ปูกระเบื้องเครื่องบิน. ปัญหาการปูกระเบื้องแบบไม่เป็นระยะของระนาบที่มีรูปร่างเหมือนกันได้รับการแก้ไขแล้ว ในงานของเธอ เธอใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกส์อย่างกว้างขวางเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในการสร้างสรรค์งานศิลปะ ซึ่งเป็นตัวเชื่อมโยงระหว่างกัน

ความรู้สึกในโลกของคณิตศาสตร์ มีการค้นพบรูปห้าเหลี่ยมรูปแบบใหม่ซึ่งปกคลุมเครื่องบินโดยไม่มีการแตกหักหรือทับซ้อนกัน

นี่เป็นเพียงรูปห้าเหลี่ยมประเภทที่ 15 เท่านั้น และเป็นรูปห้าเหลี่ยมประเภทแรกที่ถูกค้นพบในรอบ 30 ปีที่ผ่านมา

เครื่องบินถูกปกคลุมไปด้วยสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมทุกรูปร่าง แต่ด้วยรูปห้าเหลี่ยมทุกอย่างจะซับซ้อนและน่าสนใจยิ่งขึ้น รูปห้าเหลี่ยมปกติไม่สามารถครอบคลุมระนาบได้ แต่รูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ปกติบางรูปสามารถทำได้ การค้นหาตัวเลขดังกล่าวเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจที่สุดปัญหาหนึ่งในรอบร้อยปี ภารกิจนี้เริ่มต้นในปี 1918 เมื่อนักคณิตศาสตร์ คาร์ล ไรน์ฮาร์ด ค้นพบตัวเลขที่เหมาะสมห้าตัวแรก

เชื่อกันมานานแล้วว่าไรน์ฮาร์ดได้คำนวณสูตรที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วและไม่มีรูปห้าเหลี่ยมดังกล่าวอีกต่อไป แต่ในปี พ.ศ. 2511 นักคณิตศาสตร์ R.B. Kershner พบอีกสามสูตร และ Richard James ในปี พ.ศ. 2518 ได้เพิ่มจำนวนเป็นเก้า ในปีเดียวกันนั้นเอง มาร์จอรี ไรซ์ แม่บ้านชาวอเมริกันวัย 50 ปีและผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์ได้พัฒนาวิธีการจดบันทึกของเธอเอง และค้นพบรูปห้าเหลี่ยมอีกสี่รูปภายในไม่กี่ปี ในที่สุดในปี 1985 Rolf Stein ได้เพิ่มจำนวนตัวเลขเป็นสิบสี่

เพนตากอนยังคงเป็นบุคคลเดียวที่ยังคงมีความไม่แน่นอนและความลึกลับอยู่ ในปี 1963 ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีรูปหกเหลี่ยมเพียงสามประเภทเท่านั้นที่ปกคลุมเครื่องบิน ไม่มีรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวระหว่างเจ็ดเหลี่ยมนูน แปดเหลี่ยม และอื่นๆ แต่สำหรับเพนตากอน ทุกอย่างยังไม่ชัดเจนนัก

จนถึงทุกวันนี้รู้จักรูปห้าเหลี่ยมดังกล่าวเพียง 14 ประเภทเท่านั้น แสดงในภาพประกอบ สูตรของแต่ละสูตรมีให้ที่ลิงค์

เป็นเวลา 30 ปีที่ไม่มีใครค้นพบสิ่งใหม่ ๆ และในที่สุดก็เป็นการค้นพบที่รอคอยมานาน! สร้างขึ้นโดยกลุ่มนักวิทยาศาสตร์จากมหาวิทยาลัยวอชิงตัน: ​​Casey Mann, Jennifer McLoud และ David Von Derau หน้าตาหนุ่มหล่อตัวน้อยก็จะประมาณนี้

“เราค้นพบรูปร่างดังกล่าวด้วยคอมพิวเตอร์เพื่อค้นหารูปแบบต่างๆ มากมายแต่มีจำกัด” เคซีย์ มานน์กล่าว “แน่นอน เรารู้สึกตื่นเต้นมากและแปลกใจเล็กน้อยที่สามารถค้นพบรูปห้าเหลี่ยมชนิดใหม่ได้”

การค้นพบนี้ดูเหมือนเป็นนามธรรมล้วนๆ แต่จริงๆ แล้วอาจมีการนำไปใช้ได้จริง ตัวอย่างเช่นในการผลิตกระเบื้องตกแต่ง

การค้นหารูปห้าเหลี่ยมใหม่ที่ครอบคลุมเครื่องบินจะดำเนินต่อไปอย่างแน่นอน

มันง่ายที่จะปูเครื่องบินด้วยไม้ปาร์เก้ที่ทำจากสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมหรือหกเหลี่ยมปกติ (ใต้ ปูกระเบื้องเราเข้าใจการจัดเรียงนี้ซึ่งใช้จุดยอดของแต่ละรูปกับจุดยอดของรูปข้างเคียงเท่านั้น และไม่มีสถานการณ์ใดที่ใช้จุดยอดที่ด้านข้าง) ตัวอย่างการปูกระเบื้องดังแสดงในรูป 1.

ไม่มีอย่างอื่นถูกต้อง n-จะไม่สามารถครอบคลุมระนาบที่มีมุมโดยไม่มีช่องว่างและทับซ้อนกันได้ ต่อไปนี้เป็นวิธีอธิบาย ตามที่ทราบกันดีว่าผลรวมของมุมภายในของค่าใดๆ n-gon เท่ากับ ( n– 2) 180° เพราะถูกทุกมุม n- เหลี่ยมเหมือนกัน ดังนั้น องศาของแต่ละมุมจึงเท่ากับ หากเครื่องบินสามารถเรียงต่อกันด้วยตัวเลขดังกล่าวได้ ก็จะมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด เครูปหลายเหลี่ยม (สำหรับบางคน เค). ผลรวมของมุมที่จุดยอดนี้ต้องเป็น 360° ดังนั้น หลังจากการแปลงง่ายๆ ไม่กี่อย่าง ความเท่าเทียมกันนี้จะกลายเป็น: แต่อย่างที่ตรวจสอบได้ง่าย สมการสุดท้ายจะมีคำตอบเพียงสามคู่เท่านั้น หากเราคิดอย่างนั้น nและ เคจำนวนเต็ม: เค = 3, n = 6; เค = 4, n= 4 หรือ เค = 6, n= 3 คู่ตัวเลขเหล่านี้ตรงกับตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 1 ทุกประการ 1 ปูกระเบื้อง.

รูปหลายเหลี่ยมอื่นใดที่สามารถใช้เพื่อเรียงระนาบโดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกันได้

งาน

ก) พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมใดๆ สามารถใช้ปูกระเบื้องระนาบได้

b) พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมใดๆ (ทั้งนูนและไม่นูน) สามารถใช้ปูกระเบื้องระนาบได้

c) ยกตัวอย่างรูปห้าเหลี่ยมที่สามารถนำมาต่อระนาบได้

d) ให้ยกตัวอย่างรูปหกเหลี่ยมที่ไม่สามารถนำมาปูกระเบื้องระนาบได้

จ) ยกตัวอย่าง n- สแควร์สำหรับใด ๆ n> 6 ซึ่งสามารถใช้ปูเครื่องบินได้

คำแนะนำ 1

ในข้อ a) c) e) คุณสามารถลองทำ "ลายทาง" จากรูปร่างที่เหมือนกัน ซึ่งจากนั้นจะนำไปใช้ปูทั้งระนาบได้อย่างง่ายดาย

ขั้นตอน b): พับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหมือนกันสองอันเป็นรูปหกเหลี่ยมซึ่งมีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ การเรียงระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมเหล่านี้ค่อนข้างง่าย

จุด d): ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมที่แต่ละจุดยอดต้องเท่ากับ 360°

คำแนะนำ 2

ในข้อ e) คุณสามารถพยายามทำตัวแตกต่างออกไป: เปลี่ยนตัวเลขที่มีอยู่เล็กน้อยเพื่อให้ได้ tessellations ใหม่

สารละลาย

ตัวอย่างคำตอบแสดงอยู่ในรูปภาพ

c) รูปห้าเหลี่ยมที่มีรูปร่างเหมือนบ้านจะทำสิ่งต่อไปนี้

d) เป็นไปไม่ได้ที่จะปูระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมดังกล่าว: เพียงแต่ไม่มีส่วนใดของรูปหกเหลี่ยมดังกล่าวที่จะพอดีกับมุม "ตัดออก" ได้อย่างสมบูรณ์ มองเห็นได้ชัดเจนในเซลล์:

คุณสามารถสร้างรูปหกเหลี่ยมอื่นๆ มากมายที่ไม่สามารถใช้ปูกระเบื้องระนาบได้

จ) นี่คือตัวอย่างของสิบสองเหลี่ยมที่สามารถใช้ในการเรียงระนาบได้ วิธีการปูกระเบื้องนี้ได้มาจากการปรับเปลี่ยนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมปกติ (ดูรูปที่ 1, ครั้งที่สองจากเงื่อนไข):

คำหลัง

ปัญหาการปูกระเบื้องเครื่องบินที่มีรูปทรงเหมือนกันโดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกันเป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ หนึ่งในกรณีพิเศษคือคำถามว่าไม้ปาร์เก้สามารถเป็นอะไรได้บ้าง (นั่นคือการปูกระเบื้องเครื่องบิน รูปหลายเหลี่ยมปกติและไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน) และโดยเฉพาะพื้นปาร์เก้ที่ถูกต้อง ไม้ปาร์เก้ที่ถูกต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ด้วยความช่วยเหลือของการถ่ายโอนแบบขนาน (กะโดยไม่มีการหมุน) ซึ่งโอนไม้ปาร์เก้เข้าไปในตัวมันเองคุณสามารถรวมโหนดที่เลือกไว้ล่วงหน้ากับโหนดไม้ปาร์เก้อื่น ๆ ในรูป เงื่อนไข 1 ข้อ แสดงเฉพาะพื้นปาร์เก้ที่ถูกต้อง

ไม่ยากเกินไปที่จะพิสูจน์ว่าพื้นไม้ปาร์เก้ธรรมดามีเพียง 11 ประเภทเท่านั้น (ดูรายการการปูกระเบื้องสม่ำเสมอ) สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับที่เราพิสูจน์แล้วในคำชี้แจงปัญหาว่ามีไม้ปาร์เก้เพียงสามประเภทจากรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เหมือนกัน - ทราบการวัดระดับของมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอันคุณเพียงแค่ต้องเลือกพวกมันเพื่อให้ ทั้งหมดคือ 360° และทำได้โดยการแจงนับตัวเลือกเพียงเล็กน้อย มีโมเสกโบราณมากมายที่ใช้พื้นไม้ปาร์เก้เหล่านี้

โมเสกที่ทำจากดินเหนียว หิน และแก้ว (และพื้นปาร์เกต์ที่ทำจากไม้และกระเบื้อง) เป็นการนำทฤษฎีนี้ไปใช้ในชีวิตที่มีชื่อเสียงและเข้าใจได้ง่ายที่สุด พวกเราหลายคนสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยเข้าไปในห้องครัวหรือห้องน้ำของเรา นักออกแบบในอนาคตศึกษาไม้ปาร์เก้ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะเนื่องจากมักใช้ในสถาปัตยกรรมและการตกแต่ง

เทสเซลล์ก็เกิดขึ้นในธรรมชาติเช่นกัน นอกจากรวงผึ้งที่รู้จักกันดีแล้ว ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดคือการก่อตัวทางธรณีวิทยาที่ Cape Stolbchaty (เกาะ Kunashir ซึ่งเป็นสันเขาขนาดใหญ่ของหมู่เกาะ Kuril) และ "ทางหลวงยักษ์" ในไอร์แลนด์เหนือ

ลักษณะทั่วไปของปัญหาของเรา - การปูกระเบื้องเชิงพื้นที่ - สาขาผลึกศาสตร์ที่สำคัญสมัยใหม่ ซึ่งมีบทบาทสำคัญในด้านทัศนศาสตร์แบบบูรณาการและฟิสิกส์เลเซอร์

น่าแปลกที่จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ มีเพียงเทสเซลล์เป็นระยะๆ เท่านั้น (ซึ่งเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์กับตัวเองหลังจากการเปลี่ยนแปลงบางอย่างและการทำซ้ำของมัน) อย่างไรก็ตาม ในปี 1974 โรเจอร์ เพนโรส นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ ได้คิดค้นการปูกระเบื้องแบบไม่เป็นระยะ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าการปูกระเบื้องเพนโรสตามเขา ต่อมา (ในปี พ.ศ. 2527) มีการค้นพบโครงสร้างที่ไม่เป็นระยะที่คล้ายกัน

สถาบันการศึกษาเทศบาล

"โรงเรียนมัธยมหมายเลข 28"

การปูกระเบื้องเครื่องบินในอวกาศ.

