ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นลำดับตัวเลข ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: มันคืออะไร? ผลรวมความก้าวหน้าทางเลขคณิตของตัวเลขแรก

เพื่อนๆ ถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานภายในบอกฉันว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร แต่คุณอยากรู้จริงๆ ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวนานและจะลงมือทำธุรกิจทันที

ในการเริ่มต้นสองสามตัวอย่าง พิจารณาตัวเลขหลายชุด:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน? ได้อย่างรวดเร็วก่อนไม่มีอะไร แต่จริงๆแล้วมีบางอย่าง คือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขเรียงกัน แต่ละชุดมากกว่าชุดก่อนหน้า ในกรณีที่สอง ผลต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับห้าอยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงที่ ในกรณีที่สามมีรากอยู่ทั่วไป อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ในขณะที่ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น ซึ่งในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะเพิ่มขึ้น $\sqrt(2)$ (และไม่ต้องกลัวว่าตัวเลขนี้จะไม่ลงตัว)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิต ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละลำดับถัดไปแตกต่างจากลำดับก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการ เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเลขคณิต จำนวนเงินที่ตัวเลขแตกต่างกันมากเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า และมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร $d$

สัญกรณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของตัวมันเอง $d$ คือความแตกต่างของมัน

และข้อสังเกตที่สำคัญเพียงไม่กี่ข้อ ประการแรก ความก้าวหน้าจะพิจารณาเท่านั้น เป็นระเบียบเรียบร้อยลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านได้อย่างเคร่งครัดตามลำดับที่เขียน - และไม่มีอะไรอื่น คุณไม่สามารถจัดเรียงใหม่หรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถมีขอบเขตจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนบางอย่างเช่น (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดแล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่เหมือนเดิมบอกเป็นนัยว่าตัวเลขค่อนข้างมากไปไกลกว่านั้น มากมายนับไม่ถ้วน เช่น :)

ฉันต้องการทราบด้วยว่าความก้าวหน้านั้นเพิ่มขึ้นและลดลง เราได้เห็นเพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) นี่คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเค โอเค ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือฉันคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

1. เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมีค่ามากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า
2. ลดลงหากตรงกันข้ามแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีลำดับ "คงที่" ที่เรียกว่าซึ่งประกอบด้วยหมายเลขซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากความก้าวหน้าที่ลดลงได้อย่างไร โชคดีที่ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของตัวเลข $d$ เท่านั้น นั่นคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

1. ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้น
2. ถ้า $d \lt 0$ ความก้าวหน้าจะลดลงอย่างเห็นได้ชัด
3. สุดท้าย มีกรณี $d=0$ — ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเป็นลำดับคงที่ของตัวเลขที่เหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) ฯลฯ

ลองคำนวณผลต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงสามรายการด้านบน ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้องค์ประกอบที่อยู่ติดกันสององค์ประกอบ (เช่นองค์ประกอบที่หนึ่งและสอง) และลบออกจากตัวเลขทางด้านขวาซึ่งเป็นตัวเลขทางด้านซ้าย มันจะมีลักษณะดังนี้:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$

อย่างที่คุณเห็น ในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เราได้ทราบคำจำกัดความไม่มากก็น้อยแล้ว ก็ถึงเวลาที่จะต้องพิจารณาว่าความก้าวหน้านั้นอธิบายอย่างไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง

สมาชิกของความก้าวหน้าและสูตรที่เกิดซ้ำ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา\)\]

องค์ประกอบส่วนบุคคลของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า พวกเขาระบุด้วยวิธีนี้โดยใช้ตัวเลข: สมาชิกตัวแรก สมาชิกตัวที่สอง และอื่น ๆ

นอกจากนี้ อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่า สมาชิกข้างเคียงของความก้าวหน้ามีความสัมพันธ์กันด้วยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ลูกศรขวา ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ในระยะสั้น เพื่อหาระยะ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้ระยะ $n-1$th และผลต่าง $d$ สูตรดังกล่าวเรียกว่าเกิดซ้ำเพราะด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถค้นหาหมายเลขใดก็ได้โดยรู้เฉพาะหมายเลขก่อนหน้า (และในความเป็นจริงทั้งหมดก่อนหน้านี้) วิธีนี้ไม่สะดวกมาก ดังนั้นจึงมีสูตรที่ยุ่งยากกว่าซึ่งลดการคำนวณใดๆ ลงในเทอมแรกและผลต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณอาจเคยเจอสูตรนี้มาก่อน พวกเขาชอบที่จะให้มันอยู่ในหนังสืออ้างอิงและ reshebniks ทุกประเภท และในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลก็เป็นหนึ่งในเล่มแรก

อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณฝึกฝนเล็กน้อย

งานหมายเลข 1 จดสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงทราบเทอมแรก $((a)_(1))=8$ และความแตกต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่ให้มาแทน $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: (8; 3; -2)

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบว่าความก้าวหน้าของเราจะลดลง

แน่นอน $n=1$ ไม่สามารถแทนที่ได้ - เรารู้เทอมแรกแล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่หน่วย เรามั่นใจว่าแม้เทอมแรกจะใช้สูตรของเราได้ ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างมาจากเลขคณิตซ้ำซาก

งานหมายเลข 2 เขียนสามพจน์แรกของการก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าพจน์ที่เจ็ดคือ −40 และพจน์ที่สิบเจ็ดคือ −50

สารละลาย. เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาในเงื่อนไขปกติ:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(จัดเรียง) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(จัดเรียง) \right.\]

\[\left\( \begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายของระบบเพราะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน และตอนนี้เราทราบว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ที่จะทำเช่นนี้ เพราะเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((ก)_(1))+16d-((ก)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เช่นเดียวกับที่เราพบความแตกต่างของความก้าวหน้า! มันยังคงใช้แทนจำนวนที่พบในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่น ในตอนแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ลูกศรลง \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ก)_(1))=-40+6=-34. \\ \จบ(เมทริกซ์)\]

ตอนนี้ เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่างแล้ว ก็ยังคงต้องหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ก)_(3))=((ก)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

พร้อม! แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: (-34; -35; -36)

สังเกตคุณสมบัติที่น่าสงสัยของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเรานำเงื่อนไข $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวน $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

คุณสมบัติที่เรียบง่ายแต่มีประโยชน์มากที่คุณควรรู้ - ด้วยความช่วยเหลือของคุณสมบัตินี้ คุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาความก้าวหน้าต่างๆ ได้อย่างมาก นี่คือตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้:

งานหมายเลข 3 เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบคือ 14.4 ค้นหาเทอมที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

สารละลาย. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราต้องหา $((a)_(15))$ เราทราบดังต่อไปนี้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ เราจึงมี:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: 20.4

นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกและผลต่าง ทุกอย่างถูกตัดสินในไม่กี่บรรทัด

ทีนี้ลองพิจารณาปัญหาประเภทอื่น - การค้นหาสมาชิกเชิงลบและบวกของความก้าวหน้า ไม่มีความลับว่าถ้าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นในขณะที่เทอมแรกเป็นลบ แง่บวกจะปรากฏขึ้นไม่ช้าก็เร็ว และในทางกลับกัน เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงไม่ช้าก็เร็วจะกลายเป็นเชิงลบ

ในขณะเดียวกันก็เป็นไปไม่ได้เลยที่จะพบช่วงเวลานี้ "ที่หน้าผาก" โดยเรียงลำดับองค์ประกอบตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาได้รับการออกแบบในลักษณะที่การคำนวณต้องใช้หลายแผ่นโดยไม่ทราบสูตร - เราจะหลับไปจนกว่าเราจะพบคำตอบ ดังนั้นเราจะพยายามแก้ปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้น

งานหมายเลข 4 จำนวนพจน์เชิงลบในความก้าวหน้าทางเลขคณิต -38.5; -35.8; …?

สารละลาย. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ซึ่งเราพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างเป็นบวก ดังนั้นความคืบหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นค่าลบ ดังนั้น ณ จุดหนึ่งเราจะสะดุดกับจำนวนบวก คำถามเดียวคือสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใด

ลองหาดูว่า: นานแค่ไหน (เช่นถึงจำนวนธรรมชาติ $n$) ค่าลบของเงื่อนไขจะถูกรักษาไว้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n)) \lt 0\ลูกศรขวา ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ขวา \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ลูกศรขวา ((n)_(\max ))=15. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องการคำชี้แจง เราจึงรู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$. ในทางกลับกัน เฉพาะค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้นที่เหมาะกับเรา (ยิ่งกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่อนุญาตคือ $n=15$ และในกรณีที่ไม่ใช่ 16

งานหมายเลข 5 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ค้นหาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่จะเป็นปัญหาเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้า แต่เราไม่รู้ว่า $((a)_(1))$ แต่คำศัพท์ใกล้เคียงเป็นที่รู้จัก: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ เราจึงสามารถหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ ลองแสดงพจน์ที่ห้าในแง่ของพจน์แรกและผลต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((ก)_(5))=((ก)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ก)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยเปรียบเทียบกับปัญหาก่อนหน้า เราพบว่าจำนวนบวกในลำดับของเราจะปรากฏที่จุดใด:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\นาที ))=56. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบของจำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือเลข 56

โปรดทราบว่าในงานสุดท้ายทุกอย่างถูกลดความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาง่าย ๆ แล้ว เรามาต่อกันที่ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่ก่อนอื่น เรามาเรียนรู้คุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาและจำนวนเซลล์ที่ไม่เท่ากันในอนาคตได้มากมาย :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากัน

พิจารณาพจน์ต่อเนื่องหลายพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

ฉันสังเกตเฉพาะสมาชิกโดยพลการ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, และไม่ใช่ $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ เป็นต้น เนื่องจากกฎที่ฉันจะบอกคุณตอนนี้ใช้เหมือนกันกับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎนั้นง่ายมาก จำสูตรเรียกซ้ำและจดไว้สำหรับสมาชิกที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้แตกต่างกัน:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วไงต่อ? แต่ข้อเท็จจริงที่ว่าเงื่อนไข $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะที่เท่ากันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ อาจกล่าวได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกมันจะถูกลบออกจาก $((a)_(n) )$ โดยระยะทางเท่ากันเท่ากับ $2d$ คุณสามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ แต่รูปภาพอธิบายความหมายได้ดี

สิ่งนี้มีความหมายต่อเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถค้นหา $((a)_(n))$ หากทราบหมายเลขข้างเคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้สรุปข้อความที่ยอดเยี่ยม: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกข้างเคียง! นอกจากนี้ เราสามารถเบี่ยงเบนจาก $((a)_(n))$ ไปทางซ้ายและทางขวาได้ ไม่ใช่ทีละขั้น แต่ด้วย $k$ ขั้น — และสูตรก็ยังถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ ได้ง่ายๆ ถ้าเรารู้ว่า $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เนื่องจาก $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$ เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรกับเราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ งานจำนวนมากถูก "ลับคม" เป็นพิเศษสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดูสิ:

งานหมายเลข 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ โดยที่ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางเลขคณิต (ตามลำดับที่ระบุ)

สารละลาย. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจสำหรับพวกเขา: องค์ประกอบกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบข้างเคียง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ผลลัพธ์คือสมการกำลังสองแบบคลาสสิก รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: -3; 2.

งานหมายเลข 7 ค้นหาค่าของ $$ โดยที่ตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (ตามลำดับนั้น)

สารละลาย. อีกครั้ง เราแสดงพจน์กลางในรูปของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของศัพท์ข้างเคียง:

\[\begin(จัดเรียง) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อีกสมการกำลังสอง และอีกสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในระหว่างการแก้ปัญหาคุณได้รับตัวเลขที่โหดเหี้ยมหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบอย่างสมบูรณ์ มีเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมที่ให้คุณตรวจสอบ: เราแก้ปัญหาถูกต้องหรือไม่?

สมมติว่าในปัญหา 6 เราได้คำตอบ -3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้ากับสภาพเดิมแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งควรเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต แทนที่ $x=-3$:

\[\begin(จัดเรียง) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดเรียง)\]

เราได้ตัวเลข -54; −2; 50 ที่ต่างกันด้วย 52 คือความก้าวหน้าทางเลขคณิตอย่างไม่ต้องสงสัย สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ $x=2$:

\[\begin(จัดแนว) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดเรียง)\]

ความคืบหน้าอีกครั้ง แต่มีความแตกต่าง 27 ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการตรวจสอบงานที่สองด้วยตัวเอง แต่ฉันจะบอกทันที: ทุกอย่างถูกต้องเช่นกัน

โดยทั่วไปในขณะที่แก้ปัญหาล่าสุดเราพบข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งซึ่งจำเป็นต้องจดจำด้วย:

หากตัวเลขสามตัวเป็นตัวเลขที่สองคือค่าเฉลี่ยของตัวเลขแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เราสามารถ "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามสภาพของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะเข้าร่วมใน "การก่อสร้าง" ดังกล่าวเราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งติดตามโดยตรงจากสิ่งที่ได้รับการพิจารณาแล้ว

