ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาผลรวมของห้าอันดับแรก สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มูลค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางคนถือว่าคำว่า "ก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เป็นคำที่ซับซ้อนมากจากหมวดวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ในขณะเดียวกัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของเคาน์เตอร์แท็กซี่ และรับส่วนสำคัญ (และไม่มีอะไรสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์มากไปกว่า "การได้ส่วนสำคัญ") ลำดับเลขคณิตไม่ยากเมื่อคุณเข้าใจแนวคิดพื้นฐานบางประการ

ลำดับเลขคณิต

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลำดับตัวเลขว่าชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

และ 1 เป็นสมาชิกคนแรกของลำดับ

และ 2 เป็นสมาชิกที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ;

และ n คือสมาชิกที่ n ของลำดับ;

อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจชุดตัวเลขและตัวเลขใดๆ โดยพลการ เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของสมาชิกที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับของมันโดยการพึ่งพากันซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

เอ - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข;

n คือหมายเลขประจำเครื่อง

f(n) เป็นฟังก์ชันที่ลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกว่าลำดับตัวเลขซึ่งแต่ละเทอมต่อมามีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยตัวเลขเดียวกัน สูตรสำหรับสมาชิกที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

n - ค่าของสมาชิกปัจจุบัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์;

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

มันง่ายที่จะตัดสินว่าถ้าผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกที่ตามมาแต่ละชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมากกว่าค่าก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเห็นว่าเหตุใดจึงเรียกลำดับตัวเลขว่า "เพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

มูลค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งก็จำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์บางคำโดยพลการ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องตั้งแต่แรกจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องหาค่าของเทอมที่ห้าในพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบดั้งเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถตรวจสอบความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เฉพาะได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้ากับผลต่างของความก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนของสมาชิกที่ต้องการ ลบหนึ่ง .

สูตรนี้เป็นสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกคนแรกของลำดับคือ 3;

ความแตกต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: จำเป็นต้องค้นหาค่าของ 214 เงื่อนไข

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด เราใช้สูตร:

a(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำสั่งปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: สมาชิกลำดับที่ 214 ของลำดับเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนด

บ่อยครั้งในอนุกรมเลขคณิตที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดผลรวมของค่าของบางกลุ่ม นอกจากนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วสรุป วิธีนี้ใช้ได้หากจำนวนเงื่อนไขที่ต้องพบผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นจะสะดวกกว่าที่จะใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของสมาชิกที่หนึ่งและ n คูณด้วยหมายเลขสมาชิก n และหารด้วยสอง หากในสูตร ค่าของสมาชิกที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เราจะได้:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

เทอมแรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ในปัญหาจะต้องกำหนดผลรวมของเงื่อนไขของชุดข้อมูลตั้งแต่ 56 ถึง 101

วิธีการแก้. ลองใช้สูตรในการพิจารณาผลรวมของความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดผลรวมของค่า 101 สมาชิกของความคืบหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าจาก 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 จาก S 101

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้นผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

ตัวอย่างการใช้งานจริงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท๊กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมถึง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรต่อ ๆ มาจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรกซึ่งราคารวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิกคือจำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 p

จำนวนที่น่าสนใจสำหรับเรา - ค่าของสมาชิกที่ (27 + 1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 - 27.999 ... = 28 กม.

28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานตามอำเภอใจจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะทางของเทห์ฟากฟ้าถึงดวงสว่าง นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขต่างๆ ยังใช้สำเร็จในสถิติและสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นำไปใช้ได้สำเร็จ

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีลักษณะเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่การเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ บ่อยครั้ง เพื่อแสดงความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคระหว่างการระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาแบบทวีคูณ

สมาชิกตัวที่ N ของชุดเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าโดยคูณด้วยจำนวนคงที่ - ตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สมาชิกตัวแรกคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ตามลำดับ จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของสมาชิกถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง กราฟทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

ในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของสมาชิกตามอำเภอใจ เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวหารของความก้าวหน้าต่อกำลังของ n ลดลงหนึ่ง:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 ค้นหาระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษเช่นกัน ผลรวมของสมาชิก n แรกของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้ากับตัวส่วนและสมาชิกแรกของการก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:

ถ้า b n ถูกแทนที่โดยใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น ค่าของผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกตั้งค่าเท่ากับ 3 มาหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

เมื่อเรียนพีชคณิตในโรงเรียนมัธยมศึกษา (เกรด 9) หนึ่งในหัวข้อที่สำคัญคือการศึกษาลำดับตัวเลข ซึ่งรวมถึงความก้าวหน้า - เรขาคณิตและเลขคณิต ในบทความนี้ เราจะพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหา

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งนี้ จำเป็นต้องให้คำจำกัดความของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณา รวมทั้งกำหนดสูตรพื้นฐานที่จะนำไปใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่มีลำดับ ซึ่งสมาชิกแต่ละคนจะแตกต่างจากค่าก่อนหน้าด้วยค่าคงที่บางค่า ค่านี้เรียกว่าความแตกต่าง นั่นคือ เมื่อทราบสมาชิกของชุดตัวเลขที่เรียงลำดับและส่วนต่าง คุณจะสามารถกู้คืนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้

ลองมาดูตัวอย่างกัน ลำดับของตัวเลขถัดไปจะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 4, 8, 12, 16, ... เนื่องจากความแตกต่างในกรณีนี้คือ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) แต่ชุดของตัวเลข 3, 5, 8, 12, 17 ไม่สามารถนำมาประกอบกับประเภทของความก้าวหน้าที่พิจารณาได้อีกต่อไปเนื่องจากความแตกต่างนั้นไม่ใช่ค่าคงที่ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

สูตรสำคัญ

ตอนนี้เราให้สูตรพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ n แทนสมาชิกที่ n ของลำดับ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม ความแตกต่างแสดงด้วยอักษรละติน d นิพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:

1. ในการกำหนดค่าของเทอมที่ n สูตรนี้เหมาะสม: a n \u003d (n-1) * d + a 1
2. การหาผลรวมของ n เทอมแรก: S n = (a n + a 1)*n/2

เพื่อให้เข้าใจตัวอย่างใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีแก้ปัญหาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ก็เพียงพอที่จะจำสูตรทั้งสองนี้เนื่องจากปัญหาใด ๆ ของประเภทที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นสร้างขึ้นจากการใช้งาน นอกจากนี้ อย่าลืมว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยสูตร: d = a n - a n-1 .