บทคัดย่อการวิจัย

คณิตศาสตร์

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

โคมาร์เชวา แอนนา

หัวหน้างาน:

ครูคณิตศาสตร์ Ovsyankina O.A.

มิติชชี

บทนำ…………………………………………………………………………………3

คำจำกัดความของการปูกระเบื้องระนาบ…………………………………..4

ประวัติความเป็นมาของการปูกระเบื้อง……………………………………………………………..5

ไม้ปาร์เก้…………………………………………………………………………………......7

การปูกระเบื้องแบบไม่เป็นระยะโดย H. Foderberg ……………………...10

การปูกระเบื้องที่ง่ายที่สุด……………………………………………………….11

โมเสก โดยโรเจอร์ เพนโรส…………………………………………………..12

คุณสมบัติของกระเบื้องโมเสกเพนโรส……………………………………………………………..13

การค้นพบที่น่าตื่นเต้น……………………………………………………….14

ควอซิคริสตัล……………………………………………………………….17

โครงสร้างของผลึกควอซิคริสตัล………………………………………….19

คุณสมบัติของผลึกควอซิคริสตัล………………………………………….21

ฟูลเลอรีนและควอซิคริสตัล……………………………………………………………...24

มอริซ เอสเชอร์………………………………………………………...26

เครื่องประดับยุคกลาง…………………………………………28

โครงสร้างของกิริยา……………………………………………………………..31

สรุป……………………………………………………………………..34

การแนะนำ

ความเกี่ยวข้องของนามธรรมอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าการปูกระเบื้องระนาบได้รับการศึกษาอย่างจริงจังในฟิสิกส์คริสตัล เรขาคณิต และยังพบได้ในชีวิตประจำวันอีกด้วย

แม้แต่ศิลปินโบราณก็ยังสร้างลวดลายเรขาคณิตที่น่าทึ่ง เพื่อสร้างรูปแบบ พวกเขาไม่ได้ใช้รูปทรงที่เรียบง่ายและประดิษฐ์แบบสุ่ม แต่ใช้ตัวเลขที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน และสิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคือการที่ผู้คนได้พบกันอีกครั้งในภายหลัง รูปแบบโบราณนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าสิ่งที่หลายศตวรรษต่อมาจะถูกเรียกว่าตาข่ายเพนโรสและพบได้ในโครงสร้างของควอซิคริสตัล!

และศิลปินชาวดัตช์ชื่อดัง มอริซ เอสเชอร์ (พ.ศ. 2441-2515) ผู้สร้างงานแกะสลักและโมเสกที่มีชื่อเสียง และไม่เคยเข้าใจคณิตศาสตร์เลย กล่าวว่า "ผลงานทั้งหมดของฉันคือเกม เกมที่จริงจัง” อย่างไรก็ตาม ในเกมเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกกำลังมองหาหลักฐานทางวัตถุที่จริงจังและจริงจังของแนวคิดที่สร้างขึ้นโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะมานานหลายทศวรรษ

ความสนใจที่จริงจังที่สุดต่อปัญหาการปูกระเบื้องในอวกาศเริ่มได้รับค่าตอบแทนในช่วงห้าสิบปีที่ผ่านมาหลังจากการค้นพบทางฟิสิกส์ของคริสตัล - โลหะผสมโลหะหนัก ในด้านผลึกศาสตร์ สมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 แสดงให้เห็นได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุดในโลกของพืชและในสิ่งมีชีวิตที่เรียบง่ายที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในไวรัสบางประเภทและในสัตว์ทะเลบางชนิด

การกำหนดเทสเซลเลชันระนาบ

Tessellation คือการปกคลุมของระนาบทั้งหมดที่มีรูปร่างไม่ทับซ้อนกัน

การปูกระเบื้อง-การแบ่งพาร์ติชัน เครื่องบินหรือพื้นที่บน ตัวเลขโดยไม่มีจุดภายในร่วมกันหรือคลุมทั้งระนาบด้วยรูปทรงที่ไม่ทับซ้อนกัน

การปูกระเบื้องของระนาบสามารถแสดงเป็นชุดของตัวเลขที่ติดกาวเข้าด้วยกันตามแนวขอบเขต ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่าการปูกระเบื้องหกเหลี่ยม เมื่อเครื่องบินประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันที่ด้านข้างเหมือนกับรวงผึ้ง การปูกระเบื้องจะเรียกว่าการปูกระเบื้องเป็นคาบ ถ้าหากเวกเตอร์บางตัวถูกเลื่อนไป มันจะเปลี่ยนเป็นตัวมันเอง ในกรณีหกเหลี่ยม นี่คือเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของเซลล์หกเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน เป็นต้น

ประวัติความเป็นมาของการปูกระเบื้อง

อาจเป็นไปได้ว่าความสนใจในการปูเริ่มแรกเกิดขึ้นจากการก่อสร้างกระเบื้องโมเสค เครื่องประดับ และลวดลายอื่น ๆ มีเครื่องประดับที่รู้จักมากมายซึ่งประกอบด้วยลวดลายซ้ำๆ

ชาวพีทาโกรัสรู้อยู่แล้วว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติเพียงสามประเภทเท่านั้นที่สามารถปูกระเบื้องระนาบได้โดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกัน ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และหกเหลี่ยม

ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของการปูกระเบื้องแบบไม่เป็นระยะนั้นมีมานานประมาณครึ่งศตวรรษแล้ว วิธีแก้ปัญหาที่มีชื่อเสียงที่สุดสำหรับปัญหานี้คือ เพนโรสโมเสกซึ่งปรากฏในช่วงอายุเจ็ดสิบของศตวรรษที่ผ่านมา และใช้เพียงสองร่างที่แตกต่างกัน

และกระเบื้องชุดแรกประกอบด้วยตัวเลข 20,426 ตัว เปิดตัวในปี 1966 โดยนักคณิตศาสตร์ Robert Berger อย่างไรก็ตาม หลังจากนั้นระยะหนึ่ง เขาก็สามารถลดจำนวนไทล์ที่ต้องการลงเหลือ 104 ไทล์ได้

สำหรับผู้เขียนผลงานที่เป็นปัญหา ตัวเลขหนึ่งรูปก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้ - รูปหกเหลี่ยมปกติ เมื่อวางกระเบื้องดังกล่าวไม่ควรขัดจังหวะเส้นสีดำและธงที่จุดยอดของรูปหกเหลี่ยมซึ่งอยู่ในระยะห่างเท่ากับความยาวของด้านหนึ่งของกระเบื้อง (ทำเครื่องหมายด้วยลูกศรในรูป) ควรมีลักษณะ ไปในทิศทางเดียวกัน

ไม้ปาร์เก้

ในแต่ละเทสเซลล์ที่ใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมปกติ และหกเหลี่ยมปกติ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปใดๆ จะมีด้านร่วม มีจุดยอดร่วมเท่านั้น หรือไม่ก็มีจุดร่วมเลย เรียกว่าเทสเซลล์ของระนาบที่มีรูปหลายเหลี่ยมที่ตรงตามข้อกำหนดนี้ ไม้ปาร์เก้.

มันค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นใดเกิดขึ้นบนไม้ปาร์เก้ และตรงนี้เราต้องการสูตรสำหรับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม

หากเป็นไม้ปาร์เก้ที่ทำจาก n-gons จากนั้นที่แต่ละจุดยอดของไม้ปาร์เก้จะมีการบรรจบกัน เค= 360°/ ก n รูปหลายเหลี่ยมที่ไหน n- มุมที่ถูกต้อง n-กอน มันง่ายที่จะหาสิ่งนั้น ก 3 = 60°, ก 4 = 90°, ก 5 = 108°, ก 6 = 120° และ 120° ก nป > 7. ดังนั้น 360° จึงหารด้วย ก nเมื่อเท่านั้น ป = 3; 4; 6.

ไม้ปาร์เก้ที่ทำจากรูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นมีความสม่ำเสมอในแง่ที่ว่าพวกมันมี "โครงสร้างที่เท่าเทียมกัน" เมื่อเทียบกับจุดยอดทั้งหมดและชิ้นส่วนรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่ประกอบเป็นไม้ปาร์เก้ (ชิ้นส่วนเหล่านี้เรียกว่าหน้าปูกระเบื้องหรือเรียกง่ายๆ ว่ากระเบื้อง) กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับจุดยอดสองจุดใดๆ ของไม้ปาร์เก้ธรรมดา เราสามารถระบุการจัดตำแหน่งได้เอง โดยให้จุดยอดด้านหนึ่งตกทับอีกจุดหนึ่ง เช่นเดียวกับกระเบื้องปาร์เก้สองแผ่น

คุณสามารถกำหนดให้ไม้ปาร์เก้เป็นแบบปกติเฉพาะที่จุดยอด แต่อนุญาตให้ใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติประเภทต่างๆ จากนั้นจึงเพิ่มพื้นไม้ปาร์เก้อีก 8 พื้นจากเดิม 3 พื้น

การปูกระเบื้องที่ง่ายที่สุด

หนึ่งในการปูกระเบื้องที่ง่ายที่สุดสามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้ ระนาบถูกปกคลุมไปด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน และสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเหมือนกัน สี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ของการเรียงต่อกันนี้สามารถหาได้จากสี่เหลี่ยมด้านขนานดั้งเดิมโดยเลื่อนมันด้วยเวกเตอร์ nU ± mV (เวกเตอร์ U และ V ถูกกำหนดโดยขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เลือก n และ m เป็นจำนวนเต็ม) ควรสังเกตว่าการปูกระเบื้องทั้งหมดโดยรวมจะถูกแปลงเป็นตัวมันเองเมื่อเลื่อนโดยเวกเตอร์ U (หรือ V) คุณสมบัตินี้สามารถนำมาเป็นคำจำกัดความได้ กล่าวคือ การเรียงต่อกันเป็นคาบด้วยจุด U และ V คือการเรียงต่อกันที่แปลงเป็นตัวมันเองเมื่อเลื่อนด้วยเวกเตอร์ U และเวกเตอร์ V

โมเสกโดยโรเจอร์เพนโรส

เป็นเวลานานที่สันนิษฐานกันว่าไม่มีแผ่นกระเบื้อง หรือแม้แต่ชุดแผ่นกระเบื้องที่แตกต่างกันหลายแผ่น ซึ่งสำเนาของกระเบื้องสามารถครอบคลุมระนาบได้เพียงแบบไม่เป็นระยะเท่านั้น อย่างไรก็ตามในช่วงกลางทศวรรษที่ 60 ในศตวรรษที่ 20 สมมติฐานนี้ถูกปฏิเสธ ซึ่งต้องใช้กระเบื้องประเภทต่างๆ มากกว่า 20,000 ชุด จำนวนไทล์ลดลงทีละขั้น และในที่สุด สิบปีต่อมา โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ก็สามารถผ่านตัวเลขง่ายๆ เพียงสองตัวไปได้

โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ คิดค้นสิ่งนี้ขึ้นมาในปี 1973 ซึ่งเป็นโมเสกพิเศษที่มีรูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นจึงเป็นที่รู้จักในชื่อกระเบื้องโมเสคเพนโรส มีอะไรเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับเรื่องนี้? กระเบื้องโมเสคเพนโรสเป็นรูปแบบที่ประกอบจากกระเบื้องเหลี่ยมที่มีรูปทรงเฉพาะสองแบบ (รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่แตกต่างกันเล็กน้อย) พวกเขาสามารถปูระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่มีช่องว่าง

ภาพที่ได้ดูเหมือนว่าเป็นเครื่องประดับแบบ "เป็นจังหวะ" ซึ่งเป็นภาพที่มีความสมมาตรในการแปล ความสมมาตรประเภทนี้หมายความว่าคุณสามารถเลือกชิ้นส่วนเฉพาะในรูปแบบที่สามารถ "คัดลอก" บนเครื่องบินได้ จากนั้นจึงรวม "สิ่งที่ซ้ำกัน" เหล่านี้เข้าด้วยกันโดยการถ่ายโอนแบบขนาน (กล่าวคือ ไม่มีการหมุนและไม่มีการขยาย)

อย่างไรก็ตาม หากคุณมองอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่ารูปแบบเพนโรสไม่มีโครงสร้างที่ซ้ำกันดังกล่าว - มันเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แต่ประเด็นไม่ใช่ภาพลวงตา แต่เป็นความจริงที่ว่าโมเสกไม่วุ่นวาย: มันมีสมมาตรในการหมุนลำดับที่ห้า ซึ่งหมายความว่าสามารถหมุนภาพไปที่มุมขั้นต่ำ 360/ nองศาที่ไหน n–ลำดับของความสมมาตรในกรณีนี้ n= 5 ดังนั้น มุมการหมุนซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย จะต้องเป็นผลคูณของ 360/5 = 72 องศา

กระเบื้องโมเสค Penrose มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. อัตราส่วนของจำนวนสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบางต่อจำนวนชิ้นหนาจะเท่ากับสิ่งที่เรียกว่า "ทองคำ" เสมอ 1.618...

2. จะไม่แปลงร่างเป็นตัวเองในระหว่างกะใด ๆ เช่น ไม่เป็นระยะ

3.มีความสมมาตรในการหมุนลำดับที่ห้า มุมการหมุนจะเป็นผลคูณของ 360° / 5 = 72 รูปแบบผลลัพธ์ที่ได้ ผลึกควอติกส์แบบฟอร์มที่มี สมมาตรตามแนวแกนลำดับที่ 5. โครงสร้างของโมเสกมีการเชื่อมต่อด้วย ลำดับฟีโบนัชชี.

การค้นพบที่น่าตื่นเต้น

เป็นเวลาประมาณหนึ่งทศวรรษที่นิยายของโรเจอร์ เพนโรสถูกมองว่าเป็นเพียงนามธรรมทางคณิตศาสตร์ที่น่ารัก

ต่อมานักวิทยาศาสตร์จากสหรัฐอเมริกาและอิสราเอล - D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias และ J. Kahn - ได้ค้นพบที่น่าตื่นเต้นโดยการค้นพบโครงสร้างที่ไม่เป็นคาบของโลหะผสมแมงกานีสและอลูมิเนียมที่เย็นตัวลงอย่างรวดเร็ว ก่อนหน้านี้เชื่อกันว่าคริสตัลมีความสมมาตรตามแนวแกนเฉพาะลำดับที่ 1, 2, 3, 4 และ 6 เท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลึกที่มีความสมมาตรตามแนวแกนลำดับที่ 5 จะอยู่ในสถานะของการเปลี่ยนแปลงที่ราบรื่นระหว่างวัตถุอสัณฐานและผลึกแบบคาบ

แนวคิดก่อนหน้านี้ที่มีอยู่ในฟิสิกส์สถานะของแข็งไม่รวมถึงความเป็นไปได้นี้: โครงสร้างของรูปแบบการเลี้ยวเบนมีความสมมาตรลำดับที่ห้า

ไม่สามารถรวมชิ้นส่วนต่างๆ เข้าด้วยกันโดยการถ่ายโอนแบบขนาน ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่คริสตัลเลย แต่การเลี้ยวเบนเป็นลักษณะของโครงตาข่ายคริสตัล!

เราจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร? คำถามนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์จึงเห็นพ้องต้องกันว่าตัวเลือกนี้จะเรียกว่าควอซิคริสตัล ซึ่งคล้ายกับสถานะพิเศษของสสาร ดังนั้นความอยากรู้ทางคณิตศาสตร์จึงกลายเป็นแบบจำลองที่อธิบายโครงสร้างภายในของผลึกควอซิก

ความงามของการค้นพบนี้คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่พร้อมสำหรับสิ่งนี้มานานแล้ว กระเบื้องโมเสกเพนโรสเป็นตัวอย่างที่ดีว่าการก่อสร้างที่สวยงามซึ่งตั้งอยู่ที่จุดตัดของสาขาวิชาต่างๆ นั้นจำเป็นต้องนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างไร ถ้าจุดปมถูกแทนที่ด้วยอะตอม โมเสกเพนโรสจะกลายเป็นอะนาล็อกที่ดีของควอซิคริสตัลสองมิติ เนื่องจากมีคุณลักษณะหลายอย่างในลักษณะดังกล่าว
สถานะของสสาร และนั่นคือเหตุผล:

ประการแรกการก่อสร้างโมเสกนั้นถูกนำไปใช้ตามอัลกอริธึมบางอย่างซึ่งเป็นผลมาจากการที่มันกลายเป็นว่าไม่ใช่แบบสุ่ม แต่เป็นโครงสร้างที่ได้รับคำสั่ง ส่วนที่มีขอบเขตจำกัดใดๆ จะเกิดขึ้นนับครั้งไม่ถ้วนตลอดทั้งโมเสก

ประการที่สอง ในงานโมเสก เราสามารถแยกแยะรูปสิบเหลี่ยมปกติหลายอันที่มีทิศทางที่เหมือนกันทุกประการ พวกมันสร้างลำดับทิศทางระยะยาวที่เรียกว่ากึ่งช่วง ซึ่งหมายความว่ามีปฏิสัมพันธ์กันระหว่างโครงสร้างโมเสกที่อยู่ห่างไกล ซึ่งประสานตำแหน่งและทิศทางของเพชรในลักษณะเฉพาะเจาะจงมาก แม้ว่าจะคลุมเครือก็ตาม
ประการที่สาม หากคุณทาสีทับสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดตามลำดับโดยให้ด้านขนานกับทิศทางที่เลือก พวกมันจะก่อตัวเป็นเส้นขาดต่อเนื่องกัน

ตามเส้นประเหล่านี้ คุณสามารถวาดเส้นขนานตรงที่มีระยะห่างจากกันในระยะห่างเท่ากันโดยประมาณได้ ด้วยคุณสมบัตินี้ เราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความสมมาตรในการแปลในโมเสกเพนโรสได้

เพชรที่แรเงาลำดับที่สี่ก่อตัวเป็นห้าตระกูลที่มีเส้นคู่ขนานที่คล้ายกันตัดกันที่มุมซึ่งมีจำนวนทวีคูณของ 72° ทิศทางของเส้นประเหล่านี้สอดคล้องกับทิศทางของด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมปกติ ดังนั้น โมเสคเพนโรสจึงมีสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 ในระดับหนึ่ง และในแง่นี้จึงคล้ายกับควอซิคริสตัล

ควอซิคริสตัล

ตั้งแต่สมัยโบราณ เมื่อวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับของแข็งเพิ่งเกิดขึ้น สังเกตเห็นว่าวัตถุทั้งหมดในธรรมชาติสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทที่มีเส้นทแยงมุมตรงข้ามกัน: วัตถุอสัณฐานที่ไม่เป็นระเบียบ ซึ่งไม่มีการจัดเรียงอะตอมร่วมกันอย่างสม่ำเสมอ และวัตถุที่เป็นผลึก โดดเด่นด้วยการจัดวางตามคำสั่ง การแบ่งโครงสร้างของของแข็งนี้กินเวลาเกือบถึงปลายศตวรรษที่ 20 เมื่อมีการค้นพบวัตถุผลึกที่ "ถูกต้อง" - ผลึกควาซิก - พวกมันเริ่มถูกพิจารณาว่าเป็นรูปแบบสื่อกลางระหว่างวัตถุอสัณฐานและวัตถุที่เป็นผลึก

Quasi (lat. quasi - ราวกับว่าราวกับ) เป็นคำนำหน้าสำหรับคำต่าง ๆ ซึ่งสอดคล้องกับความหมายของคำว่า "จินตภาพ" "ปลอม" "ถูกกล่าวหา"

ในปีพ.ศ. 2527 ได้มีการค้นพบโลหะผสมของอลูมิเนียมที่มีแมงกานีส Al0.86Mn0.14 ตัวอย่างซึ่งใช้วิธีการทำให้เย็นลงอย่างรวดเร็วแบบพิเศษ ได้กระเจิงลำแสงอิเล็กตรอนจนเกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนที่เด่นชัดพร้อมสมมาตรลำดับที่ห้าในตำแหน่งของ การเลี้ยวเบนสูงสุด (สมมาตร icosahedron) ถูกสร้างขึ้นบนแผ่นถ่ายภาพ การมีอยู่ของชาร์ปเลี้ยวเบนสูงสุดบ่งชี้ว่ามีอยู่ในโครงสร้างลำดับระยะไกลในการจัดเรียงอะตอม ซึ่งเป็นคุณลักษณะของผลึก เนื่องจากหมายความว่าอะตอมในส่วนต่างๆ ของตัวอย่างจะสะท้อนลำอิเล็กตรอนเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ความสมมาตรของรูปแบบการเลี้ยวเบนที่สังเกตได้ขัดแย้งกับแนวคิดพื้นฐานของผลึกศาสตร์แบบคลาสสิก กล่าวคือ ความสมมาตรดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพสำหรับสารที่เป็นผลึกใดๆ

การวิจัยเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่าวัสดุใหม่แสดงลำดับประเภทใหม่ ไม่ใช่ผลึกและไม่มีรูปร่าง (สารอสัณฐานมีลักษณะเฉพาะคือการมีลำดับอะตอมในระยะสั้น - ลำดับผลึกภายในระยะห่างระหว่างอะตอมเพียงไม่กี่ระยะเท่านั้น) ดังนั้นสารนี้จึงถูกเรียกว่าควอซิคริสตัล

ต่อมาพบโลหะเจืออื่นๆ ที่มีลำดับระยะไกล แต่มีแกนสมมาตรที่เจ็ด แปด สิบ สิบสอง เป็นต้น คำสั่งห้ามคริสตัล ด้วยเหตุนี้ แนวคิดเรื่องผลึกควอซิกจึงได้ขยายออกไปด้วย โดยในปัจจุบัน โดยทั่วไปเข้าใจกันว่าควอซิคริสตัลเป็นโลหะผสมแข็งที่มีระยะพิสัยไกล โดยจุดสูงสุดของการเลี้ยวเบนจะอยู่ในตำแหน่งที่ไม่สมมาตรทางผลึกศาสตร์