การจัดกลุ่มและผลรวมขององค์ประกอบ

กลับไปที่เส้นจำนวนอีกครั้ง เราทราบว่ามีสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้า ซึ่งบางทีอาจอยู่ระหว่างนั้น คุ้มค่ากับสมาชิกท่านอื่นๆ มากมาย:

ลองแสดง "หางซ้าย" ในรูปของ $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ในรูปของ $((a)_(k))$ และ $ d$ มันง่ายมาก:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ก)_(k-1))=((ก)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้โปรดทราบว่าผลรวมต่อไปนี้มีค่าเท่ากัน:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ส. \end(จัดเรียง)\]

พูดง่ายๆ คือ หากเราถือว่าสององค์ประกอบเริ่มต้นของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วมีค่าเท่ากับจำนวน $S$ จากนั้นเราเริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อถอยห่าง) แล้ว ผลรวมขององค์ประกอบที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากัน$S$ สิ่งนี้สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ดีที่สุด:

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาในระดับความซับซ้อนที่สูงกว่าปัญหาที่เราพิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

งานหมายเลข 8 กำหนดผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งพจน์แรกคือ 66 และผลคูณของพจน์ที่สองและสิบสองมีค่าน้อยที่สุด

สารละลาย. ลองเขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดเรียง)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ ที่จริงแล้ว โซลูชันทั้งหมดจะสร้างขึ้นจากความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((ก)_(12))=((ก)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดเรียง)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในถัง: ฉันได้นำปัจจัยทั่วไป 11 ออกจากวงเล็บเหลี่ยมที่สอง ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือฟังก์ชันกำลังสองที่เกี่ยวกับตัวแปร $d$ ดังนั้น พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้น เนื่องจาก ถ้าเราเปิดวงเล็บ เราจะได้:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( ง)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น ค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์สูงสุดคือ 11 ซึ่งเป็นจำนวนบวก ดังนั้นเรากำลังจัดการกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น:

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - พาราโบลา

โปรดทราบ: พาราโบลานี้ใช้ค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วยเครื่องหมาย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณ abscissa นี้ได้ตามโครงร่างมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่มันจะสมเหตุสมผลกว่ามากที่จะ โปรดทราบว่าจุดยอดที่ต้องการนั้นอยู่บนแกนสมมาตรของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงอยู่ห่างจากรากของสมการ $f\left(d \right)=0$ เท่ากัน:

\[\begin(จัดเรียง) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบเดิม รากหาง่ายมาก ดังนั้น abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

อะไรทำให้เราค้นพบจำนวน? ด้วยวิธีนี้ ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการจะใช้ค่าที่น้อยที่สุด (อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้คำนวณ $((y)_(\min ))$ - สิ่งนี้ไม่จำเป็นสำหรับเรา) ในขณะเดียวกัน ตัวเลขนี้คือความแตกต่างของความก้าวหน้าเริ่มต้น เช่น เราพบคำตอบ :)

คำตอบ: -36

งานหมายเลข 9 แทรกตัวเลขสามตัวระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ เพื่อให้ตัวเลขเหล่านี้สร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิตร่วมกับตัวเลขที่กำหนด

สารละลาย. ในความเป็นจริงเราต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัวโดยที่ทราบหมายเลขแรกและหมายเลขสุดท้ายแล้ว แสดงตัวเลขที่ขาดหายไปโดยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - มันอยู่ห่างจากตัวเลข $x$ และ $z$ เท่ากัน และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และถ้าในขณะนี้เราไม่สามารถรับ $y$ จากตัวเลข $x$ และ $z$ ได้ สถานการณ์ก็จะแตกต่างออกไปเมื่อสิ้นสุดความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้เมื่อรู้ $y$ แล้ว เราจะหาจำนวนที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่าง $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ เพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผล

ในทำนองเดียวกันเราจะพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบทั้งสามหมายเลข ลองเขียนลงในคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขดั้งเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

งานหมายเลข 10 ระหว่างเลข 2 และ 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวที่ร่วมกับตัวเลขที่กำหนด เพื่อสร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิต หากทราบว่าผลรวมของตัวเลขตัวแรก ตัวที่สอง และตัวสุดท้ายคือ 56

สารละลาย. งานที่ยากยิ่งขึ้นซึ่งได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับงานก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้ว่าต้องใส่ตัวเลขเท่าไหร่ ดังนั้น เพื่อความแน่นอน เราถือว่าหลังจากใส่แล้วจะมีตัวเลข $n$ ทุกประการ และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงเป็น:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \right\)\]

\[((ก)_(2))+((ก)_(3))+((ก)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ซึ่งยืนอยู่ที่ขอบโดยหันเข้าหากันหนึ่งก้าว คือ.. ไปที่กึ่งกลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((ก)_(2))+((ก)_(n-1))=2+42=44\]

แต่นิพจน์ด้านบนสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ก)_(3))=56; \\ & ((ก)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราสามารถหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ยังคงเป็นเพียงการค้นหาสมาชิกที่เหลืออยู่:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ก)_(2))=2+5=7; \\ & ((ก)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาที่ปลายด้านซ้ายของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องใส่เพียง 7 หมายเลขเท่านั้น: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

งานข้อความที่มีความก้าวหน้า

โดยสรุปฉันต้องการพิจารณาปัญหาที่ค่อนข้างง่ายสองสามข้อ เป็นเรื่องง่ายๆ สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและยังไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น งานเหล่านี้อาจดูเหมือนเป็นท่าทาง อย่างไรก็ตาม เป็นงานดังกล่าวที่พบใน OGE และการใช้งานในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับพวกเขา

งานหมายเลข 11 ทีมงานผลิตชิ้นส่วนได้ 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมา พวกเขาผลิตชิ้นส่วนได้มากกว่าเดือนก่อนหน้า 14 ชิ้น กองพลน้อยผลิตได้กี่ส่วนในเดือนพฤศจิกายน

สารละลาย. เห็นได้ชัดว่าจำนวนชิ้นส่วนที่วาดตามเดือนจะเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้น และ:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(จัดเรียง)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราต้องหา $((a)_(11))$:

\[((ก)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้นจะมีการผลิตชิ้นส่วน 202 ชิ้นในเดือนพฤศจิกายน

งานหมายเลข 12 เวิร์กช็อปเข้าเล่มเย็บเล่มหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และแต่ละเดือนเข้าเล่มมากกว่าเดือนก่อนหน้า 4 เล่ม การประชุมเชิงปฏิบัติการเข้าเล่มกี่เล่มในเดือนธันวาคม?

