สร้างแทนเจนต์ m ให้กับวงกลมแทนเจนต์ แทนเจนต์ของวงกลมคืออะไร? คุณสมบัติแทนเจนต์ของวงกลม แทนเจนต์ร่วมของวงกลมสองวง เพื่อนใช้ส่วนโค้งเป็นวงกลม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• ทางการศึกษา – การทำซ้ำ การวางนัยทั่วไป และการทดสอบความรู้ในหัวข้อ: “สัมผัสกันเป็นวงกลม”; การพัฒนาทักษะพื้นฐาน
• พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
• การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ
• แนะนำแนวคิดเรื่องแทนเจนต์ซึ่งเป็นจุดติดต่อ
• พิจารณาคุณสมบัติของแทนเจนต์และเครื่องหมายแล้วแสดงการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาในธรรมชาติและเทคโนโลยี

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• พัฒนาทักษะในการสร้างแทนเจนต์โดยใช้ไม้บรรทัดสเกล ไม้โปรแทรกเตอร์ และการวาดสามเหลี่ยม
• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน
• ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีความเชี่ยวชาญในเทคนิคอัลกอริทึมพื้นฐานในการสร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลม
• พัฒนาความสามารถในการประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในการแก้ปัญหา
• พัฒนาความคิดและคำพูดของนักเรียน
• พัฒนาทักษะในการสังเกต สังเกตรูปแบบ การสรุป และการใช้เหตุผลโดยการเปรียบเทียบ
• ปลูกฝังความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

แผนการเรียน

1. การเกิดขึ้นของแนวคิดเรื่องแทนเจนต์
2. ประวัติความเป็นมาของแทนเจนต์
3. คำจำกัดความทางเรขาคณิต
4. ทฤษฎีบทพื้นฐาน
5. การสร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลม
6. การรวมบัญชี

การเกิดขึ้นของแนวคิดเรื่องแทนเจนต์

แนวคิดเรื่องแทนเจนต์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่เก่าแก่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ในเรขาคณิต เส้นสัมผัสกันของวงกลมถูกกำหนดให้เป็นเส้นที่มีจุดตัดกับวงกลมนั้นเพียงจุดเดียว คนสมัยก่อนใช้วงเวียนและไม้บรรทัด สามารถวาดแทนเจนต์ให้เป็นวงกลม และต่อมาเป็นรูปกรวย ได้แก่ วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

ประวัติความเป็นมาของแทนเจนต์

ความสนใจในเรื่องแทนเจนต์ฟื้นขึ้นมาในยุคปัจจุบัน จากนั้นจึงค้นพบเส้นโค้งที่นักวิทยาศาสตร์โบราณไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่น กาลิเลโอแนะนำไซโคลิด และเดส์การตส์และแฟร์มาต์ได้สร้างแทนเจนต์ให้กับมัน ในช่วงสามแรกของศตวรรษที่ 17 พวกเขาเริ่มเข้าใจว่าแทนเจนต์เป็นเส้นตรง "ที่อยู่ติดกันมากที่สุด" กับเส้นโค้งในย่านเล็กๆ ของจุดที่กำหนด เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการถึงสถานการณ์ที่ไม่สามารถสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด (รูป) ได้

คำจำกัดความทางเรขาคณิต

วงกลม- ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเท่ากันเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

วงกลม.

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

• เรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลมกับจุดใดๆ บนนั้น (รวมถึงความยาวของส่วนนี้) รัศมีวงกลม
• ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่า รอบ ๆ.
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าส่วนนั้น คอร์ด. เรียกว่าคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง.
• จุดสองจุดที่แตกต่างกันบนวงกลมจะแบ่งจุดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้เรียกว่า ส่วนโค้งวงกลม การวัดส่วนโค้งสามารถวัดมุมที่จุดศูนย์กลางที่สอดคล้องกันได้ ส่วนโค้งเรียกว่าครึ่งวงกลมหากส่วนที่เชื่อมต่อปลายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง
• เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมเรียกว่าเส้นตรง แทนเจนต์ไปยังวงกลม และจุดร่วมของพวกมันเรียกว่าจุดสัมผัสของเส้นตรงและวงกลม
• เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่า ตัดออก.
• มุมที่ศูนย์กลางในวงกลมคือมุมระนาบที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลาง
• เรียกว่ามุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลมนี้ มุมที่ถูกจารึกไว้.
• วงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมเรียกว่า มีศูนย์กลางร่วมกัน.

เส้นสัมผัส- เส้นตรงที่ผ่านจุดบนเส้นโค้งและขนานกัน ณ จุดนี้จนถึงลำดับที่หนึ่ง

สัมผัสกันเป็นวงกลมเป็นเส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดหนึ่งกับวงกลม

เส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมในระนาบเดียวกันซึ่งตั้งฉากกับรัศมีที่ลากมาถึงจุดนี้ เรียกว่าแทนเจนต์. ในกรณีนี้ จุดบนวงกลมนี้เรียกว่าจุดสัมผัส

ในกรณีของเรา “a” เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมที่กำหนด จุด “A” คือจุดสัมผัส ในกรณีนี้ a⊥OA (เส้นตรง a ตั้งฉากกับรัศมี OA)

พวกเขาพูดอย่างนั้น วงกลมสองวงสัมผัสกันหากมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว จุดนี้เรียกว่า จุดสัมผัสของวงกลม. ผ่านจุดสัมผัส คุณสามารถวาดเส้นสัมผัสของวงกลมวงใดวงหนึ่งได้ ซึ่งเป็นเส้นสัมผัสของวงกลมอีกวงหนึ่งด้วย วงกลมที่สัมผัสอาจเป็นภายในหรือภายนอกก็ได้

สัมผัสกันจะเรียกว่าภายในถ้าศูนย์กลางของวงกลมอยู่ด้านเดียวกันของแทนเจนต์

สัมผัสกันจะเรียกว่าสัมผัสภายนอกถ้าจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่คนละด้านของแทนเจนต์

a คือเส้นสัมผัสร่วมของวงกลมทั้งสองวง K คือจุดสัมผัสกัน

ทฤษฎีบทพื้นฐาน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับแทนเจนต์และซีแคนต์

ถ้าลากแทนเจนต์และเซแคนต์จากจุดที่อยู่นอกวงกลม กำลังสองของความยาวของแทนเจนต์จะเท่ากับผลคูณของเซแคนต์และส่วนนอก: MC 2 = MA MB

ทฤษฎีบท.รัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์ของวงกลมนั้นตั้งฉากกับแทนเจนต์