โครงสร้างของผลึกควอซิคริสตัล

ปัญหาสำคัญในฟิสิกส์ของผลึกควอซิคริสตัลคือโครงสร้างอะตอมของพวกมัน โครงสร้างสามารถเข้าใจได้โดยใช้ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการปูกระเบื้อง ผลึกธรรมดาเป็นโครงสร้างที่เป็นคาบของอะตอมหรือโมเลกุล โครงสร้างผลึกใด ๆ มีความสมมาตรที่แน่นอน คริสตัลมีลำดับระยะยาวสองประเภท คือ แบบตะวันออกและแบบแปล ลำดับการแปลหมายถึงความสามารถในการสร้างโครงสร้างผลึกโดยการแปลหน่วยการสร้างพื้นฐานของโครงสร้างด้วยการจัดเรียงอะตอมที่แน่นอนลงบนเวกเตอร์เฉพาะของเซลล์พื้นฐานของคริสตัล ในกรณีนี้ พวกเขาพูดถึงการมีอยู่ของลำดับระยะไกลในคริสตัล ลำดับการวางแนวหมายความว่าการหมุนของคริสตัลรอบแกนใดแกนหนึ่งจะทำให้ตำแหน่งของอะตอมอยู่ในแนวเดียวกัน คริสตัลสามารถมีสมมาตรในการหมุนลำดับที่สาม, สี่หรือหกได้

ตัวอย่างเช่น หากคริสตัลมีแกนสมมาตรอันดับสาม โครงตาข่ายคริสตัลจะไม่เปลี่ยนแปลงหลังการหมุนหนึ่งในสามของวงกลม โครงสร้างเซลล์หน่วยของคริสตัลส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับของแข็งเรขาคณิตอย่างง่าย เช่น ลูกบาศก์ จัตุรมุข และแปดหน้า โครงสร้างของควอซิคริสตัล เช่น โลหะผสมของอะลูมิเนียมและแมงกานีส มีพื้นฐานมาจากรูปทรงเรขาคณิตอีกแบบหนึ่ง นั่นก็คือ ไอโคซาฮีดรอน อิโคซาฮีดรอนคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้า 20 หน้า โดยแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มีจุดยอด 12 หน้า และมีขอบ 30 หน้า อิโคซาฮีดรอนมีความสมมาตรลำดับที่ 5 โดยมีใบหน้า 5 หน้าเชื่อมต่อกันที่แต่ละจุดยอด Icosahedrons ไม่สามารถบรรจุให้เต็มพื้นที่ทั้งหมดได้อย่างแน่นหนาโดยไม่มีช่องว่าง ดังนั้นจึงไม่สามารถทำหน้าที่เป็นเซลล์พื้นฐานของคริสตัลได้

องค์ประกอบของโครงสร้างของควอซิคริสตัลของจัตุรมุขทั้งห้า: ชิ้นส่วนของไอโคซาเฮดรอน (a), 32 - จุดยอดของไทรคอนทาเฮดรอน (6)

ไอโคซาเฮดรอน(จาก กรีกεικοσάς - ยี่สิบ; -εδρον - หน้า ใบหน้า ฐาน) - รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมยี่สิบด้าน หนึ่งในนั้น ของแข็งพลาโทนิก. ใบหน้าทั้ง 20 ใบหน้ามีด้านเท่ากันหมด สามเหลี่ยม. จำนวนขอบคือ 30 จำนวนจุดยอดคือ 12

จัตุรมุข(กรีก τετραεδρον - จัตุรมุข) - รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้ารูปสามเหลี่ยมสี่หน้า ที่แต่ละจุดยอดซึ่งมี 3 ใบหน้ามาบรรจบกัน

ไตรอาคอนทาเฮดรอน- (ภาษากรีก จาก triaconta สามสิบ และฐาน hedra) สามสิบเฮดรอน กล่าวคือ ตัววัตถุล้อมรอบด้วยระนาบขนมเปียกปูนขนาดเท่ากัน 30 อัน

คุณสมบัติของผลึกควอซิคริสตัล

Quasicrystal มักเป็นโลหะผสมขององค์ประกอบโลหะ แต่คุณสมบัติทางกายภาพของผลึกควอซิคริสตัลนั้นแตกต่างจากคุณสมบัติของระบบโลหะอื่นๆ ความต้านทานไฟฟ้าของโลหะจะเพิ่มขึ้นตามอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น ความเข้มข้นของสิ่งเจือปน และข้อบกพร่องทางโครงสร้าง ควอซิคริสตัลไม่ใช่ฉนวนหรือเซมิคอนดักเตอร์ แต่ต่างจากโลหะตรงที่ความต้านทานไฟฟ้าที่อุณหภูมิต่ำจะสูงผิดปกติ ลดลงตามอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น และเพิ่มขึ้นตามลำดับโครงสร้างที่เพิ่มขึ้นและการหลอมอ่อนของข้อบกพร่อง (การให้ความร้อนในระยะยาวที่กำจัดข้อบกพร่อง) รูปแบบที่น่าสนใจพบได้ในควอซิคริสตัลแบบสิบเหลี่ยม วัตถุเหล่านี้เป็นวัตถุหลายชั้น: ระนาบควอซิคริสตัลไลน์เรียงกันตามแนวแกนลำดับที่สิบโดยมีคาบจำกัด ตามแกนบรรจุ สภาพการนำไฟฟ้าจะทำงานเหมือนกับโลหะปกติ แต่ในระนาบควอซิคริสตัลไลน์ จะมีพฤติกรรมแตกต่างออกไป

โลหะผสมควอซิคริสตัลไลน์เกือบทั้งหมดเป็นแบบไดแม่เหล็ก ข้อยกเว้นคือโลหะผสมกับแมงกานีสซึ่งเป็นพาราแมกเนติก

ทฤษฎีโซลิดสเตตอธิบายคุณสมบัติทางอิเล็กทรอนิกส์ของโลหะปกติและโลหะผสมได้อย่างสมบูรณ์แบบ จุดเริ่มต้นคือคาบของโครงสร้างผลึก อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีนี้ยังไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมช่วงเสมือนจึงเป็นที่มาของพฤติกรรมเฉพาะของคุณสมบัติ เพื่อตอบคำถามนี้ จำเป็นต้องมีข้อมูลเชิงทดลองและเชิงทฤษฎีเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงสร้างอิเล็กทรอนิกส์ (สเปกตรัมอิเล็กทรอนิกส์) ของผลึกควอซิก

ปัจจุบันมีการค้นพบโลหะผสมควอซิคริสตัลไลน์มากกว่า 200 ชนิด ซึ่งกำลังศึกษาคุณสมบัติอย่างแข็งขัน ทุกปีจะมีรายงานเกี่ยวกับผลึกควอซิกที่มีองค์ประกอบใหม่และโครงสร้างรูปแบบใหม่ ซึ่งไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามีอยู่จริงมาก่อนด้วยซ้ำ

ในขณะนี้ แกนสมมาตรของลำดับที่ 5, 7, 8, 10, 12 และลำดับที่สูงกว่านั้นได้ถูกค้นพบในควอซิคริสตัลที่สังเคราะห์ได้มากที่สุด ซึ่งเป็นสิ่งต้องห้ามสำหรับผลึกในอุดมคติ วัตถุเหล่านี้ยังไม่พบการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ แต่การศึกษาของพวกเขาขยายความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโครงสร้างของสสาร คำถามเกี่ยวกับสถานะควอซิคริสตัลไลน์ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงฟิสิกส์สถานะของแข็งเท่านั้น คุณสมบัติสมมาตรของผลึกควอซิคริสตัลนั้นเป็นสากล ซึ่งหมายความว่าหากพบวิธีการบรรจุเซลล์ที่มีรูปร่างบางอย่างในของแข็ง ดังนั้นวิธีการบรรจุ "เซลล์ของเหลว" แบบเดียวกันก็สามารถพบได้ในกระแสอุทกพลศาสตร์ ปัญหาแห่งความโกลาหล (ในโครงสร้างของระนาบเฟสของ ระบบไดนามิก) เป็นต้น ดังนั้นในการศึกษาควอซิคริสตัลจึงเกี่ยวข้องกับนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ นักผลึกศาสตร์ และนักวิทยาศาสตร์ด้านวัสดุ อย่างไรก็ตาม คำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของสถานะควอซิคริสตัลไลน์ของสสารและการอธิบายคุณสมบัติของควอซิคริสตัลยังคงเป็นปริศนาที่ธรรมชาติ นำเสนอแก่เรา

นี่คือข้อเท็จจริงที่น่าสนใจที่นักวิจัยสังเกตเห็น ความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่ 5 ซึ่งห้ามโดยเด็ดขาดในผลึกศาสตร์นั้นแสดงได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุดในโลกของพืชและในสิ่งมีชีวิตที่ง่ายที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งในไวรัสบางชนิดในชาวทะเลบางชนิด (ปลาดาว, เม่นทะเล, อาณานิคมของสาหร่ายสีเขียว ฯลฯ) และในวัตถุอื่นๆ ที่ “สร้างชีวิต” ความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่ 5 เป็นลักษณะของดอกไม้ป่าหลายชนิด (สาโทเซนต์จอห์น, ลืมฉันไม่ได้, ดอกไม้ชนิดหนึ่ง ฯลฯ ) สำหรับดอกไม้ของพืชผลไม้และผลเบอร์รี่ (ราสเบอร์รี่, ไวเบอร์นัม, โรวัน, โรสฮิป ฯลฯ ) สำหรับดอกไม้ของไม้ผล (เชอร์รี่, ลูกแพร์, ต้นแอปเปิ้ล, ส้มเขียวหวาน ฯลฯ ) เกล็ดของกรวยเฟอร์ เมล็ดทานตะวัน หรือเซลล์ของสับปะรดก็ก่อตัวเป็นพื้นผิวกึ่งปกติบางประเภท โดยเซลล์ข้างเคียงถูกจัดเรียงเป็นเกลียวที่มองเห็นได้ชัดเจน และสร้างโครงสร้างที่ใกล้เคียงกับผลึกคริสตัล

ดังที่เราเห็น สมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 ซึ่งมีบทบาทสำคัญในผลึกควอซิคริสตัล ปรากฏชัดเจนที่สุดราวกับว่าอยู่ในภูมิภาคการเปลี่ยนแปลงระหว่างโลกแห่งธรรมชาติที่ไม่มีชีวิตและไม่มีชีวิตและยืดหยุ่นอย่างยืดหยุ่น การศึกษาวัตถุกึ่งผลึกได้นำไปสู่การค้นพบและการพัฒนาประยุกต์มากมาย ความสมบูรณ์แบบทางโครงสร้างของควอซิคริสตัลที่มีความเสถียรทางอุณหพลศาสตร์ทำให้พวกมันทัดเทียมกับตัวอย่างที่ดีที่สุดของคริสตัลธรรมดา โดยพื้นฐานแล้วจะได้แว่นตาที่เบาและแข็งแรงมาก ฟิล์มบางและสารเคลือบของคริสตัลควอซิคริสตัลมีค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานต่ำมาก วัสดุคอมโพสิตจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ควอซิคริสตัล เช่น ยางที่ทนต่อการเสียดสี มีค่าการนำไฟฟ้าและความร้อนต่ำ ความแข็งสูง ความต้านทานต่อการกัดกร่อนและออกซิเดชัน ความเฉื่อยของสารเคมี และไม่เป็นพิษ เป็นสิ่งที่น่าดึงดูดเป็นพิเศษ ทุกวันนี้มีควอซิคริสตัลที่มีแนวโน้มดีมากมายซึ่งไม่ได้ฝันถึงเมื่อหลายสิบปีก่อนด้วยซ้ำ งานสำคัญประการหนึ่งคือการพัฒนาวิธีการสังเคราะห์ตามพารามิเตอร์ที่กำหนด ซึ่งจะทำให้สามารถ "ตั้งโปรแกรม" ล่วงหน้าเกี่ยวกับคุณสมบัติทางกายภาพของวัสดุที่ถูกสร้างขึ้นได้