สารละลาย. เหมือนกันทั้งหมด:

$\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)$

ธันวาคมเป็นเดือนสุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา $((a)_(12))$:

\[((ก)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณอ่านมาถึงตรงนี้แล้ว ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณด้วย: คุณสำเร็จหลักสูตร "นักสู้รุ่นเยาว์" ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว เราสามารถไปยังบทเรียนถัดไปได้อย่างปลอดภัย ซึ่งเราจะศึกษาสูตรผลรวมของความก้าวหน้า ตลอดจนผลลัพธ์ที่สำคัญและมีประโยชน์มากจากสูตรนั้น

สาระสำคัญของสูตรคืออะไร?

สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหา ใดๆ ตามหมายเลขของเขา" น" .

แน่นอนคุณต้องรู้คำศัพท์แรก 1และความแตกต่างของความก้าวหน้า งหากไม่มีพารามิเตอร์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้

การท่องจำ (หรือโกง) สูตรนี้ไม่เพียงพอ จำเป็นต้องรวบรวมสาระสำคัญและใช้สูตรในปัญหาต่างๆ ใช่และอย่าลืมในเวลาที่เหมาะสมใช่ ... ) อย่างไร ไม่ลืม- ฉันไม่รู้. และที่นี่ วิธีการจำหากจำเป็น ฉันจะให้คำใบ้แก่คุณ สำหรับผู้ที่เรียนรู้บทเรียนจนจบ)

เรามาจัดการกับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของการก้าวหน้าเลขคณิตกัน

โดยทั่วไปแล้วสูตรคืออะไร - เราจินตนาการ) อะไรคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขสมาชิก ผลต่างของความก้าวหน้า - มีการระบุไว้อย่างชัดเจนในบทเรียนที่แล้ว ลองดูถ้าคุณยังไม่ได้อ่าน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น มันยังคงต้องคิดออกว่าอะไร สมาชิกคนที่ n

ความก้าวหน้าโดยทั่วไปสามารถเขียนเป็นชุดตัวเลขได้:

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1- หมายถึงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต 3- สมาชิกคนที่สาม 4- ที่สี่และอื่น ๆ หากเราสนใจเทอมที่ 5 สมมติว่าเรากำลังทำงานกับ 5ถ้าหนึ่งร้อยยี่สิบ - จาก 120.

วิธีการกำหนดโดยทั่วไป ใดๆสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, s ใดๆตัวเลข? ง่ายมาก! แบบนี้:

หนึ่ง

นั่นคือสิ่งที่มันเป็น สมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตภายใต้ตัวอักษร n จำนวนสมาชิกทั้งหมดจะถูกซ่อนไว้พร้อมกัน: 1, 2, 3, 4 และอื่น ๆ

และบันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? แค่คิดว่าแทนที่จะเป็นตัวเลขพวกเขาเขียนจดหมาย ...

สัญลักษณ์นี้ทำให้เรามีเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการทำงานกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต การใช้สัญกรณ์ หนึ่งเราสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็ว ใดๆสมาชิก ใดๆความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และงานมากมายที่ต้องแก้ไขในความคืบหน้า คุณจะเห็นต่อไป

ในสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

1- สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

น- หมายเลขสมาชิก.

สูตรจะเชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักของความก้าวหน้าใดๆ: หนึ่ง ; 1 ; งและ น. รอบ ๆ พารามิเตอร์เหล่านี้ ปริศนาทั้งหมดจะหมุนไปเรื่อย ๆ

นอกจากนี้ยังสามารถใช้สูตรเทอมที่ n เพื่อเขียนความก้าวหน้าเฉพาะได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ในปัญหา อาจกล่าวได้ว่าความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

n = 5 + (n-1) 2.

ปัญหาดังกล่าวอาจทำให้สับสนได้ ... ไม่มีอนุกรมไม่มีความแตกต่าง ... แต่การเปรียบเทียบเงื่อนไขกับสูตรนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าในความก้าวหน้านี้ ก 1 \u003d 5 และ d \u003d 2

และอาจโกรธยิ่งกว่านี้!) ถ้าเราใช้เงื่อนไขเดียวกัน: n = 5 + (n-1) 2,ใช่เปิดวงเล็บแล้วให้คำที่คล้ายกันหรือไม่ เราได้สูตรใหม่:

อัน = 3 + 2n

นี้ ไม่ใช่ทั่วไปเท่านั้น แต่สำหรับความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจง นี่คือจุดที่ผิดพลาด บางคนคิดว่าเทอมแรกคือสาม แม้ว่าในความเป็นจริงสมาชิกคนแรกคือห้า ... ต่ำกว่านี้เล็กน้อยเราจะทำงานกับสูตรที่แก้ไขแล้ว

ในงานเพื่อความก้าวหน้ามีสัญลักษณ์อื่น - n+1. คุณเดาได้ว่านี่คือเทอม "n บวกตัวแรก" ของความก้าวหน้า ความหมายนั้นเรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย) นี่คือสมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งมีจำนวนมากกว่าจำนวน n ต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากเรามีปัญหาบางอย่าง หนึ่งเทอมที่ห้าแล้ว n+1จะเป็นสมาชิกคนที่หก เป็นต้น

ส่วนใหญ่มักจะกำหนด n+1เกิดขึ้นในสูตรแบบเรียกซ้ำ อย่ากลัวคำที่น่ากลัวนี้!) นี่เป็นเพียงวิธีแสดงคำศัพท์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ผ่านอันที่แล้วสมมติว่าเราได้รับความก้าวหน้าทางเลขคณิตในแบบฟอร์มนี้ โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:

n+1 = n +3

ก 2 = ก 1 + 3 = 5+3 = 8

ก 3 = ก 2 + 3 = 8+3 = 11

ที่สี่ - ถึงสาม, ที่ห้า - ถึงสี่และอื่น ๆ แล้วจะนับยังไง พูดเทอมที่ยี่สิบ 20? แต่ไม่มีทาง!) ในขณะที่ไม่ทราบระยะที่ 19 ไม่สามารถนับที่ 20 ได้ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสูตรเรียกซ้ำและสูตรของเทอมที่ n Recursive ทำงานผ่านเท่านั้น ก่อนหน้าเทอมและสูตรของเทอมที่ n - ถึง อันดับแรกและช่วยให้ ทันทีค้นหาสมาชิกตามหมายเลข ไม่นับเลขทั้งชุดตามลำดับ

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต สูตรเรียกซ้ำสามารถเปลี่ยนเป็นสูตรปกติได้อย่างง่ายดาย นับคู่ของเงื่อนไขที่ต่อเนื่องกัน คำนวณผลต่าง ง,ค้นหาเทอมแรกหากจำเป็น 1ให้เขียนสูตรในรูปแบบปกติ และทำงานกับมัน ใน GIA มักพบงานดังกล่าว

การใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ขั้นแรก ให้ดูที่การใช้สูตรโดยตรง ในตอนท้ายของบทเรียนก่อนหน้านี้มีปัญหา:

กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใด ๆ เพียงขึ้นอยู่กับความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เพิ่มใช่เพิ่ม ... หนึ่งหรือสองชั่วโมง)

และตามสูตรการแก้ปัญหาจะใช้เวลาน้อยกว่าหนึ่งนาที คุณสามารถจับเวลาได้) เราตัดสินใจ

เงื่อนไขให้ข้อมูลทั้งหมดสำหรับการใช้สูตร: ก 1 \u003d 3, ง \u003d 1/6คงต้องดูกันต่อไปว่า น.ไม่มีปัญหา! เราจำเป็นต้องค้นหา 121. ที่นี่เราเขียน:

กรุณาให้ความสนใจ! แทนที่จะเป็นดัชนี นจำนวนเฉพาะปรากฏขึ้น: 121 ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) เราสนใจสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต หมายเลขหนึ่งร้อยยี่สิบเอ็ดนี่จะเป็นของเรา น.มันคือความหมายนี้ น= 121 เราจะแทนที่เพิ่มเติมในสูตรในวงเล็บ แทนตัวเลขทั้งหมดในสูตรแล้วคำนวณ:

ก 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป เช่นเดียวกับที่เราสามารถหาสมาชิกห้าร้อยและสิบและพันที่สามได้อย่างรวดเร็ว เราใส่แทน นตัวเลขที่ต้องการในดัชนีของตัวอักษร " ก"และในวงเล็บและเราจะพิจารณา

ฉันขอเตือนคุณถึงสาระสำคัญ: สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาได้ ใดๆเทอมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ตามหมายเลขของเขา" น" .

มาแก้ปัญหาอย่างชาญฉลาดกันเถอะ สมมติว่าเรามีปัญหาต่อไปนี้:

ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 17 =-2; ง=-0.5

หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันจะแนะนำขั้นตอนแรก จดสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต!ใช่ ๆ. เขียนด้วยลายมือในสมุดบันทึกของคุณ:

และตอนนี้เมื่อดูที่ตัวอักษรของสูตรเราเข้าใจว่าข้อมูลใดที่เรามีอยู่และสิ่งใดขาดหายไป มีอยู่ d=-0.5,มีสมาชิกคนที่สิบเจ็ด ... ทั้งหมด? ถ้าคิดแค่นั้นก็แก้ปัญหาไม่ได้ ใช่...

เรามีเบอร์ด้วย น! ในสภาพ 17 = -2ที่ซ่อนอยู่ สองตัวเลือกนี่คือทั้งค่าของสมาชิกตัวที่สิบเจ็ด (-2) และจำนวนของมัน (17) เหล่านั้น. n=17."สิ่งเล็กน้อย" นี้มักจะหลุดออกจากหัวและหากไม่มี "สิ่งเล็กน้อย" ไม่ใช่หัว!) ปัญหาจะไม่สามารถแก้ไขได้ แม้ว่า ... และไม่มีหัวด้วย)

ตอนนี้เราสามารถแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรได้อย่างโง่เขลา:

17 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)

โอ้ใช่, 17เรารู้ว่ามันคือ -2 เอาล่ะใส่มันเข้าไป:

-2 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)

โดยเนื้อแท้แล้วก็คือทั้งหมด มันยังคงแสดงพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจากสูตรและคำนวณ คุณได้รับคำตอบ: 1 = 6

เทคนิคดังกล่าว - การเขียนสูตรและเพียงแค่แทนที่ข้อมูลที่รู้จัก - ช่วยได้มากในงานง่ายๆ แน่นอนว่าคุณต้องสามารถแสดงตัวแปรจากสูตรได้ แต่จะทำอย่างไร!? หากไม่มีทักษะนี้จะไม่สามารถเรียนคณิตศาสตร์ได้เลย ...

อีกปัญหายอดนิยม:

ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 1 =2; 15 = 12.

เรากำลังทำอะไรอยู่? คุณจะประหลาดใจ เราเขียนสูตร!)

พิจารณาสิ่งที่เรารู้: 1 = 2; 15 = 12; และ (ไฮไลท์พิเศษ!) n=15. อย่าลังเลที่จะแทนที่ในสูตร:

12=2 + (15-1)ง

มาทำเลขคณิตกันเถอะ)

12=2 + 14d

ง=10/14 = 5/7

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ดังนั้นงาน ก น , ก 1และ งตัดสินใจแล้ว. ยังคงต้องเรียนรู้วิธีค้นหาหมายเลข:

เลข 99 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) โดยที่ 1 =12; ง=3. ค้นหาหมายเลขของสมาชิกนี้

เราแทนที่ปริมาณที่ทราบลงในสูตรของเทอมที่ n:

n = 12 + (n-1) 3

เมื่อมองแวบแรก มีปริมาณที่ไม่รู้จักสองปริมาณที่นี่: n และ nแต่ หนึ่งเป็นสมาชิกของความคืบหน้าด้วยหมายเลข น... และสมาชิกของความก้าวหน้าที่เรารู้! คือ 99 เราไม่รู้หมายเลขของเขา เอ็นดังนั้นจึงต้องหาหมายเลขนี้ด้วย แทนค่าความก้าวหน้า 99 ลงในสูตร:

99 = 12 + (n-1) 3

เราแสดงจากสูตร น, พวกเราคิดว่า. เราได้คำตอบ: n=30.

และตอนนี้เป็นปัญหาในหัวข้อเดียวกัน แต่สร้างสรรค์กว่า):

กำหนดว่าหมายเลข 117 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (an n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ลองเขียนสูตรอีกครั้ง อะไรไม่มีพารามิเตอร์? หืม... ทำไมเราต้องตา?) เราเห็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าหรือไม่? ที่เราเห็น. นี่คือ -3.6 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย: 1 \u003d -3.6ความแตกต่าง งสามารถกำหนดได้จากซีรีส์? เป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้ว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ใช่ เราทำสิ่งที่ง่ายที่สุด ยังคงต้องจัดการกับหมายเลขที่ไม่รู้จัก นและจำนวนที่เข้าใจยาก 117 ในปัญหาที่แล้ว อย่างน้อยก็รู้ว่าเป็นศัพท์ของความก้าวหน้าที่ให้มา แต่นี่เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า...จะเป็นยังไง!? จะเป็นอย่างไร จะเป็นอย่างไร... เปิดความสามารถในการสร้างสรรค์ของคุณ!)

