สมการตรรกยะเศษส่วน อัลกอริทึมสำหรับการแก้ การแก้สมการโดยใช้อัลกอริทึมอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการอย่างง่าย

สรุปบทเรียนในหัวข้อ "การแก้สมการ" (ป. 6)

จุดประสงค์ของบทเรียน: เพื่อนำความรู้ที่ได้จากการแก้สมการมาใช้

ประเภทบทเรียน: อธิบายเนื้อหาใหม่

แผนการเรียน:

ดำเนินงานเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ กรอกตาราง และทราบวิธีการดำเนินการเมื่อแก้สมการ

โดยการแก้ปัญหาการชั่งน้ำหนัก การกำหนดปัญหาการแก้สมการใหม่

การเขียนอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการโดยสรุปเป็นคู่

การแก้สมการด้วยอัลกอริธึม ฝึกฝนเฉพาะการถ่ายโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่ง นักเรียนที่เก่งจะแก้สมการจนจบและเมื่อจบบทเรียนจะปกป้องคำตอบ

ระหว่างเรียน:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

NS

โปรดทราบว่าผลรวมของพจน์ตรงข้ามเท่ากับ 0

เพื่อแก้ปัญหา

ด้านหนึ่งของเครื่องชั่งมีขนมปัง 5 ก้อน อีกด้านหนึ่งเป็นก้อนและน้ำหนัก 5 กก. 2 กก. และ 1 กก. กำหนดน้ำหนักของขนมปัง 1 ก้อน

สารละลาย:

ให้ x kg เท่ากับขนมปัง 1 ก้อน

5 x kg - น้ำหนักของขนมปัง 5 ก้อน

สมการสามารถทำได้: 5 NS = NS +8

ลบ x จากทั้งสองข้างของสมการ (เอาขนมปัง 1 ก้อนออกจากสเกลทั้งสอง)

คุณสามารถบวกเลขเดียวกันทั้งสองข้างของสมการได้โอ.

เราได้ 5 x- x = x- x +8

แต่ x - x = 0, ดังนั้น 5 NS - NS = 8.

สมการนี้สามารถหาได้จากสมการที่กำหนดถ้าเทอม NS ย้ายจากด้านขวาไปทางซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงข้าม

ลดความซับซ้อนทางด้านซ้ายของสมการ 5 NS - NS = 8, เราได้ 4 x = 8

เราหารด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรทั้งสองข้างของสมการ

คุณสามารถคูณ (หาร) ทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันได้ (ยกเว้น 0)

เลข 2 คือสมการ 5 NS = NS +8 ตั้งแต่ 5 2=2+8.

เขียนคุณสมบัติของสมการในบทสรุป

3. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการ

1) โอนเงื่อนไขที่มีตัวแปรไปทางด้านซ้ายของสมการและย้ายตัวเลขไปทางด้านขวา อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้ามเมื่อทำการโอน

2) นำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาที่ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ

3) หารตัวเลขทางด้านขวาของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร

ทำงานตามกฎ (นักเรียนเป็นคู่บอกกฎกันจากการ์ดบนสไลด์)

1) เงื่อนไขที่มี ………… .. เลื่อนไปทางซ้ายของสมการและ …… .. - ไปทางด้านขวา อย่าลืมเมื่อโอน …… .. เครื่องหมายไปที่ ………… ..;

2) นำ ………. พจน์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ

3)… ........... เลขทางขวาของสมการโดย ……………. ด้วยตัวแปร

ประวัติศาสตร์เล็กน้อย

วิธีแรกในการเปลี่ยนสมการได้รับการอธิบายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับชื่อดัง Muhammad al-Khorezmi ซึ่งอาศัยอยู่ใน Khorezmi และ Baghdad ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 9 - 10 งานหลักชิ้นหนึ่งของเขาซึ่งแปลจากภาษาอาหรับหมายถึง "หนังสือแห่งการฟื้นฟูและการต่อต้าน" การโอนเงื่อนไขของสมการจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง เรา "ทำลาย" พวกมันในส่วนหนึ่ง แต่ "กู้คืน" พวกมันในอีกส่วนหนึ่ง ในขณะเดียวกันก็เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม การกู้คืน - ในภาษาอาหรับ อัลจาบรจากคำนี้มาชื่อ - พีชคณิต.พีชคณิตที่คุณจะเรียนนั้นถือกำเนิดและพัฒนามาเมื่อหลายศตวรรษก่อนอย่างแม่นยำในฐานะศาสตร์แห่งการแก้สมการ