การปรากฏสัดส่วนสีทองอย่างไม่คาดคิดในโครงสร้างของผลึกควอซิคริสตัลบ่งบอกถึงการมีอยู่ของ "บรรทัดฐาน" ที่มีชีวิตในความสมมาตร เนื่องจากมีเพียงโลกที่มีชีวิตเท่านั้นที่ยอมให้มีความสัมพันธ์ที่น่าทึ่งในสัดส่วนสีทองต่างจากคริสตัลที่ไม่มีชีวิต ส่วนใหญ่เกี่ยวกับธรรมชาติของผลึกควอซิคริสตัลยังไม่ชัดเจน นอกจากนี้ ในที่สุดก็ไม่มีความคิดทางกายภาพที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับคุณลักษณะของโครงสร้าง และไม่มีเหตุผลทางกายภาพสำหรับความแข็งแรง พลาสติก ยืดหยุ่น ไฟฟ้า แม่เหล็ก และคุณสมบัติอื่น ๆ แม้จะมีปัญหาเหล่านี้ แต่ความสนใจที่เพิ่มขึ้นของนักวิทยาศาสตร์ในความลึกลับที่ธรรมชาตินำเสนอให้พวกเขาในรูปแบบของผลึกควอซิกก็ไม่ลดลงและในอนาคตผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิดจะได้รับมากกว่าหนึ่งครั้งอย่างไม่ต้องสงสัย

ฟูลเลอรีนและควอซิคริสตัล

ที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับโครงสร้างของควอซิคริสตัลคือสิ่งที่เรียกว่าฟูลเลอรีนซึ่งค้นพบในช่วงกลางทศวรรษ 1980 ซึ่งเป็นรูปแบบที่ไม่รู้จักมาก่อนในการรวมอะตอมของคาร์บอนเข้ากับโมเลกุลเกือบทรงกลม C n ( n = 28, 54, 60, 70, 84, 120...).ฟูลเลอรีนเป็นโมเลกุลคาร์บอนประเภทหนึ่งที่มีอะตอมมากกว่า 20 อะตอม การค้นพบของพวกเขาทำให้ “หายนะทางผลึกศาสตร์” รุนแรงขึ้นจากการค้นพบคริสตัลควอซิคริสตัล วัตถุนาโนคาร์บอนที่มีการศึกษามากที่สุดคือ C 60 ฟูลเลอรีน ก่อนหน้านี้เชื่อกันว่าคาร์บอนในสถานะอิสระสามารถพบได้ในรูปแบบของการดัดแปลงสองแบบ - เพชรและกราไฟท์ โครงสร้างของโมเลกุล C 60 เป็นอย่างอื่น นี่คือ icosahedron ที่ถูกตัดทอนจากจุดยอดซึ่งก็คือหนึ่งใน 14 รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่สม่ำเสมอ (หรือกึ่งปกติ) ของ Archimedes ซึ่งรูปหกเหลี่ยมเชื่อมต่อกันด้วยรูปห้าเหลี่ยม โดยไม่ต้องเข้าไป จากการตรวจสอบโดยละเอียดของรูปนี้เราสังเกตว่าโครงสร้างดังกล่าวมีลักษณะคล้ายลูกฟุตบอลซึ่งมักเย็บจากรูปห้าเหลี่ยมสีดำและรูปหกเหลี่ยมสีขาว ไม่น่าแปลกใจเลยที่โมเลกุลดังกล่าวมีความสมมาตรแบบ icosahedral การทำความรู้จักกับฟูลเลอรีนนั้นน่าหลงใหลในทันทีมีคนหลงเสน่ห์ ด้วยความงามและสัดส่วน Fullerenes เช่นเดียวกับ quasicrystal พูดถึงความกลมกลืนอันน่าทึ่งของโลกความสามัคคีอย่างต่อเนื่องในทุกรูปแบบ ความสนใจในฟูลเลอรีน เกิดขึ้น ประการแรกเนื่องจากโครงสร้างและความสมมาตรที่เป็นเอกลักษณ์รวมถึงเพราะ ความสามารถในการสร้างวัสดุโดยใช้วัสดุที่ใช้ในเทคโนโลยีชั้นสูงต่างๆ ประการแรกถือเป็นวัสดุที่มีแนวโน้มสำหรับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ นอกจากนี้ สารหล่อลื่นและสารประกอบที่มีอุณหภูมิต่ำเป็นพิเศษและสูงพิเศษที่มีความเป็นตัวนำยิ่งยวดได้ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ฟูลเลอรีน และได้รับสารที่แข็งกว่าเพชร (ดูวิทยาศาสตร์และชีวิต ฉบับที่ 10, 1995)

ชื่อ "ฟูลเลอรีน" เป็นการตั้งชื่อประเภทใหม่ของการดัดแปลงคาร์บอน เพื่อเป็นเกียรติแก่สถาปนิกชาวอเมริกัน บัคมินสเตอร์ ฟูลเลอร์ ผู้พัฒนาการออกแบบโดมทรงกลม หนึ่งในอาคารเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นในงานนิทรรศการระดับนานาชาติ EXPO-67 ในเมืองมอนทรีออล จุดประสงค์หลักของการก่อสร้างคือการทำซ้ำชิ้นส่วนหกเหลี่ยมซึ่งมีการนำชิ้นส่วนห้าเหลี่ยมมาใช้ในบางสถานที่โดยให้ความจำเป็น
ความโค้งของโครงสร้างปริมาตร

ฟูลเลอรีนกลุ่มแรกถูกแยกออกจากไอระเหยที่ควบแน่น กราไฟท์ได้จากการฉายรังสีเลเซอร์ของตัวอย่างกราไฟท์ที่เป็นของแข็ง อันที่จริงสิ่งเหล่านี้เป็นร่องรอยของสสาร ก้าวสำคัญต่อไปได้เข้ามาแล้ว 1990 วี. เครตชเมอร์, Lamb, D. Huffman และคนอื่นๆ ผู้พัฒนาวิธีการผลิตฟูลเลอรีนในปริมาณกรัมโดยการเผาอิเล็กโทรดกราไฟท์ในส่วนโค้งไฟฟ้าในชั้นบรรยากาศ ฮีเลียมที่ความกดดันต่ำ ในกระบวนการกัดเซาะ ขั้วบวกเขม่าที่มีฟูลเลอรีนจำนวนหนึ่งเกาะอยู่บนผนังห้อง ต่อจากนั้นก็เป็นไปได้ที่จะเลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการระเหยของอิเล็กโทรด (ความดัน, องค์ประกอบบรรยากาศ, กระแส, เส้นผ่านศูนย์กลางของอิเล็กโทรด) ซึ่งทำให้ได้ผลผลิตฟูลเลอรีนสูงสุดโดยเฉลี่ย 3-12% ของวัสดุแอโนดซึ่ง ในที่สุดก็กำหนดต้นทุนที่สูงของฟูลเลอรีน

มอริซ เอสเชอร์

ให้เราตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลงานของมอริซ เอสเชอร์ สำหรับรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้ข้างต้น Escher สนใจงานโมเสกทุกประเภท - แบบปกติและแบบไม่สม่ำเสมอ (แบบคาบและกึ่งช่วง) - และยังแนะนำประเภทของตัวเองซึ่งเขาเรียกว่า "การเปลี่ยนแปลง" ซึ่งตัวเลขจะเปลี่ยนแปลงและมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน และบางครั้งก็เปลี่ยนระนาบด้วยตัวมันเอง โมเสกประเภทนี้ได้อธิบายไว้ในบทที่แล้ว Escher เริ่มสนใจงานโมเสกในปี 1936 ขณะเดินทางไปสเปน เขาใช้เวลาส่วนใหญ่ในอาลัมบราเพื่อวาดภาพโมเสกอาหรับ และกล่าวในภายหลังว่านี่เป็น "แหล่งที่มาของแรงบันดาลใจมากมาย" สำหรับเขา Escher เขียนในบทความของเขาเกี่ยวกับกระเบื้องโมเสคในภายหลัง:

“ในงานคณิตศาสตร์ การแบ่งพาร์ติชันปกติของระนาบถือเป็นทางทฤษฎี... นี่หมายความว่าคำถามนี้เป็นคำถามทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ใช่หรือไม่ นักคณิตศาสตร์เปิดประตูสู่อีกโลกหนึ่ง แต่พวกเขาเองก็ไม่กล้าเข้าสู่โลกนี้ พวกเขาสนใจเส้นทางที่ประตูตั้งอยู่มากกว่าในสวนที่อยู่ด้านหลัง”

หลังจากที่เราเข้าใจวิธีการสร้างการเรียงต่อแบบคาบและกึ่งคาบแล้ว เราก็สามารถสรุปได้ว่าจะทำอย่างไร มอริซ เอสเชอร์ได้สร้างโมเสกของเขาเอง จากการตรวจสอบโดยละเอียดและศึกษากระเบื้องโมเสกของ Escher ก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าศิลปินใช้วิธีการต่อไปนี้ที่น่าสนใจมาก แต่ในขณะเดียวกันก็ง่าย ๆ ฉันร่างรูปหกเหลี่ยมปกติ (เป็นที่ทราบกันว่ารูปนี้สามารถใช้สร้างภาพโมเสกเป็นระยะได้) หลังจากนั้นเขาโค้งทั้งสามด้านที่อยู่ติดกันของรูปหกเหลี่ยมเพื่อให้มีรูปร่างที่จำเป็นและใช้การแปลแบบขนานเพื่อแมปด้านเหล่านี้กับด้านตรงข้าม

ดังนั้นอาจารย์จึงมั่นใจได้ว่ายังสามารถสร้างโมเสกจากรูปที่ได้ หลังจากนั้นเขาก็เปลี่ยนร่างจากภายใน ศิลปินแบ่งมันออกเป็นสามเหลี่ยมหกอันเท่าๆ กัน ในแต่ละสามเหลี่ยม ซี่โครงด้านข้างได้รับการแก้ไขในลักษณะที่เมื่อรวมกับด้านที่แก้ไขของรูปหกเหลี่ยม (ฐานของสามเหลี่ยม) ทำให้เกิดโครงร่างของสัตว์ที่ต้องการ ในกรณีของเรา เราได้ "ปลา" โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น เขาได้ภาพที่พร้อมสำหรับการพิมพ์ เพื่อเป็นการพิสูจน์ความถูกต้องของวิธีการข้างต้น เราสามารถอ้างอิงเส้นคลุมเครือของเครื่องหมายเบื้องต้นที่เก็บรักษาไว้บนภาพพิมพ์แกะสลักของปรมาจารย์บางส่วนได้ เส้นเหล่านี้จะทำซ้ำรูปแบบที่ควรได้รับเมื่อดำเนินการขั้นตอนแรกของวิธีการที่เราเสนอ

จากการพิจารณาข้างต้น เราสามารถแบ่งงาน "โมเสก" ทั้งหมดออกเป็นสองประเภทพื้นฐานได้ อย่างแรกคืองานเป็นระยะ และอย่างที่สองคืองานกึ่งงวด

ตัวฉันเอง มอริซ เอสเชอร์เช่นเดียวกับอัจฉริยะหลายๆ คนทั้งก่อนและหลังเขากล่าวว่า “ผลงานทั้งหมดของฉันคือเกม เกมที่จริงจัง” อย่างไรก็ตาม ในเกมเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกกำลังมองหาหลักฐานทางวัตถุที่จริงจังและจริงจังของแนวคิดที่สร้างขึ้นโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะมานานหลายทศวรรษ การปูกระเบื้องเป็นระยะอาจค่อนข้างซับซ้อน แต่บางอันก็สวยงามมาก ตัวอย่างคือการปูกระเบื้องเป็นระยะที่คิดค้นโดย Maurice Escher (The Riders)