เรา สมมติท้ายที่สุดแล้ว 117 ก็เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา ด้วยหมายเลขที่ไม่รู้จัก น. และเช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้ ลองหาตัวเลขนี้กัน เหล่านั้น. เราเขียนสูตร (ใช่-ใช่!)) และแทนตัวเลขของเรา:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

เราแสดงอีกครั้งจากสูตรนเรานับและรับ:

อ๊ะ! เลขที่เปิดออก เศษส่วน!หนึ่งร้อยหนึ่งครึ่ง และเลขเศษส่วน ไม่สามารถ.เราได้ข้อสรุปอะไร? ใช่! หมายเลข 117 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้าของเรา อยู่ระหว่างสมาชิกลำดับที่ 101 และ 102 หากตัวเลขกลายเป็นธรรมชาตินั่นคือ จำนวนเต็มบวก จำนวนนั้นจะเป็นสมาชิกของการก้าวหน้าด้วยจำนวนที่พบ และในกรณีของเรา คำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้ เลขที่

งานขึ้นอยู่กับ GIA เวอร์ชันจริง:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข:

น \u003d -4 + 6.8n

ค้นหาพจน์ที่หนึ่งและสิบของการก้าวหน้า

ความคืบหน้าถูกกำหนดในลักษณะที่ผิดปกติ สูตรบางอย่าง ... มันเกิดขึ้น) อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ (ตามที่ฉันเขียนไว้ด้านบน) - ยังเป็นสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต!เธอยังอนุญาต ค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยหมายเลขของมัน

เรากำลังมองหาสมาชิกคนแรก คนที่คิดว่า. ว่าเทอมแรกเป็นลบสี่ ผิดมหันต์!) เนื่องจากสูตรในโจทย์มีการแก้ไข เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตในนั้น ที่ซ่อนอยู่.ไม่มีอะไร เราจะค้นหาตอนนี้)

เช่นเดียวกับในงานก่อนหน้า เราแทนที่ n=1ลงในสูตรนี้:

ก 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

ที่นี่! เทอมแรกคือ 2.8 ไม่ใช่ -4!

ในทำนองเดียวกัน เรากำลังมองหาเทอมที่สิบ:

ก 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป

และตอนนี้ สำหรับผู้ที่อ่านมาถึงบรรทัดเหล่านี้ โบนัสที่สัญญาไว้)

สมมติว่าในสถานการณ์การต่อสู้ที่ยากลำบากของ GIA หรือการสอบ Unified State คุณลืมสูตรที่เป็นประโยชน์ของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีบางอย่างอยู่ในใจ แต่ก็ไม่แน่นอน ... ไม่ว่าจะเป็น นที่นั่นหรือ n+1 หรือ n-1...จะเป็นอย่างไร!?

เงียบสงบ! สูตรนี้หาง่าย ไม่เข้มงวดมาก แต่เพียงพอสำหรับความมั่นใจและการตัดสินใจที่ถูกต้องอย่างแน่นอน!) สำหรับบทสรุป ก็เพียงพอที่จะจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและมีเวลาสองสามนาที คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพ เพื่อความชัดเจน

เราวาดแกนตัวเลขและทำเครื่องหมายแกนแรก ที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก. และสังเกตความแตกต่าง งระหว่างสมาชิก. แบบนี้:

เราดูรูปแล้วคิดว่าเทอมที่สองเท่ากับอะไร? ที่สอง หนึ่ง ง:

ก 2 = ก 1 + 1 ง

เทอมที่สามคืออะไร? ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สอง ง.

ก 3 = ก 1 + 2 ง

คุณเข้าใจไหม? ฉันไม่ใส่คำบางคำเป็นตัวหนาเพื่ออะไร โอเค อีกหนึ่งขั้นตอน)

เทอมที่สี่คืออะไร? ประการที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สาม ง.

ก 4 = ก 1 + 3 ง

ถึงเวลาที่ต้องตระหนักว่าจำนวนช่องว่างเช่น ง, เสมอ น้อยกว่าหนึ่งหมายเลขสมาชิกที่คุณต้องการ น. นั่นคือขึ้นอยู่กับจำนวน n จำนวนช่องว่างจะ n-1.ดังนั้น สูตรจะเป็น (ไม่มีตัวเลือก!):

โดยทั่วไปแล้วภาพที่มองเห็นมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ อย่าละเลยรูปภาพ แต่ถ้ามันยากที่จะวาดภาพล่ะก็ ... สูตรเท่านั้น!) นอกจากนี้สูตรของเทอมที่ n ยังช่วยให้คุณเชื่อมต่อคลังแสงคณิตศาสตร์อันทรงพลังทั้งหมดเข้ากับวิธีแก้ปัญหา - สมการ, อสมการ, ระบบ ฯลฯ ใส่รูปในสมการไม่ได้...

งานเพื่อการตัดสินใจที่เป็นอิสระ

สำหรับการอุ่นเครื่อง:

1. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) a 2 =3; 5 \u003d 5.1 หา 3

คำแนะนำ: ตามภาพ ปัญหาจะแก้ไขได้ใน 20 วินาที ... ตามสูตร มันจะยากขึ้น แต่การเชี่ยวชาญสูตรจะเป็นประโยชน์มากกว่า) ในมาตรา 555 ปัญหานี้แก้ไขได้ทั้งโดยรูปและโดยสูตร รู้สึกถึงความแตกต่าง!)

และนี่ไม่ใช่การอุ่นเครื่องอีกต่อไป)

2. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3 หา a 3

อะไรนะ ฝืนวาดรูป?) ยัง! สูตรที่ดีกว่า ใช่...

3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข:1 \u003d -5.5; n+1 = n +0.5 จงหาระยะที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้าของการก้าวหน้านี้

ในภารกิจนี้ ความก้าวหน้าจะได้รับในลักษณะที่เกิดซ้ำ แต่นับถึงเทอมที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้า... ไม่ใช่ทุกคนที่จะทำแบบนั้นได้) แต่สูตรของเทอมที่ n อยู่ในอำนาจของทุกคน!

4. กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (และ n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

ค้นหาจำนวนของระยะบวกที่น้อยที่สุดของความก้าวหน้า

5. ตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4 ให้หาผลรวมของค่าบวกที่เล็กที่สุดและค่าลบที่มากที่สุดของความก้าวหน้า

6. ผลคูณของพจน์ที่ห้าและสิบสองของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้นคือ -2.5 และผลรวมของพจน์ที่สามและสิบเอ็ดเป็นศูนย์ ค้นหา 14 .

ไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุดใช่ ... ) วิธีการ "บนนิ้ว" จะไม่ทำงานที่นี่ คุณต้องเขียนสูตรและแก้สมการ

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

เกิดขึ้น? มันดีนะ!)