การแก้สมการ

นักเรียนใช้สไลด์เพื่อวิเคราะห์คำตอบของสมการและจดคำตอบลงในสมุดบันทึก

1) 3x -12 = 0

3x – 2 = 10

3) 2x – 2 = 10 - NS

การแก้สมการปรนัย

1) 5x - 2 = 18

2) 7x = x + 24

ข. 7x - x = 24

2x - 4 = 6x - 20

ก. 2x - 6x = -20 + 4

ข. 6x - 2x = 4-20

ข. 2x - 6x = 20 +4

3x + 9 = x + 9

ก. 3x + x = 9 + 9

ข. 3x - x = 9 - 9

ข. 9 - 9 = x - 3x

สนับสนุนให้กลุ่มนักเรียนที่เก่งกว่าแก้สมการจนจบและแก้ต่าง

คำตอบ: 4, 4, 4, 0.

ค้นหาข้อผิดพลาด

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการ: 1. ถ้าเป็นไปได้ ให้ลดความซับซ้อนของนิพจน์ (เปิดวงเล็บ ให้คำที่คล้ายกัน) 2. ย้ายพจน์ที่มีส่วนที่ไม่รู้จักไปด้านหนึ่งของสมการ (โดยปกติไปทางซ้าย) และพจน์ที่เหลือไปอีกด้านหนึ่งของสมการ ขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม 3. ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน 4. หารากของสมการ

คณิตศาสตร์ ป.6

"การเกิดขึ้นของจำนวนธรรมชาติ" - ตัวเลข ชาวมายาอินเดียน. คนเลี้ยงแกะโบราณ ตัวเลขธรรมชาติปรากฏขึ้นอย่างไร ตัวเลขสิบอันดับแรก คณิตศาสตร์ยุคหิน. มีชีวิต เครื่องคำนวณ... สิบไอคอนสำหรับเขียนตัวเลข ตัวเลขเริ่มมีชื่อ จำนวนเต็ม วิธีที่ผู้คนเรียนรู้การเขียนตัวเลข ตัวเลขติดลบและเศษส่วน

"เศษส่วน" ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 "- เศษส่วนเหล่านี้นำไปสู่ตัวส่วนเดียวกัน ทดสอบ. ลองด้วยตัวคุณเอง พวกมาเป็นเพื่อนกันเถอะ การท่องเที่ยว. การกระทำที่ยากลำบาก อุ่นเครื่อง ชาวอียิปต์ หาเพื่อน. แผนปฏิบัติการ. ความต้องการเศษส่วน อา เศษส่วนเหล่านี้ มนุษย์ก็เหมือนเศษเสี้ยว มิตรภาพ. เศษส่วนในรัสเซีย

"คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส" - วัตถุประสงค์ของนามธรรม คุณสมบัติที่น่าทึ่งสี่เหลี่ยม. งานสำหรับการตัดสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคืออะไร สี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นใหญ่กว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมใดๆ คุณสมบัติพื้นฐานของสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปแบบการต่อสู้ของทหารราบในรูปแบบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วัตถุประสงค์ของบทคัดย่อ ความลับของ origami คืออะไร? สี่เหลี่ยม. สารบัญ. โอริกามิ แทนแกรม จตุรัสในวิชาคณิตศาสตร์

"การนับปากเปล่า" คณิตศาสตร์ ป.6 "- เขาวงกตคณิตศาสตร์. ตรวจสอบ. จีซีดี. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต. เศษส่วนเท่ากันหรือไม่? ค้นหา GCD ลดความซับซ้อน ตัวหารของ 45. งานอิสระ... ค้นหาจากตัวเลขที่หารด้วย 2 และ 5 ลงตัว การนับด้วยวาจา การนับด้วยวาจา (โซ่). คำนวณ.

"ปริศนาอักษรไขว้กับคณิตศาสตร์" - คณิตศาสตร์. เครื่องมือสำหรับการวาดวงกลม คำไขว้ โลกของปริศนาอักษรไขว้คณิตศาสตร์ การกระทำทางคณิตศาสตร์ กฎอักษรไขว้ ความหลากหลายของปริศนาอักษรไขว้ ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุด ประวัติศาสตร์. สาขาวิชาคณิตศาสตร์.

"เกมคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6" - ถอดรหัสจารึก ม้วนเล็กแต่ล้ำค่า นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง งานลงท้ายด้วยเลขอะไร ค่าหนังสือเท่าไหร่คะ? นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์ ยูเนี่ยน "และ" การวัดความยาว ต่อแถวด้วยตัวเลขสามตัว คำถามสนุกๆ กฎของเกม อาร์คิมิดีส ทางเดินขึ้นชั้น 16 ของบ้านยาวกว่าทางเดินขึ้นชั้น 4 กี่ครั้ง มีแอปเปิ้ลกี่ลูก ท่อนไม้ถูกตัดเป็นท่อนไม้ครึ่งเมตร น้องชายของศาสตราจารย์ บันไดขึ้นไป

ในวิดีโอนี้เราจะวิเคราะห์ทั้งชุด สมการเชิงเส้นซึ่งได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน - นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าง่ายที่สุด

มาเริ่มกันที่: สมการเชิงเส้นคืออะไรและอะไรง่ายที่สุด

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ในระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. วงเล็บขยาย ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปอยู่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายพจน์ที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. นำคำที่คล้ายกันไปทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $ x $

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือว่าในบางครั้ง หลังจากการคำนวณเหล่านี้ สัมประสิทธิ์ที่ตัวแปร $ x $ จะกลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณได้บางอย่างเช่น $ 0 \ cdot x = 8 $ นั่นคือ มีศูนย์ทางด้านซ้ายและตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ทางด้านขวา ในวิดีโอด้านล่าง เราจะพิจารณาสาเหตุหลายประการพร้อมกันว่าทำไมสถานการณ์ดังกล่าวจึงเป็นไปได้
2. คำตอบคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือสมการลดลงเป็นการสร้าง $ 0 \ cdot x = 0 $ ค่อนข้างสมเหตุสมผลว่าไม่ว่าเราจะแทนที่ $ x $ อะไร มันก็จะกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" นั่นคือ ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรในปัญหาในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังจัดการกับสมการเชิงเส้นและสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และมันจะไปถึงระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน:

1. ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ หากมี (ดังในตัวอย่างที่แล้ว);
2. จากนั้นนำสิ่งที่คล้ายกัน
3. สุดท้ายจับตัวแปรเช่น ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร - เงื่อนไขที่มีอยู่ - ควรโอนไปในทิศทางเดียว และทุกอย่างที่เหลือโดยไม่ได้ควรโอนไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณต้องนำสิ่งที่คล้ายกันในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่ได้รับมาและหลังจากนั้นก็เหลือเพียงหารด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x" และเราจะได้รับคำตอบสุดท้าย

ในทางทฤษฎี มันดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถทำผิดพลาดเชิงรุกในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยปกติแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนี้ มันเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือเพื่อให้คำตอบเป็นเส้นจำนวนเต็ม กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มตามที่คุณเข้าใจแล้วจาก the งานง่ายๆ.

แบบแผนสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด

ในการเริ่มต้น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดอีกครั้งสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

1. ขยายวงเล็บถ้ามี
2. เราหลั่งตัวแปรเช่น ทุกอย่างที่มี "x" จะถูกโอนไปด้านหนึ่งและไม่มี "x" - ไปยังอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราแบ่งทุกอย่างออกเป็นสัมประสิทธิ์ที่ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและกลเม็ดบางอย่างอยู่ในนั้น และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ปัญหาหมายเลข 1

ในขั้นตอนแรก เราต้องขยายวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ ดังนั้นเราจึงข้ามขั้นตอนนี้ ในขั้นตอนที่สอง เราต้องจับตัวแปร โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น มาเขียนกัน:

เราให้คำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

เราก็เลยได้คำตอบ

ปัญหาหมายเลข 2

ในปัญหานี้ เราสามารถสังเกตวงเล็บได้ ลองขยายดู:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา เราเห็นโครงสร้างใกล้เคียงกัน แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริธึม นั่นคือ เราหลั่งตัวแปร:

นี่คือสิ่งที่คล้ายคลึงกัน:

มันดำเนินการที่รากใด คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า $ x $ เป็นตัวเลขใดๆ

ปัญหาหมายเลข 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่าอยู่แล้ว:

\ [\ ซ้าย (6-x \ ขวา) + \ ซ้าย (12 + x \ ขวา) - \ ซ้าย (3-2x \ ขวา) = 15 \]

มีวงเล็บหลายอันตรงนี้ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไร แค่ยืนอยู่ข้างหน้าเท่านั้น ป้ายต่างๆ... มาเปิดใจกันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

มานับกัน:

เราทำตามขั้นตอนสุดท้าย - เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

นอกจากงานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดต่อไปนี้:

• ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบ - บางครั้งก็ไม่มีราก
• แม้ว่าจะมีรากอยู่ แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ในนั้น - ไม่มีอะไรผิดปกติกับสิ่งนั้น

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกับส่วนที่เหลือ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติในทางใดทางหนึ่งหรือคิดเอาเองว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณทำอะไรผิด

คุณลักษณะอื่นที่เกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้าเราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม... จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน เราได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณข้างต้น

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายได้ เมื่อการกระทำดังกล่าวถือเป็นเรื่องปกติ

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน ตอนนี้โครงสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้นเมื่อทำการแปลงต่างๆ อย่างไรก็ตาม คุณไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะหากตามความตั้งใจของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น จากนั้นในกระบวนการแปลง โมโนเมียลทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องถูกยกเลิก

ตัวอย่าง # 1

แน่นอน ขั้นตอนแรกคือการขยายวงเล็บ มาทำอย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้เพื่อความเป็นส่วนตัว:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

นี่คือสิ่งที่คล้ายคลึงกัน:

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนคำตอบว่า

\ [\ วาร์โนทิง \]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 2

เราทำตามขั้นตอนเดียวกัน ขั้นแรก:

ย้ายทุกอย่างโดยให้ตัวแปรไปทางซ้าย และไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือสิ่งที่คล้ายคลึงกัน:

แน่นอน สมการเชิงเส้นนี้ไม่มีคำตอบ เราจึงเขียนแบบนี้:

\ [\ วาร์โนทิง \],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของโซลูชัน

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ โดยใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เราตรวจสอบอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกสิ่งทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก: สามารถมีรากเดียวหรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ โดยทั้งสองสมการไม่มีราก

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงอื่น: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนเปิดเผย คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" หมายเหตุ: คูณ แต่ละเทอม... ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ สองเทอมและคูณ

และหลังจากทำการแปลงที่ดูเหมือนเป็นพื้นฐาน แต่มีความสำคัญและอันตรายมากแล้วเท่านั้น คุณสามารถขยายวงเล็บจากมุมมองของความจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบตามมา ใช่ ใช่ ตอนนี้ เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างที่ลงไปก็แค่เปลี่ยนเครื่องหมาย ในกรณีนี้ วงเล็บเองจะหายไปและที่สำคัญที่สุด เครื่องหมายลบนำหน้าก็หายไปด้วย