เครื่องประดับยุคกลาง

ในปี 2550 Peter Lu นักฟิสิกส์จาก Harvard ร่วมกับนักฟิสิกส์อีกคน - Paul Steinhardt แต่จาก Princeton - ที่ตีพิมพ์ในสาขาวิทยาศาสตร์ บทความเกี่ยวกับกระเบื้องโมเสกเพนโรส ดูเหมือนว่าจะมีสิ่งไม่คาดคิดเล็กน้อยที่นี่: การค้นพบควอซิคริสตัลดึงดูดความสนใจอย่างมากในหัวข้อนี้ ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของสิ่งพิมพ์จำนวนมากในสื่อทางวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม จุดเด่นของงานนี้คือไม่ได้เน้นไปที่วิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยเฉพาะ และโดยทั่วไป - ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ Lu ดึงความสนใจไปที่รูปแบบที่ครอบคลุมมัสยิดในเอเชียซึ่งสร้างขึ้นในยุคกลาง การออกแบบที่จดจำได้ง่ายเหล่านี้ทำจากกระเบื้องโมเสค พวกเขาเรียกว่ากิริฮิ Girikh เป็นรูปแบบเรขาคณิตในรูปแบบของการผสมผสานระหว่างรูปหลายเหลี่ยมและรูปดาวซึ่งเป็นลักษณะของศิลปะยุคกลางของเอเชียกลางและเอเชียกลาง Girikh - แปลจากภาษาเปอร์เซียว่าเป็นปม ซึ่งเป็นรูปแบบทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนที่สร้างขึ้นโดยมีเส้นเป็นรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ (ดาว สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ)

เชื่อกันมานานแล้วว่ารูปแบบเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ อย่างไรก็ตาม เมื่อสองสามปีก่อน ขณะที่เดินทางในอุซเบกิสถาน Lou เริ่มสนใจลวดลายโมเสกที่ประดับสถาปัตยกรรมยุคกลางในท้องถิ่น และสังเกตเห็นบางสิ่งที่คุ้นเคยเกี่ยวกับลวดลายเหล่านั้น เมื่อกลับมาที่ฮาร์วาร์ด นักวิทยาศาสตร์เริ่มตรวจสอบลวดลายที่คล้ายกันในกระเบื้องโมเสกบนผนังอาคารยุคกลางในอัฟกานิสถาน อิหร่าน อิรัก และตุรกี

ตัวอย่างนี้ลงวันที่ในภายหลัง - 1622 (มัสยิดอินเดีย) เมื่อมองดูและวาดโครงสร้างแล้ว ก็อดไม่ได้ที่จะชื่นชมการทำงานหนักของนักวิจัย และแน่นอนว่าอาจารย์เองก็เช่นกัน

Peter Lu ค้นพบว่ารูปแบบเหล่านี้เกือบจะเหมือนกันและสามารถระบุองค์ประกอบพื้นฐานของ giriks ที่ใช้ในการออกแบบทางเรขาคณิตทั้งหมดได้ นอกจากนี้ เขายังพบภาพวาดเหล่านี้ในต้นฉบับโบราณ ซึ่งศิลปินโบราณใช้เป็นแผ่นโกงสำหรับการตกแต่งผนัง

แต่ปรากฎว่าทั้งหมดนี้ไม่สำคัญนัก ในการสร้างรูปแบบเหล่านี้ พวกเขาใช้รูปทรงที่ไม่ธรรมดาที่ประดิษฐ์ขึ้นแบบสุ่ม แต่ใช้ตัวเลขที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน และนี่ก็ไม่น่าแปลกใจอย่างยิ่ง สิ่งที่น่าสนใจจริงๆ ก็คือ เมื่อลืมแผนการดังกล่าวไปแล้ว ผู้คนก็พบมันอีกครั้งในภายหลัง

ใช่แล้ว รูปแบบโบราณนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าสิ่งที่หลายศตวรรษต่อมาจะถูกเรียกว่าโครงตาข่ายเพนโรส และพบได้ในโครงสร้างของผลึกควอซิคริสตัล!

จริงอยู่ ดร. เอมิล มาโควิทสกี จากมหาวิทยาลัยโคเปนเฮเกน ถือเป็นหน้าที่ของเขาที่จะดุนักวิจัยที่ไม่ให้ความสนใจกับบทความของเขาในปี 1991 มากพอ โดยเขาได้พิจารณารูปแบบบนสุสานของชาวอิหร่านในศตวรรษที่ 12 ในไม่ช้านักวิทยาศาสตร์อีกสองสามคน - จาก Technion และจากมหาวิทยาลัย Duke - เข้าร่วมการวิจารณ์นี้โดยกล่าวว่างานของ Steinhardt และ Lu เป็นตัวแทนของ "สมมติฐานที่น่าสนใจ"

Paul Steinhardt ตอบโต้คำพูดนี้อย่างตรงไปตรงมา โดยกล่าวว่าเขาและเพื่อนร่วมงานไม่ได้ทำงานบนตัวอย่างเดียว แต่ทำงานบนวัสดุที่หลากหลาย โชคดีที่มันไม่ได้นำไปสู่การทะเลาะกันทางวิชาการ และการวิจัยก็ได้รับการยอมรับในระดับหนึ่งในโลกวิทยาศาสตร์เป็นอย่างน้อย

แต่คำถามที่ลึกลับที่สุด - ทำไมชาวอาหรับยุคกลางถึงมีโครงสร้างกึ่งคริสตัลไลน์ที่เรารู้จักมาไม่ถึงสามทศวรรษขึ้นมาได้อย่างไร - ยังคงไม่มีคำตอบ

ไม่ว่านี่จะเป็นหลักฐานของบทบาทอันยิ่งใหญ่ของคณิตศาสตร์ในศิลปะอิสลามยุคกลาง หรือว่านี่เป็นเพียงวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับผู้เขียนในการ "รวบรวม" ผลงานของพวกเขา ในตอนนี้ไม่อาจทราบได้

“เราไม่สามารถพูดได้อย่างแน่นอนว่าศิลปะทั้งหมดนี้หมายถึงอะไร” Peter Lu ยอมรับ “อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนน่าเหลือเชื่อที่การเลือกยุทธวิธีดังกล่าวเป็นเพียงเรื่องของโอกาสเท่านั้น” ไม่ว่าในกรณีใด การค้นพบนี้อาจเป็นหลักฐานว่าศิลปะซึ่งไม่ได้ให้ความสำคัญมากนัก กลับกลายเป็น "ก้าวหน้า" มากกว่าที่เราจินตนาการไว้มาก

บทสรุป

เทสเซลเลชันเป็นพื้นที่ที่มีการศึกษามากที่สุดในฟิสิกส์ควอซิคริสตัล ควอซิคริสตัลที่รู้จักเกือบทั้งหมดในปัจจุบันเป็นโลหะผสม แต่คุณสมบัติของพวกมันแตกต่างอย่างมากจากคุณสมบัติของโลหะต้นกำเนิด ตัวอย่างเช่น ให้เราสังเกตความต้านทานไฟฟ้าที่สูงผิดปกติที่อุณหภูมิต่ำและการลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น โลหะ "ดั้งเดิม" มีพฤติกรรมตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่ายุคของการใช้ควอซิคริสตัลจำนวนมากกำลังรออยู่ข้างหน้า โดยสามารถร่างโครงร่างบางส่วนได้แล้ว สามารถใช้กับตลับลูกปืนเลื่อนได้ - ด้วยค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานต่ำ โลหะผสมควอซิคริสตัลไลน์จึงมีความปลอดภัยสูง การเคลือบสารกันติดที่มีความแข็งแรงสูง, ตัวนำยิ่งยวดที่มีอุณหภูมิสูง, วัสดุที่มีความแข็งแรงสูง, การเคลือบแบบบางพิเศษ, ผงละเอียดพิเศษ และสารกัดกร่อนแบบควอซิคริสตัลไลน์ดูน่าดึงดูด ยังต้องมีการศึกษาคุณสมบัติหลายประการของสารประเภทนี้ งานสำคัญประการหนึ่งคือการพัฒนาวิธีการสังเคราะห์ตามพารามิเตอร์ที่กำหนด ซึ่งจะทำให้สามารถ "ตั้งโปรแกรม" ล่วงหน้าเกี่ยวกับคุณสมบัติทางกายภาพของวัสดุที่ถูกสร้างขึ้นได้ การค้นพบผลึกควอซิกทำให้รากฐานของผลึกศาสตร์สั่นคลอน ซึ่งหลายข้อต้องได้รับการแก้ไขในช่วงไตรมาสสุดท้ายของศตวรรษ ในแนวคิดทั่วไปของคริสตัล แนวคิดเรื่อง "ลำดับระยะยาว" ได้เข้ามาแทนที่แนวคิดของ "เซลล์หน่วย" ซึ่งเป็นหน่วยโครงสร้างที่เล็กที่สุดแบบธรรมดาของคริสตัล นักฟิสิกส์เปรียบเทียบความสำคัญของการค้นพบผลึกควอซิคริสตัลสำหรับการศึกษาผลึกกับ การค้นพบจำนวนอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ ปัจจุบันด้วยความช่วยเหลือของการปูกระเบื้องได้มีการค้นพบโลหะผสมควอซิคริสตัลไลน์มากกว่า 200 ชนิดซึ่งกำลังศึกษาคุณสมบัติของมันอย่างจริงจัง

วัตถุเหล่านี้ยังไม่พบการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ แต่การศึกษาของพวกเขาขยายความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโครงสร้างของสสาร

คำถามเกี่ยวกับสถานะควอซิคริสตัลไลน์ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงฟิสิกส์สถานะของแข็งเท่านั้น คุณสมบัติสมมาตรของผลึกควอซิคริสตัลนั้นเป็นสากล ซึ่งหมายความว่าหากพบวิธีการบรรจุเซลล์ที่มีรูปร่างบางอย่างในของแข็ง ดังนั้นวิธีการบรรจุ "เซลล์ของเหลว" แบบเดียวกันก็สามารถพบได้ในกระแสอุทกพลศาสตร์ ปัญหาแห่งความโกลาหล (ในโครงสร้างของระนาบเฟสของ ระบบไดนามิก) เป็นต้น ดังนั้นในการศึกษาควอซิคริสตัลจึงเกี่ยวข้องกับนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ นักผลึกศาสตร์ และนักวิทยาศาสตร์ด้านวัสดุ อย่างไรก็ตาม คำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของสถานะควอซิคริสตัลไลน์ของสสารและการอธิบายคุณสมบัติของควอซิคริสตัลยังคงเป็นปริศนา ได้ทำลายแนวความคิดดั้งเดิมของการแบ่งแยกที่ผ่านไม่ได้ระหว่างโลกแร่ซึ่งห้ามสมมาตรแบบ "ห้าเหลี่ยม" กับธรรมชาติของโลกที่มีชีวิตซึ่งสมมาตร "ห้าเหลี่ยม" เป็นเรื่องธรรมดาที่สุดและเราไม่ควรลืม ว่าสัดส่วนหลักของ icosahedron คือ "สัดส่วนทองคำ" และการค้นพบควอซิคริสตัลก็เป็นอีกหนึ่งการยืนยันทางวิทยาศาสตร์ว่าบางทีอาจเป็น "สัดส่วนทองคำ" ที่แสดงออกในโลกแห่งธรรมชาติที่มีชีวิตและในโลกของแร่ธาตุ เป็นสัดส่วนหลัก

ทำไมอวัยวะของมนุษย์ถึงมาเป็นคู่ (เช่น ปอด ไต) ในขณะที่อวัยวะอื่นๆ มาเป็นคู่เดียวกัน?

โซดาไฟเป็นพื้นผิวทางแสงและเส้นโค้งที่แพร่หลายซึ่งเกิดจากการสะท้อนและการหักเหของแสง โซดาไฟสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเส้นหรือพื้นผิวซึ่งมีรังสีของแสงเข้มข้น

ถือบวช G.B.

ตอนนี้เรารู้เกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาลในปริมาณพอๆ กันกับที่คนโบราณรู้เกี่ยวกับพื้นผิวโลก แม่นยำยิ่งขึ้น เรารู้ว่าส่วนเล็กๆ ของจักรวาลที่เราสังเกตการณ์ได้นั้นมีโครงสร้างในลักษณะเดียวกับส่วนเล็กๆ ของปริภูมิยูคลิดสามมิติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราอาศัยอยู่บนท่อร่วมสามมิติ (3 ท่อร่วม)

วิคเตอร์ ลาฟรุส

บุคคลแยกแยะวัตถุรอบตัวเขาด้วยรูปร่าง ความน่าสนใจในรูปทรงของวัตถุสามารถกำหนดได้ด้วยความจำเป็นที่สำคัญ หรืออาจเกิดจากความสวยงามของรูปทรงก็ได้ รูปแบบการก่อสร้างซึ่งมีพื้นฐานมาจากการผสมผสานระหว่างความสมมาตรและอัตราส่วนทองคำก่อให้เกิดการรับรู้ทางสายตาที่ดีที่สุดและรูปลักษณ์ของความรู้สึกที่สวยงามและความกลมกลืน ทั้งหมดประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ เสมอส่วนที่มีขนาดต่างกันมีความสัมพันธ์กันและต่อส่วนรวม หลักการของอัตราส่วนทองคำคือการแสดงให้เห็นความสมบูรณ์แบบสูงสุดของโครงสร้างและการใช้งานของทั้งส่วนและส่วนต่างๆ ในงานศิลปะ วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และธรรมชาติ

สารคดีเรื่อง "Dimensions" เป็นเรื่องราวคณิตศาสตร์ความยาว 2 ชั่วโมงที่ค่อยๆ นำคุณเข้าสู่มิติที่ 4

เซอร์เกย์ สตาฟีเยฟ

งานที่ต้องใช้ความรู้มากที่สุดของคนโบราณคือการปฐมนิเทศในอวกาศและเวลา เพื่อจุดประสงค์นี้ มนุษยชาติได้สร้างโครงสร้างขนาดใหญ่จำนวนมากขึ้นมาตั้งแต่สมัยโบราณ เช่น ครอมเลค โดรมอส โดลเมน และเมนเฮียร์ มีการประดิษฐ์อุปกรณ์อันชาญฉลาดอย่างไม่น่าเชื่อซึ่งทำให้สามารถนับเวลาได้อย่างแม่นยำเป็นนาทีหรือแสดงภาพทิศทางโดยมีข้อผิดพลาดไม่เกินครึ่งองศา เราจะแสดงให้เห็นว่าในทุกทวีปผู้คนสร้างกับดักสำหรับแสงอาทิตย์ สร้างวัดราวกับว่า "ถูกมัด" ในทิศทางทางดาราศาสตร์ ขุดอุโมงค์เอียงเพื่อดูดาวในเวลากลางวัน หรือสร้างเสาโอเบลิสก์โนมอน น่าเหลือเชื่อที่บรรพบุรุษที่อยู่ห่างไกลของเราสามารถติดตามไม่เพียงแต่เงาของดวงอาทิตย์หรือดวงจันทร์เท่านั้น แต่ยังติดตามเงาของดาวศุกร์ด้วย

เราจะพูดถึงการปูกระเบื้องเครื่องบิน Tessellation คือการปกคลุมของระนาบทั้งหมดที่มีรูปร่างไม่ทับซ้อนกัน อาจเป็นไปได้ว่าความสนใจในการปูเริ่มแรกเกิดขึ้นจากการก่อสร้างกระเบื้องโมเสค เครื่องประดับ และลวดลายอื่น ๆ มีเครื่องประดับที่รู้จักมากมายซึ่งประกอบด้วยลวดลายซ้ำๆ การปูกระเบื้องที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งจะแสดงในรูปที่ 1

ระนาบถูกปกคลุมไปด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน และสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเหมือนกัน สี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ของการเรียงต่อนี้สามารถหาได้จากสี่เหลี่ยมด้านขนานสีชมพูโดยการเลื่อนส่วนหลังด้วยเวกเตอร์ (เวกเตอร์และถูกกำหนดโดยขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เลือก n และ m เป็นจำนวนเต็ม) ควรสังเกตว่าการปูกระเบื้องทั้งหมดโดยรวมจะถูกแปลงเป็นตัวมันเองเมื่อเลื่อนด้วยเวกเตอร์ (หรือ) คุณสมบัตินี้สามารถนำมาเป็นคำจำกัดความได้ กล่าวคือ การเรียงต่อกันเป็นคาบด้วยจุดคือการเรียงต่อกันที่แปลงเป็นตัวมันเองเมื่อเลื่อนด้วยเวกเตอร์และเวกเตอร์ การปูกระเบื้องเป็นระยะอาจค่อนข้างซับซ้อน แต่บางอันก็สวยงามมาก

การปูกระเบื้องกึ่งช่วงของเครื่องบิน

มีเทสเซลล์เครื่องบินที่น่าสนใจและไม่เป็นระยะ ในปี พ.ศ. 2517 โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ค้นพบการเอียงของระนาบกึ่งช่วง คุณสมบัติของการปูกระเบื้องเหล่านี้จะสรุปคุณสมบัติของการปูกระเบื้องโดยธรรมชาติ ตัวอย่างของการปูกระเบื้องดังแสดงในรูปที่ 2

เครื่องบินทั้งหมดถูกปกคลุมไปด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ไม่มีช่องว่างระหว่างเพชร เทสเซลเลชั่นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใดๆ สามารถรับได้โดยใช้เทสเซลล์เพียงสองครั้งโดยใช้การเลื่อนและการหมุน นี่คือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแคบ (36 0, 144 0) และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกว้าง (72 0, 108 0) ดังแสดงในรูปที่ 3 ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแต่ละอันคือ 1 การปูกระเบื้องนี้ไม่ใช่แบบคาบ - เห็นได้ชัดว่า ไม่เปลี่ยนแปลงตัวเองภายใต้การเปลี่ยนแปลงใดๆ อย่างไรก็ตาม มันมีคุณสมบัติที่สำคัญบางประการ ซึ่งทำให้เข้าใกล้การปูกระเบื้องเป็นระยะมากขึ้น และบังคับให้เรียกว่ากึ่งช่วง ประเด็นก็คือส่วนจำกัดใดๆ ของการเรียงต่อแบบกึ่งช่วงเกิดขึ้นนับครั้งไม่ถ้วนตลอดการปูกระเบื้องทั้งหมด การปูกระเบื้องนี้มีแกนสมมาตรลำดับที่ 5 ในขณะที่แกนดังกล่าวไม่มีอยู่สำหรับการปูกระเบื้องเป็นระยะ

การปูกระเบื้องกึ่งช่วงอีกแบบหนึ่งของระนาบซึ่งสร้างโดยเพนโรส แสดงในรูปที่ 4 ระนาบทั้งหมดถูกปกคลุมด้วยรูปหลายเหลี่ยมชนิดพิเศษสี่รูป นี่คือดาว รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปห้าเหลี่ยมปกติ

ก) การแปลงอัตราเงินเฟ้อและภาวะเงินฝืด

แต่ละตัวอย่างของการปูกระเบื้องกึ่งช่วงที่แสดงไว้ด้านบนเป็นการปูระนาบโดยใช้การแปลและการหมุนของตัวเลขจำนวนจำกัด สิ่งปกคลุมนี้จะไม่แปลงร่างเป็นตัวเองภายใต้การเปลี่ยนแปลงใดๆ ส่วนจำกัดใดๆ ของสิ่งปกคลุมเกิดขึ้นตลอดการปกคลุมทั้งหมดนับไม่ถ้วน ยิ่งไปกว่านั้น บ่อยครั้งเท่ากันทั่วทั้งระนาบ การปูกระเบื้องที่อธิบายไว้ข้างต้นมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่าง ซึ่งเพนโรสเรียกว่าอัตราเงินเฟ้อ การศึกษาคุณสมบัตินี้ช่วยให้เราเข้าใจโครงสร้างของสารเคลือบเหล่านี้ นอกจากนี้ อัตราเงินเฟ้อยังสามารถนำมาใช้สร้างรูปแบบเพนโรสได้ อัตราเงินเฟ้อสามารถแสดงได้ชัดเจนที่สุดโดยใช้ตัวอย่างสามเหลี่ยมโรบินสัน สามเหลี่ยมโรบินสันคือสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูป P, Q ที่มีมุม (36 0, 72 0, 72 0) และ (108 0, 36 0, 36 0) ตามลำดับและความยาวด้าน ดังในรูปที่ 6 โดยที่ φ คืออัตราส่วนทองคำ:

สามเหลี่ยมเหล่านี้สามารถตัดให้เล็กลงได้ เพื่อให้สามเหลี่ยมใหม่ (เล็กกว่า) แต่ละอันมีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยมดั้งเดิม การตัดดังแสดงในรูปที่ 7: เส้นตรง ac คือเส้นแบ่งครึ่งของมุมตบเบา ๆ และส่วน ae, ab และ ac เท่ากัน เห็นได้ง่ายว่าสามเหลี่ยม acb และเอซเท่ากันทุกประการและคล้ายกับสามเหลี่ยม P และสามเหลี่ยม cde ก็คล้ายกับสามเหลี่ยม Q สามเหลี่ยม Q ถูกตัดแบบนี้ ความยาวของเซกเมนต์ gh เท่ากับความยาวของเซกเมนต์ ih (และเท่ากับ 1) สามเหลี่ยม igh คล้ายกับสามเหลี่ยม P และสามเหลี่ยม igf คล้ายกับสามเหลี่ยม Q ขนาดเชิงเส้นของสามเหลี่ยมใหม่จะเล็กกว่าขนาดเดิม t เท่า การตัดนี้เรียกว่าภาวะเงินฝืด

การเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับ - การติดกาว - เรียกว่าอัตราเงินเฟ้อ

รูปนี้แสดงให้เราเห็นว่าจากสามเหลี่ยม P สองอันและสามเหลี่ยม Q หนึ่งอันเราสามารถติดสามเหลี่ยม P ได้ และจากสามเหลี่ยม P และ Q เราก็สามารถติดสามเหลี่ยม Q ได้ สามเหลี่ยมใหม่ (ติดกาว) จะมีขนาดเป็นเส้นตรงมากกว่าสามเหลี่ยมเดิม t เท่า

ดังนั้นเราจึงได้นำเสนอแนวคิดเรื่องการเปลี่ยนแปลงของอัตราเงินเฟ้อและภาวะเงินฝืด เห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนแปลงอัตราเงินเฟ้อสามารถเกิดขึ้นซ้ำได้ ซึ่งจะส่งผลให้มีสามเหลี่ยมคู่หนึ่งซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอันเดิมถึง 2 เท่า เมื่อใช้การแปลงอัตราเงินเฟ้ออย่างต่อเนื่อง คุณจะได้สามเหลี่ยมคู่ที่มีขนาดใหญ่ตามใจชอบ ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถปูทั้งระนาบได้

สามารถแสดงได้ว่าการปูกระเบื้องที่อธิบายไว้ข้างต้นโดยสามเหลี่ยมโรบินสันนั้นไม่ใช่การปูกระเบื้องแบบคาบ

การพิสูจน์

ให้เราสรุปหลักฐานของข้อความนี้ เรามาโต้แย้งกัน สมมติว่าการปูกระเบื้องของระนาบด้วยสามเหลี่ยมโรบินสันนั้นเป็นคาบโดยมีคาบ u และ w ลองคลุมระนาบด้วยเครือข่ายของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน u, w ลองแสดงด้วย p จำนวนของ P - สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดซ้ายล่าง (สัมพันธ์กับเครือข่ายของเรา) ตั้งอยู่ในสี่เหลี่ยมด้านขนานสีเทา ลองนิยามจำนวน q ด้วยวิธีเดียวกัน (สามเหลี่ยม p+q ที่เลือกจะสร้างขอบเขตพื้นฐานของการปูกระเบื้องเป็นระยะ) พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลาง O ขอให้เราแทนด้วย PR (จริงๆ แล้วคือ QR) จำนวนของสามเหลี่ยม P (ตามลำดับ Q- สามเหลี่ยม) ที่อยู่ภายในวงกลมนี้

มาพิสูจน์กัน

1) แท้จริงแล้ว จำนวนสามเหลี่ยมที่ตัดกับวงกลมรัศมี R จะเป็นสัดส่วนกับ R ในขณะที่จำนวนสามเหลี่ยมภายในวงกลมรัศมี R จะเป็นสัดส่วนกับ R 2 ดังนั้น ในขีดจำกัด อัตราส่วนของจำนวนของสามเหลี่ยม P ต่อจำนวนของสามเหลี่ยม Q ในวงกลมจะเท่ากับอัตราส่วนนี้ในพื้นที่พื้นฐาน

ทีนี้ ลองใช้เทสเซลเลชันของเราแล้วทำการแปลงภาวะเงินฝืด จากนั้นในพื้นที่พื้นฐานดั้งเดิมจะมี pґ = 2p + q P ที่เล็กกว่า - สามเหลี่ยม และ qґ = p + q ที่เล็กกว่า Q - สามเหลี่ยม ให้เราแสดงด้วย pґR และ qґR จำนวนสามเหลี่ยมเล็กๆ ในวงกลมรัศมี R ตอนนี้มันง่ายที่จะได้ความขัดแย้ง อย่างแท้จริง,

= = = = (กฎของโลปิตาล)

จากที่แก้สมการ

p/q=(2p+q)/(p+q)

ในขณะที่ p และ q เป็นจำนวนเต็ม! ข้อขัดแย้งแสดงว่าการปูกระเบื้องด้วยสามเหลี่ยมโรบินสันไม่ใช่การปูกระเบื้องแบบคาบ

ปรากฎว่าการคลุมด้วยสามเหลี่ยมโรบินสันนี้ไม่ใช่เพียงสิ่งเดียวเท่านั้น มีการปกคลุมระนาบกึ่งช่วงเวลาที่แตกต่างกันมากมายโดยสามเหลี่ยมโรบินสัน พูดโดยคร่าวๆ สาเหตุของปรากฏการณ์นี้ก็คือในระหว่างภาวะเงินฝืด เส้นแบ่งครึ่งในรูปที่ 7 สามารถดึงมาจากจุดยอด b และไม่ใช่จากจุดยอด a การใช้ความเด็ดขาดนี้ทำให้สามารถบรรลุผลได้ เช่น การคลุมด้วยสามเหลี่ยมกลายเป็นการคลุมสามเหลี่ยมด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

B) การเปลี่ยนแปลงของความเป็นคู่

วิธีการก่อสร้างการปูกระเบื้องกึ่งช่วงที่ให้ไว้ข้างต้นดูเหมือนเป็นการเดา อย่างไรก็ตาม มีวิธีปกติในการสร้างวัสดุปิดกึ่งช่วง นี่เป็นวิธีการเปลี่ยนแปลงความเป็นคู่ซึ่งเป็นแนวคิดของนักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์เดอเบราน์

ให้เราอธิบายวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างการสร้างการแทนที่เครื่องบินด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ดูรูปที่ 3) ขั้นแรก เรามาสร้างตาราง G กันก่อน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้รูปห้าเหลี่ยมปกติแล้วกำหนดหมายเลขด้านข้าง (j = 1,2,3,4,5; รูปที่ 10) ลองดูที่ด้านเลข j ลองสร้างชุดเส้นตรงที่ขนานกับด้านนี้จำนวนอนันต์ เพื่อให้ระยะห่างระหว่างเส้นที่ใกล้ที่สุดสองเส้นเท่ากับ 1

ลองทำแบบเดียวกันนี้กับแต่ละด้านของรูปห้าเหลี่ยมกัน เราจะวาดเส้นตรงเพื่อให้มันตัดกันเป็นคู่เท่านั้น ผลลัพธ์คือชุดของเส้นที่ไม่เป็นระยะ (รูปที่ 9) เส้นในชุดนี้จะแสดงด้วยตัวอักษร l ลองกำหนดหมายเลขบรรทัดใหม่ด้วยดัชนีสองตัว: l j (n) ในที่นี้ j ระบุทิศทางของเส้น (ด้านใดของรูปห้าเหลี่ยมที่ขนานไปกับ) จำนวนเต็ม n กำหนดเส้นคู่ขนานที่แตกต่างกัน ลากผ่านค่าจำนวนเต็มทั้งหมด (ทั้งบวกและลบ) เส้นชุดนี้แบ่งระนาบออกเป็นชุดรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีที่สิ้นสุด รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่าใบหน้าตาข่าย เราจะเรียกด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมว่าขอบของตาข่าย และจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของตาข่าย (ในทำนองเดียวกัน สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ครอบคลุมช่วง Q: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือหน้าของ Q, ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือขอบของ Q, จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือจุดยอดของ Q)

ดังนั้นจึงมีการสร้างกริด G ตอนนี้เรามาดำเนินการเปลี่ยนแปลงความเป็นคู่กัน แต่ละด้านของตาข่าย G เทียบได้กับจุดยอดของกึ่งช่วงที่ปกคลุม Q (จุดยอดของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) เราแสดงจุดยอดด้วยตัวอักษร (นี่คือเวกเตอร์) ขั้นแรก เราเชื่อมโยงแต่ละหน้า M ของตาข่ายกับจำนวนเต็มห้าตัว n j = (M), j - 1,2, ....5 ตามกฎต่อไปนี้ จุดภายในของ M อยู่ระหว่างเส้นบางเส้น l j (n) และเส้นขนานกับมัน l j (n+1)

จำนวนเต็ม n นี้ เราจะจับคู่หน้าของ M เนื่องจากตาข่ายมีเส้นตรงใน 5 ทิศทาง ดังนั้นด้วยวิธีนี้ เราจะจับคู่จำนวนเต็ม 5 ตัว n j (M) ของ M แต่ละตัวของตาข่าย G จุดยอดของการปกคลุมกึ่งคาบ Q ซึ่งสอดคล้องกับหน้า M ที่กำหนดของ mesh G ถูกสร้างขึ้นดังนี้:

(ม) = n 1 (ม) + + … +

นี่คือเวกเตอร์ของความยาวหน่วยที่ลากจากจุดศูนย์กลางของรูปห้าเหลี่ยมปกติถึงตรงกลางของด้านเลข j ดังนั้นเราจึงเชื่อมโยงจุดยอดที่ปกคลุมเข้ากับแต่ละด้านของตาข่าย ด้วยวิธีนี้เราสามารถสร้างจุดยอดทั้งหมดของ Q ได้

ทีนี้มาเชื่อมต่อจุดยอดกับส่วนของเส้นตรงกัน สิ่งเหล่านี้จะเป็นขอบของ Q ที่คลุมอยู่ (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาใบหน้าคู่ M1 และ M2 ที่มีขอบร่วมกัน เราจะเชื่อมต่อจุดยอดของการเคลือบที่สอดคล้องกับพื้นผิวเหล่านี้และส่วนต่างๆ

แล้วปรากฎว่ามีความแตกต่างกัน

อาจเท่ากับเวกเตอร์เพียงหนึ่งในสิบเท่านั้น

ดังนั้น ขอบตาข่ายแต่ละอันจึงสัมพันธ์กับหน้าปก Q จุดยอดตาข่ายแต่ละอันสัมพันธ์กับหน้าปก Q (สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) อันที่จริง จุดยอดตาข่ายแต่ละอันอยู่ติดกับสี่หน้า M R (R = 1,2,3,4) ให้เราพิจารณาจุดยอดครอบคลุมทั้งสี่ (MR) ที่สอดคล้องกับจุดยอดเหล่านั้น จากคุณสมบัติผลต่าง (2) ตามมาว่าขอบของส่วนเคลือบที่ผ่านจุดยอดเหล่านี้ก่อให้เกิดขอบเขตของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มีการสร้างการปกคลุมเครื่องบินแบบกึ่งช่วงด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เราได้แสดงวิธีการเปลี่ยนแปลงความเป็นคู่แล้ว นี่เป็นวิธีทั่วไปในการสร้างวิธีการปูผิวกึ่งช่วง ในโครงสร้างนี้ รูปห้าเหลี่ยมปกติสามารถแทนที่ด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นการครอบคลุมกึ่งงวดใหม่ วิธีการเปลี่ยนแปลงความเป็นคู่ยังใช้ได้กับการสร้างโครงสร้างกึ่งช่วงในอวกาศด้วย

B) การเติมช่องว่างสามมิติแบบกึ่งงวด

มีลักษณะทั่วไปสามมิติของรูปแบบเพนโรส พื้นที่สามมิติสามารถเต็มไปด้วยรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานชนิดพิเศษได้ เส้นขนานไม่มีจุดภายในร่วมกัน และไม่มีช่องว่างระหว่างจุดเหล่านั้น การเติมแบบคู่ขนานแต่ละครั้งสามารถรับได้จากคู่ขนานเพียงสองตัวเท่านั้นโดยใช้การเลื่อนและการหมุน สิ่งเหล่านี้เรียกว่าขนานอัมมาน - แมคเคย์ เพื่อกำหนดเส้นขนาน ก็เพียงพอที่จะระบุขอบสามด้านที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง สำหรับเส้นขนานอัมมาน-แมคเคย์เส้นแรก เวกเตอร์เหล่านี้มีรูปแบบ:

= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)

และสำหรับเส้นขนานที่สอง:

= (0; -1;f), = (ฉ; 0;1), = (0;1; ฉ)

การเติมด้วยขนานเหล่านี้จะไม่แปลงร่างเป็นตัวเองภายใต้การเปลี่ยนแปลงใดๆ อย่างไรก็ตาม ส่วนที่จำกัดใดๆ จะเกิดขึ้นตลอดการเติมทั้งหมดนับครั้งไม่ถ้วน การเติมช่องว่างด้วยรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้สัมพันธ์กับความสมมาตรของรูปทรงโคซาเฮดรอน icosahedron เป็นของแข็ง Platonic ใบหน้าแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ อิโคซาฮีดรอนมีจุดยอด 12 จุด ใบหน้า 20 หน้า และขอบ 30 ด้าน

แอปพลิเคชัน

ปรากฎว่าการหลอมอะลูมิเนียม-แมงกานีสที่เย็นลงอย่างรวดเร็ว (ค้นพบในปี 1984) มีความสมมาตรเหล่านี้อย่างแม่นยำ ดังนั้น รูปแบบของเพนโรสจึงช่วยให้เข้าใจโครงสร้างของสสารที่เพิ่งค้นพบ และไม่เพียงแต่สสารนี้เท่านั้น แต่ยังพบควอซิคริสตัลจริงอื่นๆ ด้วย การศึกษาเชิงทดลองและเชิงทฤษฎีถือเป็นแนวหน้าของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่