ทุกอย่างไม่ได้ผล? เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม ในงานสุดท้ายมีจุดที่ละเอียดอ่อนอยู่จุดหนึ่ง จะต้องให้ความสนใจเมื่ออ่านปัญหา และตรรกะ

วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้มีการกล่าวถึงโดยละเอียดในมาตรา 555 และองค์ประกอบแฟนตาซีสำหรับส่วนที่สี่และช่วงเวลาที่ละเอียดอ่อนสำหรับวันที่หกและแนวทางทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาใด ๆ สำหรับสูตรของเทอมที่ n - ทุกอย่างถูกทาสี ฉันแนะนำ

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้วัสดุใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การขยายความคิดของนักเรียนให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับงานที่แก้ไขโดยใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต การจัดกิจกรรมการค้นหาของนักเรียนเมื่อได้รับสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• การพัฒนาทักษะเพื่อรับความรู้ใหม่อย่างอิสระใช้ความรู้ที่ได้รับแล้วเพื่อให้บรรลุงาน
• การพัฒนาความปรารถนาและความจำเป็นในการสรุปข้อเท็จจริงที่ได้รับการพัฒนาความเป็นอิสระ

งาน:

• สรุปและจัดระบบความรู้ที่มีอยู่ในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์"
• รับสูตรสำหรับการคำนวณผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
• สอนการนำสูตรที่ได้มาแก้ปัญหาต่างๆ
• ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ขั้นตอนการหาค่าของนิพจน์ตัวเลข

อุปกรณ์:

• การ์ดที่มีงานสำหรับการทำงานเป็นกลุ่มและคู่
• กระดาษประเมิน
• การนำเสนอ"ความก้าวหน้าเลขคณิต".

I. การทำให้ความรู้พื้นฐานเป็นจริง

1. ทำงานอิสระเป็นคู่

ตัวเลือกที่ 1:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เขียนสูตรแบบเรียกซ้ำที่กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต ยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตและระบุความแตกต่าง

ตัวเลือกที่ 2:

จดสูตรสำหรับพจน์ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ค้นหาพจน์ที่ 100 ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ( หนึ่ง}: 2, 5, 8 …
ในเวลานี้ นักเรียนสองคนที่ด้านหลังกระดานกำลังเตรียมคำตอบสำหรับคำถามเดียวกัน
นักเรียนประเมินผลงานของคู่โดยเปรียบเทียบกับกระดาน (แจกแผ่นพับพร้อมคำตอบ)

2. ช่วงเวลาของเกม

แบบฝึกหัด 1.

ครู.ฉันรู้สึกถึงความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถามฉันเพียงสองคำถาม เพื่อที่หลังจากได้คำตอบแล้ว คุณสามารถบอกชื่อสมาชิกลำดับที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ได้อย่างรวดเร็ว (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

คำถามจากนักเรียน.

1. ระยะที่หกของความก้าวหน้าคืออะไรและแตกต่างกันอย่างไร?
2. ระยะที่แปดของความก้าวหน้าคืออะไรและแตกต่างกันอย่างไร?

หากไม่มีคำถามเพิ่มเติมครูสามารถกระตุ้นพวกเขาได้ - การ "ห้าม" กับ d (ความแตกต่าง) นั่นคือไม่อนุญาตให้ถามว่าความแตกต่างคืออะไร คุณสามารถถามคำถาม: ระยะที่ 6 ของความก้าวหน้าคืออะไร และระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าคืออะไร

ภารกิจที่ 2

มีตัวเลข 20 ตัวเขียนไว้บนกระดาน: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ครูยืนหันหลังให้กระดานดำ นักเรียนพูดจำนวนและครูเรียกหมายเลขนั้นทันที อธิบายว่าฉันทำได้อย่างไร?

ครูจำสูตรของเทอมที่ n น \u003d 3n - 2และการแทนค่าที่กำหนดของ n ค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน หนึ่ง .

ครั้งที่สอง คำชี้แจงของงานการศึกษา

ฉันเสนอให้แก้ปัญหาเก่าย้อนหลังไปถึง 2 พันปีก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งพบในกระดาษปาปิรีของอียิปต์

งาน:“จะบอกคุณว่า: แบ่งข้าวบาร์เลย์ 10 ตวงระหว่างคน 10 คน ผลต่างระหว่างแต่ละคนกับเพื่อนบ้านคือ 1/8 ของตวง”

• ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับหัวข้อความก้าวหน้าทางเลขคณิตอย่างไร? (คนถัดไปแต่ละคนได้รับมากกว่า 1/8 ของการวัด ดังนั้นผลต่างคือ d=1/8, 10 คน ดังนั้น n=10)
• คุณคิดว่าเลข 10 หมายถึงอะไร? (ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้า)
• คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเพื่อให้การแบ่งข้าวบาร์เลย์ตามเงื่อนไขของปัญหาเป็นเรื่องง่ายและสะดวก (ระยะแรกของความก้าวหน้า)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน- รับการพึ่งพาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้ากับจำนวนของพวกเขา เทอมแรกและผลต่าง และตรวจสอบว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องในสมัยโบราณหรือไม่

ก่อนจะได้สูตรมา มาดูกันว่า ชาวอียิปต์โบราณแก้ปัญหาอย่างไร

และพวกเขาแก้ไขดังนี้:

1) 10 มาตรการ: 10 = 1 มาตรการ - ส่วนแบ่งเฉลี่ย;
2) 1 การวัด ∙ = 2 การวัด - สองเท่า เฉลี่ยแบ่งปัน.
สองเท่า เฉลี่ยส่วนแบ่งคือผลรวมของหุ้นของบุคคลที่ 5 และ 6
3) 2 มาตรการ - 1/8 มาตรการ = 1 7/8 มาตรการ - สองเท่าของส่วนแบ่งของบุคคลที่ห้า
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ส่วนแบ่งที่ห้า; และอื่น ๆ คุณสามารถค้นหาส่วนแบ่งของแต่ละคนก่อนหน้าและที่ตามมา

เราได้รับลำดับ:

สาม. การแก้ปัญหาของงาน

1. ทำงานเป็นกลุ่ม

กลุ่มที่ 1:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติ 20 ตัวที่เรียงกัน: ส 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210

โดยทั่วไป

กลุ่มที่สอง:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 (Legend of Little Gauss)

ส 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

บทสรุป:

กลุ่มที่สาม:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 21

วิธีแก้ไข: 1+21=2+20=3+19=4+18…

บทสรุป:

กลุ่ม IV:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 101

บทสรุป:

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณานี้เรียกว่า "วิธีเกาส์"

2. แต่ละกลุ่มนำเสนอวิธีแก้ปัญหาบนกระดาน

3. การอธิบายทั่วไปของวิธีแก้ปัญหาที่เสนอสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยพลการ:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n

เราพบผลรวมนี้โดยโต้แย้งในทำนองเดียวกัน:

4. เราได้แก้ไขงานแล้วหรือยัง?(ใช่.)

IV. ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้สูตรที่ได้รับในการแก้ปัญหา

1. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเก่าตามสูตร

2. การประยุกต์ใช้สูตรในการแก้ปัญหาต่างๆ

3. แบบฝึกหัดสำหรับการสร้างความสามารถในการใช้สูตรในการแก้ปัญหา

ก) หมายเลข 613

ที่ให้ไว้ :( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(และ n): 1, 2, 3, ..., 1,500

หา: เอส 1500

สารละลาย: , และ 1 = 1 และ 1,500 = 1,500

B) ให้: ( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
(และ n): 1, 2, 3, ...
ส n = 210

หา: น
สารละลาย:

V. งานอิสระที่มีการตรวจสอบร่วมกัน

เดนิสไปทำงานเป็นคนส่งของ ในเดือนแรกเงินเดือนของเขาคือ 200 รูเบิล ในแต่ละเดือนต่อมาจะเพิ่มขึ้น 30 รูเบิล เขามีรายได้เท่าไหร่ในหนึ่งปี?

ที่ให้ไว้ :( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1 = 200, d=30, n=12
หา: เอส 12
สารละลาย:

คำตอบ: เดนิสได้รับ 4,380 รูเบิลสำหรับปีนี้

วี.ไอ. การสอนการบ้าน.

1. หน้า 4.3 - เรียนรู้ที่มาของสูตร
2. №№ 585, 623 .
3. เขียนปัญหาที่จะแก้ไขโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน

1. ใบบันทึกคะแนน

2. ต่อประโยค

• วันนี้ในชั้นเรียนฉันได้เรียนรู้...
• เรียนสูตร...
• ฉันเชื่ออย่างนั้น …

3. คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 500 ได้หรือไม่? คุณจะใช้วิธีใดในการแก้ปัญหานี้?

บรรณานุกรม.

1. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา. เอ็ด จี.วี. โดโรฟีวา.มอสโก: การตรัสรู้ 2552

ตัวอย่างเช่น ลำดับ \(2\); \(5\); \(8\); \(สิบเอ็ด\); \(14\)… เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบถัดไปจะแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าถึงสาม (สามารถรับได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยเพิ่มสาม):

ในความก้าวหน้านี้ ผลต่าง \(d\) เป็นค่าบวก (เท่ากับ \(3\)) ดังนั้นแต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าเทอมก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม \(d\) ก็สามารถเป็นจำนวนลบได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นในความก้าวหน้าทางเลขคณิต \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ผลต่างของความก้าวหน้า \(d\) เท่ากับ ลบ 6

และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้าแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ตัวเลขที่เป็นความก้าวหน้าเรียกว่า สมาชิก(หรือองค์ประกอบ).

พวกเขาแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับหมายเลของค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) และอื่นๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความก้าวหน้า \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

โดยหลักการแล้ว ข้อมูลข้างต้นเพียงพอแล้วสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต (รวมถึงปัญหาที่นำเสนอที่ OGE)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(b_1=7; d=4\) ค้นหา \(b_5\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(b_5=23\)

ตัวอย่าง (OGE) กำหนดสามพจน์แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(62; 49; 36…\) จงหาค่าของพจน์เชิงลบแรกของความก้าวหน้านี้..
สารละลาย:

คำตอบ: \(-3\)

ตัวอย่าง (OGE) มีองค์ประกอบต่อเนื่องหลายรายการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(...5; x; 10; 12.5...\) ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษร \(x\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(7,5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไขต่อไปนี้: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) จงหาผลรวมของหกพจน์แรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_6=9\).

ตัวอย่าง (OGE) ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(d=7\).

สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตมากมายสามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยการทำความเข้าใจสิ่งสำคัญ นั่นคือ ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือสายโซ่ของตัวเลข และแต่ละองค์ประกอบถัดไปในสายนี้จะได้รับโดยการบวกเลขเดียวกันกับเลขก่อนหน้า (ความแตกต่างของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตามบางครั้งมีสถานการณ์ที่ไม่สะดวกในการแก้ปัญหา "ที่หน้าผาก" ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าในตัวอย่างแรก เราไม่จำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่ห้า \(b_5\) แต่เป็นองค์ประกอบที่สามร้อยแปดสิบหก \(b_(386)\) มันคืออะไร เรา \ (385 \) คูณสี่? หรือจินตนาการว่าในตัวอย่างสุดท้าย คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบเจ็ดสิบสามตัวแรก การนับเป็นเรื่องที่สับสน...

ดังนั้น ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาไม่ได้แก้ "ที่หน้าผาก" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้มาสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต และสูตรหลักคือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของการก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก

สูตรสำหรับสมาชิก \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\) โดยที่ \(a_1\) เป็นสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า
\(n\) – จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการ
\(a_n\) เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่มีหมายเลข \(n\)

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาองค์ประกอบอย่างน้อยสามในร้อยหรือแม้แต่องค์ประกอบที่ล้านได้อย่างรวดเร็ว โดยรู้เพียงความแตกต่างของลำดับแรกและความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). ค้นหา \(b_(246)\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(b_(246)=1850\).

สูตรหาผลบวกของพจน์ n พจน์แรกคือ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) โดยที่

\(a_n\) เป็นผลรวมสุดท้าย;

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(a_n=3.4n-0.6\) หาผลรวมของพจน์ \(25\) แรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(25)=1090\).

สำหรับผลรวม \(n\) ของพจน์แรก คุณจะได้สูตรอื่น: คุณแค่ต้อง \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) แทน \(a_n\) แทนที่สูตรด้วย \(a_n=a_1+(n-1)d\) เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกคือ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) โดยที่

\(S_n\) – ผลรวมที่ต้องการ \(n\) ขององค์ประกอบแรก;
\(a_1\) คือพจน์แรกที่จะนำมาบวกกัน
\(d\) – ความแตกต่างของความก้าวหน้า;
\(n\) - จำนวนองค์ประกอบในผลรวม

ตัวอย่าง. หาผลรวมของ \(33\)-ex พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(33)=-231\).

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตเกือบทุกปัญหา มาจบหัวข้อด้วยการพิจารณาปัญหาที่คุณไม่เพียงต้องใช้สูตร แต่ยังต้องคิดสักนิด (ในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งนี้มีประโยชน์ ☺)

ตัวอย่าง (OGE) หาผลรวมของพจน์เชิงลบทั้งหมดของความก้าวหน้า: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(65)=-630.5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). หาผลบวกจากองค์ประกอบ \(26\)th ถึง \(42\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(S=1683\).

สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต มีสูตรอีกมากมายที่เรายังไม่ได้พิจารณาในบทความนี้ เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตามคุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย