การบวกและการลบเลขยกกำลังต่างกัน องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

ลองพิจารณาหัวข้อของการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลัง แต่ก่อนอื่นเรามาดูการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่งที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงออกใด ๆ รวมถึงพลังด้วย เราจะได้เรียนรู้วิธีเปิดวงเล็บ เพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน ทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง และใช้คุณสมบัติของกำลัง

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

ในหลักสูตรของโรงเรียน มีเพียงไม่กี่คนที่ใช้วลี "สำนวนอันทรงพลัง" แต่คำนี้พบเห็นได้ทั่วไปในคอลเล็กชันสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในกรณีส่วนใหญ่ วลีหมายถึงสำนวนที่มีระดับอยู่ในรายการ นี่คือสิ่งที่เราจะสะท้อนให้เห็นในคำจำกัดความของเรา

คำจำกัดความ 1

การแสดงออกถึงพลังเป็นนิพจน์ที่มีองศา

ขอให้เรายกตัวอย่างนิพจน์ยกกำลังโดยเริ่มจากยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง

นิพจน์กำลังที่ง่ายที่สุดถือได้ว่าเป็นกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + ก 2, x 3 − 1 , (ก 2) 3 . และยังยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นศูนย์: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0 และกำลังที่มีกำลังเป็นจำนวนเต็มลบ: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2

มันจะยากขึ้นอีกเล็กน้อยในการทำงานกับระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ลงตัว: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 ก - 1 6 · ข 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

ตัวบ่งชี้สามารถเป็นตัวแปร 3 x - 54 - 7 3 x - 58 หรือลอการิทึม x 2 · ลิตร กรัม x − 5 · x ลิตร กรัม x.

เราได้จัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร ตอนนี้เรามาเริ่มแปลงพวกมันกันดีกว่า

การแปลงรูปแบบหลักของการแสดงออกทางอำนาจ

ก่อนอื่น เราจะดูที่การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของการแสดงออกที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงออกทางอำนาจ

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณค่าของนิพจน์ยกกำลัง 2 3 (4 2 - 12).

สารละลาย

เราจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดตามลำดับการกระทำ ในกรณีนี้เราจะเริ่มต้นด้วยการดำเนินการในวงเล็บ: เราจะแทนที่ระดับด้วยค่าดิจิทัลและคำนวณผลต่างของตัวเลขสองตัว เรามี 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

สิ่งที่เราต้องทำคือเปลี่ยนปริญญา 2 3 ความหมายของมัน 8 และคำนวณผลิตภัณฑ์ 8 4 = 32. นี่คือคำตอบของเรา

คำตอบ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

ตัวอย่างที่ 2

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยยกกำลัง 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

สารละลาย

สำนวนที่ให้ไว้ในโจทย์ปัญหามีคำศัพท์ที่คล้ายกันซึ่งเราสามารถให้ได้: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

คำตอบ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1

ตัวอย่างที่ 3

แสดงนิพจน์ที่มีกำลัง 9 - b 3 · π - 1 2 เป็นผลคูณ

สารละลาย

ลองนึกภาพเลข 9 ว่าเป็นเลขยกกำลัง 3 2 และใช้สูตรคูณแบบย่อ:

9 - ข 3 π - 1 2 = 3 2 - ข 3 π - 1 2 = = 3 - ข 3 π - 1 3 + ข 3 π - 1

คำตอบ: 9 - ข 3 · π - 1 2 = 3 - ข 3 · π - 1 3 + ข 3 · π - 1 .

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ที่สามารถนำไปใช้กับการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

ระดับในฐานหรือเลขชี้กำลังสามารถมีตัวเลข ตัวแปร และนิพจน์บางอย่างได้ ตัวอย่างเช่น, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7และ . การทำงานกับบันทึกดังกล่าวเป็นเรื่องยาก การแทนที่นิพจน์ในฐานของดีกรีหรือนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันนั้นง่ายกว่ามาก

การแปลงระดับและเลขชี้กำลังดำเนินการตามกฎที่เรารู้จักแยกจากกัน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเปลี่ยนแปลงส่งผลให้มีการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

วัตถุประสงค์ของการแปลงคือเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ดั้งเดิมหรือรับวิธีแก้ไขปัญหา ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่เราให้ไว้ข้างต้น (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 คุณสามารถทำตามขั้นตอนเพื่อไปยังระดับ 4 , 1 1 , 3 . เมื่อเปิดวงเล็บ เราก็สามารถนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันที่ฐานของกำลังได้ (ก · (ก + 1) − ก 2) 2 · (x + 1)และได้รับการแสดงออกถึงพลังในรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า 2 (x + 1).

การใช้คุณสมบัติปริญญา

คุณสมบัติของกำลังซึ่งเขียนในรูปของความเท่าเทียมกันถือเป็นเครื่องมือหลักอย่างหนึ่งในการแปลงนิพจน์ด้วยกำลัง เรานำเสนอสิ่งสำคัญที่นี่โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น กและ ขเป็นจำนวนบวกใดๆ และ รและ ส- จำนวนจริงตามอำเภอใจ:

คำจำกัดความ 2

• มี r · s = มี r + s ;
• ar: as = ar − s ;
• (ก · ข) ร = ร · ร ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (มี r) s = มี r · s .

ในกรณีที่เรากำลังจัดการกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และค่าบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจจะเข้มงวดน้อยกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาถึงความเท่าเทียมกัน เป็น ม · n = เป็น ม + n, ที่ไหน มและ nเป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นมันจะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a ทั้งบวกและลบรวมถึงสำหรับด้วย ก = 0.

คุณสมบัติของกำลังสามารถใช้งานได้โดยไม่มีข้อ จำกัด ในกรณีที่ฐานของกำลังเป็นบวกหรือมีตัวแปรที่มีช่วงของค่าที่อนุญาตเพื่อให้ฐานรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในความเป็นจริง ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน หน้าที่ของนักเรียนคือการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง

เมื่อเตรียมตัวเข้ามหาวิทยาลัย คุณอาจประสบปัญหาซึ่งการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องจะนำไปสู่การจำกัด DL และปัญหาอื่น ๆ ในการแก้ไข ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเพียงสองกรณีดังกล่าวเท่านั้น ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถพบได้ในหัวข้อ “การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของกำลัง”

ตัวอย่างที่ 4

ลองจินตนาการถึงการแสดงออก ก 2 , 5 (ก 2) − 3: ก − 5 , 5ในรูปของอำนาจที่มีฐาน ก.

สารละลาย

ขั้นแรก เราใช้คุณสมบัติของการยกกำลังและแปลงตัวประกอบที่สองโดยใช้มัน (ก 2) - 3. จากนั้นเราใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = ก 2 .

คำตอบ: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2

การแปลงการแสดงออกทางอำนาจตามคุณสมบัติของกำลังสามารถทำได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและในทิศทางตรงกันข้าม

ตัวอย่างที่ 5

จงหาค่าของนิพจน์กำลัง 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3

สารละลาย

หากเราใช้ความเท่าเทียมกัน (ก · ข) r = ร · ข rจากขวาไปซ้าย เราได้ผลลัพธ์ในรูปแบบ 3 · 7 1 3 · 21 2 3 แล้ว 21 1 3 · 21 2 3 ลองบวกเลขชี้กำลังเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21

มีวิธีอื่นในการดำเนินการเปลี่ยนแปลง:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

คำตอบ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

ตัวอย่างที่ 6

ด้วยการแสดงออกถึงพลัง 1, 5 − 0, 5 − 6ให้ป้อนตัวแปรใหม่ เสื้อ = ก 0.5.

สารละลาย

ลองจินตนาการถึงปริญญา เอ 1, 5ยังไง ก 0.5 3. การใช้สมบัติขององศาถึงองศา (มี r) s = มี r · sจากขวาไปซ้ายแล้วเราจะได้ (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6 คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ให้กับนิพจน์ผลลัพธ์ได้อย่างง่ายดาย เสื้อ = ก 0.5: เราได้รับ เสื้อ 3 − เสื้อ − 6.

คำตอบ:เสื้อ 3 − เสื้อ − 6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

โดยปกติเราจะจัดการกับนิพจน์ยกกำลังที่มีเศษส่วนสองเวอร์ชัน ได้แก่ นิพจน์แทนเศษส่วนที่มีกำลังหรือมีเศษส่วนดังกล่าว การแปลงเศษส่วนพื้นฐานทั้งหมดใช้ได้กับนิพจน์ดังกล่าวโดยไม่มีข้อจำกัด พวกมันสามารถลดทอน หารด้วยตัวส่วนใหม่ หรือแยกกันโดยใช้ตัวเศษและตัวส่วนก็ได้ เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 7

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลัง 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2

สารละลาย

เรากำลังจัดการกับเศษส่วน ดังนั้นเราจะทำการแปลงทั้งตัวเศษและตัวส่วน:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

วางเครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วนเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายตัวส่วน: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

คำตอบ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

เศษส่วนที่มีกำลังจะลดลงเป็นตัวส่วนใหม่ในลักษณะเดียวกับเศษส่วนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาตัวประกอบเพิ่มเติมและคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย จำเป็นต้องเลือกปัจจัยเพิ่มเติมในลักษณะที่ไม่ไปที่ศูนย์สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 8

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) a + 1 a 0, 7 ถึงตัวส่วนใหม่ ก, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 ถึงตัวส่วน x + 8 · y 1 2 .

สารละลาย

ก) มาเลือกปัจจัยที่จะช่วยให้เราลดตัวส่วนใหม่ได้ 0, 7 0, 3 = 0, 7 + 0, 3 = ก,ดังนั้นเราจึงจะต้องคำนึงถึงปัจจัยเพิ่มเติม 0 , 3. ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a รวมถึงชุดของจำนวนจริงบวกทั้งหมด ปริญญาในสาขานี้ 0 , 3ไม่ได้ไปที่ศูนย์

ลองคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 0 , 3:

ก + 1 ก 0, 7 = ก + 1 ก 0, 3 ก 0, 7 ก 0, 3 = ก + 1 ก 0, 3 ก

b) ให้ความสนใจกับตัวส่วน:

x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 ปี 1 6 + 2 ปี 1 6 2

ลองคูณนิพจน์นี้ด้วย x 1 3 + 2 · y 1 6 เราจะได้ผลรวมของลูกบาศก์ x 1 3 และ 2 · y 1 6 เช่น x + 8 · ปี 1 2 . นี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม x 1 3 + 2 · y 1 6 . อยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร xและ ยนิพจน์ x 1 3 + 2 y 1 6 จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 1 3 3 + 2 ปี 1 6 3 = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x + 8 ปี 1 2

คำตอบ:ก) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x + 8 · ปี 1 2 .

ตัวอย่างที่ 9

ลดเศษส่วน: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - ข 1 4 1 2 - ข 1 2.

สารละลาย

ก) เราใช้ตัวส่วนร่วมมาก (GCD) ซึ่งเราสามารถลดตัวเศษและส่วนได้ สำหรับหมายเลข 30 และ 45 คือ 15 เราก็สามารถลดได้ด้วย x0.5+1และบน x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

เราได้รับ:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) การปรากฏตัวของปัจจัยที่เหมือนกันที่นี่ไม่ชัดเจน คุณจะต้องทำการแปลงบางอย่างเพื่อให้ได้ตัวประกอบในตัวเศษและส่วนเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ เราขยายตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

ก 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - ข 1 4 = 1 ถึง 1 4 + ข 1 4

คำตอบ:ก) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ข) ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 2 - ข 1 2 = 1 ก 1 4 + ข 1 4 .

การดำเนินการพื้นฐานเกี่ยวกับเศษส่วน ได้แก่ การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และการลดเศษส่วน การกระทำทั้งสองดำเนินการตามกฎหลายข้อ เมื่อบวกและลบเศษส่วน อันดับแรกเศษส่วนจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นจึงดำเนินการ (บวกหรือลบ) ด้วยตัวเศษ ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม ผลลัพธ์ของการกระทำของเราคือเศษส่วนใหม่ ซึ่งตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 10

ทำตามขั้นตอน x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการลบเศษส่วนที่อยู่ในวงเล็บ ลองนำมาเป็นตัวส่วนร่วม:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

ลองลบตัวเศษ:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

มาลดพลังกันเถอะ x 1 2เราจะได้ 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

นอกจากนี้ คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนโดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง: กำลังสอง: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1

คำตอบ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

ตัวอย่างที่ 11

ลดความซับซ้อนของนิพจน์กฎกำลัง x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3
สารละลาย

เราสามารถลดเศษส่วนได้ (x 2 , 7 + 1) 2. เราได้เศษส่วน x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1

มาแปลงกำลังของ x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 กันต่อ ตอนนี้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน x 1 3 8 x 2, 7 + 1

คำตอบ: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

ในกรณีส่วนใหญ่ จะสะดวกกว่าในการถ่ายโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วนและด้านหลัง โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การดำเนินการนี้ช่วยให้คุณตัดสินใจได้ง่ายขึ้น ลองยกตัวอย่าง: นิพจน์ยกกำลัง (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 สามารถแทนที่ด้วย x 3 · (x + 1) 0, 2

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

ในปัญหาต่างๆ มีนิพจน์ยกกำลังที่ไม่เพียงแต่มีเลขยกกำลังที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น แต่ยังมีรากด้วย ขอแนะนำให้ลดการแสดงออกดังกล่าวเฉพาะกับรากหรือเฉพาะกับพลังเท่านั้น การไปเรียนต่อปริญญาจะดีกว่าเพราะทำงานง่ายกว่า การเปลี่ยนแปลงนี้เหมาะกว่าเป็นพิเศษเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมช่วยให้คุณสามารถแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องเข้าถึงโมดูลัสหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายๆ ช่วง

ตัวอย่างที่ 12

เขียนนิพจน์ x 1 9 · x · x 3 6 เป็นรูปยกกำลัง

สารละลาย

ช่วงของค่าตัวแปรที่อนุญาต xถูกกำหนดโดยอสมการสองประการ x ≥ 0และ x x 3 ≥ 0 ซึ่งกำหนดเซต [ 0 , + ∞) .

ในชุดนี้เรามีสิทธิ์ที่จะย้ายจากรากไปสู่พลัง:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

การใช้คุณสมบัติของกำลัง เราทำให้การแสดงออกพลังงานผลลัพธ์ง่ายขึ้น

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

คำตอบ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

การแปลงกำลังด้วยตัวแปรในเลขชี้กำลัง

การแปลงเหล่านี้ทำได้ค่อนข้างง่ายหากคุณใช้คุณสมบัติของดีกรีอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

เราสามารถแทนที่ด้วยผลคูณของกำลัง ซึ่งเลขชี้กำลังคือผลรวมของตัวแปรบางตัวและตัวเลข ทางด้านซ้ายสามารถทำได้โดยใช้เงื่อนไขแรกและเงื่อนไขสุดท้ายของด้านซ้ายของนิพจน์:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0

ทีนี้ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 7 2 x. นิพจน์สำหรับตัวแปร x นี้รับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

ลองลดเศษส่วนด้วยกำลัง เราจะได้: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของอัตราส่วน ส่งผลให้สมการ 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 ซึ่งเท่ากับ 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ t = 5 7 x ซึ่งจะลดคำตอบของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0

การแปลงนิพจน์ด้วยกำลังและลอการิทึม

นิพจน์ที่มีพลังและลอการิทึมก็พบได้ในปัญหาเช่นกัน ตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าวคือ: 1 4 1 - 5 · บันทึก 2 3 หรือ บันทึก 3 27 9 + 5 (1 - บันทึก 3 5) · บันทึก 5 3 การแปลงนิพจน์ดังกล่าวดำเนินการโดยใช้แนวทางและคุณสมบัติของลอการิทึมที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเราได้พูดคุยกันโดยละเอียดในหัวข้อ "การแปลงนิพจน์ลอการิทึม"

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แนวคิดเรื่องปริญญาทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในชั้นเรียนพีชคณิต และต่อมาตลอดหลักสูตรการศึกษาคณิตศาสตร์แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในรูปแบบต่างๆ องศาเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างยากซึ่งต้องจดจำค่าและความสามารถในการนับอย่างถูกต้องและรวดเร็ว เพื่อให้ทำงานกับปริญญาได้เร็วและดีขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงได้คุณสมบัติปริญญาขึ้นมา ช่วยลดการคำนวณจำนวนมาก แปลงตัวอย่างใหญ่ ๆ ให้เป็นตัวเลขตัวเดียวได้ในระดับหนึ่ง มีคุณสมบัติไม่มากนัก และทั้งหมดง่ายต่อการจดจำและนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นบทความนี้จะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของปริญญารวมถึงตำแหน่งที่จะนำไปใช้

คุณสมบัติของปริญญา

เราจะดูคุณสมบัติขององศาทั้ง 12 แบบ รวมถึงคุณสมบัติขององศาที่มีฐานเดียวกันด้วย และยกตัวอย่างคุณสมบัติแต่ละอย่าง คุณสมบัติแต่ละอย่างเหล่านี้จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาด้วยองศาได้เร็วขึ้น และยังช่วยให้คุณประหยัดจากข้อผิดพลาดในการคำนวณอีกมากมายอีกด้วย

คุณสมบัติที่ 1

หลายๆ คนมักลืมคุณสมบัตินี้และทำผิดพลาด โดยแสดงตัวเลขยกกำลังเป็นศูนย์

ทรัพย์สินที่ 2.

ทรัพย์สินที่ 3.

ต้องจำไว้ว่าคุณสมบัตินี้สามารถใช้ได้เมื่อคูณตัวเลขเท่านั้น ใช้กับผลรวมไม่ได้! และเราต้องไม่ลืมว่าคุณสมบัตินี้และคุณสมบัติต่อไปนี้ใช้เฉพาะกับกำลังที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณสมบัติที่ 4.

หากตัวเลขในตัวส่วนถูกยกกำลังเป็นลบ จากนั้นเมื่อลบออก ระดับของตัวส่วนจะถูกใส่ในวงเล็บเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างถูกต้องในการคำนวณเพิ่มเติม

คุณสมบัติใช้งานได้เฉพาะเมื่อหารเท่านั้น ไม่สามารถใช้เมื่อลบ!

ทรัพย์สินที่ 5.

ทรัพย์สินที่ 6.

คุณสมบัตินี้สามารถนำไปใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้ หน่วยที่หารด้วยตัวเลขในระดับหนึ่งก็คือตัวเลขนั้นยกกำลังลบ

ทรัพย์สินที่ 7.

คุณสมบัตินี้ไม่สามารถใช้กับผลรวมและส่วนต่างได้! การเพิ่มผลรวมหรือส่วนต่างให้เป็นกำลังใช้สูตรการคูณแบบย่อ แทนที่จะเป็นคุณสมบัติกำลัง

ทรัพย์สินที่ 8.

ทรัพย์สินที่ 9.

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับกำลังเศษส่วนใดๆ ที่มีตัวเศษเท่ากับ 1 สูตรจะเหมือนกัน เฉพาะกำลังของรากเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับตัวส่วนของกำลัง

คุณสมบัตินี้มักใช้ในทางกลับกัน รากของยกกำลังใดๆ ของตัวเลขสามารถแสดงเป็นจำนวนนี้ยกกำลังหนึ่งหารด้วยยกกำลังของราก คุณสมบัตินี้มีประโยชน์มากในกรณีที่ไม่สามารถแยกรากของตัวเลขได้

ทรัพย์สินที่ 10.

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับรากที่สองและกำลังสองเท่านั้น ถ้าระดับของรากและระดับของรากนี้ที่ยกขึ้นตรงกัน คำตอบจะเป็นการแสดงออกถึงราก

ทรัพย์สินที่ 11.

คุณต้องสามารถเห็นคุณสมบัตินี้ได้ทันเวลาเมื่อทำการแก้ไขเพื่อช่วยตัวเองจากการคำนวณจำนวนมาก

ทรัพย์สินที่ 12.

แต่ละคุณสมบัติเหล่านี้จะเจอคุณมากกว่าหนึ่งครั้งในงาน โดยสามารถให้มาในรูปแบบที่บริสุทธิ์ได้ หรืออาจต้องมีการแปลงบางอย่างและใช้สูตรอื่น ดังนั้น เพื่อการตัดสินใจที่ถูกต้อง การรู้แต่คุณสมบัติอย่างเดียวไม่พอ ต้องฝึกฝนและนำความรู้ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ มาใช้ด้วย

การประยุกต์ปริญญาและคุณสมบัติ

มีการใช้อย่างแข็งขันในพีชคณิตและเรขาคณิต องศาในวิชาคณิตศาสตร์มีสถานที่สำคัญแยกต่างหาก ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการได้รับการแก้ไข และสมการและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ มักจะซับซ้อนด้วยกำลัง อำนาจช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณจำนวนมากและยาว อำนาจจะง่ายต่อการย่อและคำนวณ แต่ในการทำงานกับพลังขนาดใหญ่หรือพลังจำนวนมาก คุณจำเป็นต้องรู้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของพลังเท่านั้น แต่ยังต้องทำงานกับฐานอย่างเชี่ยวชาญด้วยเพื่อให้สามารถขยายพวกมันเพื่อทำให้งานของคุณง่ายขึ้น เพื่อความสะดวกคุณควรทราบความหมายของตัวเลขที่ยกกำลังด้วย วิธีนี้จะช่วยลดเวลาในการแก้ไข ไม่จำเป็นต้องคำนวณเป็นเวลานาน

แนวคิดเรื่องดีกรีมีบทบาทพิเศษในลอการิทึม เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วลอการิทึมคือกำลังของตัวเลข

สูตรคูณแบบย่อเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้กำลัง ไม่สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้ แต่จะขยายตามกฎพิเศษ แต่ในแต่ละสูตรของการคูณแบบย่อจะมีองศาคงที่

องศายังถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในวิชาฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การแปลงเป็นระบบ SI ทั้งหมดเกิดขึ้นโดยใช้กำลัง และในอนาคต เมื่อแก้ไขปัญหา คุณสมบัติของกำลังจะถูกใช้ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีการใช้กำลังสองอย่างแข็งขันเพื่อความสะดวกในการนับและทำให้การรับรู้ตัวเลขง่ายขึ้น การคำนวณเพิ่มเติมสำหรับการแปลงหน่วยการวัดหรือการคำนวณปัญหา เช่นเดียวกับในฟิสิกส์ เกิดขึ้นโดยใช้คุณสมบัติขององศา

องศายังมีประโยชน์อย่างมากในดาราศาสตร์ โดยที่คุณไม่ค่อยเห็นการใช้คุณสมบัติขององศา แต่องศานั้นกลับถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันเพื่อทำให้สัญลักษณ์ของปริมาณและระยะทางต่างๆ สั้นลง

องศายังใช้ในชีวิตประจำวันเมื่อคำนวณพื้นที่ ปริมาตร และระยะทาง

องศาใช้ในการบันทึกปริมาณมากและน้อยมากในสาขาวิทยาศาสตร์ใดๆ

สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คุณสมบัติขององศาครอบครองสถานที่พิเศษอย่างแม่นยำในสมการเลขชี้กำลังและอสมการ งานเหล่านี้เป็นเรื่องปกติมาก ทั้งในหลักสูตรของโรงเรียนและในการสอบ ทั้งหมดนี้แก้ไขได้โดยการนำคุณสมบัติของดีกรีไปใช้ สิ่งที่ไม่ทราบนั้นมักจะพบได้ในระดับนั้น ดังนั้นการรู้คุณสมบัติทั้งหมด การแก้สมการหรืออสมการดังกล่าวจึงไม่ใช่เรื่องยาก

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
คู่มือตำราเรียน Yu.N. คู่มือ Makarycheva สำหรับตำราเรียนโดย A.G. มอร์ดโควิช

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เรียนรู้การดำเนินการด้วยพลังของตัวเลข

ก่อนอื่น เรามาจำแนวคิดเรื่อง "พลังแห่งตัวเลข" กันก่อน นิพจน์ในรูปแบบ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ สามารถแสดงเป็น $a^n$

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า "การบันทึกระดับเป็นผลิตภัณฑ์" มันจะช่วยให้เรากำหนดวิธีคูณและแบ่งอำนาจ
จดจำ:
ก– พื้นฐานของปริญญา
n– เลขชี้กำลัง
ถ้า n=1ซึ่งหมายถึงตัวเลข กใช้เวลาหนึ่งครั้งและตามลำดับ: $a^n= 1$
ถ้า n= 0จากนั้น $a^0= 1$

เราจะรู้ได้ว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์นี้ขึ้นเมื่อเราทำความคุ้นเคยกับกฎของการคูณและการหารยกกำลัง

กฎการคูณ

ตัวอย่าง.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

คุณสมบัตินี้สะดวกในการใช้เพื่อทำให้งานง่ายขึ้นเมื่อเพิ่มตัวเลขให้มีกำลังสูงขึ้น
ตัวอย่าง.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) ถ้าองศาที่มีฐานต่างกันแต่มีเลขยกกำลังเท่ากัน
ในการรับ $a^n * b^n$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(ม.)$.
หากเราสลับตัวประกอบและนับคู่ผลลัพธ์ เราจะได้: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

ดังนั้น $a^n * b^n= (a * b)^n$

ตัวอย่าง.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

กฎการแบ่ง

ดังนั้นเราจึงต้องการ $\frac(a^n)(a^m)$, ที่ไหน น>ม.

ลองเขียนองศาเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

ทีนี้มาลดเศษส่วนกัน.

ปรากฎว่า: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$
วิธี, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

คุณสมบัตินี้จะช่วยอธิบายสถานการณ์โดยการเพิ่มตัวเลขเป็นศูนย์ สมมุติว่า n=มจากนั้น $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$

ตัวอย่าง.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) ฐานของระดับนั้นแตกต่างกันตัวบ่งชี้จะเหมือนกัน
สมมติว่า $\frac(a^n)( b^n)$ เป็นสิ่งจำเป็น เขียนยกกำลังของตัวเลขเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

ตัวอย่าง.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$

ลักษณะสำคัญอย่างหนึ่งในพีชคณิตและในคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็คือปริญญา แน่นอนว่าในศตวรรษที่ 21 การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์ แต่การพัฒนาสมองจะดีกว่าหากเรียนรู้วิธีทำด้วยตัวเอง

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาประเด็นที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับคำจำกัดความนี้ กล่าวคือ มาทำความเข้าใจกันดีกว่าว่ามันคืออะไรโดยทั่วไป และหน้าที่หลักของมันคืออะไร มีคุณสมบัติใดบ้างในคณิตศาสตร์

เรามาดูตัวอย่างว่าการคำนวณมีลักษณะอย่างไรและมีสูตรพื้นฐานอะไรบ้าง มาดูประเภทปริมาณหลักๆ และความแตกต่างจากฟังก์ชันอื่นๆ กัน

ให้เราเข้าใจวิธีแก้ปัญหาต่าง ๆ โดยใช้ปริมาณนี้ เราจะแสดงพร้อมตัวอย่างวิธีการยกกำลังเป็นศูนย์ การไม่มีเหตุผล ลบ ฯลฯ

เครื่องคำนวณเลขยกกำลังออนไลน์

เลขยกกำลังคืออะไร

นิพจน์ "ยกกำลังจำนวน" หมายถึงอะไร?

กำลัง n ของจำนวนเป็นผลคูณของปัจจัยที่มีขนาด n ครั้งติดต่อกัน

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่านี้:

n = a * a * a * …a n

ตัวอย่างเช่น:

• 2 3 = 2 ในระดับที่สาม = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 เพื่อก้าว สอง = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 ก้าว สี่ = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 ใน 5 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100,000;
• 10 4 = 10 ใน 4 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000

ด้านล่างเป็นตารางสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ตั้งแต่ 1 ถึง 10

ตารางองศาตั้งแต่ 1 ถึง 10

ด้านล่างนี้คือผลลัพธ์ของการเพิ่มจำนวนธรรมชาติเป็นค่าบวก - “ตั้งแต่ 1 ถึง 100”

คุณสมบัติขององศา

คุณลักษณะของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวคืออะไร? มาดูคุณสมบัติพื้นฐานกัน

นักวิทยาศาสตร์ได้กำหนดไว้ดังต่อไปนี้ ลักษณะสัญญาณของทุกองศา:

• n * a m = (a) (n+m) ;
• n: a m = (a) (n-m) ;
• (ก) ม. =(ก) (ข*ม.) .

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32 ในทางกลับกัน 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32

ในทำนองเดียวกัน: 2 3: 2 2 = 8/4 =2 มิฉะนั้น 2 3-2 = 2 1 =2

(2 3) 2 = 8 2 = 64 จะเป็นอย่างไรหากแตกต่าง? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64

อย่างที่คุณเห็นกฎทำงาน

แต่แล้วยังไงล่ะ ด้วยการบวกและการลบ? มันง่ายมาก การยกกำลังจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ

ลองดูตัวอย่าง:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16 โปรดทราบ: กฎจะไม่ถือเป็นผลหากคุณลบออกก่อน: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4

แต่ในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณการบวกก่อน เนื่องจากมีการดำเนินการในวงเล็บ: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512

วิธีการผลิต การคำนวณในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น? คำสั่งซื้อเหมือนกัน:

• หากมีวงเล็บเหลี่ยมคุณต้องเริ่มต้นด้วยวงเล็บเหล่านั้น
• แล้วยกกำลัง;
• จากนั้นจึงดำเนินการการคูณและการหาร
• หลังจากบวกลบ

มีคุณสมบัติเฉพาะที่ไม่มีลักษณะเฉพาะของทุกองศา:

1. รากที่ n ของตัวเลข a ถึงระดับ m จะถูกเขียนเป็น: a m / n
2. เมื่อเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลัง: ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะต้องปฏิบัติตามขั้นตอนนี้
3. เมื่อยกผลคูณของจำนวนต่างๆ ยกกำลัง นิพจน์จะสอดคล้องกับผลคูณของจำนวนเหล่านี้ด้วยกำลังที่กำหนด นั่นคือ: (a * b) n = a n * bn
4. เมื่อเพิ่มจำนวนเป็นลบ คุณต้องหาร 1 ด้วยตัวเลขในศตวรรษเดียวกัน แต่มีเครื่องหมาย "+"
5. หากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นกำลังลบ นิพจน์นี้จะเท่ากับผลคูณของตัวเศษและตัวส่วนเป็นกำลังบวก
6. จำนวนใดๆ ยกกำลัง 0 = 1 และยกกำลัง 1 = เพื่อตัวคุณเอง

กฎเหล่านี้มีความสำคัญในบางกรณี เราจะพิจารณากฎเหล่านี้โดยละเอียดด้านล่าง

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

จะทำอย่างไรกับระดับลบ เช่น เมื่อตัวบ่งชี้เป็นลบ?

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 4 และ 5(ดูจุดด้านบน) ปรากฎว่า:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25

และในทางกลับกัน:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8

เกิดอะไรขึ้นถ้ามันเป็นเศษส่วน?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นระดับที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับจำนวนเต็ม

สิ่งที่ต้องจำ:

0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ฯลฯ

ก 1 = ก, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ฯลฯ

นอกจากนี้ หาก (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมาย “+” หากจำนวนลบยกกำลังคี่ ก็จะกลับกัน

คุณสมบัติทั่วไปและคุณสมบัติเฉพาะทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นก็เป็นลักษณะเฉพาะเช่นกัน

ระดับเศษส่วน

ประเภทนี้สามารถเขียนเป็นรูปแบบ: A m / n อ่านว่า: รากที่ n ของเลข A ยกกำลัง m

คุณสามารถทำอะไรก็ได้ที่คุณต้องการด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน เช่น ลดขนาด แบ่งออกเป็นส่วน ๆ เพิ่มเป็นกำลังอื่น ฯลฯ

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ให้ α เป็นจำนวนอตรรกยะ และ A ˃ 0

เพื่อทำความเข้าใจแก่นแท้ของปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ดังกล่าว ลองดูกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้:

• A = 1 ผลลัพธ์จะเท่ากับ 1 เนื่องจากมีสัจพจน์ - 1 ในทุกกำลังมีค่าเท่ากับหนึ่ง

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – จำนวนตรรกยะ;

• 0˂А˂1.

ในกรณีนี้ เป็นอีกทางหนึ่ง: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับในย่อหน้าที่สอง

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังคือตัวเลข πมันมีเหตุผล

r 1 – ในกรณีนี้เท่ากับ 3;

r 2 – จะเท่ากับ 4

จากนั้น สำหรับ A = 1, 1 π = 1

A = 2 แล้วก็ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16

A = 1/2 จากนั้น (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8

องศาดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติเฉพาะที่อธิบายไว้ข้างต้น

บทสรุป

สรุป - ปริมาณเหล่านี้จำเป็นสำหรับอะไร ข้อดีของฟังก์ชันดังกล่าวคืออะไร? แน่นอนว่าก่อนอื่น พวกเขาทำให้ชีวิตของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ง่ายขึ้นเมื่อแก้ไขตัวอย่าง เนื่องจากช่วยให้พวกเขาสามารถลดการคำนวณ ลดขั้นตอนอัลกอริธึม จัดระบบข้อมูล และอื่นๆ อีกมากมาย

ความรู้นี้จะมีประโยชน์ที่ไหนอีก? ในการทำงานเฉพาะด้าน: การแพทย์ เภสัชวิทยา ทันตกรรม การก่อสร้าง เทคโนโลยี วิศวกรรม การออกแบบ ฯลฯ

นิพจน์การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางอำนาจ (การแสดงออกด้วยพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ที่มีพลัง อันดับแรก เราจะเน้นที่การแปลงที่ดำเนินการด้วยนิพจน์ใดๆ รวมถึงนิพจน์ที่ยกกำลัง เช่น วงเล็บเปิดและการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ เช่น การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง โดยใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

คำว่า "การแสดงออกถึงอำนาจ" ในทางปฏิบัติไม่ปรากฏในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ปรากฏค่อนข้างบ่อยในคอลเลกชันของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีไว้สำหรับการเตรียมสอบ Unified State และ Unified State Exam เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นในการดำเนินการใดๆ ด้วยการแสดงออกถึงอำนาจ จะเห็นได้ชัดว่าการแสดงออกถึงอำนาจนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงออกที่มีพลังในรายการของพวกเขา ดังนั้น คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ด้วยตนเอง:

คำนิยาม.

การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีองศา

ให้กันเถอะ ตัวอย่างการแสดงออกถึงอำนาจ. นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตามพัฒนาการของมุมมองจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติไปจนถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงเกิดขึ้นได้อย่างไร

ดังที่ทราบกันดี อันดับแรกจะทำความคุ้นเคยกับกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นตอนนี้ นิพจน์กำลังที่ง่ายที่สุดประเภทแรกคือ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ปรากฏ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นาน จะมีการศึกษากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์กำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

ในโรงเรียนมัธยมปลายพวกเขากลับไปสู่ระดับปริญญา มีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะซึ่งนำมาซึ่งรูปลักษณ์ของการแสดงออกทางอำนาจที่สอดคล้องกัน: , และอื่น ๆ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและนิพจน์ที่มีพวกมันจะได้รับการพิจารณา: , .

เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่ที่นิพจน์ยกกำลังที่ระบุไว้: ตัวแปรจะแทรกเข้าไปในเลขชี้กำลังเพิ่มเติม และตัวอย่าง นิพจน์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: 2 x 2 +1 หรือ . และหลังจากทำความคุ้นเคยแล้ว สำนวนที่มีพลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏให้เห็น เช่น x 2·lgx −5·x lgx

ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจหมายถึงอะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้ที่จะแปลงพวกเขา

การแปลงรูปแบบหลักของการแสดงออกทางอำนาจ

ด้วยนิพจน์กำลัง คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานของนิพจน์ใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่คล้ายกัน เป็นต้น โดยปกติแล้วจำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับในการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

คำนวณค่านิพจน์ยกกำลัง 2 3 ·(4 2 −12)

ตามลำดับการดำเนินการ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน อันดับแรกเราแทนที่กำลัง 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) และประการที่สองเราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 เรามี 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลัง 2 3 ด้วยค่าของมันคือ 8 หลังจากนั้นเราคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

2 3 ·(4 2 −12)=32.

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลัง 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

แน่นอนว่า สำนวนนี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3·a 4 ·b −7 และ 2·a 4 ·b −7 และเราสามารถนำเสนอได้:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

คุณสามารถรับมือกับงานได้โดยแสดงเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสอง:

นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

มีองศาหลายระดับที่ฐานและ/หรือเลขชี้กำลังไม่ได้เป็นเพียงตัวเลขหรือตัวแปร แต่ยังมีบางนิพจน์ด้วย ตามตัวอย่าง เราใส่ค่า (2+0.3·7) 5−3.7 และ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของดีกรีและนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันใน ODZ ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เราทราบ เราสามารถแยกการแปลงฐานของดีกรีและแยกเลขยกกำลังออกจากกัน เป็นที่ชัดเจนว่าจากการเปลี่ยนแปลงนี้ จะได้รับการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่นๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลังที่กล่าวถึงข้างต้น (2+0.3 7) 5−3.7 คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลังได้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถเลื่อนไปยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ที่ฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังของรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+ 1) .

การใช้คุณสมบัติปริญญา

หนึ่งในเครื่องมือหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมและการไตร่ตรอง ให้เราจำหลักๆ สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนจริงใดๆ r และ s ใดๆ คุณสมบัติของกำลังต่อไปนี้จะเป็นจริง:

• r ·a s = r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ก·ข) r = ร ร ·ข r ;
• (มี:ข) ร =มี ร:b ร ;
• (มี r) s = มี r·s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดมากนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับบวก a เท่านั้น แต่ยังสำหรับลบ a และสำหรับ a=0 ด้วย

ที่โรงเรียน จุดสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกทางอำนาจคือความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานของกำลัง - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นโดยที่ฐานจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้นซึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของกำลังได้อย่างอิสระ . โดยทั่วไปคุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าในกรณีนี้เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาใด ๆ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่การลดคุณค่าทางการศึกษาและปัญหาอื่น ๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

เขียนนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยใช้คุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. การแสดงออกยกกำลังดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 แน่นอนว่าเรายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกันอยู่
ก 2.5 ·ก −6:a −5.5 =
ก 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2

คุณสมบัติของพลังเมื่อแปลงนิพจน์พลังจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ค้นหาค่าของการแสดงออกยกกำลัง

ความเท่าเทียมกัน (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้เราสามารถย้ายจากนิพจน์ดั้งเดิมไปยังผลคูณของแบบฟอร์มและเพิ่มเติมได้ และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเป็น: .

เป็นไปได้ที่จะแปลงการแสดงออกดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

.

เมื่อพิจารณานิพจน์ยกกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้แนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5

องศา a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับถึงดีกรี (a r) s = a r s เมื่อประยุกต์จากขวาไปซ้าย ให้แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 ดังนั้น, ก 1.5 −ก 0.5 −6=(ก 0.5) 3 −ก 0.5 −6. ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีหรือแสดงเศษส่วนด้วยกำลังได้ การแปลงเศษส่วนขั้นพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนชนิดใดก็ตามสามารถนำไปใช้กับเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือเศษส่วนที่มีกำลังสามารถลดลง ลดเหลือตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันโดยมีตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่ออธิบายคำเหล่านี้ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

การแสดงออกยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน มาทำงานกับทั้งเศษและส่วนของมันกันดีกว่า. ในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลังและในตัวส่วนเราจะนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และลองเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

.

การลดเศษส่วนที่มีพลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้ตัวส่วนใหม่ ในกรณีนี้ จะพบปัจจัยเพิ่มเติมและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดตัวส่วนใหม่อาจทำให้ VA แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) เป็นตัวส่วน a, b) ถึงตัวส่วน

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทราบว่าตัวคูณเพิ่มเติมตัวใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวคูณของ 0.3 เนื่องจาก 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a (นี่คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) กำลังของ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและส่วนของค่าที่กำหนด เศษส่วนตามปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อพิจารณาตัวส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น คุณจะพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้จะให้ผลรวมของลูกบาศก์ และนั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบตัวคูณเพิ่มเติม ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x และ y นิพจน์จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:

ก) , ข) .

นอกจากนี้ยังไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีพลัง: ตัวเศษและส่วนจะแสดงเป็นจำนวนตัวประกอบ และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ลดเศษส่วน: ก) , ข) .

ก) ประการแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดลง x 0.5 +1 และทีละ . นี่คือสิ่งที่เรามี:

b) ในกรณีนี้ จะไม่เห็นตัวประกอบในตัวเศษและส่วนที่เหมือนกันในทันที เพื่อให้ได้มาคุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ ประกอบด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

ก)

ข) .

การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และเศษส่วนตัวลดมักใช้ในการทำเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นตัวเศษจะถูกบวก (ลบ) แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยการผกผัน

ทำตามขั้นตอน .

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำสิ่งนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วมซึ่งก็คือ หลังจากนั้นเราก็ลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะลดลงยกกำลัง x 1/2 หลังจากนั้นเราก็ได้ .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

แน่นอนว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งจะได้เศษส่วน . เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ X เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้เป็นผลคูณ นี่ทำให้เรามีโอกาสที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: . และในตอนท้ายของกระบวนการ เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน.

.

และให้เราเพิ่มเติมด้วยว่าเป็นไปได้ และในหลายกรณี เป็นเรื่องที่พึงประสงค์ในการโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน หรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษ โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น การแสดงออกถึงกำลังสามารถถูกแทนที่ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

บ่อยครั้ง ในนิพจน์ที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางอย่าง รากที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนก็ปรากฏพร้อมกับยกกำลังด้วย หากต้องการแปลงการแสดงออกให้เป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ไปที่รากหรือเฉพาะพลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับพลัง พวกเขาจึงมักจะย้ายจากรากไปสู่พลัง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้แล้ว การเปลี่ยนบทความจากรากไปสู่พลังและด้านหลังหลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้วจะมีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจ ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนเริ่ม ศึกษา ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยยกกำลัง ฐานเป็นตัวเลข และเลขยกกำลังเป็นตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขอยู่ในฐานของกำลังและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจะเกิดขึ้น

ควรจะกล่าวว่าเมื่อทำการแก้ไขจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม พวกมันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริญญาและมีเป้าหมายส่วนใหญ่ในการแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคต สมการจะทำให้เราสามารถสาธิตพวกมันได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ประการแรก กำลังซึ่งอยู่ในเลขยกกำลังซึ่งเป็นผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ต่อไปความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งใน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้เราไม่ได้ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ตามมาด้วยพลัง ):

ตอนนี้เราสามารถหักล้างเศษส่วนด้วยยกกำลังซึ่งให้ได้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยพลังของความสัมพันธ์ ส่งผลให้เกิดสมการ ซึ่งเทียบเท่ากัน . การแปลงที่ทำขึ้นทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะลดคำตอบของสมการเลขชี้กำลังเดิมลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

ส่วน:คณิตศาสตร์

ประเภทบทเรียน:บทเรียนเรื่องลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้

เป้าหมาย:

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ การนำเสนอ "องศา" สำหรับการคำนวณทางจิต บัตรงาน เอกสารประกอบคำบรรยาย

แผนการเรียน:

ในระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

สื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ในบทเรียนก่อนหน้านี้ คุณได้ค้นพบโลกแห่งพลังมหัศจรรย์ เรียนรู้วิธีคูณและแบ่งอำนาจ และยกระดับพลังเหล่านั้น วันนี้เราต้องรวบรวมความรู้ที่ได้รับโดยการแก้ตัวอย่าง

ครั้งที่สอง การทำซ้ำกฎเกณฑ์(ปากเปล่า)

1. ให้คำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ? (กำลังของจำนวน กที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมากกว่า 1 เรียกว่าผลคูณ nปัจจัยแต่ละอย่างเท่าเทียมกัน ก.)
2. จะคูณสองกำลังได้อย่างไร? (ในการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน คุณต้องปล่อยให้ฐานเท่าเดิมและเพิ่มเลขยกกำลัง)
3. จะแบ่งปริญญาตามปริญญาได้อย่างไร? (ในการหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน คุณต้องปล่อยให้ฐานเท่าเดิมและลบเลขชี้กำลังออก)
4. ยกระดับสินค้าให้มาแรงได้อย่างไร? (ในการยกระดับผลิตภัณฑ์ให้เป็นกำลัง คุณต้องเพิ่มแต่ละปัจจัยให้เป็นกำลังนั้น)
5. จะเพิ่มระดับพลังได้อย่างไร? (หากต้องการยกกำลังเป็นกำลัง คุณต้องปล่อยฐานให้เท่าเดิมและคูณเลขยกกำลัง)

สาม. การนับวาจา(โดยมัลติมีเดีย)

IV. การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ปัญหาทั้งหมดมาจากกระดาษปาปิรัส Ahmes ซึ่งเขียนเมื่อประมาณ 1650 ปีก่อนคริสตกาล จ. ที่เกี่ยวข้องกับการปฏิบัติการก่อสร้าง การแบ่งเขตที่ดิน ฯลฯ งานจะถูกจัดกลุ่มตามหัวข้อ ปัญหาเหล่านี้ส่วนใหญ่เป็นปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และวงกลม การดำเนินการต่างๆ ด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน การหารตามสัดส่วน การหาอัตราส่วน นอกจากนี้ยังมีการยกกำลังที่แตกต่างกัน การแก้สมการระดับที่ 1 และ 2 โดยไม่ทราบค่าใดค่าหนึ่ง

ขาดคำอธิบายหรือหลักฐานใด ๆ โดยสิ้นเชิง ผลลัพธ์ที่ต้องการจะได้รับโดยตรงหรืออัลกอริทึมแบบสั้นสำหรับการคำนวณ วิธีการนำเสนอนี้ ซึ่งเป็นแบบฉบับของวิทยาศาสตร์ในประเทศตะวันออกโบราณ แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ในประเทศนั้นพัฒนาผ่านการสรุปและการคาดเดาที่ไม่ได้ก่อให้เกิดทฤษฎีทั่วไปใดๆ อย่างไรก็ตาม กระดาษปาปิรัสมีหลักฐานจำนวนหนึ่งที่แสดงว่านักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์รู้วิธีแยกรากและเพิ่มกำลัง แก้สมการ และแม้กระทั่งเชี่ยวชาญพื้นฐานพีชคณิต

V. ทำงานที่กระดาน

ค้นหาความหมายของสำนวนอย่างมีเหตุผล:

คำนวณค่าของนิพจน์:



วี. นาทีพลศึกษา

6. สำหรับดวงตา
7. สำหรับคอ
8. สำหรับมือ
9. สำหรับเนื้อตัว
10. สำหรับขา

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การแก้ปัญหา(พร้อมจอแสดงผลบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ)

รากของสมการเป็นจำนวนบวกหรือไม่?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

สูตรพลังและราก

สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:



การดำเนินงานที่มีองศา

1. โดยการคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกเพิ่ม:

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:



3. ระดับของผลคูณของ 2 ปัจจัยขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

การดำเนินการที่มีราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:



3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรากเป็นกำลังนี้:



4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลังเป็นเลขราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:



5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:



กำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่บวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นเลขยกกำลังของจำนวนเดียวกันโดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่บวก:



สูตร เช้า :a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม > nแต่ยังมี ม 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

ให้เป็นสูตร เช้า :a n =a ม - nกลายเป็นเรื่องยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

เพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก n-ปริญญาจาก ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก:



สูตรปริญญา

6. ก - n = - การแบ่งองศา

7. - การแบ่งองศา

8. ก 1/น = ;

องศาของกฎการดำเนินการกับองศา

1. ระดับของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้ (ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน):

(abc…) n = a n b n c n …

ตัวอย่างที่ 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600 ตัวอย่างที่ 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x - a)] 3 =( x +ก) 3 (x - ก) 3

ในทางปฏิบัติ การแปลงแบบย้อนกลับมีความสำคัญมากกว่า:

a n b n c n … = (abc…) n

เหล่านั้น. ผลคูณของกำลังเท่ากันของปริมาณหลาย ๆ ปริมาณจะเท่ากับกำลังเท่ากันของผลิตภัณฑ์ของปริมาณเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างที่ 4 (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. กำลังของผลหาร (เศษส่วน) เท่ากับผลหารของการหารกำลังเท่ากันของตัวหารด้วยกำลังเท่ากัน:

ตัวอย่างที่ 5 ตัวอย่างที่ 6

การแปลงย้อนกลับ:. ตัวอย่างที่ 7 . ตัวอย่างที่ 8 .

3. เมื่อคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังขององศาจะถูกบวก:

ตัวอย่างที่ 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128 ตัวอย่างที่ 10. (ก – 4c +x) 2 (ก – 4c +x) 3 =(ก – 4c + x) 5

4. เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกันให้ลบเลขชี้กำลังของตัวหารออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

ตัวอย่างที่ 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. ตัวอย่างที่ 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y

5. เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

ตัวอย่างที่ 13. (2 3) 2 =2 6 =64. ตัวอย่างที่ 14

www.maths.yfa1.ru

พลังและราก

ปฏิบัติการที่มีอำนาจและราก องศาที่มีลบ ,

ศูนย์และเศษส่วน ตัวบ่งชี้ เกี่ยวกับสำนวนที่ไม่มีความหมาย

การดำเนินงานที่มีองศา

1. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกบวก:

เช้า · n = a m + n .

2. เมื่อทำการหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมัน จะถูกหักออก .



3. ระดับของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้

4. ระดับของอัตราส่วน (เศษส่วน) เท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผล (ตัวเศษ) และตัวหาร (ตัวส่วน):

(มี/ข) n = ก n / ข n .

5. เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง เลขยกกำลังจะถูกคูณ:

สูตรข้างต้นทั้งหมดอ่านและดำเนินการทั้งสองทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่าง (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4 .

การดำเนินการที่มีราก ในสูตรด้านล่างทั้งหมด สัญลักษณ์หมายถึง รากเลขคณิต(การแสดงออกที่รุนแรงเป็นบวก)

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของรากของเงินปันผลและตัวหาร:



3. เมื่อยกรากเป็นพลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มพลังนี้ เลขฐาน:



4. หากคุณเพิ่มระดับของรูทเป็น m ครั้งและในเวลาเดียวกันก็เพิ่มเลขรากเป็นกำลัง m ค่าของรูตจะไม่เปลี่ยนแปลง:



5. หากคุณลดระดับของรูตลง m ครั้งและแยกราก m ของจำนวนรากพร้อมกัน ค่าของรูตจะไม่เปลี่ยนแปลง:





การขยายแนวคิดเรื่องปริญญา จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาองศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น แต่การดำเนินการที่มีพลังและรากก็สามารถนำไปสู่ได้เช่นกัน เชิงลบ, ศูนย์และ เศษส่วนตัวชี้วัด เลขชี้กำลังทั้งหมดนี้จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเพิ่มเติม

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังลบ:



ตอนนี้สูตร เช้า : หนึ่ง = เป็น ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม, มากกว่า nแต่ยังมี ม, น้อยกว่า n .

ตัวอย่าง ก 4: ก 7 =ก 4 - 7 =ก - 3 .

หากเราต้องการสูตร เช้า : หนึ่ง = เช้า - nยุติธรรมเมื่อใด ม. = นเราต้องการคำจำกัดความของดีกรี 0

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์ กำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังเป็น 1

ตัวอย่าง. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน ในการเพิ่มจำนวนจริง a ยกกำลัง m / n คุณต้องแยกรากที่ n ของกำลัง m ของจำนวน a นี้:



เกี่ยวกับสำนวนที่ไม่มีความหมาย มีสำนวนดังกล่าวหลายประการ

ที่ไหน ก ≠ 0 , ไม่ได้อยู่.

จริงๆ แล้วถ้าเราสมมุติว่า xเป็นจำนวนที่แน่นอน ดังนั้นตามคำจำกัดความของการดำเนินการหารเรามี: ก = 0· x, เช่น. ก= 0 ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข: ก ≠ 0

- หมายเลขใดก็ได้

อันที่จริง ถ้าเราสมมุติว่าพจน์นี้เท่ากับเลขจำนวนหนึ่ง xจากนั้นตามคำจำกัดความของการดำเนินการหารเรามี: 0 = 0 · x. แต่ความเท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นเมื่อ จำนวน x ใดๆซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

0 0 - หมายเลขใดก็ได้



วิธีแก้ปัญหา ลองพิจารณาสามกรณีหลัก:

1) x = 0 – ค่านี้ไม่เป็นไปตามสมการนี้

2) เมื่อใด x> 0 เราได้รับ: เอ็กซ์/เอ็กซ์= 1 เช่น 1 = 1 ซึ่งหมายความว่า

อะไร x– หมายเลขใด ๆ แต่คำนึงถึงว่าใน

ในกรณีของเรา x> 0 คำตอบคือ x > 0 ;

คุณสมบัติของปริญญา

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราจะเข้าใจ คุณสมบัติขององศาโดยมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติและเป็นศูนย์ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะและคุณสมบัติของพวกมันจะพูดคุยกันในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง

คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขยกกำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน

a m · a n = a m + n โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย

• ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  ข 2 ข 3 ข 4 ข 5 = ข 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ข 15
• นำเสนอเป็นปริญญา
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• นำเสนอเป็นปริญญา
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงเฉพาะการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น. มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน

เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

• เขียนผลหารเป็นกำลัง
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• คำนวณ.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4

คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 5ม. + 6 + ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 − 4ม. − 3 = 4 2ม. + 5

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

2 11 − 5 = 2 6 = 64

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณไม่สามารถแทนที่ผลต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 ได้ เรื่องนี้เข้าใจได้ถ้าคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

คุณสมบัติหมายเลข 3
การยกระดับไปสู่อำนาจ

เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

(a n) m = a n · m โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

โดยคุณสมบัติในการยกระดับอำนาจขึ้นเป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ ซึ่งหมายความว่า:

คุณสมบัติ 4
พลังของผลิตภัณฑ์

เมื่อกำลังเพิ่มขึ้นเป็นกำลังของผลิตภัณฑ์ แต่ละปัจจัยจะเพิ่มขึ้นตามกำลังนั้น และผลลัพธ์ก็จะถูกคูณ

(a b) n = a nb n โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

• ตัวอย่างที่ 1
  (6 ก 2 ข 3 ค) 2 = 6 2 ก 2 2 ข 3 2 ค 1 2 = 36 ก 4 ข 6 ค 2
• ตัวอย่างที่ 2
  (−x 2 ปี) 6 = ((−1) 6 x 2 6 ปี 1 6) = x 12 ปี 6

โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นขององศาก็ถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับเช่นกัน

(a n · b n)= (a · b) n

นั่นคือ ในการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขยกกำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานได้ แต่เลขยกกำลังไม่เปลี่ยนแปลง

• ตัวอย่าง. คำนวณ.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
• ตัวอย่าง. คำนวณ.
  0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราแนะนำให้คุณทำดังต่อไปนี้

เช่น 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ตัวอย่างการเพิ่มทศนิยมให้เป็นกำลัง

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

คุณสมบัติ 5
กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

หากต้องการเพิ่มผลหารยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกกันเป็นกำลังนี้ และหารผลลัพธ์แรกด้วยวินาที

(a: b) n = a n: bn โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

• ตัวอย่าง. นำเสนอนิพจน์เป็นผลหารของกำลัง.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

เราขอเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงหัวข้อการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังโดยละเอียดในหน้าถัดไป

ไปที่ช่อง YouTube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อติดตามบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด

ขั้นแรก เรามาจำสูตรพื้นฐานของกำลังและคุณสมบัติของพวกมันกันก่อน

ผลคูณของตัวเลข กเกิดขึ้นกับตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ได้เป็น a … a=a n

1. ก 0 = 1 (ก ≠ 0)

3. n a m = n + m

4. (ก) ม. = นาโนเมตร

5. ก n ข n = (ab) n

7. n / a m = n - m

สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง– นี่คือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

ในตัวอย่างนี้ เลข 6 คือฐาน โดยจะอยู่ด้านล่างเสมอและเป็นตัวแปร xระดับหรือตัวบ่งชี้

ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลแก้ได้อย่างไร?

ลองใช้สมการง่ายๆ:

2 x = 2 3

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แม้กระทั่งในหัวของคุณ จะเห็นได้ว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
มาดูวิธีตัดสินใจอย่างเป็นทางการ:

2 x = 2 3
x = 3

เพื่อที่จะแก้สมการดังกล่าว เราได้ลบออก บริเวณที่เหมือนกัน(นั่นคือสอง) แล้วจดสิ่งที่เหลืออยู่นี่คือองศา เราได้รับคำตอบที่เรากำลังมองหา

ตอนนี้ขอสรุปการตัดสินใจของเรา

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. จำเป็นต้องตรวจสอบ เหมือนว่าสมการนั้นมีฐานทางขวาและซ้ายหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาทางเลือกในการแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากฐานกลายเป็นเหมือนเดิมแล้ว เท่าเทียมกันองศาแล้วแก้สมการใหม่ที่ได้

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วน:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ

ฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งฐานและเทียบองศาของพวกมันได้

x+2=4 จะได้สมการที่ง่ายที่สุด
x=4 - 2
x=2
คำตอบ: x=2

ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน: 3 และ 9

3 3x - 9 x+8 = 0

ขั้นแรก เลื่อนเก้าไปทางด้านขวา เราจะได้:

ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2. ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm

3 3x = (3 2) x+8

เราได้ 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันและเท่ากับ 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละทิ้งพวกมันและเทียบองศาได้

3x=2x+16 เราได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x - 2x=16
x=16
คำตอบ: x=16

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานสองและสี่ และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน เราแปลงค่าทั้งสี่โดยใช้สูตร (a n) m = a nm

4 x = (2 2) x = 2 2x

และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

เพิ่มลงในสมการ:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่หมายเลข 10 และ 24 อื่น ๆ กวนใจเรา จะทำอย่างไรกับพวกเขา? หากคุณมองใกล้ๆ คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี 2 2x ซ้ำกัน และนี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บได้:

2 2x (2 4 - 10) = 24

ลองคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:

ลองนึกภาพ 4=2 2:

2 2x = 2 2 ฐานเท่ากัน เราทิ้งมันแล้วหาค่าองศามาเทียบกัน
2x = 2 เป็นสมการที่ง่ายที่สุด หารมันด้วย 2 แล้วเราได้
x = 1
คำตอบ: x = 1

มาแก้สมการกัน:

9 x – 12*3 x +27= 0

มาแปลงร่างกัน:
9 x = (3 2) x = 3 2x

เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ฐานของเราเท่ากัน คือ 3 ในตัวอย่างนี้ คุณจะเห็นว่า 3 ตัวแรกมีดีกรีเป็นสองเท่า (2x) มากกว่าฐานที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้คุณสามารถแก้ไขได้ วิธีการทดแทน. เราแทนที่ตัวเลขด้วยระดับที่น้อยที่สุด:

จากนั้น 3 2x = (3 x) 2 = เสื้อ 2

เราแทนที่กำลัง x ทั้งหมดในสมการด้วย t:

เสื้อ 2 - 12t+27 = 0
เราได้สมการกำลังสอง การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
ส=144-108=36
เสื้อ 1 = 9
เสื้อ2 = 3

กลับไปสู่ตัวแปร x.