ทฤษฎีบท.หากรัศมีตั้งฉากกับเส้นตรงจุดที่ตัดกับวงกลม เส้นนี้จะสัมผัสกันกับวงกลมนี้

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้ เราต้องจำไว้ว่าค่าตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคืออะไร นี่คือระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดนี้ถึงเส้นนี้ สมมติว่า OA ไม่ได้ตั้งฉากกับแทนเจนต์ แต่มี OS เป็นเส้นตรงตั้งฉากกับแทนเจนต์ ความยาว OS รวมถึงความยาวของรัศมีและส่วน BC บางส่วน ซึ่งมากกว่ารัศมีอย่างแน่นอน ดังนั้นใครๆ ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นไหนก็ได้ เราสรุปได้ว่ารัศมีหรือรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสคือระยะทางที่สั้นที่สุดถึงแทนเจนต์จากจุด O นั่นคือ OS ตั้งฉากกับแทนเจนต์ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนา เราจะดำเนินการต่อจากข้อเท็จจริงที่ว่าแทนเจนต์มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวบนวงกลม ปล่อยให้เส้นตรงนี้มีจุด B ร่วมอีกจุดหนึ่งกับวงกลม สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และด้านทั้งสองมีรัศมีเท่ากัน ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้นเราจึงพบว่าเส้นตรงนี้ไม่มีจุดที่เหมือนกันกับวงกลมอีกต่อไป ยกเว้นจุด A นั่นคือ สัมผัสกัน

ทฤษฎีบท.ส่วนแทนเจนต์ที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมมีค่าเท่ากัน และเส้นตรงที่เชื่อมจุดนี้กับศูนย์กลางของวงกลมจะแบ่งมุมระหว่างแทนเจนต์

การพิสูจน์.

การพิสูจน์นั้นง่ายมาก เมื่อใช้ทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ เรายืนยันว่า OB ตั้งฉากกับ AB และระบบปฏิบัติการตั้งฉากกับ AC สามเหลี่ยมมุมฉาก ABO และ ACO เท่ากันในด้านขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก (OB=OS - รัศมี, AO - ผลรวม) ดังนั้น ด้าน AB=AC และมุม OAC และ OAB จึงเท่ากัน

ทฤษฎีบท.ขนาดของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์และคอร์ดที่มีจุดร่วมบนวงกลมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ระหว่างด้านข้าง

การพิสูจน์.

พิจารณามุม NAB ที่เกิดจากแทนเจนต์และคอร์ด ลองวาดเส้นผ่านศูนย์กลางของ AC กัน แทนเจนต์จะตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่ลากไปยังจุดที่สัมผัสกัน ดังนั้น ∠CAN=90 o เมื่อรู้ทฤษฎีบท เราจะเห็นว่ามุมอัลฟา (a) เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง BC หรือครึ่งหนึ่งของมุม BOS ∠NAB=90 o -a จากตรงนี้ เราจะได้ ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB หรือ = ครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง BA ฯลฯ

ทฤษฎีบท.ถ้าเส้นสัมผัสและเส้นตัดตัดถูกลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลม ดังนั้นกำลังสองของเส้นตัดเส้นสัมผัสจากจุดที่กำหนดไปยังจุดสัมผัสกันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเส้นตัดเส้นจากจุดที่กำหนดไปยังจุด ของจุดตัดกับวงกลม

การพิสูจน์.

ในรูป ทฤษฎีบทนี้มีลักษณะดังนี้: MA 2 = MV * MC มาพิสูจน์กัน ตามทฤษฎีบทที่แล้ว มุม MAC เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง AC แต่มุม ABC ก็เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง AC ตามทฤษฎีบท ดังนั้น มุมเหล่านี้จึงเท่ากับแต่ละมุม อื่น. เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยม AMC และ BMA มีมุมร่วมที่จุดยอด M เราจึงระบุความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ในสองมุม (เครื่องหมายที่สอง) จากความคล้ายคลึงที่เรามี: MA/MB=MC/MA ซึ่งเราได้รับ MA 2 =MB*MC

การสร้างแทนเจนต์ให้เป็นวงกลม

ทีนี้ ลองหามันและหาว่าต้องทำอะไรเพื่อสร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลม

ในกรณีนี้ ตามกฎแล้ว ปัญหาจะให้วงกลมและจุด และคุณกับฉันต้องสร้างแทนเจนต์ของวงกลม เพื่อให้แทนเจนต์นี้ผ่านจุดที่กำหนด

ในกรณีที่เราไม่ทราบตำแหน่งของจุดใดจุดหนึ่ง ให้พิจารณากรณีของตำแหน่งที่เป็นไปได้ของจุดนั้น

ประการแรก จุดหนึ่งอาจอยู่ภายในวงกลม ซึ่งถูกจำกัดด้วยวงกลมที่กำหนด ในกรณีนี้ ไม่สามารถสร้างแทนเจนต์ผ่านวงกลมนี้ได้

ในกรณีที่สอง จุดนั้นอยู่บนวงกลม และเราสามารถสร้างแทนเจนต์ได้โดยลากเส้นตั้งฉากกับรัศมี ซึ่งถูกลากไปยังจุดที่เรารู้จัก

ประการที่สาม สมมติว่าจุดนั้นตั้งอยู่นอกวงกลม ซึ่งถูกจำกัดด้วยวงกลม ในกรณีนี้ ก่อนที่จะสร้างแทนเจนต์ จำเป็นต้องหาจุดบนวงกลมที่แทนเจนต์จะต้องผ่าน

ในกรณีแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนสำหรับคุณ แต่เพื่อแก้ปัญหาตัวเลือกที่สอง เราจำเป็นต้องสร้างส่วนบนเส้นตรงซึ่งมีรัศมีอยู่ ส่วนนี้จะต้องเท่ากับรัศมีและส่วนที่อยู่บนวงกลมด้านตรงข้าม

ตรงนี้เราจะเห็นว่าจุดบนวงกลมคือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เท่ากับรัศมีสองเท่า ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างวงกลมสองวง รัศมีของวงกลมเหล่านี้จะเท่ากับ 2 เท่าของรัศมีของวงกลมเดิม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ปลายส่วนของวงกลม ซึ่งเท่ากับ 2 เท่าของรัศมี ตอนนี้เราสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดตัดกันของวงกลมเหล่านี้กับจุดที่กำหนดได้ เส้นตรงดังกล่าวคือค่ามัธยฐานที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่วาดในตอนแรก ดังนั้น เราจะเห็นว่าเส้นนี้ตั้งฉากกับวงกลม และต่อจากนี้ไปเป็นเส้นสัมผัสกับวงกลม

ในตัวเลือกที่สาม เรามีจุดที่อยู่นอกวงกลมซึ่งถูกจำกัดด้วยวงกลม ในกรณีนี้ อันดับแรกเราสร้างส่วนที่จะเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ให้ไว้กับจุดที่กำหนด แล้วเราก็พบมันตรงกลาง แต่สำหรับสิ่งนี้ มีความจำเป็นต้องสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก และคุณก็รู้วิธีสร้างมันแล้ว จากนั้นเราก็ต้องวาดวงกลมหรืออย่างน้อยก็ส่วนหนึ่ง ตอนนี้เราเห็นว่าจุดตัดของวงกลมที่กำหนดกับวงกลมที่สร้างขึ้นใหม่คือจุดที่แทนเจนต์ผ่านไป อีกทั้งยังผ่านจุดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหาอีกด้วย และสุดท้าย จากจุดสองจุดที่คุณรู้ คุณสามารถวาดเส้นสัมผัสได้

และสุดท้าย เพื่อพิสูจน์ว่าเส้นตรงที่เราสร้างนั้นเป็นเส้นสัมผัสกัน เราต้องใส่ใจกับมุมที่เกิดจากรัศมีของวงกลมและส่วนที่ทราบโดยเงื่อนไขและการเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลม ด้วยจุดที่กำหนดโดยสภาพของปัญหา ตอนนี้เราเห็นว่ามุมที่ได้นั้นอยู่บนครึ่งวงกลม และจากนี้จึงเป็นไปตามว่ามุมนี้ถูกต้อง ดังนั้นรัศมีจะตั้งฉากกับเส้นที่สร้างขึ้นใหม่ และเส้นนี้คือเส้นสัมผัสกัน

การก่อสร้างแทนเจนต์

การสร้างเส้นสัมผัสกันเป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งเขียนโดยไลบ์นิซ มีชื่อว่า “วิธีการใหม่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด รวมถึงแทนเจนต์ ซึ่งทั้งปริมาณที่เป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล หรือแคลคูลัสชนิดพิเศษ ล้วนเป็นอุปสรรค”

ความรู้ทางเรขาคณิตของชาวอียิปต์โบราณ

หากเราไม่คำนึงถึงการมีส่วนร่วมเล็กน้อยของชาวหุบเขาโบราณระหว่างไทกริสยูเฟรติสและเอเชียไมเนอร์ เรขาคณิตก็มีต้นกำเนิดในอียิปต์โบราณก่อนปี 1700 ปีก่อนคริสตกาล ในช่วงฤดูฝนเขตร้อน แม่น้ำไนล์ได้เติมน้ำสำรองและล้นออกมา พื้นที่เพาะปลูกมีน้ำปกคลุม และเพื่อวัตถุประสงค์ด้านภาษี จำเป็นต้องพิจารณาว่าที่ดินสูญหายไปมากน้อยเพียงใด นักสำรวจใช้เชือกที่ขึงแน่นเป็นเครื่องมือวัด แรงจูงใจอีกประการหนึ่งในการสั่งสมความรู้ทางเรขาคณิตโดยชาวอียิปต์ก็คือกิจกรรมของพวกเขา เช่น การสร้างปิรามิดและวิจิตรศิลป์

ระดับของความรู้เรขาคณิตสามารถตัดสินได้จากต้นฉบับโบราณซึ่งอุทิศให้กับคณิตศาสตร์โดยเฉพาะและมีลักษณะคล้ายกับตำราเรียนหรือหนังสือปัญหาซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ

ต้นฉบับทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของชาวอียิปต์ถูกคัดลอกโดยนักเรียนคนหนึ่งระหว่างปี 1800 - 1600 พ.ศ. จากข้อความเก่า กระดาษปาปิรัสถูกค้นพบโดยนักอียิปต์วิทยาชาวรัสเซีย Vladimir Semenovich Golenishchev มันถูกเก็บไว้ในมอสโก - ในพิพิธภัณฑ์วิจิตรศิลป์ซึ่งตั้งชื่อตาม A.S. พุชกิน และถูกเรียกว่ากระดาษปาปิรัสมอสโก

กระดาษปาปิรุสทางคณิตศาสตร์อีกชิ้นหนึ่งซึ่งเขียนช้ากว่าของมอสโกสองถึงสามร้อยปีถูกเก็บไว้ในลอนดอน มันถูกเรียกว่า: "คำแนะนำในการบรรลุความรู้เกี่ยวกับสิ่งมืดมนทั้งหมดความลับทั้งหมดที่สิ่งต่าง ๆ ซ่อนอยู่ในตัวเอง... ตามอนุสรณ์สถานเก่าแก่อาลักษณ์อาเมสเขียนสิ่งนี้" ต้นฉบับเรียกว่า "ปาปิรัสอาห์เมส" หรือ กระดาษปาปิรัส Rhind - ตามชื่อของชาวอังกฤษผู้ค้นพบและซื้อกระดาษปาปิรัสนี้ในอียิปต์ กระดาษปาปิรัส Ahmes นำเสนอวิธีแก้ปัญหา 84 ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณต่างๆ ที่อาจจำเป็นในทางปฏิบัติ

เซแคนต์, แทนเจนต์ - ทั้งหมดนี้สามารถได้ยินได้หลายร้อยครั้งในบทเรียนเรขาคณิต แต่การสำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนอยู่ข้างหลังเรา หลายปีผ่านไป และความรู้ทั้งหมดนี้ก็ถูกลืมไป คุณควรจำอะไร?

แก่นแท้

คำว่า “แทนเจนต์เป็นวงกลม” ทุกคนคงคุ้นเคยกันดี แต่ไม่น่าเป็นไปได้ที่ทุกคนจะสามารถกำหนดคำจำกัดความได้อย่างรวดเร็ว ในขณะเดียวกัน แทนเจนต์ก็คือเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับวงกลมที่ตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น อาจมีจำนวนมาก แต่ทั้งหมดก็มีคุณสมบัติเหมือนกันซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง ดังที่คุณคงเดาได้ จุดสัมผัสคือจุดที่วงกลมและเส้นตรงตัดกัน ในแต่ละกรณีจะมีเพียงกรณีเดียว แต่ถ้ามีมากกว่านั้น ก็จะเป็นการแบ่งส่วน

ประวัติความเป็นมาของการค้นพบและการศึกษา

แนวคิดเรื่องแทนเจนต์ปรากฏในสมัยโบราณ การสร้างเส้นตรงเหล่านี้ เริ่มจากวงกลมก่อน แล้วจึงเป็นรูปวงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ ดำเนินการในระยะเริ่มแรกของการพัฒนาเรขาคณิต แน่นอนว่าประวัติศาสตร์ไม่ได้รักษาชื่อของผู้ค้นพบไว้ แต่เห็นได้ชัดว่าแม้ในเวลานั้นผู้คนค่อนข้างคุ้นเคยกับคุณสมบัติของเส้นสัมผัสกันของวงกลม

ในยุคปัจจุบัน ความสนใจในปรากฏการณ์นี้ปะทุขึ้นอีกครั้ง - การศึกษารอบใหม่ของแนวคิดนี้เริ่มต้นขึ้น รวมกับการค้นพบเส้นโค้งใหม่ ดังนั้น กาลิเลโอจึงแนะนำแนวคิดของไซโคลิด และแฟร์มาต์และเดส์การ์ตก็สร้างแทนเจนต์ให้กับมัน สำหรับแวดวง ดูเหมือนว่าไม่มีความลับเหลืออยู่สำหรับคนสมัยก่อนในบริเวณนี้

คุณสมบัติ

รัศมีที่ลากไปยังจุดตัดจะเป็นอันนี้

หลัก แต่ไม่ใช่คุณสมบัติเดียวที่มีแทนเจนต์ของวงกลม คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่ง ได้แก่ เส้นตรงสองเส้น ดังนั้น เมื่อผ่านจุดหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม ก็สามารถวาดแทนเจนต์สองอันได้ และส่วนของพวกมันจะเท่ากัน มีทฤษฎีบทอื่นในหัวข้อนี้ แต่ไม่ค่อยมีการสอนเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรมาตรฐานของโรงเรียน แม้ว่าจะสะดวกมากในการแก้ปัญหาบางอย่างก็ตาม เสียงแบบนี้ จากจุดหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม จะมีการดึงแทนเจนต์และซีแคนต์เข้ามา ส่วน AB, AC และ AD ถูกสร้างขึ้น A คือจุดตัดของเส้นตรง B คือจุดสัมผัสกัน C และ D คือจุดตัดกัน ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะใช้ได้: ความยาวของเส้นแทนเจนต์ถึงวงกลมกำลังสองจะเท่ากับผลคูณของส่วน AC และ AD

มีข้อพิสูจน์ที่สำคัญข้างต้น สำหรับแต่ละจุดบนวงกลม คุณสามารถสร้างแทนเจนต์ได้ แต่จะมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น การพิสูจน์เรื่องนี้ค่อนข้างง่าย: ในทางทฤษฎีเมื่อปล่อยเส้นตั้งฉากจากรัศมีลงบนมัน เราพบว่ารูปสามเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นนั้นไม่มีอยู่จริง และนี่หมายความว่าแทนเจนต์เป็นอันเดียวเท่านั้น

การก่อสร้าง

ในบรรดาปัญหาอื่น ๆ ในเรขาคณิตตามกฎแล้วไม่มีหมวดหมู่พิเศษ

เป็นที่รักของนักเรียนและนักศึกษา เพื่อแก้ไขปัญหาในหมวดหมู่นี้ คุณจำเป็นต้องมีเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เหล่านี้เป็นงานก่อสร้าง นอกจากนี้ยังมีอันสำหรับสร้างแทนเจนต์ด้วย

เมื่อพิจารณาจากวงกลมและจุดที่อยู่นอกขอบเขตของมัน และจำเป็นต้องวาดเส้นสัมผัสกันผ่านพวกมัน วิธีการทำเช่นนี้? ก่อนอื่น คุณต้องวาดส่วนระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม O กับจุดที่กำหนด จากนั้นใช้เข็มทิศแบ่งครึ่ง ในการทำเช่นนี้คุณต้องกำหนดรัศมี - มากกว่าครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของวงกลมเดิมกับจุดนี้เล็กน้อย หลังจากนี้คุณจะต้องสร้างส่วนโค้งสองอันที่ตัดกัน ยิ่งไปกว่านั้น รัศมีของเข็มทิศไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน และจุดศูนย์กลางของแต่ละส่วนของวงกลมจะเป็นจุดเดิมและ O ตามลำดับ จำเป็นต้องเชื่อมต่อจุดตัดของส่วนโค้งซึ่งจะแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วน กำหนดรัศมีบนเข็มทิศให้เท่ากับระยะทางนี้ จากนั้น ให้สร้างวงกลมอีกวงหนึ่งโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดกัน ทั้งจุดเดิมและ O จะวางอยู่บนจุดนั้น ในกรณีนี้ จะมีจุดตัดอีกสองจุดพร้อมกับวงกลมที่ระบุในโจทย์ พวกเขาจะเป็นจุดติดต่อสำหรับจุดที่ระบุเริ่มแรก

เป็นการสร้างแทนเจนต์ให้กับวงกลมที่นำไปสู่การเกิด

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานแรกในหัวข้อนี้จัดพิมพ์โดย Leibniz นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน โดยให้ความเป็นไปได้ในการค้นหาค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และค่าแทนเจนต์ โดยไม่คำนึงถึงปริมาณที่เป็นเศษส่วนและไม่ลงตัว ตอนนี้มันถูกใช้สำหรับการคำนวณอื่น ๆ อีกมากมาย

นอกจากนี้ แทนเจนต์ของวงกลมยังสัมพันธ์กับความหมายทางเรขาคณิตของแทนเจนต์ด้วย นี่คือที่มาของชื่อ แปลจากภาษาลาติน Tangens แปลว่า "แทนเจนต์" ดังนั้น แนวคิดนี้ไม่เพียงเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เท่านั้น แต่ยังเกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติด้วย

วงกลมสองวง

แทนเจนต์ไม่ได้ส่งผลต่อเพียงตัวเลขเดียวเสมอไป หากสามารถลากเส้นตรงจำนวนมากไปยังวงกลมหนึ่งวงได้ แล้วทำไมไม่กลับกันล่ะ? สามารถ. แต่งานในกรณีนี้มีความซับซ้อนอย่างมาก เนื่องจากแทนเจนต์ของวงกลมสองวงอาจไม่ผ่านจุดใด ๆ และตำแหน่งสัมพัทธ์ของตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดอาจมีค่ามาก

แตกต่าง.

ประเภทและพันธุ์

เมื่อเรากำลังพูดถึงวงกลมสองวงและเส้นตรงหนึ่งเส้นขึ้นไป แม้ว่าจะทราบกันว่าสิ่งเหล่านี้คือเส้นสัมผัสกัน แต่ก็ไม่ชัดเจนในทันทีว่าตัวเลขเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างไร ด้วยเหตุนี้จึงมีหลายพันธุ์ที่มีความโดดเด่น ดังนั้น วงกลมอาจมีจุดร่วมหนึ่งหรือสองจุดหรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีแรกพวกเขาจะตัดกัน และในกรณีที่สองพวกเขาจะสัมผัสกัน และที่นี่มี 2 สายพันธุ์ที่แตกต่างกัน หากวงกลมวงหนึ่งฝังอยู่ในวงกลมที่สองเหมือนเดิม วงสัมผัสนั้นเรียกว่าภายใน ถ้าไม่ก็เรียกว่าภายนอก คุณสามารถเข้าใจตำแหน่งสัมพัทธ์ของตัวเลขได้ไม่เพียงแต่จากการวาดภาพเท่านั้น แต่ยังมีข้อมูลเกี่ยวกับผลรวมของรัศมีและระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางอีกด้วย หากปริมาณทั้งสองนี้เท่ากัน วงกลมจะสัมผัสกัน ถ้าอันแรกมากกว่า พวกมันจะตัดกัน และถ้าน้อยกว่า พวกมันจะไม่มีจุดร่วม

เช่นเดียวกับเส้นตรง สำหรับวงกลมสองวงใดๆ ที่ไม่มีจุดร่วม คุณก็สามารถทำได้

สร้างแทนเจนต์สี่ตัว สองคนจะตัดกันระหว่างร่างเรียกว่าภายใน อีกสองสามอย่างอยู่ภายนอก

หากเรากำลังพูดถึงวงกลมที่มีจุดเดียวร่วมกัน ปัญหาก็จะง่ายขึ้นมาก ความจริงก็คือ ไม่ว่าตำแหน่งสัมพัทธ์จะเป็นอย่างไร ในกรณีนี้ พวกเขาจะมีเพียงแทนเจนต์เดียวเท่านั้น และมันจะผ่านจุดตัดของพวกเขา ดังนั้นการก่อสร้างจึงไม่ใช่เรื่องยาก

หากตัวเลขมีจุดตัดกันสองจุด ก็สามารถสร้างเส้นตรงขึ้นมาได้ โดยสัมผัสกันกับวงกลมของจุดหนึ่งและอีกจุดหนึ่ง แต่จะมีเพียงจุดภายนอกเท่านั้น วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่างนี้

การแก้ปัญหา

การสร้างแทนเจนต์ทั้งภายในและภายนอกของวงกลมสองวงนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายนัก แม้ว่าปัญหานี้จะสามารถแก้ไขได้ก็ตาม ความจริงก็คือมีการใช้ตัวเลขเสริมดังนั้นคุณต้องคิดวิธีนี้ด้วยตัวเอง

ค่อนข้างมีปัญหา ดังนั้น จะได้วงกลมสองวงที่มีรัศมีและจุดศูนย์กลาง O1 และ O2 ต่างกัน สำหรับพวกเขาคุณต้องสร้างแทนเจนต์สองคู่

ก่อนอื่นคุณต้องสร้างส่วนเสริมใกล้กับศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่กว่า ในกรณีนี้ ควรกำหนดความแตกต่างระหว่างรัศมีของตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองบนเข็มทิศ แทนเจนต์ของวงกลมเสริมถูกสร้างขึ้นจากศูนย์กลางของวงกลมเล็ก หลังจากนั้น เส้นตั้งฉากจะถูกดึงจาก O1 และ O2 ไปยังเส้นเหล่านี้จนกระทั่งตัดกับรูปเดิม ต่อไปนี้จากคุณสมบัติพื้นฐานของแทนเจนต์ จะพบจุดที่ต้องการบนวงกลมทั้งสองวง ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วอย่างน้อยในส่วนแรก

ในการสร้างแทนเจนต์ภายใน คุณจะต้องแก้โจทย์ในทางปฏิบัติ

งานที่คล้ายกัน คุณจะต้องมีตัวเลขเสริมอีกครั้ง แต่คราวนี้รัศมีของมันจะเท่ากับผลรวมของค่าเดิม แทนเจนต์ถูกสร้างขึ้นจากศูนย์กลางของวงกลมวงใดวงหนึ่งเหล่านี้ สามารถเข้าใจแนวทางการแก้ปัญหาเพิ่มเติมได้จากตัวอย่างก่อนหน้านี้

การลากเส้นสัมผัสกันเป็นวงกลมหรือสองวงขึ้นไปนั้นไม่ใช่เรื่องยาก แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์ได้หยุดการแก้ปัญหาดังกล่าวด้วยตนเองมานานแล้วและมอบความไว้วางใจในการคำนวณให้กับโปรแกรมพิเศษ แต่คุณไม่ควรคิดว่าตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องทำด้วยตัวเองแล้ว เพราะเพื่อกำหนดงานให้กับคอมพิวเตอร์อย่างถูกต้องคุณต้องทำและเข้าใจมาก น่าเสียดายที่มีความกังวลว่าหลังจากการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายเป็นรูปแบบการทดสอบการควบคุมความรู้ งานก่อสร้างจะทำให้นักเรียนลำบากมากขึ้นเรื่อยๆ

การหาค่าแทนเจนต์ร่วมของวงกลมจำนวนมากนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป แม้ว่าจะอยู่ในระนาบเดียวกันก็ตาม แต่ในบางกรณีคุณจะพบเส้นตรงดังกล่าวได้

ตัวอย่างจากชีวิต

ในทางปฏิบัติ การสัมผัสกันของวงกลมสองวงมักจะเกิดขึ้น แม้ว่าจะไม่ได้สังเกตเห็นได้ชัดเจนเสมอไปก็ตาม สายพานลำเลียง ระบบบล็อก สายพานส่งกำลังรอก ความตึงด้ายในจักรเย็บผ้า และแม้แต่โซ่จักรยาน ทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างในชีวิตจริง ดังนั้นคุณไม่ควรคิดว่าปัญหาเรขาคณิตจะคงอยู่เฉพาะในทางทฤษฎีเท่านั้น ในสาขาวิศวกรรม ฟิสิกส์ การก่อสร้าง และสาขาอื่นๆ ปัญหาเหล่านี้จะนำไปใช้ได้จริง

โครงสร้างทางเรขาคณิต

การสร้างแทนเจนต์ให้เป็นวงกลม

ให้เราพิจารณาปัญหาที่เป็นรากฐานของการแก้ปัญหาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวาดแทนเจนต์เป็นวงกลม

ให้ออกจากจุดก(รูปที่ 1) จำเป็นต้องวาดแทนเจนต์ให้กับวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้นเกี่ยวกับ.

ในการสร้างเส้นสัมผัสกันอย่างแม่นยำ จำเป็นต้องกำหนดจุดสัมผัสของเส้นกับวงกลม สำหรับจุดนี้กควรเชื่อมต่อกับตะเข็บเกี่ยวกับและแบ่งส่วนโอเอครึ่งหนึ่ง จากตรงกลางของส่วนนี้ - คะแนนกับจากจุดศูนย์กลาง ให้อธิบายวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางควรเท่ากับส่วนนั้นโอเอ. คะแนนถึง1 และถึง2 จุดตัดของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่งกับและมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเกี่ยวกับคือจุดสัมผัสของเส้นอลาสก้า1 และอลาสก้า2 สู่วงกลมที่กำหนด

ความถูกต้องของการแก้ปัญหาได้รับการยืนยันโดยข้อเท็จจริงที่ว่ารัศมีของวงกลมที่ลากไปยังจุดสัมผัสนั้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของวงกลม มุมตกลง1 กและตกลง2 กตรงเพราะวางอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางเจเอสซีวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกับ.

ข้าว. 1.

เมื่อสร้างแทนเจนต์เป็นวงกลมสองวง จะแยกแยะแทนเจนต์ได้ภายในและภายนอก. ถ้าศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ด้านหนึ่งของแทนเจนต์ ก็ถือว่าอยู่ภายนอก และถ้าศูนย์กลางของวงกลมอยู่ด้านตรงข้ามของแทนเจนต์ ก็ถือว่าอยู่ภายใน

เกี่ยวกับ1 และเกี่ยวกับ2 ร1 และร2 . จำเป็นต้องวาดแทนเจนต์ภายนอกให้กับวงกลมที่กำหนด

เพื่อการก่อสร้างที่แม่นยำ จำเป็นต้องกำหนดจุดสัมผัสของเส้นตรงและวงกลมที่กำหนด ถ้ารัศมีของวงกลมมีจุดศูนย์กลางเกี่ยวกับ1 และเกี่ยวกับ2 เริ่มลดลงอย่างต่อเนื่องด้วยค่าเดียวกัน จากนั้นคุณจะได้วงกลมศูนย์กลางที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่าจำนวนหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น ในแต่ละกรณีของการลดรัศมี เส้นสัมผัสของวงกลมเล็กๆ จะขนานกับวงกลมที่ต้องการ หลังจากลดรัศมีทั้งสองลงตามขนาดของรัศมีที่เล็กลงแล้วร2 วงกลมที่มีศูนย์กลางเกี่ยวกับ2 กลายเป็นจุด และวงกลมมีจุดศูนย์กลางเกี่ยวกับ1 จะกลายเป็นวงกลมมีศูนย์กลางมีรัศมีร3 เท่ากับผลต่างระหว่างรัศมีร1 และร2 .

โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ก่อนหน้าตั้งแต่จุดนั้นเกี่ยวกับ2 วาดแทนเจนต์ภายนอกเป็นวงกลมรัศมีร3 , เชื่อมต่อจุดต่างๆเกี่ยวกับ1 และเกี่ยวกับ2 , หารด้วยจุดกับส่วนของเส้นเกี่ยวกับ1 เกี่ยวกับ2 ครึ่งหนึ่งแล้ววาดรัศมีบจก1 ส่วนโค้งซึ่งจุดตัดกับวงกลมที่กำหนดจะเป็นตัวกำหนดจุดสัมผัสของเส้นเกี่ยวกับ2 ถึง1 และเกี่ยวกับ2 ถึง2 .

จุดก1 และก2 ความสัมผัสกันของเส้นตรงที่ต้องการกับวงกลมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ที่เส้นต่อเนื่องของเส้นตรงเกี่ยวกับ1 ถึง1 และเกี่ยวกับ1 ถึง2 . คะแนนใน1 และใน2 เส้นสัมผัสกันของวงกลมเล็กนั้นตั้งฉากกับฐานเกี่ยวกับ2 ตามลำดับแทนเจนต์เสริมเกี่ยวกับ2 ถึง1 และเกี่ยวกับ2 ถึง2 . ด้วยการวางจุดสัมผัส คุณสามารถวาดเส้นตรงที่ต้องการได้ก1 ใน1 และก2 ใน2 .

ข้าว. 2.

ให้วงกลมสองวงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดต่างๆเกี่ยวกับ1 และเกี่ยวกับ2 (รูปที่ 2) มีรัศมีตามลำดับร1 และร2 . จำเป็นต้องวาดแทนเจนต์ภายในให้กับวงกลมที่กำหนด

ในการหาจุดสัมผัสของเส้นตรงและวงกลม เราใช้การให้เหตุผลคล้ายกับที่ให้ไว้เมื่อแก้ไขปัญหาครั้งก่อน หากลดรัศมีลงร2 ให้เป็นศูนย์ จากนั้นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเกี่ยวกับ2 ไปที่จุด อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เพื่อรักษาความขนานของแทนเจนต์เสริมกับรัศมีที่ต้องการร1 ควรเพิ่มขึ้นหนึ่งขนาดร2 และวาดวงกลมที่มีรัศมีร3 เท่ากับผลรวมของรัศมีร1 และร2 .

จากจุดเกี่ยวกับ2 วาดแทนเจนต์เป็นวงกลมรัศมีร3 เหตุใดจึงเชื่อมโยงจุดต่างๆเกี่ยวกับ1 และเกี่ยวกับ2 , หารด้วยจุดกับส่วนของเส้นเกี่ยวกับ1 เกี่ยวกับ2 ครึ่งหนึ่งแล้ววาดส่วนโค้งของวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้นกับและรัศมีบจก1 . จุดตัดของส่วนโค้งกับวงกลมรัศมีร3 จะกำหนดตำแหน่งของจุดถึง1 และถึง2 ความสัมผัสของเส้นเสริมเกี่ยวกับ2 ถึง1 และเกี่ยวกับ2 ถึง2 .

จุดก1 และก2 ร1 อยู่ที่จุดตัดของวงกลมนี้กับส่วนนี้เกี่ยวกับ1 ถึง1 และเกี่ยวกับ1 ถึง2 . เพื่อกำหนดจุดใน 1และที่ 2สัมผัสกันของเส้นตรงที่ต้องการกับรัศมีวงกลมร2 ตามมาจากจุดO2คืนค่าตั้งฉากกับเส้นเสริมO2K1และO2K2จนกระทั่งมันตัดกับวงกลมที่กำหนด ด้วยจุดสัมผัสระหว่างเส้นที่ต้องการกับวงกลมที่กำหนด เราจึงวาดเส้นตรงA1B1และA2B2.

ข้าว. 3.

เส้นตรงสัมผัสวงกลมมีมุม 90  โดยมีรัศมีลากไปยังจุดที่สัมผัสกัน ดังนั้น ในการสร้างเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดที่กำหนด จำเป็นต้องวาดเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับรัศมี

เรามาดูตัวอย่างการสร้างแทนเจนต์และคู่กัน

ตัวอย่างที่ 1

ผ่านจุด A ลากเส้นตรงสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O 1

เพื่อแก้ไขปัญหา เราดำเนินการก่อสร้างต่อไปนี้:

1) เชื่อมต่อจุด O 1 และ A ด้วยเส้นตรง

2) จากจุด O 2 - ตรงกลางของส่วน O 1 A - วาดวงกลมเสริมที่มีรัศมี O 2 A จนกระทั่งตัดกับวงกลมที่กำหนดที่จุด B

หลังเป็นจุดสัมผัสเนื่องจากมุม ABO 1 เท่ากับ 90  (วางอยู่

ด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง AO 1) ดังนั้น รัศมี O 1 B จึงเป็นเส้นปกติทั่วไปของเส้นตรงและส่วนโค้งวงกลมที่จุด B

ตัวอย่างที่ 2

สร้างแทนเจนต์ร่วมให้กับวงกลมสองวงด้วยรัศมี R 1 และ R 2 (รูปที่ 3.4)

เพื่อแก้ไขปัญหา เราดำเนินการก่อสร้างต่อไปนี้:

1) จากศูนย์กลาง O 1 ของวงกลมขนาดใหญ่เราวาดวงกลมเสริมที่มีรัศมีเท่ากับความแตกต่างระหว่าง R 1 และ R 2 เช่น R 1 – R 2;

2) ไปที่วงกลมนี้จากจุด O 2 เราวาดแทนเจนต์ O 2 K เหมือนที่เราทำในตัวอย่างที่ 1;

3) เราต่อเส้น O 1 K ไปยังจุดตัดกับวงกลมใหญ่ที่กำหนด เราจะได้จุด B ซึ่งเป็นจุดสัมผัส จากจุด O 2 เราวาดเส้นตรงขนานกับ O 1 B จนกระทั่งเส้นตัดกับวงกลมที่จุด A ซึ่งเป็นจุดที่สองของการสัมผัสกันของแทนเจนต์ AB

ข้าว. 3.3. การก่อสร้างแทนเจนต์-

ไม่มีเส้นตรงเป็นวงกลม

ข้าว. 3.4. การก่อสร้างแทนเจนต์

ถึงสองวงกลม

3.3. จับคู่เส้นตรงสองเส้น

ตัวอย่างที่ 3

สร้างการผันของเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน m และ n ด้วยรัศมี

การจับคู่ R c (รูปที่ 3.5)

ข้าว. 3.5. การสร้างคอนจูเกตของเส้นตัดกันสองเส้น

ลองวางตั้งฉากลงบนเส้นตรงที่กำหนดและรับจุดเชื่อมต่อ A และ B จากจุด O ด้วยรัศมี R c เราวาดส่วนโค้งคอนจูเกตระหว่างจุด A และ B

3.4. การผันเส้นตรงกับวงกลม (ภายในและภายนอก)

ตัวอย่างที่ 4

สร้างการผันภายนอกและภายในของวงกลมที่มีรัศมี R c

โดยมีจุดศูนย์กลาง O 1 มีส่วนโค้งตรง t ของรัศมีการผันที่กำหนด

ดี

ข้าว. 3.6. การก่อสร้างภายนอก

การรวมกันของวงกลมและเส้น

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล

เมืองโนโวซีบีสค์ "โรงยิมหมายเลข 4"

หัวเรื่อง: คณิตศาสตร์

วิจัย

ในหัวข้อนี้:

คุณสมบัติของวงกลมสองวงที่สัมผัสกัน

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10:

คาเซียห์เมตอฟ ราดิค อิลดาโรวิช

ซูบาเรฟ เยฟเกนีย์ วลาดิมิโรวิช

หัวหน้างาน:

นิติศาสตร์มหาบัณฑิต บาริโนวา

ครูสอนคณิตศาสตร์

หมวดหมู่คุณสมบัติสูงสุด

§ 1.บทนำ……..……………….…………………………………………3

§ 1.1 ตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงกลมสองวง………………...………...………3

§ 2 ทรัพย์สินและหลักฐาน…………………………………………………………..………….....….…4

§ 2.1 ทรัพย์สิน 1………...………………………..…………...….…4

§ 2.2 ทรัพย์สิน 2 …………………………………………..…………...………5

§ 2.3 ทรัพย์สิน 3 …………………………………………..…………...………6

§ 2.4 ทรัพย์สิน 4 …………………………………………..…………...………6

§ 2.5 ทรัพย์สิน 5…………………………………..…………………………...………8

§ 2.6 ทรัพย์สิน 6 …………………………………………………..………………………...………9

§ 3 งาน………………………………………..…………...…...………..…11

การอ้างอิง………………………………………………………………………….………….13

§ 1 การแนะนำ

ปัญหาหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับวงกลมแทนเจนต์สองวงสามารถแก้ไขได้ในเวลาสั้นๆ และง่ายดายยิ่งขึ้นโดยการรู้คุณสมบัติบางอย่างที่จะนำเสนอต่อไป

การจัดเรียงวงกลมสองวงร่วมกัน

ขั้นแรก ให้เรากำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ที่เป็นไปได้ของวงกลมทั้งสองวง อาจมี 4 กรณีที่แตกต่างกัน

1. วงกลมต้องไม่ตัดกัน

2. ตัดกัน

3. สัมผัสที่จุดหนึ่งด้านนอก

4.สัมผัสที่จุดหนึ่งด้านใน

§ 2 คุณสมบัติและหลักฐานของพวกเขา

ย้ายตรงไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติ

§ 2.1 คุณสมบัติ 1

ส่วนระหว่างจุดตัดกันของแทนเจนต์กับวงกลมนั้นมีค่าเท่ากันและเท่ากับรัศมีเฉลี่ยเรขาคณิตสองอันของวงกลมที่กำหนด

การพิสูจน์ 1. O 1 A 1 และ O 2 B 1 – รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (ตามจุดที่ 1)

1. ▲O 1 O 2 D – สี่เหลี่ยม เพราะ О 2 D ┴ О 2 В 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

1. ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (พิสูจน์ในทำนองเดียวกัน)

1) ลองวาดรัศมีที่จุดตัดของเส้นสัมผัสกันกับวงกลม

2) รัศมีเหล่านี้จะตั้งฉากกับแทนเจนต์และขนานกัน

3) ให้เราลดตั้งฉากจากศูนย์กลางของวงกลมเล็กลงจนถึงรัศมีของวงกลมใหญ่

4) ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้จะเท่ากับผลรวมของรัศมีของวงกลม ขามีค่าเท่ากับความแตกต่าง

5) การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทำให้เราได้ความสัมพันธ์ที่ต้องการ

§ 2.2 ทรัพย์สิน 2

จุดตัดกันของเส้นตรงที่ตัดกับจุดแทนเจนต์ของวงกลมและไม่อยู่ในจุดใดจุดหนึ่งโดยแทนเจนต์จะแบ่งส่วนของแทนเจนต์ภายนอกออกเป็นครึ่งหนึ่งซึ่งจำกัดโดยจุดแทนเจนต์ออกเป็นส่วนๆ โดยแต่ละจุด เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของรัศมีของวงกลมเหล่านี้

การพิสูจน์ 1.นางสาว= MA 1 (เป็นส่วนแทนเจนต์)

2.MC = MV 1 (เป็นส่วนแทนเจนต์)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (ตามจุดที่ 1 และ 2 )

ข้อความที่ใช้ในการพิสูจน์ ส่วนแทนเจนต์ที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมใดวงกลมหนึ่งจะเท่ากัน เราใช้คุณสมบัตินี้สำหรับวงกลมทั้งสองที่กำหนด

§ 2.3 ทรัพย์สิน 3

ความยาวของส่วนของแทนเจนต์ภายในที่อยู่ระหว่างแทนเจนต์ภายนอกนั้นเท่ากับความยาวของส่วนของแทนเจนต์ภายนอกระหว่างจุดที่สัมผัสกัน และเท่ากับรัศมีเฉลี่ยเรขาคณิตสองรัศมีของวงกลมที่กำหนด

การพิสูจน์ ข้อสรุปนี้ตามมาจากคุณสมบัติก่อนหน้า

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 คุณสมบัติ 4

สามเหลี่ยมที่เกิดจากศูนย์กลางของวงกลมแทนเจนต์และจุดกึ่งกลางของส่วนแทนเจนต์ระหว่างรัศมีที่ลากไปยังจุดที่สัมผัสกันนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า อัตราส่วนของขาเท่ากับผลหารของรากของรัศมีของวงกลมเหล่านี้

การพิสูจน์ 1.MO 1 คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม A 1 MS, MO 2 คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม B 1 MS เพราะ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในมุมหนึ่งจะอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้

2. ตามจุดที่ 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0.5(РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – โดยตรง MC คือความสูงของสามเหลี่ยม O 1 MO 2 เพราะ แทนเจนต์ MN ตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส → สามเหลี่ยม O 1 MC และ MO 2 C มีความคล้ายคลึงกัน

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (คล้ายกัน)

ข้อความที่ใช้ในการพิสูจน์ 1) จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในมุมหนึ่งจะอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้ ขาของสามเหลี่ยมคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม

2) จากข้อเท็จจริงที่ว่ามุมที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เท่ากัน เราพบว่ามุมที่เรากำลังมองหานั้นเป็นมุมฉาก เราสรุปได้ว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นมุมฉากจริงๆ

3) เราพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมโดยที่ความสูง (เนื่องจากแทนเจนต์ตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส) แบ่งสามเหลี่ยมมุมฉาก และด้วยความคล้ายคลึงกันเราได้อัตราส่วนที่ต้องการ

§ 2.5 คุณสมบัติ 5

สามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดสัมผัสของวงกลมซึ่งกันและกันและจุดตัดของวงกลมกับเส้นสัมผัสกันนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า อัตราส่วนของขาเท่ากับผลหารของรากของรัศมีของวงกลมเหล่านี้

การพิสูจน์

1. ▲A 1 MC และ ▲SMV 1 คือหน้าจั่ว → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. แต่ RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – โดยตรง → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC และ ▲CO 2 B 1 คล้ายกัน → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

ข้อความที่ใช้ในการพิสูจน์ 1) เราเขียนผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมโดยใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่ามันเป็นหน้าจั่ว หน้าจั่วของรูปสามเหลี่ยมพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติของความเท่ากันของส่วนแทนเจนต์

2) เมื่อเขียนผลรวมของมุมในลักษณะนี้ เราพบว่าสามเหลี่ยมดังกล่าวมีมุมฉาก ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นสี่เหลี่ยม ส่วนแรกของข้อความได้รับการพิสูจน์แล้ว

3) การใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม (เพื่อปรับให้เหมาะสม เราใช้สัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันในสองมุม) เราค้นหาอัตราส่วนของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

§ 2.6 คุณสมบัติ 6

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เกิดจากจุดตัดกันของวงกลมกับแทนเจนต์นั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งสามารถเขียนวงกลมเข้าไปได้

การพิสูจน์ 1.▲A 1 RA 2 และ ▲B 1 PB 2 มีหน้าจั่วเพราะว่า A 1 P = RA 2 และ B 1 P = PB 2 เป็นส่วนแทนเจนต์ → ▲A 1 RA 2 และ ▲B 1 PB 2 – คล้ายกัน

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2 เพราะ มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตัด A 1 B 1 นั้นเท่ากัน

1. MN – เส้นกลางตามคุณสมบัติ 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู A 2 A 1 B 1 B 2 ผลรวมของฐานเท่ากัน ผลรวมของด้านและเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของวงกลมที่จารึกไว้

ข้อความที่ใช้ในการพิสูจน์ 1) ให้เราใช้คุณสมบัติของเซกเมนต์แทนเจนต์อีกครั้ง ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะพิสูจน์หน้าจั่วของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดตัดของเส้นสัมผัสกันและจุดสัมผัสกัน

2) จากนั้นจะตามมาว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้คล้ายกันและมีฐานขนานกัน บนพื้นฐานนี้ เราสรุปได้ว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู

3) จากการใช้คุณสมบัติ (2) ที่เราพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ เราจะพบเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู มีค่าเท่ากับรัศมีเฉลี่ยเรขาคณิตสองรัศมีของวงกลม ผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้านข้าง ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

§ 3. ปัญหา

มาดูตัวอย่างในทางปฏิบัติของวิธีที่คุณสามารถทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติที่อธิบายไว้ข้างต้น

ปัญหาที่ 1

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ด้าน AC = 15 ซม. มีวงกลมเขียนไว้ในสามเหลี่ยม วงกลมที่สองแตะด้านแรกและด้าน AB และ BC ที่ด้าน AB เลือกจุด F และที่ด้าน BC เลือกจุด M เพื่อให้เซ็กเมนต์ FM เป็นเส้นสัมผัสร่วมกันของวงกลม ค้นหาอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยม BFM และ AFMC รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ถ้า FM คือ 4 ซม. และจุด M อยู่ห่างจากศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งเป็นสองเท่าจากศูนย์กลางของอีกวงกลมหนึ่ง

ที่ให้ไว้: FM-รวมแทนเจนต์ AC=15ซม. FM=4ซม. O 2 M=2О 1 M

ค้นหา S BFM /S AFMC

สารละลาย:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=เอฟเอ็ม=4

3)▲BO 1 P และ ▲BO 2 Q คล้ายกัน → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; เอซี+บีคิว=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

ปัญหาที่ 2

วงกลมแทนเจนต์สองวงที่มีจุด D ร่วมและ FK แทนเจนต์ร่วมที่ผ่านจุดนี้จะถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC จงหาระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมเหล่านี้ หากฐานของสามเหลี่ยม AC = 9 ซม. และส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่อยู่ระหว่างจุดสัมผัสของวงกลมคือ 4 ซม.

ที่ให้ไว้: ABC – สามเหลี่ยมหน้าจั่ว; FK – แทนเจนต์ทั่วไปของวงกลมที่จารึกไว้ กระแสสลับ = 9 ซม.; NE = 4 ซม

สารละลาย:

ปล่อยให้เส้นตรง AB และ CD ตัดกันที่จุด O จากนั้น OA = OD, OB = OC ดังนั้น CD = = AB = 2√Rr

จุด O 1 และ O 2 อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม AOD เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AOD คือระดับความสูง ดังนั้น AD ┴ O 1 O 2 และ BC ┴ O 1 O 2 ซึ่งหมายถึง

AD ║ BC และ ABCD – สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ส่วน MN คือเส้นกึ่งกลาง ดังนั้น AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

ดังนั้นจึงสามารถเขียนวงกลมไว้ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ได้

ให้ AP เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู สามเหลี่ยมมุมฉาก ARB และ O 1 FO 2 มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น AP/O 1 F = AB/O 1 O 2

จากที่นี่เราพบว่า

บรรณานุกรม

• ภาคผนวกของหนังสือพิมพ์ “ฉบับต้นเดือนกันยายน” “คณิตศาสตร์” ฉบับที่ 43, 2546
• ข้อสอบ Unified State ปี 2010 คณิตศาสตร์ งาน C4 กอร์ดิน อาร์.เค.