cos2x พับได้ สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานและเอกลักษณ์บาป COS, TG, CTG กลุ่ม IX สูตรของนักแสดง

สูตรหลักของตรีโกณมิติ บทเรียนหมายเลข 1

จำนวนสูตรที่ใช้ในตรีโกณมิติค่อนข้างใหญ่ (ภายใต้ "สูตร" เราหมายถึงไม่นิยาม (ตัวอย่างเช่น tgx \u003d sinx / cosx) และความเท่าเทียมกันของประเภท sin2x \u003d 2sinxcosx) เพื่อให้ง่ายต่อการสำรวจสูตรที่อุดมสมบูรณ์และไม่เหน็ดเหนื่อยแก่นักเรียนที่มีรถตู้ที่หมดสติมีความจำเป็นต้องจัดสรรที่สำคัญที่สุดในหมู่พวกเขา มีเพียงไม่กี่คน - เพียงสามเท่านั้น ของสูตรทั้งสามนี้คนอื่น ๆ ติดตาม นี่คืออัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักและสูตรสำหรับปริมาณไซนัสและโคไซน์และความแตกต่าง:

บาป 2 x + cos 2 x \u003d 1 (1)

SIN (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx (2)

cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny (3)

ของสูตรทั้งสามนี้มีคุณสมบัติทั้งหมดของไซนัสและโคไซน์ (รอบระยะเวลาระยะเวลาค่าของไซน์ 30 0 \u003d π / 6 \u003d 1/2 ฯลฯ ) จากมุมมองนี้ในโปรแกรมโรงเรียนมี ข้อมูลที่ไม่จำเป็นอย่างเป็นทางการอย่างเป็นทางการมาก ดังนั้นสูตร "1-3" เป็นรัฐบาลของอาณาจักรตรีโกณมิติ ให้เราหันไปหาผลที่ตามมา:

1) ไซนัสและโคไซน์ของหลายมุม

หากเราทดแทน (2) และ (3) ค่า x \u003d y เราได้รับ:

sin2x \u003d 2sinxcosch; sinx \u003d sinxcosx-sinxcosx \u003d 0

cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x; cos0 \u003d cos 2 x + sin 2 x \u003d 1

เราได้รับ SIN0 \u003d 0; cos0 \u003d 1 โดยไม่อ้างถึงการตีความทางเรขาคณิตของไซน์และโคไซน์ ในทำนองเดียวกันการใช้สูตร "2-3" สองครั้งเราสามารถนำนิพจน์สำหรับ Sin3x; cos3x; sin4x; cos4x ฯลฯ

Sin3x \u003d sin (2x + x) \u003d sin2xcosx + sinxcos2x \u003d 2sinxcos x 2 + sinx (COS 2 X-SIN 2 x) \u003d 2Sinx (1-SIN x 2) + SINX (1-2SIN 2 x) \u003d 3SINX-4SIN 3 เอ็กซ์

งานสำหรับนักเรียน: ถอนนิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับ cos3x; sin4x; cos4x

2) สูตรลดระดับ

แก้ปัญหาการผกผันแสดงระดับของไซนัสและโคไซน์ผ่านโคไซน์และไซน์ของหลายมุม

ตัวอย่างเช่น: cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 2cos 2 x-1 ดังนั้น: cos 2 x \u003d 1/2 + cos2x / 2

cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x ดังนั้น: บาป 2 x \u003d 1/2-cos2x / 2

สูตรเหล่านี้ใช้บ่อยมาก เพื่อให้เข้าใจได้ดีกว่าฉันแนะนำให้คุณแสดงถึงกราฟิกของชิ้นส่วนซ้ายและขวาของพวกเขา สี่เหลี่ยมของโคไซน์และไซนัสสี่เหลี่ยมเป็น "ห่อ" รอบ ๆ กราฟโดยตรง "y \u003d 1/2" (นี่คือค่าเฉลี่ยสำหรับหลาย ๆ ช่วงค่าของ cos 2 x และ Sin 2 x) ในเวลาเดียวกัน, ความถี่ของการสั่นสองครั้งเมื่อเทียบกับครั้งแรก (ระยะเวลาของการทำงาน COS 2 x 2 x SIN เป็น2π / 2 \u003d π) และแอมพลิจูสั่นเป็นสองเท่า (ค่าสัมประสิทธิ์ 1/2 ในด้านหน้าของ COS2x) .

งาน: แสดงความบาป 3 x; cos 3 x; บาป 4 x; cos 4 x ผ่าน cosines และ sines ของหลายมุม

3) สูตรของนักแสดง

ใช้ความถี่ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของพวกเขาในไตรมาสใด ๆ ของวงจรตรีโกณมิติตามค่าในไตรมาสแรก สูตรของการนำมีกรณีพิเศษมากของสูตร "หลัก" (2-3) ตัวอย่างเช่น:. COS (X + π / 2) \u003d COSXCOS π / 2-SINXSIN π / 2 \u003d COSX * 0 * 1 SINX \u003d sinx

ดังนั้น cos (x + π / 2) \u003d sinx

งาน: สูตรเอาท์พุทสำหรับ SIN (X + π / 2); cos (x + 3 π / 2)

4) สูตรเปลี่ยนจำนวนหรือความแตกต่างของโคไซน์และไซนัสเข้ากับงานและหลัง

เราขับไล่สูตรสำหรับไซนัสผลรวมและความแตกต่างของสองมุม:

SIN (x + y) \u003d sinxcosy + sinycosx (1)

Sin (x-y) \u003d sinxcosy-sinycosx (2)

ย้ายชิ้นส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันเหล่านี้:

Sin (x + y) + SIN (x-y) \u003d sinxcosy + sinycosx + sinxcosy -sinycosx

ข้อกำหนดที่คล้ายกันจะลดลงดังนั้น:

บาป (x + y) + SIN (x-y) \u003d 2sinxcosy (*)

a) เมื่ออ่าน (*), เราจะได้รับสิทธิที่จะถูก:

SINXCOSY \u003d 1/2 (SIN (X + Y) + SIN (X-Y)) (4)

ผลิตภัณฑ์ของ Sines ของสองมุมเท่ากับครึ่งไซนัสของผลรวมและความแตกต่างระหว่างมุมเหล่านี้

b) เมื่ออ่าน (*) จากซ้ายไปขวามันสะดวกในการกำหนด:

x-y \u003d s จากที่นี่เราจะพบ เอช. และ ว. ผ่าน r และ จากพับและหักส่วนซ้ายและขวาของทั้งสองเท่ากัน:

x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (r-s) / 2, แทนที่ (*) แทน (x + y) และ (x-y) ถอนตัวแปรใหม่ r และ จากฉันจะนำเสนอปริมาณของไซนัสผ่านงาน:

sINP + SINC \u003d 2SIN (P + C) / 2COS (P-C) / 2 (5)

ดังนั้นผลโดยตรงของสูตรหลักสำหรับไซนัสผลรวมและความแตกต่างของมุมคือสองความสัมพันธ์ใหม่ (4) และ (5)

c) ตอนนี้แทนที่จะพับส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) เราจะหักพวกเขาจากกัน:

sin (x + y) - SIN (x-y) \u003d 2sinycosx (6)

การอ่านตัวตนนี้ทางด้านขวาไปยังด้านซ้ายนำไปสู่สูตรคล้ายกับ (4) ซึ่งไม่น่าสนใจเพราะ เรารู้วิธีการวางผลงานของไซนัสและโคไซน์ในปริมาณของไซนัส (ดู (4)) การอ่าน (6) จากซ้ายไปขวาให้สูตรที่เปลี่ยนความแตกต่างของไซนัสในงาน:

sINP - SINC \u003d 2SIN ((P-C) / 2) * COS ((P + C) / 2) (7)

ดังนั้นจากความผิดเพี้ยนของเอกลักษณ์ขั้นพื้นฐาน (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx, เราได้รับมากถึงสามใหม่ (4), (5), (7), (7)

งานที่คล้ายกันทำกับตัวตนพื้นฐานอื่น cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny นำไปสู่สี่ใหม่แล้ว:

cosxcosy \u003d ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); COSP + COSC \u003d 2cos ((P + C) / 2) COS ((P-C) / 2);

sinxsiny \u003d ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); COSP-COSC \u003d -2SIN ((P-C) / 2) SIN ((P + C) / 2)

งาน: เพื่อแปลงปริมาณของไซน์และโคไซน์ในงาน:

Sinx + Cozy \u003d? วิธีแก้ปัญหา: หากคุณพยายามที่จะไม่ส่งออกสูตรและพิจารณาคำตอบทันทีในบางตารางของสูตรตรีโกณมิติคุณไม่สามารถหาผลลัพธ์สำเร็จรูปได้ นักเรียนควรเข้าใจว่าไม่จำเป็นต้องจดจำและป้อนสูตรอื่นสำหรับ Sinx + Cozy \u003d ... เนื่องจากโคไซน์ใด ๆ สามารถแสดงในรูปแบบของไซน์และในทางตรงกันข้ามด้วยความช่วยเหลือของสูตรเช่น: Sinx \u003d cos (π / 2 - x), Cozy \u003d Sin (π / 2 - Y) ดังนั้น: Sinx + Cozy \u003d Sinx + Sin (π / 2 - Y) \u003d 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2

สูตรหลักของตรีโกณมิติคือสูตรที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชั่นตรีโกณมิติหลัก Sine, Cosine, Tangent และ Catangenes เชื่อมต่อกันโดยอัตราส่วนจำนวนมาก ด้านล่างเราให้สูตรตรีโกณมิติหลักและเพื่อความสะดวกพวกเขาจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์ที่ตั้งใจไว้ การใช้สูตรเหล่านี้คุณสามารถแก้ปัญหาเกือบทุกงานจากหลักสูตรตรีโกณมิติมาตรฐาน ทันทีที่เราทราบว่าด้านล่างเป็นเพียงสูตรเองและไม่ใช่ข้อสรุปของพวกเขาที่มีบทความที่แยกต่างหากจะทุ่มเท

อัตลักษณ์หลักของตรีโกณมิติ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติให้ความสัมพันธ์ระหว่าง Sinus, Cosine, Tangent และ Catangent ของมุมหนึ่งช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชั่นเดียวผ่านอีก

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

sin 2 A + COS 2 A \u003d 1 TG α \u003d SIN α cos α, ctg α \u003d cos α sin α tg α· ctg α \u003d 1 tg 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, ctg 2 α + 1 \u003d 1 sin 2 α

ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้จะถูกวัดโดยตรงจากคำจำกัดความของวงกลมเดียวไซนัส (SIN), โคไซน์ (COS), Tangent (TG) และ Cotangent (CTG)

สูตรของนักแสดง

สูตรการชี้แจงช่วยให้คุณสามารถย้ายจากการทำงานกับโดยพลการและโดยพลการด้วยมุมกว้างเพื่อทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

สูตรของนักแสดง

บาปα + 2 π Z \u003d sin α, cos α + 2 π Z \u003d cos α tg α + 2 π Z \u003d tg α, ctg α + 2 π Z \u003d CTG αบาป - α + 2 π Z \u003d - บาปα, cos - α + 2 π Z \u003d cos α tg - α + 2 π Z \u003d - tg α, CTG - α + 2 π Z \u003d - CTG αบาปπ 2 + α + 2 π Z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - Sin α TG π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π Z \u003d SIN α TG π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α sin π + α + 2 π z \u003d - SIN α, cos π + α + 2 π Z \u003d - cos α tg π + α + 2 π Z \u003d tg α, CTG π + α + 2 π Z \u003d CTG αบาปπ - α + 2 π Z \u003d sin α, cos π - α + 2 π Z \u003d - cos α tg π - α + 2 π Z \u003d - Tg α, CTG π - α + 2 π Z \u003d - CTG αบาป 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d sin α tg 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - CTG α, CTG 3 π 2 + α + 2 π Z \u003d - Tg αบาป 3 π 2 - α + 2 π Z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

สูตรที่เกิดขึ้นเป็นผลมาจากความถี่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติม

สูตรของการเพิ่มในตรีโกณมิติช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของผลรวมหรือความแตกต่างของมุมผ่านฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้

สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติม

sIN α±β \u003d sin α· cos β± cos α·บาปβ cos α + β \u003d cos α· cos β - บาปα·บาปβ cos α - β \u003d cos α· cos β + sin α·บาปβ tg α ±β \u003d Tg α± Tg β 1 ± Tg αβ· Tg CTG α±β \u003d - 1 ± Ctg α· CTG βα CTG ± CTG β

ขึ้นอยู่กับสูตรของการเพิ่มสูตรตรีโกณมิติของหลายมุมได้มา

สูตรมุมหลาย: สองเท่าสาม ฯลฯ

บาป 2 α \u003d 2 · Sin α· COS α cos 2 α \u003d cos 2 α - Sin 2 α - cos 2 α \u003d 1 - 2 Sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \u003d 2 · TG แอลฟา 1 - TG 2 αกับ TG 2 α \u003d พร้อม TG 2 α - 1 2 · C TG αบาป 3 α \u003d 3 บาปα· cos 2 α - บาป 3 αบาป 3 α \u003d 3 บาปα - 4 บาป 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 บาป 2 α· cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α +4 cos 3 α TG 3 α \u003d 3 Tg α - TG 3 α 1-3 TG 2 α CTG 3 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG α 3 CTG 2 α - 1

สูตรครึ่งมุม

สูตรของมุมครึ่งในตรีโกณมิติเป็นผลมาจากสูตรของมุมสองและแสดงอัตราส่วนระหว่างฟังก์ชั่นหลักของมุมครึ่งและโคไซน์ของมุมทั้งหมด

สูตรครึ่งมุม

sIN 2 α 2 \u003d 1 - COS α 2 cos 2 α 2 \u003d 1 + cos α 2 เสื้อกรัม 2 α 2 \u003d 1 - cos α 1 + cos αคทีกรัม 2 α 2 \u003d 1 + cos α 1 - COS α

สูตรลดระดับ

sIN 2 α \u003d 1 - COS 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 บาป 3 α \u003d 3 บาปα - บาป 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4 บาป 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

บ่อยครั้งเมื่อการคำนวณการกระทำที่มีองศายุ่งยากไม่สะดวก สูตรลดระดับปริญญาช่วยให้สามารถลดระดับของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยขนาดใหญ่โดยพลการเป็นครั้งแรก เรานำเสนอมุมมองทั่วไปของพวกเขา:

มุมมองทั่วไปของสูตรลดปริญญา

สำหรับแม้แต่ N.

sin n α \u003d c n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · c kn · cos ((n - 2 k) α) cos n α \u003d c n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n 2 - 1 c kn · cos ((n - 2 k) α)

สำหรับคี่ n

sIN N α \u003d 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · c kn · sin ((n - 2 k) α) cos n α \u003d 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n - 1 2 c kn · cos ((n - 2 k) α)

ผลรวมและความแตกต่างของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ความแตกต่างและผลรวมของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติสามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ได้ การสลายตัวของความแตกต่างในไซนัสและความแตกต่างของโคไซน์นั้นสะดวกมากที่จะใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติและลดความซับซ้อนของการแสดงออก

ผลรวมและความแตกต่างของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

sin α + Sin β \u003d 2 Sin α + β 2 · cos α - β 2 Sin α - Sin β \u003d 2 Sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + β 2 cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 Sin α + β 2 · Sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 · Sin β - α 2

ทำงานของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

หากสูตรของผลรวมและความแตกต่างของฟังก์ชั่นช่วยให้คุณไปที่ผลิตภัณฑ์จากนั้นสูตรสำหรับผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติดำเนินการเปลี่ยนย้อนกลับ - จากผลิตภัณฑ์เป็นจำนวนเงิน สูตรของงานของไซนัสโคไซน์และไซนัสในโคไซน์

สูตรสำหรับงานของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

บาปα·บาปβ \u003d 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α· cos β \u003d 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) αบาป · cos β \u003d 1 2 · (บาป (α - β) + บาป (α + β))

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่สำคัญทั้งหมดคือไซนัสโคไซน์สัมผัสและ catangent สามารถแสดงผ่านสัมผัสกันครึ่งมุม

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

sIN α \u003d 2 TG α 2 1 + TG 2 α 2 COS α \u003d 1 - TG 2 α 2 1 + TG 2 α 2 TG α \u003d 2 TG α 2 1 - TG 2 α 2 CTG α \u003d 1 - TG 2 α 2 2 tg α 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความโปรดเลือกและกด CTRL + ENTER

สูตรในตรีโกณมิติมาก

จำไว้ว่าพวกเขายากมากเป็นไปไม่ได้เกือบจะเป็นไปไม่ได้ ในชั้นเรียนเด็กนักเรียนและนักเรียนจำนวนมากเพลิดเพลินไปกับการพิมพ์บนโปสเตอร์หนังสือและสมุดบันทึกโปสเตอร์บนผนังเปลในที่สุด และวิธีการสอบ?

อย่างไรก็ตามหากคุณดูสูตรเหล่านี้คุณจะพบว่าพวกเขาทั้งหมดเชื่อมต่อกันและมีความสมมาตรบางอย่าง ลองวิเคราะห์พวกเขาโดยคำนึงถึงคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อกำหนดขั้นต่ำที่คุ้มค่ากับการเรียนรู้ด้วยหัวใจ

ฉันกลุ่ม อัตลักษณ์ที่สำคัญ

บาป 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ sinαcosα; ctgα \u003d. ____ cosαsinα ;

tgα·ctgα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 บาป 2 α

กลุ่มนี้มีสูตรที่ง่ายที่สุดและเป็นที่นิยมมากที่สุด นักเรียนส่วนใหญ่รู้จักพวกเขา แต่ถ้ายังมีความยากลำบากจากนั้นจดจำสูตรสามตัวแรกจินตนาการถึงสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มี hypothenuclear เท่ากับหนึ่ง จากนั้นชุดชนชั้นของมันจะเท่ากันตามลำดับSinαเพื่อกำหนดไซนัส (อัตราส่วนของ Catech ที่ตรงกันข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก) และCosαเพื่อกำหนดโคไซน์ (อัตราส่วนของ Catech ที่อยู่ติดกันสำหรับด้านตรงกลาง)

สูตรแรกคือทฤษฎีบท Pythagoras สำหรับสามเหลี่ยมดังกล่าว - ผลรวมของสี่เหลี่ยมของธัญพืชเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉาก (1 2 \u003d 1) ที่สองและสามคือคำจำกัดความของแทนเจนต์ (อัตราส่วนของ หมวดหมู่ตรงข้ามกับที่อยู่ติดกัน) และ Catangen (อัตราส่วนของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกันไปทางตรงกันข้าม)
งานของ Tangent on Kotangenes คือ 1 เนื่องจาก catangent ที่บันทึกไว้ในรูปแบบของเศษส่วน (สูตรที่สาม) เป็นแบบแทนเจนต์คว่ำ (สูตรที่สอง) การพิจารณาครั้งสุดท้ายโดยวิธีการทำให้สามารถยกเว้นจากสูตรที่จำเป็นต่อการจดจำสูตรยาวที่ตามมาทั้งหมดด้วย Kotangent หากคุณจะได้พบกับCTGαในงานที่ยากลำบากเพียงแค่แทนที่ด้วยเศษส่วน ___ 1 tgα และใช้สูตรสำหรับสัมผัส

สองสูตรสองสูตรไม่สามารถจดจำได้ พวกเขามีน้อยทั่วไป และถ้าคุณต้องการคุณสามารถถอนพวกเขาได้เสมอในร่างใหม่ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะทดแทนแทนการสัมผัสหรือสัมผัสกับคำจำกัดความของพวกเขาหลังจากเศษเสี้ยว (สูตรที่สองและสามตามลำดับ) และนำไปสู่การแสดงออกไปยังตัวหารทั่วไป แต่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ว่าสูตรดังกล่าวที่ผูกกำลังสองของการแทนเจนต์และโคไซน์และสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไซนัสมีอยู่ มิฉะนั้นคุณไม่สามารถเดาว่าจำเป็นต้องแปลงใดในการแก้ปัญหาเฉพาะ

กลุ่ม II นอกจากนี้

บาป (α + β) \u003d sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin (α - β) \u003d sinα·cosβ - cosα·sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα·cosβ - sinα·sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα·cosβ + sinα·sinβ;

tg (α + β) \u003d tgα + tgβ _________ 1 - tgα·tgβ;

tg (α - β) \u003d

จำความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน / ความผิดปกติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

บาป (-α) \u003d - บาป (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α)

ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติทั้งหมดเพียงโคไซน์เป็นฟังก์ชั่นแม้กระทั่งและไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายอาร์กิวเมนต์ (มุม) ฟังก์ชั่นที่เหลืออยู่นั้นแปลก ความแม่นยำของฟังก์ชั่นในความเป็นจริงหมายความว่าสามารถทำเครื่องหมายลบได้และนำสัญญาณฟังก์ชั่นออกมา ดังนั้นหากคุณพบการแสดงออกตรีโกณมิติที่มีความแตกต่างของสองมุมคุณสามารถเข้าใจได้ว่ามันเป็นผลรวมของมุมบวกและเชิงลบ

ตัวอย่างเช่น, บาป ( เอ็กซ์ - 30º) \u003d บาป ( เอ็กซ์ + (-30º))
ต่อไปเราใช้ผลรวมสูตรของสองมุมและจัดการกับสัญญาณ:
บาป ( เอ็กซ์ + (-30º)) \u003d บาป เอ็กซ์· COS (-30º) + cos เอ็กซ์·บาป (-30º) \u003d
\u003d บาป เอ็กซ์·COS30º - COS เอ็กซ์·Sin30º

ดังนั้นสูตรทั้งหมดที่มีความแตกต่างของมุมสามารถข้ามได้ในการท่องจำครั้งแรก จากนั้นคุณควรเรียนรู้ที่จะกู้คืนโดยทั่วไปเป็นครั้งแรกในร่างและจากนั้นจิตใจ

ตัวอย่างเช่น TG (α - β) \u003d TG (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-ins) ___________ 1 - TGα· TG (-β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα·tgβ

สิ่งนี้จะช่วยในการเดาได้เร็วขึ้นซึ่งการเปลี่ยนแปลงใดที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

กลุ่ม SH สูตรของอาร์กิวเมนต์หลายข้อ

sIN2α \u003d 2 ·Sinα·cosα;

cos2α \u003d cos 2 α - Sin 2 α;

tg2α \u003d. 2tgα _______ 1 - TG 2 α;

sin3α \u003d 3sinα - 4 ซิน 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα

จำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของมุมสองครั้งที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งสำหรับสัมผัสกันเช่นกัน สูตรเหล่านี้ควรเป็นที่รู้จักของหัวใจ นอกจากนี้ยังไม่มีปัญหาในการท่องจำของพวกเขา ครั้งแรกสูตรสั้น ประการที่สองพวกเขาควบคุมได้อย่างง่ายดายโดยสูตรของกลุ่มก่อนหน้านี้ตามความจริงที่ว่า2α \u003d α + α
ตัวอย่างเช่น:
บาป (α + β) \u003d sinα·cosβ + cosα·sinβ;
SIN (α + α) \u003d sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α \u003d 2sinα·cosα

อย่างไรก็ตามหากคุณได้เรียนรู้สูตรเหล่านี้เร็วขึ้นและไม่ใช่คนก่อนหน้านี้คุณสามารถทำหน้าที่ในทางตรงกันข้าม: เพื่อจดจำสูตรสำหรับผลรวมของสองมุมโดยสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับมุมคู่

ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการสูตร Cosine ของผลรวมของสองมุม:
1) จำได้ว่าสูตรคู่มุม cosine: cos2 เอ็กซ์ \u003d cos 2. เอ็กซ์ - บาป 2. เอ็กซ์;
2) เราวาดมันนาน: เพราะ เอ็กซ์ + เอ็กซ์) \u003d cos เอ็กซ์·เพราะ เอ็กซ์ - บาป เอ็กซ์·บาป เอ็กซ์;
3) แทนที่หนึ่ง เอช. บนα, ที่สองในβ: cos (α + β) \u003d cosα·cosβ - sinα·sinβ

ทำซ้ำในทำนองเดียวกันเพื่อเรียกคืนสูตรสำหรับ Sine Sum และ Tangent จำนวนเงิน ในกรณีที่รับผิดชอบเช่น EGE ตรวจสอบความถูกต้องของสูตรที่ลดลงในไตรมาสแรกที่รู้จักกันดี: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º

การตรวจสอบสูตรก่อนหน้า (ที่ได้รับจากการแทนที่ในบรรทัดที่ 3):
อนุญาต α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
จากนั้น cOS (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
เราแทนที่ค่าในสูตร: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, ตรวจไม่พบข้อผิดพลาด

สูตรสำหรับมุมสามในความคิดของฉันไม่จำเป็นต้อง "เครื่องมือ" พวกเขาไม่ค่อยพบในการสอบของ EGE พวกเขาได้รับมาจากสูตรที่สูงขึ้นได้ง่ายเพราะ SIN3α \u003d SIN (2α + α) และนักเรียนเหล่านั้นที่มีเหตุผลบางอย่างยังต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้ด้วยใจฉันแนะนำให้คุณให้ความสนใจกับ "สมมาตร" ของพวกเขาและจำไว้ว่าไม่ใช่สูตรตัวเอง แต่กฎการลดลง ตัวอย่างเช่นลำดับที่ตัวเลขอยู่ในสองสูตร "33433433" ฯลฯ

กลุ่ม IV จำนวน / ความแตกต่าง -

sinα + Sinβ \u003d 2 ·บาป α + β ____ 2·เพราะ α - β ____ 2 ;

sinα - Sinβ \u003d 2 ·บาป α - β ____ 2·เพราะ α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2·เพราะ α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 ·บาป α - β ____ 2·บาป α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d บาป (α + β) ________ cosα·cosβ ;

tgα - tgβ \u003d บาป (α - β) ________ cosα·cosβ .

การใช้ความแม่นยำของฟังก์ชั่นของไซนัสและสัมผัส: บาป (-α) \u003d - บาป (α); tg (-α) \u003d - TG (α)
คุณสามารถสูตรสำหรับความแตกต่างของสองฟังก์ชั่นเพื่อลดสูตรสำหรับผลรวมของพวกเขา ตัวอย่างเช่น,

sin90º - Sin30º \u003d Sin90º + Sin (-30º) \u003d 2 ·บาป 90º + (-30º) __________ 2·เพราะ 90º - (-30º) __________ 2 =

2 ·Sin30º·COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2

ดังนั้นสูตรของความแตกต่างของไซนัสและการแทนเจนต์ไม่จำเป็นต้องจดจำทันที
ด้วยผลรวมและความแตกต่างของโคไซน์สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้น สูตรเหล่านี้ไม่สามารถใช้แทนกันได้ แต่อีกครั้งโดยใช้ความเท่าเทียมกันของโคไซน์คุณสามารถจดจำกฎต่อไปนี้

จำนวนCosα + cosβไม่สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในสัญญาณของมุมดังนั้นผลิตภัณฑ์ควรประกอบด้วยฟังก์ชั่นแม้ สองโคไซน์

เครื่องหมายความแตกต่างของCOSα - cosβนั้นขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชั่นของตัวเองซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายงานควรขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของมุมดังนั้นผลิตภัณฑ์ควรประกอบด้วยฟังก์ชั่นแปลก ๆ I.e สองไซน์

อย่างไรก็ตามสูตรกลุ่มนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดในการจดจำ นี่เป็นกรณีที่ดีกว่าที่จะลับคม แต่ตรวจสอบมากขึ้น เพื่อป้องกันข้อผิดพลาดในสูตรในการสอบที่กำหนดให้แน่ใจว่าได้บันทึกครั้งแรกในร่างและตรวจสอบสองวิธี การทดแทนครั้งแรกβ \u003d αและβ \u003d -αแล้วโดยค่าที่รู้จักของฟังก์ชั่นสำหรับมุมที่เรียบง่าย ในการทำเช่นนี้เป็นการดีที่สุดที่จะใช้90ºและ 30 ºตามที่ทำในตัวอย่างข้างต้นเพราะครึ่งอาหารและการตกตะกอนของค่าเหล่านี้ให้มุมที่เรียบง่ายอีกครั้งและคุณสามารถดูว่าความเสมอภาคกลายเป็นตัวตนของ ตัวเลือกที่ถูกต้อง หรือในทางตรงกันข้ามไม่ได้ดำเนินการหากคุณเข้าใจผิด

ตัวอย่างการตรวจสอบสูตรcosα - cosβ \u003d 2 ·บาป α - β ____ 2·บาป α + β ____ 2 สำหรับความแตกต่างของโคไซน์ ด้วยความผิดพลาด !

1) ให้ \u003d α, จากนั้นcosα - cosα \u003d 2 ·บาป α - α _____ 2·บาป α + α _____ 2 \u003d 2sin0 ·sinα \u003d 0 ·sinα \u003d 0. cosα - cosα≡ 0

2) ให้ \u003d - α, จากนั้นcosα - cos (- α) \u003d 2 ·บาป α - (-α) _______ 2·บาป α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα· SIN0 \u003d 0 ·sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα≡ 0

การตรวจสอบเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นในสูตรถูกใช้อย่างถูกต้อง แต่เนื่องจากความจริงที่ว่าตัวตนได้รับประเภท 0 ≡ 0 ข้อผิดพลาดที่มีเครื่องหมายหรือค่าสัมประสิทธิ์อาจพลาดได้ เราทำการตรวจสอบครั้งที่สาม

3) ให้α \u003d 90º, β \u003d 30º, จากนั้นcos90º - cos30º \u003d 2 ·บาป 90º - 30º ________ 2·บาป 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º·Sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

ข้อผิดพลาดนั้นอยู่ในเครื่องหมายและเฉพาะในเครื่องหมายก่อนการทำงาน

วง v ทำงาน - ในจำนวน / ความแตกต่าง

sinα·sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - COS (α + β));

cosα·cosβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) + cos (α + β));

sinα·cosβ \u003d 1 _ 2 · (บาป (α - β) + บาป (α + β))

ชื่อของกลุ่มที่ห้าของสูตรตัวเองชี้ให้เห็นว่าสูตรเหล่านี้มีการย้อนกลับไปสู่การเคารพต่อกลุ่มก่อนหน้า เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้มันง่ายกว่าที่จะคืนค่าสูตรในร่างมากกว่าที่จะเรียนรู้อีกครั้งเพิ่มความเสี่ยงในการสร้าง "โจ๊กในหัว" สิ่งเดียวที่เหมาะสมที่จะมุ่งเน้นไปที่การกู้คืนสูตรที่เร็วขึ้นเหล่านี้คือความเสมอภาคต่อไปนี้ (ตรวจสอบพวกเขา):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

พิจารณา ตัวอย่าง: จำเป็นต้องแปลง SIN5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์ ในผลรวมของสองฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ
เนื่องจากการทำงานรวมถึงไซนัสและโคไซน์จากนั้นเราจะรับจากกลุ่มก่อนหน้านี้สูตรสำหรับปริมาณไซนัสซึ่งได้เรียนรู้แล้วและเขียนมันลงในร่าง

sinα + Sinβ \u003d 2 ·บาป α + β ____ 2·เพราะ α - β ____ 2

ให้ 5 เอ็กซ์ = α + β ____ 2 และ 3. เอ็กซ์ = α - β ____ 2 จากนั้นα \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5เอ็กซ์ + 3เอ็กซ์ = 8เอ็กซ์, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5เอ็กซ์ − 3เอ็กซ์ = 2เอ็กซ์.

เราแทนที่ในสูตรในร่างค่าของมุมที่แสดงผ่านตัวแปรαและβในค่าของมุมที่แสดงผ่านตัวแปร เอ็กซ์.
รับ sin8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ \u003d 2 · Sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์

เราแบ่งทั้งสองส่วนของความยุติธรรมเป็นเวลา 2 และเขียนไปที่รอบสุดท้ายทางซ้ายขวา sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์ = 1 _ 2 (SIN8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์). คำตอบพร้อมแล้ว

กลุ่ม VI สูตรลดระดับ

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

บาป 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;

บาป 3 α \u003d 3Sinα - SIN3α ____________ 4.

สองสูตรสองประการแรกของกลุ่มนี้มีความจำเป็นมาก มันมักจะใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติรวมถึงระดับการสอบเดียวเช่นเดียวกับเมื่อการคำนวณอินทิกรัลที่มีฟังก์ชั่นธาตุของประเภทตรีโกณมิติ

มันอาจจะจำได้ง่ายกว่าในรูปแบบ "หนึ่งชั้น" ต่อไปนี้
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 Sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
และคุณสามารถแบ่งออกเป็น 2 หรือในร่างได้เสมอ

จำเป็นต้องใช้สูตรสองสูตรต่อไปนี้ (กับลูกบาศก์ของฟังก์ชั่น) ในการสอบนั้นมีน้อยมาก ในการตั้งค่าอื่นคุณจะมีเวลาใช้ร่างเสมอ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้:
1) หากคุณจำสองสูตรสองของกลุ่มที่สามจากนั้นใช้เพื่อแสดงความบาป 3 αและ cos 3 αโดยการแปลงอย่างง่าย
2) หากในสองสูตรสุดท้ายของกลุ่มนี้คุณสังเกตเห็นองค์ประกอบของสมมาตรซึ่งนำไปสู่ความจำของพวกเขาแล้วเขียนลงภาพวาดของสูตรในการร่างและตรวจสอบพวกเขาด้วยค่าของมุมหลัก
3) นอกจากนี้นอกจากนี้สูตรการลดระดับดังกล่าวมีอยู่คุณไม่ทราบอะไรเกี่ยวกับพวกเขาจากนั้นแก้ปัญหาในขั้นตอนตามความจริงที่ว่าบาป 3 α \u003d Sin 2 α·Sinαและสูตรอื่น ๆ ที่เรียนรู้ สูตรลดระดับสำหรับสแควร์และสูตรสำหรับการเปลี่ยนแปลงงานในจำนวนเงิน

VII กลุ่ม ครึ่งอาร์กิวเมนต์

บาป. α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos. α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα_____

ฉันไม่เห็นประเด็นในการจดจำด้วยหัวใจของสูตรกลุ่มนี้ในรูปแบบที่พวกเขานำเสนอในตำราเรียนและหนังสืออ้างอิง ถ้าคุณเข้าใจว่า αคือครึ่งหนึ่งของ2α ว่านี่เพียงพอที่จะได้รับสูตรครึ่งหนึ่งของการโต้เถียงครึ่งที่ต้องการโดยใช้สูตรสองสูตรแรกเพื่อลดระดับ

นอกจากนี้ยังใช้กับการสัมผัสมุมครึ่งหนึ่งสูตรที่ได้รับจากการหารนิพจน์สำหรับไซนัสไปยังนิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับโคไซน์

อย่าลืมเมื่อถอดรากสแควร์ออกเพื่อใส่เครื่องหมาย ± .

VIII กลุ่ม การทดแทนสากล

sinα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2)

สูตรเหล่านี้อาจมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการแก้ปัญหาตรีโกณมิติทุกประเภท พวกเขาอนุญาตให้คุณตระหนักถึงหลักการของ "หนึ่งอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชั่นเดียว" ซึ่งช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนตัวแปรที่ช่วยลดนิพจน์ตรีโกณมิติที่ซับซ้อนไปยังพีชคณิต ไม่น่าแปลกใจที่การทดแทนนี้เรียกว่าสากล
สูตรสองสูตรแรกเรียนรู้ต้อง คนที่สามสามารถรับได้โดยการหารสองคนแรกในแต่ละอื่น ๆ ด้วยคำจำกัดความของTGα Tangent \u003d sinα ___ cosα

กลุ่ม IX สูตรการเรียกร้อง

X Group ค่าสำหรับมุมหลัก

ดังนั้นทำ เอาท์พุท: สูตรตรีโกณมิติจำเป็นต้องรู้ ใหญ่กว่าดีกว่า. แต่สิ่งที่ต้องใช้เวลาและความพยายามของคุณ - เพื่อจดจำสูตรหรือในการฟื้นตัวของพวกเขาในกระบวนการแก้ปัญหาทุกคนควรแก้ปัญหาอย่างอิสระ

ตัวอย่างของงานของการใช้สูตรตรีโกณมิติ

เรามีฟังก์ชั่นสองฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน () และ cos () และสี่! ข้อโต้แย้งที่แตกต่างกัน 5. เอ็กซ์, 3เอ็กซ์, 8เอ็กซ์ และ 6. เอ็กซ์. หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นก็จะเป็นไปไม่ได้ที่จะลดสมการตรีโกณมิติประเภทที่ง่ายที่สุด ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงพยายามเปลี่ยนงานเกี่ยวกับจำนวนเงินหรือความแตกต่างของฟังก์ชั่น
เราทำเช่นเดียวกันกับตัวอย่างข้างต้น (ดูส่วน)

บาป (5. เอ็กซ์ + 3เอ็กซ์) + บาป (5) เอ็กซ์ − 3เอ็กซ์) \u003d 2 · Sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์
sin8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ \u003d 2 · Sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์

บาป (8. เอ็กซ์ + 6เอ็กซ์) + บาป (8) เอ็กซ์ − 6เอ็กซ์) \u003d 2 · Sin8 เอ็กซ์· COS6 เอ็กซ์
sin14 เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ \u003d 2 · Sin8 เอ็กซ์· COS6 เอ็กซ์

การแสดงผลงานจากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เราก็ทดแทนพวกเขาต่อสมการ เราได้รับ:

(SIN8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์) / 2 - (SIN14 เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์)/2 = 0.

เราคูณ 2 ของทั้งสองส่วนของสมการเปิดเผยวงเล็บและให้สมาชิกดังกล่าว

sin8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ - SIN2 เอ็กซ์ = 0;
sin8. เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ = 0.

สมการได้ง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ แต่เพื่อแก้ปัญหา SIN8 เอ็กซ์ \u003d sin14 เอ็กซ์ดังนั้น 8. เอ็กซ์ = 14เอ็กซ์ + T ซึ่ง T - ช่วงเวลาไม่ถูกต้องเนื่องจากเราไม่ทราบมูลค่าของช่วงเวลานี้ ดังนั้นเราจึงใช้สิ่งที่อยู่ในส่วนที่เหมาะสมของความเสมอภาคมันมีค่า 0 ซึ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะเปรียบเทียบตัวคูณในการแสดงออกใด ๆ
เพื่อย่อยสลาย SIN8 เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ สำหรับตัวคูณคุณต้องไปจากความแตกต่างกับงาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้สูตรความแตกต่างของไซนัสหรืออีกครั้งผลรวมของรูจมูกและความแปลกประหลาดของฟังก์ชั่นไซนัส (ดูตัวอย่างในส่วน)

sin8. เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ \u003d sin8 เอ็กซ์ + บาป (-14 เอ็กซ์) \u003d 2 ·บาป 8เอ็กซ์ + (−14เอ็กซ์) __________ 2 ·เพราะ 8เอ็กซ์ − (−14เอ็กซ์) __________ 2 \u003d บาป (-3) เอ็กซ์) · COS11 เอ็กซ์ \u003d -sin3 เอ็กซ์· COS11 เอ็กซ์.

ดังนั้นสมการ Sin8 เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ \u003d 0 เทียบเท่ากับสมการ SIN3 เอ็กซ์· COS11 เอ็กซ์ \u003d 0 ซึ่งในทางกลับกันเทียบเท่ากับการรวมกันของสมการ sin3 ที่เรียบง่ายสองอัน เอ็กซ์ \u003d 0 และ cos11 เอ็กซ์ \u003d 0 การแก้ปัญหาหลังเราได้รับการตอบรับสองชุด
เอ็กซ์ 1 \u003d π น./3, น.εz.
เอ็กซ์ 2 \u003d π / 22 + π เค./11, เค.εz.

หากคุณตรวจพบข้อผิดพลาดหรือแบบฉบับในข้อความโปรดแจ้งไปยังที่อยู่อีเมล [อีเมลได้รับการป้องกัน] . ฉันจะขอบคุณมาก

ความสนใจ© mathematichka. ห้ามคัดลอกโดยตรงของวัสดุในเว็บไซต์อื่น ๆ วางลิงค์