ตัวอย่าง #1: ค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จัก

เรายกตัวอย่างง่ายๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และสูตรที่ต้องใช้ในการแก้

ให้ลำดับ 10, 8, 6, 4, ... จำเป็นต้องหาห้าคำในนั้น

เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาที่ทราบ 4 เงื่อนไขแรกแล้ว ที่ห้าสามารถกำหนดได้สองวิธี:

1. มาคำนวณส่วนต่างกันก่อน เรามี: d = 8 - 10 = -2 ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเอาอีกสองคำที่อยู่ติดกันได้ ตัวอย่างเช่น d = 4 - 6 = -2 เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่า d \u003d a n - a n-1 จากนั้น d \u003d a 5 - a 4 จากตำแหน่งที่เราได้รับ: a 5 \u003d a 4 + d เราแทนค่าที่ทราบ: a 5 = 4 + (-2) = 2
2. วิธีที่สองยังต้องมีความรู้เกี่ยวกับความแตกต่างของความก้าวหน้าที่เป็นปัญหา ดังนั้นคุณต้องพิจารณาก่อน ดังที่แสดงไว้ด้านบน (d = -2) เมื่อรู้ว่าเทอมแรก a 1 = 10 เราใช้สูตรสำหรับจำนวน n ของลำดับ เรามี: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n แทนที่ n = 5 ในนิพจน์สุดท้าย เราได้: a 5 = 12-2 * 5 = 2

อย่างที่คุณเห็น โซลูชันทั้งสองนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ความแตกต่าง d ของความก้าวหน้าเป็นลบ ลำดับดังกล่าวเรียกว่าการลดลงเนื่องจากแต่ละเทอมที่ต่อเนื่องกันนั้นน้อยกว่าลำดับก่อนหน้า

ตัวอย่าง #2: ความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ให้ตัวอย่างวิธีการ

เป็นที่ทราบกันว่าในบางเทอมที่ 1 เท่ากับ 6 และเทอมที่ 7 เท่ากับ 18 จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างและคืนค่าลำดับนี้เป็นเทอมที่ 7

ลองใช้สูตรเพื่อหาคำที่ไม่รู้จัก: a n = (n - 1) * d + a 1 . เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขลงในนั้นนั่นคือตัวเลข a 1 และ 7 เรามี: 18 \u003d 6 + 6 * d จากนิพจน์นี้ คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: d = (18 - 6) / 6 = 2 ดังนั้น ส่วนแรกของปัญหาจึงได้รับคำตอบ

ในการคืนค่าลำดับไปยังสมาชิกที่ 7 คุณควรใช้คำจำกัดความของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต นั่นคือ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d เป็นต้น ด้วยเหตุนี้ เราจึงคืนค่าลำดับทั้งหมด: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 และ 7 = 18

ตัวอย่าง #3: ความก้าวหน้า

ให้เราทำให้สภาพของปัญหาซับซ้อนยิ่งขึ้นไปอีก ตอนนี้คุณต้องตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถยกตัวอย่างต่อไปนี้: ให้ตัวเลขสองตัว ตัวอย่างเช่น 4 และ 5 จำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อให้คำศัพท์อีกสามคำพอดีระหว่างสิ่งเหล่านี้

ก่อนที่จะเริ่มแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเข้าใจก่อนว่าตัวเลขที่ระบุจะอยู่ที่ตำแหน่งใดในอนาคต เนื่องจากจะมีคำศัพท์เพิ่มเติมอีกสามคำระหว่างกัน 1 \u003d -4 และ 5 \u003d 5 เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้วเราจึงดำเนินการกับงานที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ อีกครั้ง สำหรับเทอมที่ n เราใช้สูตร เราได้: a 5 \u003d a 1 + 4 * d จาก: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ในที่นี้ ความแตกต่างไม่ใช่ค่าจำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นสูตรสำหรับความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตจึงยังคงเหมือนเดิม

ตอนนี้ มาเพิ่มความแตกต่างที่พบให้กับ 1 และกู้คืนสมาชิกที่ขาดหายไปของความคืบหน้า เราได้รับ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, ซึ่งตรงกับสภาพของปัญหา

ตัวอย่าง #4: สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า

เรายังคงยกตัวอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมวิธีแก้ปัญหา ในปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมด ทราบจำนวนแรกของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาประเภทอื่น: ให้ตัวเลขสองตัวโดยที่ 15 = 50 และ 43 = 37 จำเป็นต้องค้นหาจากหมายเลขใดที่ลำดับนี้เริ่มต้น

สูตรที่ใช้จนถึงตอนนี้ถือว่าความรู้ของ 1 และ d ไม่ทราบตัวเลขเหล่านี้ในสภาพของปัญหา อย่างไรก็ตาม ลองเขียนนิพจน์สำหรับแต่ละเทอมที่เรามีข้อมูล: a 15 = a 1 + 14 * d และ a 43 = a 1 + 42 * d เราได้สมการสองสมการที่มี 2 ปริมาณที่ไม่ทราบค่า (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่าปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่ระบุจะแก้ได้ง่ายที่สุดหากคุณแสดง 1 ในแต่ละสมการ แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ สมการแรก: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; สมการที่สอง: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d เท่ากับนิพจน์เหล่านี้เราได้รับ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d ดังนั้นความแตกต่าง d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (ให้ทศนิยม 3 ตำแหน่งเท่านั้น)

เมื่อทราบ d คุณสามารถใช้นิพจน์ 2 นิพจน์ข้างต้นสำหรับ 1 ได้ ตัวอย่างเช่น อันดับแรก: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ คุณสามารถตรวจสอบได้ เช่น กำหนดสมาชิกลำดับที่ 43 ของความคืบหน้า ซึ่งระบุไว้ในเงื่อนไข เราได้รับ: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเกิดจากการใช้การปัดเศษเป็นพันในการคำนวณ

ตัวอย่าง #5: รวม

ทีนี้มาดูตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

ให้ความก้าวหน้าเชิงตัวเลขของแบบฟอร์มต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ...,. วิธีการคำนวณผลรวมของ 100 ตัวเลขเหล่านี้?

ต้องขอบคุณการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ กล่าวคือ บวกตัวเลขทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งคอมพิวเตอร์จะทำทันทีที่มีผู้กดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตาม ปัญหาสามารถแก้ไขได้ทางจิตหากคุณให้ความสนใจว่าชุดตัวเลขที่นำเสนอนั้นเป็นความก้าวหน้าทางพีชคณิต และความแตกต่างคือ 1 เมื่อใช้สูตรสำหรับผลรวม เราได้: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050

เป็นเรื่องน่าแปลกที่จะสังเกตว่าปัญหานี้เรียกว่า "เกาส์เซียน" เนื่องจากในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 ชาวเยอรมันผู้โด่งดังซึ่งอายุเพียง 10 ขวบสามารถแก้ปัญหานี้ได้ภายในไม่กี่วินาที เด็กชายไม่ทราบสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางพีชคณิต แต่เขาสังเกตว่าถ้าคุณบวกเลขคู่ที่อยู่ตรงขอบของลำดับ คุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ นั่นคือ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... และเนื่องจากผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100 / 2) ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ก็เพียงพอที่จะคูณ 50 ด้วย 101

ตัวอย่าง #6: ผลรวมของเทอมจาก n ถึง m

ตัวอย่างทั่วไปอีกตัวอย่างหนึ่งของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีดังนี้: กำหนดชุดของตัวเลข: 3, 7, 11, 15, ... คุณต้องค้นหาว่าผลรวมของเทอมจาก 8 ถึง 14 จะเป็นเท่าใด

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสองวิธี ข้อแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จักตั้งแต่ 8 ถึง 14 แล้วจึงสรุปตามลำดับ เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำ วิธีนี้จึงไม่ลำบากพอ อย่างไรก็ตาม เสนอให้แก้ปัญหานี้ด้วยวิธีที่สอง ซึ่งเป็นวิธีสากลมากกว่า

แนวคิดคือการได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางพีชคณิตระหว่างเทอม m และ n โดยที่ n > m เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทั้งสองกรณี เราเขียนสองนิพจน์สำหรับผลรวม:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

ตั้งแต่ n > m เป็นที่แน่ชัดว่าผลรวม 2 ผลรวมอันแรกด้วย ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าหากเรานำผลต่างระหว่างผลรวมเหล่านี้และเพิ่มเทอม a มเข้าไป (ในกรณีของผลต่าง จะถูกลบออกจากผลรวม S n) เราก็จะได้คำตอบที่จำเป็นสำหรับปัญหา เรามี: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) จำเป็นต้องแทนที่สูตรสำหรับ n และ m ในนิพจน์นี้ จากนั้นเราจะได้: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2

สูตรที่ได้จะค่อนข้างยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม ผลรวม S mn ขึ้นอยู่กับ n, m, a 1 และ d เท่านั้น ในกรณีของเรา a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8 การแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ เราได้รับ: S mn = 301

ดังจะเห็นได้จากวิธีแก้ปัญหาข้างต้น ปัญหาทั้งหมดอยู่บนพื้นฐานของความรู้เกี่ยวกับนิพจน์สำหรับเทอมที่ n และสูตรสำหรับผลรวมของเซตของเทอมแรก ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ไขปัญหาใดๆ เหล่านี้ ขอแนะนำให้คุณอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียด ทำความเข้าใจสิ่งที่คุณต้องการค้นหาให้ชัดเจน จากนั้นจึงดำเนินการแก้ไขต่อไป

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือการพยายามทำให้เรียบง่าย นั่นคือ หากคุณสามารถตอบคำถามโดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คุณจำเป็นต้องทำอย่างนั้น เนื่องจากในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะผิดพลาดจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของการคืบหน้าเลขคณิตด้วยคำตอบหมายเลข 6 เราสามารถหยุดที่สูตร S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m และ แบ่งงานทั่วไปออกเป็นงานย่อยแยกกัน (ในกรณีนี้ ให้หาเงื่อนไข a n และ a m)

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ ขอแนะนำให้ตรวจสอบตามตัวอย่างที่ให้ไว้ ค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร เมื่อเข้าใจแล้ว ก็ไม่ยาก

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้วัสดุใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การขยายและเพิ่มความคิดของนักเรียนเกี่ยวกับงานที่แก้ไขโดยใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การจัดกิจกรรมการค้นหาของนักเรียนเมื่อได้รับสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n คนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• การพัฒนาทักษะเพื่อรับความรู้ใหม่อย่างอิสระใช้ความรู้ที่ได้รับแล้วเพื่อให้บรรลุภารกิจ
• การพัฒนาความปรารถนาและความจำเป็นในการสรุปข้อเท็จจริงที่ได้รับการพัฒนาความเป็นอิสระ

งาน:

• สรุปและจัดระบบความรู้ที่มีอยู่ในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์"
• หาสูตรสำหรับคำนวณผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• สอนการใช้สูตรที่ได้รับในการแก้ปัญหาต่างๆ
• ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ขั้นตอนการค้นหาค่าของนิพจน์ตัวเลข

อุปกรณ์:

• การ์ดที่มีงานสำหรับทำงานเป็นกลุ่มและคู่
• กระดาษประเมินผล
• การนำเสนอ"ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์".

I. การทำให้เป็นจริงของความรู้พื้นฐาน

1. งานอิสระเป็นคู่.

ตัวเลือกที่ 1:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เขียนสูตรแบบเรียกซ้ำที่กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และระบุความแตกต่าง

ตัวเลือกที่ 2:

เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค้นหาเทอมที่ 100 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง}: 2, 5, 8 …
ขณะนี้ นักเรียนสองคนที่ด้านหลังกระดานกำลังเตรียมคำตอบสำหรับคำถามเดียวกัน
นักเรียนประเมินงานของคู่ค้าโดยเปรียบเทียบกับกระดาน (แจกใบปลิวพร้อมคำตอบ)

2. ช่วงเวลาของเกม

แบบฝึกหัดที่ 1

ครู.ฉันคิดคืบหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถามฉันเพียงสองคำถามเพื่อที่หลังจากคำตอบคุณสามารถตั้งชื่อสมาชิกคนที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ได้อย่างรวดเร็ว (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

คำถามจากนักเรียน.

1. ระยะที่หกของความก้าวหน้าคืออะไรและความแตกต่างคืออะไร?
2. ระยะที่แปดของความก้าวหน้าคืออะไรและความแตกต่างคืออะไร?

หากไม่มีคำถามเพิ่มเติม ครูสามารถกระตุ้นพวกเขาได้ - "ห้าม" กับ d (ความแตกต่าง) นั่นคือไม่อนุญาตให้ถามว่าความแตกต่างคืออะไร คุณสามารถถามคำถาม: ระยะที่ 6 ของความก้าวหน้าคืออะไรและระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าคืออะไร?

ภารกิจที่ 2

มีตัวเลข 20 ตัวที่เขียนไว้บนกระดาน: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ครูยืนหันหลังให้กับกระดานดำ นักเรียนบอกเลขแล้วครูโทรไปเองทันที อธิบายว่าฉันจะทำอย่างไร?

ครูจำสูตรเทอมที่ n n \u003d 3n - 2และแทนที่ค่าที่กำหนดของ n ให้ค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน หนึ่ง .

ครั้งที่สอง คำชี้แจงของงานการศึกษา

ฉันเสนอให้แก้ปัญหาเก่าย้อนหลังไปถึงสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งพบในปาปิริอิอียิปต์

งาน:“ให้พูดกับคุณว่า: แบ่งข้าวบาร์เลย์ 10 หน่วย ระหว่าง 10 คน ความแตกต่างระหว่างแต่ละคนกับเพื่อนบ้านของเขาคือ 1/8 ของหน่วยวัด”

• ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับหัวข้อของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไร (คนต่อไปแต่ละคนได้รับ 1/8 ของหน่วยวัดมากขึ้น ดังนั้นผลต่างคือ d=1/8, 10 คน, ดังนั้น n=10.)
• คุณคิดว่าเลข 10 หมายถึงอะไร? (ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความคืบหน้า)
• คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเพื่อให้ง่ายต่อการแบ่งข้าวบาร์เลย์ตามสภาพของปัญหา? (ระยะแรกของความก้าวหน้า)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน- การได้มาซึ่งผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้ากับจำนวนของพวกเขา เทอมแรกและความแตกต่าง และตรวจสอบว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องในสมัยโบราณหรือไม่

ก่อนจะได้สูตรนี้ เรามาดูกันว่าชาวอียิปต์โบราณแก้ปัญหาอย่างไร

และพวกเขาแก้ไขได้ดังนี้:

1) 10 มาตรการ: 10 = 1 การวัด - ส่วนแบ่งเฉลี่ย;
2) 1 หน่วยวัด ∙ = 2 หน่วยวัด - เพิ่มเป็นสองเท่า เฉลี่ยแบ่งปัน.
สองเท่า เฉลี่ยหุ้นคือผลรวมของหุ้นของบุคคลที่ 5 และ 6
3) 2 มาตรการ - 1/8 วัด = 1 7/8 วัด - สองเท่าของส่วนที่ห้า
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ส่วนแบ่งที่ห้า; และอื่นๆ คุณสามารถค้นหาส่วนแบ่งของบุคคลก่อนหน้าและบุคคลถัดไปได้

เราได้รับลำดับ:

สาม. การแก้ปัญหาของงาน

1. ทำงานเป็นกลุ่ม

กลุ่มที่ 1:ค้นหาผลรวมของตัวเลขธรรมชาติ 20 ตัวที่ต่อเนื่องกัน: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

โดยทั่วไป

กลุ่มที่สอง:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 (ตำนานของเกาส์น้อย)

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

บทสรุป:

กลุ่มที่สาม:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 21

วิธีแก้ไข: 1+21=2+20=3+19=4+18…

บทสรุป:

กลุ่ม IV:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 101

บทสรุป:

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณานี้เรียกว่า "วิธีเกาส์"

2. แต่ละกลุ่มนำเสนอแนวทางแก้ไขปัญหาบนกระดาน

3. ลักษณะทั่วไปของโซลูชันที่เสนอสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ:

a 1 , 2 , a 3 ,… , n-2 , n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n

เราพบผลรวมนี้โดยการโต้เถียงในทำนองเดียวกัน:

4. เราได้แก้ไขงานแล้วหรือยัง?(ใช่.)

IV. ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้สูตรที่ได้รับในการแก้ปัญหา

1. ตรวจแก้โจทย์เก่าตามสูตร

2. การนำสูตรไปใช้แก้ปัญหาต่างๆ

3. แบบฝึกหัดเพื่อสร้างความสามารถในการใช้สูตรในการแก้ปัญหา

ก) หมายเลข 613

ที่ให้ไว้ :( และ น) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(n): 1, 2, 3, ..., 1500

หา: เอส 1500

วิธีการแก้: , และ 1 = 1 และ 1500 = 1500

ข) ให้: ( และ น) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
(และ n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

หา: น
วิธีการแก้:

V. ทำงานอิสระด้วยการตรวจสอบร่วมกัน

เดนิสไปทำงานเป็นพนักงานส่งของ ในเดือนแรกเงินเดือนของเขาคือ 200 รูเบิล ในแต่ละเดือนต่อมาเพิ่มขึ้น 30 รูเบิล เขามีรายได้เท่าไหร่ในหนึ่งปี?

ที่ให้ไว้ :( และ น) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1 = 200, d=30, n=12
หา: S 12
วิธีการแก้:

คำตอบ: เดนิสได้รับ 4380 รูเบิลสำหรับปี

หก. สอนทำการบ้าน.

1. หน้า 4.3 - เรียนรู้ที่มาของสูตร
2. №№ 585, 623 .
3. เขียนปัญหาที่จะแก้ไขโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน.

1. ใบบันทึกคะแนน

2. ต่อประโยค

• วันนี้ในชั้นเรียนฉันได้เรียนรู้...
• เรียนรู้สูตร...
• ฉันคิดว่า …

3. คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 500 ได้หรือไม่? คุณจะใช้วิธีใดในการแก้ปัญหานี้

บรรณานุกรม.

1.พีชคณิต ป.9 กวดวิชาสำหรับ สถาบันการศึกษา. เอ็ด. จีวี โดโรฟีวามอสโก: การตรัสรู้, 2009.

เพื่อนๆ หากคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานภายในบอกว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่คุณอยากรู้จริงๆ (ไม่ใช่ แบบนี้: SOOOOO!) ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวนานและจะลงมือทำธุรกิจทันที

ในการเริ่มต้น สองสามตัวอย่าง พิจารณาชุดตัวเลขหลายชุด:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดทั้งหมดเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน? ได้อย่างรวดเร็วก่อนไม่มีอะไร แต่จริงๆแล้วมีบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละชุดจะมากกว่าชุดที่แล้ว ในกรณีที่สอง ความแตกต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับห้าอยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงคงที่ ในกรณีที่สามมีรากโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ในขณะที่ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น ในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะเพิ่มขึ้นเพียง $\sqrt(2)$ (และอย่ากลัวว่าตัวเลขนี้จะไม่มีเหตุผล)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขที่ซึ่งแต่ละอันถัดไปแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการเรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนที่ตัวเลขต่างกันนั้นเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า และส่วนใหญ่มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร $d$

สัญกรณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของตัวเอง $d$ คือความแตกต่าง

และเพียงข้อสังเกตที่สำคัญสองสามข้อ ประการแรกถือว่าก้าวหน้าเท่านั้น เป็นระเบียบลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านตามลำดับที่เขียนอย่างเคร่งครัด - และไม่มีอะไรอื่น คุณไม่สามารถจัดเรียงใหม่หรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนบางอย่างเช่น (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่ อย่างที่มันเป็น บอกเป็นนัยว่าตัวเลขค่อนข้างมากไปไกลกว่านั้น มากมายนับไม่ถ้วน เช่น :)

ฉันยังต้องการทราบด้วยว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นและลดลง เราได้เห็นการเพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) ต่อไปนี้คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเค โอเค ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือฉันคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

1. เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า
2. ลดลงหากตรงกันข้ามแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีลำดับที่เรียกว่า "นิ่ง" - ประกอบด้วยหมายเลขซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากการลดลงได้อย่างไร? โชคดีที่ทุกอย่างที่นี่ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของหมายเลข $d$ เท่านั้นนั่นคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

1. ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าก็เพิ่มขึ้น
2. ถ้า $d \lt 0$ แสดงว่าความคืบหน้าลดลงอย่างเห็นได้ชัด
3. สุดท้าย มีกรณี $d=0$ — ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเป็นลำดับคงที่ของตัวเลขที่เหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) เป็นต้น

มาลองคำนวณผลต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงทั้งสามด้านบนกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำสององค์ประกอบที่อยู่ติดกัน (เช่น ตัวแรกและตัวที่สอง) และลบออกจากตัวเลขทางด้านขวา ตัวเลขทางด้านซ้าย มันจะมีลักษณะดังนี้:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

อย่างที่คุณเห็น ในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เราหาคำจำกัดความได้ไม่มากก็น้อยก็ถึงเวลาที่จะคิดหาวิธีอธิบายความก้าวหน้าและคุณสมบัติที่พวกเขามีอยู่

สมาชิกของความก้าวหน้าและสูตรกำเริบ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา\)\]

องค์ประกอบส่วนบุคคลของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า พวกเขาจะระบุด้วยวิธีนี้ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลข: สมาชิกคนแรกสมาชิกคนที่สองและอื่น ๆ

นอกจากนี้ ดังที่เราทราบแล้ว สมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงของความก้าวหน้านั้นสัมพันธ์กันโดยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

กล่าวโดยย่อ ในการหาระยะที่ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้คำศัพท์ที่ $n-1$th และความแตกต่าง $d$ สูตรดังกล่าวเรียกว่าการเกิดซ้ำเพราะด้วยความช่วยเหลือของสูตรนี้คุณสามารถค้นหาตัวเลขใด ๆ ก็ได้โดยรู้เฉพาะตัวเลขก่อนหน้าเท่านั้น (และอันที่จริงแล้วทั้งหมดก่อนหน้านี้) ซึ่งไม่สะดวกมาก ดังนั้นจึงมีสูตรที่ยุ่งยากกว่าที่จะลดการคำนวณใดๆ ให้เหลือเทอมแรกและส่วนต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณอาจเคยเจอสูตรนี้มาก่อน พวกเขาชอบที่จะให้มันในหนังสืออ้างอิงทุกประเภทและ reshebniks และในตำราเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเล่มใดเล่มหนึ่งก็เป็นหนึ่งในเล่มแรก

อย่างไรก็ตาม ฉันแนะนำให้คุณฝึกฝนเล็กน้อย

งานหมายเลข 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

วิธีการแก้. ดังนั้น เรารู้เทอมแรก $((a)_(1))=8$ และความแตกต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่เพิ่งให้มาและแทนที่ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: (8; 3; -2)

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบว่าความก้าวหน้าของเราลดลง

แน่นอน $n=1$ ไม่สามารถแทนที่ได้ - เรารู้เทอมแรกอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่หน่วย เราทำให้แน่ใจว่าแม้สำหรับเทอมแรกสูตรของเราใช้ได้ผล ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างลงมาที่เลขคณิตซ้ำซาก

งานหมายเลข 2 เขียนสามเทอมแรกของการก้าวหน้าเลขคณิตถ้าเทอมที่เจ็ดของมันคือ −40 และเทอมที่สิบเจ็ดของมันคือ −50

วิธีการแก้. เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาตามเงื่อนไขปกติ:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายของระบบเพราะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อม ๆ กัน และตอนนี้เราสังเกตว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ทำเช่นนี้ เพราะเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เช่นนั้น เราพบความแตกต่างของความก้าวหน้า! มันยังคงใช้แทนจำนวนที่ค้นพบในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่นในครั้งแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ลูกศรลง \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \สิ้นสุด(เมทริกซ์)\]

ทีนี้ เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่าง ก็ยังต้องหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

พร้อม! แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: (-34; -35; -36)

สังเกตคุณสมบัติที่น่าสงสัยของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเราเอาเงื่อนไข $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวน $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

คุณสมบัติที่เรียบง่าย แต่มีประโยชน์มากที่คุณควรรู้ - ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาความก้าวหน้ามากมายได้อย่างมาก นี่คือตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้:

งานหมายเลข 3 เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบของมันคือ 14.4 หาระยะที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

วิธีการแก้. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราจำเป็นต้องค้นหา $((a)_(15))$ เราจึงสังเกตเห็นสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ ดังนั้น เรามี:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4 \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: 20.4

นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกกับผลต่าง - ทุกอย่างตัดสินได้ภายในสองสามบรรทัด

ทีนี้ลองพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่ง - การค้นหาสมาชิกที่เป็นลบและบวกของความก้าวหน้า ไม่เป็นความลับว่าหากความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นในขณะที่เทอมแรกเป็นลบ คำศัพท์เชิงบวกไม่ช้าก็เร็วจะปรากฏในนั้น และในทางกลับกัน: เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงจะไม่ช้าก็เร็วจะกลายเป็นลบ

ในขณะเดียวกัน ยังห่างไกลจากคำว่า "ที่หน้าผาก" เสมอที่จะค้นหาช่วงเวลานี้ โดยเรียงลำดับองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาต่างๆ ได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่รู้สูตร การคำนวณจะใช้เวลาหลายแผ่น - เราจะผล็อยหลับไปจนกว่าเราจะพบคำตอบ ดังนั้นเราจะพยายามแก้ไขปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้น

งานหมายเลข 4 จำนวนพจน์เชิงลบในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -38.5; -35.8; …?

วิธีการแก้. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ซึ่งเราจะพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างนั้นเป็นไปในทางบวก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นค่าลบ ดังนั้น ณ จุดหนึ่ง เราจะสะดุดกับตัวเลขที่เป็นบวก คำถามเดียวคือเมื่อสิ่งนี้จะเกิดขึ้น

เรามาลองค้นหากัน: นานแค่ไหน (เช่น $n$ เป็นจำนวนธรรมชาติเท่าใด) เงื่อนไขเชิงลบจะคงอยู่:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ขวา. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ดังนั้นเราจึงรู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$ ในทางกลับกัน เฉพาะค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้นที่จะเหมาะกับเรา (ยิ่งไปกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่มากที่สุดที่อนุญาตคือ $n=15$ อย่างแม่นยำ และไม่ว่าในกรณีใด 16

งานหมายเลข 5 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ หาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่อาจเป็นปัญหาเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ แต่เราไม่รู้ $((a)_(1))$ แต่คำศัพท์ใกล้เคียงเป็นที่รู้จัก: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ ให้ลองแสดงพจน์ที่ 5 ในรูปของค่าแรกและส่วนต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับปัญหาก่อนหน้านี้ เราค้นหาว่าหมายเลขบวกของลำดับของเราจะปรากฏที่จุดใด:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\min ))=56. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบจำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือจำนวน 56

โปรดทราบว่าในงานสุดท้าย ทุกอย่างถูกลดทอนให้เหลือความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาง่าย ๆ แล้ว มาต่อกันที่ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นกัน แต่ก่อนอื่น เรามาเรียนรู้คุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันก่อน ซึ่งจะช่วยเราประหยัดเวลาได้มากและเซลล์ที่ไม่เท่ากันในอนาคต :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากับ

พิจารณาเงื่อนไขต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

ฉันสังเกตเห็นสมาชิกโดยพลการ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ และไม่ใช่ $((a)_(1)) ใด ๆ \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ เป็นต้น เพราะกฎซึ่งฉันจะบอกคุณตอนนี้ ทำงานเหมือนกันสำหรับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎนั้นง่ายมาก ให้จำสูตรแบบเรียกซ้ำและจดไว้สำหรับสมาชิกที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้แตกต่างกัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วไงต่อ? แต่ความจริงที่ว่า $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะเดียวกันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกเขาจะถูกลบออกจาก $((a)_(n) ด้วย )$ โดยระยะทางเท่ากันเท่ากับ $2d$ ไปต่อได้ไม่มีกำหนด แต่ภาพสื่อความหมายได้ดี

สิ่งนี้มีความหมายต่อเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถค้นหา $((a)_(n))$ หากทราบหมายเลขใกล้เคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้สรุปข้อความที่ยอดเยี่ยม: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกใกล้เคียง! ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถเบี่ยงเบนจาก $((a)_(n))$ ของเราไปทางซ้ายและทางขวา ไม่ใช่ทีละขั้น แต่โดย $k$ ขั้นตอน — และสูตรก็ยังจะถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ ได้ง่ายๆ ถ้าเรารู้ $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เพราะ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรแก่เราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ งานหลายอย่าง "ลับคม" เป็นพิเศษสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดูสิ:

งานหมายเลข 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ เพื่อให้ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ในลำดับที่ระบุ)

วิธีการแก้. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของการก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจ: องค์ประกอบกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบที่อยู่ใกล้เคียงได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองแบบคลาสสิก รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: -3; 2.

งานหมายเลข 7 ค้นหาค่าของ $$ เพื่อให้ตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ สร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับ)

วิธีการแก้. อีกครั้ง เราแสดงระยะกลางในรูปของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคำศัพท์ข้างเคียง:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

สมการกำลังสองอีก และอีกสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในกระบวนการแก้ปัญหา คุณได้รับตัวเลขที่โหดเหี้ยมหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบทั้งหมด แสดงว่ามีเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมที่ช่วยให้คุณสามารถตรวจสอบ: เราแก้ปัญหาถูกต้องหรือไม่

สมมติว่าในโจทย์ที่ 6 เราได้คำตอบ -3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้าในสภาพเดิมแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ให้ฉันเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งควรสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทดแทน $x=-3$:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้ตัวเลข -54; -2; 50 ที่แตกต่างจาก 52 อย่างไม่ต้องสงสัยคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ $x=2$:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดตำแหน่ง)\]

คืบหน้าอีกครั้ง แต่มีความแตกต่าง 27 ดังนั้น ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการตรวจสอบงานที่สองได้ด้วยตัวเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างถูกต้องอยู่ที่นั่นด้วย

โดยทั่วไป ในขณะที่แก้ไขงานสุดท้าย เราสะดุดกับงานอื่น ความจริงที่น่าสนใจซึ่งต้องจำไว้ด้วย:

หากตัวเลขสามตัวเป็นตัวเลขที่ตัวที่สองเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้จะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เราสามารถ "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามสภาพของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะมีส่วนร่วมใน "การก่อสร้าง" เช่นนี้ เราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งตามมาโดยตรงจากสิ่งที่ได้พิจารณาไปแล้ว

การจัดกลุ่มและผลรวมขององค์ประกอบ

ลองกลับไปที่เส้นจำนวนอีกครั้ง เราสังเกตว่ามีสมาชิกหลายคนของความคืบหน้า ซึ่งบางที คุ้มกับสมาชิกท่านอื่นๆ มากมาย:

ลองแสดง "ส่วนท้ายซ้าย" ในรูปของ $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ในรูปของ $((a)_(k))$ และ $ ดอลลาร์ มันง่ายมาก:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้โปรดทราบว่าผลรวมต่อไปนี้มีค่าเท่ากัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= เอส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= เอส \end(จัดตำแหน่ง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ หากเราพิจารณาว่าเป็นการเริ่มต้นสององค์ประกอบของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วเท่ากับ $S$ บางส่วน จากนั้นเราเริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ไปยัง ฝ่ายตรงข้าม(เข้าหากันหรือในทางกลับกันเพื่อเอาออก) แล้ว ผลรวมของธาตุที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากัน$S$. สิ่งนี้สามารถแสดงได้ดีที่สุดในรูปแบบกราฟิก:

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาในระดับความซับซ้อนที่สูงกว่าระดับพื้นฐานที่เราได้พิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

งานหมายเลข 8 กำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยที่เทอมแรกคือ 66 และผลิตภัณฑ์ของเทอมที่สองและสิบสองนั้นน้อยที่สุด

วิธีการแก้. ให้เขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ ที่จริงแล้ว โซลูชันทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดตำแหน่ง)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในถัง: ฉันได้นำปัจจัยร่วม 11 ออกจากวงเล็บเหลี่ยมที่สอง ดังนั้น ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการจึงเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สัมพันธ์กับตัวแปร $d$ ดังนั้น ลองพิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้นเพราะ ถ้าเราเปิดวงเล็บ เราจะได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น สัมประสิทธิ์ที่เทอมสูงสุดคือ 11 - นี่คือ จำนวนบวกดังนั้นเราจึงจัดการกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้นจริง ๆ :

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสอง- พาราโบลา

โปรดทราบ: พาราโบลานี้ใช้ค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณ abscissa นี้ได้ตามรูปแบบมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่จะสมเหตุสมผลกว่ามาก โปรดทราบว่าจุดยอดที่ต้องการอยู่บนแกนสมมาตรของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงห่างจากรากของสมการเท่ากัน $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมนั้นรากนั้นหาง่ายมาก ดังนั้น abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

อะไรให้ตัวเลขที่ค้นพบแก่เรา? ด้วยสิ่งนี้ ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการใช้ค่าที่น้อยที่สุด (แต่เราไม่ได้คำนวณ $((y)_(\min ))$ - สิ่งนี้ไม่จำเป็นสำหรับเรา) ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขนี้คือความแตกต่างของความก้าวหน้าเริ่มต้น กล่าวคือ เราพบคำตอบ :)

คำตอบ: -36

งานหมายเลข 9 แทรกตัวเลขสามตัวระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ เพื่อให้รวมกับตัวเลขที่กำหนด พวกมันจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

วิธีการแก้. อันที่จริง เราจำเป็นต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยที่หมายเลขแรกและหมายเลขสุดท้ายทราบอยู่แล้ว ระบุตัวเลขที่หายไปโดยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - ระยะห่างเท่ากันจากตัวเลข $x$ และ $z$ และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และถ้าจากตัวเลข $x$ และ $z$ เราอยู่ใน ช่วงเวลานี้เราไม่สามารถรับ $y$ ได้ ดังนั้นสถานการณ์จะแตกต่างไปจากจุดสิ้นสุดของความคืบหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้ เมื่อรู้ $y$ แล้ว เราจะหาตัวเลขที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่าง $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ เพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผลที่

การโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบทั้งสามตัวเลข ลองเขียนคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

งานหมายเลข 10 ระหว่างตัวเลข 2 และ 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวที่รวมกันกับตัวเลขที่กำหนด ทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าทราบว่าผลรวมของตัวเลขที่หนึ่ง ที่สอง และท้ายสุดของตัวเลขที่แทรกคือ 56

วิธีการแก้. งานที่ยากยิ่งขึ้นไปอีกซึ่งได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับงานก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้แน่ชัดว่าต้องใส่ตัวเลขกี่ตัว ดังนั้นเพื่อความชัดเจน เราคิดว่าหลังจากใส่แล้วจะมีตัวเลข $n$ อย่างแน่นอน และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงเป็น:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ที่ยืนอยู่ตรงขอบทีละก้าวเข้าหากัน , กล่าวคือ . ไปที่ศูนย์กลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((อัน)_(2))+((อัน)_(n-1))=2+42=44\]

แต่แล้วนิพจน์ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราจะสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เหลือเพียงการค้นหาสมาชิกที่เหลือ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาที่ด้านซ้ายสุดของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องแทรกตัวเลขเพียง 7 ตัว: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

งานข้อความที่มีความก้าวหน้า

โดยสรุปฉันอยากจะพิจารณาสองสามอย่าง งานง่ายๆ. ง่ายๆ ก็คือ สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและยังไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนข้างต้น งานเหล่านี้อาจดูเหมือนเป็นการแสดงท่าทาง อย่างไรก็ตาม มันเป็นงานที่เจอใน OGE และ USE ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างแม่นยำ ดังนั้นฉันจึงแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับสิ่งเหล่านี้

งานหมายเลข 11 ทีมงานได้ผลิตชิ้นส่วน 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมาผลิตชิ้นส่วนมากกว่า 14 ชิ้นก่อนหน้านี้ กองพลน้อยผลิตได้กี่ส่วนในเดือนพฤศจิกายน

วิธีการแก้. เห็นได้ชัดว่าจำนวนชิ้นส่วนที่วาดตามเดือนจะมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น และ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราจึงต้องหา $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้น 202 ชิ้นส่วนจะถูกผลิตในเดือนพฤศจิกายน

งานหมายเลข 12 เวิร์กช็อปการเย็บเล่มมีหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนมีหนังสือผูกมัด 4 เล่มมากกว่าเดือนก่อนหน้า เวิร์กชอปผูกหนังสือกี่เล่มในเดือนธันวาคม

วิธีการแก้. เหมือนกันทั้งหมด:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ธันวาคมเป็นเดือนที่ 12 สุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงมองหา $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณได้อ่านมาถึงตอนนี้ ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ: คุณสำเร็จ "หลักสูตรนักสู้รุ่นเยาว์" ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถไปยังบทเรียนต่อไปได้อย่างปลอดภัย ซึ่งเราจะศึกษาสูตรผลรวมของความก้าวหน้า ตลอดจนผลที่สำคัญและมีประโยชน์มากจากมัน

ตัวอย่างเช่น ลำดับ \(2\); \(5\); \(แปด\); \(สิบเอ็ด\); \(14\)… เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากองค์ประกอบถัดไปแต่ละองค์ประกอบแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าทีละสาม (สามารถรับได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการเพิ่มสาม):

ในความคืบหน้านี้ ผลต่าง \(d\) เป็นค่าบวก (เท่ากับ \(3\)) ดังนั้นแต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม \(d\) ยังสามารถเป็น จำนวนลบ. ตัวอย่างเช่น, ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(16\); \(สิบ\); \(สี่\); \(-2\); \(-8\)… ความแตกต่างของความก้าวหน้า \(d\) เท่ากับลบหก

และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ตัวเลขที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้านั้นเรียกว่า สมาชิก(หรือองค์ประกอบ)

พวกมันเขียนแทนด้วยตัวอักษรเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับหมายเลของค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) เป็นต้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความก้าวหน้า \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โดยหลักการแล้ว ข้อมูลข้างต้นก็เพียงพอแล้วที่จะแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงปัญหาที่ OGE เสนอให้)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(b_1=7; d=4\) ค้นหา \(b_5\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(b_5=23\)

ตัวอย่าง (OGE) สามเทอมแรกของการก้าวหน้าเลขคณิตจะได้รับ: \(62; 49; 36…\) ค้นหาค่าของเทอมเชิงลบแรกของการก้าวหน้านี้..
วิธีการแก้:

ตอบ: \(-3\)

ตัวอย่าง (OGE) องค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้รับ: \(...5; x; 10; 12.5...\) ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษร \(x\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(7,5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขต่อไปนี้: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) หาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_6=9\).

ตัวอย่าง (OGE) ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้
วิธีการแก้:

ตอบ: \(d=7\).

สูตรก้าวหน้าเลขคณิตที่สำคัญ

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตจำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดยการทำความเข้าใจในสิ่งสำคัญ - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นห่วงโซ่ของตัวเลข และองค์ประกอบถัดไปแต่ละองค์ประกอบในห่วงโซ่นี้ได้มาโดยการเพิ่มตัวเลขเดียวกันเข้ากับค่าก่อนหน้า (ส่วนต่าง) ของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็มีสถานการณ์ที่ไม่สะดวกอย่างยิ่งที่จะแก้ "บนหน้าผาก" ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าในตัวอย่างแรก เราจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่ห้า \(b_5\) ไม่ใช่องค์ประกอบที่ห้า แต่องค์ประกอบที่สามร้อยแปดสิบหก \(b_(386)\) มันคืออะไรเรา \ (385 \) ครั้งเพื่อเพิ่มสี่? หรือลองนึกภาพว่าในตัวอย่างสุดท้าย คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบเจ็ดสิบสามตัวแรก การนับทำให้สับสน...

ดังนั้นในกรณีเช่นนี้พวกเขาจะไม่แก้ "บนหน้าผาก" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้รับมาจากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และตัวหลักคือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก

สูตรสำหรับสมาชิก \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\) โดยที่ \(a_1\) เป็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า
\(n\) – จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการ;
\(a_n\) เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยตัวเลข \(n\)

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาองค์ประกอบที่สามร้อยเป็นอย่างน้อย แม้แต่ส่วนที่ล้านได้อย่างรวดเร็ว โดยรู้เพียงความแตกต่างแรกและความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). ค้นหา \(b_(246)\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(b_(246)=1850\).

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกคือ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) โดยที่

\(a_n\) เป็นเทอมสุดท้าย;

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(a_n=3.4n-0.6\) หาผลรวมของเงื่อนไข \(25\) แรกของความคืบหน้านี้
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_(25)=1090\).

สำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก คุณสามารถรับสูตรอื่น: คุณเพียงแค่ต้อง \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) แทน \(a_n\) แทนที่สูตรสำหรับมัน \(a_n=a_1+(n-1)d\) เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกคือ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) โดยที่

\(S_n\) – ผลรวมที่ต้องการ \(n\) ขององค์ประกอบแรก;
\(a_1\) เป็นเทอมแรกที่จะถูกรวม;
\(d\) – ความแตกต่างของความก้าวหน้า;
\(n\) - จำนวนองค์ประกอบในผลรวม

ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขแรก \(33\)-ex ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(17\); \(15,5\); \(สิบสี่\)…
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_(33)=-231\).

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกือบทุกอย่างแล้ว มาจบหัวข้อกันโดยพิจารณาถึงปัญหาที่ไม่ใช่แค่ใช้สูตรแต่คิดนิดหน่อยด้วย (ในวิชาคณิตศาสตร์นี่มีประโยชน์นะ☺)

ตัวอย่าง (OGE) ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเชิงลบทั้งหมดของความก้าวหน้า: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_(65)=-630.5\)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\) ค้นหาผลรวมจากองค์ประกอบ \(26\)th ถึง \(42\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(ส=1683\).

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีอีกหลายสูตรที่เรายังไม่ได้พิจารณาในบทความนี้เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย