ผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนังสือเรียน ข้อสอบและ GIA วิธีหาจำนวนเลขในลำดับขั้นเลขคณิต

ตัวอย่างเช่น ลำดับ \(2\); \(5\); \(8\); \(สิบเอ็ด\); \(14\)… เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบถัดไปจะแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าถึงสาม (สามารถรับได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยเพิ่มสาม):

ในความก้าวหน้านี้ ผลต่าง \(d\) เป็นค่าบวก (เท่ากับ \(3\)) ดังนั้นแต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าเทอมก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม \(d\) ก็สามารถเป็นจำนวนลบได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นในความก้าวหน้าทางเลขคณิต \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ผลต่างของความก้าวหน้า \(d\) เท่ากับ ลบ 6

และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้าแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ตัวเลขที่เป็นความก้าวหน้าเรียกว่า สมาชิก(หรือองค์ประกอบ).

พวกเขาแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับหมายเลของค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) และอื่นๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความก้าวหน้า \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

โดยหลักการแล้ว ข้อมูลข้างต้นเพียงพอแล้วสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต (รวมถึงปัญหาที่นำเสนอที่ OGE)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(b_1=7; d=4\) ค้นหา \(b_5\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(b_5=23\)

ตัวอย่าง (OGE) กำหนดสามพจน์แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(62; 49; 36…\) จงหาค่าของพจน์เชิงลบแรกของความก้าวหน้านี้..
สารละลาย:

คำตอบ: \(-3\)

ตัวอย่าง (OGE) มีองค์ประกอบต่อเนื่องหลายรายการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(...5; x; 10; 12.5...\) ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษร \(x\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(7,5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไขต่อไปนี้: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) จงหาผลรวมของหกพจน์แรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_6=9\).

ตัวอย่าง (OGE) ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(d=7\).

สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตมากมายสามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยการทำความเข้าใจสิ่งสำคัญ นั่นคือ ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือสายโซ่ของตัวเลข และแต่ละองค์ประกอบถัดไปในสายนี้จะได้รับโดยการบวกเลขเดียวกันกับเลขก่อนหน้า (ความแตกต่างของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตามบางครั้งมีสถานการณ์ที่ไม่สะดวกในการแก้ปัญหา "ที่หน้าผาก" ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าในตัวอย่างแรก เราไม่จำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่ห้า \(b_5\) แต่เป็นองค์ประกอบที่สามร้อยแปดสิบหก \(b_(386)\) มันคืออะไร เรา \ (385 \) คูณสี่? หรือจินตนาการว่าในตัวอย่างสุดท้าย คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบเจ็ดสิบสามตัวแรก การนับเป็นเรื่องที่สับสน...

ดังนั้น ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาไม่ได้แก้ "ที่หน้าผาก" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้มาสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต และสูตรหลักคือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของการก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก

สูตรสำหรับสมาชิก \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\) โดยที่ \(a_1\) เป็นสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า
\(n\) – จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการ
\(a_n\) เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่มีหมายเลข \(n\)

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาองค์ประกอบอย่างน้อยสามในร้อยหรือแม้แต่องค์ประกอบที่ล้านได้อย่างรวดเร็ว โดยรู้เพียงความแตกต่างของลำดับแรกและความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). ค้นหา \(b_(246)\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(b_(246)=1850\).

สูตรหาผลบวกของพจน์ n พจน์แรกคือ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) โดยที่

\(a_n\) เป็นผลรวมสุดท้าย;

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(a_n=3.4n-0.6\) หาผลรวมของพจน์ \(25\) แรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(25)=1090\).

สำหรับผลรวม \(n\) ของพจน์แรก คุณจะได้สูตรอื่น: คุณแค่ต้อง \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) แทน \(a_n\) แทนที่สูตรด้วย \(a_n=a_1+(n-1)d\) เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกคือ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) โดยที่

\(S_n\) – ผลรวมที่ต้องการ \(n\) ขององค์ประกอบแรก;
\(a_1\) คือพจน์แรกที่จะนำมาบวกกัน
\(d\) – ความแตกต่างของความก้าวหน้า;
\(n\) - จำนวนองค์ประกอบในผลรวม

ตัวอย่าง. หาผลรวมของ \(33\)-ex พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(33)=-231\).

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตเกือบทุกปัญหา มาจบหัวข้อด้วยการพิจารณาปัญหาที่คุณไม่เพียงต้องใช้สูตร แต่ยังต้องคิดสักนิด (ในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งนี้มีประโยชน์ ☺)

ตัวอย่าง (OGE) หาผลรวมของพจน์เชิงลบทั้งหมดของความก้าวหน้า: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(65)=-630.5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). หาผลบวกจากองค์ประกอบ \(26\)th ถึง \(42\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(S=1683\).

สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต มีสูตรอีกมากมายที่เรายังไม่ได้พิจารณาในบทความนี้ เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตามคุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย

เมื่อเรียนพีชคณิตในโรงเรียนมัธยม (เกรด 9) หนึ่งในหัวข้อที่สำคัญคือการศึกษาลำดับตัวเลขซึ่งรวมถึงความก้าวหน้า - เรขาคณิตและเลขคณิต ในบทความนี้ เราจะพิจารณาความก้าวหน้าทางเลขคณิตและตัวอย่างพร้อมคำตอบ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ จำเป็นต้องให้คำจำกัดความของความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณา รวมทั้งให้สูตรพื้นฐานที่จะใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตหรือพีชคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่เรียงลำดับ ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะแตกต่างจากค่าคงที่ก่อนหน้า ค่านี้เรียกว่าความแตกต่าง นั่นคือ การทราบสมาชิกใดๆ ของชุดตัวเลขที่เรียงลำดับและผลต่าง คุณสามารถเรียกคืนความก้าวหน้าทางเลขคณิตทั้งหมดได้

ลองมาเป็นตัวอย่าง ลำดับถัดไปของตัวเลขจะเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต: 4, 8, 12, 16, ... เนื่องจากความแตกต่างในกรณีนี้คือ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) แต่ชุดของตัวเลข 3, 5, 8, 12, 17 ไม่สามารถนำมาประกอบกับประเภทความก้าวหน้าที่พิจารณาได้อีกต่อไป เนื่องจากผลต่างไม่ใช่ค่าคงที่ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12)

สูตรที่สำคัญ

ตอนนี้เราให้สูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการแก้ปัญหาโดยใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต ให้ a แทนสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม ความแตกต่างแสดงด้วยตัวอักษรละติน d จากนั้นนิพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:

1. ในการกำหนดค่าของเทอมที่ n สูตรนี้เหมาะสม: a n \u003d (n-1) * d + a 1
2. วิธีหาผลรวมของพจน์ n แรก: S n = (a n + a 1)*n/2

เพื่อให้เข้าใจถึงตัวอย่างใดๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตด้วยวิธีแก้ปัญหาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ก็เพียงพอแล้วที่จะจำสูตรทั้งสองนี้ เนื่องจากปัญหาใดๆ ของประเภทที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นสร้างขึ้นจากการใช้งาน นอกจากนี้ อย่าลืมว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยสูตร: d = a n - a n-1

ตัวอย่าง #1: การค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จัก

เรายกตัวอย่างง่ายๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและสูตรที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหา

ปล่อยให้ลำดับ 10, 8, 6, 4, ... จำเป็นต้องค้นหาคำศัพท์ห้าคำในนั้น

ต่อจากเงื่อนไขของโจทย์ที่รู้ 4 เทอมแรกแล้ว ห้าสามารถกำหนดได้สองวิธี:

1. ลองคำนวณส่วนต่างก่อน เรามี: d = 8 - 10 = -2 ในทำนองเดียวกัน เราสามารถใช้คำศัพท์อีกสองคำที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น d = 4 - 6 = -2 เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่า d \u003d a n - a n-1 จากนั้น d \u003d a 5 - a 4 จากที่เราได้รับ: a 5 \u003d a 4 + d เราแทนค่าที่ทราบ: a 5 = 4 + (-2) = 2
2. วิธีที่สองต้องการความรู้เรื่องความแตกต่างของความก้าวหน้าที่เป็นปัญหาด้วย ดังนั้นคุณต้องพิจารณาก่อน ดังที่แสดงไว้ด้านบน (d = -2) เมื่อรู้ว่าเทอมแรก a 1 = 10 เราใช้สูตรสำหรับจำนวน n ของลำดับ เรามี: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n แทน n = 5 ในนิพจน์สุดท้าย เราจะได้: a 5 = 12-2 * 5 = 2

อย่างที่คุณเห็น โซลูชันทั้งสองนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ผลต่าง d ของความก้าวหน้าเป็นค่าลบ ลำดับดังกล่าวเรียกว่า การลดลง เนื่องจากแต่ละเทอมที่ต่อเนื่องกันน้อยกว่าลำดับก่อนหน้า

ตัวอย่าง #2: ความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตอนนี้มาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยยกตัวอย่างวิธีการ

เป็นที่ทราบกันดีว่าในบางเทอมที่ 1 เท่ากับ 6 และเทอมที่ 7 เท่ากับ 18 จำเป็นต้องค้นหาผลต่างและคืนค่าลำดับนี้เป็นเทอมที่ 7

ลองใช้สูตรเพื่อหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก: a n = (n - 1) * d + a 1 เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขลงไปนั่นคือตัวเลข 1 และ 7 เรามี: 18 \u003d 6 + 6 * d จากนิพจน์นี้ คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: d = (18 - 6) / 6 = 2 ดังนั้น ส่วนแรกของปัญหาจึงได้รับคำตอบ

ในการคืนค่าลำดับไปยังสมาชิกตัวที่ 7 คุณควรใช้นิยามของความก้าวหน้าทางพีชคณิต นั่นคือ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d เป็นต้น เป็นผลให้เราคืนค่าลำดับทั้งหมด: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18

ตัวอย่าง #3: ความก้าวหน้า

ให้เราทำให้เงื่อนไขของปัญหาซับซ้อนยิ่งขึ้น ตอนนี้คุณต้องตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราสามารถยกตัวอย่างต่อไปนี้: ให้ตัวเลขสองตัว เช่น 4 และ 5 จำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าทางพีชคณิตเพื่อให้มีคำศัพท์อีกสามคำที่เหมาะสมระหว่างค่าเหล่านี้

ก่อนที่จะเริ่มแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าหมายเลขที่กำหนดจะอยู่ในตำแหน่งใดในอนาคต เนื่องจากจะมีคำศัพท์อีกสามคำระหว่างพวกเขา ดังนั้น 1 \u003d -4 และ 5 \u003d 5 เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้ว เราจึงดำเนินการงานที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ อีกครั้งสำหรับเทอมที่ n เราใช้สูตร เราได้: a 5 \u003d a 1 + 4 * d จาก: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ความแตกต่างนี้ไม่ใช่ค่าจำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นสูตรสำหรับความก้าวหน้าทางพีชคณิตจึงยังคงเหมือนเดิม

ตอนนี้เรามาเพิ่มผลต่างที่พบเป็น 1 และกู้คืนสมาชิกที่ขาดหายไปของความก้าวหน้า เราได้: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ซึ่งตรงกับเงื่อนไขของปัญหา

ตัวอย่าง #4: สมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า

เรายังคงยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตพร้อมวิธีแก้ปัญหา ในปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมด ทราบจำนวนแรกของความก้าวหน้าทางพีชคณิต ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาประเภทอื่น: ให้กำหนดตัวเลขสองตัวโดยที่ 15 = 50 และ 43 = 37 จำเป็นต้องค้นหาว่าลำดับนี้เริ่มต้นจากหมายเลขใด

สูตรที่ใช้มาจนถึงปัจจุบันถือว่ามีความรู้เกี่ยวกับ 1 และ d ไม่ทราบเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ในเงื่อนไขของปัญหา อย่างไรก็ตาม ลองเขียนนิพจน์สำหรับแต่ละคำที่เรามีข้อมูล: a 15 = a 1 + 14 * d และ a 43 = a 1 + 42 * d เราได้สมการสองสมการซึ่งมี 2 ปริมาณที่ไม่รู้จัก (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่าปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่ระบุจะแก้ปัญหาได้ง่ายที่สุดหากคุณแสดง 1 ในแต่ละสมการ แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ สมการแรก: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; สมการที่สอง: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้เราจะได้รับ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d ดังนั้นความแตกต่าง d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (กำหนดทศนิยม 3 ตำแหน่งเท่านั้น)

เมื่อรู้ d คุณสามารถใช้ 2 นิพจน์ด้านบนเป็น 1 ได้ ตัวอย่างเช่น อันดับแรก: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ คุณสามารถตรวจสอบได้ เช่น กำหนดสมาชิกลำดับที่ 43 ของความก้าวหน้าซึ่งระบุไว้ในเงื่อนไข เราได้: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเกิดจากการปัดเศษเป็นเศษส่วนในการคำนวณ

ตัวอย่าง #5: ผลรวม

ทีนี้มาดูตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ให้ความก้าวหน้าเป็นตัวเลขในรูปแบบต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ...,. จะคำนวณผลรวมของ 100 ของตัวเลขเหล่านี้ได้อย่างไร?

ด้วยการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ทำให้ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้นั่นคือเพิ่มจำนวนทั้งหมดตามลำดับซึ่งคอมพิวเตอร์จะทำทันทีที่มีคนกดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตาม ปัญหาสามารถแก้ไขได้ทางจิตใจหากคุณใส่ใจว่าชุดตัวเลขที่นำเสนอนั้นเป็นความก้าวหน้าเชิงพีชคณิตและความแตกต่างของมันคือ 1 ใช้สูตรสำหรับผลรวม เราได้รับ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050

เป็นที่น่าสังเกตว่าปัญหานี้เรียกว่า "เกาส์เซียน" เนื่องจากเมื่อต้นศตวรรษที่ 18 ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียงซึ่งอายุเพียง 10 ขวบก็สามารถแก้ปัญหาในใจได้ในไม่กี่วินาที เด็กชายไม่รู้สูตรหาผลบวกของความก้าวหน้าทางพีชคณิต แต่เขาสังเกตเห็นว่าถ้าคุณบวกเลขคู่ที่อยู่ขอบลำดับ คุณจะได้ผลลัพธ์หนึ่งเสมอ นั่นคือ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... และเนื่องจากผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100 / 2) เป๊ะๆ ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง การคูณ 50 ด้วย 101 ก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่าง #6: ผลรวมของพจน์ตั้งแต่ n ถึง m

อีกตัวอย่างทั่วไปของผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีดังต่อไปนี้: ให้ชุดตัวเลข: 3, 7, 11, 15, ... คุณต้องหาว่าผลรวมของพจน์ตั้งแต่ 8 ถึง 14 จะเป็นเท่าใด

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสองวิธี อันดับแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จักตั้งแต่ 8 ถึง 14 จากนั้นจึงสรุปตามลำดับ เนื่องจากมีคำศัพท์น้อย วิธีนี้จึงใช้ความพยายามไม่เพียงพอ อย่างไรก็ตามมีการเสนอให้แก้ปัญหานี้ด้วยวิธีที่สองซึ่งเป็นสากลมากขึ้น

แนวคิดคือการหาสูตรสำหรับผลบวกของความก้าวหน้าทางพีชคณิตระหว่างเทอม m และ n โดยที่ n > m เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทั้งสองกรณี เราเขียนสองนิพจน์สำหรับผลรวม:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

เนื่องจาก n > m เห็นได้ชัดว่าผลรวม 2 รวมค่าแรกด้วย ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าถ้าเราใช้ผลต่างระหว่างผลรวมเหล่านี้และเพิ่มคำ a m เข้าไป (ในกรณีของผลต่างจะถูกลบออกจากผลรวม S n) จากนั้นเราจะได้คำตอบที่จำเป็นสำหรับปัญหา เรามี: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) จำเป็นต้องแทนสูตรสำหรับ a n และ a m ในนิพจน์นี้ จากนั้นเราจะได้: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2

สูตรผลลัพธ์ค่อนข้างยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม ผลรวม S mn ขึ้นอยู่กับ n, m, a 1 และ d เท่านั้น ในกรณีของเรา a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8 เมื่อแทนจำนวนเหล่านี้แล้ว เราจะได้: S mn = 301

ดังที่เห็นได้จากวิธีแก้ปัญหาข้างต้น ปัญหาทั้งหมดขึ้นอยู่กับความรู้ของนิพจน์สำหรับเทอมที่ n และสูตรสำหรับผลรวมของเซตของเทอมแรก ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ปัญหาใดๆ เหล่านี้ ขอแนะนำให้คุณอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียด เข้าใจอย่างชัดเจนว่าคุณต้องการค้นหาอะไร จากนั้นจึงดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือการพยายามให้เรียบง่าย นั่นคือหากคุณสามารถตอบคำถามได้โดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คุณต้องทำเช่นนั้น เนื่องจากในกรณีนี้ความน่าจะเป็นที่จะผิดพลาดมีน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 6 เราสามารถหยุดที่สูตร S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m และแบ่งงานทั่วไปเป็นงานย่อยแยกกัน (ในกรณีนี้ ให้หาเงื่อนไข a n และ a m ก่อน)

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ ขอแนะนำให้ตรวจสอบ ดังที่ได้ดำเนินการไปแล้วในตัวอย่างบางส่วนที่ให้มา ค้นพบความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้อย่างไร เมื่อเข้าใจแล้วก็ไม่ยาก

บางคนปฏิบัติต่อคำว่า "ความก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เป็นคำที่ซับซ้อนมากจากส่วนของคณิตศาสตร์ขั้นสูง ในขณะเดียวกัน ความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของเคาน์เตอร์แท็กซี่ (ซึ่งยังคงอยู่) และการทำความเข้าใจสาระสำคัญ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจสาระสำคัญ") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องยากนักโดยได้วิเคราะห์แนวคิดเบื้องต้นบางประการ

ลำดับเลขทางคณิตศาสตร์

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลำดับตัวเลขว่าชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

และ 1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ;

และ 2 เป็นสมาชิกลำดับที่สองของลำดับ;

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ;

และ n เป็นสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ;

อย่างไรก็ตามไม่มีตัวเลขและตัวเลขตามอำเภอใจที่เราสนใจ เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของสมาชิกตัวที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับของมันโดยการพึ่งพาอาศัยกันซึ่งสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนทางคณิตศาสตร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าตัวเลขของจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

a - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข

n คือหมายเลขซีเรียล

f(n) เป็นฟังก์ชันที่เลขลำดับในลำดับตัวเลข n เป็นอาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตมักจะเรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งแต่ละพจน์ที่ตามมามีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ลำดับก่อนหน้าด้วยจำนวนเดียวกัน สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

เป็นการง่ายที่จะตัดสินว่าหากผลต่างเป็นค่าบวก (d>0) สมาชิกลำดับถัดไปของอนุกรมที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมากกว่าค่าก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางเลขคณิตดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเห็นได้ง่ายว่าเหตุใดลำดับตัวเลขจึงเรียกว่า "เพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (ง<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

ค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งจำเป็นต้องหาค่าของ a n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยพลการ คุณสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับตั้งแต่ค่าแรกไปจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่สามารถยอมรับได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องหาค่าของพจน์ที่ห้าพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้าด้วยผลต่างของความก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนสมาชิกที่ต้องการ ลบหนึ่ง

สูตรนี้เป็นสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของการก้าวหน้าเลขคณิต

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกตัวแรกของลำดับคือ 3;

ความแตกต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

งาน: จำเป็นต้องค้นหาค่าของเงื่อนไข 214

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดค่าของสมาชิกที่กำหนด เราใช้สูตร:

ก(n) = a1 + ง(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำสั่งปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

ก(214) = ก1 + ง(n-1)

ก(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: สมาชิกลำดับที่ 214 ของลำดับมีค่าเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนพจน์ที่กำหนด

บ่อยครั้งในชุดเลขคณิตที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดผลรวมของค่าของเซ็กเมนต์บางส่วน นอกจากนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละคำแล้วรวมเข้าด้วยกัน วิธีนี้ใช้ได้หากจำนวนคำศัพท์ที่ต้องหาผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่น ๆ จะสะดวกกว่าในการใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตตั้งแต่ 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของสมาชิกตัวที่ 1 และตัวที่ n คูณด้วยหมายเลขสมาชิก n และหารด้วย 2 หากในสูตรค่าของสมาชิกที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เราจะได้รับ:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น ลองแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

เทอมแรกของลำดับเป็นศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ในโจทย์นี้ จำเป็นต้องกำหนดผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมตั้งแต่ 56 ถึง 101

สารละลาย. ลองใช้สูตรเพื่อหาผลรวมของความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

อันดับแรก เราหาผลรวมของค่าของสมาชิก 101 ตัวของความก้าวหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าตั้งแต่วันที่ 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 ออกจาก S 101

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้นผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตสำหรับตัวอย่างนี้คือ:

ส 101 - ส 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ในตอนท้ายของบทความเราจะกลับไปที่ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรก - แท็กซี่มิเตอร์ (มิเตอร์รถแท็กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว

การนั่งแท็กซี่ (ซึ่งรวมถึง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรต่อมาจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ระยะทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรกซึ่งราคารวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกชุดตัวเลขเลขคณิต

หมายเลขสมาชิกคือจำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกเป็นผลรวม

เทอมแรกในโจทย์นี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 หน้า

จำนวนที่เราสนใจ - ค่าของ (27 + 1) สมาชิกลำดับที่ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต - การอ่านมาตรวัดเมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 - 27.999 ... = 28 กม.

ก 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินสำหรับช่วงเวลาที่ยาวนานตามอำเภอใจจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะทางของวัตถุท้องฟ้าถึงดวงสว่างในทางเรขาคณิต นอกจากนี้ ชุดตัวเลขต่างๆ ยังใช้ได้ดีในสถิติและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีลักษณะที่ใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต อัตราการเปลี่ยนแปลง ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ บ่อยครั้งเพื่อแสดงความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคระหว่างการแพร่ระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาอย่างทวีคูณ

สมาชิกตัวที่ N ของชุดตัวเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าตรงที่มันคูณด้วยจำนวนคงที่ - ตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สมาชิกตัวแรกคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ตามลำดับ จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

bn - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของสมาชิกตัวต่อไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นเส้นตรง กราฟทางเรขาคณิตจะวาดภาพต่างออกไปเล็กน้อย:

ในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของสมาชิกโดยพลการ เทอมที่ n ใดๆ ของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวส่วนของการก้าวหน้ายกกำลังของ n ลดลงหนึ่ง:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 ค้นหาระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

ข 5 \u003d ข 1 ∙ คิว (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษ ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้ากับตัวส่วนและสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนที่ลดลงหนึ่ง:

ถ้า b n ถูกแทนที่โดยใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น ค่าของผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของอนุกรมตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกกำหนดเท่ากับ 3 ลองหาผลบวกของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือชุดของตัวเลขที่แต่ละจำนวนมีค่ามากกว่า (หรือน้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน

หัวข้อนี้มักจะยากและเข้าใจยาก ดัชนีตัวอักษร, เทอมที่ n ของความก้าวหน้า, ความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ค่อนข้างสับสนใช่ ... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างจะออกมาทันที)

แนวคิดของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและชัดเจน สงสัย? ไร้ประโยชน์) ดูด้วยตัวคุณเอง

ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

คุณสามารถขยายสายนี้ได้หรือไม่? เลขอะไรจะไปต่อหลังจากห้าตัว? ทุกคน ... เอ่อ ... พูดสั้น ๆ ทุกคนจะเข้าใจว่าเลข 6, 7, 8, 9 ฯลฯ จะไปไกลกว่านั้น

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

คุณสามารถจับรูปแบบ ขยายชุด และตั้งชื่อได้ ที่เจ็ดหมายเลขแถว?

หากคุณพบว่าหมายเลขนี้คือ 20 - ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ! คุณไม่เพียงรู้สึก ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเลขคณิตแต่ยังใช้ในธุรกิจได้สำเร็จ! ถ้าไม่เข้าใจอ่านต่อ

ตอนนี้เรามาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์กัน)

ประเด็นสำคัญประการแรก

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเกี่ยวข้องกับชุดตัวเลขสิ่งนี้ทำให้เกิดความสับสนในตอนแรก เราคุ้นเคยกับการแก้สมการ สร้างกราฟ และอื่น ๆ ... จากนั้นขยายอนุกรม หาจำนวนของอนุกรม ...

ไม่เป็นไร. เป็นเพียงว่าความก้าวหน้าเป็นความคุ้นเคยครั้งแรกกับสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ ส่วนนี้เรียกว่า "ชุด" และทำงานร่วมกับชุดตัวเลขและนิพจน์ คุ้นเคยกันดี)

จุดสำคัญที่สอง

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ตัวเลขใดๆ จะแตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้า ในจำนวนที่เท่ากัน

ในตัวอย่างแรก ความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะเลือกเลขอะไร มันก็มากกว่าเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว ในครั้งที่สอง - สาม จำนวนใดๆ มากกว่าจำนวนก่อนหน้าสามเท่า จริงๆแล้วจังหวะนี้เองที่เปิดโอกาสให้เราจับรูปแบบและคำนวณตัวเลขต่อไปได้

ประเด็นสำคัญประการที่สาม

ช่วงเวลานี้ไม่โดดเด่นใช่ ... แต่สำคัญมาก เขาอยู่ที่นี่: หมายเลขความคืบหน้าแต่ละรายการอยู่ในตำแหน่งนั้นมีหมายเลขแรก มีหมายเลขเจ็ด มีหมายเลขสี่สิบห้า และอื่น ๆ หากคุณสับสนโดยไม่ได้ตั้งใจรูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางเลขคณิตจะหายไปด้วย มันเป็นเพียงชุดของตัวเลข

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอนว่า คำศัพท์และสัญลักษณ์ใหม่จะปรากฏในหัวข้อใหม่ พวกเขาจำเป็นต้องรู้ มิฉะนั้น คุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่น คุณต้องตัดสินใจบางอย่างเช่น:

เขียนหกพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เป็นแรงบันดาลใจหรือไม่) ตัวอักษร ดัชนีบางตัว... และงานก็ไม่ง่ายไปกว่านี้อีกแล้ว คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของคำศัพท์และสัญกรณ์ ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญเรื่องนี้และกลับไปที่งาน

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นชุดตัวเลขที่แต่ละหมายเลขแตกต่างจากชุดก่อนหน้า ในจำนวนที่เท่ากัน

ค่านี้เรียกว่า . มาจัดการกับแนวคิดนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือจำนวนเงินที่หมายเลขความก้าวหน้าใดๆ มากกว่าก่อนหน้านี้

จุดสำคัญประการหนึ่ง โปรดใส่ใจกับคำ "มากกว่า".ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าจะได้หมายเลขความก้าวหน้าแต่ละรายการ การเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตกับตัวเลขก่อนหน้า

ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองจำนวนแถวก็จำเป็นต้อง อันดับแรกตัวเลข เพิ่มความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางเลขคณิต สำหรับการคำนวณ ประการที่ห้า- ความแตกต่างเป็นสิ่งจำเป็น เพิ่มถึง ประการที่สี่ดี ฯลฯ

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตอาจจะ เชิงบวกจากนั้นตัวเลขแต่ละชุดจะกลายเป็นจริง มากกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นตัวอย่างเช่น:

8; 13; 18; 23; 28; .....

นี่คือแต่ละหมายเลข การเพิ่มจำนวนบวก +5 ถึงจำนวนก่อนหน้า

ความแตกต่างสามารถ เชิงลบแล้วแต่ละหมายเลขในชุดจะเป็น น้อยกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อ!) ลดลง

ตัวอย่างเช่น:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ที่นี่ได้รับทุกหมายเลขด้วย การเพิ่มไปที่จำนวนก่อนหน้า แต่เป็นลบ -5

โดยวิธีการที่เมื่อทำงานกับความคืบหน้าจะมีประโยชน์มากในการพิจารณาลักษณะของมันทันที - ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง ช่วยได้มากในการค้นหาทิศทางในการตัดสินใจ ตรวจหาข้อผิดพลาดและแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ง.

วิธีการหา ง? ง่ายมาก. จำเป็นต้องลบออกจากจำนวนใด ๆ ของอนุกรม ก่อนหน้าตัวเลข. ลบ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ผลต่าง")

ลองกำหนดตัวอย่างเช่น งสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้น:

2, 5, 8, 11, 14, ...

เรานำจำนวนแถวที่เราต้องการเช่น 11 ลบออกจากนั้น หมายเลขก่อนหน้าเหล่านั้น. 8:

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี้ ความแตกต่างคือสาม

คุณสามารถใช้เวลา ความก้าวหน้าจำนวนเท่าใดก็ได้เพราะ เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ d-เหมือนกันเสมออย่างน้อยที่ต้นแถว ตรงกลาง อย่างน้อยก็ที่ใดก็ได้ คุณไม่สามารถรับเฉพาะหมายเลขแรกเท่านั้น เพียงเพราะหมายเลขแรกสุด ไม่มีก่อนหน้านี้)

โดยวิธีการที่รู้ว่า ง=3การค้นหาหมายเลขที่เจ็ดของความก้าวหน้านี้ทำได้ง่ายมาก เราเพิ่ม 3 เข้ากับหมายเลขที่ห้า - เราได้ที่หก มันจะเป็น 17 เราเพิ่มสามเข้ากับหมายเลขที่หก เราได้หมายเลขที่เจ็ด - ยี่สิบ

มากำหนดกันเถอะ งสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่ลดลง:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ฉันเตือนคุณว่าโดยไม่คำนึงถึงสัญญาณเพื่อตรวจสอบ งต้องการจากเลขใด เอาไปก่อนหน้านี้เราเลือกความก้าวหน้าเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ เช่น -7 หมายเลขก่อนหน้าของเขาคือ -2 แล้ว:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้: จำนวนเต็ม เศษส่วน จำนวนอตรรกยะ ใดๆ

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

แต่ละหมายเลขในชุดจะถูกเรียก สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้า มีเบอร์ของเขาตัวเลขเป็นไปตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีเล่ห์เหลี่ยม ที่หนึ่ง ที่สอง สาม สี่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น ในความก้าวหน้า 2, 5, 8, 11, 14, ... สองคือสมาชิกตัวแรก ห้าคือตัวที่สอง สิบเอ็ดคือตัวที่สี่ คุณเข้าใจแล้ว ...) โปรดเข้าใจอย่างชัดเจน - ตัวเลขนั้นเองสามารถเป็นอะไรก็ได้ทั้งหมด เศษส่วน ลบ อะไรก็ตามแต่ เลข- เคร่งครัด!

จะเขียนความก้าวหน้าในรูปแบบทั่วไปได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! ตัวเลขแต่ละตัวในชุดเขียนเป็นตัวอักษร ตามกฎแล้วจะใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก. หมายเลขสมาชิกจะแสดงด้วยดัชนีที่ด้านล่างขวา สมาชิกจะถูกเขียนคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรือเครื่องหมายอัฒภาค) ดังนี้:

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1เป็นหมายเลขแรก 3- ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรยุ่งยาก คุณสามารถเขียนชุดนี้สั้น ๆ ดังนี้: (หนึ่ง).

มีความก้าวหน้า ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุด

สุดยอดความก้าวหน้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ห้า สามสิบแปด อะไรก็ได้ แต่มันเป็นจำนวนจำกัด

ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้า - มีจำนวนสมาชิกไม่สิ้นสุดตามที่คุณคาดเดา)

คุณสามารถเขียนลำดับขั้นสุดท้ายเป็นลำดับดังนี้ สมาชิกทั้งหมดและจุดต่อท้าย:

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

หรือแบบนี้ถ้ามีสมาชิกหลายคน:

ก 1 , 2 , ... 14 , 15 .

ในรายการสั้น ๆ คุณจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิก 20 คน) ดังนี้

(และ n), n = 20

จุดไข่ปลาที่ส่วนท้ายของแถวสามารถรับรู้ความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดได้ ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้

ตอนนี้คุณสามารถแก้ปัญหาได้แล้ว งานนั้นง่ายสำหรับการทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่านั้น

ตัวอย่างงานสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

มาดูงานที่ด้านบนให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

1. เขียนสมาชิกหกตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ ให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สิ้นสุด ทราบหมายเลขที่สองของความก้าวหน้านี้: 2 = 5ความแตกต่างของความก้าวหน้าที่ทราบ: d = -2.5เราต้องหาสมาชิกลำดับที่หนึ่ง สาม สี่ ห้า และหกของความก้าวหน้านี้

เพื่อความชัดเจนผมจะเขียนเป็นชุดตามเงื่อนไขของปัญหา สมาชิกหกตัวแรก โดยที่สมาชิกตัวที่สองคือห้า:

ก 1 , 5 , ก 3 , ก 4 , ก 5 , ก 6 ,....

3 = 2 + ง

เราแทนที่ในนิพจน์ 2 = 5และ ง=-2.5. อย่าลืมลบ!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

เทอมที่สามมีค่าน้อยกว่าเทอมที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากมีจำนวนมากกว่าครั้งก่อน เชิงลบค่า ดังนั้นตัวเลขจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้ากำลังลดลง เอาล่ะมาพิจารณากัน) เราพิจารณาสมาชิกคนที่สี่ของซีรี่ส์ของเรา:

4 = 3 + ง

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + ง

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + ง

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ดังนั้นจึงมีการคำนวณเงื่อนไขตั้งแต่สามถึงหก ส่งผลให้ซีรีส์:

ก 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

ยังคงต้องค้นหาเทอมแรก 1ตามวินาทีที่ทราบกันดี นี่คือขั้นตอนในทิศทางอื่นไปทางซ้าย) ดังนั้นผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต งไม่ควรเพิ่ม 2, ก เอาไป:

1 = 2 - ง

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป การตอบสนองของงาน:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ฉันทราบว่าเราได้แก้ไขงานนี้แล้ว กำเริบทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าเท่านั้น ตามหมายเลขก่อนหน้า (ที่อยู่ติดกัน)วิธีอื่นๆ ในการทำงานกับความก้าวหน้าจะกล่าวถึงในภายหลัง

ข้อสรุปที่สำคัญประการหนึ่งสามารถสรุปได้จากงานง่าย ๆ นี้

จดจำ:

ถ้าเราทราบอย่างน้อยหนึ่งสมาชิกและความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถหาสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้านี้ได้

จดจำ? ข้อสรุปง่ายๆ นี้ช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาส่วนใหญ่ของหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ได้ งานทั้งหมดเกี่ยวข้องกับตัวแปรหลักสามประการ: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลต่างของความก้าวหน้า จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทั้งหมด.

แน่นอนว่าพีชคณิตก่อนหน้าทั้งหมดไม่ได้ถูกยกเลิก) อสมการ สมการ และสิ่งอื่นๆ จะถูกแนบไปกับความก้าวหน้า แต่ ตามความก้าวหน้า- ทุกอย่างหมุนรอบสามพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น พิจารณางานที่ได้รับความนิยมในหัวข้อนี้

2. เขียนความก้าวหน้าทางเลขคณิตขั้นสุดท้ายเป็นอนุกรม ถ้า n=5, d=0.4 และ a 1=3.6

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ทุกอย่างถูกกำหนดไว้แล้ว คุณต้องจำวิธีการคำนวณ นับ และจดบันทึกสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ไม่แนะนำให้ข้ามคำในเงื่อนไขงาน: "สุดท้าย" และ " n=5" เพื่อไม่ให้นับจนกว่าคุณจะหน้าเป็นสีน้ำเงินหมด) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนในความก้าวหน้านี้:

2 \u003d 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

มันยังคงเขียนคำตอบ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

งานอื่น:

3. กำหนดว่าหมายเลข 7 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตหรือไม่ (a n) ถ้า 1 \u003d 4.1; d = 1.2

อืม... ใครจะรู้? จะกำหนดบางสิ่งบางอย่างได้อย่างไร?

ฮาว-ฮาว ... ใช่ค่ะ จดความคืบหน้าเป็นซีรี่ย์แล้วลุ้นว่าจะมีเซเว่นหรือเปล่า! พวกเราเชื่อว่า:

2 \u003d 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

3 \u003d 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าเราอายุแค่เจ็ดขวบ เล็ดลอดผ่านระหว่าง 6.5 และ 7.7! เลขเจ็ดไม่ได้อยู่ในชุดตัวเลขของเรา ดังนั้น เลขเจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่กำหนด

คำตอบ: ไม่

และนี่คืองานตาม GIA เวอร์ชันจริง:

4. สมาชิกหลายลำดับของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนออกมา:

... ; 15; X; 9; 6; ...

นี่คือซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเริ่มต้น ไม่มีหมายเลขสมาชิก ไม่มีความแตกต่าง ง. ไม่เป็นไร. ในการแก้ปัญหา ก็เพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิต มาดูกันว่าเราสามารถทำอะไรได้บ้าง ที่จะรู้ว่าจากบรรทัดนี้? ตัวแปรหลักทั้งสามคืออะไร?

หมายเลขสมาชิก ? ที่นี่ไม่มีเลขตัวเดียว

แต่มีสามตัวเลขและ - ความสนใจ! - คำ "ติดต่อกัน"อยู่ในสภาพ. ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะเรียงตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง แถวนี้มีสองคนมั้ย? เพื่อนบ้านตัวเลขที่รู้จัก? ใช่ฉันมี! นี่คือ 9 และ 6 เราจึงสามารถคำนวณความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้! เราลบออกจากหก ก่อนหน้าจำนวนเช่น เก้า:

มีที่ว่างเหลืออยู่ หมายเลขก่อนหน้าของ x คืออะไร สิบห้า ดังนั้นหา x ได้ง่ายโดยการบวกอย่างง่าย ถึง 15 เพิ่มความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

นั่นคือทั้งหมด คำตอบ: x=12

เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตนเอง หมายเหตุ: ปริศนาเหล่านี้ไม่ได้มีไว้สำหรับสูตร เพื่อการเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่านั้น) เราแค่จดชุดตัวเลข-ตัวอักษร ดูและคิด

5. ค้นหาพจน์บวกแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้า 5 = -3; d = 1.1

6. เป็นที่ทราบกันว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (an n) โดยที่ 1 = 1.6; d = 1.3 กำหนดจำนวน n ของเทอมนี้

7. เป็นที่ทราบกันว่าในความก้าวหน้าทางเลขคณิต a 2 = 4; 5 \u003d 15.1 หา 3

8. สมาชิกหลายลำดับของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนออกมา:

... ; 15.6; X; 3.4; ...

ค้นหาระยะของความก้าวหน้าซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษร x

9. รถไฟเริ่มเคลื่อนที่ออกจากสถานี ค่อยๆ เพิ่มความเร็วทีละ 30 เมตรต่อนาที รถไฟจะมีความเร็วเท่าใดในห้านาที ให้คำตอบของคุณเป็นกม./ชม.

10. เป็นที่ทราบกันว่าในความก้าวหน้าทางเลขคณิต a 2 = 5; 6 = -5 ค้นหา 1.

คำตอบ (ระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ทุกอย่างเรียบร้อยดี? อัศจรรย์! คุณสามารถเรียนรู้ความก้าวหน้าทางเลขคณิตในระดับที่สูงขึ้นได้ในบทเรียนต่อไปนี้

ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม ไม่มีปัญหา. ในส่วนพิเศษ 555 ปริศนาทั้งหมดเหล่านี้จะถูกแยกย่อยทีละชิ้น) และแน่นอนว่ามีการอธิบายเทคนิคการปฏิบัติง่ายๆ ที่เน้นวิธีแก้ปัญหาของงานดังกล่าวในทันทีอย่างชัดเจนเหมือนอยู่ในอุ้งมือของคุณ!

โดยวิธีการในปริศนาเกี่ยวกับรถไฟมีสองปัญหาที่คนมักจะสะดุด หนึ่ง - ความก้าวหน้าล้วน ๆ และประการที่สอง - ทั่วไปสำหรับงานใด ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง แสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้ควรแก้ไขอย่างไร

ในบทเรียนนี้ เราตรวจสอบความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและตัวแปรหลัก เพียงพอที่จะแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม งเป็นตัวเลข เขียนเป็นชุด ทุกอย่างจะถูกตัดสิน

วิธีแก้ปัญหาด้วยนิ้วใช้ได้ดีกับส่วนที่สั้นมากๆ ของซีรีส์ ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้ หากอนุกรมยาวขึ้น การคำนวณจะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากมีปัญหาข้อที่ 9 ให้แทนที่ "ห้านาที"บน "สามสิบห้านาที"ปัญหาจะยิ่งแย่ลงไปอีก)

และยังมีงานที่เรียบง่ายในสาระสำคัญ แต่ไร้สาระอย่างยิ่งในแง่ของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น:

กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

แล้วอะไรล่ะ เราจะบวก 1/6 หลายๆ ครั้ง?! เป็นไปได้ไหมที่จะฆ่าตัวตาย!?

คุณทำได้) หากคุณไม่ทราบสูตรง่าย ๆ ที่คุณสามารถแก้ไขงานดังกล่าวได้ภายในหนึ่งนาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนถัดไป และปัญหานั้นได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้วัสดุใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การขยายความคิดของนักเรียนให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับงานที่แก้ไขโดยใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต การจัดกิจกรรมการค้นหาของนักเรียนเมื่อได้รับสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• การพัฒนาทักษะเพื่อรับความรู้ใหม่อย่างอิสระใช้ความรู้ที่ได้รับแล้วเพื่อให้บรรลุงาน
• การพัฒนาความปรารถนาและความจำเป็นในการสรุปข้อเท็จจริงที่ได้รับการพัฒนาความเป็นอิสระ

งาน:

• สรุปและจัดระบบความรู้ที่มีอยู่ในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์"
• รับสูตรสำหรับการคำนวณผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
• สอนการนำสูตรที่ได้มาแก้ปัญหาต่างๆ
• ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ขั้นตอนการหาค่าของนิพจน์ตัวเลข

อุปกรณ์:

• การ์ดที่มีงานสำหรับการทำงานเป็นกลุ่มและคู่
• กระดาษประเมิน
• การนำเสนอ"ความก้าวหน้าเลขคณิต".

I. การทำให้ความรู้พื้นฐานเป็นจริง

1. ทำงานอิสระเป็นคู่

ตัวเลือกที่ 1:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เขียนสูตรแบบเรียกซ้ำที่กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต ยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตและระบุความแตกต่าง

ตัวเลือกที่ 2:

จดสูตรสำหรับพจน์ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ค้นหาพจน์ที่ 100 ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ( หนึ่ง}: 2, 5, 8 …
ในเวลานี้ นักเรียนสองคนที่ด้านหลังกระดานกำลังเตรียมคำตอบสำหรับคำถามเดียวกัน
นักเรียนประเมินผลงานของคู่โดยเปรียบเทียบกับกระดาน (แจกแผ่นพับพร้อมคำตอบ)

2. ช่วงเวลาของเกม

แบบฝึกหัด 1.

ครู.ฉันรู้สึกถึงความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถามฉันเพียงสองคำถาม เพื่อที่หลังจากได้คำตอบแล้ว คุณสามารถบอกชื่อสมาชิกลำดับที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ได้อย่างรวดเร็ว (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

คำถามจากนักเรียน.

1. ระยะที่หกของความก้าวหน้าคืออะไรและแตกต่างกันอย่างไร?
2. ระยะที่แปดของความก้าวหน้าคืออะไรและแตกต่างกันอย่างไร?

หากไม่มีคำถามเพิ่มเติมครูสามารถกระตุ้นพวกเขาได้ - การ "ห้าม" กับ d (ความแตกต่าง) นั่นคือไม่อนุญาตให้ถามว่าความแตกต่างคืออะไร คุณสามารถถามคำถาม: ระยะที่ 6 ของความก้าวหน้าคืออะไร และระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าคืออะไร

ภารกิจที่ 2

มีตัวเลข 20 ตัวเขียนไว้บนกระดาน: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ครูยืนหันหลังให้กระดานดำ นักเรียนพูดจำนวนและครูเรียกหมายเลขนั้นทันที อธิบายว่าฉันทำได้อย่างไร?

ครูจำสูตรของเทอมที่ n น \u003d 3n - 2และการแทนค่าที่กำหนดของ n ค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน หนึ่ง .

ครั้งที่สอง คำชี้แจงของงานการศึกษา

ฉันเสนอให้แก้ปัญหาเก่าย้อนหลังไปถึง 2 พันปีก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งพบในกระดาษปาปิรีของอียิปต์

งาน:“จะบอกคุณว่า: แบ่งข้าวบาร์เลย์ 10 ตวงระหว่างคน 10 คน ผลต่างระหว่างแต่ละคนกับเพื่อนบ้านคือ 1/8 ของตวง”

• ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับหัวข้อความก้าวหน้าทางเลขคณิตอย่างไร? (คนถัดไปแต่ละคนได้รับมากกว่า 1/8 ของการวัด ดังนั้นผลต่างคือ d=1/8, 10 คน ดังนั้น n=10)
• คุณคิดว่าเลข 10 หมายถึงอะไร? (ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้า)
• คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเพื่อให้การแบ่งข้าวบาร์เลย์ตามเงื่อนไขของปัญหาเป็นเรื่องง่ายและสะดวก (ระยะแรกของความก้าวหน้า)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน- รับการพึ่งพาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้ากับจำนวนของพวกเขา เทอมแรกและผลต่าง และตรวจสอบว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องในสมัยโบราณหรือไม่

ก่อนจะได้สูตรมา มาดูกันว่า ชาวอียิปต์โบราณแก้ปัญหาอย่างไร

และพวกเขาแก้ไขดังนี้:

1) 10 มาตรการ: 10 = 1 มาตรการ - ส่วนแบ่งเฉลี่ย;
2) 1 การวัด ∙ = 2 การวัด - สองเท่า เฉลี่ยแบ่งปัน.
สองเท่า เฉลี่ยส่วนแบ่งคือผลรวมของหุ้นของบุคคลที่ 5 และ 6
3) 2 มาตรการ - 1/8 มาตรการ = 1 7/8 มาตรการ - สองเท่าของส่วนแบ่งของบุคคลที่ห้า
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ส่วนแบ่งที่ห้า; และอื่น ๆ คุณสามารถค้นหาส่วนแบ่งของแต่ละคนก่อนหน้าและที่ตามมา

เราได้รับลำดับ:

สาม. การแก้ปัญหาของงาน

1. ทำงานเป็นกลุ่ม

กลุ่มที่ 1:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติ 20 ตัวที่เรียงกัน: ส 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210

โดยทั่วไป

กลุ่มที่สอง:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 (Legend of Little Gauss)

ส 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

บทสรุป:

กลุ่มที่สาม:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 21

วิธีแก้ไข: 1+21=2+20=3+19=4+18…

บทสรุป:

กลุ่ม IV:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 101

บทสรุป:

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณานี้เรียกว่า "วิธีเกาส์"

2. แต่ละกลุ่มนำเสนอวิธีแก้ปัญหาบนกระดาน

3. การอธิบายทั่วไปของวิธีแก้ปัญหาที่เสนอสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยพลการ:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n

เราพบผลรวมนี้โดยโต้แย้งในทำนองเดียวกัน:

4. เราได้แก้ไขงานแล้วหรือยัง?(ใช่.)

IV. ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้สูตรที่ได้รับในการแก้ปัญหา

1. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเก่าตามสูตร

2. การประยุกต์ใช้สูตรในการแก้ปัญหาต่างๆ

3. แบบฝึกหัดสำหรับการสร้างความสามารถในการใช้สูตรในการแก้ปัญหา

ก) หมายเลข 613

ที่ให้ไว้ :( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(และ n): 1, 2, 3, ..., 1,500

หา: เอส 1500

สารละลาย: , และ 1 = 1 และ 1,500 = 1,500

B) ให้: ( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
(และ n): 1, 2, 3, ...
ส n = 210

หา: น
สารละลาย:

V. งานอิสระที่มีการตรวจสอบร่วมกัน

เดนิสไปทำงานเป็นคนส่งของ ในเดือนแรกเงินเดือนของเขาคือ 200 รูเบิล ในแต่ละเดือนต่อมาจะเพิ่มขึ้น 30 รูเบิล เขามีรายได้เท่าไหร่ในหนึ่งปี?

ที่ให้ไว้ :( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1 = 200, d=30, n=12
หา: เอส 12
สารละลาย:

คำตอบ: เดนิสได้รับ 4,380 รูเบิลสำหรับปีนี้

วี.ไอ. การสอนการบ้าน.

1. หน้า 4.3 - เรียนรู้ที่มาของสูตร
2. №№ 585, 623 .
3. เขียนปัญหาที่จะแก้ไขโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน

1. ใบบันทึกคะแนน

2. ต่อประโยค

• วันนี้ในชั้นเรียนฉันได้เรียนรู้...
• เรียนสูตร...
• ฉันเชื่ออย่างนั้น …

3. คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 500 ได้หรือไม่? คุณจะใช้วิธีใดในการแก้ปัญหานี้?

บรรณานุกรม.

1. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา. เอ็ด จี.วี. โดโรฟีวา.มอสโก: การตรัสรู้ 2552