ใช้เวลา 1:
เสื้อ 1 = 9 = 3 x

นั่นคือ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 = 2; x 2 = 1

บนเว็บไซต์คุณสามารถถามคำถามใดๆ ที่คุณอาจมีได้ในส่วน HELP DECIDE เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

เข้าร่วมกลุ่ม

ในบทความก่อนหน้านี้ เราได้อธิบายว่า monomials คืออะไร ในเนื้อหานี้เราจะดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหาที่ใช้ ที่นี่เราจะพิจารณาการกระทำต่างๆ เช่น การลบ การบวก การคูณ การหาร monomials และการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เราจะแสดงวิธีการกำหนดการดำเนินการดังกล่าวโดยร่างกฎพื้นฐานสำหรับการนำไปปฏิบัติและผลลัพธ์ที่ควรจะเป็น ตามปกติแนวคิดทางทฤษฎีทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่างปัญหาพร้อมคำอธิบายวิธีแก้ปัญหา

สะดวกที่สุดในการทำงานกับสัญกรณ์มาตรฐานของ monomials ดังนั้นเราจึงนำเสนอสำนวนทั้งหมดที่จะใช้ในบทความในรูปแบบมาตรฐาน หากแต่เดิมระบุไว้เป็นอย่างอื่น ขอแนะนำให้นำมาไว้ในแบบฟอร์มที่ยอมรับโดยทั่วไปก่อน

กฎสำหรับการบวกและการลบเอกพจน์

การดำเนินการที่ง่ายที่สุดที่สามารถทำได้ด้วย monomials คือการลบและการบวก โดยทั่วไป ผลลัพธ์ของการกระทำเหล่านี้จะเป็นพหุนาม (โมโนเมียลเป็นไปได้ในบางกรณีพิเศษ)

เมื่อเราบวกหรือลบ monomials อันดับแรกเราจะเขียนผลรวมและผลต่างที่สอดคล้องกันในรูปแบบที่ยอมรับโดยทั่วไป จากนั้นจึงทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น หากมีคำที่คล้ายกัน จะต้องอ้างอิงและเปิดวงเล็บ ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ทำการบวกโมโนเมียล − 3 x และ 2, 72 x 3 y 5 z

สารละลาย

ลองเขียนผลรวมของนิพจน์ดั้งเดิมลงไป. เพิ่มวงเล็บและใส่เครื่องหมายบวกระหว่างวงเล็บกัน เราจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 และ 5 z)

เมื่อเราขยายวงเล็บ เราจะได้ - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z นี่คือพหุนามที่เขียนในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งจะเป็นผลมาจากการบวก monomial เหล่านี้

คำตอบ:(− 3 x) + (2.72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2.72 x 3 y 5 z

หากเรามีเทอมสามหรือสี่เทอมขึ้นไป เราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:ดำเนินการที่ระบุด้วยพหุนามตามลำดับที่ถูกต้อง

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการเปิดวงเล็บ

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

เราเห็นว่านิพจน์ผลลัพธ์สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการเพิ่มคำที่คล้ายกัน:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

เรามีพหุนาม ซึ่งจะเป็นผลจากการกระทำนี้

คำตอบ: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

โดยหลักการแล้ว เราสามารถบวกและลบ monomial สองรายการได้ โดยขึ้นอยู่กับข้อจำกัดบางประการ เพื่อที่เราจะได้ monomial ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องตรงตามเงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับการบวกและการลบ monomials เราจะบอกคุณว่าทำอย่างไรในบทความแยกต่างหาก

กฎสำหรับการคูณ monomials

การคูณไม่ได้กำหนดข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับปัจจัย การคูณ monomial ไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมใดๆ เพื่อที่จะให้ผลลัพธ์เป็น monomial

ในการคูณ monomials คุณต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เขียนชิ้นส่วนให้ถูกต้อง
2. ขยายวงเล็บในนิพจน์ผลลัพธ์
3. หากเป็นไปได้ ให้จัดกลุ่มตัวประกอบที่มีตัวแปรเดียวกันและตัวประกอบตัวเลขแยกกัน
4. ดำเนินการที่จำเป็นกับตัวเลขและใช้คุณสมบัติของการคูณกำลังที่มีฐานเดียวกันกับตัวประกอบที่เหลือ

เรามาดูวิธีการปฏิบัตินี้กัน

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:คูณ monomials 2 x 4 y z และ - 7 16 t 2 x 2 z 11

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการเขียนงาน

เราเปิดวงเล็บในนั้นและรับสิ่งต่อไปนี้:

2 x 4 yz - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 ตัน 2 x 4 x 2 ปี z 3 z 11

สิ่งที่เราต้องทำคือคูณตัวเลขในวงเล็บแรกแล้วใช้สมบัติของกำลังกับวงเล็บที่สอง เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

2 - 7 16 ครั้ง 2 x 4 x 2 ปี z 3 z 11 = - 7 8 ครั้ง 2 x 4 + 2 ปี z 3 + 11 = = - 7 8 ครั้ง 2 x 6 ปี z 14

คำตอบ: 2 x 4 ปี z - 7 16 เสื้อ 2 x 2 z 11 = - 7 8 เสื้อ 2 x 6 ปี z 14 .

หากเงื่อนไขของเรามีพหุนามสามตัวขึ้นไป เราจะคูณพวกมันโดยใช้อัลกอริธึมเดียวกันทุกประการ เราจะพิจารณาประเด็นของการคูณ monomials อย่างละเอียดในเนื้อหาแยกต่างหาก

กฎเกณฑ์ในการยกระดับเอกราชขึ้นสู่อำนาจ

เรารู้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเป็นผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันจำนวนหนึ่ง หมายเลขของพวกเขาจะถูกระบุด้วยตัวเลขในตัวบ่งชี้ ตามคำจำกัดความนี้ การยก monomial ให้ยกกำลังจะเทียบเท่ากับการคูณจำนวน monomial ที่เหมือนกันที่ระบุ มาดูกันว่ามันทำอย่างไร

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:เพิ่ม monomial − 2 · a · b 4 ยกกำลัง 3

สารละลาย

เราสามารถแทนที่การยกกำลังด้วยการคูณ monomials 3 ตัว − 2 · a · b 4 ลองเขียนลงไปแล้วได้คำตอบที่ต้องการ:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (ก · ก · ก) · (ข 4 · ข 4 · ข 4) = − 8 · ก 3 · ข 12

คำตอบ:(− 2 · ก · ข 4) 3 = − 8 · ก 3 · ข 12

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าปริญญามีตัวบ่งชี้ขนาดใหญ่? การบันทึกปัจจัยจำนวนมากไม่สะดวก จากนั้น เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติของปริญญา กล่าวคือ คุณสมบัติของปริญญาผลิตภัณฑ์ และคุณสมบัติของปริญญาในปริญญา

มาแก้ไขปัญหาที่เรานำเสนอข้างต้นโดยใช้วิธีการที่ระบุ

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:เพิ่ม − 2 · a · b 4 ยกกำลังสาม

สารละลาย

เมื่อรู้ถึงคุณสมบัติยกกำลังแล้ว เราสามารถดำเนินการต่อไปในนิพจน์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

หลังจากนั้นเรายกกำลัง - 2 และใช้คุณสมบัติของพลังกับพลัง:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12

คำตอบ:− 2 · ก · ข 4 = − 8 · 3 · ข 12

นอกจากนี้เรายังได้อุทิศบทความแยกต่างหากเพื่อยกระดับเอกราชสู่อำนาจ

กฎเกณฑ์ในการแบ่งเอกราช

การดำเนินการสุดท้ายกับ monomial ที่เราจะตรวจสอบในเอกสารนี้คือการหาร monomial ด้วย monomial เป็นผลให้เราควรได้รับเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ (พีชคณิต) (ในบางกรณีก็เป็นไปได้ที่จะได้รับ monomial) ให้เราอธิบายทันทีว่าการหารด้วย 0 monomial ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ เนื่องจากไม่ได้นิยามการหารด้วย 0

ในการหาร เราต้องเขียน monomials ที่ระบุในรูปของเศษส่วนและลดทอนลงหากเป็นไปได้

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หารเอกพจน์ − 9 · x 4 · y 3 · z 7 ด้วย − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการเขียน monomials ในรูปแบบเศษส่วน

9 x 4 ปี 3 z 7 - 6 หน้า 3 ครั้ง 5 x 2 ปี 2

เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ หลังจากดำเนินการนี้แล้ว เราได้รับ:

3 x 2 ปี z 7 2 หน้า 3 ครั้ง 5

คำตอบ:- 9 x 4 ปี 3 z 7 - 6 หน้า 3 ครั้ง 5 x 2 ปี 2 = 3 x 2 ปี z 7 2 หน้า 3 ครั้ง 5 .

เงื่อนไขที่เราได้รับ monomial อันเป็นผลมาจากการแบ่ง monomial นั้นได้ระบุไว้ในบทความแยกต่างหาก

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4

ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เหมือนกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a

ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6

การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6

ทวีคูณพลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้ เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3

โดยการเปรียบเทียบตัวเลขหลายตัว (ตัวแปร) ด้วยกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

โดยที่ 5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของพลังของเทอม

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a ถือเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;

และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง

ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa

2. y -n .y -m = y -n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

หากคุณคูณผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวที่ยกขึ้นมา สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8

การแบ่งองศา

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 เท่ากับ 3

หรือ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac(a^5)(a^3)$ แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac(yyy)(yy) = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac(aa^n)(a) = a^n$

หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(เอเอ)$

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(5a^4)(3a^2)$ คำตอบ: $\frac(5a^2)(3)$

2. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(6x^6)(3x^5)$ คำตอบ: $\frac(2x)(1)$ หรือ 2x

3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ a n /y -3

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.

9. หาร (h 3 - 1)/d 4 ด้วย (d n + 1)/h.