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันดึงความสนใจไปที่ข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เพราะการแก้สมการมักจะเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ ซึ่งการที่ไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถ นำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้วิธีแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึง และคุณจะได้ฝึกฝนทักษะเหล่านี้ให้กลายเป็นระบบอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการแปลงหลายครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณกำลังเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขในตอนนี้ เป็นการยากที่จะเรียกงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ปัญหาหมายเลข 1

\ [\ ซ้าย (7x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (3x-1 \ ขวา) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

ลองคูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความสันโดษกัน:

นี่คือสิ่งที่คล้ายคลึงกัน:

เราดำเนินการตามขั้นตอนสุดท้าย:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าในกระบวนการแก้สัมประสิทธิ์สัมประสิทธิ์ด้วยฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็ทำลายล้างซึ่งกันและกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงพอดี ไม่ใช่กำลังสอง

ปัญหาหมายเลข 2

\ [\ ซ้าย (1-4x \ ขวา) \ ซ้าย (1-3x \ ขวา) = 6x \ ซ้าย (2x-1 \ ขวา) \]

มาทำขั้นตอนแรกกันให้เรียบร้อย: คูณทุกองค์ประกอบในวงเล็บปีกกาแรกด้วยทุกองค์ประกอบในวินาที โดยรวมแล้ว ควรมีคำศัพท์ใหม่สี่คำหลังการแปลง:

ทีนี้มาลองคูณกันอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอมกัน:

ลองย้ายเงื่อนไขด้วย "x" ไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

อีกครั้งที่เราได้รับคำตอบสุดท้าย

ความแตกต่างของโซลูชัน

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บซึ่งมีมากกว่าคำศัพท์ ให้ทำตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากแรกและ คูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที จากนั้นเราจะนำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจากองค์ประกอบที่สองในทำนองเดียวกัน เป็นผลให้เราได้รับสี่เทอม

ผลรวมเชิงพีชคณิต

จากตัวอย่างสุดท้าย ฉันต้องการเตือนนักเรียนว่าผลรวมเชิงพีชคณิตคืออะไร ในวิชาคณิตศาสตร์คลาสสิก โดย 1-7 ดอลลาร์ เราหมายถึงการสร้างอย่างง่าย: ลบเจ็ดออกจากหนึ่ง ในพีชคณิต เราหมายความดังนี้: สำหรับเลข "หนึ่ง" เราบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือวิธีที่ผลรวมเชิงพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมทางคณิตศาสตร์ปกติ

ครั้งหนึ่ง เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

โดยสรุป ลองมาดูตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ เราจะต้องขยายอัลกอริทึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันจะเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

1. ขยายวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. นำสิ่งที่คล้ายกัน
4. หารด้วยปัจจัย

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ กลับกลายเป็นว่าไม่เหมาะสมโดยสิ้นเชิงเมื่อเราต้องเผชิญกับเศษส่วน และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่าง เรามีเศษส่วนทางซ้ายและทางขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ทุกอย่างง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มอีกขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึม ซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนการดำเนินการครั้งแรกและหลังจากนั้น กล่าวคือ กำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน
2. ขยายวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. นำสิ่งที่คล้ายกัน
5. หารด้วยปัจจัย

“กำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก อันที่จริง ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวเลขโดยตัวส่วน นั่นคือ ทุกที่ในตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข ดังนั้น หากเราคูณสมการทั้งสองข้างด้วยเลขนี้ เราก็กำจัดเศษส่วน

ตัวอย่าง # 1

\ [\ frac (\ ซ้าย (2x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (2x-3 \ ขวา)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้กัน:

\ [\ frac (\ ซ้าย (2x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (2x-3 \ ขวา) \ cdot 4) (4) = \ ซ้าย (((x) ^ (2)) - 1 \ ขวา) \ cdot 4\]

ให้ความสนใจ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" ครั้งเดียวนั่นคือ เพียงเพราะคุณมีวงเล็บ 2 อันไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณวงเล็บแต่ละตัวด้วยสี่ มาเขียนกันเถอะ:

\ [\ ซ้าย (2x + 1 \ ขวา) \ ซ้าย (2x-3 \ ขวา) = \ ซ้าย (((x) ^ (2)) - 1 \ ขวา) \ cdot 4 \]

ตอนนี้มาเปิด:

เราทำการแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

\ [- 4x = -1 \ ซ้าย | : \ ซ้าย (-4 \ ขวา) \ ขวา \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

เราได้คำตอบสุดท้ายแล้ว ไปที่สมการที่สอง

ตัวอย่างที่ 2

\ [\ frac (\ ซ้าย (1-x \ ขวา) \ ซ้าย (1 + 5x \ ขวา)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

ที่นี่เราดำเนินการเหมือนกันทั้งหมด:

\ [\ frac (\ ซ้าย (1-x \ ขวา) \ ซ้าย (1 + 5x \ ขวา) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

การค้นพบที่สำคัญมีดังนี้:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• ไม่ต้องกังวลหากปรากฏที่ไหนสักแห่ง ฟังก์ชันกำลังสองพวกเขามีแนวโน้มที่จะหดตัวในกระบวนการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม
• รากในสมการเชิงเส้น แม้แต่แบบที่ง่ายที่สุด ก็มีสามประเภท: รูทเดียว เส้นจำนวนเต็มคือรูท ไม่มีรูทเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญในหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับความเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ทั้งหมด หากไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์ แก้ตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามมีสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

เราได้เรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแล้ว ทีนี้ ให้เราขยายวิธีที่ศึกษาไปเป็นสมการตรรกยะ

การแสดงออกที่มีเหตุผลคืออะไร? เราได้พบแนวคิดนี้แล้ว การแสดงออกที่มีเหตุผลนิพจน์เรียกว่า ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร องศา และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น สมการตรรกยะจึงเป็นสมการของรูปแบบ: โดยที่ - การแสดงออกที่มีเหตุผล

ก่อนหน้านี้ เราพิจารณาเฉพาะสมการตรรกยะที่ลดเป็นเชิงเส้นเท่านั้น ทีนี้ ให้เราพิจารณาสมการตรรกยะที่ลดรูปลงเป็นสมการกำลังสองได้เช่นกัน

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ:.

สารละลาย:

เศษส่วนเป็น 0 ก็ต่อเมื่อตัวเศษเป็น 0 และตัวส่วนไม่ใช่ 0

เราได้รับระบบดังต่อไปนี้:

สมการแรกในระบบคือสมการกำลังสอง ก่อนแก้ ลองหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของมันด้วย 3 เราจะได้:

เราได้รับสองราก:; ...

เนื่องจาก 2 ไม่เท่ากับ 0 ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ: ... เนื่องจากไม่มีรากของสมการข้างต้นตรงกับค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรที่ได้รับจากการแก้อสมการที่สอง ทั้งสองจึงเป็นคำตอบของสมการนี้

ตอบ:.

เรามากำหนดอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะกัน:

1. ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายเพื่อรับ 0 ทางด้านขวา

2. แปลงและทำให้ด้านซ้ายง่ายขึ้น นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม

3. เศษส่วนผลลัพธ์เท่ากับ 0 ตามอัลกอริทึมต่อไปนี้: .

4. เขียนรากที่ได้รับในสมการแรกและตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่สองในคำตอบ

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ: .

สารละลาย

ที่จุดเริ่มต้น เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายเพื่อให้ 0 อยู่ทางขวา เราได้รับ:

ตอนนี้เรานำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ:

สมการแรกในระบบคือสมการกำลังสอง

สัมประสิทธิ์ของสมการนี้:. เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

เราได้รับสองราก:; ...

ทีนี้ลองแก้อสมการที่สองกัน: ผลคูณของตัวประกอบไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวประกอบใดเท่ากับ 0

จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขสองประการ: ... เราได้รากทั้งสองของสมการแรก ตัวเดียวเท่านั้นที่ลงตัว - 3

ตอบ:.

ในบทเรียนนี้ เราจำได้ว่านิพจน์ตรรกยะคืออะไร และยังได้เรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะที่ลดเป็นสมการกำลังสอง

ในบทต่อไป เราจะดูสมการตรรกยะเป็นแบบจำลอง สถานการณ์จริงและพิจารณางานสำหรับการเคลื่อนไหวด้วย

บรรณานุกรม

1. Bashmakov M.I. พีชคณิต ป.8 - ม.: การศึกษา, 2547.
2. Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. , Bunimovich E.A. et al. พีชคณิต, 8. 5th ed. - ม.: การศึกษา, 2553.
3. Nikolsky S.M. , Potapov M.A. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิต ป.8 กวดวิชาสำหรับ สถาบันการศึกษา... - ม.: การศึกษา, 2549.

1. เทศกาลแนวคิดการสอน "บทเรียนเปิด" ().
2. โรงเรียน.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

การบ้าน

"วิธีเกาส์และแครมเมอร์" - วิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้น ให้เราหารสมการแรกของระบบ (1) ด้วย a11 (5). เกาส์ถึงแก่กรรมเมื่อวันที่ 23 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1855 ในเมืองเกิททิงเงน วิธีการของเกาส์เป็นวิธีคลาสสิกในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น จากนั้นแทนที่ x2 และ x3 ในสมการแรกและพบ x1 ให้สัมประสิทธิ์

"สมการและอสมการ" - ประกอบด้วยรายการต่อไปนี้: การพล็อตกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชันในระบบพิกัดเดียว 4. วิธีการแบบกราฟิกสำหรับกำหนดจำนวนรากของสมการ 3. สมการมีกี่ราก? 2. หาผลรวมของตัวเลขที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน การแก้ปัญหาของระบบในรูปแบบกราฟิก 3. หาช่วงที่มีจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน

"ทฤษฎีบทเกาส์-มาร์คอฟ" - ให้เราพิสูจน์ว่าค่าประมาณ (7.3) ไม่เอนเอียง ให้เราสร้างเวกเตอร์และเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ตามระบบ (7.2) หากเมทริกซ์ X ไม่สัมพันธ์กันและเวกเตอร์ของการรบกวนแบบสุ่มเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้: (7.7). เพื่อให้ได้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลาย เราแยกความแตกต่าง (7.6) เทียบกับเวกเตอร์ของพารามิเตอร์

"วิธีการแก้สมการสมการ" - ข. 1. คำนวณ: 14. 6. เลข 8 จากกำลังสองมีเปอร์เซ็นต์เท่าไร? 12. 7. ค้นหารากที่ใหญ่ที่สุดของสมการ 9. ฟังก์ชั่นใดที่แสดงในรูป? ค้นหาความหมายของนิพจน์ %. H.O.B. 15x + 10 (1 - x) = 1

"สมการอตรรกยะ" - ค้นหาข้อผิดพลาด สมการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้เครื่องหมายรูทเรียกว่าอตรรกยะ ? X - 6 = 2? x - 3 = 0? x + 4 = 7? 5 - x = 0? 2 - x = x + 4 ปัญหา: นักเรียนมักไม่รู้วิธีใช้ข้อมูลเกี่ยวกับสมการอตรรกยะอย่างมีสติ ตัวเลข x เป็นรากของสมการหรือไม่: a)? x - 2 =? 2 - x, x0 = 4 b)? 2 - x =? x - 2, x0 = 2 c)? x - 5 =? 2x - 13, x0 = 6 วัน)? 1 - x =? 1 + x, x0 = 0

"การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์" - เฉลย ตัวอย่าง. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ตัวอย่าง: ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เมื่อทำซ้ำคุณสมบัติของตัวเลขคุณสามารถพิจารณาตัวอย่างได้ ในบทเรียนนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 จะพิจารณาการแก้สมการพร้อมพารามิเตอร์ของแบบฟอร์ม: 1) ax = 6 2) (a - 1) x = 8.3 3) bx = -5 ด้วย = -1/2 เราจะได้สมการ 0x = 0 สมการมีชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด

มีการนำเสนอทั้งหมด 49 รายการ