเครื่องบินลำนี้ (ดูงาน 1 § 19) จากนั้นผ่านทางปราสาทที่สร้างขึ้นการแปลของแนวตั้งฉากของระนาบนี้ในคุณสมบัติที่ระบุ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องบินดังกล่าวสามารถดำเนินการชุดอนันต์ได้

ความสำคัญยิ่งขึ้นคืองานสร้างเครื่องบินตั้งฉากกับสิ่งนี้โดยมีเงื่อนไขว่ามันผ่านไปโดยตรง เป็นที่ชัดเจนว่าหาก Direct นี้ตั้งฉากกับระนาบนี้เครื่องบินดังกล่าวสามารถสร้างชุดอนันต์ได้ มันยังคงพิจารณากรณีเมื่อตรงนี้ไม่ได้ตั้งฉากกับระนาบนี้ ความเป็นไปได้ของการก่อสร้างดังกล่าวเป็นธรรมในระดับของแบบจำลองทางกายภาพของโดยตรงและเครื่องบินในตัวอย่างที่ 1

c และ d a c 1 พิสูจน์ว่าผ่านระนาบแบบตั้งฉากที่ไม่ตั้งฉากโดยพลการเครื่องบินสามารถดำเนินการตั้งฉากกับระนาบนี้ได้

ปล่อยให้เครื่องบินαและเส้นตรง L B \\ A ได้รับ เราใช้จุดโดยพลการโดยตรงและดำเนินการผ่านมันตรงเครื่องบินตั้งฉากα (รูปที่ 430, a) ตั้งแต่ภายใต้เงื่อนไข L ไม่ตั้งฉากกับαจากนั้นมันตัดกันโดยตรง ผ่านเส้นตรงเหล่านี้เครื่องบินβ (รูปที่ 430, b) สามารถดำเนินการได้ซึ่งตามสัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบ (ทฤษฎีบท 1) จะตั้งฉากกับเครื่องบินα ■.

pri me p 3 ผ่านด้านบนของ Pyramidsabc ที่เหมาะสมกับ Baseabc เพื่อดำเนินการระนาบตรงตั้งฉากของด้านข้างหันหน้าไปทางไซด์บีซี

เพื่อแก้ปัญหานี้เราใช้สิ่งแรกที่ทฤษฎีบทในแนวตั้งฉากกับเส้นข้ามของเครื่องบินตั้งฉาก

(ทฤษฎีบท 2) ให้ k เป็นกลางของ ribc (รูปที่ 431) เครื่องบินของ IBCS ตั้งฉากตั้งฉากบนพื้นฐานของเครื่องบินตั้งฉาก (ทฤษฎีบท 1) อันที่จริง Sun SK IVs AK เป็น Medians ที่ใช้ไปกับบริเวณที่มีคาร์บอนที่ถูกล่ามโซ่อย่างเท่าเทียมกัน ดังนั้นบนพื้นฐานของการตั้งฉากของเส้นตรงและเครื่องบิน (ทฤษฎีบท 1 §18) ได้รับการอนุมัติโดยตรงจากเครื่องบินของเครื่องบิน เครื่องบินส่งผ่านดาวเคราะห์เส้นตรงตั้งฉาก

อาคาร. เราจะใช้จ่ายในเครื่องบินของจุดตรงตั้งฉากกับสายการเข้ารหัสโดยตรงของจุดตัดของ planeaksaks ibcs (รูปที่ 432) โดยทฤษฎีตั้งฉากกับแนวข้ามของเครื่องบินตั้งฉาก (ทฤษฎีบท 2) เส้นตรงตั้งฉากกับเครื่องบิน BCS ■.

2. ในรูปที่ 434 กฎที่ปรากฎ- ปิรามิด Quadrangular Naya

SABCD, POINTS P, M, N ใน DERI -

röbembers AB, BC, BS, O-Center Base ABCD ซึ่งคู่แบน- กระดูกตั้งฉาก:

1) ACS และ BDS; 2) Mosi POS;

3) COS และ MNP; 4) MNPI SOB;

5) cnd และ abs?

3) PACC PACCS; 4) Pac Pab?

4. สองระนาบตั้งฉาก เป็นไปได้ที่จุดใดที่หนึ่งของพวกเขาใช้จ่ายโดยตรงในระนาบนี้เครื่องบินลำที่สอง?

5. ในระนาบαมันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำแบบตรงเครื่องบินβ เครื่องบินเหล่านี้สามารถเป็น mi ได้ไหม

6. ผ่านจุดหนึ่งของเครื่องบินαเครื่องบินจะดำเนินการในระนาบนี้และระนาบตั้งฉากที่เครื่องบินαและβนั้นตั้งฉากหรือไม่?

ส่วนของรั้วที่แนบมากับเสาแนวตั้งบอกว่าระนาบของรั้วเป็นแนวตั้ง?

วิธีการคราดขนานกับพื้นผิวโลกติดโล่แนวตั้ง?

ทำไมพื้นผิวของประตูโดยไม่คำนึงว่าพวกเขาจะปิดหรือเปิดอยู่ตั้งอยู่ในแนวตั้งกับพื้นหรือไม่

ทำไมมันติดกับผนังแนวตั้งอย่างแน่นหนาและไม่จำเป็นต้อง?

เป็นไปได้ไหมที่จะติดโล่ไปยังโพสต์เอียงเพื่อให้ตั้งฉากกับพื้นผิวโลก?

วิธีการติดตั้งตั้งฉากกับระนาบ

ผนังเครื่องบินพื้น? ตั้งฉากตั้งฉากตั้งฉาก- ตรง, โกหก - β True 7. คุณสามารถ 8.9.10.11.12

แบบฝึกหัดกราฟิก

1. ในรูปที่ 436 แสดงให้เห็นถึงลูกบาศก์ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

1) ระบุระนาบตั้งฉากกับระนาบCDD 1

2) เครื่องบินเป็นอย่างไรและ

A1 B1 Cab 1 C 1

421. ส่วนงานดำเนินการจากตารางของ SquareaBCD ตั้งฉากกับเครื่องบิน

1 °) กำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเครื่องบิน ACS

และ abc

2 °) กำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเครื่องบิน ACS

และ bds

3) สร้างระนาบที่ผ่านผ่านดาวเคราะห์ตั้งฉากแบบตั้งฉากระบบปฏิบัติการโดยตรง

4) สร้างเครื่องบินตั้งฉากกับเครื่องบิน ABC และส่งผ่านกลางของ ICD

422. จากจุดตัดของเส้นทแยงมุม, RHOMBCD ได้ดำเนินการระนาบตั้งฉากของส่วนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน AB \u003d DB \u003d

1 °) กำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเครื่องบิน SDB และ

ABC, SDBI ACS

2 °) สร้างระนาบที่ผ่านผ่าน BC Direct Perfendicular Planeabd

3) สลับผ่านกลางเครื่องบิน CSS ส่วนเครื่องบินตั้งฉาก

4) ค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยม BDF

423. Dan Cube ABCDA1 B1 C1 D1

1 °) กำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเครื่องบิน AB 1 C 1

และ CDD1

2 °) กำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเครื่องบิน AB 1 C 1

และ CD1 A1

3 °) สร้างระนาบที่ผ่านจุดที่ตั้งฉากกับเครื่องบิน BB 1 D 1

4) สร้างส่วนตัดขวางของลูกบาศก์ด้วยเครื่องบินที่ผ่าน Riber 1 D 1 c 1 seds ตั้งฉากกับระนาบ 5) กำหนดโดยตำแหน่งของสถานที่ 1 ในกรณีของคดีที่ผ่านกลางของ Rober 1 ใน 1, C 1 D 1, CD

6) ค้นหาพื้นที่ลูกบาศก์ของลูกบาศก์ด้วยเครื่องบินที่ส่งผ่านขอบของ BB 1 และกลางของซี่โครง 1 D 1 (BB \u200b\u200b1 \u003d A)

7) สร้างจุดสมมาตรจุดที่สัมพันธ์กับเครื่องบิน 1 B 1 C

424. ใน Tetrahedraabcd ที่เหมาะสมกับการรีคอมพิวเตอร์ 2 ซม. - Sedinnown และจุดกลางกลาง

1 °) พิสูจน์ว่า DB ตรงตั้งฉากกับเครื่องบิน

2 °) พิสูจน์ว่าระนาบของ VDM ตั้งฉากกับจุดศูนย์กลาง

3) ผ่านจุดตัดของสามเหลี่ยมเฉลี่ยปัดโดยตรงตั้งฉากกับเครื่องบิน

4) ค้นหาความยาวของส่วนของส่วนนี้ตรงภายใน tetrahedron 5) ทัศนคติของเครื่องบิน AMS แบ่งส่วนนี้?

425. สองสามเหลี่ยมด้านเท่าและ IADC กำลังนอนอยู่ในระนาบตั้งฉาก

1 °) ค้นหาความยาวของส่วน BD IFAC \u003d 1 ซม.

2) พิสูจน์ว่าเครื่องบิน BKD (k อยู่บน directac) ตั้งฉากกับระนาบของแต่ละสามเหลี่ยมของนี้และถ้ามันเป็นด้านกลาง

426. RectangleAbcd ด้านข้างที่ 3 ซม. และ 4 ซม. ย้ายไปตามแนวทแยงเพื่อให้ Trianglesabc IADC ตั้งอยู่ในระนาบตั้งฉาก กำหนดระยะห่างระหว่างจุด ID หลังจากที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถสละ

427. ถึงจุดนี้ให้ปัดระนาบตั้งฉากกับแต่ละระนาบของเครื่องบิน

428 ° พิสูจน์ว่าระนาบของขอบที่อยู่ติดกันของลูกบาศก์นั้นตั้งฉาก

429. เครื่องบินαและβตั้งฉากกับกันและกัน จากจุดของเครื่องบินαระนาบตั้งฉากβดำเนินการ พิสูจน์ว่าเส้นตรงอยู่ที่เครื่องบินα

430. พิสูจน์ว่าถ้าเครื่องบินและโดยตรงไม่นอนอยู่ในระนาบนี้ตั้งฉากกับระนาบเดียวกันพวกเขาก็ขนานกัน

431. ผ่านจุด IV จุดตัดของเครื่องบินตั้งฉากαและβตั้งฉากกับเส้น: AA 1 ในα, bb 1 ในβ คะแนนที่เรียกเก็บตามวิธีที่ 1 และจุด - NAVB 1 พิสูจน์ว่าโดยตรงตั้งฉากกับโดยตรงและเส้นตรง 1 ตั้งฉากเป็น Directy

432 * ผ่านกลางของแต่ละสามเหลี่ยมเครื่องบินตั้งฉากกับด้านนี้จะถูกดำเนินการ พิสูจน์ว่าเครื่องบินทั้งสามลำที่ดำเนินการตัดกันโดยหนึ่งตรงตั้งฉากกับระนาบสามเหลี่ยม

แบบฝึกหัดสำหรับการทำซ้ำ

433. ในสามเหลี่ยมด้านเท่าb กำหนด: 1) ความสูง; 2) Radii ที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่อธิบายไว้

434. จากจุดหนึ่งถูกดำเนินการในแนวตั้งฉากโดยตรงและสองเอียง กำหนดความยาวของแนวตั้งฉากหากมีความโน้มเอียงคือ 41 ซม. และ 50 ซม. และการคาดการณ์ของพวกเขาในตรงนี้เป็น 3: 10

435. กำหนดธัญพืช สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมถ้า bis- สัมมาน มุมตรง แบ่ง hypotenuse สำหรับกลุ่ม 15 ซม. และ

นิยามพื้นฐาน

เครื่องบินสองลำที่เรียกว่า

ตั้งฉากกับชื่อ หากแต่ละคนเกิดขึ้นตรง- mi, ตั้งฉาก- เครื่องบินลำที่สองและผ่านจุดตัดของเครื่องบินเหล่านี้

แนวคิดของระนาบตั้งฉาก

เมื่อข้ามเครื่องบินสองลำเรามีมุม $ 4 $ Dihedral สองมุมเท่ากับ $ \\ varphi $ และอีกสองตัวเท่ากับ $ (180) ^ 0- \\ varphi $

คำนิยาม 1.

มุมระหว่างเครื่องบินเป็นมุมขั้นต่ำของมุม Dihedral ที่เกิดขึ้นจากเครื่องบินเหล่านี้

นิยาม 2.

สองเครื่องบินตัดกันถูกเรียกว่าตั้งฉากหากมุมระหว่างเครื่องบินเหล่านี้คือ $ 90 ^ \\ circ $ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1. ระนาบตั้งฉาก

สัญญาณของการตั้งฉากของสองระนาบ

ทฤษฎีบท 1

หากระนาบเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบอื่นเครื่องบินเหล่านี้จะตั้งฉากกับกันและกัน

หลักฐาน.

ให้เราให้เครื่องบิน $ \\ alpha $ และ $ \\ beta $ ซึ่งตัดกันกับ $ AC $ AC ให้โดยตรง $ ab $ นอนอยู่ใน $ \\ alpha $ เครื่องบินตั้งฉากกับเครื่องบิน $ \\ beta $ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2

เนื่องจาก Direct $ AB $ ตั้งฉากกับเครื่องบิน $ \\ beta $ จากนั้นจะตั้งฉากกับ $ AC $ AC เราจะดำเนินการเพิ่ม $ AD $ AD $ ในระนาบ $ \\ beta $ ตั้งฉากกับ $ AC $ AC $

เราได้รับมุมที่ $ BAD $ เป็นมุมเชิงเส้นของมุมหุ่นเท่ากับ $ 90 ^ \\ circ $ นั่นคือตามคำนิยาม 1 มุมระหว่างเครื่องบินคือ $ 90 ^ \\ circ $ ซึ่งหมายความว่าข้อมูลของระนาบตั้งฉาก

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.

หากเครื่องบินตั้งฉากกับโดยตรงซึ่งเครื่องบินอีกสองตัวตัดกันมันตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้

หลักฐาน.

ให้เราให้เครื่องบินสองใบ $ \\ Alpha $ และ $ \\ beta $ ตัดกันใน Direct $ C $ เครื่องบินของ $ \\ Gamma $ ตั้งฉากกับ Direct $ C $ (รูปที่ 3)

รูปที่ 3

เนื่องจาก Direct $ C $ เป็นของ $ \\ alpha $ ระนาบและ $ \\ gamma $ เครื่องบินตั้งฉากกับ $ c $ c $ จากนั้นตามทฤษฎีบท 1, เครื่องบิน $ \\ alpha $ และ $ \\ gamma $ promincular

เนื่องจาก Direct $ C $ เป็นของเครื่องบิน $ \\ beta $ และ $ \\ Gamma $ ระนาบตั้งฉากกับ Direct $ C $ จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เครื่องบิน $ \\ beta $ และ $ \\ Gamma $ ตั้งฉาก

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สำหรับทฤษฎีบทแต่ละรายการเหล่านี้การยืนยันผกผันก็ยุติธรรมเช่นกัน

ตัวอย่างของงาน

ตัวอย่างที่ 1

ให้เราให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมจัตตาปั้น $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ ค้นหาเครื่องบินตั้งฉากทั้งคู่ (รูปที่ 5)

รูปที่ 4

การตัดสินใจ

a-priory paralleplepipeda สี่เหลี่ยม และเครื่องบินตั้งฉากเราเห็นแปดคู่ต่อไปนี้ตั้งฉากต่อกัน: $ (ABB_1) $ และ $ (add_1) $, $ (ABB_1) $ และ $ (A_1B_1C_1) $, $ (ABB_1) $ (BCC_1) $ (BCC_1) $ $ (ABB_1) $ และ $ (ABC) $, $ (dcc_1) $ และ $ (add_1) $, $ (dcc_1) $ และ $ (a_1b_1c_1) $, $ (dcc_1) $ และ $ (bcc_1) $, $ ( DCC_1) $ และ $ (ABC) $

ตัวอย่างที่ 2

ให้เราให้ระนาบตั้งฉากกันสองลำ จากจุดหนึ่งเครื่องบินดำเนินการตั้งฉากกับระนาบอื่น พิสูจน์ว่านี้ตรงนี้อยู่ในระนาบนี้

หลักฐาน.

ให้เราได้รับเครื่องบินตั้งฉาก $ \\ Alpha $ และ $ \\ beta $ intersecting ใน Direct $ C $ จาก $ เครื่องบิน $ $ \\ beta $ ได้ดำเนินการตั้งฉาก $ AC $ AC ไปยังเครื่องบิน $ \\ Alpha $ สมมติว่า $ ac $ ไม่ได้อยู่ในเครื่องบิน $ \\ beta $ (รูปที่ 6)

รูปที่ 5

พิจารณาสามเหลี่ยม $ ABC $ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีมุมโดยตรง $ ACB $ ดังนั้น $ \\ angle abc \\ ne (90) ^ 0 $

แต่ในทางกลับกัน $ \\ Angle ABC $ เป็นมุมเชิงเส้นของมุม Dihedral ที่เกิดขึ้นจากเครื่องบินเหล่านี้ นั่นคือมุมแคระที่เกิดจากเครื่องบินเหล่านี้ไม่เท่ากับ 90 องศา เราได้รับมุมที่ระหว่างระนาบไม่เท่ากับ $ 90 ^ \\ circ $ ความขัดแย้ง. ดังนั้น $ AC $ จึงอยู่ในเครื่องบิน $ \\ beta $

บทเรียนนี้ มันจะช่วยผู้ที่ต้องการรับทราบความคิดของหัวข้อ "สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของสองระนาบ" ที่จุดเริ่มต้นของมันเราทำซ้ำนิยามของมุม DUGRANNY และเชิงเส้น จากนั้นเราพิจารณาว่าเครื่องบินชนิดใดที่เรียกว่าตั้งฉากและเราพิสูจน์สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบสองลำ

หัวข้อ: ตั้งฉากของเส้นตรงและเครื่องบิน

บทเรียน: สัญญาณของการตั้งฉากของสองระนาบ

นิยาม มุม Dihedral เป็นรูปที่เกิดขึ้นจากสองระนาบสองลำที่ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันและทั่วไปของพวกเขาโดยตรง A (A - Edge)

รูปที่. หนึ่ง

พิจารณาแผ่นครึ่งสองαและβ (รูปที่ 1) ชายแดนทั่วไปของพวกเขา - L. ตัวเลขที่ระบุเรียกว่ามุม Dihedral เครื่องบินสองชิ้นที่ตัดกันเป็นสี่มุมไอที่มีขอบทั่วไป

มุมแคระวัดจากมุมเชิงเส้น บนขอบทั่วไปของมุมหุ่นลิตรเลือกจุดโดยพลการ ในตำแหน่งกึ่งαและβจากจุดนี้เราดำเนินการตั้งฉาก A และ B เป็นเส้นตรง L และเราได้รับมุมเชิงเส้นของมุม Dihedral

เส้นตรง A และ B รูปแบบสี่มุมเท่ากับφ, 180 ° - φ, φ, 180 ° - φ จำได้มุมระหว่าง Direct คือมุมที่เล็กที่สุดของเหล่านี้

นิยาม มุมระหว่างเครื่องบินเรียกว่ามุมที่เล็กที่สุดของ Dugrani ที่เกิดจากเครื่องบินเหล่านี้ที่เกิดขึ้น φเป็นมุมระหว่างเครื่องบินαและβถ้า

นิยาม เครื่องบินตัดกันสองลำเรียกว่าตั้งฉาก (ตั้งฉากกัน) หากมุมระหว่างพวกเขาคือ 90 °

รูปที่. 2.

on the edge l point arbitrary m ถูกเลือก (รูปที่ 2) เราดำเนินการสองตั้งฉากตรง ma \u003d a และ mv \u003d b ไปที่ขอบ l ในเครื่องบินαและในเครื่องบินβตามลำดับ ได้รับมุมของ AMV มุมของ AMV เป็นมุมเชิงเส้นของมุม dihedral หากมุม AMV อยู่ที่ 90 °เครื่องบินαและβเรียกว่าตั้งฉาก

Direct B ตั้งฉากกับเส้นตรง L โดยการก่อสร้าง DIRECT B ตั้งฉากกับ Direct A เนื่องจากมุมระหว่างระนาบαและβคือ 90 ° เราได้รับ B แบบตรงนั้นตั้งฉากกับสองการตัดกันโดยตรงและ l จากเครื่องบินα ดังนั้น B ตรงจะตั้งฉากกับเครื่องบินα

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าตรงและตั้งฉากกับเครื่องบินβ โดยตรงและตั้งฉากกับโดยตรงในการก่อสร้าง โดยตรงและตั้งฉากกับเส้นตรง B เนื่องจากมุมระหว่างเครื่องบินαและβคือ 90 ° เราได้รับตรงและตั้งฉากกับสอง strive direct b และ l จากเครื่องบินβ ดังนั้นตรงและตั้งฉากกับเครื่องบินβ

หากหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบอื่นเครื่องบินดังกล่าวจะตั้งฉาก

พิสูจน์

รูปที่. 3.

หลักฐาน:

ปล่อยให้เครื่องบินαและβตัดกันในเส้นตรง AC (รูปที่ 3) เพื่อพิสูจน์ว่าเครื่องบินตั้งฉากร่วมกันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องสร้างมุมเชิงเส้นระหว่างพวกเขาและแสดงให้เห็นว่ามุมนี้คือ 90 °

โดยตรง AV ตั้งฉากตามสภาพเครื่องบินβซึ่งหมายความว่า Au โดยตรงนอนอยู่ในระนาบβ

เราดำเนินการโฆษณาตรงตั้งฉากกับ AC ตรงในเครื่องบินβ จากนั้นมุม WD -line ของมุมแคระ

Direct AV ตั้งฉากกับเครื่องบินβและดังนั้นโฆษณาโดยตรงจะนอนอยู่ในเครื่องบินβ ดังนั้นมุมเชิงเส้นของ VAD คือ 90 ° หมายความว่าเครื่องบินαและอยู่ในแนวตั้งฉากกับสิ่งที่จำเป็นในการพิสูจน์

เครื่องบินตั้งฉากกับ Direct ซึ่งสองบรรทัดข้อมูลระนาบจะตั้งฉากกับแต่ละระนาบเหล่านี้ (รูปที่ 4)

พิสูจน์

รูปที่. สี่

หลักฐาน:

เส้นตรง l ตั้งฉากกับระนาบγและเครื่องบินαผ่านโดยตรง l ดังนั้นบนพื้นฐานของการตั้งฉากของระนาบเครื่องบินαและγตั้งฉาก

เส้นตรง L ตั้งฉากกับระนาบγและเครื่องบินβผ่านไปโดยตรง l ดังนั้นบนพื้นฐานของการตั้งฉากของระนาบเครื่องบินและγตั้งฉาก