ตารางของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันเสร็จสมบูรณ์ ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันกราฟและสูตรของพวกเขา นิพจน์ผ่านฟังก์ชั่นไฮเพอร์โบลิก

คำนิยามและสัญกรณ์

Arksinus บางครั้งแสดงถึง:
.

กราฟของฟังก์ชั่นของ Arksinus

ฟังก์ชั่นกำหนดการ y \u003d arcsin x.

ตาราง Arksinus ได้รับจากกราฟไซนัสหากคุณเปลี่ยน Abscissa และบวช Axis เพื่อกำจัดจิตสำนึกหลายช่วงของค่าที่ จำกัด ช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน monotonna คำจำกัดความดังกล่าวเรียกว่าค่าหลักของ Arksinus

Arkkosinus, Arccos

คำนิยามและสัญกรณ์

Arkkosinus บางครั้งระบุ:
.

กราฟของฟังก์ชั่นของ Arkkosinus

ฟังก์ชั่นกำหนดการ y \u003d arccos X

กราฟของ Arkkosinus ได้รับจากกราฟโคไซน์หากคุณเปลี่ยน Abscissa และบวช Axis เพื่อกำจัดจิตสำนึกหลายช่วงของค่าที่ จำกัด ช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน monotonna คำจำกัดความดังกล่าวเรียกว่าค่าหลักของ Arkkosinus

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชั่น Arksinus แปลก:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (SIN (-arcsin x)) \u003d - Arcsin X

ฟังก์ชั่นของ ArcCowinus ไม่ได้หรือแปลก:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - Arccos x ≠± arccos x

คุณสมบัติ - สุดขั้ว Ascending, ปลดอาวุธ

ฟังก์ชั่นของ Arksinus และ Arkskosinus มีความต่อเนื่องในการนิยามของพวกเขา (ดูหลักฐานความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของ Arksinus และ Arkkosinus จะถูกนำเสนอในตาราง

ตาราง Arksinuses และ Arkkosinusov

ตารางนี้แสดงค่าของ arcsinuses และ arcsinuses ในองศาและเรเดียนด้วยค่าบางอย่างของอาร์กิวเมนต์

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

สูตร

สูตรของผลรวมและความแตกต่าง

ที่หรือ

ที่ I.

ที่ I.

ที่หรือ

ที่ I.

ที่ I.

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

นิพจน์ผ่านลอการิทึมตัวเลขที่ซับซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชั่นไฮเพอร์โบลิก

อนุพันธ์

;
.
ดูอนุพันธ์ของ Arksinus และ Arkkosinus Derivatives \u003e\u003e\u003e

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น:
,
ระดับพหุนามอยู่ที่ไหน มันถูกกำหนดโดยสูตร:
;
;
.

ดูอนุพันธ์ของคำสั่งสูงสุดของ Arksinus และ Arkkosinus \u003e\u003e\u003e

บูรณาการ

ทำให้การทดแทน x \u003d บาปต.. เราบูรณาการในส่วนที่ระบุว่า-π / 2 ≤ t ≤π / 2, cos t ≥ 0:
.

แสดง Arkkosinus ผ่าน Arksinus:
.

การสลายตัวในจำนวน

ด้วย | X |< 1 การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:
;
.

ฟังก์ชั่นย้อนกลับ

กลับไปที่ Arksinus และ Arkkosinus เป็นไซนัสและโคไซน์ตามลำดับ

สูตรต่อไปนี้ถูกต้องตลอดทั้งเขตข้อมูลการนิยาม:
บาป (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้เฉพาะกับชุดของค่า arcsinus และ arcsinus เท่านั้น:
arcsin (SIN X) \u003d x สำหรับ
arccos (cos x) \u003d x ที่.

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. Bronstein, K.A. Semendyaev หนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักเรียนของผู้เข้าร่วมงาน "LAN", 2009

เนื่องจากฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเป็นระยะ ๆ ฟังก์ชั่นจะไม่กระจ่างใส ดังนั้นสมการ y \u003d บาปเอ็กซ์เมื่อระบุมีรากหลายอย่างมากมาย อันที่จริงเนื่องจากระยะเวลาของไซนัสถ้า x เป็นรากดังกล่าวแล้ว x + 2πn (โดยที่ n คือจำนวนเต็ม) จะเป็นรากของสมการ ทางนี้, ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันมีความหมาย. เพื่อให้ง่ายต่อการทำงานกับพวกเขาพวกเขาแนะนำแนวคิดของค่านิยมหลักของพวกเขา พิจารณาตัวอย่างเช่นไซนัส: y \u003d บาปเอ็กซ์. หากคุณ จำกัด การโต้แย้ง X ช่วงเวลา X นั้นเป็นฟังก์ชัน Y \u003d บาปเอ็กซ์ เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ ดังนั้นจึงมีฟังก์ชั่นย้อนกลับที่ไม่ชัดเจนเรียกว่า arxinus: x \u003d arcsin y.

หากไม่ได้ระบุไว้โดยเฉพาะอย่างยิ่งภายใต้ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันพวกเขาหมายถึงค่าหลักของพวกเขาซึ่งถูกกำหนดโดยคำจำกัดความต่อไปนี้

Arksinus ( y \u003d. arcsin x.) - นี่คือฟังก์ชั่นผกผันกับไซนัส ( x \u003d. บาป Y.
Arkkosinus ( y \u003d. arccos X) - นี่คือฟังก์ชั่นผกผันกับโคไซน์ ( x \u003d. cos y) มีเขตข้อมูลนิยามและค่ามากมาย
อาร์โธนส์ ( y \u003d. arctg x.) - นี่คือฟังก์ชั่นผกผันกับแทนเจนต์ ( x \u003d. tg y) มีเขตข้อมูลนิยามและค่ามากมาย
arkotanens ( y \u003d. arcctg x.) - นี่คือฟังก์ชั่นผกผันต่อ Kotangent ( x \u003d. cTG Y) มีเขตข้อมูลนิยามและค่ามากมาย

รูปภาพของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

กราฟของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันจะได้รับจากกราฟของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่มีการสะท้อนกระจกเมื่อเทียบกับ y \u003d x ดูส่วน Sine, Kosinus, Tangent, Cotangent

y \u003d. arcsin x.

y \u003d. arccos X

y \u003d. arctg x.

y \u003d. arcctg x.

สูตรพื้นฐาน

ที่นี่มีความจำเป็นต้องใส่ใจกับช่วงเวลาที่สูตรนั้นถูกต้อง

arcsin (SIN X) \u003d x สำหรับ
บาป (arcsin x) \u003d x
arccos (cos x) \u003d x สำหรับ
cos (arccos x) \u003d x

arctg (tg x) \u003d x สำหรับ
tg (arctg x) \u003d x
arcctg (ctg x) \u003d x สำหรับ
ctg (arcctg x) \u003d x

สูตรผูกพันฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

สูตรของผลรวมและความแตกต่าง

ที่หรือ

ที่ I.

ที่ I.

ที่หรือ

ที่ I.

ที่ I.

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

สำหรับ

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. Bronstein, K.A. Semendyaev หนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักเรียนของผู้เข้าร่วมงาน "LAN", 2009

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน (ฟังก์ชั่นวงกลม, arcfunctions) - ฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

เหล่านี้มักจะประกอบกับ 6 ฟังก์ชั่น:

• arksinus (การกำหนด: arcsin x.; arcsin x. - มันเป็นมุม บาป. ซึ่งเท่ากัน เอ็กซ์),
• arkkosinus (การกำหนด: arccos X; arccos X - นี่เป็นมุมที่โคไซน์เท่ากับ เอ็กซ์ ฯลฯ ),
• arctanens (การกำหนด: arctg x. หรือ arctan X),
• arkotanence (การกำหนด: arcctg x. หรือ arccot \u200b\u200bx. หรือ arccotan x.),
• arksekans (การกำหนด: aRCSEC X.),
• arkkosekans (การกำหนด: arccosec X. หรือ arccsc x.).

arksinus (y \u003d arcsin x) - ฟังก์ชั่นย้อนกลับไปที่ บาป. (x \u003d sin y . กล่าวอีกนัยหนึ่งส่งคืนมุมตามความหมายของมัน บาป..

Arkkosinus (y \u003d arccos x) - ฟังก์ชั่นย้อนกลับไปที่ cos. (x \u003d cos y cos..

Arctanens (y \u003d arctg x) - ฟังก์ชั่นย้อนกลับไปที่ tg (x \u003d tg y) ซึ่งมีฟิลด์ของคำจำกัดความและค่านิยมมากมาย . กล่าวอีกนัยหนึ่งส่งคืนมุมตามความหมายของมัน tg.

Arkotanence (y \u003d arcctg x) - ฟังก์ชั่นย้อนกลับไปที่ ctg (x \u003d ctg y) ซึ่งมีเขตข้อมูลนิยามและค่ามากมาย กล่าวอีกนัยหนึ่งส่งคืนมุมตามความหมายของมัน ctg.

arcsec - Arksekans กลับมุมตามความหมายของ SECLIX ของเขา

arccosec - Arkkosekans กลับมุมตามมูลค่าของ SHORCEANCE ของเขา

เมื่อฟังก์ชั่นตรีโกณมิติย้อนกลับไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดที่ระบุหมายความว่าค่าของมันจะไม่ปรากฏในตารางสุดท้าย ฟังก์ชั่น arcsec และ arccosec อย่ากำหนดในเซ็กเมนต์ (-1,1) และ อาร์ซีซิน และ arccos กำหนดเฉพาะในกลุ่ม [-1,1]

ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันนั้นเกิดจากชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับการเพิ่มคอนโซล "Ark-" (จาก Lat. อาร์ค เรา. - อาร์ค) นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าค่าเรขาคณิตของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันเกี่ยวข้องกับความยาวส่วนโค้งของวงกลมเดียว (หรือมุมที่โค้งนี้แน่น) ซึ่งสอดคล้องกับส่วนใดเซ็กเมนต์หนึ่งหรืออีกส่วนหนึ่ง

บางครั้งในวรรณคดีต่างประเทศเช่นเดียวกับในเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ / วิศวกรรมใช้สัญลักษณ์เช่น sin -1, cos -1 สำหรับ Arksinus, Arkskosinus และเช่นนี้ถือว่าไม่ถูกต้องอย่างสมบูรณ์เพราะ อาจสับสนกับการก่อสร้างของฟังก์ชั่นในระดับ −1 (« −1 "(ลบปริญญาแรก) กำหนดฟังก์ชั่น x \u003d F -1 (Y)ฟังก์ชั่นย้อนกลับ y \u003d f (x)).

อัตราส่วนหลักของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องใส่ใจกับช่วงเวลาที่สูตรนั้นถูกต้อง

สูตรการเชื่อมต่อฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

แสดงถึงค่าใด ๆ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันผ่าน arcsin x., Arccos X, Arctan X, arccot \u200b\u200bx. และจดสัญลักษณ์: arcsin x., arcos X, arctan X, arccot \u200b\u200bx. สำหรับค่าหลักของพวกเขาการเชื่อมต่อระหว่างพวกเขาแสดงโดยอัตราส่วนดังกล่าว

บทเรียน 32-33 ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

วัตถุประสงค์: พิจารณาฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันการใช้เพื่อบันทึกการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติ

I. ข้อความธีมและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง ศึกษาวัสดุใหม่

1. ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

การพิจารณาหัวข้อนี้เริ่มต้นด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

การแก้ไขสมการ:a) SIN X \u003d 1/2; b) SIN X \u003d

a) บนแกนทดสอบเลื่อน 1/2 และสร้างมุมx 1 และ x2 ซึ่งบาปเอ็กซ์ \u003d 1/2 ในเวลาเดียวกัน x1 + x2 \u003d πโดยที่ x2 \u003d π -x 1 . ตามตารางของค่าของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเราพบค่า x1 \u003d π / 6 จากนั้นเราคำนึงถึงความถี่ของฟังก์ชั่นไซนัสและจดทางออกของสมการนี้:ที่ K ∈ Z

b) เห็นได้ชัดว่าอัลกอริทึมแก้สมการบาป. x \u003d และเหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า แน่นอนตอนนี้ปริมาณ A. ถูกเลื่อนออกไปตามแนวแกน มีความจำเป็นในการออกแบบมุม X1 อย่างใด มีมุมดังกล่าวในการระบุสัญลักษณ์อาร์ซีซิน แต่. จากนั้นวิธีการแก้ไขของสมการนี้สามารถเขียนเป็นสูตรทั้งสองนี้สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว:อยู่ที่ไหน

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่เหลืออยู่นั้นยังมีการแนะนำในลักษณะที่คล้ายกัน

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องกำหนดค่าของมุมในมูลค่าที่รู้จักกันดีของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ งานนี้มีหลายค่า - มีมุมนับไม่ถ้วนฟังก์ชั่นตรีโกณมิติซึ่งเท่ากับค่าเดียวกัน ดังนั้นขึ้นอยู่กับความน่าเบื่อของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติฟังก์ชั่นตรีโกณมิติต่อไปนี้ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับมุมที่ไม่คลุมเครือ

Arksinus จำนวน A (Arcsin ซึ่งไซน์มีค่าเท่ากับ a, i.e.

arkkosinus numa (Arccos a) - มุมดังกล่าวและจากช่องว่างซึ่งโคไซน์เท่ากับ a, i.e.

หมายเลข Arctangencea (ARCTG a) - มุมดังกล่าวและจากช่วงเวลาสัมผัสที่เท่ากับ a, i.e.tg a \u003d a

หมายเลข Arkkothangencea (arcctg a) - มุมดังกล่าวและจากช่องว่าง (0; π) ซึ่งมี catangent เท่ากับ a, i.e.ctg a \u003d a

ตัวอย่างที่ 2

หา:

ให้คำจำกัดความของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันเราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณ

ให้มุม a \u003d arcsin 3/5 จากนั้นตามคำนิยามบาป a \u003d 3/5 และ . ดังนั้นคุณต้องค้นหาcos. แต่. การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักเราได้รับ:มันถูกนำมาพิจารณาเป็นเพราะ cos ≥ 0 ดังนั้น

เราให้จำนวนตัวอย่างทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความและคุณสมบัติหลักของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่นิยามฟังก์ชั่น

เพื่อให้ฟังก์ชัน Y ถูกกำหนดมันเป็นสิ่งจำเป็นในการดำเนินการที่ไม่เท่าเทียมกันซึ่งเทียบเท่ากับระบบความไม่เท่าเทียมกันการตัดสินใจของความไม่เท่าเทียมครั้งแรกคือช่วง X∈ (-∞; + ∞), ที่สอง -ช่องว่างนี้ และเป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมและดังนั้นพื้นที่นิยามภาคสนาม

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาช่วงของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น

พิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชั่นz. \u003d 2x - x2 (ดูรูป)

มันสามารถเห็นได้ว่า z ∈ (-∞; 1] พิจารณาว่าการโต้แย้งz. ฟังก์ชั่นของการเปลี่ยนแปลง Arkkothangent ในขีด จำกัด ที่ระบุจากตารางเหล่านี้เราได้รับดังนั้นพื้นที่ของการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างที่ 6

เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน y \u003darctg x แปลก อนุญาตจากนั้น tg a \u003d x หรือ x \u003d - tg a \u003d tg (a) และ ดังนั้น - a \u003d arctg x หรือ a \u003d - arctg x. ดังนั้นเราจึงเห็นว่าi.e. y (x) - ฟังก์ชั่นแปลก ๆ

ตัวอย่างที่ 7

แสดงผ่านฟังก์ชั่นตรีโกณมิติทั้งหมด

อนุญาต เห็นได้ชัดว่า จากนั้นเพราะ

เราแนะนำมุม เช่น ที่

ในทำนองเดียวกันดังนั้น และ

ดังนั้น,

ตัวอย่างที่ 8

เราสร้างกราฟของฟังก์ชั่น y \u003dcos (arcsin x)

แสดงว่าเป็น \u003d arcsin x แล้ว เราคำนึงถึงว่า x \u003d sin a และ y \u003d cos a, i.e. x 2 + u2 \u003d 1 และข้อ จำกัด ใน x (x∈ [-หนึ่ง; 1]) และ y (y ≥ 0) จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y \u003dcos (arcsin x) เป็นครึ่งวงกลม

ตัวอย่างที่ 9

เราสร้างกราฟของฟังก์ชั่น y \u003darccos (cos x)

ตั้งแต่ฟังก์ชั่น COS x การเปลี่ยนแปลงในส่วน [-1; 1] จากนั้นฟังก์ชั่น Y จะถูกกำหนดไว้ในแกนตัวเลขทั้งหมดและการเปลี่ยนแปลงในส่วน เราจะจำไว้ว่า y \u003darccos (cos x) \u003d x บนส่วน; ฟังก์ชั่น y เป็นแม้กระทั่งและเป็นระยะด้วยระยะเวลา2π พิจารณาว่าฟังก์ชั่นมีคุณสมบัติเหล่านี้cos x ตอนนี้มันง่ายที่จะสร้างแผนภูมิ

หมายเหตุความเสมอภาคที่มีประโยชน์:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุดและมากที่สุดของฟังก์ชั่นแสดง จากนั้น เราได้รับฟังก์ชั่น คุณสมบัตินี้มีขั้นต่ำที่จุดz \u003d π / 4 และเท่ากัน คุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นนั้นสำเร็จได้ที่จุดz \u003d -π / 2 และเท่ากัน ดังนั้นและ

ตัวอย่างที่ 11

การแก้ไขสมการ

เราคำนึงถึงอะไร จากนั้นสมการดูเหมือนว่า: หรือ จาก โดยนิยามของ Arctgennce เราได้รับ:

2. การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

คล้ายกับตัวอย่างที่ 1 เป็นไปได้ที่จะได้รับการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่างที่ 12

การแก้ไขสมการ

เนื่องจากฟังก์ชั่นไซนัสเป็นเรื่องแปลกฉันจะเขียนสมการในแบบฟอร์มโซลูชั่นสำหรับสมการนี้:คุณพบที่ไหน

ตัวอย่างที่ 13

การแก้ไขสมการ

ตามสูตรข้างต้นเขียนวิธีแก้ปัญหาของสมการ:และค้นหา

โปรดทราบว่าในกรณีพิเศษ (A \u003d 0; ± 1) เมื่อแก้สมการsin X \u003d A และ COS x \u003d และง่ายขึ้นและสะดวกยิ่งขึ้นในการใช้สูตรทั่วไป แต่เขียนการตัดสินใจตามวงกลมเดียว:

สำหรับสมการ Sin X \u003d 1 โซลูชั่น

สำหรับสมการ Sin X \u003d 0 โซลูชั่น x \u003d π k;

สำหรับสมการ Sin X \u003d -1 โซลูชั่น

สำหรับสมการ COS x \u003d 1 โซลูชั่น x \u003d 2πk;

สำหรับ cos สมการ x \u003d 0 โซลูชั่น

สำหรับ CoS สมการ X \u003d -1 โซลูชั่น

ตัวอย่างที่ 14

การแก้ไขสมการ

เนื่องจากตัวอย่างนี้มีกรณีพิเศษของสมการจากนั้นในสูตรที่เกี่ยวข้องเราเขียนวิธีการแก้ปัญหา:เราพบที่ไหน

สาม. คำถามควบคุม (โพลด้านหน้า)

1. ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

2. ให้กราฟของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

3. การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

IV งานในบทเรียน

§ 15 หมายเลข 3 (A, B); 4 (B, D); 7 (a); 8 (a); 12 (b); 13 (a); 15 (c); 16 (a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16 หมายเลข 4 (A, B); 7 (a); 8 (b); 16 (a, b); 18 (a); 19 (ใน d);

§ 17 หมายเลข 3 (A, B); 4 (B, D); 5 (a, b); 7 (B, D); 9 (b); 10 (a, b)

V. งานบ้าน

§ 15 หมายเลข 3 (B, D); 4 (A, B); 7 (b); 8 (b); 12 (a); 13 (b); 15 (g); 16 (b); 18 (b, d); 19 (g); 22;

§ 16, หมายเลข 4 (B, D); 7 (b); 8 (a); 16 (b, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, หมายเลข 3 (B, D); 4 (A, B); 5 (B, D); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d)

vi. งานสร้างสรรค์

1. ค้นหาพื้นที่นิยามฟังก์ชั่น:

คำตอบ:

2. ค้นหาฟังก์ชั่นของค่าฟังก์ชั่น:

คำตอบ:

3. สร้างตารางงาน:

vii สรุปบทเรียน

ฟังก์ชั่นของ Sin, Cos, TG และ CTG มาพร้อมกับ Arksinus, Arkkosinus, Arctangen และ Arkotanens เสมอ หนึ่งเป็นผลมาจากอีกอย่างหนึ่งและฟังก์ชั่นคู่มีความสำคัญเท่าเทียมกันสำหรับการทำงานกับสำนวนตรีโกณมิติ

พิจารณารูปแบบของวงกลมเดียวที่แสดงค่ากราฟิกของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากคุณคำนวณ Arcs OA, Arcos OC, ARCTG de และ ArcCTG MK จากนั้นทั้งหมดจะเท่ากับค่ามุมα สูตรด้านล่างสะท้อนให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติหลักและซุ้มโค้งที่สอดคล้องกัน

เพื่อให้เข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติของ Arksinus มีความจำเป็นต้องพิจารณาฟังก์ชั่นของมัน กำหนดการ มันมีรูปแบบของเส้นโค้งแบบอสมมาตรที่ผ่านศูนย์กลางของพิกัด

คุณสมบัติ ARXINUS:

หากคุณเปรียบเทียบกราฟิก บาป. และ อาร์ซีซินสองฟังก์ชั่นตรีโกณมิติสามารถพบรูปแบบทั่วไปได้

Arkkosinus

หมายเลข ARCCOS A คือค่าของมุมα, โคไซน์ที่เท่ากับ

โค้ง y \u003d arcos x กระจกแสดงกราฟ Arcsin X ด้วยความแตกต่างเพียงอย่างเดียวซึ่งผ่านไปผ่านจุดπ / 2 บนแกน OY

พิจารณาฟังก์ชั่นของ Arkkosinus ในรายละเอียดเพิ่มเติม:

1. ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้ในส่วน [-1; หนึ่ง].
2. OST สำหรับ Arccos -
3. กราฟมีอยู่ทั้งหมดในไตรมาส i และ II ของไตรมาสและฟังก์ชั่นนั้นไม่ได้หรือแปลก
4. y \u003d 0 ที่ x \u003d 1
5. เส้นโค้งลดลงในความยาวทั้งหมด คุณสมบัติบางอย่างของ Archkosinus ตรงกับฟังก์ชั่นโคไซน์

คุณสมบัติบางอย่างของ Archkosinus ตรงกับฟังก์ชั่นโคไซน์

บางทีเด็กนักเรียนอาจดูเหมือน "การศึกษา" โดยละเอียด "" ARKOV "ที่ไม่จำเป็น อย่างไรก็ตามมิฉะนั้นการมอบหมายงานทั่วไปของ EGE บางอย่างสามารถแนะนำนักเรียนให้เป็นจุดจบ

แบบฝึกหัด 1. ระบุคุณสมบัติที่ปรากฎในภาพ

ตอบ: รูปที่. 1 - 4 รูปที่ 2 - 1

ในตัวอย่างนี้การเน้นที่ทำในเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ โดยปกตินักเรียนจะอ้างถึงการก่อสร้างกราฟและลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชั่น แท้จริงแล้วทำไมจำได้ถึงมุมมองของเส้นโค้งหากสามารถสร้างได้ในจุดตั้งถิ่นฐาน อย่าลืมว่าในเงื่อนไขการทดสอบเวลาที่ใช้ในการวาดสำหรับงานง่าย ๆ จะต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

Arctanens

arctg ตัวเลข A เป็นค่ามุมของαที่สัมผัสกันเท่ากับ

หากคุณพิจารณาแผนภูมิ Arctangent คุณสมบัติต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

1. กราฟไม่มีที่สิ้นสุดและกำหนดไว้ในช่วงเวลา (- ∞; + ∞)
2. Arctangens ฟังก์ชั่นแปลก ๆ ดังนั้น arctg (- x) \u003d - arctg x
3. y \u003d 0 ที่ x \u003d 0
4. เส้นโค้งเพิ่มขึ้นตลอดทั้งเขตข้อมูลนิยาม

ให้เราให้การวิเคราะห์เปรียบเทียบสั้น ๆ TG X และ ARCTG X ในรูปแบบของตาราง

Arkotanence

หมายเลข ARCCTG ใช้ค่าαจากช่วงเวลา (0; π) ว่า catangent เท่ากับ

คุณสมบัติของฟังก์ชั่นของ Arkkothangence:

1. ช่วงความละเอียดของฟังก์ชั่นคืออินฟินิตี้
2. พื้นที่ของค่าที่อนุญาต - ช่องว่าง (0; π)
3. f (x) ไม่ใช่ทั้งหรือแปลก
4. ในความยาวทั้งหมดกำหนดการลดฟังก์ชั่น

การจับคู่ CTG X และ ARCTG X นั้นง่ายมากคุณต้องทำสองรูปแบบและอธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้ง

ภารกิจที่ 2. เชื่อมโยงกราฟและฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่น

หากคุณโต้แย้งอย่างมีเหตุผลจะเห็นได้จากกราฟที่ทั้งสองฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น ดังนั้นตัวเลขทั้งสองจะแสดงฟังก์ชั่นบางอย่าง ARCTG จากคุณสมบัติของ Arcthangent เป็นที่รู้จักกันว่า y \u003d 0 ที่ x \u003d 0,

ตอบ: รูปที่. 1 - 1 รูปที่ 2 - 4

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติของ Arcsin, Arcos, ARCTG และ ARCCTG

ก่อนหน้านี้เราได้ระบุความสัมพันธ์ระหว่างซุ้มประตูและฟังก์ชั่นพื้นฐานของตรีโกณมิติ การพึ่งพานี้สามารถแสดงออกด้วยสูตรจำนวนหนึ่งที่ช่วยให้คุณสามารถแสดงออกเช่นไซน์ของอาร์กิวเมนต์ผ่าน Arcsinus, Arquosine หรือในทางกลับกัน ความรู้เกี่ยวกับตัวตนดังกล่าวมีประโยชน์ในการแก้ไขตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ยังมีความสัมพันธ์สำหรับ arctg และ arcctg:

อีกคู่หนึ่งของสูตรที่มีประโยชน์ตั้งค่าค่าสำหรับจำนวนของค่า ARCSIN และ ARCOS เช่นเดียวกับ ArcCTG และ ArcCTG ของมุมเดียวกัน

ตัวอย่างของการแก้ปัญหา

งานเกี่ยวกับตรีโกณมิติสามารถแบ่งออกเป็นสี่กลุ่ม: ในการคำนวณค่าตัวเลขของนิพจน์เฉพาะสร้างกราฟของฟังก์ชั่นนี้เพื่อค้นหาฟิลด์ของนิยามหรือ OTZ และทำการวิเคราะห์การวิเคราะห์เพื่อแก้ปัญหาตัวอย่าง

เมื่อแก้ปัญหาประเภทแรกคุณต้องทำตามแผนปฏิบัติการต่อไปนี้:

เมื่อทำงานกับกราฟของฟังก์ชั่นสิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติและลักษณะของเส้นโค้ง เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติและความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่ต้องการตารางของตัวตน ยิ่งมีสูตรที่จดจำนักเรียนได้มากเท่าไหร่ก็ยิ่งหาคำตอบให้ง่ายขึ้นเท่านั้น

สมมติว่าคุณต้องค้นหาคำตอบสำหรับสมการประเภท:

หากคุณแปลงนิพจน์อย่างถูกต้องและนำไปสู่จิตใจที่ถูกต้องแล้วมันง่ายมากที่จะแก้ปัญหาและรวดเร็ว ในการเริ่มต้นด้วยเราย้าย Arcsin X เข้าสู่ส่วนขวาของความเท่าเทียมกัน

หากคุณจำสูตรได้ arcsin (SIN α) \u003d αคุณสามารถลดการค้นหาคำตอบสำหรับการแก้ปัญหาของระบบของสองสมการ:

ขีด จำกัด ของโมเดล X ปรากฏขึ้นอีกครั้งจากคุณสมบัติของ Arcsin: OTZ สำหรับ X [-1; หนึ่ง]. ที่≠ 0 ส่วนของ Sissy เป็นสมการสี่เหลี่ยมกับราก X1 \u003d 1 และ X2 \u003d - 1 / a ที่ \u003d 0, x จะเท่ากับ 1